含参数的一元二次不等式的解法以及含参不等式恒成立问题专题
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含参数的一元二次不等式的解法
解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种：
一、按2
x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122
>+++x a ax
分析：本题二次项系数含有参数，()04422
2
>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项
系数进行分类讨论。
解：∵()04422
2
>+=-+=∆a a a
解得方程 ()0122
=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=a
a a x 24
222++--=
∴当0>a 时,解集为⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或
当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭
⎬⎫⎩⎨⎧>
21|x x 当0 ⎪ ⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22 例2 解不等式()00652 ≠>+-a a ax ax 分析 因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。 解 ()()032)65(2 >--=+-x x a x x a Θ ∴当0>a 时，解集为{}32|> 二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆； 例3 解不等式042 >++ax x 分析 本题中由于2 x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。 解：∵162 -=∆a ∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ； 当4±=a 即Δ＝0时，解集为⎭ ⎬⎫ ⎩⎨⎧≠ ∈2a x R x x 且； 当4>a 或4-∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，2 16 22---=a a x ，显然 21x x >, ∴不等式的解集为⎪⎭ ⎪ ⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或 例4 解不等式() ()R m x x m ∈≥+-+01412 2 解 因,012>+m ( )( )2 2 2 3414)4(m m -=+--=∆ 所以当3±=m ，即0=∆时，解集为⎭ ⎬⎫⎩⎨⎧ = 21|x x ； 当33<<-m ，即0>∆时，解集为⎪⎭ ⎪ ⎬⎫⎪⎩ ⎪ ⎨⎧+--+-+>132132222 2m m x m m x x 〈或； 当33> - 三、按方程02 =++c bx ax 的根21,x x 的大小来分类，即212121,,x x x x x x <=<； 例5 解不等式)0( 01)1 (2 ≠<++ -a x a a x 分析：此不等式可以分解为：()0)1 (<--a x a x ，故对应的方程必有两解。本题 只需讨论两根的大小即可。 解：原不等式可化为：()0)1(<--a x a x ，令a a 1 =，可得：1±=a ∴当1- ，故原不等式的解集为⎭ ⎬⎫ ⎩ ⎨⎧ < a 1 = ,可得其解集为φ； 当01<<-a 或1>a 时, a a 1> ,解集为⎭ ⎬⎫⎩⎨⎧< 2 >+-a ax x ，0≠a 分析 此不等式()02452 22 >=--=∆a a a ，又不等式可分解为()0)3(2>--a x a x ，故 只需比较两根a 2与a 3的大小. 解 原不等式可化为：()0)3(2>--a x a x ，对应方程()0)3(2=--a x a x 的两根为