最新坐标系与参数方程31793
坐标系与参数方程
坐标系与参数方程直角坐标系是由X轴和Y轴组成的二维平面。
在直角坐标系中，一个点的位置可以通过它在X轴和Y轴上的坐标值来确定。
例如，点P的坐标为(x,y)，其中x是点P在X轴上的位置，y是点P在Y轴上的位置。
直角坐标系可以方便地表示直线、抛物线、圆等曲线。
参数方程是一种描述曲线的数学表达方式，其中曲线上的每个点都是由参数变量的函数关系决定的。
参数方程中通常有两个参数变量，例如t和s，分别表示曲线上一些点的位置。
通过固定其中一个参数变量并对另一个参数变量进行取值，可以得到曲线上的一系列坐标点，从而描绘出整个曲线。
参数方程可以用于描述比较复杂的曲线，例如椭圆、双曲线等。
与直角坐标系不同，参数方程可以很方便地表示曲线上的点的倾斜和弯曲程度。
通过调整参数变量的取值范围，还可以对曲线进行调整和变形。
举一个简单的例子来说明直角坐标系和参数方程的区别和应用。
考虑一条直线y=2x+1、在直角坐标系中，我们可以通过给定的函数关系来确定直线上任意点的坐标。
例如，当x=0时，y=1，这表示直线过点(0,1)。
当x=2时，y=5，这表示直线过点(2,5)。
而在参数方程中，我们可以将直线表示为x=t，y=2t+1，其中t是参数变量。
通过对参数变量t进行取值，可以得到直线上的一系列坐标点。
例如，当t=0时，x=0，y=1，这表示直线过点(0,1)；当t=1时，x=1，y=3，这表示直线过点(1,3)。
可以看出，直角坐标系和参数方程在表示曲线上的点的方式上有所不同。
直角坐标系通过给定的函数关系来确定曲线上的点的坐标，而参数方程通过参数变量的函数关系来确定曲线上的点的坐标。
在实际应用中，根据不同的需要和问题，我们可以选择使用直角坐标系或参数方程来描述曲线。
直角坐标系更适用于描述直线、抛物线和圆等简单的曲线，而参数方程更适用于描述复杂的曲线，例如椭圆、双曲线等。
通过选择适当的表示方式，我们可以更方便地理解和分析曲线的形状和特性。
总之，坐标系与参数方程是数学中常用的表示曲线的方式。
坐标系与参数方程
φ， φ
(φ 为参数)．
1．参数方程化为普通方程
基本思路是消去参数，常用的消参方法有：①代入消元法；②加减消元法；③恒等式(三
角的或代数的)消元法；④平方后再加减消元法等．其中代入消元法、加减消元法一般是利用
解方程的技巧，三角恒等式消元法常利用公式 sin2θ＋cos2θ＝1 等． 2．普通方程化为参数方程 (1)选择参数的一般原则：曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单；
离．
第 6 页 共 18 页
3．在极坐标系中，求直线 ρ( 3cos θ－sin θ)＝2 与圆 ρ＝4sin θ 的交点的极坐标．
4．(2017·山西质检)在极坐标系中，曲线 C 的方程为 ρ2＝1＋23sin2θ，点 R2 2，π4.
(1)以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线 C 的极坐标方程 化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；
第 7 页 共 18 页
6．已知圆 C：x2＋y2＝4，直线 l：x＋y＝2.以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同
的单位长度建立极坐标系．
(1)将圆 C 和直线 l 方程化为极坐标方程；
(2)P 是 l 上的点，射线 OP 交圆 C 于点 R，又点 Q 在 OP 上，且满足|OQ|·|OP|＝|OR|2，
在 C3 上，求 a.
第 5 页 共 18 页
2．(2015·新课标全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x＝－2，圆 C2：(x－1)2＋(y－ 2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求 C1，C2 的极坐标方程； (2)若直线 C3 的极坐标方程为 θ＝π4(ρ∈R)，设 C2 与 C3 的交点为 M，N，求△C2MN 的面 积．
坐标系与参数方程
坐标系和参数方程是数学中经常用到的两个概念，它们都与空间几何有密切的关系。
参数
方程可以用来描述曲线或曲面，而坐标系可以帮助我们更好地理解和描述这些曲线或曲面。
因此，学习坐标系和参数方程对于理解空间几何非常重要。
坐标系是一种用于描述物体位置的系统，它通常由原点、坐标轴和坐标系单位长度组成。
常见的坐标系有二维平面坐标系、三维空间坐标系和极坐标系等。
二维平面坐标系是一种
直观的坐标系，它由原点、水平轴和垂直轴组成，通常用来描述平面上的点对象。
三维空间坐标系是一个更加复杂的坐标系，它由原点、X轴、Y轴和Z轴组成，可以用来描述在
三维空间内的点对象。
极坐标系是一种变体的坐标系，它由原点、极轴和极径组成，可以
用来描述极坐标系内的点对象。
参数方程是一种描述曲线和曲面的方法，它通常由参数和函数组成。
参数方程可以用来描
述简单的直线以及复杂的曲线和曲面，例如，可以用参数方程来描述一条直线，可以用参
数方程来描述一个圆，也可以用参数方程来描述一个椭圆，以及一个更复杂的曲面，如椎体、抛物面等。
坐标系和参数方程对于理解空间几何非常重要，它们可以帮助我们更好地描述空间中的点对象和曲线、曲面等。
正如著名的数学家约翰·霍金斯所说：“数学是一种语言，它可以用
来描述真实世界中的事物，而坐标系和参数方程就是其中的一种方式。
”坐标系和参数方
程的学习可以帮助我们更好地理解和描述空间几何中的曲线和曲面。
坐标系与参数方程高考知识点 2024数学
坐标系与参数方程高考知识点 2024数学2024年的高考数学考试中，坐标系与参数方程是一个重要的知识点。
本文将对坐标系和参数方程的概念、性质以及应用进行详细的论述。
一、坐标系的概念与性质坐标系是一种用来确定平面或空间中点位置的方法。
在平面上，常用的坐标系有直角坐标系和极坐标系；在空间中，常用的坐标系有直角坐标系和球坐标系。
1. 直角坐标系：直角坐标系是平面上最常用的一种坐标系，使用两个数值来确定平面上的点的位置。
我们用横坐标x和纵坐标y来表示一个点的位置，记作P(x, y)。
直角坐标系具有以下性质：- 原点：坐标系的交叉点称为原点，表示为O(0, 0)。
- 坐标轴：直角坐标系由两条相互垂直的直线组成，分别称为x轴和y轴。
- 单位长度：直角坐标系中x轴和y轴的单位长度相等。
2. 极坐标系：极坐标系是另一种表示点位置的方法，它使用距离和角度来确定点的位置。
对于平面上的点P，极坐标系表示为(r, θ)，其中r为点P到原点的距离，θ为点P与正半轴的夹角。
极坐标系具有以下性质：- 极轴：极坐标系有一条特殊的直线称为极轴，通常与x轴重合。
- 极角：极坐标系中，与极轴正向的夹角称为极角，通常用θ表示。
- 极径：点P到原点的距离称为极径，用r表示。
二、参数方程的概念与性质参数方程是用参数的变化规律来确定点的位置的方法。
它通常由一组含有参数的方程组成，通过给参数赋值，可以确定出点的坐标。
在坐标系中，参数方程可以用来表示一条曲线或曲面。
常见的参数方程有平面曲线的参数方程和空间曲线的参数方程。
1. 平面曲线的参数方程：平面曲线的参数方程通常用两个参数t、u来表示。
例如，曲线C可以由参数方程表示为：x = f(t)y = g(t)其中t的取值范围确定了曲线上点的位置。
平面曲线的参数方程具有以下性质：- 曲线上的点的坐标是参数t的函数，参数t的值域决定了曲线的范围。
- 在参数方程中，可以通过改变参数的取值来绘制不同部分的曲线。
坐标系与参数方程
坐标系与参数方程坐标系是一种在数学和物理学中使用的图示工具，用于表示和分析平面或空间中的点和图形。
它使用坐标来确定每个点的位置，从而使我们可以准确地描述和研究空间关系和几何图形。
常见的坐标系包括笛卡尔坐标系、极坐标系和参数方程。
笛卡尔坐标系是最常用的坐标系之一、它是由法国哲学家和数学家笛卡尔于17世纪提出的，用于描述平面中的点。
这个坐标系是由两个垂直的轴线组成的，分别称为x轴和y轴。
x轴和y轴的交点称为坐标原点，用(0,0)表示。
通过在x轴和y轴上确定一个点的位置，我们可以使用有序对(x,y)来表示这个点的坐标。
与笛卡尔坐标系不同的是，极坐标系使用极径和极角来表示一个点的位置。
极径是从原点到点的距离，通常用r表示，而极角是从极轴（通常是x轴正方向）到线段的角度，通常用θ表示。
用有序对(r,θ)来表示一个点的极坐标。
参数方程也是一种描述平面中的点的方法，它是通过将x和y的坐标表示为关于一个参数t的函数来定义点的位置。
参数方程通常用来表示曲线和图形的轨迹。
例如，对于一个二维平面上的曲线，我们可以将其参数化为x=f(t)和y=g(t)，其中f和g是关于t的函数。
通过改变参数t的值，我们可以获得曲线上的各个点。
参数方程可以提供更具灵活性的描述方法，而且可以轻松地表达一些复杂的图形。
在实际应用中，坐标系和参数方程都具有广泛的应用。
例如，在物理学中，我们可以使用坐标系来描述质点在空间中的位置和运动。
在工程学中，坐标系可以用来定位和设计结构物。
在计算机图形学中，坐标系和参数方程可以用来描述和生成图像。
此外，坐标系和参数方程还在统计学、经济学和生物学等领域中得到广泛应用。
总之，坐标系和参数方程是描述和分析平面和空间中点和图形的重要方法。
它们提供了灵活和精确的方式来表示和研究几何图形和物体的位置和运动。
通过了解和应用这些概念，我们能够更好地理解和解决与空间相关的问题。
§17.3.1参数方程
其中(x，y)为点在坐标系xOy中的坐标，(x，y)为 点在坐标系xOy中的坐标． 这个公式叫做坐标轴平移的坐标变换公式．
直线的一般方程是什么？ Ax＋By＋C＝0 圆的一般方程是什么？ x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
直线和圆的方程都可以表示为 f(x，y)＝0的形式， 方程 f(x，y)＝0描述了曲线上点的坐标之间的关系． 我们把方程 f(x，y)＝0叫做曲线的普通方程．
y
t O x
y＝x P(x，y) y
x
直线的普通方程是 x－2y＝1，若选取参数t＝2y， 试写出直线的参数方程． 解：由 t＝2y得 y＝
1 2 1 2
t．
将y＝ t 代入方程x－2y＝1，得x＝t＋1．
所以当参数t＝2y时， 直线的参数方程是
x y
t 1 1 t 2
当选取参数t＝x时，直线的参数方程是什么？
曲线的参数方程唯一吗？参数 t 选定后呢？
直线的普通方程是 x－2y＝1，若选取参数t＝2y， 试写出直线的参数方程． 解：由 t＝2y得 y＝
1 2 1 2
t．
将y＝ t 代入方程x－2y＝1，得x＝t＋1．
所以当参数t＝2y时， 直线的参数方程是
x y
t 1 1 t 2
已知抛物线的普通方程是 x2－y＋5＝0，若选取 参数t＝x，试写出抛物线的参数方程．
2
t 1. 3 x t 2 2 所以直线的参数方程是 1 y t 1 2
y t sin 30 1
11 Ox已知直线过点A(1，0)，且倾斜角是 线的参数方程．
4
，试写出直
已知圆的圆心在原点，半径为3．P(x，y)是圆上任 意一点，x轴正方向与OP的夹角为．选取为参数， y y 求该圆的参数方程． P 解：因为P(x，y)是圆上任意一点，
2024高考数学坐标系与参数方程
2024高考数学坐标系与参数方程数学一直是高考中重要的一门科目，而在数学中，坐标系与参数方程是常见的概念与应用。
本文将围绕2024年高考数学坐标系与参数方程这一题目展开讨论，并通过几个例子来加深我们对这一知识点的理解。
一、坐标系的概念与应用坐标系是数学中表示点的位置的一种方法，常见的有直角坐标系和极坐标系。
直角坐标系由x轴和y轴组成，通过确定点与坐标轴的交点来确定点的位置；而极坐标系则通过半径和极角来表示点的位置。
在解决实际问题中，坐标系有着广泛的应用。
例如，在地图上，我们可以利用坐标系确定两个城市之间的距离；在物理学中，通过坐标系可以确定物体在空间中的位置等。
因此，对坐标系的理解与应用非常重要。
二、参数方程的概念与应用参数方程是一种描述曲线、曲面等几何对象的方法。
它通过一个或多个参数的变化来表示对象上的点的坐标。
常见的参数方程有二维参数方程和三维参数方程。
在数学中，参数方程的应用非常广泛。
例如，在物理学中，我们可以通过参数方程描述质点在空间中的运动轨迹；在计算机图形学中，参数方程可以用来描述各种曲线和曲面等。
因此，对参数方程的理解与应用也是非常重要的。
三、坐标系与参数方程的联系与区别虽然坐标系和参数方程都是描述几何对象的方法，但它们之间存在一定的联系与区别。
首先，坐标系可以通过确定坐标轴和交点来确定点的位置，而参数方程则通过参数的变化来表示点的位置。
其次，坐标系通常是直角坐标系或极坐标系，而参数方程可以是二维参数方程或三维参数方程。
此外，在解决问题时，选择使用坐标系还是参数方程，取决于问题的特点和需要。
对于某些问题，坐标系可能更直观、更方便，而对于另一些问题，参数方程则可能更简洁、更易于处理。
四、案例分析为了更好地理解坐标系与参数方程的应用，我们通过几个案例进行分析。
案例一：求解直线与圆的交点已知直线的方程为y = 2x + 1，圆的方程为x^2 + y^2 = 9。
我们可以将直线和圆的方程转化为参数方程，求解它们的交点。
高中数学坐标系与参数方程
高中数学坐标系与参数方程数学中的坐标系与参数方程是高中数学中的重要概念和工具。
坐标系是一种用于描述和定位点的系统，而参数方程是一种利用参数来描述曲线和图形的方程。
本文将详细介绍坐标系和参数方程的概念、性质以及在解决实际问题中的应用。
一、坐标系坐标系是一种用于描述和定位点的系统。
常见的坐标系有直角坐标系、极坐标系和空间坐标系等。
其中，直角坐标系是最常用的一种坐标系。
1. 直角坐标系直角坐标系又称笛卡尔坐标系，由两个相互垂直的数轴组成，分别为x轴和y轴。
通过给每个点分配一个唯一的有序数对(x, y)，可以精确定位平面上的任意一点。
2. 极坐标系极坐标系以原点O和极轴作为基准，通过极径r和极角θ来描述平面上的点。
其中，极径r表示原点O到点P的距离，极角θ表示OP 与极轴的正向夹角。
3. 空间坐标系空间坐标系用于描述三维空间中的点。
最常用的空间坐标系是直角坐标系，由三条相互垂直的坐标轴x、y和z组成。
二、参数方程参数方程是一种利用参数来描述曲线、图形或曲面的方程。
通过引入参数，可以更方便地描述和分析不同类型的曲线和图形。
1. 平面曲线的参数方程对于平面曲线，一般使用参数t来描述。
平面曲线的参数方程可以表示为x=f(t)，y=g(t)，其中f(t)和g(t)分别是x和y关于参数t的函数。
2. 三维空间曲线的参数方程对于三维空间曲线，常用的参数方程形式为x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)。
通过给定的参数值t，可以确定空间曲线上的每个点的坐标。
3. 曲面的参数方程曲面的参数方程可以表示为x=f(u,v)，y=g(u,v)，z=h(u,v)，其中u 和v是两个参数。
通过给定不同的参数值，可以得到曲面上的各个点的坐标。
三、坐标系和参数方程的应用坐标系和参数方程在数学中有广泛的应用，特别是在几何和解析几何中的问题求解过程中起到关键作用。
以下是坐标系和参数方程在实际问题中的应用示例。
1. 几何图形分析通过在直角坐标系或极坐标系中表示几何图形的方程，可以对其进行分析和研究。
坐标系与参数方程_知识点总结
坐标系与参数方程_知识点总结一、坐标系1.直角坐标系直角坐标系是最常见的坐标系，在平面上由两个垂直的坐标轴组成，分别为x轴和y轴。
一个点在直角坐标系中的位置可以用坐标(x,y)来表示，其中x为横坐标，y为纵坐标。
2.极坐标系3.球坐标系球坐标系是一种用于描述空间点位置的坐标系统，它由径向距离、极角和方位角组成。
一个点的位置可以用有序数组(r,θ,φ)来表示，其中r为点到原点的距离，θ为点与一些固定轴的夹角，φ为点的方位角。
二、参数方程1.一维参数方程一维参数方程是指由一个参数确定的直线或曲线的方程。
例如，一个点在直线上的一维参数方程可以表示为x=f(t)，其中x为点在直线上的位置，t为参数，f(t)为关于参数t的函数。
2.二维参数方程二维参数方程是指由两个参数确定的平面曲线的方程。
一个点在平面上的位置可以表示为(x(t),y(t))，其中x(t)和y(t)分别为关于参数t的函数。
二维参数方程常用于描述曲线、圆、椭圆等几何图形。
3.三维参数方程三维参数方程是指由三个参数确定的空间曲线的方程。
一个点在空间中的位置可以表示为(x(t),y(t),z(t))，其中x(t)、y(t)和z(t)分别为关于参数t的函数。
三维参数方程常用于描述空间曲线、曲面等几何图形。
三、坐标系与参数方程的关系坐标系和参数方程之间存在着密切的关系。
在直角坐标系中，一个函数的参数方程可以通过将x和y用参数表示来得到，即将x=f(t)和y=g(t)的参数方程转化为直角坐标系中的函数y=f(x)的形式。
反之，一个函数的直角坐标系方程也可以通过将x和y用参数表示来得到参数方程。
参数方程在极坐标系和球坐标系中也可以通过类似的方式转化。
总结：坐标系是描述点的位置的系统，常见的坐标系有直角坐标系、极坐标系和球坐标系。
参数方程是用参数表示的函数方程，常用于描述直线、曲线、曲面等几何图形。
坐标系和参数方程之间存在密切的关系，可以通过转化将一个方程从坐标系表示转化为参数方程，反之亦然。
坐标系与参数方程
坐标系与参数方程坐标系是研究平面几何的基本工具之一、它是由两条互相垂直的直线组成的。
这两条直线分别称为x轴和y轴，它们的交点称为原点。
坐标系通过给每个点一个特定的位置来描述平面上的点。
参数方程是用参数的形式来表示曲线或者曲面的方程。
参数方程通常采用参数t来表示，可以用来描述曲线或者曲面上各个点的位置。
通过参数的变化，我们可以得到构成曲线或曲面的各个点的坐标。
下面，我们来详细讨论一下坐标系和参数方程。
1.坐标系：在平面直角坐标系中，我们用有序数对(x,y)表示一个点的位置。
其中，x表示该点到y轴的水平距离，y表示该点到x轴的竖直距离。
这种方法可以将平面上的每个点都唯一地用一对数表示出来。
例如，点A的坐标是(2,3)表示它的x坐标是2，y坐标是3坐标系可以帮助我们确定点之间的位置关系。
通过计算两点之间的距离和角度，我们可以得出很多几何性质。
此外，坐标系还可以方便地描述线段、直线、圆等几何图形。
在三维空间中，我们可以沿每个轴线引入一个新的坐标轴，这样就构成了三维直角坐标系。
类似地，我们用有序数对(x,y,z)来表示一个点的位置，其中x表示到y轴的水平距离，y表示到x轴的竖直距离，z表示到xy平面的高度。
2.参数方程：参数方程主要用于描述曲线或者曲面上的点的位置。
它通常以参数t 的形式表示。
例如，曲线C的参数方程可以表示为x=f(t)，y=g(t)，其中f和g是关于t的函数。
我们可以通过改变参数t的值来得到曲线上的不同点的坐标。
与直角坐标系不同，参数方程可以帮助我们更好地描述复杂的曲线。
例如，用参数方程可以很容易地描述一个圆的轨迹，而在直角坐标系中，这个描述就相对复杂。
参数方程的优点是可以表示一些复杂的曲线或者曲面，并且可以通过改变参数t的值来得到曲线或曲面上的不同点。
然而，参数方程也有一些缺点。
比如，在分析曲线和曲面的性质时，往往需要进行复杂的计算。
此外，在参数方程中，曲线的方程可能是隐式的，不容易直观地理解。
坐标轴与参数方程
坐标轴与参数方程坐标轴简介坐标轴是用来表示数值或点的直线，通常用来形成一个方便测量和比较的参考点。
常见的坐标轴包括x轴和y轴，它们垂直交叉在0点。
x轴x轴是一个水平的直线，从左向右延伸。
它通常代表水平方向的数值或变量。
y轴y轴是一个垂直的直线，从下向上延伸。
它通常代表垂直方向的数值或变量。
参数方程简介参数方程是用参数表示的一组方程，其中方程的变量通过参数的取值来确定其数值。
参数方程常用于描述曲线或图形。
参数方程的一般形式为：x = f(t)y = g(t)其中x和y是变量，t是参数，f(t)和g(t)是关于t的函数。
坐标轴与参数方程的关系在坐标轴上，每个点的位置可以用坐标表示，如(x, y)。
对于参数方程来说，每个点的位置也可以用参数表示，如(x(t), y(t))。
参数t的取值范围可以确定曲线的部分或整体。
通过参数方程，我们可以在坐标轴上绘制出曲线或图形。
对于每个参数t的取值，通过计算x(t)和y(t)，我们可以得到对应的坐标值，从而描绘出曲线。
示例假设我们有以下参数方程:x(t) = cos(t)y(t) = sin(t)我们可以选择一系列的参数取值，并计算x(t)和y(t)对应的坐标值。
随着参数t的变化，我们可以得到一条曲线，该曲线是圆周的轨迹。
通过绘制这些坐标点，我们可以在坐标轴上绘制出圆形。
当参数t的取值范围为[0, 2π]时，我们可以得到一个完整的圆形。
总结坐标轴和参数方程是数学中常用的工具。
坐标轴提供了方便测量和比较的参考点，参数方程则可以用来描述曲线或图形。
它们的关系在于通过参数方程可以在坐标轴上绘制出曲线或图形。
坐标系与参数方程 课件
=
= -2 + ,
为参数),直线 l2 的参数方程为
(m 为参数).设 l1 与 l2 的
=
交点为 P,当 k 变化时,P 的轨迹为曲线 C.
(1)写出C的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cos
θ+sin θ)- 2 =0,M为l3与C的交点,求M的极径.
= cos,
为
(θ 为参数),过点(0,- 2)且倾斜角为 α 的直线 l 与☉O 交
= sin
于A,B两点.
(1)求α的取值范围;
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.
思考如何利用直线的参数方程求直线与曲线相交的弦长?
-21-
解:(1)☉O的直角坐标方程为x2+y2=1.
π
当 α= 时,l 与☉O 交于两点.
即曲线 C
2
2
的直角坐标方程为 + =1.
16
9
-12-
(2)因为曲线 C 与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于点 A,B,所以
A(4,0),B(0,3).
所以直线 AB 的方程为 3x+4y-12=0.
设 P(4cos θ,3sin θ),则 P 到直线 AB 的距离为
|12cos+12sin-12|
2
3
10
代入 ρ2(cos2θ-sin2θ)=4 得 ρ2=5,
所以交点 M 的极径为 5.
10
-25-
思考如何把直角坐标方程化为极坐标方程?
-9-
解 (1)因为 x=ρcos θ,y=ρsin θ,
所以 C1 的极坐标方程为 ρcos θ=-2,C2 的极坐标方程为
坐标系和参数方程
坐标系和参数方程介绍坐标系和参数方程是数学中常用的工具，它们用来描述和分析平面和空间中的几何问题。
坐标系是一种用来标定位置的系统，而参数方程是一种用参数表示坐标的方式。
在本文中，我们将深入探讨这两个概念的原理、应用以及它们在几何问题中的作用。
坐标系：呈现空间位置坐标系是描述平面或空间中点的位置的一种方法。
它由一组坐标轴以及原点组成。
在平面坐标系中，通常有两条垂直的轴，分别称为x轴和y轴。
在三维空间中，可以有三条互相垂直的轴，分别称为x轴、y轴和z轴。
笛卡尔坐标系笛卡尔坐标系是最常见的坐标系之一。
在二维平面中，它由x轴和y轴组成，原点为坐标轴的交点。
在三维空间中，笛卡尔坐标系由x轴、y轴和z轴组成，原点为坐标轴的交点。
我们可以使用有序对或三元组来表示点的位置。
极坐标系极坐标系是另一种常见的坐标系，它用来描述平面上的点。
在极坐标系中，一个点的位置由它到原点的距离（称为极径）和与x轴的夹角（称为极角）来表示。
极径通常用正实数表示，极角可以使用度或弧度来度量。
其他坐标系除了笛卡尔坐标系和极坐标系，还有其他一些坐标系，如球坐标系、柱坐标系等。
不同的坐标系适用于不同的问题和计算方法。
理解这些坐标系及其转换关系对于解决几何问题非常有帮助。
参数方程：描述曲线和曲面参数方程是一种用参数表示几何对象坐标的方式。
它通常用于描述曲线和曲面。
一个参数方程可以由参数的函数构成，每个参数对应一个坐标。
曲线的参数方程对于平面曲线，参数方程可以用参数t表示曲线上的点。
例如，对于直线y = 2x + 3，可以将x表示为t，然后通过参数方程x = t，y = 2t + 3来描述直线上的点。
通过改变参数t的值，我们可以获得直线上的所有点。
曲面的参数方程对于曲面，参数方程可以用两个参数u和v表示曲面上的点。
例如，球体可以使用参数方程x = r * sin(u) * cos(v)，y = r * sin(u) * sin(v)，z = r * cos(u)来表示，其中r是球的半径，u和v是参数的取值范围。
坐标系与参数方程(知识总结)
坐标系与参数方程【要点知识】一、坐标系1.平面直角坐标系中的伸缩变换设点(,)P x y 是平面直角坐标系xOy 中的任意一点，在变换(0):(0)x x y y λλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩的作用下，点(,)P x y 对应到点(,)P x y '''，我们把ϕ称为平面直角坐标系xOy 中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.2.极坐标系〔1〕极坐标系的概念如下图，在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位〔通常取弧度〕及其正方向〔通常取逆时针方向〕，这样我们就建立了一个极坐标系.〔2〕极坐标设点M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ. 我们把有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标，记为(,)M ρθ. 〔3〕极径、极角的取值范围一般地，极径0ρ≥，极角R θ∈.3.极坐标与直角坐标之间的互化如下图，设点M 是平面内任意一点，记点M 的直角坐标为(,)x y ，极坐标为(,)ρθ. 我们可以得到极坐标与直角坐标之间如下关系：〔ⅰ〕直角坐标化极坐标：cos x ρθ=，sin y ρθ=； 〔ⅱ〕极坐标化直角坐标：222x y ρ=+，tan yxθ=〔0x ≠〕.【注】上面两类关系式是我们进行极坐标与直角坐标互化的重要关系式. 解题时，大家要根据题意灵活选用.4.几个简单曲线的极坐标方程〔1〕圆的极坐标方程：圆心在(,0)C a 〔0a >〕，半径为a 的圆的极坐标方程为2cos a ρθ=；〔2〕直线的极坐标方程：经过极点，从极轴到直线的角是4π的直线l 的极坐标方程为4πθ=和54πθ=.5.柱坐标系与球坐标系 〔1〕柱坐标系如下图，建立空间直角坐标系Oxyz ，设点P 是空间中任意一点，它在Oxy 平面上的射影为点Q ，用(,)ρθ〔0ρ≥，02θπ≤<〕表示点Q 在Oxy 平面上的极坐标，这时点P 的位置可用有序数组(,,)z ρθ〔z R ∈〕表示. 我们把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系；相应地，把有序数组(,,)z ρθ叫做点P 的柱坐标，记作(,,)P z ρθ，其中0ρ≥，02θπ≤<，z R ∈.【注】直角坐标与柱坐标互化的变换公式： 〔2〕球坐标系如下图，建立空间直角坐标系Oxyz ，设点P 是空间中任意一点，连结OP ，记OPr =，OP 与Oz 轴正向所夹的角为ϕ，设点P 在Oxy 平面上的射影为点Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的正角为θ，这样点P 的位置就可以用有序数组(,,)r ϕθ表示. 我们把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系〔或空间极坐标系〕；相应地，把有序数组(,,)r ϕθ叫做点P 的球坐标，记作(,,)P r ϕθ，其中0r ≥，0ϕπ≤≤，02θπ≤<.【注】直角坐标与球坐标互化的变换公式：cos cos cos sin sin x r y r z r θϕθϕθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩二、参数方程1.参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点(,)P x y 都在这条曲线上，那么我们就把方程组①叫做这条曲线的参数方程，而把联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数.2.参数方程与普通方程之间的互化曲线的参数方程与普通方程是曲线方程的两种不同形式. 一般地，可以通过消去参数，由参数方程得到普通方程；反之，如果变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如()x f t =，那么我们可以通过把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系()y g t =，由此得到的方程组()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是该曲线的参数方程.【注】在解决参数方程与普通方程互化的问题时，必须要使x ，y 的取值范围保持一致.3.几个简单曲线的参数方程〔1〕圆的参数方程：圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩〔θ为参数〕；〔2〕椭圆的参数方程：中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆的参数方程为cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩〔ϕ为参数〕；〔3〕双曲线的参数方程：中心在原点O ，焦点在x 轴上的双曲线的参数方程为sec tan x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩〔ϕ为参数〕，这里，sec ϕ是ϕ的正割函数，并且1sec cos ϕϕ=； 〔4〕抛物线的参数方程：以原点O 为顶点，以x 轴为对称轴，开口向右的抛物线22y px =〔0p >〕〔不包括原点〕的参数方程为22tan 2tan p x p y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩〔α为参数〕；〔5〕直线的参数方程：过点000(,)M x y ，倾斜角为α〔2πα≠〕的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩〔t 为参数〕；〔6〕渐开线的参数方程：(cos sin )(sin cos )x r y r ϕϕϕϕϕϕ=+⎧⎨=-⎩〔ϕ为参数〕；〔7〕摆线的参数方程：(sin )(1cos )x r y r ϕϕϕ=-⎧⎨=-⎩〔ϕ为参数〕.。
第1讲坐标系与参数方程
第1讲坐标系与参数方程坐标系与参数方程是数学中非常重要的概念和工具。
通过引入坐标系，可以将问题转化为几何问题，从而更好地理解和解决。
参数方程则是一种常用的描述曲线和图形的方法，常用于解决参数方程的问题。
下面将详细介绍坐标系与参数方程的基本概念和应用。
坐标系是用来确定点在平面或空间中位置的系统。
平面坐标系一般由两个相互垂直的坐标轴构成，分别称为x轴和y轴。
而空间坐标系则由三个相互垂直的坐标轴构成，分别称为x轴、y轴和z轴。
通过在坐标轴上取不同的单位长度，可以确定点在坐标系中的坐标。
例如，在平面坐标系中，点的坐标表示为(x,y)，其中x表示点在x轴上的投影长度，y表示点在y轴上的投影长度。
通过坐标系，可以用一组数字非常直观地表示点的位置，从而进行问题的分析和求解。
在实际应用中，常用的坐标系还包括极坐标、球坐标、柱坐标等，每种坐标系都有自己的特点和应用场景。
参数方程是描述曲线和图形的一种方法。
通常情况下，曲线可以通过给定一个参数t来表达，即x和y的值与参数t有关。
常见的参数方程有x=f(t)，y=g(t)。
通过给定参数t的取值范围，可以确定曲线的形状和范围。
参数方程的优点是能够描述一些常规曲线无法表示的图形，例如椭圆、双曲线等。
此外，参数方程还能够便于研究曲线在不同区间上的性质和变化规律。
在实际应用中，参数方程被广泛用于计算机图形学、机器人轨迹规划、物理运动等领域。
在应用参数方程时，常常需要从参数方程求解出普通方程，以便进行计算和分析。
求解参数方程的方法有多种，常见的方法是消元法和代换法。
通常通过消除参数t，可以得到普通方程，然后根据普通方程进行问题的求解和分析。
坐标系与参数方程是解决几何问题的重要工具。
通过建立坐标系，可以将几何问题转化为代数问题，从而更好地理解和解决问题。
参数方程则是一种常用的描述曲线和图形的方法，可以方便地研究曲线的性质和解决各种实际问题。
在学习和应用中，需要熟练掌握坐标系的概念、特点和应用方法，以及参数方程的建立、求解和应用技巧，从而能够熟练地应用于相关问题的求解和分析。
极坐标系和参数方程
极坐标系和参数方程一、引言极坐标系和参数方程是数学中常用的两种描述曲线的方法。
它们可以有效地描述一些复杂的曲线形状，且在物理、工程等领域具有广泛应用。
本文将介绍极坐标系和参数方程的基本概念、特点及其应用。
二、极坐标系1. 定义极坐标系是一种二维坐标系，其中每一个点的位置由极径和极角确定。
极径表示点到原点的距离，极角表示点与正半轴的夹角。
2. 笛卡尔坐标系和极坐标系的转换在平面直角坐标系中，任意一个点的坐标可以用(x, y)表示。
而在极坐标系中，同一个点的坐标可以表示为(r, θ)。
通过以下公式可以实现两者之间的转换：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)其中，(r, θ)表示极坐标系中的坐标，(x, y)表示笛卡尔坐标系中的坐标。
3. 极坐标方程极坐标方程是使用极坐标系来表示曲线的方程。
一般形式为r = f(θ)，其中f(θ) 是一个关于θ 的函数。
不同的f(θ) 函数可以描述不同的曲线形状。
4. 极坐标系的特点极坐标系的一个显著特点是可以简洁地描述一些复杂的曲线形状，例如圆形、椭圆形、螺旋线等。
另外，在描述某些问题时，也更适合使用极坐标系，例如天文学中的天体运动等。
三、参数方程1. 定义参数方程也是一种描述曲线的方法，它将曲线上的每一个点的坐标都表示为一个参数的函数。
常用的参数通常用 t 表示。
2. 参数方程的表示方式设曲线上任一点的坐标为(x, y)，则可以表示为参数方程：x = f(t)y = g(t)其中，f(t) 和 g(t) 是关于参数 t 的函数。
3. 参数方程的特点参数方程能够描述出复杂的曲线形状，且灵活性较高。
通过调整参数的取值范围，可以控制曲线在某个特定区间内的形状、长度等特征。
四、极坐标系和参数方程的应用1. 物理学中的应用极坐标系和参数方程在物理学中有广泛的应用。
例如，在描述天体运动时，使用极坐标系可以更简洁地表示天体的运动轨迹。
在力学中，经常使用参数方程来描述曲线运动的轨迹。
坐标系和参数方程
03 参数方程与直角坐标系的 关系
参数方程转化为直角坐标系
01
参数方程中的x和y可以表示为t的 函数，通过消去参数t，可以得到 对应的直角坐标系方程。
02
例如，参数方程x=t，y=t^2可以 转化为直角坐标系方程y=x^2。
直角坐标系转化为参数方程
对于任意一个直角坐标系中的点P(x,y)， 可以通过引入参数t，得到对应的参数 方程。
化的轨迹。
参数方程中的参数t可以 表示曲线上点的位置、 方向、速度或加速度等
几何量。
参数方程的应用场景
在物理学中，参数方程常用于描述物体的运动轨 迹，例如行星的运动轨迹、摆线的轨迹等。
在工程学中，参数方程常用于描述机器零件的轮 廓线、电路板上的线路等。
在数学中，参数方程常用于解决几何、代数和微 积分等问题，例如求曲线的长度、面积等。
例如，点P(x,y)的参数方程可以表示为 x=t，y=t^2。
参数方程与直角坐标系的优缺点比较
01
参数方程的优点在于能够清晰地表示点的运动轨迹，适用于描 述具有特定规律的曲线。
02
直角坐标系的优点在于能够方便地进行几何运算和解析几何分
析，适用于解决代数问题。
参数方程和直角坐标系各有其适用场景，在解决实际问题时，
02
参数方程的一般形式为：x=f(t), y=g(t)，其中t为参数。
03
参数方程中的参数t可以看作是描述曲线上的点在某
一方向上的变化量。
参数方程的几何意义
01
02
03
在平面直角坐标系中， 参数方程表示一条曲线 ，其中x和y是参数t的函
数。
当参数t变化时，曲线上 的点会沿着曲线的轨迹 移动，形成一条连续变
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
坐标系与参数方程31793暑假作业---坐标系与参数方程试题一、选择题1．若直线的参数方程为«Skip Record If...»，则直线的斜率为（）A．«Skip Record If...» B．«Skip Record If...»C．«Skip Record If...» D．«Skip Record If...»2．下列在曲线«Skip Record If...»上的点是（）A．«Skip Record If...» B．«Skip Record If...» C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»3．将参数方程«Skip Record If...»化为普通方程为（）A．«Skip Record If...» B．«Skip Record If...» C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»4．化极坐标方程«Skip Record If...»为直角坐标方程为（）A．«Skip Record If...» B．«Skip Record If...» C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»5．点«Skip Record If...»的直角坐标是«Skip Record If...»，则点«Skip Record If...»的极坐标为（）A．«Skip Record If...» B．«Skip Record If...» C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»6．极坐标方程«Skip Record If...»表示的曲线为（）A．一条射线和一个圆 B．两条直线 C．一条直线和一个圆 D．一个圆7．参数方程为«Skip Record If...»表示的曲线是（）A．一条直线 B．两条直线 C．一条射线 D．两条射线8.直线«Skip Record If...»和圆«Skip Record If...»交于«Skip Record If...»两点，则«Skip Record If...»的中点坐标为（）A．«Skip Record If...» B．«Skip Record If...» C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»9．圆«Skip Record If...»的圆心坐标是（）A．«Skip Record If...» B．«Skip Record If...» C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»10．与参数方程为«Skip Record If...»等价的普通方程为（）A．«Skip Record If...» B．«Skip Record If...»C．«Skip Record If...» D．«Skip Record If...»11．直线«Skip Record If...»被圆«Skip Record If...»截得的弦长为（）A．«Skip Record If...» B．«Skip Record If...»C．«Skip Record If...» D．«Skip Record If...»12．在极坐标系中与圆«Skip Record If...»相切的一条直线的方程为（）A．«Skip Record If...» B．«Skip Record If...»C．«Skip Record If...» D．«Skip Record If...»二、填空题13．圆的参数方程为«Skip Record If...»，则此圆的半径为_______________。
14．极坐标方程分别为«Skip Record If...»与«Skip Record If...»的两个圆的圆心距为_____________。
15．直线«Skip Record If...»过定点_____________。
16.直线«Skip Record If...»被圆«Skip Record If...»截得的弦长为______________。
三、解答题17．参数方程«Skip Record If...»表示什么曲线？18．点«Skip Record If...»在椭圆«Skip Record If...»上，求点«Skip Record If...»到直线«Skip Record If...»的最大距离和最小距离。
19．已知直线«Skip Record If...»经过点«Skip Record If...»,倾斜角«Skip Record If...»，（1）写出直线«Skip Record If...»的参数方程。
（2）设«Skip Record If...»与圆«Skip Record If...»相交与两点«Skip Record If...»，求点«Skip Record If...»到«Skip Record If...»两点的距离之积。
20．分别在下列两种情况下，把参数方程«Skip Record If...»化为普通方程：（1）«Skip Record If...»为参数，«Skip Record If...»为常数；（2）«Skip Record If...»为参数，«Skip Record If...»为常数；21．过点«Skip Record If...»作倾斜角为«Skip Record If...»的直线与曲线«Skip Record If...»交于点«Skip Record If...»，求«Skip Record If...»的值及相应的«Skip Record If...»的值。
22．已知点«Skip Record If...»是圆«Skip Record If...»上的动点，（1）求«Skip Record If...»的取值范围；（2）若«Skip Record If...»恒成立，求实数«Skip Record If...»的取值范围。
坐标系与参数方程参考答案1．D «Skip Record If...»2．B 转化为普通方程：«Skip Record If...»，当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»3．C 转化为普通方程：«Skip Record If...»，但是«Skip Record If...»4．C «Skip Record If...»5．C «Skip Record If...»都是极坐标6．C «Skip Record If...»则«Skip Record If...»或«Skip Record If...»7．D «Skip Record If...»表示一条平行于«Skip Record If...»轴的直线，而«Skip Record If...»，所以表示两条射线8．D «Skip Record If...»，得«Skip Record If...»，«Skip Record If...»中点为«Skip Record If...»9．A 圆心为«Skip Record If...»10．D «Skip Record If...»11．B «Skip Record If...»，把直线«Skip Record If...»代入«Skip Record If...»得«Skip Record If...»«Skip Record If...»，弦长为«Skip Record If...»12．A «Skip Record If...»的普通方程为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»的普通方程为«Skip Record If...»圆«Skip Record If...»与直线«Skip Record If...»显然相切13．«Skip Record If...»由«Skip Record If...»得«Skip Record If...»14．«Skip Record If...»圆心分别为«Skip Record If...»和«Skip Record If...»15．«Skip Record If...» «Skip Record If...»，«Skip Record If...»对于任何«Skip Record If...»都成立，则«Skip Record If...»16．«Skip Record If...»直线为«Skip Record If...»，圆心到直线的距离«Skip Record If...»，弦长的一半为«Skip Record If...»，得弦长为«SkipRecord If...»三、解答题17．解：显然«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»«Skip Record If...»即«Skip Record If...»得«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»18．解：设«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»即«Skip Record If...»，当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»；当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»。