一元线性回归方程在预应力千斤顶标定中的应用

一

千斤顶标定中的应用

时榴，张定高

（重庆桥梁工程总公司重庆400060）

[摘要] 本文着重介绍了预应力千斤顶、油表配套标定后一元线性回归方程的建立、显著性检验、应用及注意事项。

[关键词] 预应力、回归方程、相关系数、显著性检验

One yuan of linear recurrence equation is at prestressing force Application in the hoisting jack demarcation

Shi Liu,Zhang Ding Gao

(Chongqing Bridge Engineering Company Chongqing 400060 , China )

Abstract：In this article, authors is stressed and is introduced necessary

establishment demarcating back one yuan of linear recurrence equation of

prestressing force hoisting jack and oil table, notable nature inspection,

application and paying attention to the item.

Key words：prestressing force, recurrence equation, correlation coefficient and notable nature inspection

1、概述

预应力混凝土经过近半世纪的发展，目前在我国已成为土建工程中一种十分重要的结构材料，应用范围日益扩大，由以往的单层及多层房屋、公路、铁路桥梁、水塔等。在桥梁结构领域中，预应力技术既是一种结构手段又将与施工方法结合形成一套以节段式施工为主体的预应力施工方法。主要有预应力悬臂分段施工技术，大节段预制吊装技术等。这些施工技术与预应力技术是紧密相关的。

我们知道，预应力一般都是通过千斤顶与油表配套来施加，由于预应力应用广泛，力值变化多，如何通过力值确定油表读数？为了解决这类问题就需要研究两个变量间的关系，一元线性回归方程是处理两个变量相关关系的一种统计技术。

2、一元线性回归方程的建立

在客观世界中，变量之间的关系大致可分为两种类型，函数关系和相关关

系。当两个变量存在相关关系时，常常希望在两者间建立定量关系，两个相关变量间的定量关系的表达就是一元线性回归方程。假如，n 个点在一条直线附近波动，一元线性回归方程便是对这条直线的估计。

(1)设一元线性回归方程的表达式为

P

?=b F +a (1-1) 对给定的n 对数据（i F ,i P ）,i =1,2,……,n（见表1），要我们根据这些数据去估计a 和b 。如果a 和b 已经估计出来，那幺在给定的i F 值上，回归直线上对应点的纵坐标为：

i P ?=b i

F +a 称i P ?为回归值，由于实际的检测值i

P 与i P ?之间存在偏差，我们希望求得的直线使这种偏差的平方和达到最小。即要求∑(i P -i P

?)2达到最小，根据微分学的原理，a 和b 可以用下式求出：

b =FP L /FF

L (1-2)

a =P -

b F (1-3)

这一组解称为最小二乘估计，其中b 是回归直线的斜称为回归系数；a 是回归直线的截距称为常数项。

(2)一元线性回归方程求解

FP L =∑(i F -F )(i P -P )=∑i F i P -F T P T /n (1-4)

FF L =∑(i F -F )2=∑i F 2-F T 2

/n (1-5) PP L =∑(i P -P )2

=∑i P 2

-P T 2

/n (1-6) F T =∑i F ，P T =∑i P

例如：

某千斤顶的力值与油表读数的数据如下： 表1

回归方程求解如下：

公式(1-4)：FP L =∑i F i P -F T P T /n=967500-27635×275/11=276625 公式(1-5)：FF L =∑i F 2-F T 2/n=97254127-276352/11=27827470 公式(1-6)：PP L =∑i P 2-P T 2/n=9625-2752/11=2750 公式(1-2)：b =FP L /FF L =276625/27827470=0.009941 公式(1-3)：a =P -b F =25-0.009941×2512.3=0.025497 所求线性回归方程为：

公式(1-1)：P

?=0.009941F +0.025497 3、一元线性回归方程的显著性检验

建立回归方程的目的是表达两个具有线性相关的变量间的定量关系，因

此，只有当两个变量具有线性相关关系时所建立的回归方程才有意义。检验两个变量间是否存在线性相关关系的问题便是对回归方程的显著性检验。通常有两种方法，相关系数检验和方差分析的方法。

(1)相关系数检验

相关系数：是两随机变量间线性联系密切程度的度量，这个量称为相关

系数r 。随机变量之间的线性相关性就是：当一个变量增大时，另一变量有按线性关系增大或减小的趋势。当| r |越接近1时，这种趋势就越明显。当| r |=0时，两变量就不存在线性联系，即无线性相关性。

r =

2

2

)

()())(P P F F P P F F i i i i -∑-∑--∑（=

PP

FF FP L L L (1-7)

根据所求的两个变量的相关系数r ，对于给定的的显著水平α，相关系

数r 显著性判定为：

r >2/1α-r (n-2) (1-8)

2/1α-r (n-2)是检验相关系数的临界值，通过查表求得（表2）

。如果相关系数r 满足(1-8)式，便认为两个变量间存在线性相关关系，所求回归方程是显著的，即回归方程有意义。

例如（表1）：根据公式(1-4)、(1-5)、(1-6)所求数据：

r =

PP

FF FP L L L =

2750

27827470276625?=0.99997

显著性判断：根据(1-8)式

查表2：假如显著水平α=5%，2/1α-r (n-2)=5.97r (9)=0.602

假如显著水平α=1%，2/1α-r (n-2)=5.99r (9)=0.735 r=0.99997>2/1α-r (n-2)

因此认为千斤顶的力值与油表读数存在线性相关关系，即回归方程有意义，可以用于实践。

检验相关系数的临界值表（部分摘录） 表2

(2)方差分析

方差分析是在相同方差假定下检验多个正态均值是否相等的一种统计

分析方法。

根据方差分析的原理，引起数据差异的原因有两个： ① 取值不同，引起数据差异，在这里用回归平方和表示； ② 随机误差，用残差平方和表示。 求解步骤：

① 总平方和： T S =∑(i P -P )2=PP L

② 回归平方和：R S =∑(i P ?-P )2=FP bL ③ 残差平方和：E S =∑(i P -i

P ?)2 ④ 平方和分解式：T S =R S +E S

⑤ 自由度分别为：T f =n-1,R f =1,E f =T f -R f ⑥ 均方：R MS =R S /R f ,E MS =E S /E f ⑦ F 比：F=R MS /E MS

⑧ 判断：当F>),1E R f f F （α-时，回归方程显著。 例如（表1）：

① 总平方和： T S =PP L =2750

② 回归平方和：R S =FP bL =0.009941×276625=2749.929 ③ 残差平方和：E S =T S -R S =0.071

④ 自由度：T f =n-1=10,R f =1,E f =T f -R f =10-1=9

⑤ 均方：R MS =R S /R f ,=2749.929，E MS =E S /E f =0.071/9=0.008 ⑥ F 比：F=R MS /E MS =343741

⑦ 显著性判断： 查表3：当α=10%，),1E R f f F （α-=)9,190

.0（F =3.36，

当α=5%，),1E R f f F （α-=)9,195.0（F =5.12 当α=1%，),1E R f f F （α-=)9,199

.0（F =10.56 显然F=343741>),1E R f f F （α-，回归方程显著。 F 分布的α分位数表（部分摘录）

4、一元线性回归方程的应用

当所求一元线性回归方程经检验为有意义的方程后，就可用于实践。在

预应力千斤顶使用中，当知道力值，即可求出油表读数，从而不必每次对千斤顶和油表进行标定。

例如：已知F=1150kN ，根据所求回归方程

P

?=0.009941F +0.025497=11.46 MPa 5、应用中注意事项

(1)油顶与油表必须是经标定，并且配套使用。 (2)尽量采用高精度耐震压力油表，以减小误差。

(3)一旦油表或者千斤顶损坏，经修理后，必须重新进行配套标定，建

立方程，进行显著性检验，合格后方可使用。

参考文献：

[1] JTJ041-2000,公路桥涵施工技术规范

[2] 范金城，工程数学概率论与数理统计辽宁大学出版社1999.5

[作者简介]

张定高（1963—）男重庆市南岸区人重庆桥梁工程总公司工程质量检测所所长重庆市南岸区南城大道4# 400060 电话（023）86115617 时榴（1974—）男重庆市南岸区人重庆桥梁工程总公司工程质量检测所工程师重庆市南岸区南城大道4# 400060 电话（023）86115616