数学规划基础8(全集)
数学规划基础-1(全集)
Tianjin University 步骤7、执行与评价推荐方案 如果决策者接受了研究成果，分析师需要辅助执 行推荐方案。必须对系统进行不断地监测（当环 境改变时要动态升级）以保证推荐方案能够实现 既定的目标。例如，在银行的实例中，假如目标 是保证至多5%的客户等待时间超过3分钟，当分析 师的建议被执行后，80%的客户等待时间超过3分 钟。很显然，银行的目标没有实现，分析师需要 重新回到步骤1、2或3并复查模型。
3、运筹学发展的几个阶段：
40年代后半期：运筹学专家重返大学和研究部门， 致力于运筹学理论基础的研究，寻找各种分析和 解决管理问题的新方法。 50年代：运筹学逐渐成为一门理论性和应用性都 很强的学科，理论和方法都比较完善的分支有线 性规划、非线性规划、动态规划、整数规划、排 队论、存贮论、图与网络等。
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第二章 线性规划
x2 z=15.3 z=12 z=9 z=6 z=3 z=0 x1
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1
B
Tianjin University 线性规划（Linearprogramming，LP）是解最优化 问题的一个工具。1947年，乔治〃丹泽发明了一种 解线性规划问题的高效方法-单纯形法。自从单纯 形法出现后，线性规划就被广泛应用于工业界各个 领域的最优化问题，如银行业务、教育、林业、石 油和交通运输等。在对财富500强企业的调查中， 有85%的企业表示使用过线性规划。由于线性规划 在运筹学中的重要地位，本书的绝大部分内容都是 围绕线性规划进行的。
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周收入＝出售士兵获得的周收入＋出售火车获得的周收入 = 每个士兵的价格 × 每周制作的士兵数 + 每个火车的价格 × 每周制作的火车数
2024年培智实用数学第八册教案1—15课时
2024年培智实用数学第八册教案1—15课时一、教学内容1.第一章：分数的乘除法第一节：分数乘法（15课时）第二节：分数除法（610课时）2.第二章：平面几何第三节：三角形（1113课时）第四节：四边形（1415课时）二、教学目标1.掌握分数乘除法的运算方法，能够熟练进行计算。
2.理解平面几何中三角形和四边形的基本概念，提高空间想象力。
3.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点1.教学难点：（1）分数乘除法的运算规则（2）三角形和四边形的性质及判定2.教学重点：（1）分数乘除法的运算方法（2）三角形和四边形的识别和应用四、教具与学具准备1.教具：（1）分数乘除法运算卡片（2）几何图形模型2.学具：（1）练习本（2）彩色笔（3）剪刀、胶水等手工材料五、教学过程1.引入（第12课时）通过实际情景，引导学生理解分数乘除法的意义。
2.分数乘法（第35课时）（1）讲解分数乘法运算规则（2）例题讲解（3）随堂练习3.分数除法（第610课时）（1）讲解分数除法运算规则（2）例题讲解（3）随堂练习4.三角形（第1113课时）（1）介绍三角形的基本概念和性质（2）例题讲解（3）随堂练习5.四边形（第1415课时）（1）介绍四边形的基本概念和性质（2）例题讲解（3）随堂练习六、板书设计1.分数乘法运算规则2.分数除法运算规则3.三角形和四边形的性质七、作业设计1.分数乘除法运算题（附答案）2.三角形和四边形识别题（附答案）八、课后反思及拓展延伸2.拓展延伸：鼓励学生寻找生活中的分数乘除法、三角形和四边形的应用实例，提高学生的实际操作能力。
重点和难点解析1. 教学难点与重点的确定2. 教学过程中的例题讲解和随堂练习3. 作业设计4. 课后反思及拓展延伸一、教学难点与重点的确定（1）分数乘除法的运算规则1) 分数乘法：强调分子与分子相乘，分母与分母相乘的原则。
2) 分数除法：引导学生理解“除以一个分数，等于乘以它的倒数”的概念。
华师大版 八年级数学暑期课程规划大纲目录
课题名称 暑期衔接-平方根与立方根 暑期衔接-实数概念与分类
暑期衔接-实数的运算 平方根和立方根运算综合
暑期衔接-幂的运算 暑期衔接-整式的乘除
暑期衔接-乘法公式 暑期衔接-因式分解（一） 暑期衔接-因式分解（二）
整式乘除化简求值 因式分解综合应用 暑期衔接-命题定理与证明 暑期衔接-全等三角形的判定（一） 暑期衔接-全等三角形的判定（二）
整式乘除化简求值 因式分解综合应用 暑期衔接-命题定理与证明 暑期衔接-全等三角形的判定（一） 暑期衔接-全等三角形的判定（二） 暑期衔接-等腰三角形的性质和判定 暑期衔接-线段垂直平分线与角平分线 全等模型（一） 解一元一次方程 一元一次方程的综合应用 二（三）元一次方程组
一元一次不等式的解法及应用
全等模型 解一元一次方程 一元一次方程的综合应用 二（三）元一次方程组
一元一次不等式的解法及应用
三角形的认识 多边形的内角和与外角和
轴对称与轴对称图形
图形的平移与旋转 暑期综合训练（一） 暑期综合训练（二） 暑期衔接-平方根与立方根 暑期衔接-实数概念与分类 暑期衔接-实数的运算
华师大版 暑假 华师大版 暑假 华师大版 暑假 华师大版 暑假 华师大版 暑假 华师大版 暑假 华师大版 暑假 华师大版 暑假 华师大版 暑假 华师大版 暑假 华师大版 暑假 华师大版 暑假 华师大版 暑假 华师大版 暑假 华师大版 暑假 华师大版 暑假 华师大版 暑假
新课 新课 新课 新课 新课 小专题 小专题 新课
掌握全等三角形的概念和判定(SSS,SAS,ASA)
新课
掌握全等三角形的判定（AAS,HL)
新课
掌握角平分线的性质和判定
新课
掌握线段垂直平分线与角平分线的性质和判定
2024年第八册数学教学计划（三篇）
2024年第八册数学教学计划一、教学目标本教学计划旨在培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力，使学生掌握数学的基本概念、基本运算方法和基本解题方法，能够独立思考和解决数学问题。
二、教学内容1. 数的认识- 复习整数和有理数的概念，引入大数和小数的概念。
- 了解复数的概念和基本运算规则。
2. 代数式与图形- 学习代数式的概念和性质。
- 掌握多项式的基本运算和因式分解。
- 认识二次函数的图像和性质。
3. 方程与不等式- 学习一元二次方程的解法和根的性质。
- 理解一元一次不等式的解集并求解不等式。
4. 数据与统计- 引入统计学的基本概念和统计数据的分析方法。
- 学习频率分布表、频率分布图和统计图的制作和分析。
5. 函数与图像- 了解函数的概念和性质。
- 掌握线性函数、一次函数和反比例函数的图像和性质。
- 引入指数函数和对数函数的概念。
6. 几何初步- 复习几何基本概念和基本性质，引入向量的概念。
- 学习不等式的几何应用，包括三角形不等式等。
- 掌握平行线、相交线和角平分线的性质。
三、教学方法1. 综合运用讲授、示范、练习、实验等教学方法，提高学生的数学学习兴趣。
2. 引导学生积极思考和讨论，培养学生的独立思考和解决问题的能力。
3. 设计实际情境和问题，让学生应用数学工具解决实际问题。
4. 给予学生充分的练习机会，巩固知识点，并定期进行测试，了解学生的学习情况。
四、教学评价1. 组织小测验，对学生的掌握情况进行及时评估。
2. 每章末进行综合测试，检测学生对整个章节内容的掌握情况。
3. 定期组织小组讨论和个人报告，评价学生的合作和表达能力。
4. 通过课堂参与、作业完成情况等进行平时评价。
五、教学进度安排第一学期：1-2周：数的认识3-4周：代数式与图形5-6周：方程与不等式7-8周：数据与统计9-10周：函数与图像第二学期：1-2周：函数与图像（续）3-4周：几何初步5-6周：复习与综合训练7-8周：阶段性考试9-10周：总复习与总结六、教学资源准备1. 教师教学课件和教辅资料。
数学规划及其应用1-7
(C A) X 0
(c j 0 p j ) x 0 j 0
j 1,2,, n
证明：
0 0
(c p ) x
0 j 1 j j
n
0 j
0
0 0 设 X , 分别是(P)和(D)的最优解，由定理1-8有
0 0 AX CX b
(C A) X 0
三.松紧定理： ( P ) min S CX AX b X 0 定理1-9：
0 0 设 X , 分别是(P)和(D)的可行解，
( D) max Z b
A C C 0A 0 c j 0 pj 0
0 0
则 X , 分别是(P)和(D)的最优解
第一章 线性规划
第七节 对偶理论 原规划和对偶规划最优解 之间的关系 弱对偶定理 强对偶定理 松紧定理
一.弱对偶定理： ( D) max Z b ( P ) min S CX AX b A C X 0 b CX 定理1-7： 设X 和 分别是(P)和(D)的可行解，则有CX b. 证明： A C , X 0 AX CX b CX 推论1：
b
若 X 0和 0 分别是(P)和(D)的可行解，且 CX 0 0b, 则 X 0和 0 分别是(P)和(D)的最优解。
线性规划1-7
弱对偶定理： ( D) max Z b ( P ) min S CX AX b A C X 0 b CX 定理1-7： 设X 和 分别是(P)和(D)的可行解，则有CX b. 推论1： 若 X 0和 0 分别是(P)和(D)的可行解，且 CX 0 0b, 则 X 0和 0 分别是(P)和(D)的最优解。 证明： 设X 是(P)的任意可行解，由定理1-7知：
【最新】基础数学第8章——08
第八章解析几何考点精练参考答案一、问题求解1、【答案】：D【解析】：因0<ab ，所以b a ,一正一负.当0,0<>b a 时，直线过一、三、四象限，如a当0,0><b a 时，直线过一、二、四象限，如b可知直线a,b 在x 轴上的截距为正数.2、【答案】：B【解析】：边AB 所在直线与边CD 所在直线平行，则斜率12312=--==AB CD k k ，所以边CD 所在直线方程为b x b kx y +=+=.由点A 、B 坐标可求得正方形边长为()()2231222=-+-，则()()2222222=+=+=BC AB AC ，所以点C 坐标为（2，3），代入直线b x y +=得1=b ，所以边CD 所在直线方程为1+=x y .3、【答案】：C【解析】：平行四边形中OB//AC，10202-=---==OB AC k k ，只有选项C 斜率为-1.4、【答案】：C【解析】：两条直线相互垂直，则由02121=+b b a a ，即()()()()032112=+-+-+a a a a ，012=+-a ，1±=a .5、【答案】：C【解析】：垂足应在直线l 上，可验证选项，只有选项C 中的点在直线上.6、【答案】：C 【解析】：圆心（-5，0）到直线的距离()1013505322=+++-⨯=d .因直线与圆没有公共点，即相离，此时r d >，则100<<r .7、【答案】：E【解析】：014222=+++-y y x x ，化为标准式：()()4441222=++++-y y x x ，()()222221=++-y x ，圆心（1，-2）8、【答案】：B【解析】：AB 为圆的直径，则AB 的中点为圆心，AB 中点为⎪⎭⎫⎝⎛++-215,253，即圆心为()31，，只有选项B 圆心为()31，.9、【答案】：B【解析】：令0=x 代入抛物线求得4=y ；令0=y 代入抛物线得04242=+-x x ，01682=+-x x ，()042=-x ，0=x ，则抛物线与坐标轴交点为（0,4）和（4,0）.如图可知，AB 为圆的直径，则()()24044022=-+-=AB ，即圆的半径为22.10、【答案】：B【解析】：在右半圆中10≤<x ，由122=+y x 得21y x -=，012=--y x .二、充分性判断题11、【答案】：C【解析】：直线经过第一、二、四象限，则0,0><b a ，故条件（1）和（2）均单独不充分，联合充分.12、【答案】：A【解析】：设直线方程为b x y +=61（1）直线经过点（12,3），代入方程得1=b ，则161+=x y ，与y 轴截距为1，与x 轴截距为-6，则围成面积为36121=⨯⨯=S ，条件充分.（2）直线经过点（-24,3），代入方程得7=b ，则761+=x y ，与y 轴截距为7，与x 轴截距为-42，则围成面积为342721≠⨯⨯=S ，条件不充分.13、【答案】：A【解析】：（1）()()042222=+--⨯++xy y x y x ，042224222=+--+++xy y x y xy x ，0422422=+-++y y x x ，()()22222=-++y x ，),(y x 的轨迹为圆，条件充分.（2）当3=x 时，y 最大取到7，最小取到3；当5=y 时，x 最大取到5，最小取到1.直线7=y ，3=y ，5=x ，1=x 围成正方形.14、【答案】：A【解析】：圆方程化为标准式为()()52122=++-y x ，圆心为（1,-2），半径为5.（1）圆心到直线的距离为()()5552122122==-+-⨯-=d ，r d =，相切，条件充分.（2）圆心到直线的距离为()()541221222=-+--⨯=d ，r d ≠不相切，条件不充分.15、【答案】：A 【解析】：圆A 化为标准式为()()41222=+++y x ，圆心（-2,-1），半径2=r .（1）圆B 化为标准式为()()93122=-+-y x ，圆心（1,3），半径3=R .圆心距为()()5311222=--+--=d ，R r d +=，即圆A 和圆B 外切,条件充分.（2）圆B 化为标准式为()9322=+-y x ，圆心（3,0），半径3=R .圆心距为()()26013222=--+--=d ，r R d +>，圆A 和圆B 外离，条件不充分.。
2024年小学第八册数学复习计划范本(二篇)
2024年小学第八册数学复习计划范本一、复习目标1、通过总复习，使学生对本学期所学的知识进行系统整理和复习，进一步巩固数概念。
2、正确学会计算方法，包括四则混合运算和小数的加减法，在生活中碰到实际问题能正确的采用合适的方法进行计算，从而提升到数学理性学习的高度。
3、运用自己的聪明才智分析题目，学会选择处理材料，面对一些具体情况能采用最简便的方法，择优而选。
4、能比较灵活地运用所学的知识解决一些实际的数学问题。
掌握数学广角中的典型类型，解决问题。
二、复习过程1、分单元复习，一、二、三、四、五、六、七、八2、分系统复习、总复习，综合练习。
分单元复习，帮助学生理清本册教材的知识结构，使学生形成脉络的网状的知识链。
在这个基础上进行有针对性的练习，使学生的知识能够得到必要的巩固。
三、复习措施1、逐单元、有重点进行复习提纲挈领式的对本学期所学内容进行复习。
采用“看、读、想、练、说、评”的方法进行复习。
看，看课文中有关运算方法、算理的词句。
读，读这些词句，做到对本单元心中有数。
想，通过自我反思，自查这个单元有些什么困难，及时提出，解决。
练，通过作课本以及练习册上的有关练习，做到巩固知识。
说，对于练习中有关的算理、数量关系等思维过程说出来，理清思路。
评，通过学生自评、互评，加深对题的印象。
2、抓薄弱环节，进行集中练习针对逐单元复习中出现的比较集中的内容，采用多练精讲的策略，使学生做到巩固复习的目的。
多练精讲中使学生做到举一反三，触类旁通。
3、做综合试卷，形成综合处理能力。
用做综合试卷的方法，对学生本学期所学的知识进行综合考验，培养学生的解题能力，了解学生的不足，采取个别有针对性的复习。
4、抓住个别落后生，采取一对一的复习。
抓住落后面较大，在逐一复习和集中复习效果不好的个别学生，采取一对一式的复习。
让落后生也能跟上步伐，巩固知识，缩小落后面。
通过以上多种复习手段，使学生达到应有的教学目标，获得必需的数学知识。
2024年小学第八册数学复习计划范本（二）第八册数学是小学阶段数学学习的最后一本教材，内容相对较难，需要学生们进行系统的复习和巩固。
2024年培智实用数学学本第八册教案教学内容
2024年培智实用数学学本第八册教案教学内容一、教学内容本节课选自《2024年培智实用数学学本第八册》第三章“分数的乘除法”。
具体内容包括：分数乘法的概念与运算方法、分数除法的概念与运算方法、分数乘除混合运算的顺序及运算法则。
二、教学目标1. 理解并掌握分数乘除法的概念和运算方法。
2. 能够熟练进行分数乘除混合运算，并正确运用运算法则。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
三、教学难点与重点重点：分数乘除法的概念和运算方法，分数乘除混合运算的顺序及运算法则。
难点：分数乘除混合运算的顺序及运算法则在实际问题中的应用。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、教学课件。
2. 学具：学生用书、练习本、计算器。
五、教学过程1. 导入：通过实际情景引入，如小明要将一块巧克力平均分给4个朋友，然后拿走一半，求小明拿走的巧克力占总量的几分之几。
2. 新课讲解：（1）分数乘法：讲解分数乘法的概念，通过例题讲解，让学生理解分数乘法的运算方法。
（2）分数除法：讲解分数除法的概念，通过例题讲解，让学生理解分数除法的运算方法。
（3）分数乘除混合运算：讲解分数乘除混合运算的顺序及运算法则，通过例题讲解，让学生掌握实际应用。
3. 随堂练习：针对新课内容，设计相关练习题，让学生独立完成，并及时反馈、纠正。
4. 知识巩固：通过小组合作，解决实际问题，巩固所学知识。
六、板书设计1. 分数乘法：（1）概念（2）运算方法（3）例题2. 分数除法：（1）概念（2）运算方法（3）例题3. 分数乘除混合运算：（1）顺序（2）运算法则（3）例题七、作业设计1. 作业题目：（1）计算题：分数乘除法的运算练习。
（2）应用题：分数乘除法在实际问题中的应用。
2. 答案：八、课后反思及拓展延伸1. 反思：对本节课的教学效果进行反思，针对学生的掌握情况，调整教学方法。
2. 拓展延伸：设计分数乘除法的拓展题，提高学生的思维能力。
如：分数乘除法与整数的混合运算，分数乘除法在实际问题中的综合应用等。
北航数学规划基础答案 最新
刘红英 2016.4 于北京
目录
第一章 引言
1
第二章 线性规划: 基本理论与方法
3
第三章 线性规划：应用及扩展
2u1 − 2v1 + u3 − v3 = 3, ui, vi, s ≥ 0, i = 1, 2, 3.
方法2: 引入非负变量 t1, t2, t3 ，将原问题转化成等价问题
minimize t1 + t2 + t3 subject to x + y ≤ 1,
2x + z = 3, |x| = t1, |y| = t2, |z| = t3.
1.3 利用图解法和优化软件两种方法求解下列问题
minimize subject to
(x1 − 2)2 + (x2 − 1)2 x21 − x2 ≤ 0, x1 + x2 ≤ 2.
1.4 确定下列 n 元函数的梯度向量和 Hessian 阵：
(a) aT x: a 是常向量；
(b) xT Ax: A 是非对称的常矩阵；
(c)
1 2
xT
Ax
−
bT
x:
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A 是对称的常矩阵，b 是常向量；
(d) r(x)T r(x): r(x) = (r1(x), · · · , rm(x))T 是依赖于 x 的 m 维向量，记 ∇rT 为 AT ，
它一般不是常量.
1
2
第一章 引言
解:
(a) ∇f (x) = a, ∇2f (x) = 0n×n; (b) ∇f (x) = (A + AT )x, ∇2f (x) = A + AT ;
2024年培智实用数学第八册教案46—60课时
2024年培智实用数学第八册教案46—60课时一、教学内容1. 多边形的概念与性质四边形的分类与性质三角形的分类与性质圆的性质与计算2. 比例尺与平面图比例尺的概念与应用平面图的绘制与应用3. 数据的收集、整理与表示数据的收集与整理方法统计图表的绘制与解读二、教学目标1. 让学生掌握多边形的基本概念和性质，能够识别并运用多边形的相关知识解决问题。
2. 培养学生运用比例尺和平面图解决实际问题的能力。
3. 使学生掌握数据的收集、整理和表示方法，能够绘制并解读统计图表。
三、教学难点与重点1. 教学难点：多边形的性质与应用、比例尺的运用、数据的收集与整理。
2. 教学重点：多边形的识别与性质、比例尺的概念与应用、统计图表的绘制与解读。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体设备、黑板、粉笔、教学挂图、模型等。
2. 学具：练习本、铅笔、直尺、圆规、三角板等。
五、教学过程1. 实践情景引入（第46课时）利用校园环境，引导学生观察多边形物体，激发学生对多边形的学习兴趣。
2. 例题讲解（第4751课时）讲解多边形的概念、性质和应用。
通过实际例题，引导学生运用比例尺和平面图解决实际问题。
3. 随堂练习（第5255课时）设计多边形识别、性质应用、比例尺应用、平面图绘制等练习题，巩固所学知识。
4. 知识拓展（第5659课时）引导学生探索多边形内角和、外角和的性质。
拓展平面图的应用，如地图、建筑设计图等。
组织学生进行课堂讨论，分享学习心得。
六、板书设计1. 培智实用数学第八册 4660课时教案2. 内容：多边形的概念与性质比例尺与平面图数据的收集、整理与表示七、作业设计1. 作业题目：识别并分类多边形。
根据比例尺，绘制平面图。
收集数据，绘制统计图表。
2. 答案：多边形分类：见教材P。
平面图绘制：见教材P。
统计图表绘制：见教材P。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：根据学生的课堂表现和作业完成情况，调整教学方法和进度，以提高教学效果。
2024年第八册数学教学工作计划（二篇）
2024年第八册数学教学工作计划一、教学内容乘法，升和毫升，三角形，混合运算，平行四边形和梯形，找规律，运算律，对称、平移和旋转，倍数和因数，用计算器探索规律，解决问题的策略，统计，用字母表示数，整理与复习。
二、教学目标1、知识与技能方面（1）使学生联系已有的知识和经验，经历从具体问题中抽象数量关系并探索算法和运算律的过程，掌握有关的计算方法和运算顺序，发现并初步理解一些简单的运算规律；初步认识自然数的一些特征；初步理解用字母表示数的意义和基本方法。
（2）使学生经历探索一些常见平面图形特征以及简单变换的过程，认识三角形、平行四边形和梯形及其特征，了解图形的对称和图形位置关系的简单变换；了解容量的意义及其常用计量单位。
（3）联系具体问题初步认识折线统计图，初步掌握用折线统计图表示数据的方法，能按照统计图里的数据变化特点进行简单的分析、交流；初步学会根据数据特点和实际需要选择统计图。
2、数学思考方面（1）在探索计算方法、发现运算规律的过程中，开展类比、猜想、归纳、验证等活动，发展合情推理能力。
（2）在探索自然数的一些特征，学习用字母表示数的过程中，进行观察、比较、分析、综合，进一步发展抽象思维，增强符号感。
（3）在探索平面图形的特征、对图形进行简单变换以及设计图案的过程中，进一步发展形象思维和空间观念。
（4）在收集和整理数据、选择相应的形式描述数据，以及对统计结果进行分析和解释的过程中，进一步增强统计观念。
3、解决问题方面（1）能从现实情境中发现并提出一些简单的数学问题，并能运用所学的测量、估计、作图、计算、统计等数学知识和方法解决问题，进一步发展应用意识。
（2）能在解决问题的过程中，合理使用计算器进行计算，初步学会用画图的策略整理和表达信息，探索解决问题的有效方法。
（3）在测量液体多少、估计常见容器的容量、在方格纸上设计简单图案和用调查统计的方法解决简单实际问题的过程中，进一步增强合作意识，并能对解决问题的过程进行必要的解释与说明。
2024第八册数学教学计划
2024第八册数学教学计划2024年第八册数学教学计划如下：
1. 第一单元：整数和有理数
- 整数的性质和运算
- 有理数的加减乘除运算
- 整数和有理数的绝对值与比较大小
- 整数和有理数的分数表示形式
2. 第二单元：代数式
- 代数式的定义和基本运算法则
- 一元一次方程与不等式的解法
- 一元二次方程的解法
- 代数式的因式分解与分式的简化
3. 第三单元：平面几何
- 二维图形的基本性质和分类
- 三角形、四边形和多边形的性质及相似关系
- 平行线和垂直线的性质
- 平面几何中的线段、角度和圆
4. 第四单元：函数与图像
- 函数的定义、表示和性质
- 一次函数、二次函数和指数函数的图像特征
- 反比例函数和绝对值函数的图像特征
- 函数的复合、反函数和函数方程的解法
5. 第五单元：统计与概率
- 统计数据的收集、整理和展示
- 统计数据的中心趋势和离散程度的描述
- 概率的基本概念和计算方法
- 概率的实际应用和问题解决
以上是2024年第八册数学教学计划的大致内容，具体的教学进度和课时安排会根据学校的教学要求和实际情况进行调整。
希望对您有帮助！。
培智实用数学学本第八册教案教学内容
培智实用数学学本第八册教案教学内容一、教学内容本节课选自《培智实用数学学本》第八册，具体内容包括第三章《分数的乘除法》的第一节和第二节。
详细内容主要围绕分数乘法的运算规则、应用题的解题方法，以及分数除法的运算规则和应用。
二、教学目标1. 理解并掌握分数乘法的运算规则，能够正确进行计算。
2. 学会解决涉及分数乘法的生活实际问题，提高解决问题的能力。
3. 理解并掌握分数除法的运算规则，能够正确进行计算。
三、教学难点与重点教学难点：分数乘除法的运算规则理解和应用。
教学重点：分数乘除法运算的正确性及在实际问题中的应用。
四、教具与学具准备教具：多媒体教学设备、PPT课件、黑板、粉笔。
学具：学生练习本、铅笔、橡皮、直尺。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）利用PPT展示生活中遇到的实际问题，如：小明有一块巧克力，他吃掉了这块巧克力的3/4，剩下的巧克力又被他的朋友吃掉了1/3，问：小明和朋友一共吃掉了巧克力的多少？2. 分数乘法运算规则讲解（15分钟）根据情景问题，引导学生理解分数乘法的运算规则，并进行详细的讲解和例题演示。
3. 例题讲解（10分钟）通过讲解例题，使学生掌握分数乘法运算的步骤和技巧。
4. 随堂练习（10分钟）学生进行随堂练习，老师进行解答指导。
5. 分数除法运算规则讲解（15分钟）介绍分数除法的运算规则，结合例题进行讲解。
6. 例题讲解（10分钟）通过讲解例题，使学生掌握分数除法运算的步骤和技巧。
7. 随堂练习（10分钟）学生进行随堂练习，老师进行解答指导。
六、板书设计1. 黑板左侧：分数乘法运算规则、例题、随堂练习。
2. 黑板右侧：分数除法运算规则、例题、随堂练习。
七、作业设计1. 作业题目：（2）应用题：小华买了3个苹果，每个苹果重150克，这些苹果的重量是妈妈买的水果总重量的1/4，问：妈妈买的水果总重量是多少克？2. 答案：（1）8/15（2）450克（3）9/7八、课后反思及拓展延伸2. 拓展延伸：布置一些拓展性的练习题，提高学生对分数乘除法的理解和运用能力，同时鼓励学生在生活中发现和解决分数问题。
第3章-数学规划基础
第3章 数学规划基础所谓数学规划，是指系统在一定约束条件下使某一评价目标达到最优（极值）的一种决策方法。
数学规划的关键是从系统思想出发，在定性分析的基础上建立其数学模型。
数学规划模型的一般形式为．．．．．．．．．．．．：系统在满足条件jj j i j i D X D b X G ≤≤'≤)( （1）的情况下，使评价目标达到最优（最大或最小值），即 )(max (min)j X f Z = （2）其中，式（1）是系统必须满足的限制条件的数学描述，通常由等式或不等式组成，称为约束条件，简记为s.t.（subject to ，意为“受…的限制”）；式（2）是系统评价目标的数学描述，称为目标函数。
一、 线性规划所谓线性规划，是指约束条件和目标函数均为线性的数学规划方法。
根据系统评价目标是单个还是多个，可将线性规划分为单目标线性规划和多目标线性规划。
（一）单目标线性规划 1. 问题的提出例1（生产管理问题） 某工厂计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时及A 、B 两种原材料的消耗，如表所示。
该工厂每生产一件产品Ⅰ可获利2解 源约束的可行的生产方案，以确保工厂能获得最大的利润值。
假设产品Ⅰ、Ⅱ的产量分别为x 1、x 2，则该工厂的获利值f = 2 x 1 + 3 x 2。
由于可行的生产方案需要考虑不能超出设备的有效台时数限制，即x 1+2 x 2≤8；同时，还要考虑满足A 、B 原材料资源的约束条件，即4x 1≤16，4x 2≤12。
因此，工厂的目标是在满足设备和原材料资源限制的条件下，如何确定两种产品的产量x 1、x 2，使工厂的获利最大。
综上所述，上述安排生产计划问题的数学模型为目标 2132m ax x x f +=满足约束条件（s.t.）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤+012416482212121x x x x x x B A ，约束）（原材料约束）（原材料（设备约束） 由此可见，将这类实际问题转换为数学模型的基本步骤可归纳如下：（1） 确定决策变量； （2） 确定所要追求的目标（目的）； （3） 确定约束条件；例2（环保问题） 靠近某河流有两个化工厂，流经工厂1的河水流量是5×106m 3/天，在两个工厂之间有一条流量为2×106m 3/天的支流，如图所示。
数学a计划八年级下册
数学a计划八年级下册一、二次根式。
1. 二次根式的概念。
- 形如√(a)(a≥0)的式子叫做二次根式。
其中“√()”称为二次根号，a叫做被开方数。
例如√(4)，√(x + 1)(x≥ - 1)都是二次根式。
- 二次根式有意义的条件是被开方数a≥0。
例如在√(x - 2)中，x-2≥0，即x≥2时，该二次根式才有意义。
2. 二次根式的性质。
- √(a^2)=| a|=<=ft{begin{array}{l}a(a≥0) - a(a < 0)end{array}right.。
例如√(3^2) = 3，√((- 2)^2)=| - 2|=2。
- (√(a))^2=a(a≥0)。
如(√(5))^2=5。
3. 二次根式的运算。
- 二次根式的乘法法则：√(a)·√(b)=√(ab)(a≥0,b≥0)。
例如√(2)×√(3)=√(2×3)=√(6)。
- 二次根式的除法法则：(√(a))/(√(b))=√(frac{a){b}}(a≥0,b > 0)。
如(√(8))/(√(2))=√(frac{8){2}}=√(4) = 2。
- 二次根式的加减：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式。
例如√(12)+√(27)=2√(3)+3√(3)=5√(3)。
二、勾股定理。
1. 勾股定理。
- 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2。
例如在直角三角形中，两直角边分别为3和4，则斜边c=√(3^2)+4^{2}=√(9 +16)=√(25)=5。
2. 勾股定理的逆定理。
- 如果三角形的三边长a、b、c满足a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形。
例如三角形三边为5、12、13，因为5^2+12^2=25 + 144=169=13^2，所以这个三角形是直角三角形。
3. 勾股定理的应用。
- 在实际问题中，如求两点之间的最短距离（将立体图形展开转化为平面图形，利用勾股定理求解）、确定直角等方面有广泛应用。
运筹学导论第八版8整数线性规划
对于采用“是否”决策问题，舍入法不可行。
12
习题
某唱片公司与一位新的歌手签约录制8首歌曲，这8首歌曲 的时间长度分别为8,3,5,5,9,6,7,12分钟，公司希望将所有的 歌曲分配在磁带的两面，使得两面的歌曲时间长度尽量相 同。请建立整数规划模型，求出最优解。
上例中，对所有的 j，cj=1. 如果 cj 表示位置 j 安装电话的 费用，那么这些系数就是这些费用值而不再是1.
18
习题
MobileCo公司拿出1500万美元，最多建造7个发射台来覆盖15个 相邻社区中尽可能多的人口。下表给出了每个发射台可以覆盖 的社区以及建造这个发射台的费用以及社区人口。确定出需要 建设哪几个发射台。
在固定费用问题中，我们引入二元变量来处理不连续的目标函数。 本节，我们仍然利用二元变量来处理模型中约束不满足同时性(“或 者-或者”)或者依赖性(“如果-那么”)的情形.采用的变换不会改变 约束的“或者”或“依赖”关系，我们只是利用数学上的技巧方 法将这样的约束转化为“并且”的关系.
例 JOBCO公司需要在一台机器上处理3项工作。下表给出了每项
x1
≤200y1
x2 ≤200y2
x3≤200y3
最优解x3=200, y3=1,其他变量取值为0，采 用BabyBell公司拨打全部长途电话最合适。
引入yi的目的是为了计算每个月的固定费.
y1,y2,y3=(1,0)
从上面的式子，只有但yi=1的时候，也就是当xj>0的时候，第j 个电话公司的固定费用才会在目标函数中起作用(根据模型的
这个问题的最优解需要安装4部电 话，分别在交叉口1，2，5，7
数学基础模块(下册)第八章
【课题】8．1 两点间的距离与线段中点的坐标【教学目标】知识目标：掌握两点间的距离公式与中点坐标公式；能力目标：用“数形结合”的方法，介绍两个公式．培养学生解决问题的能力与计算能力．【教学重点】两点间的距离公式与线段中点的坐标公式的运用【教学难点】两点间的距离公式的理解【教学设计】两点间距离公式和中点坐标公式是解析几何的基本公式，教材采用“知识回顾”的方式给出这两个公式．讲授时可结合刚学过的向量的坐标和向量的模的定义讲解，但讲解的重点应放在公式的应用上．例1是巩固性练习题．题目中，两个点的坐标既有正数，又有负数．讲授时，要强调两点间的距离公式的特点特别是坐标为负数的情况．例2是中点公式的知识巩固题目．通过连续使用公式（8.2），强化学生对公式的理解与运用．例3是本节两个公式的综合性题目，是知识的简单综合应用．要突出“解析法”，进行数学思维培养．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】第1题图、N、P、Q、R各点的坐标．在平面直角坐标系内，描出下列各点：(1,1)A、(3,4)B ．并计算每两点之间的距离．图8－2【教师教学后记】【课题】8．2 直线的方程【教学目标】知识目标：（1）理解直线的倾角、斜率的概念；（2）掌握直线的倾角、斜率的计算方法．能力目标：采用“数形结合”的方法，培养学生有条理地思考问题．【教学重点】直线的斜率公式的应用．【教学难点】直线的斜率概念和公式的理解．【教学设计】本教材采用的定义是：“当直线与x 轴相交于点P 时，以点P 为顶点，始边指向x 轴正方向，终边落在直线上的最小正角叫做直线的倾角．当直线与x 轴不相交（或重合）时，规定倾角为零角”．这样就使得关于角的概念一致起来．结合图形，让学生观察倾角的取值范围，要注意倾角的取值范围是[0,180) 而非 [0,180]．教材中的“试一试”有助于巩固学生对倾角概念的理解．教材采用“数形结合”的方法，分成两种情况来研究斜率公式．教学中要注意这种分类讨论问题的思考方法的教育，培养学生有条理的思考问题．要强调应用斜率公式的条件12x x ．例1是斜率概念及公式的巩固题目，属于简单题．通过例题加强对概念和公式的理解．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】【教师教学后记】此节的书面作业习题里没有【课题】8．2 直线的方程（二）【教学目标】知识目标：（1）了解直线与方程的关系；（2）掌握直线的点斜式方程、斜截式方程，理解直线的一般式方程．能力目标：培养学生解决问题的能力与计算能力．【教学重点】直线方程的点斜式、斜截式方程．【教学难点】根据已知条件，选择直线方程的适当形式求直线方程．【教学设计】采用“问题——分析——联系方程”的步骤，从学生熟知的一次函数图像入手，分析图像上的坐标与函数解析式的关系，把函数的解析式看作方程，图像是具有某种特征的平面点集（轨迹）．很自然地建立直线和方程的关系，把函数的解析式看作方程是理解概念的关键．导出直线的点斜式方程过程，是从直线与方程的关系中的两个方面进行的．首先是直线上的任意一点的坐标都是方程的解，然后是以方程的解为坐标的点一定在这条直线上．直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特例．直线的斜截式方程与一次函数的解析式具有相同的形式．要强调公式中b的意义．直线的一般式方程的介绍，分两个层次来处理也是唯一的．首先，以问题的形式提出前面介绍的两种直线方程都可以化成一般的二元一次方程的形式．然后按照二元一次方程Ax By C++=的系数的不同取值，进行讨论．对CyB=-与CxA=-只是数形结合的进行说明．这种方式比较适合学生的认知特征．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】图8－7上任取点(,)P x y （不同于0P 点）y y -图8－8图8－9 图8－10【教师教学后记】【课题】8．3 两条直线的位置关系（一）【教学目标】知识目标：（1）掌握两条直线平行的条件；（2）能应用两条直线平行的条件解题．能力目标：培养学生的数学思维及分析问题和解决问题的能力．【教学重点】两条直线平行的条件．【教学难点】两条直线平行的判断及应用．【教学设计】从初中平面几何中两条直线平行的知识出发，通过“数”“形”结合的方式，讲解两条直线平行的判定方法，介绍两条直线平行的条件，学生容易接受．知识讲解的顺序为：．两条直线平行⇔同位角相等⇔倾斜角相等⇔9090⎧≠⇔⎨=⇔⎩αα倾斜角斜率相等;倾斜角斜率都不存在.教材都是采用利用“斜率与截距”判断位置关系的方法．其步骤为：首先将直线方程化成斜截式方程，再比较斜率与截距进行位置关系的判断．例1就是这种方法的巩固性题目．考虑到学生的实际状况和职业教育的特点，教材没有介绍利用直线的一般式方程来判断两条直线的位置关系．例2是利用平行条件求直线的方程的题目，属于基础性题．首先利用平行条件求出直线的斜率，从而写出直线的点斜式方程，最后将方程化为一般式方程．简单的解决问题的过程，蕴含着“解析法”的数学思想，要挖掘．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】当直线1l 、2l 的斜率都是与x 轴平行，所以1l 图8-11(1)【教师教学后记】【课题】8．3 两条直线的位置关系（二）【教学目标】知识目标：（1）掌握两条直线平行的条件； （2）能应用点到直线的距离公式解题． 能力目标：培养学生的数学思维及分析问题和解决问题的能力．【教学重点】两条直线的位置关系，点到直线的距离公式．【教学难点】两条直线的位置关系的判断及应用．【教学设计】与倾角的定义相类似，本教材将两条直线夹角的定义建立在任意角定义的基础上．两条直线相交所形成的最小正角叫做这两条直线的夹角．同时规定，两条直线平行或重合时两条直线的夹角为零角，这样两条直线的夹角的范围是0,90⎡⎤⎣⎦．教材采用“数形结合”、“看图说话”的方法，导入两条直线垂直的条件，过程简单易懂．两条直线垂直的实质就是这两条直线的夹角为90 ．运用垂直条件时，要注意斜率不存在的情况．例4是巩固性题目．属于基础性题．首先将直线的方程化为斜截式方程，再根据斜率判断两条直线垂直是本套教材判断两条直线垂直的主要方法．例5是利用垂直条件求直线的方程的题目，属于基础性题．首先利用垂直条件求出直线的斜率，然后写出直线的点斜式方程，最后将方程化为一般式方程．这一系列解题程序，蕴含着“解析法”的思想方法．需要强调，点到直线的距离公式中的直线方程必须是一般式方程．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】图8－12探索新知图8－148－1511tan BCk ABα==， 233tan tan()tan ==-=-=-AB BCααα180 121k k ⋅=-．上面的过程可以逆推，即若121k k ⋅=-，则1l ⊥2l1l【教师教学后记】【课题】8．4 圆（一）【教学目标】知识目标：（1）了解圆的定义；（2）掌握圆的标准方程和一般方程． 能力目标：培养学生解决问题的能力与计算能力．【教学重点】圆的标准方程和一般方程的理解与应用．【教学难点】对圆的标准方程和一般方程的正确认识．【教学设计】用“解析法”推导圆的标准方程的过程，学生比较容易掌握，可以引导学生自己完成．要强化对圆的标准方程()()222x a y b r -+-=的认识，其中半径为r ，圆心坐标为(),O a b '．经常容易发生错误的地方是认为半径是2r ，圆心坐标为(),O a b '--．教学中应予以强调，反复强化．例1和例2是圆的标准方程的知识巩固性题目，属于基础性题目．可以由学生自己完成．通过例题，进一步熟悉圆的标准方程．再介绍圆的一般方程时，教材首先将圆的标准方程展开，分析系数特点，然后将方程配方成圆的标准方程．这一系列的过程，不但介绍圆的一般方程及其与标准方程的联系，还显示出用代数的方法研究几何问题的魅力．例3是圆的方程巩固性题目．题中的两种解法，都是经常使用的方法．特别是解法1，通常采用配方法，将方程化为标准方程，求出圆心坐标与半径．这类题目的训练，有助于学生数学运算能力的提高．求圆的方程，基本有两种基本方法．一种是根据已知条件求出圆心和半径，然后写出圆的标准方程，例4就是这种类型的基础性题目；另一种是，设出圆的方程，然后，利用待定系数法确定相应的常数，例5就是这种类型的基础性题目．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】【教师教学后记】【课题】8．4 圆（二）【教学目标】知识目标：（1）理解直线和圆的位置关系；（2）了解直线与圆相切在实际中的应用．能力目标：培养学生的数学思维及分析问题和解决问题的能力．【教学重点】直线与圆的位置关系的理解和掌握．【教学难点】直线与圆的位置关系的判定．【教学设计】直线与圆的位置关系的判定是本节的难点，将直线的方程与圆的方程联立组成方程组，通过对方程组的解的讨论，来研究直线和圆的位置关系，理论上讲是很简单的，但是，实际操作的运算过程很麻烦．教材采用“数”“形”结合的方式，利用比较半径与圆心到直线的距离大小的关系来讨论的方法，相对比较简单．平面几何中，学生对这样判断直线与圆的位置关系比较熟悉，现在通过比较半径与圆心到直线的距离的大小，来判定直线与圆的位置关系，学生容易接受，例6就是采用这种方法进行讨论的．经过一点求圆的切线方程，通常作法是设出点斜式方程，利用圆心到切线的距离与半径相等来确定斜率，从而得到切线方程，其中蕴含着“待定系数法”和“解析法”等数学方法．例8是直线在科技领域中的应用知识，根据光学原理，反射角等于入射角，利用直线的斜率公式可以求得反射点P的坐标．例9是圆在生产实践中的应用知识．解决这类实际问题首先要选择直角坐标系．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】图8－21图8-22动脑思考探索新知图8－23 --k1)2=，图8−25【教师教学后记】。
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Tianjin University 改变一个非基变量的目标函数系数
表 1 “最后”（次优）家具公司单纯形表（40/饭桌）
������
������������
������������
������������
������������
������������
������������
rhs
基变量 比率
1
0
55
0
0
-10
70
360 ������ = 360
\
0
0
-2
0
1
2
-8
24
������1 = 24
12
0
0
-2
1
0
○2
-4
Tianjin University
我们以家具公司例子演示敏感度分析过程。
初始单纯形表是
������ − 60������1 − 30������2 − 20������3
=0
8������1 + 6������2 + ������3 + ������1
= 48
4������1 + 2������2 + 1.5������3
Hale Waihona Puke rhs基变量10
45
5
0
0
50
400
������ = 400
0
0
0
-1
1
0
-4
16
������1 = 16
0
0
-1
0.5
0
1
-2
4
������2 = 4
0
1
0.75 0.25
0
0
0.5
4
������1 = 4
Tianjin University LINDO输出中目标函数系数范围数据块的解释
Tianjin University 改变一个约束的右部
表 5 “最后”（不可行）家具公司单纯形表（������2 = 30）
������
������������
������������
������������
������������
������������
������������
rhs
基变量
1
0
5
0
0
10
10
380
������ = 380
0
0
-2
0
1
2
单纯形表中������������ 的约束列
row0 中������������ 的系数仍为非负
Tianjin University 线性规划参数的改变使 ������������不再是最优的原因有两个。
第一，row0中的变量可能有一个负系数。在这种情 况下，通过对row0中有负系数的非基变量做旋转运 算可得到一个更好（使z值更大）的基础可行解。如 果发生这种情况，我们称 ������������ 现在是次优基。第二， 约束现在可能有一个负的右部。在这种情况下，至 少������������的一个元素现在是负的，������������ 不再是一个基础可 行解。如果这种情况发生，我们称 ������������ 现在是一个不 可行基。
+ ������3 = 8
（15）
表 8 敏感度分析总结（最大化问题）
初始问题的改变
对最优单纯形表的影响 当前基仍然是最优的，如果：
改变非基变量目标函数系数
������������ 改变基变量目标函数系数������������
最优 row0 中������������ 的系数改变 可能改变整个 row0
=0
8������1 + 6������2 + ������3 + ������4 + ������1
= 48
4������1 + 2������2 + 1.5������3 + ������4
+ ������2 = 20
2������1 + 1.5������2 + 0.5������3 + ������4
\
0
1
1.25
0
0
-0.5 1.5
2
������1 = 2
1.6∗
表 2 最优家具公司单纯形表（40/饭桌）
������
������������
������������
������������
������������
������������
������������
rhs
基变量
1
4
0
0
0
8
16
288
������ = 288
+ ������2
= 20
2������1 + 1.5������2 + 0.5������3
+ ������3 = 8
（木材约束） （油漆工时约束） （木工工时约束）
最优单纯形表是
������
+ 5������2
+ 10������2 + 10������3
− 2������2
+ ������1 + 2������2 − 8������3
������
������������
������������
������������
������������
������������
������������
rhs
基变量 比率
1
0
-3
0
0
10
10
280 ������ = 280
\
0
0
-7
0
1
2
-8
24
������1 = 24
\
0
0
-4
1
0
2
-4
8
������3 = 8
规划有变量 ������1, ������2, ⋯ , ������6 ，下面的部分单纯形表将是
最优的：
������ + 2������2 + ������4 + ������6 = 6
=1
=2
=3
Tianjin University
假设我们已经对一个线性规划求解并已经得到 ������������是 一个最优基。我们可以使用如下过程来确定线性 规划的任何变化是否会导致 ������������不再是最优的。
Tianjin University 4.3 敏感度分析 我们现在研究一个线性规划参数（目标函数系数，
右部和工艺系数）的改变对最优解的影响。
与在4.2节中一样，我们设 ������������ 是最优单纯形表中基 变量的集合。当线性规划发生变化，我们希望确 定 ������������是否仍为最优。
Tianjin University
敏感度分析的过程取决于下面重要的观察结果。从 第三章我们知道，对于一组基变量 ������������ 的单纯形表
（对于最大值问题）是最优的，当且仅当每个约 束有一个非负右部和每个变量在row0有一个非负 系数。
一个单纯形表是否可行和最优只依赖于约束的右部
和row0中每个变量的系数。例如，如果一个线性
-8
44
������1 = 44
0
0
-2
1
0
2
-4
28
������3 = 28
0
1
1.25
0
0
-0.5
1.5
-3
������1 = −3
Tianjin University LINDO输出中右部范围数据块的解释
Tianjin University 改变一个非基变量的列
表 6 “最后”（次优）家具公司单纯形表（使用新方法生产饭桌）
对当前基 row0 中������������ 的系数仍 为非负
在 row0 每个变量的系数仍然 都是非负
改变一个约束的右部
约束和 row0 的右部改变
每个约束的右部仍为非负
改变一个非基变量������������ 的列或 改变 row0 中������������ 的系数和最优
增加一个新变量������������
������ = 283
0
3.5
0
0
1
0.25 -2.75
31
������1 = 31
0
2
0
1
0
1
-1
12
������3 = 12
0
0.5
1
0
0
-0.25 0.75
1
������2 = 1
Tianjin University 增加一个新活动
������ − 60������1 − 30������2 − 20������3 − 15������4
8
������3 = 8
4∗
0
1
1.25
0
0
-0.5 1.5
2
������1 = 2
\
表 4 最优家具公司单纯形表（������1 = 100）
������
������������
������������
������������
������������