金融衍生品_复习题

金融衍生品复习题选（王安兴）
一、证明等式：C+D+Xe−r(T−t)=P+S成立
证明：反证法
If:C+D+Xe−r(T−t)>P+S
①卖空C+D+Xe−r(T−t)
即C的空头，借钱D+Xe−r(T−t)
②买进P+S，剩余C+D+Xe−r(T−t)−P−S
即P的多头，加上股票
③T时刻：
if:S T<X
X+De rT−De rT−X=0
if:S T≥X
De rT+X−De rT−X=0
无风险获利，存在套利机会
If:C+D+Xe−r(T−t)<P+S
①看跌期权空头+卖空股票
②买C+（D+Xe−rT债券）
③T时刻：
If:S T>X
S+De rT−S−De rT=0
If:S T<X
De rT+X−X+S T（付X得S T）−S T（空）−De rT（利息付）=0存在套利机会，市场不正常，只有上式相等才不存在套利机会，由此得证上式相等。

二、假如加入USD/GBP即期和远期汇率如下：
（a）180天期、执行价格为1.97（USD/GBP）的欧式看涨期权为2美分
（b）90天期，执行价格为2.04（USD/GBP）的欧式看跌期权价格为2美分
解：
即期：1英磅为2.0080美元，
180天看涨期权为1英磅→1.97美元买进；
90天看跌期权为1英磅→2.04美元卖出；
90天期货多头，用2.0056$换1£、90天期权多头，有权用2.04$换1£；
180天期货多头，用2.0018$换1£、180天期权多头，有权用1.97$换1£，赚0.03；
所以（a）没有套利机会，（b）有套利机会。

三、当前黄金的市场价格为每盎司600美元，一个一年期的远期合约的执行价格为800美元，
一个套利者能够以每年10%的利率借入资金，套利者应该如何做才能达到套利目的？这里我们假设黄金的储存费为0，同时黄金不会带来任可利息收入。

解：
借600美元，一年后以800美元卖出，付个利率，赚差价。

四、一个喂养牲畜的农场主将在3个月后卖出120 000磅活牛，在CME上的3个月期限的
活牛期货合约的规模为40 000磅活牛，你将如何采用期货合约来对冲风险？从农场主的角度看，对冲的好处和坏处分别是什么？
解：
农场主如何套期保值：3个合约就够了，签3份空头，来对冲风险。

好处：可以规避价格下降的损失
坏处：万一价格上涨，机会就没了。

五、当一家公司采用远期合约对于将来已知的外汇现金流进行对冲时，就不存在汇率风险，
而当采用期货合约来对外币对冲时，期货交易的保证金制度会使得公司有一定的风险暴露。

解释这种风险的实质，尤其当出现以下4种情况时，公司是一期货合约和远期合约哪种形式更好？（假设远期价格等于期货价格）
（a）在合约期限内，外汇讯速贬值
（b）在合约期限内，外汇迅速升值
（c）在合约期限内，外汇先升值，然后贬值到它的初始水平
（d）在合约期限内，外汇先贬值，然后升值到它的初始水平。

解：
避免汇率风险，保证金放那的收益是不确定的
（a）卖贵了，则期货>远期
（b）卖便宜了，则保证金浪费，期货<远期
（c）保证金先出去，再回来，出，损失的少点
（d）先收回再出去
六、仔细解释为什么黄金的期货价格可以由黄金的即期价格与其他可观测变量计算得出，而
铜的期货价格却不能这么做？
解：
铜，现货贵的时候想入现货再卖掉，但现货弄不到，铜有使用价值。

黄金是投资价值，铜是消费价值。

七、假设F1和F2是对同一种商品的两份期货合约，合约的到期日分别为t1和t2，这里t1<t2，
求证：F2≤F1e r(t2−t1)，其中，r为无风险利率（假设为常数），假设无储存费用，期货价格与远期价格相等。

解：反证法
If：F2>F1e r(t2−t1)
①签F1多头（t1）
②签F2空头（t2）
③签合同t1时按利率r借钱，数量为F1
有套利机会，而正常市场无套利
∴只可F2≤F1e r(t2−t1)
八、公司A和公司B可以按照下表所示的利率借入2000万美元5年期贷款
公司A 想得到浮动利率贷款，公司B 想得到固定利率贷款。

设计一个互换，其中某银行为中介，银行的净收益为0.1%，并且同时对两个公司而言，这一互换有同样的吸引力。

解：
看有没潜在机会
①
(6.4%-5.0%)-0.5%=0.9% （0.1%中介，0.4%公司A 、0.4%公司B ）
② 优势地位
a 有固定优势，
b 有浮动优势。

与想要的不同
∴有套利机会
B.6.4%-0.4%（实际）=6.0%（支付）
∴6%-0.6%=5.4%
∴
A ．
5.3%-5%=0.3%
∴
A 少支付
互换比直接的少0.4%
B 原是LIBOR+0.6%，现为6%，比固定利率少0.4%
A 原是5%，现为LIBOR-0.3%，比浮动利率少0.4%
LIBOR+0.1%-0.4%=LIBOR-0.3%=LIBOR+5%-x
∴x=5.3%
具体互换过程如下图所示
九、假设C 1、C 2、C 3分别代表执行价格为K 1、K 2、K 3的欧式看涨期权的价格，这里的执行
价格满足K 3>K 2>K 1和K 3−K 2=K 2−K 1。

所有期权有相同的期限，证明：C 2≤0.5(C 1+C 3)
解：
C 1+C 3−2C 2组合={0 S T ≤K 1S T −K 1K 1<S T ≤K 2S T −K 1−2(S T −K 2)K 2<S T ≤K 30 K 3<S T
因为S T −K 1>0和S T −K 1−2(S T −K 2)>0
意味着C2≤0.5(C1+C3)成立
十、如果债券的市场价格为P，债券的息票率为c，关于债券的期货合约期限是t年，在期
货合约期内，如果借款利率是r B，则期货价格的上限为F=P+Pt(r B−c)。

解：
a.证明F≤P+Pt(r B−c)
①单利计息
②债券息票Ptc
反证法：
If：F>P+Pt(r B−c)
便宜了，借钱买现货，签期货以后卖
−P(1+tr B)+Ptc+F>0
∵有套利机会，正常市场中无
∴F≤P+Pt(r B−c)
补充题：证明期货价格的下限为P+Pt(r L−c)，其中r L为贷款利率。

b.证明F≥P+Pt(r L−c)
反证法：
if：F<P+Pt(r L−c)
放贷卖，签期货以后买回来，则有套利机会。

∵有套利机会
∴F≥P+Pt(r L−c)。