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6函数的单调性基础练习

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高中数学专题练习《函数的单调性》含详细解析

高中数学专题练习《函数的单调性》含详细解析

5.3　导数在研究函数中的应用5.3.1　函数的单调性基础过关练题组一　利用导数研究函数的图象变化1.如图所示的是导函数y=f'(x)的图象,那么函数y=f(x)的单调递减区间是( )A.(x1,x3)B.(x2,x4)C.(x4,x6)D.(x5,x6)2.设函数f(x)的图象如图所示,则导函数f'(x)的图象可能为( )3.若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象可能是( )4.已知f(x)满足f(4)=f(-2)=1,f'(x)为其导函数,且导函数y=f'(x)的图象如图所示,则f(x)<1的解集是 .题组二　利用导数确定函数的单调性与单调区间5.函数f(x)=x+ln x( )A.在(0,6)上是增函数B.在(0,6)上是减函数C.在0,,,6上是增函数D.在0,,,6上是减函数6.下列函数中,在(0,+∞)内为增函数的是( )A.y=sin xB.y=xe xC.y=x3-xD.y=ln x-x+3ln x的单调递增区7.(2020河南开封五县高二上期末联考)函数y=1x间为( )A.(0,1)B.0,C.(1,+∞),+∞8.(2020广西来宾高二下期末)函数f(x)=x2ln x的单调递减区间为( )A.(0,e),+∞C.(e,+∞)D.0,9.求下列函数的单调区间.(1)f(x)=3x2-2ln x;(2)f(x)=x2·e-x;.(3)f(x)=x+1x10.(2020天津部分区高二上期末)已知函数f(x)=x3-ax2+b(a,b∈R).(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+y-1=0,求a,b的值;(2)若a>0,求f(x)的单调区间.11.(2020浙江金华江南中学月考)已知函数f(x)=ax2+2x-4ln x的导函数3f'(x)的一个零点为x=1.(1)求a的值;(2)求函数f(x)的单调区间.题组三　利用导数解决含参函数的单调性问题12.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在R上是单调函数,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,-3]∪[3,+∞)B.[-3,3]C.(-∞,-3)∪(3,+∞)D.(-3,3)13.若函数f(x)=ax3+3x2+x+b(a>0,b∈R)恰好有三个不同的单调区间,则实数a的取值范围是( )A.(0,3)∪(3,+∞)B.[3,+∞)C.(0,3]D.(0,3)14.若函数y=x2-2bx+6在(2,8)内是增函数,则实数b的取值范围是 .x2+bln(x+2)在(-1,+∞)上是减函数,则b的取值范围15.若f(x)=-12是 .16.试求函数f(x)=kx-ln x的单调区间.17.已知函数f(x)=x3+ax2+(2a-3)x-1.(1)若f(x)的单调递减区间为(-1,1),求实数a的值;(2)若f(x)在区间(-1,1)内单调递减,求实数a的取值范围.能力提升练题组一　利用导数研究函数的图象变化1.(2020浙江杭州六校高二下期中,)若函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是( )2.(2020河北冀州中学高三上期末,)在R上可导的函数f(x)的图象如图所示,则关于x的不等式xf'(x)<0的解集为( )A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-2,-1)∪(1,2)D.(-∞,-2)∪(2,+∞)3.(2020浙江绍兴高三上期末,)函数f(x)=x2+x的大致图象是( )e x4.()已知函数f(x)与f'(x)的图象如图所示,则函数g(x)=f(x)的单调递e x减区间为 .题组二　利用导数研究函数的单调性及其应用5.(2020福建三明高二上期末质量检测,)若x,y∈-π,且xsin2x-ysin y>0,则下列不等式一定成立的是( )A.x<yB.x>yC.|x|<|y|D.|x|>|y|6.(2019山东聊城一中高三上期中,)函数f(x)=sin 为f(x)的导函数,令a=1,b=log32,则下列关系正确的是( )2A.f(a)<f(b)B.f(a)>f(b)C.f(a)=f(b)D.f(a)≤f(b)7.(2020湖南长沙长郡中学高二上期末,)函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f'(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为(深度解析) A.(-1,1) B.(-1,+∞)C.(-∞,-1)D.(-∞,+∞)8.(多选)()若函数g(x)=e x f(x)(e=2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中具有M性质的为( )A.f(x)=2-xB.f(x)=3-xC.f(x)=x3D.f(x)=x2+29.(多选)()素数分布问题是研究素数性质的重要课题,德国数学家高斯提出了一个猜想:π(x)≈xln x,其中π(x)表示不大于x的素数的个数,即随着x的增大,π(x)的值近似接近xln x的值.从猜想出发,下列推断正确的是( )A.当x很大时,随着x的增大,π(x)的增长速度变慢B.当x很大时,随着x的增大,π(x)减小C.当x很大时,在区间(x,x+n)(n是一个较大常数)内,素数的个数随x的增大而减少D.因为π(4)=2,所以π(4)>4ln410.(2020江西上饶高二中、高三上第三次段考,)已知函数f(x)=x+sinx,若正实数a,b满足f(4a)+f(b-9)=0,则1a +1b的最小值为 .11.()已知函数f(x)=ln x-ax+1―ax-1(a∈R).(1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)当a≤12时,讨论f(x)的单调性.12.(2020河南濮阳高二上期末,)已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R). (1)求函数f(x)的单调区间;(2)若a>0,求不等式-x>0的解集.题组三　利用导数解决含参函数的单调性问题13.(2020河南新乡高二上期末,)已知函数f(x)=e x(a-cos x)在R上单调递增,则a的取值范围为( )A.[1,+∞)B.(-∞,-2]C.[2,+∞)D.(-∞,-1]14.(2020河北保定高二上期末,)已知函数f(x)=x2-9ln x+3x在其定义域内的子区间(m-1,m+1)上不单调,则实数m的取值范围是( ), B.1,1, D.1,x2(a>0),若对任意15.(2020山西吕梁高二上期末,)已知f(x)=aln x+12>2成立,则a的取值范围是(深两个不等的正实数x1,x2,都有f(x1)-f(x2)x1-x2度解析)A.(0,1]B.(1,+∞)C.(0,1)D.[1,+∞)16.(2019河北张家口高三上期末,)函数f(x)=sin x-aln x在0,调递增,则实数a的取值范围是 .深度解析17.()已知函数f(x)=ax2+ln(x+1).(1)当a=-1时,求函数f(x)的单调区间;4(2)若函数f(x)在区间[1,+∞)上是减函数,求实数a的取值范围.18.(2020辽宁省实验中学高三上期末,)已知a∈R,函数f(x)=e x+ax2.(1)已知f'(x)是函数f(x)的导函数,记g(x)=f'(x),若g(x)在区间(-∞,1]上为单调函数,求实数a的取值范围;(2)设实数a>0,求证:对任意实数x1,x2(x1≠x2),总有f(x1)+f(x2)成立.附:简单复合函数求导法则为[f(ax+b)]'=af'(ax+b).2答案全解全析基础过关练1.B 函数的单调递减区间就是使其导函数的值小于零的区间.故选B.2.C ∵f(x)在(-∞,1),(4,+∞)上为减函数,在(1,4)上为增函数,∴当x<1或x>4时,f'(x)<0;当1<x<4时,f'(x)>0.故选C.3.A 因为y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,所以函数f(x)图象上的点的切线斜率是递增的.故选A.4.答案　(-2,4)解析　由f(x)的导函数f'(x)的图象知,f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.当x ≤0时,由f(x)<1=f(-2),得-2<x ≤0;当x>0时,由f(x)<1=f(4),得0<x<4.综上所述,f(x)<1的解集为(-2,4).5.A f'(x)=1+1x =x +1x(x>0),当0<x<6时,f'(x)>0,∴f(x)在(0,6)上是增函数.6.B A 中,y'=cos x,在(0,+∞)内不恒大于0,故A 不满足题意;B 中,y'=e x +xe x =e x (1+x),当x ∈(0,+∞)时,y'>0,故B 满足题意;C中,y'=3x 2-1,在(0,+∞)内不恒大于0,故C 不满足题意;D中,y'=1x-1=1―xx,在(0,+∞)内不恒大于0,故D 不满足题意.故选B.7.D 易知函数y=1x +3ln x 的定义域为(0,+∞),y'=-1x 2+3x =3x -1x 2,令y'=3x -1x 2>0,解得x>13.故选D.8.D 由题意得,函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2x ·ln x+x 2·1x=2xln x+x=x(2ln x+1).令f'(x)<0,得2ln x+1<0,解得0<x<e e,故函数f(x)=x 2ln x 的单调递减区间为0,9.解析　(1)易知函数的定义域为(0,+∞).f'(x)=6x-2,令f'(x)=0,解得x 1=3,x 2=-3(舍去),用x 1分割定义域,得下表:∴函数f(x)的单调递减区间为0,,+∞.(2)易知函数的定义域为(-∞,+∞).f'(x)=(x 2)'e -x +x 2(e -x )'=2xe -x -x 2e -x =e -x ·(2x-x 2),令f'(x)=0,得x=0或x=2,当x 变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x (-∞,0)(0,2)(2,+∞)f'(x)-+-f(x)↘↗↘∴f(x)的单调递减区间为(-∞,0)和(2,+∞),单调递增区间为(0,2).(3)易知函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).f'(x)=1-1x 2,令f'(x)=0,得x=-1或x=1,当x 变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,-1)(-1,0)(0,1)(1,+∞)f'(x)+--+f(x)↗↘↘↗∴函数f(x)的单调递减区间为(-1,0)和(0,1),单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞).10.解析　(1)∵f(x)=x 3-ax 2+b(a,b ∈R),∴f'(x)=3x 2-2ax.∵函数y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+y-1=0,∴f '(1)=3-2a =―1,f (1)=1-a +b =0, 解得a =2,b =1.(2)由(1)得f'(x)=3x 2-2ax=3xx-2a 3,令f'(x)=0,得x=0或x=2a3.∵a>0,∴当f'(x)>0时,x ∈(-∞,0)∪2a3,+∞;当f'(x)<0时,x ∈0,∴f(x)的单调递增区间为,+∞,单调递减区间为0,11.解析　(1)f'(x)=2ax+2-43x ,由f'(1)=2a+23=0,得a=-13.(2)由(1)得f(x)=-13x 2+2x-43ln x,则f'(x)=-23x+2-43x =-2(x -1)(x -2)3x.令f'(x)=0,得x=1或x=2.当f'(x)>0时,1<x<2;当f'(x)<0时,0<x<1或x>2.因此f(x)的单调递增区间是(1,2),单调递减区间是(0,1),(2,+∞).12.B 由题意知,f'(x)=-3x 2+2ax-1,因为y=f(x)在R 上是单调函数,且y=f'(x)的图象开口向下,所以f'(x)≤0在R 上恒成立,故Δ=4a 2-12≤0,即-3≤a ≤3.13.D 由题意得f'(x)=3ax 2+6x+1(a>0),∵函数f(x)恰好有三个不同的单调区间,∴f'(x)有两个不同的零点,∴Δ=36-12a>0,解得0<a<3,∴实数a 的取值范围是(0,3).故选D.14.答案　(-∞,2]解析　由题意得y'=2x-2b ≥0在(2,8)内恒成立,即b ≤x 在(2,8)内恒成立,所以b ≤2.15.答案　(-∞,-1]解析　∵f(x)在(-1,+∞)上是减函数,∴f'(x)≤0在(-1,+∞)上恒成立.∵f'(x)=-x+bx +2,∴-x+bx +2≤0在(-1,+∞)上恒成立,即b ≤x(x+2)在(-1,+∞)上恒成立.令g(x)=x(x+2)=(x+1)2-1,则当x>-1时,g(x)>-1,∴b ≤-1.16.解析　易知函数f(x)=kx-ln x 的定义域为(0,+∞),f'(x)=k-1x =kx -1x.当k ≤0时,kx-1<0,∴f'(x)<0,则f(x)在(0,+∞)上单调递减.当k>0时,令f'(x)<0,得0<x<1k ;令f'(x)>0,得x>1k.∴当k>0时,f(x)的单调递减区间为0,,+∞.综上所述,当k≤0时,f(x)的单调递减区间为(0,+∞),无单调递增区间;当k>0时,f(x)的单调递减区间为0,,+∞. 17.解析　由题意得f'(x)=3x2+2ax+2a-3=(x+1)(3x+2a-3).(1)∵f(x)的单调递减区间为(-1,1),∴-1和1是方程f'(x)=0的两个根,∴3―2a3=1,∴a=0.(2)∵f(x)在区间(-1,1)内单调递减,∴f'(x)≤0在(-1,1)内恒成立.又二次函数y=f'(x)的图象开口向上,方程f'(x)=0的一根为-1,∴3―2a3≥1,∴a≤0.∴实数a的取值范围是{a|a≤0}.能力提升练1.D　设导函数y=f'(x)的图象与x轴交点的横坐标从左到右依次为x1,x2,x3,其中x1<0,x3>x2>0,故y=f(x)在(-∞,x1)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增,在(x2,x3)上单调递减,在(x3,+∞)上单调递增.故选D.2.A　由f(x)的图象得,f(x)在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,因此,当x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,f'(x)>0,当x∈(-1,1)时,f'(x)<0.则xf'(x)<0⇔x>0,f'(x)<0或x<0,f'(x)>0,解得0<x<1或x<-1,故选A.3.A 函数y=x 2+xe x 的导数为y'=-x 2+x +1e x,令y'=0,得x=1±52,当x ∈-∞,,y'<0,当x ,,y'>0,当x ,+∞时,y'<0.∴函数在-∞,,+∞上单调递减,,单调递增,排除D.当x=0时,y=0,排除B.当x=-1时,y=0,当x=-2时,y>0,排除C.故选A.4.答案　(0,1),(4,+∞)解析　g'(x)=f '(x)e x -f(x)(e x )'(e x )2=f '(x)-f(x)e x,由题中图象可知,当x ∈(0,1)时,f'(x)-f(x)<0,此时g'(x)<0;当x ∈(4,+∞)时,f'(x)-f(x)<0,此时g'(x)<0,故函数g(x)=f (x )e x的单调递减区间为(0,1),(4,+∞).5.D 构造函数f(x)=xsin x,x ∈-π2,π2,则f(x)是偶函数,且f'(x)=sinx+xcos x.当0≤x ≤π2时,f'(x)≥0,因此f(x)在0,,从而xsin x-ysiny>0⇔xsin x>ysin y ⇔f(x)>f(y)⇔f(|x|)>f(|y|)⇔|x|>|y|,故选D.6.B 由题意得,f'(x)=cosπ3+2f'解得=-12,所以f(x)=sin x-x.所以f'(x)=cos x-1≤0,所以f(x)为减函数.因为b=log32>log33=12=a,所以f(a)>f(b),故选B.7.B　令g(x)=f(x)-2x-4,则g'(x)=f'(x)-2.因为f'(x)>2,所以f'(x)-2>0,即g'(x)>0,所以g(x)=f(x)-2x-4在R上单调递增.又因为f(-1)=2,所以g(-1)=f(-1)-2=0,所以g(x)>0⇔g(x)>g(-1)⇔x>-1,所以f(x)>2x+4的解集是(-1,+∞),故选B.易错警示　构造函数解不等式是利用导数解决函数单调性问题的一个重要题型,构造函数时,要结合导数与不等式,如本题中构造函数g(x)=f(x)-2x-4,根据g'(x)=f'(x)-2和f'(x)>2得到单调性.8.AD　对于A,f(x)=2-x,则g(x)=e x f(x)=e x·2-x为R上的增函数,符合题意;对于B,f(x)=3-x,则g(x)=e x f(x)=e x·3-x为R上的减函数,不符合题意;对于C,f(x)=x3,则g(x)=e x f(x)=e x·x3,g'(x)=e x·x3+3e x·x2=e x(x3+3x2)=e x·x2(x+3),当x<-3时,g'(x)<0,当x>-3时,g'(x)>0,∴g(x)=e x f(x)在定义域R上先减后增,不符合题意;对于D,f(x)=x2+2,则g(x)=e x f(x)=e x(x2+2),g'(x)=e x(x2+2)+2xe x=e x(x2+2x+2)>0在R上恒成立,符合题意.故选AD.9.AC　设函数f(x)=xln x,x>0且x≠1,则f'(x)=ln x -1ln 2x =1ln x -1ln 2x ,x>0且x ≠1,f″(x)=2―ln xx (ln x )3,x>0且x ≠1,当x →+∞时,f″(x)<0,故当x 很大时,随着x 的增大,π(x)的增长速度变慢,故A 正确;函数f(x)=xln x 的图象如图所示:由图象可得随着x 的增大,π(x)并不减小,故B 错误;当x 很大时,在区间(x,x+n)(n 是一个较大常数)内,函数增长得慢,素数的个数随x 的增大而减少,故C正确;4ln4≈2.89>2,故D 错误.故选AC.10.答案　1解析　因为f(-x)=-x-sin x=-f(x),所以f(x)是奇函数.又f'(x)=1+cos x ≥0在R 上恒成立,∴f(x)在R 上是增函数.于是f(4a)+f(b-9)=0⇔f(4a)=f(9-b)⇔4a=9-b ⇔4a+b=9,又a>0,b>0,∴1a +1b =+(4a+b)=195+b a +4a b ≥195+2b a ·4a b=1,当且仅当b=2a=3时取等号,即1a +1b 的最小值为1.11.解析　(1)当a=-1时,f(x)=ln x+x+2x -1(x>0),f'(x)=1x +1-2x 2,f(2)=ln2+2,f'(2)=1,故所求切线方程为y=x+ln 2.(2)因为f(x)=ln x-ax+1―ax-1x>0,a ≤12,所以f'(x)=1x -a+a -1x 2=-ax 2-x +1―a x 2(x>0),令g(x)=ax 2-x+1-a=(x-1)(ax-1+a)(x>0).(i)当a=0时,g(x)=-x+1(x>0),所以当x ∈(0,1)时,g(x)>0,f'(x)<0,此时函数f(x)单调递减;当x ∈(1,+∞)时,g(x)<0,f'(x)>0,此时函数f(x)单调递增.(ii)当a ≠0时,令g(x)=0,解得x=1或x=1a -1.①若a=12,则函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;②若0<a<12,则函数f(x)在-1,+∞上单调递减,在1,1a -1上单调递增;③当a<0时,1a -1<0,若x ∈(0,1),则g(x)>0,f'(x)<0,此时函数f(x)单调递减;若x ∈(1,+∞),则g(x)<0,f'(x)>0,此时函数f(x)单调递增.综上所述,当a ≤0时,函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增;当a=12时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;当0<a<12时,函数f(x)在(0,1),-1,+∞上单调递减,在1,1a -1上单调递增.12.解析　(1)易知f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=1x -a=1―axx,①若a ≤0,则f'(x)>0恒成立,故f(x)在(0,+∞)上单调递增;②若a>0,则当0<x<1a 时,f'(x)>0,当x>1a 时,f'(x)<0,综上,当a ≤0时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞),当a>0时,f(x)的单调递增区间为0,,+∞.(2)∵f(x)的定义域为(0,+∞),>0,-x >0,>0,∴0<x<2a .设-x=ln -x -x=ln -x -2ax+2,x ∈0,则F'(x)=1x +12a -x -2a=0,∴F(x)在0,,又∴当x ∈0,,F(x)<0,当x ,,F(x)>0,∴-x >0,13.C 因为f(x)=e x (a-cos x)在R 上单调递增,所以f'(x)=e x (a-cos x+sin x)≥0恒成立,即a ≥cos x-sin x 恒成立.令g(x)=cos x-sin x,则g(x)=cos x-sin x=2cos x +即g(x)∈[-2,2],所以a ≥2.故选C.14.D 因为f(x)=x 2-9ln x+3x,所以f'(x)=2x-9x +3,令f'(x)=0,即2x-9x +3=0,解得x=32或x=-3(舍去).所以当x ∈0,,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x ,+∞时,f'(x)>0,f(x)单调递增.因为f(x)在区间(m-1,m+1)上不单调,所以m-1<32<m+1,解得12<m<52,因为(m-1,m+1)是函数f(x)定义域内的子区间,所以m-1≥0,即m ≥1,所以m 的取值范围是1,故选D.15.D 由f (x 1)-f(x 2)x 1-x 2>2,得f (x 1)-2x 1-[f(x 2)-2x 2]x 1-x 2>0,令g(x)=f(x)-2x=aln x+12x 2-2x(a>0),则g(x)为增函数,所以g'(x)=a x +x-2≥0(x>0,a>0)恒成立,即a ≥x(2-x)恒成立,又当x>0时,x(2-x)的最大值为1,所以a ≥1.方法技巧　解决不等式恒成立问题,常见的解题技巧是分离变量,这样可以避免分类讨论,如本题中将不等式a x +x-2≥0恒成立中的a 分离出来,即为a ≥x(2-x)恒成立.16.答案　(-∞,0]解析　函数f(x)=sin x-aln x 在0,π4上单调递增,即f'(x)=cos x-a x ≥0在0,,即a ≤xcos x 在0,.令g(x)=xcos x,则g'(x)=cos x-xsin x,令h(x)=cos x-x ·sin x,则h'(x)=-2sin x-xcos x<0在0,,所以g'(x)在0,,又所以g'(x)>0恒成立,所以函数g(x)在0,,可得g(x)>g(0)=0,所以a ≤0.方法技巧　利用导数解决函数的单调性问题时,经常会遇到f(x)=0(或f(x)>0)这样的方程(或不等式)不易求解的情况,可采用二次求导来解决问题,如本题中,g'(x)=cos x-xsin x=0,不易求解,令h(x)=cos x-x ·sin x,再求一次导数h'(x)=-2sin x-xcos x,即二次求导.17.解析　(1)当a=-14时,f(x)=-14x 2+ln(x+1)(x>-1),则f'(x)=-12x+1x +1=-(x +2)(x -1)2(x +1)(x>-1).令f'(x)>0,解得-1<x<1;令f'(x)<0,解得x>1.故函数f(x)的单调递增区间是(-1,1),单调递减区间是(1,+∞).(2)因为函数f(x)在区间[1,+∞)上是减函数,所以f'(x)=2ax+1x +1≤0对任意x ∈[1,+∞)恒成立,即a ≤-12x (x +1)对任意x ∈[1,+∞)恒成立.令g(x)=-12x (x +1),x ∈[1,+∞),易求得g'(x)>0在[1,+∞)上恒成立,所以g(x)在[1,+∞)上单调递增,因此g(x)min =g(1)=-14,故a ≤-14.即实数a 的取值范围是-∞,-18.解析　(1)由已知得f'(x)=e x +2ax,则g(x)=f'(x)=e x +2ax,则g'(x)=e x +2a.①若a ≥0,则g'(x)>0,g(x)在区间(-∞,1]上单调递增,符合题意;②若a<0,令g'(x)=0,解得x=ln(-2a),∵g'(x)是单调递增函数,∴要使g(x)在区间(-∞,1]上为单调函数,只需ln(-2a)≥1,解得a ≤-e 2,此时g(x)在区间(-∞,1]上为单调递减函数.由①②可得,使导函数f'(x)在区间(-∞,1]上为单调函数的a 的取值范围是-∞,-[0,+∞).(2)证明:∵x 1≠x 2,∴不妨设x 1<x 2,取x 1为自变量构造函数F(x 1-f (x 1)+f(x 2)2,则F'(x 1)=12f'-f '(x 1)2-f'(x 1),∵a>0,∴f'(x)=e x +2ax 在R 上单调递增,又x 1+x 22-x 1=x 2-x 12>0,∴1),即F'(x 1)>0.∴关于x 1的函数F(x 1)单调递增,∴F(x 1)<F(x 2)=0,∴<f (x 1)+f(x 2)2.。

高中数学《函数的单调性与奇偶性》针对练习及答案

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第二章 函数2.2.2 函数的单调性与奇偶性（针对练习）针对练习针对练习一 单调性与奇偶性的判断1．下列函数中，既是奇函数，又是R 上的增函数的是（ ） A ．cos y x x = B ．66x x y -=- C ．23y x =+ D ．1y x x =+2．下列函数中，是奇函数且在()0,∞+上为增函数的是（ ）A ．()1f x x=- B ．()f x C ．()f x x = D ．()31f x x =+3．下列函数在其定义域内既是奇函数又单调递减的是（ ） A ．sin y x =- B ．cos 2y x = C ．tan y x = D ．3y x =-4．下列函数是偶函数且在(0，+∞)是增函数的是（ ） A ．2xy =B ．2y xC ．12y x =D ．13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭5．下列函数中，是奇函数，又在定义域内为减函数的是（ ）A ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．2y x=C ．32y x =-D ．2log ()y x =-针对练习二 函数（包含复合函数）的单调区间6．若函数()f x 的图象如图所示，则其单调递减区间是（ ）A ．[]4,1--，[]1,4B ．[]1,1-C ．[]4,4-D ．[]22-,7．函数()1x f x x在（ ）A ．(,1)(1,)-∞⋃+∞上是增函数B ．(,1)(1,)-∞⋃+∞上是减函数C ．(,1)-∞和(1,)+∞上是增函数D ．(,1)-∞和(1,)+∞上是减函数8．已知函数()212f x x x =+-，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 在区间(],1-∞上是增函数B ．()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数C ．()f x 在区间(],1-∞上是减函数D ．()f x 在区间[)1,-+∞上是减函数9．函数()f x ）A ．[)2+∞，B ．12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，C ．12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， D ．(]1-∞-，10．函数12y ⎛= ⎪⎝⎭A ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦针对练习三 根据奇偶性求解析式11．设()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()21xf x =-，则当0x <时，()f x =（ ）A ．21x --B ．21x -+C ．21x ---D ．21x --+12．已知偶函数()f x ，当0x >时，()23f x x =-，则当0x <时，()f x =（ ） A ．23x -- B ．23x +C ．23x -+D ．23x -13．函数()y f x =是R 上的奇函数，当0x <时，()2f x x =-，则当0x >时，()f x =（ ） A ．2x - B ．2x -C ．2x --D ．2x14．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()f x x x =-，则当0x >时，()f x =（ ）A ．2x x -B ．2x x --C ．2x x -+D ．2x x +15．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()ln f x x =，则()f e -=（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．2-针对练习四 根据单调性与奇偶性解不等式16．设函数||()x f x e =，则使得(21)()f x f x -<成立的x 的取值范围是（ ） A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,(1,)3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭17．若函数y =f (x )在R 上单调递增，且2(1)(1)f m f m +<-+，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,0)- B ．(2,1)- C ．(0,1) D ．(,1)(0,)-∞-+∞18．已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间[0,)+∞是单调增函数，若(1)(2)f a f -<，则实数a 的取值范围是（ ）A ．13a -<<B ．1a <-或3a >C ．31a -<<D ．3a <-或1a >19．函数()y f x =在R 上为增函数，且(2)(9)f m f m >+，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()9,+∞B ．[)9,+∞C ．(),9-∞-D ．(],9-∞-20．已知函数21()ln(1)1f x x x=+-+，若实数a 满足313(log )(log )2(1)f a f a f +≤，则a 取值范围（ ） A ．[]1,3 B ．10,3⎛⎤⎥⎝⎦C ．(]0,3D ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦针对练习五 根据单调性与奇偶性比大小21．若定义在R 上偶函数()f x 在[)0,+∞上是减函数，下列各式一定成立的是（ ） A ．()()06f f < B ．()()32f f -> C ．()()13f f -> D ．()()58f f -<-22．设偶函数()f x 的定义域为R ，当(,0]x ∈-∞时，()f x 是增函数，则52f ⎛⎫⎪⎝⎭，(f ，()f π的大小关系是（ ）A．5()(2f f f π⎛⎫>> ⎪⎝⎭B．5(()2f f f π⎛⎫>> ⎪⎝⎭C．5(()2f f f π⎛⎫>> ⎪⎝⎭D．5()(2f f f π⎛⎫>> ⎪⎝⎭23．若函数()f x 是偶函数，且在区间[0,3]上单调递减，则（ ） A ．()()1(2)3f f f ->> B ．()()()312f f f >-> C ．()()()213f f f >-> D ．()()()321f f f >>-24．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的()1212,(,0]x x x x ∈-∞≠，有()()()21210x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦．则当n *∈N 时，有（ ）A ．(1)()(1)f n f n f n +<-<-B ．(1)()(1)f n f n f n -<-<+C ．()(1)(1)f n f n f n -<-<+D ．(1)(1)()f n f n f n +<-<-25．定义在R 上的偶函数()f x 在[)0+∞，上是减函数，则（ ） A ．(1)(2)(3)f f f <-< B ．(3)(2)(1)f f f <-< C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-针对练习六 根据单调性求参数26．设函数()()12f x a x b =-+R 上的增函数，则有（ ） A ．12a < B ．12a >C ．12a <-D ．12a >-27．函数221y x mx =++在[2,)+∞单调递增，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[2,)-+∞ B ．[2,)+∞ C ．(,2)-∞ D ．(,2]-∞28．若函数()()212f x a x =-+为R 上的减函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．a >1B ．a <1C ．11a -<<D ．－1≤a ≤129．已知0a >且1a ≠，函数(1)34,(0)(),(0)xa x a x f x a x -+-≤⎧=⎨>⎩满足对任意实数12x x ≠，都有2121()()0f x f x x x ->-成立，则a 的取值范围是（ ）A ．0,1B ．1,C ．51,3⎛⎤⎥⎝⎦D ．5,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭30．已知(32)4,1()log ,1aa x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩, 对任意1212,(,),x x x x ∈-∞+∞≠,都有1212()()0f x f x x x -<-，那么实数a 的取值范围是 A ．()0,1B ．2(0,)3C ．1173⎡⎫⎪⎢⎣⎭, D ．22,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭针对练习七 根据奇偶性求参数31．若函数(31)()y x x a =+-为偶函数，则a =（ ） A ．1 B ．-1 C ．13D ．232．已知f （x ）=ax 2+bx 是定义在[a -1，2a ]上的偶函数，那么a +b 的值是（ ） A ．1- B ．13C ．0D ．333．已知函数222,0()0,0,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩是奇函数．则实数m 的值是（ ）A ．0B ．2C ．4D ．-234．若()3351f x x x a =++-为奇函数，则a 的值为（ ）A ．0B ．-1C ．1D ．235．若函数()(21)()xf x x x a =+-为奇函数，则a =（ ）A ．12 B ．23C ．34D ．1第二章 函数2.2.2 函数的单调性与奇偶性（针对练习）针对练习针对练习一 单调性与奇偶性的判断1．下列函数中，既是奇函数，又是R 上的增函数的是（ ） A ．cos y x x = B ．66x x y -=- C ．23y x =+ D ．1y x x =+【答案】B 【解析】 【分析】利用函数奇偶性的定义和单调性的定义逐个分析判断 【详解】对于A ，因为()()cos()cos ()f x x x x x f x -=--=-=-，所以cos y x x =是奇函数，但不单调，所以A 错误；对于B ，因为()66(66)()x x x x f x f x ---=-=--=-，所以66x x y -=-是奇函数，因为6x y =是增函数，6x y -=是减函数，所以66x x y -=-是增函数，所以B 正确；对于C ，因为22()()33()f x x x f x -=-+=+=，所以23y x =+是偶函数，所以C 错误； 对于D ，因为()()()11f x x x x x f x f x -=--+=-+≠-≠，所以1y x x =+是非奇非偶函数，所以D 错误． 故选：B2．下列函数中，是奇函数且在()0,∞+上为增函数的是（ ） A ．()1f x x=- B ．()f x C ．()f x x = D ．()31f x x =+【答案】A 【解析】 【分析】利用函数奇偶性的定义和单调性的定义逐个分析判断即可 【详解】对于A ，定义域为{}0x x ≠，因为()()11f x f x x x-=-==--，所以函数是奇函数，任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，则2121211211()()x xf x f x x x x x --=-+=，因为12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，所以21()()0f x f x ->，即21()()f x f x >，所以()f x 在()0,∞+上为增函数，所以A 正确，对于B ，因为定义域为{}0x x ≥，所以函数()f x 为非奇非偶函数，所以B 错误， 对于C ，因为定义域为R ，因为()()f x x x f x -=-==，所以()f x 为偶函数，所以C 错误，对于D ，因为定义域为R ，因为()()3311()()f x x x f x f x -=-+=-+≠≠-，所以函数()f x 为非奇非偶函数，所以D 错误， 故选：A3．下列函数在其定义域内既是奇函数又单调递减的是（ ） A ．sin y x =- B ．cos 2y x = C ．tan y x = D ．3y x =-【答案】D 【解析】对于基本初等函数，直接判断其奇偶性和单调性. 【详解】选项A: sin y x =-为偶函数，故A 错误； 选项B: cos 2y x =为偶函数，故B 错误；选项C: tan y x =为奇函数但是在,22k k ππππ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭上单增，故C 错误；选项D: 3y x =-既是奇函数又是R 上单调递减. 故选：D4．下列函数是偶函数且在(0，是增函数的是（ ） A ．2xy =B ．2y xC ．12y x =D ．13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数、二次函数、幂函数的性质进行判断即可. 【详解】因为指数函数不具有奇偶性，所以排除A 、D ，因为幂函数12y x =的定义域为非负实数集，不关于原点对称，所以不具有奇偶性，故排除， 二次函数2yx 图象关于纵轴对称，所以该二次函数是偶函数，它又在(0，+∞)单调递增， 故选：B5．下列函数中，是奇函数，又在定义域内为减函数的是（ ）A ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．2y x=C ．32y x =-D ．2log ()y x =-【答案】C 【解析】利用奇函数的定义和减函数的定义，再结合基本函数的性质求解即可 【详解】解：对于A ，D ，由指数函数和对数函数的性质可知其为非奇非偶函数，所以A ，D 不符合题意，对于B ，由反比例函数的性质可知，其为奇函数，在(,0)-∞和(0,)+∞上为减函数，所以不符合题意，对于C ，由于33()2()2()f x x x f x -=--==-，所以3()2f x x =-为奇函数，任取12,x x R ∈，且12x x <，则120x x -<332121()()2(2)f x f x x x -=---33122()x x =- 221211222()()x x x x x x =-++222121232()[()]024x x x x x =-++< 所以21()()f x f x <，所以3()2f x x =-为R 上的减函数，所以C 符合题意， 故选：C针对练习二 函数（包含复合函数）的单调区间6．若函数()f x 的图象如图所示，则其单调递减区间是（ ）A ．[]4,1--，[]1,4B ．[]1,1-C ．[]4,4-D ．[]22-,【答案】B 【解析】 【分析】利用图象判断函数单调性的方法直接写出函数()f x 单调递减区间. 【详解】观察函数()f x 的图象，可知函数()f x 的单调递减区间为[]1,1-. 故选：B 7．函数()1x f x x在（ ）A ．(,1)(1,)-∞⋃+∞上是增函数B ．(,1)(1,)-∞⋃+∞上是减函数C ．(,1)-∞和(1,)+∞上是增函数D ．(,1)-∞和(1,)+∞上是减函数【答案】C 【解析】 【分析】分离常数，作出函数图象，观察即可得出结果. 【详解】1111()1111111x x x f x xxxxx，函数的定义域为(,1)(1,)-∞⋃+∞， 其图象如下：由图象可得函数在(,1)-∞和(1,)+∞上是增函数. 故选：C8．已知函数()212f x x x =+-，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 在区间(],1-∞上是增函数B ．()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数C ．()f x 在区间(],1-∞上是减函数D ．()f x 在区间[)1,-+∞上是减函数【答案】A 【解析】配方得二次函数的对称轴，然后判断． 【详解】2()(1)2f x x =--+，对称轴为1x =，二次项系数为10-<，因此()f x 在(,1]-∞上递增，在[1,)+∞上递减， 故选：A ．9．函数()f x ）A ．[)2+∞，B ．12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，C ．12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， D ．(]1-∞-，【答案】C 【解析】根据解析式，先求出函数的定义域；再令22t x x =-+，结合二次函数单调性，以及. 【详解】因为22172024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭显然恒成立，所以函数()f x =R ；令22t x x =-+，则22t x x =-+是开口向上的二次函数，且对称轴为12x =，所以22t x x =-+在12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，上单调递减，在12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，上单调递增； 根据复合函数单调性的判定方法可得，()f x 12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，. 故选：C. 【点睛】本题主要考查求根式型复合函数的单调区间，属于基础题型.10．函数12y ⎛= ⎪⎝⎭A ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】利用复合函数的单调性求解即可. 【详解】由题得函数的定义域为{|12}x x -≤≤，设函数u u 在1]2[-1,单调递增，在1[2]2，单调递减， 因为函数1()2uv =在定义域上单调递减，所以函数12y ⎛= ⎪⎝⎭1[2]2，单调递增. 故选D 【点睛】和分析推理能力.针对练习三 根据奇偶性求解析式11．设()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()21xf x =-，则当0x <时，()f x =（ ）A ．21x --B ．21x -+C ．21x ---D ．21x --+【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，设0x <，则0x ->，由函数的解析式可得()21x f x ---=，结合函数的奇偶性分析可得答案． 【详解】根据题意，设0x <，则0x ->， 则()21x f x ---=，又由()f x 为奇函数，则()()21x f x f x -=-=-+-， 故选：D12．已知偶函数()f x ，当0x >时，()23f x x =-，则当0x <时，()f x =（ ） A ．23x -- B ．23x +C ．23x -+D ．23x -【答案】A 【解析】设0x <，则0x ->，可得()23f x x -=--，利用偶函数的定义()()f x f x -=即可求解. 【详解】设0x <，则0x ->， 所以()23f x x -=--，又()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=， 所以()()230f x x x =--<. 故选：A.13．函数()y f x =是R 上的奇函数，当0x <时，()2f x x =-，则当0x >时，()f x =（ ） A ．2x - B ．2x -C ．2x --D ．2x【答案】C 【解析】 【分析】直接利用代入法求函数解析式. 【详解】当0x >时，0x -<，所以()()2f x x f x -=+=-，所以()2f x x =--． 故选：C ．14．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()f x x x =-，则当0x >时，()f x =（ ） A ．2x x - B ．2x x -- C ．2x x -+ D ．2x x +【答案】D 【解析】 【分析】利用奇函数的等式()()f x f x -=-求解.【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以()()f x f x -=-，x ∈R .当0x >时，0x -<，()()()()22f x f x x x x x ⎡⎤=--=----=+⎣⎦. 故选：D.15．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()ln f x x =，则()f e -=（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．2-【答案】A 【解析】根据奇函数的定义求函数值． 【详解】 ∵()f x 是奇函数，∵()()ln 1f e f e e -=-=-=-． 故选：A ．针对练习四 根据单调性与奇偶性解不等式16．设函数||()x f x e =，则使得(21)()f x f x -<成立的x 的取值范围是（ ） A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,(1,)3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A 【解析】首先判断出函数为偶函数，再判断出函数的单调性，根据单调性可得21x x -<，解绝对值不等式即可求解. 【详解】||()x f x e =，则()()xxf x ee f x --===，函数为偶函数，当0x ≥时，()x f x e =，所以函数在[)0,+∞单调递增， 所以函数在(),0-∞上单调递减， 若(21)()f x f x -<，则21x x -<，即23410x x -+<，解得113x <<，所以不等式的解集为1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：A17．若函数y =f (x )在R 上单调递增，且2(1)(1)f m f m +<-+，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,0)- B ．(2,1)- C ．(0,1) D ．(,1)(0,)-∞-+∞【答案】A 【解析】由函数y =f (x )在R 上单调递增，将2(1)(1)f m f m +<-+可化为211m m +<-+，解不等式可得答案 【详解】解：因为函数y =f (x )在R 上单调递增，且2(1)(1)f m f m +<-+， 所以211m m +<-+，解得10m -<<， 故选：A18．已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间[0,)+∞是单调增函数，若(1)(2)f a f -<，则实数a 的取值范围是（ ）A ．13a -<<B ．1a <-或3a >C ．31a -<<D ．3a <-或1a >【答案】A 【解析】由偶函数的性质将不等式(1)(2)f a f -<转化为(1)(2)f a f -<，再由其在[0,)+∞是单调增函数，可得12a -<，从而可求出a 的取值范围 【详解】解：因为()f x 是定义在实数集R 上的偶函数，且(1)(2)f a f -<， 所以(1)(2)f a f -<，因为函数()f x 在区间[0,)+∞是单调增函数， 所以12a -<，解得13a -<<， 故选：A19．函数()y f x =在R 上为增函数，且(2)(9)f m f m >+，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()9,+∞B ．[)9,+∞C ．(),9-∞-D ．(],9-∞-【答案】A 【解析】根据单调性可得29m m >+，解出即可． 【详解】解：∵()y f x =在R 上为增函数，且(2)(9)f m f m >+， ∵29m m >+，解得9m >， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查根据函数的单调性解不等式，属于基础题． 20．已知函数21()ln(1)1f x x x=+-+，若实数a 满足313(log )(log )2(1)f a f a f +≤，则a 取值范围（ ） A ．[]1,3 B ．10,3⎛⎤⎥⎝⎦C ．(]0,3D ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】首先判断()f x 的单调性和奇偶性，由此化简不等式313(log )(log )2(1)f a f a f +≤，并求得a 的取值范围. 【详解】()f x 的定义域为R ，且()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数.当0x >时，21()ln(1)1f x x x =+-+，2ln(1)y x =+和11y x=-+在()0,∞+上递增，所以()f x 在()0,∞+上递增，而()f x 是偶函数，故()f x 在(),0-∞上递减.依题意313(log )(log )2(1)f a f a f +≤，即33(log )(log )2(1)f a f a f +-≤，即332(log )2(1)(log )(1)f a f f a f ≤⇔≤，所以331log 11log 133a a a ≤⇔-≤≤⇔≤≤，所以a 的取值范围是1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：D 【点睛】本小题主要考查解函数不等式，属于基础题.针对练习五 根据单调性与奇偶性比大小21．若定义在R 上偶函数()f x 在[)0,+∞上是减函数，下列各式一定成立的是（ ） A ．()()06f f < B ．()()32f f -> C ．()()13f f -> D ．()()58f f -<-【答案】C 【解析】 【分析】由偶函数及在[)0,+∞上是减函数，知在(,0]-∞上是增函数，即可判断各项的正误. 【详解】A ：在[)0,+∞上是减函数，即()()06f f >，错误；B ：(3)(3)f f -=，()f x 在[)0,+∞上是减函数，有()()32f f <，即()()32f f -<，错误；C ：(1)(1)f f -=，()f x 在[)0,+∞上是减函数，有()()31f f <，即()()13f f ->，正确；D ：由题意，()f x 在(,0]-∞上是增函数，()()58f f ->-，错误； 故选：C22．设偶函数()f x 的定义域为R ，当(,0]x ∈-∞时，()f x 是增函数，则52f ⎛⎫⎪⎝⎭，(f ，()f π的大小关系是（ ）A ．5()(2f f f π⎛⎫>> ⎪⎝⎭B ．5(()2f f f π⎛⎫>> ⎪⎝⎭C ．5(()2f f f π⎛⎫>> ⎪⎝⎭D ．5()(2f f f π⎛⎫>> ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】根据偶函数的性质可得(f f =，由函数的单调性可得函数值的大小关系. 【详解】根据偶函数的性质可知，(f f =当[)0,x ∈+∞时，()f x 是减函数，因为5π2<，所以5()2f f f π⎛⎫>> ⎪⎝⎭故选:C. 【点睛】思路点睛：在比较函数值大小的题目中，主要根据函数的单调性进行判断.当自变量不在同一单调区间时，可以结合偶函数的性质将自变量x 转化为同一单调区间，再进行判断即可.23．若函数()f x 是偶函数，且在区间[0,3]上单调递减，则（ ） A ．()()1(2)3f f f ->> B ．()()()312f f f >-> C ．()()()213f f f >-> D ．()()()321f f f >>-【答案】A 【解析】由(1)(1)f f -=，结合单调性得出()()1(2)3f f f ->>. 【详解】因为函数()f x 是偶函数，所以(1)(1)f f -= 又()f x 在区间[0,3]上单调递减，且123<< 所以(1)(2)(3)f f f ∴>>，即()()1(2)3f f f ->> 故选：A24．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的()1212,(,0]x x x x ∈-∞≠，有()()()21210x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦．则当n *∈N 时，有（ ）A ．(1)()(1)f n f n f n +<-<-B ．(1)()(1)f n f n f n -<-<+C ．()(1)(1)f n f n f n -<-<+D ．(1)(1)()f n f n f n +<-<-【答案】A 【解析】首先判断出函数的单调性，再根据函数为偶函数即可求解. 【详解】对任意的()1212,(,0]x x x x ∈-∞≠，()()()21210x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，所以函数在(,0]-∞上为增函数，又因为函数()f x 在R 上的偶函数，所以函数在[)0,+∞上为减函数，且()()f n f n -=， 因为11n n n -<<+，所以(1)()(1)f n f n f n ->>+. 所以(1)()(1)f n f n f n ->->+. 故选：A25．定义在R 上的偶函数()f x 在[)0+∞，上是减函数，则（ ） A ．(1)(2)(3)f f f <-< B ．(3)(2)(1)f f f <-< C ．(2)(1)(3)f f f -<< D ．(3)(1)(2)f f f <<-【答案】B 【解析】由偶函数的性质将自变量转化到[)0+∞，上，再由函数在[)0+∞，上是减函数可比较大小 【详解】解：因为()f x 是定义在R 上的偶函数， 所以(2)(2)f f -=，因为()f x 在[)0+∞，上是减函数，且321>>， 所以(3)(2)(1)f f f <<，即(3)(2)(1)f f f <-<， 故选：B 【点睛】此题考查利用函数的奇偶性和单调性比较大小，属于基础题针对练习六 根据单调性求参数26．设函数()()12f x a x b =-+是R 上的增函数，则有（ ） A ．12a < B ．12a >C ．12a <-D ．12a >-【答案】A 【解析】函数()()12f x a x b =-+是R 上的增函数,则120a ->，可得答案. 【详解】函数()()12f x a x b =-+是R 上的增函数,则120a ->，即12a < 故选：A27．函数221y x mx =++在[2,)+∞单调递增，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[2,)-+∞ B ．[2,)+∞ C ．(,2)-∞ D ．(,2]-∞【答案】A 【解析】直接由抛物线的对称轴和区间端点比较大小即可. 【详解】函数221y x mx =++为开口向上的抛物线，对称轴为x m =- 函数221y x mx =++在[2,)+∞单调递增，则2m -≤，解得2m ≥-. 故选：A.28．若函数()()212f x a x =-+为R 上的减函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．a >1B ．a <1C ．11a -<<D ．－1≤a ≤1【答案】C 【解析】利用用一次函数的单调性得到210a -<，再由二次不等式的解法，即可得解. 【详解】函数()()212f x a x =-+为R 上的减函数，则210a -<， 解得11a -<<； 故选：C.29．已知0a >且1a ≠，函数(1)34,(0)(),(0)xa x a x f x a x -+-≤⎧=⎨>⎩满足对任意实数12x x ≠，都有2121()()0f x f x x x ->-成立，则a 的取值范围是（ ）A ．0,1B ．1,C ．51,3⎛⎤⎥⎝⎦D ．5,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】由2121()()0f x f x x x ->-可得函数()f x 在R 上为增函数，所以010134a a a a ⎧->⎪>⎨⎪≥-⎩，从而可求出a 的取值范围 【详解】解：因为()f x 对任意实数12x x ≠，都有2121()()0f x f x x x ->-成立，所以()f x 在R 上为增函数，所以010134a a a a ⎧->⎪>⎨⎪≥-⎩，解得513a <≤，所以a 的取值范围为51,3⎛⎤⎥⎝⎦，故选：C 30．已知(32)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩, 对任意1212,(,),x x x x ∈-∞+∞≠,都有1212()()0f x f x x x -<-，那么实数a 的取值范围是 A ．()0,1 B ．2(0,)3C ．1173⎡⎫⎪⎢⎣⎭, D ．22,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】根据题设条件可以得到()f x 为R 上的减函数，根据各自范围上为减函数以及分段点处的高低可得实数a 的取值范围. 【详解】因为任意1212,(,),x x x x ∈-∞+∞≠,都有1212()()0f x f x x x -<-，所以对任意的12x x <，总有()()12f x f x >即()f x 为R 上的减函数，所以01320720a a a <<⎧⎪-<⎨⎪-≥⎩，故2273a ≤<，故选D.【点睛】分段函数是单调函数，不仅要求各范围上的函数的单调性一致，而且要求分段点也具有相应的高低分布，我们往往容易忽视后者.针对练习七 根据奇偶性求参数31．若函数(31)()y x x a =+-为偶函数，则a =（ ）A ．1B ．-1C ．13 D ．2【答案】C【解析】【分析】若()y f x =，由奇偶性的性质有()()f x f x =-即可求参数a .【详解】若()y f x =，则()f x 23(13)x a x a =+--为偶函数，∵()()f x f x =-，即223(13)3()(13)()x a x a x a x a +--=-+---，∵2(13)0a x -=恒成立，可得13a =.故选：C32．已知f （x ）=ax 2+bx 是定义在[a -1，2a ]上的偶函数，那么a +b 的值是（ ）A ．1-B ．13 C ．0 D ．3【答案】B【解析】【分析】根据()f x 的奇偶性求得,a b ，从而求得a b +.【详解】由于()f x 是偶函数，所以0b =，且111233a a a a b -=-⇒=⇒+=.故选：B33．已知函数222,0()0,0,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩是奇函数．则实数m 的值是（ ）A ．0B ．2C ．4D ．-2【答案】B【解析】【分析】利用函数为奇函数可得()()f x f x -=-，代入即可求解.【详解】取0x >，则0x -<，因为函数为奇函数，则()()f x f x -=-，即()()()222x m x x x -+-=--+， 整理可得2mx x -=-，即2m =.故选：B34．若()3351f x x x a =++-为奇函数，则a 的值为（ ）A ．0B ．-1C ．1D ．2【答案】C【解析】【分析】 根据奇函数的性质()00f =求解即可【详解】∵()f x 为R 上的奇函数，∵()00f =得a =1.验证满足题意.故选：C35．若函数()(21)()x f x x x a =+-为奇函数，则a =（ ） A ．12B ．23C ．34D ．1 【答案】A【解析】【分析】根据奇函数性质取1和-1分别代入，函数值和为0，即可求得.【详解】 ∵()(21)()x f x x x a =+-为奇函数，∵(1)(1)0f f -+=，得12a =． 故选：A.。

函数的单调性的判断与证明练习题含答案

函数的单调性的判断与证明练习题含答案

函数的单调性的判断与证明练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 下列函数中，在其定义域上为增函数的是( ) A.y =x 4B.y =2−xC.y =x +cos xD.y =−x 122. 下列函数中，既是奇函数，又在定义域内是增函数的是( ) A.y =x 3+1 B.y =x +1xC.y =−1xD.y =x|x|3. 下列函数在(0,+∞)上是增函数的是( ) A.f (x )=−2x +1 B.f (x )=1x C.f (x )=lg (x −1) D.f (x )=x 24. 已知函数f(x)=3x −(13)x ，则f(x)( )A.是偶函数，且在R 上是增函数B.是奇函数，且在R 上是增函数C.是偶函数，且在R 上是减函数D.是奇函数，且在R 上是减函数5. 下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的为( ) A.y =2x B.y =−2x 2C.y =1xD.y =x6. 已知函数f(x)=3x −(13)x，则f(x)（ ） A.是奇函数，且在R 上是增函数 B.是偶函数，且在R 上是增函数 C.是奇函数，且在R 上是减函数 D.是偶函数，且在R 上是减函数7. 已知函数f (x )={x 2−ax,x ≥2,a x−1−2,x <2满足对于任意实数x 1≠x 2，都有f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2>0成立，那么a 的取值范围是( )A.(1,4]B.(1,+∞)C.(1,2]D.[2,4]8. 给定下列函数，其中在区间(0,1)上单调递增的函数是（ ） A.y =−12x 2B.y =|x 2−2x|C.y =(12)x+1D.y =x +1x9. 函数f (x )=e x +e −xe x −e −x 的部分图象大致是( )A. B.C. D.10. 已知函数f (x )={−x 2−4x,x ≥0,x 2−4x,x <0,若f (2−t )>f (t )，则实数t 的取值范围是( )A.(−∞,1)∪(2,+∞)B.(1,2)C.(−∞,1)D.(1,+∞)11. 已知定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的函数f (x )，且f (1)=1，函数f (x +1)的图象关于点(−1,0)中心对称，对于任意x 1,x 2∈(0,+∞)，x 1≠x 2，都有x 12019 f (x 1)−x 22019 f (x 2)x 1−x 2>0成立．则f(x)≤1x 2019的解集为( )A.[−1,1]B.(−∞,−1]∪[1,+∞)C.(−∞,−1]∪(0,1]D.(−2019,2019)12. 定义在(0,+∞)上的函数f (x )满足：①对于任意的x ，y ∈(0,+∞)，都有f (x ⋅y )=f (x )+f (y )；②当x >1时，f (x )>0；③f(√6)=1，则关于x 的不等式f (x )−f (15−x )≥2的解集是( ) A.[2，3]B.[−√2，−1]∪[0，√2]C.[√2，+∞)D.(0，2]13. 函数f(x)=|x−3|的单调递增区间是________.14. 若f(x)＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围是________.15. 已知f(x)=x2+(b−2)x是定义在R上的偶函数，则实数b=________，此函数f(x)的单调增区间为________．16. 已知函数g(x)=x3+5x，若g(2a−1)+g(a+4)<0，则实数a的取值范围为________.17. 符号[x]表示不超过x的最大整数，如[π]=3，[−1.08]=−2，定义函数{x}=x−[x]．给出下列四个命题：①函数{x}的定义域为R，值域是[0,1]；有无数个解；②方程{x}=12③函数{x}是奇函数；④函数{x}是增函数．正确命题的序号是________.18. 若函数f(x)=kx2+(k−1)x+2是偶函数，则f(x)的递减区间是________．19. 已知函数，若对任意，有恒成立，则实数的取值范围是________.20. 已知f(x)=2x.x2+1(1)判断f(x)在[−1, 1]的单调性，并用定义加以证明；(2)求函f(x)在[−1, 1]的最值.21. 已知函数f(x)=−2x+1是定义在R上的奇函数．2x+a(1)求实数a的值；(2)判断函数f(x)的单调性，并利用定义证明．22. 已知f(x)=x，x∈(−2,2).x2+4(1)用定义证明函数f(x)在(−2,2)上为增函数；(3)若f(a+2)>f(2a−1)，求实数a的取值范围．+m(m∈R)是奇函数．23. 已知函数f(x)=12x+1(1)求实数m的值；(2)判断f(x)的单调性（不用证明）；(3)求不等式f(x2−x)+f(−2)<0的解集．24. 已知a>0，函数f(x)=1．1+a⋅3x(1)判断函数f(x)在R上的单调性，并证明；(2)设g(x)=f(x)f(−x)，若对任意x∈[−1,1]，g(x)≥f(2)恒成立，求a的取值范围．参考答案与试题解析函数的单调性的判断与证明练习题含答案一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 3 分 ，共计36分 ） 1.【答案】 C【考点】函数单调性的判断与证明 利用导数研究函数的单调性【解析】利用常见的幂函数，指数函数分析选项ABD 中函数的单调性，利用导数研究C 中函数的单调性即可得到答案. 【解答】解：A ，函数y =x 4在(0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递减，不满足题意； B ，y =2−x=(12)x在定义域内单调递减，不满足题意；C ，∵ 函数y =x +cos x 的定义域为R ，且y ′=1−sin x ≥0， ∴ 函数y =x +cos x 在其定义域上单调递增，满足题意；D ，y =−x 12在定义域内单调递减，不符合题意. 故选C . 2. 【答案】 D【考点】函数单调性的判断与证明 函数奇偶性的判断【解析】利用函数奇偶性，单调性，逐项判定得解. 【解答】解：对于A ，设f (x )=x 3+1，f(−x)=−x 3+1≠−f (x )，不是奇函数，故不符合题意；对于B ，由题设知函数为奇函数，在(−1,0)，(0,1)单调递减，在(−∞,−1)，(1,+∞)单调递增，故不符合题意；对于C ，函数为奇函数，在(−∞,0)，(0,+∞)分别单调递增，故不符合题意； 对于D ，y =x |x |={x 2,x ≥0,−x 2,x <0,可得函数为奇函数，且在定义域单调递增，故符合题意. 故选D . 3.【答案】 D【考点】函数单调性的判断与证明【解析】对于A:f (x )=−2x +1在定义域上单调递减，不符合题意； 对于B:f (x )=1x 函数在(−∞,0)，(0,+∞)上单调递减，不符合题意；对于C:f (x )=lg (x −1)，定义域为(1,+∞)，不符合题意；对于D:f (x )=x 2，函数在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，满足条件． 故选：D . 【解答】解：对于A ，f (x )=−2x +1在定义域上单调递减，不符合题意； 对于B ，f (x )=1x 函数在(−∞,0)，(0,+∞)上单调递减，不符合题意；对于C ，f (x )=lg (x −1)，定义域为(1,+∞)，不符合题意；对于D ，f (x )=x 2，函数在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，满足条件． 故选D . 4.【答案】 B【考点】函数单调性的判断与证明 函数奇偶性的判断【解析】本题主要考查函数的奇偶性和单调性. 【解答】解：易知函数f(x)的定义域为R ， f(−x)=(13)x−3x =−f(x)，所以为奇函数.因为y =(13)x 在R 上是减函数， 所以y =−(13)x 在R 上是增函数，又y =3x 在R 上是增函数，所以函数f(x)=3x−(13)x在R 上是增函数. 故选B . 5.【答案】 D【考点】函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明【解析】根据奇偶性及单调性，首先判断奇偶性，再判断单调性即可. 【解答】解：对于A ，函数y =2x 为非奇非偶函数，故A 不满足题意； 对于B ，函数y =−2x 2为偶函数，故B 不满足题意；对于C ，函数y =1x 为奇函数，在(−∞,0)，(0,+∞)上为减函数，故C 不满足题意；对于D ，函数y =x 为奇函数，且在R 上是增函数，故D 满足题意. 故选D . 6. 【答案】 A【考点】函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：因为f(x)=3x−(13)x，且定义域为R ，所以f(−x)=3−x −(13)−x =(13)x −3x =−[3x −(13)x]=−f(x)，即函数f(x)是奇函数．又y =3x 在R 上是增函数，y =(13)x在R 上是减函数，所以f(x)=3x−(13)x在R 上是增函数．故选A ． 7. 【答案】 C【考点】函数单调性的判断与证明 分段函数的应用 【解析】由已知可得函数f (x )是定义在R 上的增函数，则{a2≤2,a >1,4−2a ≥a −2,解得a 的取值范围．【解答】解：∵ 对于任意实数x 1≠x 2，都有f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2>0成立，故函数f (x )是定义在R 上的增函数， 则{a 2≤2,a >1,4−2a ≥a −2,解得a ∈(1,2].故选C ． 8.【答案】 B【考点】函数单调性的判断与证明 【解析】此题暂无解析 【解答】解：对于A ，y =−12x 2为二次函数，其图像的开口向下，对称轴是直线x =0， 所以y =−12x 2在区间(0,1)上单调递减；对于B ，当x ∈(0,1)时，y =|x 2−2x|=−x 2+2x ，因为抛物线y =−x 2+2x 的对称轴是直线x =1，且开口向下，所以函数y =|x 2−2x|在区间(0,1)上单调递增； 对于C ，y =(12)x+1=12⋅(12)x，因为0<12<1，所以函数y =(12)x+1在区间(0,1)上单调递减；对于D ，y =x +1x ≥2，当且仅当x =1时等号成立，所以由对勾函数的性质知函数y =x +1x 在区间(0,1)上单调递减． 故选B ． 9.【答案】 A【考点】函数奇偶性的判断 函数图象的作法 函数单调性的判断与证明【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由已知函数的定义域为{x|x ≠0}，定义域关于原点对称， 由于f (x )+f (−x )=e x +e −xe x −e −x +e −x +e xe −x −e x =e x +e −x −e −x −e −xe x −e −x=0，即f (−x )=−f (x )，所以y =e x +e −xe x −e −x 是奇函数，排除选项B ； 因为y =e x +e −x e x −e −x=1+2(e x )2−1=1+2(e 2)x −1在(0,+∞)上为减函数，排除选项D ；当x =1时，f (1)=1+2e 2−1>0，排除选项C ．故选A ．10.【答案】 D【考点】函数单调性的判断与证明 函数单调性的性质【解析】 【解答】解：根据题意知，函数f (x )={−x 2−4x,x ≥0,x 2−4x,x <0,当x ≥0时，f (x )=−x 2−4x =−(x +2)2+4，则函数f (x )在[0,+∞)上单调递减，有f (x )≤f (0)=0. 当x <0时，f (x )=x 2−4x =(x −2)2−4，则函数f (x )在(−∞,0)上单调递减，有f (x )>f (0)=0. 综上可得函数f (x )在R 上为减函数. 若f (2−t )>f (t )，则2−t <t ，解得t >1，即实数t 的取值范围为(1,+∞)． 故选D . 11.【答案】 C【考点】函数单调性的性质 函数奇偶性的判断 函数奇偶性的性质 函数单调性的判断与证明【解析】首先确定函数f (x )的奇偶性，再构造新函数g(x)=x 2019f(x)，并确定奇偶性及单调性，即可解出不等式. 【解答】解：由于f(x +1)的图象关于点(−1,0)中心对称， 则f (x )的图象关于点(0,0)中心对称， 即函数f (x )在定义域上为奇函数， 令g (x )=x 2019f (x )，则g (−x )=(−x )2019f (−x )=x 2019f (x )=g (x )， 所以g (x )为偶函数，又x 1,x 2∈(0,+∞)，x 1≠x 2， 都有x 12019f (x 1)−x 22019f (x 2)x 1−x 2>0，即可得函数g (x )在(0,+∞)为增函数， 由奇偶性与单调性的关系可得： 函数g (x )在(−∞,0)为增函数， 又g (1)=12019×f (1)=1，g (−1)=(−1)2019×f (−1)=−1×[−f (1)]=1 由f(x)≤1x 2019，当x >0时，x 2019f(x)≤1=g (1)， 所以0<x ≤1；当x <0时，x 2019f(x)≥1=g (−1)， 所以x ≤−1.综上可得：x∈(−∞,−1]∪(0,1].故选C.12.【答案】A【考点】函数新定义问题抽象函数及其应用函数单调性的判断与证明【解析】证明函数单调递增，f(6)=f(√6)+f(√6)=2，变换不等式为f(x)≥f(65−x)，利用函数单调性解得答案．【解答】解：设0<x1<x2，则f(x2)−f(x1)=f(x2x1⋅x1)−f(x1)=f(x2x1)>0，即函数在(0，+∞)上单调递增．∵ f(√6)=1，∴ f(6)=f(√6)+f(√6)=2．∵ f(x)−f(15−x)≥2，∴ f(x)≥f(15−x )+f(6)=f(65−x)，故满足{x>0，65−x>0，x≥65−x，解得x∈[2，3]．故选A．二、填空题（本题共计 7 小题，每题 3 分，共计21分）13.【答案】[3,+∞)【考点】函数单调性的判断与证明函数的单调性及单调区间【解析】讨论去绝对值，即可得到函数，从而确定单调性.【解答】解：当x≥3时，f(x)=x−3，此时f(x)为增函数；当x<3时，f(x)=−(x−3)=−x+3，此时f(x)为减函数，所以f(x)的单调增区间为[3,+∞).故答案为：[3,+∞).14.【答案】[18,13) 【考点】函数单调性的性质函数单调性的判断与证明 对数函数的单调性与特殊点 【解析】根据分段函数的单调性可得{3a −1<03a −1)×1+4a ≥−a a >0×1+4a ≥−a ，解不等式组即可求解． 【解答】由题意知，{3a −1<03a −1)×1+4a ≥−a a >0×1+4a ≥−a解得{a <13a ≥8a >0，所以a ∈[18,13)故答案为：[18,13)15.【答案】 2,(0, +∞) 【考点】 偶函数函数单调性的判断与证明【解析】f(x)＝x 2+(b −2)x 是定义在R 上的偶函数，对称轴为y 轴，进而求解． 【解答】解：f(x)=x 2+(b −2)x 是定义在R 上的偶函数， 对称轴为y 轴，则b =2，于是f(x)=x 2，单调增区间为(0, +∞)． 故答案为：2；(0, +∞). 16.【答案】 a <−1 【考点】函数奇偶性的性质 函数奇偶性的判断 函数单调性的判断与证明 函数的单调性及单调区间 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：∵g(−x)=−x3−5x=−g(x)，∴函数g(x)是奇函数，且函数在R上单调递增，∴原不等式可化为g(a+4)<−g(2a−1)=g(1−2a)，∴a+4<1−2a，解得a<−1.故答案为：a<−1.17.【答案】②【考点】函数的值域及其求法函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明【解析】根据函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等知识逐一对四个命题进行正误判断. 【解答】解：①函数{x}的定义域是R，但是0≤x−[x]<1，故函数{x}的值域为[0,1)，故①错误；，②∵{x}=x−[x]=12∴x=[x]+1，2∴x=1.5，2.5，3.5，⋯，应为无数多个，故②正确；③∵函数{x}的定义域是R，而{−x}=−x−[−x]≠−{x}，{−x}=−x−[−x]≠{x}，∴函数{x}是非奇非偶函数，故③错误；④函数{x}在每一个单调区间上是增函数，但在整个定义域上不是增函数，故④错误．综上所述，②正确.故答案为：②．18.【答案】(−∞, 0]【考点】函数奇偶性的性质函数单调性的判断与证明【解析】根据偶函数的性质求出k值，再根据二次函数的图象即可求出其单调减区间．【解答】解：因为f(x)为偶函数，所以f(−x)=f(x)．即kx2−(k−1)x+2=kx2+(k−1)x+2，所以2(k−1)x=0，所以k=1．则f(x)=x2+2，其递减区间为(−∞, 0]．故答案为：(−∞, 0]．19.【答案】加加加(−∞,−1]【考点】函数单调性的判断与证明函数单调性的性质函数的图象【解析】可先将f(x+m)+mf(x)<0采用代入法转化为常规表达式，采用分类讨论去绝对值的方式，来进一步探讨不等式是否成立，进一步确定参数m的范围【解答】f(x+m)+mf(x)<0可等价转化为(x+m)|x+m|+m|x|<0对任意x≥1恒成立，当m≥0时，不等式转化为(x+m)2+mx2<0对任意x≥1恒成立，显然无解；当me(−1,0)时，不等式转化为(x+n)2+mx2<0，即(m+1)x2−2mx+m2<0，显然当x→+y时不成立；当m=−1时，(x+m)|x+m|+mx||x|<0⇔(x−1)2−x2<0，即1−2x<0对任意x≥1恒成立，经检验，恒成立；当m<−1时，(x+m)||+m||+mx||x|<0⇔(x+m)|(−m)|+mx2对任意x≥1恒成立尚需进一步讨论，当1<x<−m时，不等式等价于−(x−m)2+nx2<0即(m−1)x2−2mx−m2<0Δ=4m2+4m2(m−1)=4m3<0，令y=(m−1)x2−2mx−m2，函数开口向下，则(m−1)x2−2mx−m2<0恒成立；当x>−m时，(x+m)|x+m|+m|x|<0⇔(xxm)2mx0，即(m+1)2−2mx+m2< 0此时对应的对称轴为x=−mm+1<1，又−mn+1<−m，则y=(m+1)x2−2mx+m2在区间[−m,+∞]为减区间，即y=(m−1)x2−2mx+m2≤y(−n)=m3<0恒成立；综上所述，当m∈(−∞,−1]时，对任意x≥1，有f(x+m)+nf(x)<0恒成立故答案为：(−∞,−1]三、解答题（本题共计 5 小题，每题 10 分，共计50分）20.【答案】解：(1)函数f(x)在[−1.1]上单调递增；证明如下：设任意−1<x1<x2<1，则f(x1)−f(x2)=2x1x12+1−2x2x22+1=2x1x22+2x1−2x2x12−2x2(x12+1)(x22+1)=2(x1−x2)(1−x1x2)(x12+1)(x22+1)<0，故函数f(x)在[−1.1]上单调递增；(2)由(1)的结论，f(x)在区间[−1，1]上单调递增，则f(x)的最大值f(1)=1，最小值f(−1)=−1.【考点】函数单调性的判断与证明函数单调性的性质【解析】（1）利用定义法证明函数的单调性，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；（2）由（1）根据函数的单调性即可解答．【解答】解：(1)函数f(x)在[−1.1]上单调递增；证明如下： 设任意−1<x 1<x 2<1，则f(x 1)−f(x 2)=2x 1x 12+1−2x2x 22+1=2x 1x 22+2x 1−2x 2x 12−2x 2(x 12+1)(x 22+1)=2(x 1−x 2)(1−x 1x 2)(x 12+1)(x 22+1)<0，故函数f(x)在[−1.1]上单调递增；(2)由(1)的结论， f (x )在区间[−1，1]上单调递增，则f (x )的最大值f(1)=1，最小值f (−1)=−1. 21. 【答案】 解：(1)f (−x )=−2−x +12−x +a=2x −1a⋅2x +1，由f (−x )=−f (x )得： 2x −1a⋅2x +1=−−2x +12x +a⇒2x +a =a ⋅2x +1，解得a =1．验证，当a =1时，f (x )=−2x +12x +1，f (−x )=−2−x +12−x +1=2x −12x +1=−f (x )满足题意,∴ a =1．(2)f (x )为减函数. 证明：由(1)知f (x )=−2x +12x +1=22x +1−1，在R 上任取两个不相等的实数x 1，x 2，且x 1<x 2， f(x 1)−f(x 2)=22x 1+1−22x 2+1=2×2x 2−2x 1(2x 1+1)⋅(2x 2+1).由y =2x 为R 上的增函数，x 1<x 2，2x 2>2x 1， ∴ 2x 2−2x 1>0，(2x 1+1)⋅(2x 2+1)>0， 则f (x 1)−f (x 2)>0，∴ f (x 1)>f (x 2)， ∴ 函数f (x )为减函数． 【考点】函数奇偶性的性质函数单调性的判断与证明 【解析】 无 无 【解答】 解：(1)f (−x )=−2−x +12−x +a=2x −1a⋅2x +1，由f (−x )=−f (x )得： 2x −1a⋅2x +1=−−2x +12x +a⇒2x +a =a ⋅2x +1，解得a =1．验证，当a =1时，f (x )=−2x +12x +1，f (−x )=−2−x +12−x +1=2x −12x +1=−f (x )满足题意,∴ a =1．(2)f (x )为减函数. 证明：由(1)知f (x )=−2x +12x +1=22x +1−1，在R 上任取两个不相等的实数x 1，x 2，且x 1<x 2， f(x 1)−f(x 2)=22x 1+1−22x 2+1=2×2x 2−2x 1(2x 1+1)⋅(2x 2+1).由y =2x 为R 上的增函数，x 1<x 2，2x 2>2x 1， ∴ 2x 2−2x 1>0，(2x 1+1)⋅(2x 2+1)>0， 则f (x 1)−f (x 2)>0，∴ f (x 1)>f (x 2)， ∴ 函数f (x )为减函数． 22.【答案】(1)证明：任取x 1，x 2∈(−2,2)，且x 1<x 2，所以f(x 1)−f(x 2)=x 1x 12+4−x2x 22+4=(x 2−x 1)(x 1x 2−4)(x 12+4)(x 22+4).因为−2<x 1<x 2<2，所以x 2−x 1>0，x 1x 2−4<0，则f(x 1)−f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)， 所以函数f(x)在(−2,2)上为增函数.(2)解：由(1)知，f(x)在(−2,2)上单调递增，又f(a +2)>f(2a −1),所以{−2<a +2<2，−2<2a −1<2，a +2>2a −1，解得{−4<a <0,−12<a <32,a <3,即−12<a <0，所以a 的取值范围是(−12,0). 【考点】函数单调性的判断与证明 函数单调性的性质【解析】(2)根据函数的单调性的定义，采用作差法判断−2<x 1<x 2<2时f(x 1)−f(x 2)的符号，即可证明.(3)根据(2)中的结论得到关于a 的不等式组，求解即可. 【解答】(1)证明：任取x 1，x 2∈(−2,2)，且x 1<x 2，所以f(x 1)−f(x 2)=x 1x 12+4−x2x 22+4=(x 2−x 1)(x 1x 2−4)(x 12+4)(x 22+4).因为−2<x 1<x 2<2，所以x 2−x 1>0，x 1x 2−4<0，则f(x 1)−f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)， 所以函数f(x)在(−2,2)上为增函数.(2)解：由(1)知，f(x)在(−2,2)上单调递增，又f(a +2)>f(2a −1),所以{−2<a +2<2，−2<2a −1<2，a +2>2a −1，解得{−4<a <0,−12<a <32,a <3,即−12<a <0，所以a 的取值范围是(−12,0).23. 【答案】 解：(1)由f (x )=12x +1+m 的定义域为R ，可得f (0)=12+m =0，可得m =−12． 经验证，m =−12符合题意． ∴ m =−12，f (x )=12x +1−12.(2)∵ y =2x 为增函数，∴ y =2x +1为增函数，且2x +1>1， 所以y =12x +1为减函数，可得f (x )=12x +1−12在R 上为减函数． (3)由f(x 2−x)+f(−2)<0，可得f(x 2−x)<−f(−2)， 即f(x 2−x)<f(2)，由f (x )=12x +1−12在R 上为减函数，所以x 2−x >2，即x 2−x −2>0，所以x <−1或x >2， 故解集为(−∞, −1)∪(2, +∞)． 【考点】函数奇偶性的性质函数单调性的判断与证明 函数单调性的性质【解析】（1）根据函数奇偶性的性质，利用f(0)＝0进行求解即可． （2）根据函数单调的性质进行判断即可．（3）根据函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可． 【解答】解：(1)由f (x )=12x +1+m 的定义域为R ，可得f (0)=12+m =0，可得m =−12． 经验证，m =−12符合题意．∴ m =−12，f (x )=12x +1−12.(2)∵ y =2x 为增函数，∴ y =2x +1为增函数，且2x +1>1， 所以y =12x +1为减函数，可得f (x )=12x +1−12在R 上为减函数．(3)由f(x 2−x)+f(−2)<0，可得f(x 2−x)<−f(−2)， 即f(x 2−x)<f(2)，由f (x )=12x +1−12在R 上为减函数，所以x 2−x >2，即x 2−x −2>0，所以x <−1或x >2， 故解集为(−∞, −1)∪(2, +∞)． 24.【答案】(1)证明：当a >0时，f(x)在R 上单调递减． 任取x 1<x 2，f(x 1)−f(x 2)=a(3x 2−3x 1)(1+a⋅3x 1)(1+a⋅3x 2)，由于x 1<x 2，所以3x 2−3x 1>0，所以f(x 1)−f(x 2)>0，故f(x)在R 上单调递减． (2)解：依题意，g(x)=11+a⋅3x ⋅11+a⋅3−x =1a(3x +13x )+a 2+1(x ∈[−1,1])．令t =3x ，t ∈[13,3]，所以y =t +1t 在[13,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增， 且当t =13和t =3时，y =103，而当t =1时，y =2，所以y =t +1t∈[2,103]．因为a >0，所以a(3x +13x )+a 2+1≤103a +a 2+1，故g(x)=1a(3x +13x )+a 2+1≥1103a+a 2+1．因为对任意x ∈[−1,1]，g(x)≥f(2)=19a+1恒成立， 所以1103a+a 2+1≥19a+1，即103a +a 2+1≤9a +1， 化简得a 2−173a ≤0，解得0<a ≤173，故a 的取值范围是(0,173]．【考点】函数单调性的判断与证明 函数恒成立问题 【解析】【解答】(1)证明：当a >0时，f(x)在R 上单调递减． 任取x 1<x 2，f(x 1)−f(x 2)=a(3x 2−3x 1)(1+a⋅3x 1)(1+a⋅3x 2)， 由于x 1<x 2，所以3x 2−3x 1>0，所以f(x 1)−f(x 2)>0，故f(x)在R 上单调递减． (2)解：依题意，g(x)=11+a⋅3x ⋅11+a⋅3−x =1a(3x +13x )+a 2+1(x ∈[−1,1])．令t =3x ，t ∈[13,3]，所以y =t +1t 在[13,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增， 且当t =13和t =3时，y =103，而当t =1时，y =2，所以y =t +1t ∈[2,103]． 因为a >0， 所以a(3x +13x )+a 2+1≤103a +a 2+1，故g(x)=1a(3x +13x )+a 2+1≥1103a+a 2+1．因为对任意x ∈[−1,1]，g(x)≥f(2)=19a+1恒成立， 所以1103a+a 2+1≥19a+1，即103a +a 2+1≤9a +1， 化简得a 2−173a ≤0，解得0<a ≤173，故a 的取值范围是(0,173]．。

高考第6课函数的单调性

高考第6课函数的单调性

第6课函数的单调性【自主学习】第6课函数的单调性(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修1P40练习8改编)下列说法中，正确的是.(填序号)①若定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1)，则函数f(x)是R上的单调增函数；②若定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1)，则函数f(x)在R上不是单调减函数；③若定义在R上的函数f(x)在区间(-∞，0]上是单调增函数，在区间[0，+∞)上也是单调增函数，则函数在R上是单调增函数；④若定义在R上的函数f(x)在区间(-∞，0]上是单调增函数，在区间(0，+∞)上也是单调增函数，则函数在R上是单调增函数.【答案】②③【解析】根据单调性的定义，结合函数图象分析.2.(必修1P55习题8改编)函数f (x )=ln(4+3x-x 2)的单调减区间是 .【答案】342⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 【解析】函数f (x )的定义域是(-1，4)，令u (x )=-x 2+3x+4，则u (x )=23--2x ⎛⎫⎪⎝⎭+254的单调减区间为342⎡⎫⎪⎢⎣⎭，.因为e >1，所以函数f (x )的单调减区间为342⎡⎫⎪⎢⎣⎭，.3.(必修1P44习题4改编)已知函数y=f (x )是定义在R 上的单调减函数，则满足f (2-a 2)<f (a )的实数a 的取值范围为 . 【答案】(-2，1)【解析】由于f (x )在R 上是单调减函数，所以由f (2-a 2)<f (a )，可得2-a 2>a ，解得-2<a<1.4.(必修1P44习题2改编)若函数f (x )=x 2-mx+3在[2，+∞)上是增函数，则实数m 的取值范围为 . 【答案】(-∞，4]【解析】依题意得2m≤2，解得m ≤4.1.函数单调性的定义(1)一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)(或都有f(x1)>f(x2))，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数).(2)如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数(或减函数)，那么就说f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性，这个区间叫作f(x)的单调区间；若函数是增函数，则称该区间为增区间；若函数为减函数，则称该区间为减区间.2.复合函数的单调性对于函数y=f(u)和u=g(x)，如果当x∈(a，b)时，u∈(m，n)，且u=g(x)在区间(a，b)上和y=f(u)在区间(m，n)上同时具有单调性，那么复合函数y=f(g(x))在区间(a，b)上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减.3.求函数单调区间或证明函数单调性的方法(1)函数单调性的定义法；(2)函数的图象法；(3)导函数法.【要点导学】要点导学各个击破函数单调性的判断与证明例1 (2015·南京一中)已知函数f (x )=-xx a (x ≠a ). (1)若a=-2，求证：f (x )在(-∞，-2)上单调递增；(2)若a>0且f (x )在(1，+∞)上单调递减，求实数a 的取值范围.【思维引导】用定义证明函数单调性：设元取值，作差变形，确定符号，得出结论；利用导数证明函数单调性：求导函数，确定符号，得出结论.【解答】(1)任取x 1<x 2<-2，则f (x 1)-f (x 2)=112x x +-222x x +=12122(-)(2)(2)x x x x ++.因为(x 1+2)(x 2+2)>0，x 1-x 2<0， 所以f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(-∞，-2)上单调递增. (2)设1<x 1<x 2，则f (x 1)-f (x 2)=11-x x a -22-x x a =2112(-)(-)(-)a x x x a x a .因为a>0，x 2-x 1>0，所以要使f (x 1)-f (x 2)>0， 只需(x 1-a )(x 2-a )>0恒成立，所以a ≤1. 综上，实数a 的取值范围是(0，1].【精要点评】判断函数的单调性或求函数的单调区间的一般方法有：(1)定义法；(2)图象观察法；(3)利用已知函数的单调性；(4)利用复合函数的单调性法则；(5)导数法.利用定义法的关键是对f (x 1)-f (x 2)的整理、化简、变形和符号的判断，其中变形的策略有因式分解、配方、分子(分母)有理化等.变式 已知函数f (x )=x+1x ，求证：函数f (x )在区间(0，1]上是单调减函数. 【解答】在区间(0，1]上任取x 1，x 2，且x 1<x 2.则f (x 1)-f (x 2)=111x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-221x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=(x 1-x 2)+2112-x x x x =121212(-)(-1)x x x x x x ， 因为x 1<x 2，所以x 1-x 2<0， 又因为0<x 1<x 2≤1， 所以x 1x 2>0，x 1x 2-1<0，所以f (x 1)-f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 所以函数f (x )在区间(0，1]上是单调减函数.结合函数单调性求参数范围例2 若函数f (x )=-11ax x +在区间(-∞，-1)上是减函数，求实数a 的取值范围. 【思维引导】利用函数的单调性求参数的取值范围，解题思路为视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参.【解答】f (x )=-11ax x +=a-11a x ++，设x 1<x 2<-1，则f (x 1)-f (x 2)=11-1a a x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭-21-1a a x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=211a x ++-111a x ++=1221(1)(-)(1)(1)a x x x x +++. 又函数f (x )在(-∞，-1)上是减函数， 所以f (x 1)-f (x 2)>0， 由于x 1<x 2<-1，所以x 1-x 2<0，x 1+1<0，x 2+1<0， 所以a+1<0，即a<-1.故实数a 的取值范围是(-∞，-1).【精要点评】已知函数的单调性确定参数的值或范围，可以通过解不等式或转化为不等式恒成立问题求解.需要注意的是，若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的.变式(1)如果二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间112⎛⎫⎪⎝⎭，上是增函数，那么f(2)的取值范围为.(2)已知函数f(x)=21-212-1xx a xa a x⎧+≤⎪⎨⎪>⎩，，，，若f(x)在(0，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围为.【答案】(1)[7，+∞)(2)(1，2]【解析】(1)由于f(2)=22-(a-1)×2+5=-2a+11，所以求f(2)的取值范围就是求一次函数y=-2a+11的值域，当然就应先求其定义域.二次函数f(x)在区间112⎛⎫ ⎪⎝⎭，上是增函数，由于其图象开口向上，于是-12a≤12，解得a≤2，故f(2)≥-2×2+11=7，即f(2)的取值范围是[7，+∞).(2)由题意，得12+12a-2≤0，且a>1，解得1<a≤2，所以实数a的取值范围为(1，2].抽象函数的单调性例3已知函数f(x)对于任意的x，y∈R，总有f(x)+f(y)=f(x+y)，f(1)=-23，且当x>0时，f(x)<0.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[-3，3]上的最大值和最小值.【思维引导】(1)对于抽象函数的问题要根据题设及所求的结论来适当取特殊值，证明f(x)为单调减函数的首选方法是选用单调性的定义来证.(2)用函数的单调性即可求最值.【解答】(1)方法一：因为函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)+f(y)=f(x+y)，令x=y=0，得f(0)=0.再令y=-x，得f(-x)=-f(x).在R上任取x1>x2，则x1-x2>0，f(x)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2).1因为当x>0时，f(x)<0，而x1-x2>0，所以f(x1-x2)<0，即f(x1)<f(x2).因此函数f(x)在R上是减函数.方法二：设x1>x2，则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x)=f(x1-x2).2因为当x>0时，f(x)<0，而x1-x2>0，所以f(x1-x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在R上为减函数.(2)因为f(x)在R上是减函数，所以f(x)在[-3，3]上也是减函数，所以f(x)在[-3，3]上的最大值和最小值分别为f(-3)与f(3).而f(3)=3f(1)=-2，f(-3)=-f(3)=2，所以函数在[-3，3]上的最大值为2，最小值为-2.【精要点评】对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x1，x2，在所给区间内比较f(x1)-f(x2)与0的大小，或比较12()()f xf x与1的大小.有时根据需要，需作适当地变形，如x1=x2·12xx或x 1=x2+x1-x2等；利用函数单调性可以求函数最值.变式已知函数f(x)对任意的m，n∈R，都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1，并且x>0时，恒有f(x)>1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(3)=4，解不等式f(a2+a-5)<2.【解答】(1)设x1<x2，所以x2-x1>0，因为当x>0时，f(x)>1，所以f(x2-x1)>1.又f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)-1，所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1>0⇒f(x1)<f(x2)，所以f(x)在R上为增函数.(2)因为m，n∈R，不妨设m=n=1，所以f(1+1)=f(1)+f(1)-1⇒f(2)=2f(1)-1，f(3)=4⇒f(2+1)=f(2)+f(1)-1=3f(1)-2=4，所以f(1)=2，所以f(a2+a-5)<2=f(1)，因为f(x)在R上为增函数，所以a2+a-5<1⇒-3<a<2，即不等式的解集是(-3，2).1.(2014·南通中学)已知函数f(x)为R上的减函数，那么满足f(|x|)<f(1)的实数x 的取值范围是.【答案】(-∞，-1)∪(1，+∞)【解析】因为f(x)为R上的减函数，且f(|x|)<f(1)，所以|x|>1，所以x<-1或x>1.2.(2015·海安中学)已知函数f(x)=(3-1)41log1aa x a xx x+<⎧⎨≥⎩，，，在(-∞，+∞)上是减函数，则实数a的取值范围是.【答案】11 73⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【解析】因为函数f(x)=(3-1)41log1aa x a xx x+<⎧⎨≥⎩，，，在区间(-∞，+∞)上是减函数，那么在每一段上都是递减的，可知3a-1<0，0<a<1，且3a-1+4a≥0，所以实数a的取值范围是1173⎡⎫⎪⎢⎣⎭，.3.(2014·苏锡常镇调研)已知奇函数f(x)是R上的单调函数，若函数y=f(x2)+f(k-x)只有一个零点，则实数k的值为.【答案】1 4【解析】令y=f(x2)+f(k-x)=0，得f(x2)=-f(k-x)=f(x-k).又f(x)是R上的单调函数，故原命题等价于方程x2=x-k有唯一解，由Δ=0，得k=1 4.4.(2015·陕西卷改编)设f(x)=ln x，0<a<b，若p=f，q=f2a b+⎛⎫⎪⎝⎭，r=12[f(a)+f(b)]，有下列关系式：①q=r<p；②q=r>p；③p=r<q；④p=r>q，其中正确的是.(填序号)【答案】③【解析】p=f(ab)=ln ab=12ln ab，q=f2a b+⎛⎫⎪⎝⎭=ln2a b+，r=12[f(a)+f(b)]=12 ln ab.因为2a b+>ab，且f(x)=ln x在(0，+∞)上是单调增函数，所以f 2a b+⎛⎫⎪⎝⎭>f(ab)，所以q>p=r.5.(2015·盐城中学)已知函数f(x)是定义在(-2，2)上的减函数，并且f(m-1)-f(1-2m)>0，求实数m的取值范围.【解答】因为f(x)在(-2，2)上是减函数，所以由f(m-1)-f(1-2m)>0，得f(m-1)>f(1-2m)，所以-2-12-21-22-11-2mmm m<<⎧⎪<<⎨⎪<⎩，，，即-1313-2223mmm⎧⎪<<⎪⎪<<⎨⎪⎪<⎪⎩，，，解得-12<m<23，所以实数m的取值范围是12-23⎛⎫⎪⎝⎭，.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第11~12页.【检测与评估】第6课函数的单调性一、填空题1.(2014·郑州质检)已知定义在R上的函数f(x)是增函数，那么满足f(x)<f(2x-3)的x的取值范围是.2.若函数y=2x2-(a-1)x+3在(-∞，1]上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，则实数a的值是.3.函数y=-(x-3)|x|的单调增区间是.4.若函数f(x)=12axx++在区间(-2，+∞)上是增函数，则实数a的取值范围是.5.若函数f(x)=x-[1，4]上单调递增，则实数a的最大值为.6.若函数f(x)=|2x+a|的单调增区间是[3，+∞)，则实数a的值为.7.(2014·成都外国语学校)已知函数f(x)=1000-10xxx>⎧⎪=⎨⎪<⎩，，，，，，g(x)=x2f(x-1)，那么函数g(x)的单调减区间是.8.(2015·福建卷)若函数f(x)=2|x-a|(a∈R)满足f(1+x)=f(1-x)，且f(x)在[m，+∞)上单调递增，则实数m的最小值等于.二、解答题9.试讨论函数f (x )=2-1ax x ，x ∈(-1，1)的单调性(其中a ≠0).10.已知函数f (x )=log a (3x 2-2ax )在区间112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数，求实数a 的取值范围.11.已知函数f (x )=22x x ax ++，x ∈[1，+∞).(1)当a =12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意的x ∈[1，+∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围.三、选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.已知定义在R 上的函数y =f (x )，f (0)≠0，当x >0时，f (x )>1，且对任意的a ，b ∈R ，有f (a +b )=f (a )·f (b ). (1)求f (0)的值；(2)求证：对任意的x ∈R ，恒有f (x )>0； (3)求证：f (x )是R 上的增函数；(4)若f (x )·f (2x -x 2)>1，求x 的取值范围.【检测与评估答案】第6课函数的单调性1.(3，+∞)【解析】依题意得，不等式f(x)<f(2x-3)等价于x<2x-3，解得x>3，即x的取值范围是(3，+∞).2.5【解析】依题意可得对称轴为x=-1 22a⨯=1，所以a=5.3.32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】y=-(x-3)|x|=22-30-30.x x xx x x⎧+>⎨≤⎩，，，作出该函数的图象如图所示，观察图象知单调增区间为32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.(第3题)4.12∞⎛⎫+⎪⎝⎭，【解析】设x1>x2>-2，则f(x1)>f(x2)，而f(x1)-f(x2)=1112axx++-2212axx++=1221122-2-(2)(2)ax x ax xx x+++=1212(-)(2-1)(2)(2)x x ax x++>0，由x1-x2>0，x1+2>0，x2+2>0，知2a-1>0，所以a> 12.5.2 【解析】令x =t ，所以t ∈[1，2]，即f (t )=t 2-at ，因为f (x )在[1，4]上单调递增，所以2a≤1，即a ≤2，所以a 的最大值为2.6.-6 【解析】容易作出函数f (x )的图象(图略)，可知函数f (x )在,2a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上单调递减，在,2a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，又已知函数f (x )的单调增区间是[3，+∞)，所以-2a=3，解得a=-6.7.[0，1) 【解析】由条件知g (x )=22101-1x x x x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩，，，，，，其图象如图所示，其单调减区间是[0，1).(第7题)8.1 【解析】由f (1+x )=f (1-x )，得函数f (x )关于直线x=1对称，故a=1，则f (x )=2|x-1|，由复合函数单调性得f (x )在[1，+∞)上单调递增，故m ≥1，所以实数m 的最小值等于1.9.方法一：任取x 1，x 2∈(-1，1)，且x 1<x 2，则f (x 2)-f (x 1)=222-1ax x -121-1ax x =12122221(-)(1)(-1)(-1)a x x x x x x +.因为-1<x1<x2<1，所以|x1|<1，|x2|<1，x1-x2<0，21x-1<0，22x-1<0，|x1x2|<1，即-1<x1x2<1，所以x1x2+1>0.因此，当a>0时，f(x2)-f(x1)<0，即f(x2)<f(x1)，此时函数为减函数；当a<0时，f(x2)-f(x1)>0，即f(x1)<f(x2)，此时函数为增函数.方法二：f'(x)=-222(1)(-1)a xx+，x∈(-1，1)，所以当a>0时，f'(x)<0，此时函数为减函数；当a<0时，f'(x)>0，此时函数为增函数.10.当0<a<1时，若f(x)=log a(3x2-2ax)在区间112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数，则2132113-2022aa⎧≤⎪⎪⎨⎛⎫⎪⨯⋅>⎪⎪⎝⎭⎩，，解得0<a<3 4.当a>1时，若f(x)=log a(3x2-2ax)在区间112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数，则21331-20aa⎧≥⎪⎨⎪⨯>⎩，，无解.综上，实数a的取值范围是34⎛⎫ ⎪⎝⎭，.11.(1)当a=12时，f(x)=x+12x+2.因为f(x)在区间[1，+∞)上是增函数，所以f(x)在区间[1，+∞)上的最小值为f(1)=7 2.(2)方法一：在区间[1，+∞)上，f(x)=22x x ax++>0恒成立⇔x2+2x+a>0恒成立.设函数y=x2+2x+a，因为y=(x+1)2+a-1在[1，+∞)上单调递增，所以当x=1时，y min=3+a，当且仅当y min=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>-3.方法二：f(x)=x+ax+2，x∈[1，+∞)，当a≥0时，函数f(x)的值恒为正；当a<0时，函数f(x)单调递增，所以当x=1时，f(x)min=3+a.当且仅当f(x)min=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，所以a>-3. 综上，实数a的取值范围为(-3，+∞).12.(1)令a=b=0，则f(0)=f(0)·f(0)，又f(0)≠0，解得f(0)=1.(2)当x<0时，-x>0，所以f(0)=f(x)·f(-x)=1，因为x>0时，f(x)>1>0，所以f(-x)=1()f x>0.又f(0)=1>0，所以对任意的x∈R时，恒有f(x)>0.(3)设x1<x2，则x2-x1>0，所以f(x2-x1)>1，所以f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)·f(x1)>f(x1)，即f(x)在R上是增函数.(4)由f(x)·f(2x-x2)>1，可得f(x+2x-x2)>1，即f(3x-x2)>f(0).由(3)知f(x)在R上是增函数，所以3x-x2>0，所以0<x<3. 即x的取值范围是(0，3).。

函数的单调性练习题(含标准答案)

函数的单调性练习题(含标准答案)

函数的单调性练习题(含答案)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2- - 3函数的单调性练习一、选择题：1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（ ）A ．y =2x ＋1B ．y =3x 2＋1C ．y =x2D ．y =2x 2＋x ＋12．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f (1)等于 （ ） A ．－7 B ．1 C ．17 D ．253．函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是 （ ） A ．(3，8) B ．(－7，－2) C ．(－2，3) D ．(0，5) 4．函数f (x )=21++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．(0，21)B ．( 21，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内（ ） A ．至少有一实根 B ．至多有一实根 C ．没有实根 D ．必有唯一的实根 6．已知函数f (x )=8＋2x －x 2，如果g (x )=f ( 2－x 2 )，那么函数g (x ) （ ） A ．在区间(－1，0)上是减函数 B ．在区间(0，1)上是减函数 C ．在区间(－2，0)上是增函数 D ．在区间(0，2)上是增函数7．已知函数f (x )是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式|f (x ＋1)|＜1的解集的补集是 （ ） A ．(－1，2) B ．(1，4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞）D ．(－∞，－1)∪[2，＋∞）8．已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5－t )，那么下列式子一定成立的是 （ ） A ．f (－1)＜f (9)＜f (13) B ．f (13)＜f (9)＜f (－1) C ．f (9)＜f (－1)＜f (13) D ．f (13)＜f (－1)＜f (9) 9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是（ ）A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞- -4C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞10．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≤3 B ．a ≥－3 C ．a ≤5 D ．a ≥3 11．已知f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a 、b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列不等式中正确的是（ ） A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )＋f (b )］ B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b ) C ．f (a )＋f (b )≥－f (a )＋f (b )］ D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )12．定义在R 上的函数y =f (x )在(－∞，2)上是增函数，且y =f (x ＋2)图象的对称轴是x =0，则 （ ） A ．f (－1)＜f (3) B ．f (0)＞f (3) C ．f (－1)=f (－3) D ．f (2)＜f (3) 二、填空题：13．函数y =(x －1)-2的减区间是___ _． 14．函数y =x －2x -1＋2的值域为__ ___． 15、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y fx =-的单调递减区间为 .16、函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__ ． 三、解答题：17．f (x )是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f (yx) = f (x )－f (y ) （1）求f (1)的值．（2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x1) ＜2 ．18．函数f (x )=－x 3＋1在R 上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R 上是增函数还是减函数？试证明你的结论．19．试讨论函数f (x )=21x -在区间［－1，1］上的单调性．- -520．设函数f (x )=12+x －ax ，(a ＞0)，试确定：当a 取什么值时，函数f (x )在0，＋∞)上为 单调函数．21．已知f (x )是定义在(－2，2)上的减函数，并且f (m －1)－f (1－2m )＞0，求实数m 的取值范围．22．已知函数f (x )=xax x ++22，x ∈［1，＋∞］（1）当a =21时，求函数f (x )的最小值；（2）若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．- - 6参考答案一、选择题： CDBBD ADCCA BA二、填空题：13. (1，＋∞)， 14. (－∞，3)，15.[)3,+∞， ⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,三、解答题：17.解析：①在等式中0≠=y x 令，则f (1)=0．②在等式中令x=36，y=6则.2)6(2)36(),6()36()636(==∴-=f f f f f 故原不等式为：),36()1()3(f xf x f <-+即f [x (x ＋3)]＜f (36)， 又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，故不等式等价于：.23153036)3(00103-<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<>>+x x x xx18.解析： f (x )在R 上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：设x 1、x 2∈(－∞，＋∞)， x 1＜x 2 ，则f (x 1)=－x 13＋1， f (x 2)=－x 23＋1．f (x 1)－f (x 2)=x 23－x 13=(x 2－x 1)(x 12＋x 1x 2＋x 22)=(x 2－x 1)［(x 1＋22x )2＋43x 22］．∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0而(x 1＋22x )2＋43x 22＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)．∴函数f (x )=－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．19.解析： 设x 1、x 2∈－1，1］且x 1＜x 2，即－1≤x 1＜x 2≤1．f (x 1)－f (x 2)=211x -－221x -=2221222111)1()1(x x x x -+----=2221121211))((x x x x x x -+-+-∵x 2－x 1＞0，222111x x -+-＞0，∴当x 1＞0，x 2＞0时，x 1＋x 2＞0，那么f (x 1)＞f (x 2)． 当x 1＜0，x 2＜0时，x 1＋x 2＜0，那么f (x 1)＜f (x 2)．故f (x )=21x -在区间［－1，0］上是增函数，f (x )=21x -在区间［0，1］上是减函数． 20.解析：任取x 1、x 2∈0，＋)∞且x 1＜x 2，则- -7f (x 1)－f (x 2)=121+x －122+x －a (x 1－x 2)=1122212221+++-x x x x －a (x 1－x 2)=(x 1－x 2)(11222121++++x x x x －a )(1)当a ≥1时，∵11222121++++x x x x ＜1，又∵x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)∴a ≥1时，函数f (x )在区间［0，＋∞)上为减函数． (2)当0＜a ＜1时，在区间［0，＋∞］上存在x 1=0，x 2=212a a-，满足f (x 1)=f (x 2)=1 ∴0＜a ＜1时，f (x )在［０，＋)∞上不是单调函数 注： ①判断单调性常规思路为定义法； ②变形过程中11222121++++x x x x ＜1利用了121+x ＞|x 1|≥x 1;122+x ＞x 2；③从a 的范围看还须讨论0＜a ＜1时f (x )的单调性，这也是数学严谨性的体现．21.解析： ∵f (x )在(－2，2)上是减函数∴由f (m －1)－f (1－2m )＞0，得f (m －1)＞f (1－2m )∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<-<<-⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-32232131211,2212212m m m m m m m 即 解得3221<<-m ，∴m 的取值范围是(－32,21)22.解析： (1)当a =21时，f (x )=x ＋x21＋2，x ∈1，＋∞) 设x 2＞x 1≥1，则f (x 2)－f (x 1)=x 2＋1122121x x x --=(x 2－x 1)＋21212x x x x -=(x 2－x 1)(1－2121x x ) ∵x 2＞x 1≥1，∴x 2－x 1＞0，1－2121x x ＞0，则f (x 2)＞f (x 1) 可知f (x )在［1，＋∞)上是增函数．∴f (x )在区间［1，＋∞)上的最小值为f (1)=27．- - 8(2)在区间［1，＋∞)上，f (x )=xax x ++22＞0恒成立⇔x 2＋2x ＋a ＞0恒成立设y =x 2＋2x ＋a ，x ∈1，＋∞)，由y =(x ＋1)2＋a －1可知其在[1，＋∞)上是增函数， 当x =1时，y min =3＋a ，于是当且仅当y min =3＋a ＞0时函数f (x )＞0恒成立．故a ＞－3．。

函数的单调性及其单调区间练习题含答案

函数的单调性及其单调区间练习题含答案

函数的单调性及其单调区间练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 下列函数中，既是(0,+∞)上的增函数，又是偶函数的是( )A.y=1xB.y=2xC.y=1−|x|D.y=lg|x|2. 下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是( )A.y=1x B.y=|x|−1 C.y=lg x D.y=(12)|x|3. 已知函数f(x)＝−x|x|+2x，则下列结论正确的是（）A.增区间是(0, +∞)B.减区间是(−∞, −1)C.增区间是(−∞, 1)D.增区间是(−1, 1)4. 已知函数f(x)=xx−m，若函数f(x)在区间(2, +∞)上单调递减，则实数m的取值范围为（）A.(0, 2)B.(0, 2]C.[2, +∞)D.(2, +∞)5. 函数y=√x2−5x+4的单调递增区间是（）A.[52,+∞) B.[52,4) C.[4, +∞) D.[1,52),[4,+∞)6. 若函数f(x)={3x,x<0,x2−4x+3,x≥0,则函数的单调递减区间为( )A.[0,2]B.(−∞, 0)C.(−∞,0)和[0,2]D.(−∞,2]7. 下列函数中，即是偶函数又在(0, +∞)单调递增的函数是( )A.y=−x2B.y=|x−1|C.y=2xD.y=|x|−18. 下列函数中，在(0, +∞)是增函数的是()A.y=x2+e2B.y=cos x−e xC.y=1x−x D.y=x2−4x9. 题目不难，心中别慌，套路不深，不必当真.下列函数中，在其定义域内既为奇函数且又为增函数的是（ ） A.f(x)=−1x B.f(x)=x 3C.f(x)=|x|D.f(x)=3x +3−x210. 函数f(x)=|x −2|x 的单调减区间是（ ） A.[−1, 0] B.[1, 2] C.[0, 2] D.[2, +∞)11. 已知函数f(x)=xx−2，若函数f(x)在区间(m, +∞)上单调递减，则实数m 的取值范围为( ) A.(0, 2) B.(0, 2] C.[2, +∞) D.(2, +∞)12. 定义在R 上的奇函数f (x )满足f (2)=0，且f (x )在(0,+∞)上单调递减，则f (−52)，f (133)，f (0)的大小关系为( ) A.f (0)>f (133)>f (−52) B.f (133)>f (0)>f (−52) C.f (−52)>f (0)>f (133)D.f (0)>f (−52)>f (133)13. 下列四个函数中，在(0,+∞)上增函数的是( ) A.f (x )=3−x B.f (x )=(x −1)2 C.f (x )=−1x+1D.f (x )=−|x|14. 函数f(x)=(12)x 2−2x的单调递减区间为( )A.(0,+∞)B.(1,+∞)C.(−∞,1)D.(−∞,−1)15. 任意t ∈R +时，f [f (t )−1t ]=2恒成立，函数y =f (t )单调，则f (12019)=( )A.2020B.2019C.12020D.1201916. 函数y =x−5x−a−2在(−1, +∞)上单调递增，则a 的取值范围是( ) A.a =−3B.a <3C.a ≤−3D.a ≥−317. 若函数f (x )={a x ,x <0,(2a −1)x +3a,x ≥0是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A.(0,12) B.(13,12)C.(0,13)D.(0,13]18. f(x)=1x+1的减区间为________．19. 函数f (x )=|x −3|的单调递增区间是________.20. 函数y =√x 2−2x −3的递减区间是________，递增区间是________．21. 已知函数g(x)=x 3+5x ，若g(2a −1)+g(a +4)<0，则实数a 的取值范围为________.22. 已知函数f (x )=−x 2+2ax +3在区间(−∞,4)上是增函数，则实数a 的取值范围是________.23. 函数y =x 3+x 2+mx +1是R 上的单调函数，则m 的范围是________．24. 已知函数f(x)=e x −e −x +ln (x +√x 2+1)（其中e ≈2.71828），若对任意的x ∈[2, +∞)，f(x 2+2)+f(−2ax)≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________．25. 函数g (x )=ax 2−2ax +1+b (a >0)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2，设f (x )=g (x )x(x ≠0).(1)求 a,b 的值；(2)不等式f (2x )−k ⋅2x ≥0在x ∈[−1,0]上恒成立，求实数k 的取值范围．26. 已知函数f(x)=ax 2+12x+b是奇函数，且f(1)=32． (1)求实数a ，b 的值；(2)判断函数f(x)在(−∞, −1]上的单调性，并用定义加以证明；(3)若x∈[−2, −1]，求函数的值域.27. 求函数的单调区间.28. 已知为定义在上的奇函数，且是，.（1）求时，函数的解析式；（2）写出函数的单调区间（不需证明）.29. 已知函数f(x)=x2+ax−2.(1)若函数f(x)在区间(−1,2)上单调递增，求a的取值范围；(2)试判断函数f(x)的奇偶性．30. 若函数y=f(x)对定义域内的每一个值x1，在其定义域内都存在唯一的x2，使f(x1)f(x2)=1成立，则称该函数为“依赖函数”．(1)判断函数g(x)=2x是否为“依赖函数”，并说明理由；(2)若函数f(x)=(x−1)2在定义域[m, n](m>1)上为“依赖函数”，求实数m，n乘积mn的取值范围.31. 已知函数f(x)=ax+bx2+1是(−1,1)上的奇函数，且f(12)=25.(1)求f(x)的解析式；(2)判断f(x)的单调性，并加以证明；(3)若实数t满足f(t+1)+f(t)>0，求t的取值范围．参考答案与试题解析函数的单调性及其单调区间练习题含答案一、 选择题 （本题共计 17 小题 ，每题 3 分 ，共计51分 ） 1.【答案】 D【考点】函数奇偶性的判断函数的单调性及单调区间【解析】根据基本初等函数的单调性和奇偶性，以及函数图象的翻折变换法则逐一判断每个选项即可． 【解答】解：A .函数y =1x 在(0,+∞)上是减函数，且是奇函数，即A 不符合题意；B .函数y =2x 是非奇非偶函数，即B 不符合题意；C .函数y =1−|x|在(0,+∞)上是减函数，即C 不符合题意；D .对于函数y =lg |x|，当x >0时，有y =lg x ，单调递增；而f (−x )=lg |−x|=lg |x|=f (x ) ，所以f(x)是偶函数，即D 正确． 故选D ． 2.【答案】 B【考点】函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明 函数的单调性及单调区间【解析】根据函数单调性和奇偶性定义，逐一判断即可得出结论． 【解答】解：A ，函数y =1x 为奇函数，且在(0,+∞)上单调递减，不符合题意； B ，函数y =|x|−1为偶函数，且在(0,+∞)上单调递增，符合题意； C ，函数y =lg x 不是偶函数，不符合题意；D ，函数y =(12)|x|为偶函数，在(0,+∞)上单调递减，不符合题意．故选B ． 3.【答案】 D【考点】分段函数的应用函数的单调性及单调区间【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】B【考点】函数单调性的性质与判断函数的单调性及单调区间【解析】根据题意，函数的解析式变形可得f(x)=1+mx−m，由函数图象变换的规律可得{m>0m≤2，解可得m的取值范围，即可得答案．【解答】根据题意，函数f(x)=xx−m =x−m+mx−m=1+mx−m，由函数y=mx向左(m<0)或向右(m>0)平移|m|个单位，向上平移1个单位得到，若函数f(x)在区间(2, +∞)上单调递减，必有{m>0m≤2，则0<m≤2，即m的取值范围为(0, 2]，5.【答案】C【考点】函数的单调性及单调区间【解析】解不等式，求出函数的定义域，再根据二次函数的性质求出函数的递增区间即可．【解答】令x2−5x+4≥0，解得：x≥4或x≤1，而函数y＝x2−5x+4的对称轴是：x=52，由复合函数同增异减的原则，故函数y=√x2−5x+4的单调递增区间是[4, +∞)，6.【答案】C【考点】函数的单调性及单调区间【解析】首先根据分段函数的解析式画出函数的图象，进一步根据函数函数的图象确定函数的单调区间．【解答】解：函数f(x)的图像，如图所示，二次函数f(x)=x2−4x+3的对称轴为x=2，所以函数的单调递减区间为：(−∞,0)和[0,2] .故选C.7.【答案】D【考点】函数的单调性及单调区间函数奇偶性的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：A，令f(x)=−x2，f(−x)=−(−x)2=−x2=f(x)为偶函数，在(0, +∞)上单调递减，不符合题意；B，令f(x)=|x−1|，f(−x)=|−x−1|=|x+1|≠f(x)，不是偶函数，不符合题意；C，令f(x)=2x，f(−x)=2−x≠f(x)，不是偶函数，不符合题意；D，令f(x)=|x|−1，f(−x)=|−x|−1=|x|−1=f(x)，是偶函数，在(0, +∞)上单调递增，符合题意.故选D.8.【答案】A【考点】函数的单调性及单调区间【解析】结合二次函数的性质可判断A正确．【解答】解：A，由二次函数的性质可知，y=x2+e2在(0, +∞)是增函数，故A符合题意；B，y′=−sin x−e x，在(0,+∞)上，−e x<−1，−sin x∈[−1,1]，故y′<0，函数在(0, +∞)上是减函数，故B不符合题意；−1<0，函数在(0, +∞)上是减函数，故C不符合题意；C，y′=−1x2D，y′=2x−4，当x∈(0,2)时，y′<0，故D不符合题意.故选A.9.【答案】B【考点】函数奇偶性的判断函数的单调性及单调区间【解析】根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．【解答】解：A．函数是奇函数，在定义域上不是单调函数；B．函数是奇函数，在(−∞, +∞)上是增函数，满足条件；C．f(−x)=f(x)，函数是偶函数，不满足条件；D．f(−x)=f(x)，函数是偶函数，不满足条件．故选B.10.【答案】B【考点】带绝对值的函数函数的单调性及单调区间【解析】画出分段函数f(x)=|x−2|x的图象，数形结合，可得函数的单调减区间．x≤2【解答】解：函数f(x)=|x−2|x={−x2+2x，x<2，x2−2x2，x≥2，的图象如图所示：结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]. 故选B.11.【答案】C【考点】函数单调性的性质与判断 函数的单调性及单调区间 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：根据题意，函数f(x)=xx−2=x−2+2x−2=1+2x−2，由函数y =2x 向右平移2个单位，向上平移1个单位得到， 若函数f(x)在区间(m, +∞)上单调递减， 必有{m >0,m ≥2,则m ≥2，即m 的取值范围为[2+∞)， 故选C . 12.【答案】 C【考点】函数的单调性及单调区间 【解析】【解答】解：∵ f (x )为R 上的奇函数，且在(0,+∞)上单调递减， ∴ f (0)=0.∵ f (−52)=−f (52)且f (2)=0， ∴ f (−52)>0，f (133)<0， ∴ f (−52)>f (0)>f (133)．故选C ．13.【答案】 C【考点】函数的单调性及单调区间 【解析】根据函数单调性的性质分别进行判断即可． 【解答】解：A ，f (x )=3−x 在(0,+∞)上为减函数，不满足条件； B ，f (x )=(x −1)2在(1,+∞)上为增函数，不满足条件； C ， f （x ）=−1x+1在(0,+∞)上为增函数，满足条件；D ，f (x )=−|x |={−x ，x ≥0,x ，x <0,在(0,+∞)上为减函数，不满足条件．故选C. 14. 【答案】 B【考点】函数的单调性及单调区间 【解析】 无【解答】解：令t (x )=x 2−2x =(x −1)2−1， 则f (t )=(12)t，∵ t (x )在(−∞,1)上单调递减，(1,+∞)上单调递增， 而f (t )在R 上单调递减，∴ f (x )在(1,+∞)上单调递减. 故选B . 15.【答案】 A【考点】函数的单调性及单调区间 【解析】设m =f(t)−1t，根据y =f (t )单调函数，以及f [f (t )−1t]=2可知，当f (m )=2时，m 的值是唯一的；又f (t )=m +1t ，所以f (m )=m +1m =2，求出m 的值．进而求出y =f(t)的解析式．即可求出结果 . 【解答】解：设m =f(t)−1t ，则f (m )=2. 因为y =f (t )是单调函数， 所以f (m )=2的解m 是唯一的. 又f(t)=m +1t ， 所以f (m )=m +1m =2，解得m =1， 所以f(t)=1+1t ， 所以f (12019)=2020. 故选A ． 16.C【考点】函数单调性的性质函数的单调性及单调区间【解析】由题意可得，当x>−1时，y′=3−a(x−a−2)2≥0，可得{3−a≥0a+2≤−1，由此求得a的范围．【解答】解：y=x−a−2+a−3x−a−2=1+a−3x−a−2∵ 当a<3时，函数y在(a+2，+∞)上单调递增，又函数y在(−1,+∞)上单调递增，∴a+2≤−1，即a≤−3，∴a的取值范围是：(−∞,−3].故选C.17.【答案】D【考点】函数的单调性及单调区间分段函数的应用已知函数的单调性求参数问题【解析】令各段均为减函数，再比较端点值即可求解.【解答】解：由题意得{0<a<1, 2a−1<0, 3a≤1,解得0<a≤13.故选D.二、填空题（本题共计 7 小题，每题 3 分，共计21分）18.【答案】(−∞, −1)，(−1, +∞)【考点】函数的单调性及单调区间【解析】根据分式函数的性质进行求解即可．【解答】解：函数的定义域为(−∞, −1)∪(−1, +∞)，则函数的单调递减区间为(−∞, −1)，(−1, +∞).故答案为：(−∞, −1)，(−1, +∞).19.【考点】函数单调性的判断与证明函数的单调性及单调区间【解析】讨论去绝对值，即可得到函数，从而确定单调性.【解答】解：当x≥3时，f(x)=x−3，此时f(x)为增函数；当x<3时，f(x)=−(x−3)=−x+3，此时f(x)为减函数，所以f(x)的单调增区间为[3,+∞).故答案为：[3,+∞).20.【答案】(−∞, −1],[3, +∞)【考点】函数的单调性及单调区间【解析】先求出该函数定义域为{x|x≤−1, 或x≥3}，可以看出该函数的单调区间和函数y= x2−2x−3在定义域上的单调区间一致，根据二次函数单调区间的求法即可得出该函数的单调区间．【解答】解：∵x2−2x−3≥0得x≤−1，或x≥3.∴函数y=x2−2x−3在(−∞, −1]上单调递减，在[3, +∞)上单调递增.∴该函数的递减区间为(−∞, −1]，递增区间为[3, +∞)．故答案为：(−∞, −1]；[3, +∞)．21.【答案】a<−1【考点】函数奇偶性的性质函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明函数的单调性及单调区间【解析】此题暂无解析【解答】解：∵g(−x)=−x3−5x=−g(x)，∴函数g(x)是奇函数，且函数在R上单调递增，∴原不等式可化为g(a+4)<−g(2a−1)=g(1−2a)，∴a+4<1−2a，解得a<−1.故答案为：a<−1.22.【答案】函数的单调性及单调区间【解析】根据二次函数f (x ) 的对称轴两侧单调性相反，列不等式求出a 的取值范围．【解答】解：函数f (x )=−x 2+2ax +3的对称轴为x =a又f (x )在(−∞,4)上是增函数，所以a ≥4，所以实数a 的取值范围是[4,+∞)．故答案为：[4,+∞)．23.【答案】[13, +∞) 【考点】函数的单调性及单调区间利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意可知，y ′=3x 2+2x +m ．若函数y =x 3+x 2+mx +1是R 上的单调函数，则y ′=3x 2+2x +m ≥0恒成立，则对于方程3x 2+2x +m =0，有Δ=4−12m ≤0，解得m ≥13，则m 的取值范围是[13, +∞)．故答案为：[13, +∞)． 24.【答案】a ≤32 【考点】导数求函数的最值函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明函数的单调性及单调区间【解析】判断函数f(x)是R 上的奇函数，且是增函数；把f(x 2+2)+f(−2ax)≥0恒成立化为x 2+2≥2ax 恒成立，设g(x)=x 2−2ax +2，利用二次函数的图象与性质，即可求出实数a 的取值范围．解：函数f(x)=e x −e −x +ln (x +√x 2+1)（其中e ≈2.71828），x ∈R ；且f(−x)=e −x −e x +ln (−x +√x 2+1)=−(e x −e −x )−ln (x +√x 2+1)=−f(x)， ∴ f(x)是上的奇函数.又f′(x)=e x +e −x +1+x √x 2+1x+√x 2+1>0恒成立，∴ f(x)是定义在R 上的单调增函数；若对任意的，f(x 2+2)+f(−2ax)≥0恒成立，∴ f (x 2+2)≥−f(−2ax)恒成立，∴ f (x 2+2)≥f(2ax)恒成立，∴ x 2+2≥2ax 恒成立，即x 2−2ax +2≥0在x ∈[2, +∞)上恒成立；设g(x)=x 2−2ax +2，其对称轴为x =a ，且开口向上；应满足{a <2,g(2)=4−4a +2≥0,解得a ≤32.故答案为：a ≤32．三、 解答题 （本题共计 7 小题 ，每题 10 分 ，共计70分 ）25.【答案】解：(1)g (x )=a (x −1)2+1+b −a(a >0)，可得g (x )在[2,3]上为增函数，故{g (3)=5，g (2)=2⇒{3a +1+b =5，1+b =2⇒{a =1，b =1.(2)g (x )=x 2−2x +2，f (x )=x +2x −2， 不等式f (2x )−k ⋅2x ≥0化为2x +22x −2≥k ⋅2x ，即1+2⋅(12x )2−2⋅(12x )≥k . 令12x =t ，则k ≤2t 2−2t +1，∵ x ∈[−1,0]，∴ 2x ∈[12,1]，∴ t ∈[1,2].记φ(t )=2t 2−2t +1，∴ φ(t )min =1，∴ k ≤1．【考点】函数的单调性及单调区间二次函数在闭区间上的最值二次函数的性质【解析】无无【解答】解：(1)g (x )=a (x −1)2+1+b −a(a >0)，可得g (x )在[2,3]上为增函数，故{g (3)=5，g (2)=2⇒{3a +1+b =5，1+b =2⇒{a =1，b =1.(2)g (x )=x 2−2x +2，f (x )=x +2x −2， 不等式f (2x )−k ⋅2x ≥0化为2x +22x −2≥k ⋅2x ，即1+2⋅(12x )2−2⋅(12x )≥k .令12x =t ，则k ≤2t 2−2t +1，∵ x ∈[−1,0]，∴ 2x ∈[12,1]，∴ t ∈[1,2]. 记φ(t )=2t 2−2t +1，∴ φ(t )min =1，∴ k ≤1．26.【答案】解：(1)根据题意，函数f(x)=ax 2+12x+b 是奇函数， 则有f(−x)＝−f(x)，即ax 2+1−2x+b =−ax 2+12x+b =ax 2+1−2x−b ，则有b ＝−b ，即b ＝0； 又由f(1)=32，即a+12=32， 即a ＝2；(2)由(1)可得：f(x)=2x 2+12x ，函数f(x)在(−∞, −1]上为增函数；证明：设x 1<x 2≤−1，则f(x 1)−f(x 2)=2x 12+12x 1−2x 22+12x 2 =(x 1−x 2)(2x 1x 2−1)2x 1x 2，又由x 1<x 2≤−1，则(x 1−x 2)<0，x 1x 2>0，2x 1x 2−1>0，则有f(x 1)−f(x 2)<0，故f(x)在(−∞, −1]上为增函数；(3)由(2)可得：f(x)在[−2, −1]上为增函数，∵ f(−2)=−94，f(−1)=−32，∴ 函数的值域为[−94, −32]．【考点】函数奇偶性的性质函数的单调性及单调区间函数的值域及其求法【解析】（1）根据题意，由奇函数的定义可得f(−x)＝−f(x)，即ax 2+1−2x+b =−ax 2+12x+b =ax 2+1−2x−b ，分析可得b 的值，由于f(1)的值求出a 的值，即可得答案；（2）根据题意，由作差法分析可得答案；（3）根据题意，由（2）可得：f(x)在[−2, −1]上为增函数；据此分析可得答案．【解答】解：(1)根据题意，函数f(x)=ax 2+12x+b 是奇函数， 则有f(−x)＝−f(x)，即ax 2+1−2x+b =−ax 2+12x+b =ax 2+1−2x−b ，则有b ＝−b ，即b ＝0；又由f(1)=32，即a+12=32， 即a ＝2；(2)由(1)可得：f(x)=2x 2+12x ，函数f(x)在(−∞, −1]上为增函数；证明：设x 1<x 2≤−1，则f(x 1)−f(x 2)=2x 12+12x 1−2x 22+12x 2 =(x 1−x 2)(2x 1x 2−1)2x 1x 2，又由x 1<x 2≤−1，则(x 1−x 2)<0，x 1x 2>0，2x 1x 2−1>0，则有f(x 1)−f(x 2)<0，故f(x)在(−∞, −1]上为增函数；(3)由(2)可得：f(x)在[−2, −1]上为增函数，∵ f(−2)=−94，f(−1)=−32，∴ 函数的值域为[−94, −32]． 27.【答案】单调增区间为(−∞,1)，单调减区间为(1,+∞)【考点】函数单调性的性质函数的单调性及单调区间奇偶性与单调性的综合【解析】根据二次函数对称轴确定单调性．【解答】因为y =−x 2+2x +3=−(x −1)2+4所以函数y =−x 2+2x +3的单调增区间为(−∞,1)，单调减区间为(1,+∞)28.【答案】（1）f(x)=x2+2x；（2）f(x)的单调递增区间是[−1,1]；单调递减区间是(−∞,−1],[1,+∞)【考点】二次函数的性质函数的单调性及单调区间奇偶性与单调性的综合【解析】（1）任取x<0，则−x>0f(−x)=−(−x)2+2(−x)=−x2−2x，又f(x)为奇函数，f(x)=−f(−x)=x2+2x即得解，（2）分析单调性可得f(x)的单调递增区间是[−1,1];单调递减区间是(−∞,−1],[1,+∞)【解答】（1）任取x<0，则−x>0，f(−x)=−(−x)2+2(−x)=−x2−2x，又f(x)为奇函数，f(x)=−f(−x)=x2+2x，所以x<0时，函数f(x)=x2+2x（2）f(x)的单调递增区间是[−1,1]；单调递减区间是(−∞,−1],[1,+∞)29.【答案】解：(1)∵f(x)=x2+ax−2的对称轴为直线x=−a，且抛物线开口向上，2∴函数f(x)的单调递增区间为(−a,+∞)，2又∵函数f(x)在区间(−1,2)上单调递增，∴(−1,2)⊆(−a,+∞)，2，即−1≥−a2解得a≥2，∴a的取值范围为[2,+∞).(2)易知函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．f(−x)=(−x)2+a(−x)−2=x2−ax−2，当a=0时，则f(−x)=(−x)2+a(−x)−2=x2−2=f(x)，此时函数f(x)为偶函数；当a≠0时，则f(−x)=(−x)2+a(−x)−2=x2−ax−2≠f(x)，此时函数f(x)为非奇非偶函数.【考点】函数的单调性及单调区间函数奇偶性的判断【解析】无无【解答】解：(1)∵f(x)=x2+ax−2的对称轴为直线x=−a，且抛物线开口向上，2∴函数f(x)的单调递增区间为(−a2,+∞)，又∵函数f(x)在区间(−1,2)上单调递增，∴(−1,2)⊆(−a2,+∞)，即−1≥−a2，解得a≥2，∴a的取值范围为[2,+∞).(2)易知函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．f(−x)=(−x)2+a(−x)−2=x2−ax−2，当a=0时，则f(−x)=(−x)2+a(−x)−2=x2−2=f(x)，此时函数f(x)为偶函数；当a≠0时，则f(−x)=(−x)2+a(−x)−2=x2−ax−2≠f(x)，此时函数f(x)为非奇非偶函数.30.【答案】解：(1)对于函数g(x)=2x的定义域R内任意的x1，取x2=−x1，则g(x1)g(x2)=1，且由g(x)=2x在R上单调递增，可知x2的取值唯一，故g(x)=2x是“依赖函数”.(2)因为m>1，f(x)=(x−1)2在[m, n]递增，故f(m)f(n)=1，即(m−1)2(n−1)2=1，由n>m>1，得(m−1)(n−1)=1，故n=mm−1，由n>m>1，得1<m<2，从而mn=m 2m−1=m−1+1m−1+2在m∈(1, 2)上单调递减，故mn∈(4, +∞).【考点】函数新定义问题函数的单调性及单调区间【解析】【解答】解：(1)对于函数g(x)=2x的定义域R内任意的x1，取x2=−x1，则g(x1)g(x2)=1，且由g(x)=2x在R上单调递增，可知x2的取值唯一，故g(x)=2x是“依赖函数”.(2)因为m>1，f(x)=(x−1)2在[m, n]递增，故f(m)f(n)=1，即(m−1)2(n−1)2=1，由n>m>1，得(m−1)(n−1)=1，故n=mm−1，由n>m>1，得1<m<2，从而mn=m 2m−1=m−1+1m−1+2在m∈(1, 2)上单调递减，故mn∈(4, +∞).31.【答案】解：(1)因为函数f (x )=ax+b x 2+1是(−1,1)上的奇函数，f (12)=25． 所以{f (0)=0，f (12)=25，即{b =0,12a+b 14+1=25，解得{a =1，b =0，∴ f (x )=x x 2+1，x ∈(−1,1)．(2)f (x )在(−1,1)上递增，证明如下：任取x 1，x 2∈(−1,1)，且x 1>x 2，则f (x 1)−f (x 2)=x 1x 12+1−x 2x 22+1=x 1(x 22+1)−x 2(x 12+1)(x 12+1)(x 22+1)=x 1x 22−x 12x 2+x 1−x 2(x 12+1)(x 22+1)=(x 1−x 2)(1−x 1x 2)(x 22+1)(x 22+1)，∵ x 1，x 2∈(−1,1)，∴ 1−x 1x 2>0.又x 1>x 2，∴ x 1−x 2>0，∴ f (x 1)−f (x 2)>0，∴ f (x 1)>f (x 2)，即f (x )在(−1,1)上递增．(3)f (t −1)+f (t )>0可化为f (t −1)>f (−t )，∴ {−1<t −1<1，−1<t <1，t −1>−t ，解得{ 0<t <2，−1<t <1，t >12，⇒12<t <1． ∴ t 的取值范围为(12,1)．【考点】奇函数函数的单调性及单调区间其他不等式的解法奇偶性与单调性的综合【解析】无无无【解答】解：(1)因为函数f (x )=ax+b x 2+1是(−1,1)上的奇函数，f (12)=25． 所以{f (0)=0，f (12)=25，即{b =0,12a+b14+1=25，解得{a =1，b =0，∴ f (x )=xx 2+1，x ∈(−1,1)．(2)f (x )在(−1,1)上递增，证明如下：任取x 1，x 2∈(−1,1)，且x 1>x 2，则f (x 1)−f (x 2)=x 1x 12+1−x 2x 22+1=x 1(x 22+1)−x 2(x 12+1)(x 12+1)(x 22+1)=x 1x 22−x 12x 2+x 1−x 2(x 12+1)(x 22+1)=(x 1−x 2)(1−x 1x 2)(x 22+1)(x 22+1)，∵ x 1，x 2∈(−1,1)，∴ 1−x 1x 2>0.又x 1>x 2，∴ x 1−x 2>0，∴ f (x 1)−f (x 2)>0，∴ f (x 1)>f (x 2)，即f (x )在(−1,1)上递增．(3)f (t −1)+f (t )>0可化为f (t −1)>f (−t )，∴ {−1<t −1<1，−1<t <1，t −1>−t ，解得{ 0<t <2，−1<t <1，t >12，⇒12<t <1． ∴ t 的取值范围为(12,1)．。

2020高考数学刷题首选卷考点测试6函数的单调性理(含解析)

2020高考数学刷题首选卷考点测试6函数的单调性理(含解析)

考点测试6 函数的单调性一、基础小题1．若函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 是R 上的减函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．12，＋∞ B．－∞，12 C ．12，＋∞ D．－∞，12 答案 D解析 当2a －1<0，即a <12时，该函数是R 上的减函数．故选D ．2．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln (x ＋1) 答案 A解析 f (x )＝(x －1)2在(0，＋∞)上不单调，f (x )＝e x与f (x )＝ln (x ＋1)在(0，＋∞)上单调递增，故选A ．3．下列四个函数中，在定义域内不是单调函数的是( ) A ．y ＝－2x ＋1 B ．y ＝1xC ．y ＝lg xD ．y ＝x 3答案 B解析 y ＝－2x ＋1在定义域内为单调递减函数；y ＝lg x 在定义域内为单调递增函数；y ＝x 3在定义域内为单调递增函数；y ＝1x在(－∞，0)和(0，＋∞)上皆为单调递减函数，但在定义域内不是单调函数．故选B ．4．已知函数y ＝f (x )在R 上单调递增，且f (m 2＋1)>f (－m ＋1)，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(0，＋∞)C ．(－1，0)D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) 答案 D解析 由题得m 2＋1>－m ＋1，故m 2＋m >0，解得m <－1或m >0．故选D ． 5．函数y ＝log 12(2x 2－3x ＋1)的递减区间为( )A ．(1，＋∞) B．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，34 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞答案 A解析 由2x 2－3x ＋1>0，得函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪(1，＋∞)．令t ＝2x 2－3x ＋1，则y ＝log 12t ．∵t ＝2x 2－3x ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342－18，∴t ＝2x 2－3x ＋1的单调递增区间为(1，＋∞)． 又y ＝log 12t 在(0，＋∞)上是减函数，∴函数y ＝log 12(2x 2－3x ＋1)的单调递减区间为(1，＋∞)．故选A ．6．定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有f (a )－f (b )a －b>0成立，则必有( )A ．函数f (x )先增加后减少B ．函数f (x )先减少后增加C ．f (x )在R 上是增函数D ．f (x )在R 上是减函数 答案 C解析 因为f (a )－f (b )a －b>0，所以，当a >b 时，f (a )>f (b )，当a <b 时，f (a )<f (b )，由增函数定义知，f (x )在R 上是增函数．故选C ．7．函数f (x )＝是增函数，则实数c 的取值范围是( )A ．[－1，＋∞) B．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，－1] 答案 A解析 作出函数图象可得f (x )在R 上单调递增，则c ≥－1，即实数c 的取值范围是[－1，＋∞)．故选A ．8．若函数f (x )＝8x 2－2kx －7在[1，5]上为单调函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－∞，8] B ．[40，＋∞)C ．(－∞，8]∪[40，＋∞) D．[8，40] 答案 C解析 由题意知函数f (x )＝8x 2－2kx －7图象的对称轴为x ＝k8，因为函数f (x )＝8x 2－2kx －7在[1，5]上为单调函数，所以k 8≤1或k8≥5，解得k ≤8或k ≥40，所以实数k 的取值范围是(－∞，8]∪[40，＋∞)．故选C ．9．函数f (x )在(a ，b )和(c ，d )上都是增函数，若x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，d )，且x 1<x 2，则( )A ．f (x 1)<f (x 2)B ．f (x 1)>f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．无法确定 答案 D解析 因为f (x )＝－1x在(－2，－1)和(1，2)上都是增函数，f (－1．5)>f (1．5)；f (x )＝2x在R 上是增函数，f (－1．5)<f (1．5)，所以函数值无法确定．故选D ．10．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1，0)∪(0，1]B ．(－1，0)∪(0，1)C ．(0，1)D ．(0，1] 答案 D解析 f (x )＝－(x －a )2＋a 2，当a ≤1时，f (x )在[1，2]上是减函数；g (x )＝ax ＋1，当a >0时，g (x )在[1，2]上是减函数，则a 的取值范围是0<a ≤1．故选D ．11．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间为________． 答案 0，32解析 y ＝－(x －3)|x |＝作出其图象如图，观察图象知递增区间为0，32．12．已知f (x )＝ax ＋1x ＋2，若对任意x 1，x 2∈(－2，＋∞)，有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，则a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析 由f (x )＝ax ＋1x ＋2＝a ＋1－2ax ＋2，且y ＝f (x )在(－2，＋∞)是增函数，得1－2a <0，即a >12．二、高考小题13．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝ln (x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞) D．(4，＋∞) 答案 D解析 由x 2－2x －8>0可得x >4或x <－2， 所以x ∈(－∞，－2)∪(4，＋∞)， 令u ＝x 2－2x －8，则其在x ∈(－∞，－2)上单调递减， 在x ∈(4，＋∞)上单调递增．又因为y ＝ln u 在u ∈(0，＋∞)上单调递增，所以y ＝ln (x 2－2x －8)在x ∈(4，＋∞)上单调递增．故选D ．14．(2017·北京高考)已知函数f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，则f (x )( )A ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数 答案 A解析 ∵函数f (x )的定义域为R ，f (－x )＝3－x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －3x ＝－f (x )，∴函数f (x )是奇函数．∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上是减函数，∴函数y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上是增函数．又∵y ＝3x在R 上是增函数，∴函数f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是增函数．故选A ．15．(2016·北京高考)下列函数中，在区间(－1，1)上为减函数的是( ) A ．y ＝11－xB ．y ＝cos xC ．y ＝ln (x ＋1)D ．y ＝2－x答案 D解析 选项A 中，y ＝11－x ＝1－(x －1)的图象是将y ＝－1x 的图象向右平移1个单位得到的，故y ＝11－x在(－1，1)上为增函数，不符合题意；选项B 中，y ＝cos x 在(－1，0)上为增函数，在(0，1)上为减函数，不符合题意；选项C 中，y ＝ln (x ＋1)的图象是将y ＝ln x 的图象向左平移1个单位得到的，故y ＝ln (x ＋1)在(－1，1)上为增函数，不符合题意；选项D 符合题意．16．(2015·湖南高考改编)设函数f (x )＝ln (1＋x )－ln (1－x )，则f (x )是( ) A ．在(－1，1)上是增函数 B ．在(－1，1)上是减函数C ．在(－1，0)上是减函数，在(0，1)上是增函数D ．在(－1，0)上是增函数，在(0，1)上是减函数 答案 A解析 由f (x )＝ln (1＋x )－ln (1－x )，得f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x －1．∵t ＝21－x －1在(－1，1)上单调递增，y ＝ln t 在(0，＋∞)上单调递增，∴y ＝f (x )在(－1，1)上单调递增．17．(2015·湖北高考)已知符号函数sgn x ＝f (x )是R 上的增函数，g (x )＝f (x )－f (ax )(a >1)，则( )A ．sgn[g (x )]＝sgn xB ．sgn[g (x )]＝－sgn xC ．sgn[g (x )]＝sgn[f (x )]D ．sgn[g (x )]＝－sgn[f (x )] 答案 B解析 ∵f (x )是R 上的增函数，a >1，∴当x >0时，x <ax ，有f (x )<f (ax )，则g (x )<0； 当x ＝0时，g (x )＝0；当x <0时，x >ax ，有f (x )>f (ax )，则g (x )>0．∴sgn[g (x )]＝∴sgn[g (x )]＝－sgn x ．故选B ．18．(2016·天津高考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 解析 由题意知函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．因为f (2|a －1|)>f (－2)，且f (－2)＝f (2)，所以f (2|a －1|)>f (2)，所以2|a －1|<212，解之得12<a <32． 三、模拟小题19．(2018·山西晋城一模)已知函数f (x )＝log a (－x 2－2x ＋3)(a >0且a ≠1)，若f (0)<0，则此函数的单调递增区间是( )A ．(－∞，－1]B ．[－1，＋∞)C ．[－1，1)D ．(－3，－1]答案 C解析 令g (x )＝－x 2－2x ＋3，由题意知g (x )>0，可得－3<x <1，故函数的定义域为{x |－3<x <1}．根据f (0)＝log a 3<0，可得0<a <1，则本题即求函数g (x )在(－3，1)内的单调递减区间．利用二次函数的性质可求得函数g (x )在(－3，1)内的减区间为[－1，1)，故选C ．20．(2018·广东深圳一检)已知函数f (x )＝log 2(5－ax )在[0，2]上是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(0，＋∞) B．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，52C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52答案 C解析 ∵y ＝log 2x 是增函数，∴u ＝5－ax 在[0，2]上是减函数，且5－2a >0，即∴0<a <52．故选C ．21．(2018·云南昆明5月检测)已知函数f (x )＝若f (a－1)≥f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．－∞，12B ．12，＋∞C ．0，12D ．12，1答案 A解析 函数f (x )＝e －x ＝1e x 在(－∞，0]上为减函数，函数y ＝－x 2－2x ＋1的图象开口向下，对称轴为x ＝－1，所以函数f (x )＝－x 2－2x ＋1在区间(0，＋∞)上为减函数，且e－＝－02－2×0＋1，所以函数f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．由f (a －1)≥f (－a )得a －1≤－a ．解得a ≤12．故选A ．22．(2018·广东名校联考二)设函数f (x )在R 上为增函数，则下列结论一定正确的是( )A ．y ＝1f (x )在R 上为减函数 B ．y ＝|f (x )|在R 上为增函数C ．y ＝－1f (x )在R 上为增函数 D ．y ＝－f (x )在R 上为减函数 答案 D解析 A 错误，如y ＝x 3，y ＝1f (x )在R 上无单调性； B 错误，如y ＝x 3，y ＝|f (x )|在R 上无单调性； C 错误，如y ＝x 3，y ＝－1f (x )在R 上无单调性； 故选D ．23．(2019·四川“联测促改”活动试题)已知函数f (x )在区间[－2，2]上单调递增，若f (log 2m )<f [log 4(m ＋2)]成立，则实数m 的取值范围是( )A ．14，2B ．14，1 C ．(1，4] D ．[2，4] 答案 A解析 ∵函数f (x )在区间[－2，2]上单调递增，∴即解得14≤m <2．∴实数m 的取值范围是14，2．故选A ．24．(2018·河南新乡一检)已知f (x )＝是(－∞，＋∞)上的增函数，那么实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3 解析 由题意可知，解得a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题1．(2018·山东菏泽质检)已知f (x )定义在[－1，1]上且f (－x )＝－f (x )，当a ，b ∈[－1，1]，a ＋b ≠0时，有f (a )＋f (b )a ＋b>0．试判断函数f (x )在[－1，1]上的单调性，并证明．解 函数f (x )在[－1，1]上是增函数．证明：任取x 1，x 2∈[－1，1]且x 1<x 2，则－x 2∈[－1，1]．又f (－x )＝－f (x )，于是f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)x 1＋(－x 2)·(x 1－x 2)．又f (x 1)＋f (－x 2)x 1＋(－x 2)>0，x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在[－1，1]上是增函数． 2．(2019·安徽肥东高级中学调研)函数f (x )＝2x －ax的定义域为(0，1]． (1)当a ＝－1时，求函数y ＝f (x )的值域；(2)若函数y ＝f (x )在定义域上是减函数，求a 的取值范围．解 (1)因为函数y ＝f (x )＝2x ＋1x ≥22当且仅当x ＝22时，等号成立，所以函数y ＝f (x )的值域为[22，＋∞)．(2)若函数y ＝f (x )在定义域上是减函数，则任取x 1，x 2∈(0，1]且x 1<x 2都有f (x 1)>f (x 2)成立，即(x 1－x 2)a ＋2x 1x 2x 1x 2>0，只要a <－2x 1x 2即可， 由x 1，x 2∈(0，1]，故－2x 1x 2∈(－2，0)， 所以a ≤－2，故a 的取值范围是(－∞，－2]．3．(2019·陕西西安长安区大联考)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，且当x >1时，f (x )>0．(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调增函数；(3)若f 15＝－1，求f (x )在125，125上的最值．解 (1)因为函数f (x )满足f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，令x 1＝x 2＝1，则f (1)＝f (1)＋f (1)，解得f (1)＝0．(2)证明：设x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2， 则x 1x 2>1，∴f x 1x 2>0，∴f (x 1)－f (x 2)＝fx 2·x 1x 2－f (x 2) ＝f (x 2)＋f x 1x 2－f (x 2)＝f x 1x 2>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (3)因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数． 若f 15＝－1，则f 15＋f 15＝f 125＝－2，即f 15×5＝f (1)＝f 15＋f (5)＝0，即f (5)＝1，则f (5)＋f (5)＝f (25)＝2，f (5)＋f (25)＝f (125)＝3，即f (x )在125，125上的最小值为－2，最大值为3．4．(2018·山西康杰中学月考)已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围． 解 (1)证明：设x 1<x 2<－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2)． 因为(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)解法一：设1<x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a－x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a )． 因为a >0，x 2－x 1>0，所以要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，所以a ≤1． 综上所述，0<a ≤1． 解法二：f ′(x )＝－a (x －a )2．∵f (x )在(1，＋∞)内单调递减，∴f′(x)≤0在(1，＋∞)内恒成立，∴－a(x－a)2≤0在(1，＋∞)内恒成立，∴(x－a)2>0在(1，＋∞)内恒成立．当a>1时，x＝a时，(x－a)2＝0不符合题意．∴a≤1．综上所述0<a≤1．。

函数的单调性·基础练习

函数的单调性·基础练习

函数的单调性·基础练习函数的单调性(一)选择题[ ]A ．增函数B ．既不是增函数又不是减函数C ．减函数D ．既是增函数又是减函数2．函数(1) ,(2) ,(3) ,(4) 中在上围增函数的有[ ]A ．(1)和(2)B ．(2)和(3)C ．(3)和(4)D ．(1)和(4)3．若y ＝(2k －1)x ＋b 是R 上的减函数，则有[ ]A 、B 、C 、D 、4．如果函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，那么实数a 的取值范围是[ ]A ．a ≥－3B ．a ≤－3C ．a ≤5D ．a ≥35．函数y ＝3x －2x 2＋1的单调递增区间是[ ]1y ()．函数＝－在区间－∞，＋∞上是x 2x y =x x y =x x y 2-=x xx y +=)0,(-∞21>k 21<k 21->k 21-<kA 、B 、C 、D 、6．若y ＝f (x )在区间(a ，b)上是增函数，则下列结论正确的是[ ]A ．在区间上是减函数B ．y ＝－f (x )在区间(a ，b)上是减函数C ．y ＝|f (x )|2在区间(a ，b)上是增函数D ．y ＝|f (x )|在区间(a ，b)上是增函数7．设函数f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，则[ ]A ．f (a)＞f(2a)B ．f (a 2)＜f (a)C ．f (a 2＋a)＜f (a)D ．f (a 2＋1)＜f (a)(二)填空题1．(1)函数的单调区间是 (2)函数的单调区间是 2．函数y ＝4x 2－m x ＋5，当x ∈(－2，＋∞)时，是增函数，当x ∈(－∞，－2)时是减函数，则f (1)＝________．3．(1)函数的增区间是(2)函数的减区间是 ⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-43,⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,43⎦⎤ ⎝⎛-∞-43,⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,43)(1x f y =()b a ,xy -=11xx y +-=11245x x y --=322-+=x x y4．函数f (x ＋1)＝x 2－2x ＋1的定义域是[－2，0]，则f (x )的单调递减区间是________．5．已知函数f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f (a 2－a ＋1)与之间的大小关系是 。

函数的单调性练习题

函数的单调性练习题

函数的单调性练习题高一数学同步测试（6）—函数的单调性1.在区间(0.+∞)上不是增函数的函数是：B。

y=3x^2+1.2.函数f(x)=4x^2-mx+5在区间[-2.+∞]上是增函数，在区间(-∞。

-2)上是减函数，则f(1)等于：C。

17.3.函数f(x)在区间(-2.3)上是增函数，则y=f(x+5)的递增区间是：A。

(3.8)。

4.函数f(x)=(ax+1)/(x+2)在区间(-2.+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是：B。

(0.+∞)。

5.已知函数f(x)在区间[a。

b]上单调，且f(a)f(b)<0，则方程f(x)=0在区间[a。

b]内：A。

至少有一实根。

6.已知函数f(x)=8+2x-x^2，如果g(x)=f(2-x^2)，那么函数g(x)：B。

在区间(0.1)上是减函数。

7.已知函数f(x)是R上的增函数，A(0.-1)、B(3.1)是其图象上的两点，那么不等式|f(x+1)|<1的解集的补集是：D。

(-∞。

-1)∪[2.+∞)。

8.已知定义域为R的函数f(x)在区间(-∞。

5)上单调递减，对任意实数t，都有f(5+t)=f(5-t)，那么下列式子一定成立的是：C。

f(9)<f(-1)<f(13)。

9.函数f(x)=|x|和g(x)=x(2-x)的递增区间依次是：B。

(-∞。

]。

[1.+∞)。

10.已知函数f(x)=x^2+2(a-1)x+2在区间(-∞。

4]上是减函数，则实数a的取值范围是：C。

[-1.1]。

1.已知函数 $f(x)$ 在区间 $(-\infty,+\infty)$ 上是增函数，实数 $a,b\in \mathbb{R}$ 且 $a+b\leq 0$，则下列不等式中正确的是（）A。

$f(a)+f(b)\leq -f(a)+f(b)$B。

$f(a)+f(b)\leq f(-a)+f(-b)$C。

$f(a)+f(b)\geq -f(a)+f(b)$D。

(完整版)函数的单调性练习题(含答案)

(完整版)函数的单调性练习题(含答案)

函数的单调性练习一、选择题：1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（ ）A ．y =2x ＋1B ．y =3x 2＋1C ．y =x2D ．y =2x 2＋x ＋12．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f (1)等于 （ ） A ．－7 B ．1 C ．17 D ．253．函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是 （ ） A ．(3，8) B ．(－7，－2) C ．(－2，3) D ．(0，5) 4．函数f (x )=21++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．(0，21)B ．( 21，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内（ ） A ．至少有一实根 B ．至多有一实根 C ．没有实根 D ．必有唯一的实根 6．已知函数f (x )=8＋2x －x 2，如果g (x )=f ( 2－x 2 )，那么函数g (x ) （ ） A ．在区间(－1，0)上是减函数 B ．在区间(0，1)上是减函数 C ．在区间(－2，0)上是增函数 D ．在区间(0，2)上是增函数7．已知函数f (x )是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式|f (x ＋1)|＜1的解集的补集是 （ ） A ．(－1，2) B ．(1，4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞）D ．(－∞，－1)∪[2，＋∞）8．已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5－t )，那么下列式子一定成立的是 （ ） A ．f (－1)＜f (9)＜f (13) B ．f (13)＜f (9)＜f (－1) C ．f (9)＜f (－1)＜f (13) D ．f (13)＜f (－1)＜f (9) 9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是（ ）A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞10．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≤3 B ．a ≥－3 C ．a ≤5 D ．a ≥3 11．已知f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a 、b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列不等式中正确的是（ ） A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )＋f (b )］ B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b ) C ．f (a )＋f (b )≥－f (a )＋f (b )］ D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )12．定义在R 上的函数y =f (x )在(－∞，2)上是增函数，且y =f (x ＋2)图象的对称轴是x =0，则 （ ） A ．f (－1)＜f (3) B ．f (0)＞f (3) C ．f (－1)=f (－3) D ．f (2)＜f (3) 二、填空题：13．函数y =(x －1)-2的减区间是___ _． 14．函数y =x －2x -1＋2的值域为__ ___． 15、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y fx =-的单调递减区间为 .16、函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__ ． 三、解答题：17．f (x )是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f (yx) = f (x )－f (y ) （1）求f (1)的值．（2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x1) ＜2 ．18．函数f (x )=－x 3＋1在R 上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R 上是增函数还是减函数？试证明你的结论．19．试讨论函数f (x )=21x -在区间［－1，1］上的单调性．20．设函数f (x )=12+x －ax ，(a ＞0)，试确定：当a 取什么值时，函数f (x )在0，＋∞)上为 单调函数．21．已知f (x )是定义在(－2，2)上的减函数，并且f (m －1)－f (1－2m )＞0，求实数m 的取值范围．22．已知函数f (x )=xax x ++22，x ∈［1，＋∞］（1）当a =21时，求函数f (x )的最小值；（2）若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题： CDBBD ADCCA BA二、填空题：13. (1，＋∞)， 14. (－∞，3)，15.[)3,+∞， ⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,三、解答题：17.解析：①在等式中0≠=y x 令，则f (1)=0．②在等式中令x=36，y=6则.2)6(2)36(),6()36()636(==∴-=f f f f f 故原不等式为：),36()1()3(f xf x f <-+即f [x (x ＋3)]＜f (36)， 又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，故不等式等价于：.23153036)3(00103-<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<>>+x x x xx18.解析： f (x )在R 上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：设x 1、x 2∈(－∞，＋∞)， x 1＜x 2 ，则f (x 1)=－x 13＋1， f (x 2)=－x 23＋1．f (x 1)－f (x 2)=x 23－x 13=(x 2－x 1)(x 12＋x 1x 2＋x 22)=(x 2－x 1)［(x 1＋22x )2＋43x 22］．∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0而(x 1＋22x )2＋43x 22＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)．∴函数f (x )=－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．19.解析： 设x 1、x 2∈－1，1］且x 1＜x 2，即－1≤x 1＜x 2≤1．f (x 1)－f (x 2)=211x -－221x -=2221222111)1()1(x x x x -+----=2221121211))((x x x x x x -+-+-∵x 2－x 1＞0，222111x x -+-＞0，∴当x 1＞0，x 2＞0时，x 1＋x 2＞0，那么f (x 1)＞f (x 2)． 当x 1＜0，x 2＜0时，x 1＋x 2＜0，那么f (x 1)＜f (x 2)．故f (x )=21x -在区间［－1，0］上是增函数，f (x )=21x -在区间［0，1］上是减函数． 20.解析：任取x 1、x 2∈0，＋)∞且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)=121+x －122+x －a (x 1－x 2)=1122212221+++-x x x x －a (x 1－x 2)=(x 1－x 2)(11222121++++x x x x －a )(1)当a ≥1时，∵11222121++++x x x x ＜1，又∵x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)∴a ≥1时，函数f (x )在区间［0，＋∞)上为减函数． (2)当0＜a ＜1时，在区间［0，＋∞］上存在x 1=0，x 2=212aa-，满足f (x 1)=f (x 2)=1 ∴0＜a ＜1时，f (x )在［０，＋)∞上不是单调函数 注： ①判断单调性常规思路为定义法； ②变形过程中11222121++++x x x x ＜1利用了121+x ＞|x 1|≥x 1;122+x ＞x 2；③从a 的范围看还须讨论0＜a ＜1时f (x )的单调性，这也是数学严谨性的体现．21.解析： ∵f (x )在(－2，2)上是减函数∴由f (m －1)－f (1－2m )＞0，得f (m －1)＞f (1－2m )∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<-<<-⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-32232131211,2212212m m m m m m m 即 解得3221<<-m ，∴m 的取值范围是(－32,21)22.解析： (1)当a =21时，f (x )=x ＋x21＋2，x ∈1，＋∞) 设x 2＞x 1≥1，则f (x 2)－f (x 1)=x 2＋1122121x x x --=(x 2－x 1)＋21212x x x x -=(x 2－x 1)(1－2121x x ) ∵x 2＞x 1≥1，∴x 2－x 1＞0，1－2121x x ＞0，则f (x 2)＞f (x 1) 可知f (x )在［1，＋∞)上是增函数．∴f (x )在区间［1，＋∞)上的最小值为f (1)=27． (2)在区间［1，＋∞)上，f (x )=xax x ++22＞0恒成立⇔x 2＋2x ＋a ＞0恒成立设y =x 2＋2x ＋a ，x ∈1，＋∞)，由y =(x ＋1)2＋a －1可知其在[1，＋∞)上是增函数， 当x =1时，y min =3＋a ，于是当且仅当y min =3＋a ＞0时函数f (x )＞0恒成立．故a ＞－3．。

函数的单调性练习题(含答案)

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函数的单调性练习一、选择题：1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（ ）A ．y =2x ＋1B ．y =3x 2＋1C ．y =x2D ．y =2x 2＋x ＋12．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f (1)等于 （ ）A ．－7B ．1C ．17D ．253．函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是 （ ）A ．(3，8)B ．(－7，－2)C ．(－2，3)D ．(0，5)4．函数f (x )=21++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．(0，21)B ．( 21，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内（ ） A ．至少有一实根 B ．至多有一实根C ．没有实根D ．必有唯一的实根6．已知函数f (x )=8＋2x －x 2，如果g (x )=f ( 2－x 2)，那么函数g (x )（ ）A ．在区间(－1，0)上是减函数B ．在区间(0，1)上是减函数C ．在区间(－2，0)上是增函数D ．在区间(0，2)上是增函数7．已知函数f (x )是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式|f (x ＋1)|＜1的解集的补集是（ ）A ．(－1，2)B ．(1，4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞）D ．(－∞，－1)∪[2，＋∞）8．已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5－t )，那么下列式子一定成立的是（ ）A ．f (－1)＜f (9)＜f (13)B ．f (13)＜f (9)＜f (－1)C ．f (9)＜f (－1)＜f (13)D ．f (13)＜f (－1)＜f (9)9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是（ ）A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞10．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≤3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥311．已知f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a 、b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列不等式中正确的是（ ） A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )＋f (b )］ B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b )C ．f (a )＋f (b )≥－f (a )＋f (b )］D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )12．定义在R 上的函数y =f (x )在(－∞，2)上是增函数，且y =f (x ＋2)图象的对称轴是x =0，则（ ）A ．f (－1)＜f (3)B ．f (0)＞f (3)C ．f (－1)=f (－3)D ．f (2)＜f (3) 二、填空题：13．函数y =(x －1)-2的减区间是___ _．14．函数y =x －2x -1＋2的值域为__ ___． 15、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y fx =-的单调递减区间为 .16、函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__ ． 三、解答题：17．f (x )是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f (yx) = f (x )－f (y ) （1）求f (1)的值．（2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x1) ＜2 ．18．函数f (x )=－x 3＋1在R 上是否具有单调性如果具有单调性，它在R 上是增函数还是减函数试证明你的结论．19．试讨论函数f (x )=21x -在区间［－1，1］上的单调性．20．设函数f (x )=12+x －ax ，(a ＞0)，试确定：当a 取什么值时，函数f (x )在0，＋∞)上为单调函数．21．已知f (x )是定义在(－2，2)上的减函数，并且f (m －1)－f (1－2m )＞0，求实数m 的取值范围．22．已知函数f (x )=xax x ++22，x ∈［1，＋∞］（1）当a =21时，求函数f (x )的最小值；（2）若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题： CDBBD ADCCA BA二、填空题：13. (1，＋∞)， 14. (－∞，3)，15.[)3,+∞， ⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,三、解答题：17.解析：①在等式中0≠=y x 令，则f (1)=0．②在等式中令x=36，y=6则.2)6(2)36(),6()36()636(==∴-=f f f f f 故原不等式为：),36()1()3(f xf x f <-+即f [x (x ＋3)]＜f (36)， 又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，故不等式等价于：.23153036)3(00103-<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<>>+x x x xx18.解析： f (x )在R 上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：设x 1、x 2∈(－∞，＋∞)， x 1＜x 2 ，则f (x 1)=－x 13＋1， f (x 2)=－x 23＋1．f (x 1)－f (x 2)=x 23－x 13=(x 2－x 1)(x 12＋x 1x 2＋x 22)=(x 2－x 1)［(x 1＋22x )2＋43x 22］．∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0而(x 1＋22x )2＋43x 22＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)．∴函数f (x )=－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数． 19.解析： 设x 1、x 2∈－1，1］且x 1＜x 2，即－1≤x 1＜x 2≤1．f (x 1)－f (x 2)=211x -－221x -=2221222111)1()1(x x x x -+----=2221121211))((x x x x x x -+-+-∵x 2－x 1＞0，222111x x -+-＞0，∴当x 1＞0，x 2＞0时，x 1＋x 2＞0，那么f (x 1)＞f (x 2)． 当x 1＜0，x 2＜0时，x 1＋x 2＜0，那么f (x 1)＜f (x 2)．故f (x )=21x -在区间［－1，0］上是增函数，f (x )=21x -在区间［0，1］上是减函数．20.解析：任取x 1、x 2∈0，＋)∞且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)=121+x －122+x －a (x 1－x 2)=1122212221+++-x x x x －a (x 1－x 2)=(x 1－x 2)(11222121++++x x x x －a )(1)当a ≥1时，∵11222121++++x x x x ＜1，又∵x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2) ∴a ≥1时，函数f (x )在区间［0，＋∞)上为减函数． (2)当0＜a ＜1时，在区间［0，＋∞］上存在x 1=0，x 2=212a a-，满足f (x 1)=f (x 2)=1 ∴0＜a ＜1时，f (x )在［０，＋)∞上不是单调函数 注： ①判断单调性常规思路为定义法； ②变形过程中11222121++++x x x x ＜1利用了121+x ＞|x 1|≥x 1;122+x ＞x 2；③从a 的范围看还须讨论0＜a ＜1时f (x )的单调性，这也是数学严谨性的体现．21.解析： ∵f (x )在(－2，2)上是减函数∴由f (m －1)－f (1－2m )＞0，得f (m －1)＞f (1－2m )∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<-<<-⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-32232131211,2212212m m m m m m m 即 解得3221<<-m ，∴m 的取值范围是(－32,21)22.解析： (1)当a =21时，f (x )=x ＋x21＋2，x ∈1，＋∞) 设x 2＞x 1≥1，则f (x 2)－f (x 1)=x 2＋1122121x x x --=(x 2－x 1)＋21212x x x x -=(x 2－x 1)(1－2121x x ) ∵x 2＞x 1≥1，∴x 2－x 1＞0，1－2121x x ＞0，则f (x 2)＞f (x 1)可知f (x )在［1，＋∞)上是增函数．∴f (x )在区间［1，＋∞)上的最小值为f (1)=27． (2)在区间［1，＋∞)上，f (x )=xa x x ++22＞0恒成立⇔x 2＋2x ＋a ＞0恒成立设y =x 2＋2x ＋a ，x ∈1，＋∞)，由y =(x ＋1)2＋a －1可知其在[1，＋∞)上是增函数， 当x =1时，y min =3＋a ，于是当且仅当y min =3＋a ＞0时函数f (x )＞0恒成立．故a ＞－3．。

(完整版)函数的单调性课后练习题

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函数的单调性课后练习题1.下列函数中，在(－∞，0)上为减函数的是( ) A ．y ＝1x 2B ．y ＝x 3C ．y ＝x 0D ．y ＝x 2答案：D2．如果函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，对于任意的x 1、x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，下列结论中不正确的是( )A.f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0B ．(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0C ．f (a )<f (x 1)<f (x 2)<f (b ) D.x 1－x 2f (x 1)－f (x 2)>0 解析：由增函数的定义易知A 、B 、D 正确，故选C. 答案：C3．若区间(0，＋∞)是函数y ＝(a －1)x 2＋1与y ＝ax 的递减区间，则a 的取值范围是( )A ．a >0B ．a >1C ．0≤a ≤1D ．0<a <1 解析：由二次函数及反比例函数的性质可得⎩⎪⎨⎪⎧a －1<0，a >0，∴0<a <1. 答案：D4．若二次函数y ＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1)上为减函数，那么( ) A ．a ＝－2 B ．a ＝2 C ．a ≤－2D ．a ≥2解析：函数的对称轴x ＝1－a 3，由题意得1－a3≥1时，函数y ＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1)上为减函数，故得a ≤－2.答案：C5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上具有单调性，且f (a )·f (b )<0，则方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上( )A ．至少有一个实根B ．至多有一个实根C ．没有实根D ．有唯一的实根解析：∵f (x )是单调函数，且图象是连续不断的，又f (a )f (b )<0，则f (x )的图象必与x 轴相交，因此f (x )在[a ，b ]上必存在一点x 0，使f (x 0)＝0成立，故答案D 正确．答案：D6．已知函数f (x )在区间[0，＋∞)上为减函数，那么f (a 2－a ＋1)与f ⎝⎛⎭⎫34的大小关系是__________．解析：∵a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34≥34，又f (x )在[0，＋∞)上为减函数，∴f (a 2－a ＋1)≤f ⎝⎛⎭⎫34. 答案：f (a 2－a ＋1)≤f ⎝⎛⎭⎫347．(2011·潍坊模拟)函数y ＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2,2]时，是增函数，则m 的取值范围是________．解析：∵函数y ＝2x 2－mx ＋3是开口向上的抛物线，要使x ∈[－2,2]时为增函数，只要对称轴x ＝－－m 2×2≤－2，即m ≤－8.答案：m ≤－88．函数y ＝|3x －5|的递减区间是________．解析：y ＝|3x －5|＝⎩⎨⎧3x －5，x ≥53，－3x ＋5，x <53.作出y ＝|3x －5|的图象，如图所示，函数的单调减区间为⎝⎛⎦⎤－∞，53. 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，53 9．判断函数f (x )＝x ＋1x －1在(－∞，0)上的单调性，并用定义证明．解：f (x )＝x ＋1x －1＝x －1＋2x －1＝1＋2x －1，函数f (x )＝x ＋1x －1在(－∞，0)上是单调减函数．证明：设x 1，x 2是区间(－∞，0)上任意两个值， 且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝1＋2x 2－1－⎝⎛⎭⎫1＋2x 1－1＝2(x 1－x 2)(x 1－1)(x 2－1)， ∵x 1<x 2<0，∴x 1－x 2<0，x 1－1<0，x 2－1<0， ∴2(x 1－x 2)(x 1－1)(x 2－1)<0.∴f (x 2)－f (x 1)<0，即f (x 2)<f (x 1)．∴函数f (x )＝x ＋1x －1在(－∞，0)上是单调减函数．10．已知f (x )是定义在[－1,1]上的增函数， 且f (x －2)>f (1－x )，求x 的取值范围．解：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x －2≤1，－1≤1－x ≤1，解得1≤x ≤2.∵f (x )在[－1,1]上是增函数，且f (x －2)>f (1－x )， ∴x －2>1－x ，∴x >32.由⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤2，x >32，得32<x ≤2.故满足条件的x 的取值范围是32<x ≤2.品位高考1.(全国卷)设f (x )，g (x )都是单调函数，下列四个命题，正确的是( )①若f (x )单调递增，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递增；②若f (x )单调递增，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )单调递增；③若f (x )单调递减，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递减；④若f (x )单调递减，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )单调递减A ．①②B ．①④C ．②③D ．②④答案：C2．(湖南高考)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]解析：f (x )＝－x 2＋2ax ＝－(x －a )2＋a 2，当a ≤1时，f (x )在[1,2]上是减函数；g (x )＝a x ＋1，当a >0时，g (x )在[1,2]上是减函数，则a 的取值范围是0<a ≤1.答案：D备课资源1.下列说法中正确的有( )①若x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数； ②函数y ＝x 2在R 上不是单调函数； ③函数y ＝－1x 在定义域内是增函数；④y ＝1x 的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：函数的单调性定义是指定义在I 上任意两个值x 1，x 2，强调的是任意性，从而①不对；y ＝x 2在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数，从而y ＝x 2在整个定义域上不具有单调性，故②正确．y ＝－1x 在整个定义域内不是单调递增函数，如－3<5，而f (－3)>f (5)，从而③不对；y ＝1x 的单调区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，而不是(－∞，0)∪(0，＋∞)，从而④不对．答案：B2．(2007·福建)已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：依题意得⎪⎪⎪⎪1x >1，∴|x |<1，且x ≠0， ∴－1<x <1且x ≠0，因此答案C 正确． 答案：C3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，(x ≥1)，5－x ，(x <1)，则f (x )的递减区间是________．答案：(－∞，1)4．已知函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数，且f (x )<f (2x －3)，求x 的取值范围．解：由题意知⎩⎨⎧x >2x －3x >02x －3>0⇒32<x <3. 5．已知f (x )＝x 3＋x ，x ∈R ，判断f (x )的单调性并证明． 解：任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 13＋x 1－(x 23＋x 2)＝(x 1－x 2)(x 12＋x 1x 2＋x 22＋1) ＝(x 1－x 2)[(x 1＋x 22)2＋34x 22＋1]<0∴f (x 1)－f (x 2)<0，f (x 1)<f (x 2)． 因此f (x )＝x 3＋x 在R 上是增函数．。

高考数学《函数的单调区间》基础知识与专项练习题(含答案解析)

高考数学《函数的单调区间》基础知识与专项练习题(含答案解析)

高考数学《函数的单调区间》基础知识与专项练习题（含答案解析）单调性是函数的一个重要性质，对函数作图起到决定性的作用，而导数是分析函数单调区间的一个便利工具。

求一个已知函数的单调区间是每一个学生的必备本领，在求解的过程中也要学会一些方法和技巧。

一、基础知识：1、函数的单调性：设()f x 的定义域为D ，区间I D ⊆，若对于1212,,x x I x x ∀∈<，有()()12f x f x <，则称()f x 在I 上单调递增，I 称为单调递增区间。

若对于1212,,x x I x x ∀∈<，有()()12f x f x >，则称()f x 在I 上单调递减，I 称为单调递减区间。

2、导数与单调区间的联系（1）函数()f x 在(),a b 可导，那么()f x 在(),a b 上单调递增()',()0x a b f x ⇒∀∈≥，此结论可以这样理解：对于递增的函数，其图像有三种类型： ，无论是哪种图形，其上面任意一点的切线斜率均大于零。

等号成立的情况：一是单调区间分界点导数有可能为零，例如：()2f x x =的单调递增区间为[)0+∞，，而()'00f =，另一种是位于单调区间内但导数值等于零的点，典型的一个例子为()3f x x =在0x =处的导数为0，但是()0,0位于单调区间内。

（2）函数()f x 在(),a b 可导，则()f x 在(),a b 上单调递减()',()0x a b f x ⇒∀∈≤，（3）前面我们发现了函数的单调性可以决定其导数的符号，那么由()',()x a b f x ∀∈，的符号能否推出()f x 在(),a b 的单调性呢？如果()f x 不是常值函数，那么便可由导数的符号对应推出函数的单调性。

（这也是求函数单调区间的理论基础） 3、利用导数求函数单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域（2）求出()f x 的导函数'()f x（3）令'()0f x >（或0<），求出x 的解集，即为()f x 的单调增（或减）区间（4）列出表格4、求单调区间的一些技巧（1）强调先求定义域，一方面定义域对单调区间有限制作用（单调区间为定义域的子集）。

函数的单调性学生版(2)

函数的单调性学生版(2)

函数的单调性一、知识要点1、函数的单调性：一般地，对于给定区间上的函数()x f ，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＜f （x 2）〔或都有f （x 1）＞f （x 2）〕，那么就说f （x ）在这个区间上是增函数（或减函数）.2、单调函数与单调区间：如果函数)(x f 在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数)(x f 在这个区间上单调函数，这个区间叫做函数)(x f 的单调区间3、函数单调性的判断(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数．(3)导数法：利用导数研究函数的单调性．(4)图象法：利用图象研究函数的单调性．在增区间上，函数的图像从左到右是上升的在减区间上，函数的图像从左到右是下降的二、题型探析（一）用定义法讨论函数的单调性例1、求函数y=x+x1的单调区间.训练1、 讨论函数f （x ）=12-x ax （a ＞0）在x ∈（－1，1）上的单调性.例2、 如果二次函数f （x ）=x 2－（a －1）x+5在区间（21，1）上是增函数，求f （2）的取值范围.训练2、如果函数f （x ）=x 2+2（a －1）x+2在区间（－∞，4］上是减函数，那么实数a 的取值范围是___________________.（二）、复合函数法讨论函数的单调性例3、函数f(x)＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是______．训练3、（1）求函数20.7log (32)y x x =-+的单调区间；（2）已知2()82,f x x x =+-若2()(2)g x f x =-试确定()g x 的单调区间和单调性。

三、用导数法讨论函数的单调性例4、求函数32)(24+-=x x x f 单调区间训练4（1）、求函数22)(x x x f -=单调区间（2）求函数).0()(>+=b xb x x f 单调区间四、 利用函数的单调性求最值例5、（已知函数x a x x x f ++=2)(2).,1[,+∞∈x 当21=a 时，求函数)(x f 的最小值；训练5、已知a 为实数，函数))(1()(2a x x x f ++=，若0)1('=-f ，求函数)(x f y =在3[,1]2-上的最大值和最小值。

函数的单调性及其单调区间练习题含答案

函数的单调性及其单调区间练习题含答案

函数的单调性及其单调区间练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 下列函数中，既是(0,+∞)上的增函数，又是偶函数的是( )A.y=1xB.y=2xC.y=1−|x|D.y=lg|x|2. 下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是( )A.y=1x B.y=|x|−1 C.y=lg x D.y=(12)|x|3. 已知函数f(x)＝−x|x|+2x，则下列结论正确的是（）A.增区间是(0, +∞)B.减区间是(−∞, −1)C.增区间是(−∞, 1)D.增区间是(−1, 1)4. 已知函数f(x)=xx−m，若函数f(x)在区间(2, +∞)上单调递减，则实数m的取值范围为（）A.(0, 2)B.(0, 2]C.[2, +∞)D.(2, +∞)5. 函数y=√x2−5x+4的单调递增区间是（）A.[52,+∞) B.[52,4) C.[4, +∞) D.[1,52),[4,+∞)6. 若函数f(x)={3x,x<0,x2−4x+3,x≥0,则函数的单调递减区间为( )A.[0,2]B.(−∞, 0)C.(−∞,0)和[0,2]D.(−∞,2]7. 下列函数中，即是偶函数又在(0, +∞)单调递增的函数是( )A.y=−x2B.y=|x−1|C.y=2xD.y=|x|−18. 下列函数中，在(0, +∞)是增函数的是()A.y=x2+e2B.y=cos x−e xC.y=1x−x D.y=x2−4x9. 题目不难，心中别慌，套路不深，不必当真.下列函数中，在其定义域内既为奇函数且又为增函数的是（ ） A.f(x)=−1x B.f(x)=x 3C.f(x)=|x|D.f(x)=3x +3−x210. 函数f(x)=|x −2|x 的单调减区间是（ ） A.[−1, 0] B.[1, 2] C.[0, 2] D.[2, +∞)11. 已知函数f(x)=xx−2，若函数f(x)在区间(m, +∞)上单调递减，则实数m 的取值范围为( ) A.(0, 2) B.(0, 2] C.[2, +∞) D.(2, +∞)12. 定义在R 上的奇函数f (x )满足f (2)=0，且f (x )在(0,+∞)上单调递减，则f (−52)，f (133)，f (0)的大小关系为( ) A.f (0)>f (133)>f (−52) B.f (133)>f (0)>f (−52) C.f (−52)>f (0)>f (133)D.f (0)>f (−52)>f (133)13. 下列四个函数中，在(0,+∞)上增函数的是( ) A.f (x )=3−x B.f (x )=(x −1)2 C.f (x )=−1x+1D.f (x )=−|x|14. 函数f(x)=(12)x 2−2x的单调递减区间为( )A.(0,+∞)B.(1,+∞)C.(−∞,1)D.(−∞,−1)15. 任意t ∈R +时，f [f (t )−1t ]=2恒成立，函数y =f (t )单调，则f (12019)=( )A.2020B.2019C.12020D.1201916. 函数y =x−5x−a−2在(−1, +∞)上单调递增，则a 的取值范围是( ) A.a =−3B.a <3C.a ≤−3D.a ≥−317. 若函数f (x )={a x ,x <0,(2a −1)x +3a,x ≥0是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A.(0,12) B.(13,12)C.(0,13)D.(0,13]18. f(x)=1x+1的减区间为________．19. 函数f (x )=|x −3|的单调递增区间是________.20. 函数y =√x 2−2x −3的递减区间是________，递增区间是________．21. 已知函数g(x)=x 3+5x ，若g(2a −1)+g(a +4)<0，则实数a 的取值范围为________.22. 已知函数f (x )=−x 2+2ax +3在区间(−∞,4)上是增函数，则实数a 的取值范围是________.23. 函数y =x 3+x 2+mx +1是R 上的单调函数，则m 的范围是________．24. 已知函数f(x)=e x −e −x +ln (x +√x 2+1)（其中e ≈2.71828），若对任意的x ∈[2, +∞)，f(x 2+2)+f(−2ax)≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________．25. 函数g (x )=ax 2−2ax +1+b (a >0)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2，设f (x )=g (x )x(x ≠0).(1)求 a,b 的值；(2)不等式f (2x )−k ⋅2x ≥0在x ∈[−1,0]上恒成立，求实数k 的取值范围．26. 已知函数f(x)=ax 2+12x+b是奇函数，且f(1)=32． (1)求实数a ，b 的值；(2)判断函数f(x)在(−∞, −1]上的单调性，并用定义加以证明；(3)若x∈[−2, −1]，求函数的值域.27. 求函数的单调区间.28. 已知为定义在上的奇函数，且是，.（1）求时，函数的解析式；（2）写出函数的单调区间（不需证明）.29. 已知函数f(x)=x2+ax−2.(1)若函数f(x)在区间(−1,2)上单调递增，求a的取值范围；(2)试判断函数f(x)的奇偶性．30. 若函数y=f(x)对定义域内的每一个值x1，在其定义域内都存在唯一的x2，使f(x1)f(x2)=1成立，则称该函数为“依赖函数”．(1)判断函数g(x)=2x是否为“依赖函数”，并说明理由；(2)若函数f(x)=(x−1)2在定义域[m, n](m>1)上为“依赖函数”，求实数m，n乘积mn的取值范围.31. 已知函数f(x)=ax+bx2+1是(−1,1)上的奇函数，且f(12)=25.(1)求f(x)的解析式；(2)判断f(x)的单调性，并加以证明；(3)若实数t满足f(t+1)+f(t)>0，求t的取值范围．参考答案与试题解析函数的单调性及其单调区间练习题含答案一、 选择题 （本题共计 17 小题 ，每题 3 分 ，共计51分 ） 1.【答案】 D【考点】函数奇偶性的判断函数的单调性及单调区间【解析】根据基本初等函数的单调性和奇偶性，以及函数图象的翻折变换法则逐一判断每个选项即可． 【解答】解：A .函数y =1x 在(0,+∞)上是减函数，且是奇函数，即A 不符合题意；B .函数y =2x 是非奇非偶函数，即B 不符合题意；C .函数y =1−|x|在(0,+∞)上是减函数，即C 不符合题意；D .对于函数y =lg |x|，当x >0时，有y =lg x ，单调递增；而f (−x )=lg |−x|=lg |x|=f (x ) ，所以f(x)是偶函数，即D 正确． 故选D ． 2.【答案】 B【考点】函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明 函数的单调性及单调区间【解析】根据函数单调性和奇偶性定义，逐一判断即可得出结论． 【解答】解：A ，函数y =1x 为奇函数，且在(0,+∞)上单调递减，不符合题意； B ，函数y =|x|−1为偶函数，且在(0,+∞)上单调递增，符合题意； C ，函数y =lg x 不是偶函数，不符合题意；D ，函数y =(12)|x|为偶函数，在(0,+∞)上单调递减，不符合题意．故选B ． 3.【答案】 D【考点】分段函数的应用函数的单调性及单调区间【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】B【考点】函数单调性的性质与判断函数的单调性及单调区间【解析】根据题意，函数的解析式变形可得f(x)=1+mx−m，由函数图象变换的规律可得{m>0m≤2，解可得m的取值范围，即可得答案．【解答】根据题意，函数f(x)=xx−m =x−m+mx−m=1+mx−m，由函数y=mx向左(m<0)或向右(m>0)平移|m|个单位，向上平移1个单位得到，若函数f(x)在区间(2, +∞)上单调递减，必有{m>0m≤2，则0<m≤2，即m的取值范围为(0, 2]，5.【答案】C【考点】函数的单调性及单调区间【解析】解不等式，求出函数的定义域，再根据二次函数的性质求出函数的递增区间即可．【解答】令x2−5x+4≥0，解得：x≥4或x≤1，而函数y＝x2−5x+4的对称轴是：x=52，由复合函数同增异减的原则，故函数y=√x2−5x+4的单调递增区间是[4, +∞)，6.【答案】C【考点】函数的单调性及单调区间【解析】首先根据分段函数的解析式画出函数的图象，进一步根据函数函数的图象确定函数的单调区间．【解答】解：函数f(x)的图像，如图所示，二次函数f(x)=x2−4x+3的对称轴为x=2，所以函数的单调递减区间为：(−∞,0)和[0,2] .故选C.7.【答案】D【考点】函数的单调性及单调区间函数奇偶性的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：A，令f(x)=−x2，f(−x)=−(−x)2=−x2=f(x)为偶函数，在(0, +∞)上单调递减，不符合题意；B，令f(x)=|x−1|，f(−x)=|−x−1|=|x+1|≠f(x)，不是偶函数，不符合题意；C，令f(x)=2x，f(−x)=2−x≠f(x)，不是偶函数，不符合题意；D，令f(x)=|x|−1，f(−x)=|−x|−1=|x|−1=f(x)，是偶函数，在(0, +∞)上单调递增，符合题意.故选D.8.【答案】A【考点】函数的单调性及单调区间【解析】结合二次函数的性质可判断A正确．【解答】解：A，由二次函数的性质可知，y=x2+e2在(0, +∞)是增函数，故A符合题意；B，y′=−sin x−e x，在(0,+∞)上，−e x<−1，−sin x∈[−1,1]，故y′<0，函数在(0, +∞)上是减函数，故B不符合题意；−1<0，函数在(0, +∞)上是减函数，故C不符合题意；C，y′=−1x2D，y′=2x−4，当x∈(0,2)时，y′<0，故D不符合题意.故选A.9.【答案】B【考点】函数奇偶性的判断函数的单调性及单调区间【解析】根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．【解答】解：A．函数是奇函数，在定义域上不是单调函数；B．函数是奇函数，在(−∞, +∞)上是增函数，满足条件；C．f(−x)=f(x)，函数是偶函数，不满足条件；D．f(−x)=f(x)，函数是偶函数，不满足条件．故选B.10.【答案】B【考点】带绝对值的函数函数的单调性及单调区间【解析】画出分段函数f(x)=|x−2|x的图象，数形结合，可得函数的单调减区间．x≤2【解答】解：函数f(x)=|x−2|x={−x2+2x，x<2，x2−2x2，x≥2，的图象如图所示：结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]. 故选B.11.【答案】C【考点】函数单调性的性质与判断 函数的单调性及单调区间 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：根据题意，函数f(x)=xx−2=x−2+2x−2=1+2x−2，由函数y =2x 向右平移2个单位，向上平移1个单位得到， 若函数f(x)在区间(m, +∞)上单调递减， 必有{m >0,m ≥2,则m ≥2，即m 的取值范围为[2+∞)， 故选C . 12.【答案】 C【考点】函数的单调性及单调区间 【解析】【解答】解：∵ f (x )为R 上的奇函数，且在(0,+∞)上单调递减， ∴ f (0)=0.∵ f (−52)=−f (52)且f (2)=0， ∴ f (−52)>0，f (133)<0， ∴ f (−52)>f (0)>f (133)．故选C ．13.【答案】 C【考点】函数的单调性及单调区间 【解析】根据函数单调性的性质分别进行判断即可． 【解答】解：A ，f (x )=3−x 在(0,+∞)上为减函数，不满足条件； B ，f (x )=(x −1)2在(1,+∞)上为增函数，不满足条件； C ， f （x ）=−1x+1在(0,+∞)上为增函数，满足条件；D ，f (x )=−|x |={−x ，x ≥0,x ，x <0,在(0,+∞)上为减函数，不满足条件．故选C. 14. 【答案】 B【考点】函数的单调性及单调区间 【解析】 无【解答】解：令t (x )=x 2−2x =(x −1)2−1， 则f (t )=(12)t，∵ t (x )在(−∞,1)上单调递减，(1,+∞)上单调递增， 而f (t )在R 上单调递减，∴ f (x )在(1,+∞)上单调递减. 故选B . 15.【答案】 A【考点】函数的单调性及单调区间 【解析】设m =f(t)−1t，根据y =f (t )单调函数，以及f [f (t )−1t]=2可知，当f (m )=2时，m 的值是唯一的；又f (t )=m +1t ，所以f (m )=m +1m =2，求出m 的值．进而求出y =f(t)的解析式．即可求出结果 . 【解答】解：设m =f(t)−1t ，则f (m )=2. 因为y =f (t )是单调函数， 所以f (m )=2的解m 是唯一的. 又f(t)=m +1t ， 所以f (m )=m +1m =2，解得m =1， 所以f(t)=1+1t ， 所以f (12019)=2020. 故选A ． 16.C【考点】函数单调性的性质函数的单调性及单调区间【解析】由题意可得，当x>−1时，y′=3−a(x−a−2)2≥0，可得{3−a≥0a+2≤−1，由此求得a的范围．【解答】解：y=x−a−2+a−3x−a−2=1+a−3x−a−2∵ 当a<3时，函数y在(a+2，+∞)上单调递增，又函数y在(−1,+∞)上单调递增，∴a+2≤−1，即a≤−3，∴a的取值范围是：(−∞,−3].故选C.17.【答案】D【考点】函数的单调性及单调区间分段函数的应用已知函数的单调性求参数问题【解析】令各段均为减函数，再比较端点值即可求解.【解答】解：由题意得{0<a<1, 2a−1<0, 3a≤1,解得0<a≤13.故选D.二、填空题（本题共计 7 小题，每题 3 分，共计21分）18.【答案】(−∞, −1)，(−1, +∞)【考点】函数的单调性及单调区间【解析】根据分式函数的性质进行求解即可．【解答】解：函数的定义域为(−∞, −1)∪(−1, +∞)，则函数的单调递减区间为(−∞, −1)，(−1, +∞).故答案为：(−∞, −1)，(−1, +∞).19.【考点】函数单调性的判断与证明函数的单调性及单调区间【解析】讨论去绝对值，即可得到函数，从而确定单调性.【解答】解：当x≥3时，f(x)=x−3，此时f(x)为增函数；当x<3时，f(x)=−(x−3)=−x+3，此时f(x)为减函数，所以f(x)的单调增区间为[3,+∞).故答案为：[3,+∞).20.【答案】(−∞, −1],[3, +∞)【考点】函数的单调性及单调区间【解析】先求出该函数定义域为{x|x≤−1, 或x≥3}，可以看出该函数的单调区间和函数y= x2−2x−3在定义域上的单调区间一致，根据二次函数单调区间的求法即可得出该函数的单调区间．【解答】解：∵x2−2x−3≥0得x≤−1，或x≥3.∴函数y=x2−2x−3在(−∞, −1]上单调递减，在[3, +∞)上单调递增.∴该函数的递减区间为(−∞, −1]，递增区间为[3, +∞)．故答案为：(−∞, −1]；[3, +∞)．21.【答案】a<−1【考点】函数奇偶性的性质函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明函数的单调性及单调区间【解析】此题暂无解析【解答】解：∵g(−x)=−x3−5x=−g(x)，∴函数g(x)是奇函数，且函数在R上单调递增，∴原不等式可化为g(a+4)<−g(2a−1)=g(1−2a)，∴a+4<1−2a，解得a<−1.故答案为：a<−1.22.【答案】函数的单调性及单调区间【解析】根据二次函数f (x ) 的对称轴两侧单调性相反，列不等式求出a 的取值范围．【解答】解：函数f (x )=−x 2+2ax +3的对称轴为x =a又f (x )在(−∞,4)上是增函数，所以a ≥4，所以实数a 的取值范围是[4,+∞)．故答案为：[4,+∞)．23.【答案】[13, +∞) 【考点】函数的单调性及单调区间利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意可知，y ′=3x 2+2x +m ．若函数y =x 3+x 2+mx +1是R 上的单调函数，则y ′=3x 2+2x +m ≥0恒成立，则对于方程3x 2+2x +m =0，有Δ=4−12m ≤0，解得m ≥13，则m 的取值范围是[13, +∞)．故答案为：[13, +∞)． 24.【答案】a ≤32 【考点】导数求函数的最值函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明函数的单调性及单调区间【解析】判断函数f(x)是R 上的奇函数，且是增函数；把f(x 2+2)+f(−2ax)≥0恒成立化为x 2+2≥2ax 恒成立，设g(x)=x 2−2ax +2，利用二次函数的图象与性质，即可求出实数a 的取值范围．解：函数f(x)=e x −e −x +ln (x +√x 2+1)（其中e ≈2.71828），x ∈R ；且f(−x)=e −x −e x +ln (−x +√x 2+1)=−(e x −e −x )−ln (x +√x 2+1)=−f(x)， ∴ f(x)是上的奇函数.又f′(x)=e x +e −x +1+x √x 2+1x+√x 2+1>0恒成立，∴ f(x)是定义在R 上的单调增函数；若对任意的，f(x 2+2)+f(−2ax)≥0恒成立，∴ f (x 2+2)≥−f(−2ax)恒成立，∴ f (x 2+2)≥f(2ax)恒成立，∴ x 2+2≥2ax 恒成立，即x 2−2ax +2≥0在x ∈[2, +∞)上恒成立；设g(x)=x 2−2ax +2，其对称轴为x =a ，且开口向上；应满足{a <2,g(2)=4−4a +2≥0,解得a ≤32.故答案为：a ≤32．三、 解答题 （本题共计 7 小题 ，每题 10 分 ，共计70分 ）25.【答案】解：(1)g (x )=a (x −1)2+1+b −a(a >0)，可得g (x )在[2,3]上为增函数，故{g (3)=5，g (2)=2⇒{3a +1+b =5，1+b =2⇒{a =1，b =1.(2)g (x )=x 2−2x +2，f (x )=x +2x −2， 不等式f (2x )−k ⋅2x ≥0化为2x +22x −2≥k ⋅2x ，即1+2⋅(12x )2−2⋅(12x )≥k . 令12x =t ，则k ≤2t 2−2t +1，∵ x ∈[−1,0]，∴ 2x ∈[12,1]，∴ t ∈[1,2].记φ(t )=2t 2−2t +1，∴ φ(t )min =1，∴ k ≤1．【考点】函数的单调性及单调区间二次函数在闭区间上的最值二次函数的性质【解析】无无【解答】解：(1)g (x )=a (x −1)2+1+b −a(a >0)，可得g (x )在[2,3]上为增函数，故{g (3)=5，g (2)=2⇒{3a +1+b =5，1+b =2⇒{a =1，b =1.(2)g (x )=x 2−2x +2，f (x )=x +2x −2， 不等式f (2x )−k ⋅2x ≥0化为2x +22x −2≥k ⋅2x ，即1+2⋅(12x )2−2⋅(12x )≥k .令12x =t ，则k ≤2t 2−2t +1，∵ x ∈[−1,0]，∴ 2x ∈[12,1]，∴ t ∈[1,2]. 记φ(t )=2t 2−2t +1，∴ φ(t )min =1，∴ k ≤1．26.【答案】解：(1)根据题意，函数f(x)=ax 2+12x+b 是奇函数， 则有f(−x)＝−f(x)，即ax 2+1−2x+b =−ax 2+12x+b =ax 2+1−2x−b ，则有b ＝−b ，即b ＝0； 又由f(1)=32，即a+12=32， 即a ＝2；(2)由(1)可得：f(x)=2x 2+12x ，函数f(x)在(−∞, −1]上为增函数；证明：设x 1<x 2≤−1，则f(x 1)−f(x 2)=2x 12+12x 1−2x 22+12x 2 =(x 1−x 2)(2x 1x 2−1)2x 1x 2，又由x 1<x 2≤−1，则(x 1−x 2)<0，x 1x 2>0，2x 1x 2−1>0，则有f(x 1)−f(x 2)<0，故f(x)在(−∞, −1]上为增函数；(3)由(2)可得：f(x)在[−2, −1]上为增函数，∵ f(−2)=−94，f(−1)=−32，∴ 函数的值域为[−94, −32]．【考点】函数奇偶性的性质函数的单调性及单调区间函数的值域及其求法【解析】（1）根据题意，由奇函数的定义可得f(−x)＝−f(x)，即ax 2+1−2x+b =−ax 2+12x+b =ax 2+1−2x−b ，分析可得b 的值，由于f(1)的值求出a 的值，即可得答案；（2）根据题意，由作差法分析可得答案；（3）根据题意，由（2）可得：f(x)在[−2, −1]上为增函数；据此分析可得答案．【解答】解：(1)根据题意，函数f(x)=ax 2+12x+b 是奇函数， 则有f(−x)＝−f(x)，即ax 2+1−2x+b =−ax 2+12x+b =ax 2+1−2x−b ，则有b ＝−b ，即b ＝0；又由f(1)=32，即a+12=32， 即a ＝2；(2)由(1)可得：f(x)=2x 2+12x ，函数f(x)在(−∞, −1]上为增函数；证明：设x 1<x 2≤−1，则f(x 1)−f(x 2)=2x 12+12x 1−2x 22+12x 2 =(x 1−x 2)(2x 1x 2−1)2x 1x 2，又由x 1<x 2≤−1，则(x 1−x 2)<0，x 1x 2>0，2x 1x 2−1>0，则有f(x 1)−f(x 2)<0，故f(x)在(−∞, −1]上为增函数；(3)由(2)可得：f(x)在[−2, −1]上为增函数，∵ f(−2)=−94，f(−1)=−32，∴ 函数的值域为[−94, −32]． 27.【答案】单调增区间为(−∞,1)，单调减区间为(1,+∞)【考点】函数单调性的性质函数的单调性及单调区间奇偶性与单调性的综合【解析】根据二次函数对称轴确定单调性．【解答】因为y =−x 2+2x +3=−(x −1)2+4所以函数y =−x 2+2x +3的单调增区间为(−∞,1)，单调减区间为(1,+∞)28.【答案】（1）f(x)=x2+2x；（2）f(x)的单调递增区间是[−1,1]；单调递减区间是(−∞,−1],[1,+∞)【考点】二次函数的性质函数的单调性及单调区间奇偶性与单调性的综合【解析】（1）任取x<0，则−x>0f(−x)=−(−x)2+2(−x)=−x2−2x，又f(x)为奇函数，f(x)=−f(−x)=x2+2x即得解，（2）分析单调性可得f(x)的单调递增区间是[−1,1];单调递减区间是(−∞,−1],[1,+∞)【解答】（1）任取x<0，则−x>0，f(−x)=−(−x)2+2(−x)=−x2−2x，又f(x)为奇函数，f(x)=−f(−x)=x2+2x，所以x<0时，函数f(x)=x2+2x（2）f(x)的单调递增区间是[−1,1]；单调递减区间是(−∞,−1],[1,+∞)29.【答案】解：(1)∵f(x)=x2+ax−2的对称轴为直线x=−a，且抛物线开口向上，2∴函数f(x)的单调递增区间为(−a,+∞)，2又∵函数f(x)在区间(−1,2)上单调递增，∴(−1,2)⊆(−a,+∞)，2，即−1≥−a2解得a≥2，∴a的取值范围为[2,+∞).(2)易知函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．f(−x)=(−x)2+a(−x)−2=x2−ax−2，当a=0时，则f(−x)=(−x)2+a(−x)−2=x2−2=f(x)，此时函数f(x)为偶函数；当a≠0时，则f(−x)=(−x)2+a(−x)−2=x2−ax−2≠f(x)，此时函数f(x)为非奇非偶函数.【考点】函数的单调性及单调区间函数奇偶性的判断【解析】无无【解答】解：(1)∵f(x)=x2+ax−2的对称轴为直线x=−a，且抛物线开口向上，2∴函数f(x)的单调递增区间为(−a2,+∞)，又∵函数f(x)在区间(−1,2)上单调递增，∴(−1,2)⊆(−a2,+∞)，即−1≥−a2，解得a≥2，∴a的取值范围为[2,+∞).(2)易知函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．f(−x)=(−x)2+a(−x)−2=x2−ax−2，当a=0时，则f(−x)=(−x)2+a(−x)−2=x2−2=f(x)，此时函数f(x)为偶函数；当a≠0时，则f(−x)=(−x)2+a(−x)−2=x2−ax−2≠f(x)，此时函数f(x)为非奇非偶函数.30.【答案】解：(1)对于函数g(x)=2x的定义域R内任意的x1，取x2=−x1，则g(x1)g(x2)=1，且由g(x)=2x在R上单调递增，可知x2的取值唯一，故g(x)=2x是“依赖函数”.(2)因为m>1，f(x)=(x−1)2在[m, n]递增，故f(m)f(n)=1，即(m−1)2(n−1)2=1，由n>m>1，得(m−1)(n−1)=1，故n=mm−1，由n>m>1，得1<m<2，从而mn=m 2m−1=m−1+1m−1+2在m∈(1, 2)上单调递减，故mn∈(4, +∞).【考点】函数新定义问题函数的单调性及单调区间【解析】【解答】解：(1)对于函数g(x)=2x的定义域R内任意的x1，取x2=−x1，则g(x1)g(x2)=1，且由g(x)=2x在R上单调递增，可知x2的取值唯一，故g(x)=2x是“依赖函数”.(2)因为m>1，f(x)=(x−1)2在[m, n]递增，故f(m)f(n)=1，即(m−1)2(n−1)2=1，由n>m>1，得(m−1)(n−1)=1，故n=mm−1，由n>m>1，得1<m<2，从而mn=m 2m−1=m−1+1m−1+2在m∈(1, 2)上单调递减，故mn∈(4, +∞).31.【答案】解：(1)因为函数f (x )=ax+b x 2+1是(−1,1)上的奇函数，f (12)=25． 所以{f (0)=0，f (12)=25，即{b =0,12a+b 14+1=25，解得{a =1，b =0，∴ f (x )=x x 2+1，x ∈(−1,1)．(2)f (x )在(−1,1)上递增，证明如下：任取x 1，x 2∈(−1,1)，且x 1>x 2，则f (x 1)−f (x 2)=x 1x 12+1−x 2x 22+1=x 1(x 22+1)−x 2(x 12+1)(x 12+1)(x 22+1)=x 1x 22−x 12x 2+x 1−x 2(x 12+1)(x 22+1)=(x 1−x 2)(1−x 1x 2)(x 22+1)(x 22+1)，∵ x 1，x 2∈(−1,1)，∴ 1−x 1x 2>0.又x 1>x 2，∴ x 1−x 2>0，∴ f (x 1)−f (x 2)>0，∴ f (x 1)>f (x 2)，即f (x )在(−1,1)上递增．(3)f (t −1)+f (t )>0可化为f (t −1)>f (−t )，∴ {−1<t −1<1，−1<t <1，t −1>−t ，解得{ 0<t <2，−1<t <1，t >12，⇒12<t <1． ∴ t 的取值范围为(12,1)．【考点】奇函数函数的单调性及单调区间其他不等式的解法奇偶性与单调性的综合【解析】无无无【解答】解：(1)因为函数f (x )=ax+b x 2+1是(−1,1)上的奇函数，f (12)=25． 所以{f (0)=0，f (12)=25，即{b =0,12a+b14+1=25，解得{a =1，b =0，∴ f (x )=xx 2+1，x ∈(−1,1)．(2)f (x )在(−1,1)上递增，证明如下：任取x 1，x 2∈(−1,1)，且x 1>x 2，则f (x 1)−f (x 2)=x 1x 12+1−x 2x 22+1=x 1(x 22+1)−x 2(x 12+1)(x 12+1)(x 22+1)=x 1x 22−x 12x 2+x 1−x 2(x 12+1)(x 22+1)=(x 1−x 2)(1−x 1x 2)(x 22+1)(x 22+1)，∵ x 1，x 2∈(−1,1)，∴ 1−x 1x 2>0.又x 1>x 2，∴ x 1−x 2>0，∴ f (x 1)−f (x 2)>0，∴ f (x 1)>f (x 2)，即f (x )在(−1,1)上递增．(3)f (t −1)+f (t )>0可化为f (t −1)>f (−t )，∴ {−1<t −1<1，−1<t <1，t −1>−t ，解得{ 0<t <2，−1<t <1，t >12，⇒12<t <1． ∴ t 的取值范围为(12,1)．。

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函数的单调性基础练习
(一)选择题
1y ()．函数＝－在区间－∞，＋∞上是x 2
A ．增函数
B ．既不是增函数又不是减函数
C ．减函数
D ．既是增函数又是减函数
2(1)y |x|(2)y (3)y (4)y x (0)．函数＝，＝，＝－，＝＋中在－∞，上为增函数的有
||||||x x x x x x 2
A ．(1)和(2)
B ．(2)和(3)
C ．(3)和(4)
D ．(1)和(4)
3．若y ＝(2k －1)x ＋b 是R 上的减函数，则有
A k
B k
C k
D k ．＞．＜．＞－．＜－1
21
2
1212
4．如果函数f(x)＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，那么实数a 的取值范围是
A ．a ≥－3
B ．a ≤－3
C ．a ≤5
D ．a ≥3
5．函数y ＝3x －2x 2＋1的单调递增区间是
A (]
B [)
C (]
D [)．－∞，．，＋∞．－∞，－．－，＋∞34
343434
6．若y ＝f(x)在区间(a ，b)上是增函数，则下列结论正确的是
A y (a b)．＝在区间，上是减函数1f x ()
B ．y ＝－f(x)在区间(a ，b)上是减函数
C ．y ＝|f(x)|2在区间(a ，b)上是增函数
D ．y ＝|f(x)|在区间(a ，b)上是增函数
7．设函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，则
A ．f(a)＞f(2a)
B ．f(a 2)＜f(a)
C ．f(a 2＋a)＜f(a)
D ．f(a 2＋1)＜f(a)
(二)填空题
1y 2y ．函数＝的单调递减区间是．．函数＝的单调递减区间是．
1111--+x
x x 3．函数y ＝4x 2－mx ＋5，当x ∈(－2，＋∞)时，是增函数，当x ∈(－∞，－2)时是减函数，则f(1)＝________．
4y 5y ．函数＝的增区间是
．．函数＝的减区间是．542322--+-x x x x
6．函数f(x ＋1)＝x 2－2x ＋1的定义域是[－2，0]，则f(x)的单调递减区间是________．
7．已知函数f(x)是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f(a 2－a ＋1)
与之间的大小关系是．．若＝，＝－在，＋∞上都是减函数，则函数＝f(34)8y ax y (0)y b x
ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是________函数(填增还是减)．
(三)解答题
1f(x)x f(x)(4)2f(x)x +b
(a b)．已知函数＝＋，证明在－∞，上是增函数．．研究函数＝＞的单调性．27-+x x a 3．已知函数f(x)＝2x 2＋bx 可化为f(x)＝2(x ＋m)2－4的形式．其中b ＞0．求f(x)为增函数的区间．
4．已知函数f(x)，x ∈R ，满足①f(1＋x)＝f(1－x)，②在[1，＋∞]上为增函数，③x 1＜0，x 2＞0且x 1＋x 2＜－2，试比较f(－x 1)与f(－x 2)的大小关系．。

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