高考数学综合模拟测试题(五)
2023年海南省高考数学全真模拟卷(五)+答案解析(附后)
2023年海南省高考数学全真模拟卷（五）1. 若复数为纯虚数，则实数a的值为( )A. 2B. 2或C.D.2. 已知集合，，若，则实数m的取值范围为( )A. B. C. D.3. 已知，则( )A. B. C. 2 D. 44. 已知直线与圆C：交于A，B两点，且线段AB关于圆心对称，则( )A. 1B. 2C. 4D. 55. 家庭农场是指以农户家庭成员为主要劳动力的新型农业经营主体，某家庭农场从2019年开始逐年加大投入，加大投入后每年比前一年增加相同额度的收益，已知2019年的收益为30万元，2021年的收益为50万元，照此规律，从2019年至2026年该家庭农场的总收益为( )A. 630万元B. 350万元C. 420万元D. 520万元6. 若函数，则的图象大致为( )A. B.C. D.7. 如图，点P是棱长为2的正方体表面上的一个动点，直线AP与平面ABCD所成的角为，则点P的轨迹长度为( )A.B.C.D.8. 设，，，则a，b，c的大小关系是( )A. B. C. D.9. 某网友随机选取了某自媒体平台10位自媒体人，得到其粉丝数据单位：万人：，，，，，，，，，若该平台自媒体人的粉丝数其中和分别为上述样本的平均数和标准差，根据上述数据，则下列说法正确的是( )附：若随机变量X服从正态分布，则，，A. 这10位自媒体人粉丝数据的平均数为B. 这10位自媒体人粉丝数据的标准差为C. 这10位自媒体人粉丝数据的第25百分位数为D. 用样本估计总体，该平台自媒体人的粉丝数不超过万的概率约为10. 已知抛物线C的方程为，F为焦点，O为坐标原点，S表示面积，直线l：与抛物线交于A，B两点，且A在第一象限，则下列说法正确的是( )A. B. C. D.11. 若函数的图象如图，且，，则下列说法正确的是( )A. 函数的周期为5B. 函数的对称轴为，C. 函数在内没有单调性D. 若将的图象向左平移个单位长度，得到的函数图像关于y轴对称，则的最小值为112. 如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中，，且点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上，若，则( )A.B.C. 存在最大值D. 的最大值为13. 已知向量，，定义，，则______ .14. 已知6名同学国庆假期相约去珠海野狸岛游玩，途中6名同学排成一排照相留念，若甲、乙、丙3人互不相邻，则不同的排法共有______ 种.15. 在平面内，设一动点P到点，的距离差的绝对值等于，若动点P的轨迹是曲线C，则曲线C的离心率的最小值为______ .16. 已知母线AD的长为的圆锥，其侧面积为，P是该圆锥内切球球面上一动点，则的最大值为______ .17. 已知等差数列中，，，数列的前n项和为，满足求数列，的通项公式；记，求数列的前20项的和18. 在圆内接四边形ABCD中，已知，，，为锐角.求及AD的长；求四边形ABCD周长的最大值.19. 某商场对M、N两类商品实行线上销售以下称“A渠道”和线下销售以下称“B 渠道”两种销售模式类商品成本价为元/件总量中有将按照原价200元/件的价格走B渠道销售，有将按照原价折的价格走A渠道销售；N类商品成本价为160元/件，总量中有将按照原价300元/件的价格走B渠道销售，有将按照原价折的价格走A渠道销售，这两种商品剩余部分促销时按照原价6折的价格销售，并能全部售完.通过计算比较这两类商品中哪类商品单件收益的均值更高收益=售价-成本；某商场举行让利大甩卖活动，全场M，N两类商品走A渠道销售，假设每位线上购买M，N商品的顾客只选其中一类购买，每位顾客限购1件，且购买商品的顾客中购买M类商品的概率为已知该商场当天这两类商品共售出5件，设X为该商场当天所售N类商品的件数，Y为当天销售这两类商品带来的总收益，求Y的期望，以及当时，n可取的最大值.20. 如图所示的多面体由正四棱柱与正四棱锥组合而成，与交于点，，，证明：平面平面；求平面PAD与平面夹角的余弦值.21. 已知椭圆C：的离心率为，且过点求椭圆C的标准方程；设Q为椭圆C上一动点，且Q不与顶点重合，M为椭圆C的右顶点，N为椭圆C的上顶点，直线QM与y轴交于点E，直线QN与x轴交于点F，求的值.22. 已知函数，求的单调区间；若，证明：；对于任意正整数n，，求t的最小正整数值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：复数为纯虚数，则，解得故选：根据纯虚数的定义，得到方程组，求解即可．本题考查纯虚数的定义，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：集合，，若，则，，解得，则实数m的取值范围为故选：由，得，从而，由此能求出实数m的取值范围．本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】A【解析】解：因为，所以故选：由已知利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦公式化简所求即可求解．本题考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：由圆C：，可得圆心，线段AB关于圆心对称，直线过圆心，，解得故选：由题意可得直线过圆心，即可求解．本题考查直线与圆的位置关系，属基础题．5.【答案】D【解析】解：根据题意，加大投入后每年比前一年增加了相同额度的收益，故每年增加的收益为万元从2019年至2026年每年的收益分别为30、40、50、60、70、80、90、100万元，总收益万元故选：根据题中条件先算出每年增加的收益，然后计算出从2019年至2026年每年的收益，最后算出总收益即可．本题考查函数模型的应用，属于中档题．6.【答案】B【解析】解：函数，定义域为R，，即为奇函数，图像关于原点对称，排除AC，当时，，，可得，排除故选：判断函数的奇偶性和对称性，利用函数符号，结合排除法进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性，以及函数符号关系是解决本题的关键，是基础题．7.【答案】A【解析】解：若直线AP与平面ABCD所成的角为，则点P的轨迹为圆锥的侧面与正方体的表面的交轨，在平面内，点P的轨迹为对角线除掉A点，不影响；在平面内，点P的轨迹为对角线除掉A点，不影响；在平面内是以点为圆心2为半径的圆弧，如图，故点P的轨迹长度为故选：由题意易得点P的轨迹为圆锥的侧面与正方体的表面的交轨，进而求解即可．本题考查轨迹的长度的计算，属中档题．8.【答案】C【解析】解：因为，，，所以令，则，，，，令得，所以在上，单调递增，在上，单调递减，因为，所以，所以，故选：，，，令，则，，，求导分析单调性，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．9.【答案】AD【解析】解：计算平均数为，选项A正确；计算方差为，所以标准差为，选项B错误；因为，所以这组数据的第25百分位数是第3个数据，为，选项C 错误；因为，且，所以，选项D 正确．故选：根据题意计算平均数和方差、标准差以及百分位数和正态分布，再判断即可．本题主要考查了平均数与方差、标准差和百分位数和正态分布的应用问题，是基础题．10.【答案】AC【解析】解：抛物线C 的方程为，为焦点，O 为坐标原点，S 表示面积，直线l ：与抛物线交于A ，B 两点，可得，解得，，所以，所以A 正确；，所以B 不正确；C 正确；所以D 不正确．故选：联立直线与抛物线方程，求解A ，B 坐标，然后求解判断选项的正误即可．本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的简单性质的应用，是中档题．11.【答案】BD【解析】解：根据函数的图象，且，，可得，即，再根据五点法作图，可得，，可得函数的的周期为，故A 错误；令，，求得，，故函数的对称轴为，，故B正确；当，，函数单调递增，故C错误；若将的图象向左平移个单位长度，得到的函数的图像关于y轴对称，则的最小值为1，故D正确，故选：由特殊点B求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由特殊点求出，由五点法作图求出的值，正弦函数的图象和性质，属于中档题．12.【答案】ABC【解析】解：对于选项A，，且点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上，，，故A正确；对于选项B，，，故B正确；对于选项C，以点O为原点建立平面直角坐标系，如图所示：则，，，点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上，点P的轨迹方程为，且在x轴的下半部分，设，，则，，，，又，，当时，取得最大值9，故C正确；对于选项D，，，，，又，当时，取得最大值，故D错误．故选：对于AB，将，分别用表示，再结合数量积的运算律即可判断；对于CD，以点O为原点建立平面直角坐标系，设，，根据平面向量的坐标表示及坐标运算即可判断．本题主要考查了平面向量基本定理，考查了平面向量数量积的运算和性质，属于中档题．13.【答案】3【解析】解：，，，，，，，又，，，，故答案为：根据向量的模的定义，向量夹角公式，即可求解．本题考查向量的模的定义，向量夹角公式，属基础题．14.【答案】144【解析】解：先将除甲、乙、丙3人外的另外三个人排成一排，再将甲、乙、丙3人插入到已经排好的三个人形成的四个空中，共有种．故答案为：利用插空法可求出结果．本题考查不相邻的排列问题，属于基础题．15.【答案】2【解析】解：在平面内，设一动点P到点，的距离差的绝对值等于，可得曲线的离心率为：，当且仅当时，取等号，所以曲线C的离心率的最小值为故答案为：列出离心率的表达式，利用基本不等式求解最小值即可．本题考查双曲线的离心率的求法，基本不等式的应用，是基础题．16.【答案】【解析】解：设圆锥底面圆心为C，半径为r，该圆锥内切球球心为O，作出过母线AD的轴截面ABD，如图所示，，且圆锥侧面积为，，，圆锥底面直径，为正三角形，大圆O切AD于中点E，设EO交大圆于点F，又易知，球的半径，，，两式相减可得极化恒等式：，的最大值为故答案为：设圆锥底面圆心为C，半径为r，该圆锥内切球球心为O，作出过母线AD的轴截面ABD，根据题意易得，从而得为正三角形，且大圆O切AD于中点E，最后再利用向量极化恒等式，即可求解．本题考查圆锥的内切球问题，向量数量积的最值的求解，极化恒等式的应用，属中档题．17.【答案】解：由题意，设等差数列的公差为d，则，整理，得，解得，，，当时，，解得，当时，由，可得，两式相减，可得，整理，得，数列是以为首项，为公比的等比数列，，由可得，，则【解析】先设等差数列的公差为d，再根据题干已知条件列出关于首项与公差d的方程组，解出与d的值，即可计算出等差数列的通项公式，对于数列，先将代入题干表达式计算出的值，当时，由，可得，两式相减进一步推导即可发现数列是以为首项，为公比的等比数列，计算出数列的通项公式；先根据第题的结果计算出数列的通项公式，再运用分组求和法，等差数列和等比数列的求和公式即可计算出前20项的和本题主要考查等差数列和等比数列的基本运算，以及数列求和问题．考查了方程思想，分类讨论，转化与化归思想，分组求和法，等差数列和等比数列的求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．18.【答案】解：在中，，，，由余弦定理可得，即，整理可得：，可得或，当时，由余弦定理可得，可得为钝角，与题意相矛盾，当时，，所以，，符合条件，所以，；由四边形ABCD为圆内接四边形，，所以，在中，由余弦定理可得，当且仅当时取等号，所以，所以四边形的周长的最大值为，即四边形ABCD的周长的最大值为【解析】在中，由余弦定理可得AD的值，再由为锐角，确定AD的值，再由勾股定理可得的大小；由圆内接四边形可得B角的大小，再由余弦定理及均值不等式可得的最大值，进而求出四边形ABCD的周长的最大值．本题考查余弦定理及圆内接四边形的性质的应用，均值不等式的应用，属于中档题．19.【答案】解：设M类服装，N类服装的单件收益分别为元，元，则，，，故N类服装单件收益的期望更高；由题意可知，元，又，所以元，，，，因为，所以当时，n可取的最大值为【解析】结合期望公式由单件总盈利减去成本即可计算；由题知N类服装的销售件数符合二项分布，求出对应，，⋯⋯，的值，可确定n的最大值；先列出这5件衣服总收益关丁X的关系式，得，结合化简即可求解．本题考查了二项分布和离散型随机变量的期望计算，属于中档题．20.【答案】证明：多面体由正四棱柱与正四棱锥组合而成，与交于点，，，，，平面，，以为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，，，，，，，，，设平面PCB的法向量为，则，取，得，设平面的法向量，则，取，得，，平面平面；解：，，设平面PAD的法向量为，则，取，则，设平面的法向量为，则，取，得，设平面PAD与平面夹角为，则平面PAD与平面夹角的余弦值为：【解析】以为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面平面；求出平面PAD的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出平面PAD与平面夹角的余弦值．本题考查了面面平行的证明和二面角的计算，属于中档题．21.【答案】解：由，，，，，又点在椭圆上，，，，椭圆C的标准方程为；，，则，，直线QM的方程为：，令，得，直线QN的方程：，令，得，则，，的值为【解析】由已知可得，，求解即可；写出直线QM、QN的方程，得E，F的坐标，进而可得本题考查椭圆的方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属中档题．22.【答案】解：因为，所以，若，则当时，，函数单调递增；若，则当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，综上所述，当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为证明：由知，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为所以，即，所以当时，，故当，，且，又，即，故由知，当时，，即，则有，当且仅当时等号成立，一方面：，即另一方面：当时，，当时，，，的最小正整数值为【解析】利用导数的正负与函数单调性的关系及对参数进行讨论即可求解；根据的结论及函数的单调性与最值的关系即可求解；将不等式恒成立问题转化为最值问题，根据的结论及不等式放缩，再利用对数不等式求解．本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，还考查了由不等式恒成立求参数范围，属于中档题．。
2023年高考数学模拟卷 (5)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z 满足(34i)2i z +=+，则z 的虚部为A ．25B ．225C ．15-D ．1-2．已知集合{}{}20,1,2,10A B x x ==∈<N ，则A B = A ．{0,1}B ．{1,2}C ．{0,1,2}D ．{0,1,2,3}3．已知甲､乙､丙､丁､戊五位同学高一入学时年龄的平均数､中位数均为16，方差为0.8，则三年后，下列判断错误的是A ．这五位同学年龄的平均数变为19B ．这五位同学年龄的中位数变为19C ．这五位同学年龄的方差仍为0.8D ．这五位同学年龄的方差变为3.84．某圆锥体积为1，用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到一个圆台，若圆台上底面和下底面半径之比为12，则该圆台体积为A ．78B ．34C ．12 D ．2 5．若函数()y f x =满足对x ∀∈R 都有()(2)0f x f x +-=，且()y f x =为R 上的奇函数，当(1,1)x ∈-时，()4sin()6f x x π=，则3()log f x x =的零点个数为 A ．2B ．3C ．4D ．5 6．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则ABC 的面积为A ．3 BC D ．37．已知实数0,0x y >>，满足32(2)e 3e y x x y -+=，若不等式12m x y+≥对任意的正实数x y 、恒成立，那么实数m 的最大值为A ．53B ．73C ．3D ．83 8．已知04a <<，02b <<，03c <<，且216ln ln 4a a =，24ln ln 2b b =，29ln ln 3c c =，则．A ．c b a >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．b c a >>二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知函数()sin()(0)6f x x πωω=+>的图象与直线y ＝1的交点中，距离最近的两点间的距离为π，则 A ．ω＝2B ．函数f (x )在[－4π，4π]上单调递增C ．6x π=是f (x )的一条对称轴D ．f (x )在[0，π]上存在唯一零点1112π 10．已知n x ⎛ ⎝的展开式中共有7项，则 A ．所有项的二项式系数和为64B ．所有项的系数和为1C ．二项式系数最大的项为第4项D ．有理项共4项 11．已知抛物线C ：2x my =的焦点为()0,1F ，点A ，B 为C 上两个相异的动点，则A ．抛物线C 的准线方程为1y =-B ．设点()2,3P ，则AP AF +的最小值为4C ．若A ，B ，F 三点共线，则AB 的最小值为2D ．若60AFB ∠=︒，AB 的中点M 在C 的准线上的投影为N ，则MN AB ≤12．三棱锥A BCD -各顶点均在表面积为20π的球体表面上，2,120AB CB ABC ∠===，90BCD ∠=，则A ．若CD AB ⊥，则2CD =B ．若2CD =，则CD AB ⊥C ．线段AD D ．三棱锥A BCD -三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线3()33f x x x =-+在点(2,)P t 处的切线方程为___________．14．若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一个焦点F 关于其一条渐近线的对称点P 在双曲线上，则双曲线的离心率为___________．15．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点A 在x 轴负半轴且2AF p =，B 是抛物线上的一点，BC 垂直l 于点C ，且2BC p =，AB 分别交l ，CF 于点D ，E ，则EF DF=_________． 16．已知Rt ABC 中，3AB =，4AC =，5BC =，I 是ABC 的内心，P 是IBC 内部（不含边界）的动点．若AP AB AC λμ→→→=+（λ，R μ∈），则λμ+的取值范围是___________．四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第16题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤。
2021高考数学模拟卷与训练卷五(解析版)(新高考卷)
2021高考数学模拟卷与训练卷五（解析版）（新高考卷）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1. 设集合A={x|0＜x＜3}，集合B={x|x²3x+2=0}，则A∩B=（）A. {1, 2}B. {1}C. {2}D. ∅2. 已知函数f(x)=x²+2ax+a²1（a为常数），若f(x)在区间（∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A. a≥0B. a≤0C. a≥1D. a≤13. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，cosC=1/2，则sinB的值为（）A. 3/5B. 4/5C. 3/4D. 2/34. 下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（）A. y=x³C. y=x²D. y=x²x5. 已知等差数列{an}的公差为2，若a1+a3+a5=12，则a4的值为（）A. 6B. 8C. 10D. 126. 在平面直角坐标系中，点A(2,3)，点B在x轴上，若|AB|=5，则点B的坐标为（）A. (7,0)或(3,0)B. (5,0)或(3,0)C. (7,0)或(3,0)D. (5,0)或(3,0)7. 若直线y=kx+1与圆(x1)²+(y2)²=4相交，则实数k的取值范围是（）A. k≤1B. k≥1C. k≤1D. k≥18. 已知函数g(x)=ln(x+1)，若g(a)=g(b)，则a与b的关系是（）A. a=bC. a+b=0D. a²=b²二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）9. 已知数列{bn}是等比数列，b1=2，b3=8，则数列的公比为______。
10. 若向量a=(2,1)，向量b=(m,3)，且a与b共线，则实数m的值为______。
11. 在三角形ABC中，sinA=3/5，cosB=4/5，则tanC的值为______。
高三数学综合测试(5)(解析版)
高三数学综合测试（5）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知全集{}3U x x =∈≤Z ，集合{}3,1,2,3A =−−，{}3,0,1,2B =−，则()U B A ∩= （ ）A ．∅B ．{}1C ．{}0,1D ．{}0,1,2【答案】C 【详解】因为全集{}{}{}3333,2,1,0,1,2,3U x x x x =∈≤=∈−≤≤=−−−Z Z ， 又因为{}3,1,2,3A =−−，{}3,0,1,2B =−，则{}2,0,1U A =− ，因为(){}0,1U A B ∩=.故选：C. 2．若虚数z 使得z 2+z 是实数，则z 满足（ ） A ．实部是12−B ．实部是12C ．虚部是0D ．虚部是12【答案】A 【详解】设i z a b =+（,R a b ∈且0b ≠），222222(i)(i)2i i (2)i z z a b a b a ab b a b a a b ab b +=+++=+−++=+−++，2z z+是实数，因此20ab b +=，0b =（舍去），或12a =−．故选：A ． 3．已知向量,ab 的夹角为120 ，且,a b 是函数()256f x x x −=+的两个零点.若()(2)a b a λλ+⊥> ，则λ=（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】A 【详解】解：因为函数()256f x x x −=+的两个零点分别为2，3，所以2,3a b == 或3,2a b == . 又()a b a λ+⊥ ，所以()0a b a λ+⋅= ，则20a a b λ+⋅= ，即2||cos1200a a b λ+=.当2,3a b == 时，142302λ+×××−=，解得43λ=（舍去）； 当3,2a b == 时，193202λ+×××−=，解得3λ=，满足2λ>. 综上，3λ=故选：A4．已知函数1,()2,xx x a f x x a +≤ = > ，若()f x 的值域是R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],0−∞B ．[]0,1C ．[)0,∞+D ．(],1−∞【答案】B 【详解】根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数1y x =+和()2x g x =的图象如下图所示： 由图可知，当0x =或1x =时，两图象相交，若()f x 的值域是R ，以实数a 为分界点，可进行如下分类讨论： 当a<0时，显然两图象之间不连续，即值域不为R ；同理当1a >,值域也不是R ； 当01a ≤≤时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是R ； 综上可知，实数a 的取值范围是01a ≤≤.故选：B5．蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图，为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB ，作一个等边三角形ABC ，然后以点B 为圆心，AB 为半径逆时针画圆弧交线段CB 的延长线于点D （第一段圆弧），再以点C 为圆心，CD 为半径逆时针画圆弧交线段AC 的延长线于点E ，再以点A 为圆心，AE 为半径逆时针画圆弧…….以此类推，当得到的“蚊香”恰好有9段圆弧时，“蚊香”的长度为（ ）A ．14πB ．18πC ．24πD ．30π【答案】D 【详解】依题意，每段圆弧的圆心角为2π3，第一段圆弧到第n 段圆弧的半径构成等差数列：1，2，3，…，n.， 所以当得到的“蚊香”恰好有9段圆弧时，“蚊香”的长度为π(19)292π330+××=.故选：D. 6．某车间需要对一个圆柱形工件进行加工，该工件底面半径15cm ，高10cm ，加工方法为在底面中心处打一个半径为r cm 且和原工件有相同轴的圆柱形通孔.若要求工件加工后的表面积最大，则r 的值应设计为（ ） A ．BC ．4D ．5【答案】D 【详解】大圆柱表面积为2215π10215π750π×+××= 小圆柱侧面积为102πr ×，上下底面积为22πr所以加工后物件的表面积为2750π20π2πr r +−，当=5r 时表面积最大.故选：D7．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+的部分图象如图所示，其中π0,0,02A ωϕ−>><<.在已知21x x 的条件下，则下列选项中可以确定其值的量为（ ） A ．ωB ．ϕC ．φωD ．sin A ϕ【答案】B 【详解】根据图象可知，函数()f x 的图象是由sin y A x ω=向右平移ϕω−个单位得到的；由图可知12()()0fx f x ==，利用整体代换可得120,πx x ωϕωϕ+=+=， 所以21πx x ϕϕ−=−，若21x x 为已知，则可求得21π1x x ϕ=−.故选：B 7*．已知函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω=+>< .若55,662424f x f x f x f x ππππ+=−−−+=−−，且()f x 在区间,32ππ上单调，则ω=（ ） A ．43B ．43或4 C ．4D ．43或203【答案】B 【详解】由66f x f x ππ+=−−，得函数()f x 的图象关于点,06π中心对称； 由552424f x f x ππ−+=−−，得函数()f x 的图象关于直线524x π=−对称，所以5,62442T kTk ππ −−+∈ Z ，解得()3,212T k k π∈+Z ， 即()23,212k k ππω=∈+Z ，得()412,3k k ω+=∈Z.因为()f x 在区间,32ππ上单调，所以232T ππ−≤，即3T π≥， 所以23ππω≥，解得6ω≤.又()412,3k k ω+=∈Z ，所以0k =或1k =.当0k =时，43ω=，则4,36k k πϕπ×+=∈Z ，得29k πϕπ=−. 由2πϕ<，得29πϕ=−，此时()42sin 39f x x π =− ，当524x π=−时，5sin 1242f ππ−=−=−，符合题意； 当1k =时，4ω ，则4,6k k πϕπ×+=∈Z ，得2,3k k πϕπ=−∈Z . 由2πϕ<，得3πϕ=，此时()sin 43f x x π=+， 当524x π=−时，5sin 1242f ππ−=−=−，符合题意. 综上，43ω=或4ω .故选：B. 8．已知圆22:1C x y +=，点P 为直线:240l x y −−=上一动点，下列结论不正确的是（ ） A ．直线l 与圆C 相离B ．圆C 上有且仅有一个点到直线l 的距离等于1C ．过点P 向圆C 引一条切线P A ，A 为切点，则PA的最小值为D ．过点P 向圆C 引两条切线P A 和PB ，A 、B 为切点，则直线AB 过定点【答案】B 【详解】对于A ，圆心(0,0)C 到直线 240x y −−=的距离1d r =>=，所以直线与圆相离，故A 正确； 对于B ，由A知d =011d r∴<−=<，故圆C 上有2个点到直线l 的距离等于1，故B 错误； 对于C，||PA = ，当且仅当PC 与直线240x y −−=垂直时等号成立，所以PA 的最小C 正确； 对于D ，设点00(,)P x y ，则00240x y −−=，即00122y x =−， 由切线性质可知,,,C A B P 四点共圆，且圆的直径为CP ，所以圆的方程为22220000()()224x y x y x y +−+−=， 两圆的方程作差，得公共弦AB 所在直线方程为001xx yy +=， 即001(2)12xx y x +−=，整理可得01()2102x y x y +−−=，解方程102210x y y += −−= ，解得1412x y= =−， 所以直线AB 过定点11,42−，故D 正确.故选：B9．已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，点P 在线段1B C 上，有下列四个结论：①11AB CD ⊥；②点P 到平面1A BD③二面角11A B C D −−的余弦值为23；④若四面体11B ACD 的所有顶点均在球O 的球面上，则球O的体积为. 其中所有正确结论的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【详解】如图，连接1DC .因为四边形11DCC D 为正方形，所以11DC CD ⊥.又11AB DC ∥，所以11AB CD ⊥，故①正确；因为11//B C A D ，1A D ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD ， 所以1//B C 平面1A BD ，所以点P 到平面1A BD 的距离即为点1B 到平面1A BD 的距离d .因为1111B A BD D A BB V V −−=三棱锥三棱锥，所以2111111332d ×=××××，解得d =②正确； 由题意知111,AB C D B C 为全等的等边三角形，当点P 为1B C 的中点时，连接1,AP D P ，则111,AP B C D P B C ⊥⊥，所以1APD ∠为二面角11A B C D −−的平面角.由题意知11AD AP D P===，在1APD △中，由余弦定理，得22211112cos AD AP D P AP D P APD ∠=+−×××，即22212cos APD ∠+−，所以11cos 3APD ∠=，故③错误； 因为四面体11B ACD 的外接球即为正方体1111ABCD A B C D −的外接球，所以球O34π3V =×，故④错误. 综上，正确结论的个数是2.故选：B.10．已知函数()1,0,2,0.x f x x x a x −< = −+≥若()f x 的图象上至少有两对点关于y 轴对称，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,2 −∞B ．1,2 +∞C ．10,2D ．[]0,1【答案】C 【详解】解：当0x <时，()1f x x =−，则其关于y 轴对称的图象所对应的函数解析式为1,0y x x=>. 由题意知当0x >时，1y x=与2y x a =−+的图象至少有两个公共点，即方程12x a x=−+在区间(0,)∞+内至少有两个实根.令12,021,212,2x x xy a y x x x x x+−<≤ ==−−= −+> ，在同一平面直角坐标系中分别作出y a =与12(0)y x x x=−−>的图象，如图：由图可知，若直线y a =与曲线12(0)y x x x=−−>至少有两个公共点，则102a ≤≤.故实数a 的取值范围是10,2.故选：C.11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b −=>>的左直径的圆与C 的渐近线在第一象限交于点M .若AOM 的内切圆半径为3abc，则C 的离心率为（ ） ABCD【答案】A 【详解】由题意知(),0A a −，双曲线C 过第一程为222x y c +=.联立222,,b y x a x y c =+=解得,x a y b = = 或,,x a y b =− =− 所以(),M a b ，则AM 又,,OA a OM c AOM == 的内切圆半径为3abc，所以11(232ab a c ab c ×+×=2c a =−.结合222+=a b c ，得223420c ac a −−=， 所以23420e e −−=，解得e =e .故选：A12．已知函数()f x 及其导函数()f x ′的定义域均为R ，记()()g x f x ′=.若()f x 的图象关于点()3,0中心对称，322g x+ 为偶函数，且()()12,33g g ==−，则20231()k g k ==∑（ ）A ．670 B ．672 C ．674 D ．676【答案】D 【详解】因为()f x 的图象关于点()3,0中心对称，所以()()33f x f x +=−−+，则()()6f x f x =−−+，所以()()6f x f x ′′=−+，即()()6g x g x =−+，所以()()33g x g x +=−+，所以函数()g x 的图象关于直线3x =对称.又322g x + 为偶函数，所以332222g x g x +=− ，则3322g x g x+=−，所以()g x 的图象关于直线32x =对称，所以()()333332222g x g x g x g x +=+−=−+=，所以()g x 的周期为3T =.由3322g x g x+=−，得()()212g g ==.又()33g =−，所以()()()1231g g g ++=.故20231()[(1)(2)(3)]674(1)6742676k g k g g g g ==++×+=+=∑.故选：D. 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若椭圆22221(0)2x y m m m +=>+的某两个顶点间的距离为4，则m 的可能取值有（写出所有可能值）、2【详解】由题意可知，a b m ===，若这两个顶点为长轴的两个端点时，4,m =若这两个顶点为短轴的两个端点时，24,2m m ==；4,m =14．已知函数()()()2ln ,f x ax x a f x =+∈R 的导函数为()f x ′，且()13f ′=，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为__________.【答案】320x y −−=【详解】由()2ln (f x ax x a =+∈R ），得()12f x ax x′=+，所以()121f a ′=+. 令213a +=，得1a =，所以()2ln f x x x =+，则()11f =.故所求切线方程为()131y x −=−，即320x y −−=. 故答案为：320x y −−=15．记正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()22221231111111141n na a a a n ++++=−−−−+ .若不等式1n n S a λ+ 恒成立，则实数λ的取值范围是__________.【答案】4,3 +∞【详解】因为()22221231111111141n n a a a a n ++++=−−−−+ ①， 所以当2n ≥时，222212311111111114n n a a a a n −−++++=−−−− ②. ①-②，得()()2111141441n n n a n nn n −=−=−++，所以222441(21)n a n n n =++=+， 因为数列{}n a 是正项数列，则()21*n a n =+.当1n =时，()21111411a =−×+，则13a =，符合()*式， 从而21n a n =+，{}n a 是首项为3，公比为2的等差数列，所以()232122nn n S n n ++==+， 由1n n S a λ≥+，得()2222n n n λ+≥+，即2222n n nλ+≥+.令()()()222122212(1)111n n f n n n n n n ++===++−+−+，因为()()111g n n n =+−+在N n ∗∈时单调递增， 所以()()2111f n n n =+−+单调递减，则当1n =时，()f n 取得最大值，且为43，所以43λ≥.故答案为：4,3+∞.16．()()()111222333,,,,,P x y P x y P x y 是函数()f x 的图象上不重合的三点，若函数()f x 满足：当1230x x x ++=时，总有123,,P P P 三点共线，则称函数()f x 是“零和共线函数”．若3y x ax =+是“零和共线函数”，则a 的范围是__________． 【答案】R 【详解】由3()y f x x ax ==+的定义域为R ，又33()()()()()f x x a x x ax f x −=−+−=−+=−， 所以，R a ∈有()y f x =均为奇函数，且(0)0f =，即()y f x =图象在y 轴一侧的点，在其另一侧一定存在关于原点对称的点， 所以，上述y 轴两侧关于原点的对称点与原点可构成满足题设的123,,P P P 三点， 综上，对于R a ∈，都有3y x ax =+是“零和共线函数”.故答案为：R 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17(本小题满分12分）在ABC 中，2AB =，D 为AB中点，CD = .(1)若BC =AC 的长； (2)若2BAC BCD ∠=∠ ，求AC 的长. 【答案】【详解】（1）在BDC中，222cos 2BD CD BC BDCBD CD +−∠==⋅，则cos cos ADC BDC ∠=−∠ ， 在ADC △中，2222cos AC AD CD AD CD ADC =+−⋅⋅∠12(4=+−=，所以2AC =. （2）设,AC x BC y ==，在ADC △和BDC1,sin sin sin x y ADC BCD BDC =∠∠∠， 又sin sin ADC BDC ∠=∠，得sin sin BAC BCD ∠=∠BDC中，cos BCD ∠ 由2BAC BCD ∠=∠，有sin 2sin cos BAC BCD BCD ∠=∠∠2，整理得：()2221y x y =+，①又由cos cos ,ADC BDC ∠=−∠226x y +=，② 联立①②得，3227120x x x −−+=，即()()2340x x x −+−=.，解得3x =或x =11x <<，故x =AC =18(本小题满分12分）口袋中共有7个质地和大小均相同的小球，其中4个是黑球，现采用不放回抽取方式每次从口袋中随机抽取一个小球，直到将4个黑球全部取出时停止. (1)记总的抽取次数为X ，求E （X ）；(2)现对方案进行调整：将这7个球分装在甲乙两个口袋中，甲袋装3个小球，其中2个是黑球；乙袋装4个小球，其中2个是黑球.采用不放回抽取方式先从甲袋每次随机抽取一个小球，当甲袋的2个黑球被全部取出后再用同样方式在乙袋中进行抽取，直到将乙袋的2个黑球也全部取出后停止.记这种方案的总抽取次数为Y ，求E （Y ） 【答案】(1)325(2)6，答案见解析 【详解】（1）X 可能取值为4，5，6，7，()()()()4364333354477747C C C C 141054,5,6,7C 35C 35C 3520C 3P X P x P X P X ============， ()141020324567353535355E X =×+×+×+×= ； （2）Y 可能取值为4，5，6，7，设甲袋和乙袋抽取次数分别为1Y 和2Y ，()()()2111122314C 8C 422C C 11P Y P Y P Y ======⋅，()()()()()2111112211222224413343218C C C C 523C C C C P P Y P Y P Y P Y Y +===⋅+⋅=====，()()()()()11113122212222234341743318C C C C 62C C C C P Y P P Y P Y Y P Y ====+==⋅==+⋅，()()()1132222134C C 876413C C P Y P P Y Y ======⋅ ，()14764567618181818E Y =×+×+×+×=. 19(本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD −中，PC ⊥底面ABCD ，ABCD 是直角梯形，AD ⊥DC ，AB DC ，AB =2AD =2CD =2，点E 是PB 的中点.(1)证明：平面EAC ⊥平面PBC ；(2)若直线PB 与平面P ACP -AC -E 的余弦值. 【答案】(1)证明见解析【详解】（1）∵PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴PC AC ⊥.∵2AB =，由1ADCD ==，AD DC ⊥且ABCD 是直角梯形，∴AC BC ==222AC BC AB +=，∴AC BC ⊥. ∵PC BC C ∩=，PC ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，∴AC ⊥平面PBC .∵AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBC（2）∵PC ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PC BC ⊥.由（1）知AC BC ⊥.∵PC AC C ∩=，PC ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC ， ∴BPC ∠即为直线PB 与平面PAC 所成角.∴sin BC BPC PB ∠=PB =2PC = 取AB 的中点G ，连接CG ，以点C 为坐标原点，分别以CG ､CD ､CP 为x 轴､y 轴､z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()002P ,,，()1,1,0A ，()1,1,0B −，11,,122E−， ∴()1,1,0CA = ，()0,0,2CP =，11,,122CE =−设()111,,m x y z = 为平面PAC 的法向量，则111020m CA x y m CP z ⋅=+= ⋅== ， 令11x =，得10z =，11y =−，得()1,1,0m =−设()222,,x n y z =为平面ACE 的法向量，则22222011022n CA x y n CE x y z ⋅=+=⋅=−+=，令21x =，则21y =−，21z =−，得()1,1,1n −−.∴cos,m n<>由图知所求二面角为锐角，所以二面角P AC E−−.20 (本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左焦点为1F，点P在C上，1PF的最大值为1+，且当1PF垂直于长轴时，1PF=(1)求C的方程；(2)已知点,D O为坐标原点，与OD平行的直线l交C于,A B两点，且直线DA，DB分别与x轴的正半轴交于,E F两点，试探究OE OF+是否为定值.若是，求出该定值；若不是，说明理由.【答案】(1)2212xy+=(2)是，OE OF+为定值2【详解】（1）1PF的最大值为a c+，当1PF垂直于长轴时，将x c=−代入椭圆可得222bya=，则21bPFa=，所以22221a cbaa b c+===+，解得11abc===，所以C的方程为2212xy+=（2）OE OF+为定值.由题可知直线OD，且直线DA，DB分别与x轴的正半轴交于,E F两点，故设直线l的方程为()()1122(0),,,,y mm A x y B x y=+<.联立2212y x mxy=++=得2210x m+−=，则()222Δ)4124m m−−=−+>，解得m<<，则0m<<，所以21212,1x x x xm+=−，直线DA的方程为)1y x−，令0y=，得1x=1E，所以11OE =−，同理可得11OF=−故2OE OF+=−2−2=22=，所以OE OF+为定值2.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式； （5）代入韦达定理求解. 21(本小题满分12分）已知函数()2ln 1xf x x x x =++. (1)证明：()f x 恰有一个零点； (2)设函数()()()()()22ln 1,1g x a x x F x f x g x x =+−−=++.若()F x 至少存在两个极值点，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)证明见解析(2)()2,1−− 【详解】（1）证明：令()0f x =，得2ln 01xx x x +=+.又0x >，所以2ln 0x x x ++=. 令()2ln t x x x x =++，则()1210t x x x=++>′，所以()t x 在区间()0,∞+上单调递增. 又211e 10,(1)20e e t t + =−+<=>，所以存在唯一的01(1)e ,x ∈，使得()00t x =，即()t x 在区间()0,∞+内恰有一个零点，故函数()f x 恰有一个零点. （2）由题意知()()2ln ln 111x Fx x a x x x =++−++，所以()1ln 2111x F x a x x + =++++′. 因为函数()F x 至少存在两个极值点，所以方程ln 2101x a x +++=+至少有两个不等实根. 令()ln 21x x x ϕ+=+，则()221ln 2111ln (1)(1)x x x x x x x x ϕ+−− ==−+−′++. 令()11ln r x x x=−+−，则()2110r x x x ′=−−<， 所以函数()r x 在区间()0,∞+上单调递减.又()10r =，所以当()0,1x ∈时，()0r x >，即()x ϕ′>0，此时()x ϕ单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0r x <，即()0x ϕ′<，此时()x ϕ单调递减，且当0x →时，()();11x ϕ∞ϕ→−=；当1x >时，()0x ϕ>；当x →+∞时，()0x ϕ→.要使()10x a ϕ++=在区间()0,∞+内至少有两个不等实根， 则函数()x ϕ的图象与直线1y a =−−在区间(0,)+∞上至少有两个交点. 作出函数()x ϕ的图象，如图所示，则011a <−−<，解得21a −<<−.此时，()F x ′在区间()0,1和区间()1,+∞内各有一个零点，分别设为12,x x ，则当10x x <<或2x x >时，()0F x ′<；当12x x x <<时，()0F x ′>，故1x 为()F x 的极小值点， 2x 为()F x 的极大值点，符合题意.故实数a 的取值范围是()2,1−−.【点睛】用导数研究函数零点的方法：（1）涉及函数的零点(方程的根)问题，主要利用导数确定函数的单调区间和极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求得参数的取值范围．（2）含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x 表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用B 2铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
高考数学模拟试题（五）
一、选择题1.设集合M ={}|x x 2-x -6<0，N ={}x |2x ≥4，则M ⋂N =().A.∅B.(]-2，2C.[]2，3D.[)2，32.设复数z 满足1+z 1-z=i ，则|z |=().A.1B.2C.3D.23.某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图1（1）（2）（3）（4）所示的散点图，关于相关系数的比较，其中正确的是().图1A.r 4<r 2<0<r 1<r 3B.r 2<r 4<0<r 1<r 3C.r 2<r 4<0<r 3<r 1D.r 4<r 2<0<r 3<r 14.已知函数f (x )=x 2+2cos x ，若f ′(x )是f (x )的导函数，则函数f ′(x )的图象大致是().A. B.C. D.5.已知函数f (x )=-x 3+ax 2-4在x =2处取得极值，若m ∈[-1,1]，则f (m )的最小值为().A.-4 B.-2C.0 D.26.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中E 为棱BB 1的中点(如图2)，用过点A ，E ，C 1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为().7.已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F ()3,0，过点F 的直线交椭圆E 于A ，B 两点.若AB的中点坐标为()1,-1，则E 的方程为().A.x 245+y 236=1B.x 236+y 227=1C.x 227+y 218=1 D.x 218+y 29=18.函数f (x )=cos 2x +a sin x 在区间(π6,π2)上是减函数，则a 的取值范围是().A.(2,4)B.(]-∞,2C.(]-∞,4D.[)4,+∞9.某校高三年级有男生220人，学籍编号为1，2，...，220；女生380人，学籍编号为221，222， (600)为了解学生学习的心理状态，按学籍编号采用系统抽样的方法从这600名学生中抽取10人进行问卷调查(第一组采用简单随机抽样，抽到的号码为10)，再从这10名学生中随机抽取3人进行座谈，则这3人中既有男生又有女生的概率是().A.15B.310C.710D.4510.关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学每人随机写下一个x ，y 都小于1的正实数对()x ,y ；再统计x ，y 两数能与1构成钝角三角形三边的数对()x ,y 的个数m ；最后再根据统计数m 估计π的值，假如统计结果是m =35，那么可以估计π的值约为().梅涛图2A. B.C.D.56A.227B.4715C.5116D.19611.已知数列{}a n 满足a 1=1，a n ∙a n +1=2n (n ∈N *)，则S 2019等于().A.22019-1B.3×21010-3C.21011-3D.3×21010-212.已知f ()x =ln ()x 2+1-x ，不等式f ()a x 2+1+f ()x 2+2≤0对x ∈R 成立，则a 的取值范围为().A.[)-2,+∞B.[)2,+∞C.(]-∞,2 D.(]-∞,-2二、填空题13.∫-11e ||x d x 值为.14.已知等比数列{}a n 的前n 项和为S n ，且S n =32+a ∙3n ，则S 6S 3=.15.抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线y 2-x 2=1相交于A ,B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p =.16.在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中，用如图3A 所示的三角形，解释二项和的乘方规律.在欧洲直到1623年以后，法国数学家布莱士•帕斯卡的著作(1655年)介绍了这个三角形，近年来，国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”，如图3A .17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”，如图3B .在杨辉三角中，相邻两行满足关系式：C rn+C r +1n=Cr +1n +1，其中n 是行数，r ∈N .请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是.图3三、解答题(一)必考题17.在△ABC 中，内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，已知sin A cos B sin B cos A=2c -b b .(1)求A ；(2)设AC =2，点D 在AB 上，且AD =3DB ，若△BCD 的面积为3，求BC 的长.18.某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择；方案甲：：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率为45.第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束.若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖，规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，获得奖金1000元；若未中奖，则所获奖金为0元.方案乙：：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为25，每次中奖均可获奖金400元.(1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X (元)的分布列；(2)某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，试比较哪个方案更划算？19.如图4，在四棱锥S -ABCD中，底面ABCD 是直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，△SAB 是等边三角形，侧面SAB ⊥底面ABCD ，AB =23，BC =3，AD =1，点M 、点N 分别在棱SB 、棱CB 上，BM =2MS ，BN =2NC ，点P 是线段MN 上的任意一点.(1)求证：AP ∥平面SCD ；(2)求二面角S -CD -B 的大小.20.已知动圆P 经过点N ()1,0，并且与圆M :(x +1)2+y 2=16.相切.(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)设G ()m ,0为轨迹C 内的一个动点，过点G 且斜率为k 的直线l 交轨迹C 于A ,B 两点，当k 为何值时？ω=|GA |2+|GB |2是与m 无关的定值，并求出该值定值.21.设函数f (x )=ax 2ln x +b (x -1)，曲线y =f (x )过点(e ,e 2-e +1)，且在点(1,0)处的切线方程为y =0.(1)求a ,b 的值；(2)证明：当x ≥1时，f (x )≥(x -1)2；图457(3)若当x ≥1时，f (x )≥m (x -1)2恒成立，求实数m的取值范围.(二)选考题22.在直角坐标系xOy 中,曲线C 1:ìíîx =t cos α,y =t sin α,(t 为参数,且t ≠0),其中0≤α<π,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=2sin θ,C 3:ρ=23cos θ.(Ⅰ)求C 2与C 3交点的直角坐标；(Ⅱ)若C 1与C 2相交于点A,C 1与C 3相交于点B ,求||AB 最大值.23.已知函数f (x )=|x -2a |-|x -a |，a ∈R ．(Ⅰ)若f (1)>1，求a 的取值范围；(Ⅱ)若a <0，对∀x ,y ∈(-∞,a ]，都有不等式f (x )≤|y +2020|+|y -a |恒成立，求a 的取值范围．参考答案与解析一、选择题1-12DACAA CDBDD CA 二、填空题13.2e -2；14.28；15.23；16.1C 1n +1C r n =1C 1n +2C r n +1+1C 1n +2C r +1n +1.三、解答题(一)必考题17.解：(1)∵sin A cos B sin B cos A=2c -b b ，∴sin A cos B sin B cos A =2sin C -sin B sin B，∴sin A cos B cos A=2sin C -sin B ，∴sin A cos B =2sin C cos A -sin B cos A ，∴sin A cos B +sin B cos A =2sin C cos A ，∴sin ()A +B =2sin C cos A ，∴sin C =2sin C cos A ，又∵C ∈()0,π，∴sin C ≠0，∴cos A =12，且A ∈()0,π，∴A =π3.(2)∵AD =3DB ，∴S △ABC =4S △BDC ，∵S △BDC =3，∴S △ABC =43=2，∴12bc sin A =43，即12×2c =43，∴c =8，∴a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，∴a 2=64+4-2×8×2cos π3，∴a =213.18.解：(1)P ()X =0=15+45×12×15=725，P ()X =500=45×12=25，P ()X =1000=45×12×45=825.所以某员工选择方案甲进行抽奖所获金X (元)的分布列为：X P725500251000825(2)由(1)可知，选择方案甲进行抽奖所获得奖金X 的均值E ()X =500×25+1000×825=520，若选择方案乙进行抽奖中奖次数ξ～B æèöø3,25，则E ()ξ=3×25=65，抽奖所获奖金X 的均值E ()X =E ()400ξ=400E ()Eξ=480，故选择方案甲较划算.19.解：(1)连接AM ,AN ，由BM =2MS ，得MN ∥SC ，MN ∥平面SCD ，且NC =13BC =1=AD ，又AD ∥BC ，则四边形ABCD 为平行四边形，故AN ∥DC ，AN ∥平面SCD ，又MN ⋂AN =N ，面AMN ∥面SCD ，又AP ⊆面AMN ，∴AP ∥平面SCD .(2)如图5，以AB 中点O 为原点，AB 中垂线为z 轴，直线BC 为x 轴，过O 与BC 平行的直线为y 轴，建立空间直角坐标系,则面BCD 的其中一个法向量为 n 1=(0,0,1)，设面SCD 的一个法向量n 2=(x ,y ,z )，又S (0,0,3)，D (3,1,-3)，C (-3,3,0)，所以 SD =(3,1,-3)， CD =(23,-2,0)，ìíî SD ⋅n 2=0, CD ⋅ n 2=0,⇒ìíîïï3x +y -3z =0,3x -2y =0,令y =1得， n 23)，则|cos < n 1, n 2>|=| n 1⋅ n 2|| n 1|| n 2|=||||||||||231⋅43=12，故二面角S -CD -B 的大小为π3.图55820.解：(1)由题设得：|PM |+|PN |=4，∴点P 的轨迹C 是以M ，N 为焦点的椭圆，∵2a =4，2c =2，∴b =a 2-c 2=3，∴椭圆方程为x 24+y 23=1；(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),G (m ,0)(-2<m <2)，直线l ：y=k (x -m )，由ìíîïïy =k ()x -m ,x 24+y 23=1,得(3+4k 2)x 2-8k 2mx +4k 2m 2-12=0，x 1+x 2=8mk 24k 2+3，x 1∙x 2=4k 2m 2-124k 2+3，∴y 1+y 2=k ()x 1-m +k ()x 2-m =6mk 4k 2+3．y 1∙y 2=k 2()x 1-m ()x 2-m =3k 2()m 2-44k 2+3．∴||GA |2+GB |2=(x 1-m )2+y 12+(x 2-m )2+y 22=()k 2+1-6m 2()4k 2-3+24()3+k 2()4k2+32．∵ω=|GA 2|2的值与m 无关，∴4k 2-3=0，解得k =.此时ω=|GA |2+|GB |2=7．21.解：(1)由题意可知，f ()x =ax 2ln x +b ()x -1定义域为x >0,即x ∈()0,∞,f ′()x =2ax ln x +ax +b ,(x >0)，∵f ′()1=a +b =0，f ()e =ae 2+b ()e -1=a ()e 2-e +1=e 2-e +1，∴a =1,b =-1．(2)f ()x =x 2ln x -x +1，设g ()x =x 2ln x +x -x 2，()x ≥1，g ′()x =2x ln x -x +1，由()g ′()x ′=2ln x +1>0，g ′()x 在[)1,+∞上单调递增，∴g ′()x ≥g ′()1=0，g ()x 在[)1,+∞上单调递增，g ()x ≥g ()1=0．∴f ()x ≥()x -12．(3)设h ()x =x 2ln x -x -m ()x -12+1,()x ≥1，h ′()x =2x ln x +x -2m ()x -1-1，由(2)中知x 2ln x ≥()x -12+x -1=x ()x -1，x ln x ≥x -1，∴h ′()x ≥3()x -1-2m ()x -1=()3-2m ()x -1，当3-2m ≥0即m ≤32时，h ′()x ≥0，所以h ()x 在[)1,+∞单调递增，∴h ()x ≥h ()1=0，成立．当3-2m <0即m >32时，h ′()x =2x ln x +(1-2m )(x-1)(h ′()x )′=2ln x +3-2m ，令()h ′()x ′=0，得x 0=e 2m -32>1，当x ∈[]1,x 0时，h ′()x 单调递减，则h ′()x <h ′()1，所以h ()x 在[)1,x 0上单调递减，所以h ()x <h ()1=0，不成立．综上，m ≤32．(二)选考题22.解：(Ⅰ)曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2-2y =0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2+y 2-23．联立ìíîx 2+y 2-2y =0,x 2+y 2-23x =0,解得{x =0,y =0,或ìíîïïx y =32,所以C 2与C 1交点的直角坐标为(0,0)和32)．(Ⅱ)曲线C 1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0)，其中0≤α<π．因此A 得到极坐标为(2sin α,α)，B 的极坐标为．所以||AB =||2sin α-23cos α=4||||||sin(α-π3)，当α=5π6时，||AB 取得最大值，最大值为4．23.解：(Ⅰ)由题意知，f (1)=|1-2a |-|1-a |>1，若a ≤12，则不等式化为1-2a -a +a >1，解得a <-1；若12<a <1，则不等式化为2a -1-(1-a )>1，解得a >1，即不等式无解；若a ≥1，则不等式化为2a -1+1-a >1，解得a >1，综上所述，a 的取值范围是(-∞,-1)⋃(1,+∞)；(Ⅱ)由题意知，要使得不等式f (x )≤|y +2020|+|y -a |恒成立，只需[f (x )]max ≤[|y +2020|+|y -a |]min ，当x ∈(-∞,a ]时，|x -2a |-|x -a |≤-a ，[f (x )]max =-a ，因为|y +2020|+|y -a |≥|a +2020|，所以当(y +2020)(y -a )≤0时，[|y +2020|+|y -a |]min =|a +2020|，即-a ≤|a +2020|，解得a ≥-1010，结合a <0，所以a 的取值范围是[-1010,0].59。
2022年高考数学模拟试题（五）
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本题共12小题；每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知z （1+i ）=2-i （其中i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知全集U=Z ，集合A =x x =3n -1，n ∈Z {}，B =x x >3，x ∈Z {}，则A ∩B ）中元素的个数为A.4 B.3C.2D.13.已知f （x ）是定义在R 上的最小正周期为4的奇函数，且f （-1）=1，则f （2021）=A.1B.-1C.4D.-44.（x +1x2）10的展开式中x 的系数为A.30B.45C.90D.1205.我国在2020査年开展了第七次全国人口普，并于2021年5月11日公布了结果.自新中国成立以査来，我国共进行了七次全国人口普，下图为我国历査次全国人口普人口性别构成及总人口性别比（以女性为100，男性对女性的比例）统计图，则下列说法错误的是A.近三次全国人口普查总人口性别比呈递减趋势B.我国历次全国人口普查总人口数呈逐次递增C.第五次全国人口普查时，我国总人口数已经突破12亿D.第七次人口普查时，我国总人口性别比最高6.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A =45毅，a =3，则a -2b +4c sin A -2sin B +4sin C=A.229√3 B.32√C.83√3D.263√37.函数f （x ）=x 2-sin x 在［-2，2］上的图象大致为332x-2yyOO2x -2A B◇刘勇yy33OO2x -22x-2C D8.“log 2a >log 2b +1”是“2a >2b ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为3A.18πB.22πC.42πD.44π10.2021年1月20日0时25分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功将天通一号03星发射升空.卫星顺利进入预定轨道，任务获得圆满成功，中国航天发射迎来2021年开门红.若天通一号03星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为R ，若其近地点、远地点离地面的距离大约分别是125R ，15R ，则天通一号03星运行轨道（椭圆）的离心率是A.15B.19C.111D.11411.已知函数f （x ）=cos （ωx+φ）（ω>1，ω∈Z ，φ<π2）在区间［π3，3π4］上是单调函数，且图象过点（π12，0），则f （π4）=A.-3√2 B.3√2C.-12D.1212.若对任意的x 1，x 2∈（-∞，t ），且x 1>x 2，都有x 1e x 2-x 2e x 1e x 1-e x2>2，则实数t 的最大值为A.-2B.-1C.0D.1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省兖州一中2024届高考模拟金典卷数学试题(五)试题
山东省兖州一中2024届高考模拟金典卷数学试题（五）试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，P 为双曲线在第一象限上的点，直线PO ，2PF 分别交双曲线C 的左，右支于另一点12,,3M N PF PF =若，且260MF N ∠=，则双曲线的离心率为( )A B ．3C ．2D ．22．已知集合A {x x 0}︱=>，2B {x x x b 0}=-+=︱，若{3}A B ⋂=，则b =（ ） A ．6-B ．6C ．5D ．5-3．sin80cos50cos140sin10︒︒︒︒+=（ ）A ．B ．2C ．12-D ．124．已知函数()222cos 1f x x x =-+，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()()129g x g x ⋅=，则12x x -的值可能为（ ） A ．54πB ．34π C ．2π D ．3π 5．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，当该量器口密闭时其表面积为42.2（平方寸），则图中x 的值为( )A ．3B ．3.4C ．3.8D ．46．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点（设点A 位于第一象限），过点A ，B 分别作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为点1A ，1B ，抛物线C 的准线交x 轴于点K ，若11||2||A KB K =，则直线l 的斜率为 A ．1B ．2C ．22D ．37．已知斜率为2的直线l 过抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的中点M 的纵坐标为1，则p ＝（ ） A ．1B ．2C ．2D ．48．如图，抛物线M ：28y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线M 交于A ，B 两点，若直线l 与以F 为圆心，线段OF （O 为坐标原点）长为半径的圆交于C ，D 两点，则关于AC BD ⋅值的说法正确的是（ ）A ．等于4B ．大于4C ．小于4D ．不确定9．如图，已知平面αβ⊥，l αβ⋂=，A 、B 是直线l 上的两点，C 、D 是平面β内的两点，且DA l ⊥，CB l ⊥，3AD =，6AB =，6CB =．P 是平面α上的一动点，且直线PD ，PC 与平面α所成角相等，则二面角P BC D--的余弦值的最小值是（ ）A ．55B ．32C ．12D ．110．函数52sin ()([,0)(0,])33x xx xf x x -+=∈-ππ-的大致图象为A ．B ．C ．D ．11．某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体中最长的棱长为（ ）．A 2B 3C ．1D 612．已知ABC 中，2,3,60,2,AB BC ABC BD DC AE EC ==∠=︒==，则AD BE ⋅=（ ）A ．1B ．2-C ．12D ．12-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
重庆市2023届高考模拟练习(五)数学试题
当线段AB的长度为多少时多面体 的体积为
21.椭圆 过点 C上的点到直线 的最短距离为
求椭圆C的标准方程；
过l上的动点 向椭圆C作两条切线 、 交x轴于M交y轴于N 交x轴于R交y轴于S记 的面积为 的面积为 求 的取值范围.
A. B. C. D.
5.将函数 的图象向左平移 个单位得到函数 的图象若 在 上为增函数则 最大值为（）
A. B.2C.3D.
6.某社区活动需要连续六天有志愿者参加服务每天只需要一名志愿者现有甲、乙、丙、丁、戊、己6名志愿者计划依次安排到该社区参加服务要求甲不安排第一天乙和丙在相邻两天参加服务则不同的安排方案共有（）
19.2021年9月以来多地限电的话题备受关注某市能源局和电网有限责任公司联合发布《致全市电力用户有序用电、节约用电倡议书》目的在于引导大家如何有序节约用电．某市为了解该市居民用电情况随机抽取1000户居民进行月用电量调查发现其月用电量都在50至350度之间频率分布直方图如图所示．
求x并估计抽取的1000户居民的月用电量的中位数；
B.
C.当 是锐角 的内角时
D.当 且 时
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
三、填空题（本大题共4小题每小题5分共20分）
13.若 则 _________.
14.已知 是圆锥底面圆的直径圆锥的母线 则此圆锥外接球的表面积为_________.
15.函数 在点 处的切线记为 直线 及x轴围成的三角形的面积记为Sn则 ________．
16.设函数 数列 满足 则数列 的前100项之和为_______．
四、解答题：本题共6小题共70分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤．
精品解析：2023年全国新高考数学仿真模拟卷(五)数学试题(原卷版) (3)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2}2.=（）A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i3.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.454.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A．12种B．18种C．24种 D．36种5.设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0 B．1 C．2 D．36.设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1 B．2 C．3 D．57.正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A﹣B1DC1的体积为（）A．3 B．C．1 D．8.设点M （x 0，1），若在圆O ：x 2+y 2=1上存在点N ，使得∠OMN=45°，则x 0的取值范围是（ ） A ．[﹣1，1]B ．[﹣，]C ．[﹣，]D ．[﹣，]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列命题中，是真命题的是（ ）A ．函数()()22231m m f x m m x --=--是幂函数的充分必要条件是2m =B ．若:(0,),1ln p x x x ∀∈+∞->，则000:(0,),1ln p x x x ⌝∃∈+∞-≤C ．若()()()()62601263222x a a x a x a x +=+++++++，则315a =D ．若随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，(4)0.79P ξ≤=，则(2)0.21P ξ≤-=10．已知点()()()1,2,5,2,,4A B C k ，若ABC 为直角三角形，则k 的可能取值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．511．已知直线l ：20kx y k -+=和圆O ：222x y r +=，则（ ）A ．存在k 使得直线l 与直线0l ：220x y 垂直B ．直线l 恒过定点()2,0C ．若4r >，则直线l 与圆O 相交D ．若4r =，则直线l 被圆O 截得的弦长的取值范围为(23,8⎤⎦12．已知圆22:(5)(5)16C x y -+-=与直线:240l mx y +-=，下列选项正确的是（ ）A ．直线l 与圆C 不一定相交B ．当1615m ≥时，圆C 上至少有两个不同的点到直线l 的距离为1 C ．当2m =-时，圆C 关于直线l 对称的圆的方程是22(3)(3)16x y +++=D ．当1m =时，若直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，P 为圆C 上任意一点，当||32PB =PBA∠最大或最小二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.（x+a ）10的展开式中，x 7的系数为15，则a=14．（5分）函数f （x ）=sin （x+φ）﹣2sin φcosx 的最大值为 ．15．（5分）偶函数y=f （x ）的图象关于直线x=2对称，f （3）=3，则f （﹣1）= ．16．（5分）数列{a n }满足a n+1=，a 8=2，则a 1= ．四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.四边形ABCD 为圆内接四边形，1AD BC ==，3AC =（1）若6DAC ，求AB ； （2）若2AB CD =，求四边形ABCD 的面积．18.已知函数f （x ）=excosx ﹣x ．（1）求曲线y=f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；（2）求函数f （x ）在区间[0，]上的最大值和最小值．19如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4．（1）求证：M为PB的中点；（2）求二面角B﹣PD﹣A的大小；（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．20.某学校田径运动会跳远比赛规定：比赛设立及格线，每个运动员均有3次跳远机会，若在比赛过程中连续两次跳不过及格线，则该运动员比赛结束．已知运动员甲跳过及格线的概率为23，且该运动员不放弃任何一次跳远机会．（1）求该运动员跳完两次就结束比赛的概率；（2）设该运动员比赛过程中跳过及格线的总次数为ξ，求ξ的概率分布．21已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=√2x，右准线方程为x=√33.(1)求双曲线C的标准方程；(2)过点P(0,−1)的直线l分别交双曲线C的左、右两支于点A，B，交双曲线C的两条渐近线于点D，E(D在y 轴左侧)．①是否存在直线l，使得OA⊥OB?若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由；②记△ODE和△OAB的面积分别为S1，S2，求S1S2的取值范围．22.已知函数f（x）=excosx﹣x．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．。
2022-2023学年四川省南部中学高考模拟检测(五)文科数学试卷含逐题详解
四川省南部中学高2023届高考模拟检测（五）数学（文科）试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合2{|340}M x x x =--<，{|05}N x x =≤≤，则M N ⋂=A .(0,4]B.[0,4)C.[1,0)-D.(1,0]-2.设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =A.-5B.5C.-4+iD.-4-i3.在区间[]2,3-上随机选取一个数X ，则1X ≤的概率为A.45B.35C.25D.154.设变量x,y 满足约束条件360,{20,30,x y x y y +-≥--≤-≤则目标函数z =y －2x 的最小值为A.－7B.－4C.1D.25.奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(8)(9)f f +=A.2- B.1- C.0D.16.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，83742S a a ==-，，则9a =（）A.6B.4C.6- D.27.若sin 2,sin x x 分别是sin θ与cos θ的等差中项和等比中项，则cos2x 的值为（）A.1338+ B.1338C.1338D.148.一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50 方向直线航行，30分钟后到达B 处．在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是东偏南20 ，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65 ，那么B 、C 两点间的距离是（）A.海里B.C.D.海里9.函数2||2x y x e =-在[]–2,2的图象大致为（）A.B.C. D.10.已知直三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，，,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为 A.3172B. C.132D.11.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，左､右顶点分别为,A B 点,P Q 是双曲线C 上关于x 轴对称的两点，且直线PQ 经过点F .如果M 是线段FQ 上靠近点Q 的三等分点，E 在y 轴的正半轴上，且E A M ,,三点共线，,,P E B 三点共线，则双曲线C 的离心率为（）A.5B. C. D.612.已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是()A.(－∞，0)B.C.(0,1)D.(0，＋∞)第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量a 与b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则|a+2b |=______.14.过点(3，1)作圆22(2)(2)4x y -+-=的弦，其中最短的弦长为__________.15.抛物线()220x py p =>的焦点为F ，其准线与22133y x -=相交于A ，B 两点，若ABF △为等边三角形，则p =___________.16.设()f x 与()g x 是定义在同一区间[],a b 上的两个函数，若对任意[],x a b ∈，都有()()1f x g x -≤成立，则称()f x 和()g x 在[],a b 上是“亲密函数”，区间[],a b 称为“亲密区间”．若()234f x x x =-+与()21g x x =-在[],a b 上是“亲密函数”，则b 的最大值______三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17.南中数学教研室对高二学生的记忆力x 和判断力y 进行统计分析，所得数据如下表所示：x 681012y2356（1）请画出上表数据的散点图;（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy bx a =+（3）根据（2）中求出的线性回归方程，预测记忆力为11的学生的判断力．(参考公式： 1221,ni i i n ii x y nx y b a y bx x nx==-==--∑∑)18.已知向量()()sin ,sin ,cos ,cos ,sin 2m A B n B A m n C ==⋅=，且、、A B C 分别为ABC 的三边,,a b c 所对的角．（1）求角C 的大小；（2）若sin ,sin ,sin A C B 成等差数列，且()18CA AB AC ⋅-=，求c 边的长．19.如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，且90BAP CDP ∠=∠=︒.（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA PD AB DC ===，90APD ∠=︒，且四棱锥P ABCD -的体积为83，求该四棱锥的侧面积．20.已知函数()3211,32f x x ax a =-∈R .(I)当a =2时,求曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程；(II)设函数()()()cos sin g x f x x a x x =+--,讨论()g x 的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.21.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :22221x y a b +=(a >b >0)的离心率为22,椭圆C 截直线y =1所得线段的长度为22(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)动直线l :y =kx +m (m ≠0)交椭圆C 于A ,B 两点,交y 轴于点M .点N 是M 关于O 的对称点,⊙N 的半径为|NO |.设D 为AB 的中点,DE ,DF 与⊙N 分别相切于点E ,F ,求∠EDF 的最小值.22.在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线:4cos C ρθ=，直线l 的参数方程为：321x ty t=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于,M N 两点.（1）写出曲线C 和直线l 的普通方程；（2）若点(3,1)P -，求11||||PM PN -的值.23.已知函数()2f x m x m x =+--()0m >的最大值为6.（1）求m 的值；（2）若正数x ，y ，z 满足x y z m ++=，求证：xy xz m ≤.四川省南部中学高2023届高考模拟检测（五）数学（文科）试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合2{|340}M x x x =--<，{|05}N x x =≤≤，则M N ⋂=A.(0,4] B.[0,4) C.[1,0)- D.(1,0]-【答案】B【详解】试题分析：()()234041014x x x x x --<⇒-+<⇒-<<，故M N ⋂=[0,4)，故选B ．考点：1.一元二次不等式的解法；2.集合的运算．2.设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =A.-5 B.5C.-4+iD.-4-i【答案】A【详解】试题分析：由题意，得22z i =-+，则12(2)(2)5z z i i =+-+=-，故选A ．考点：1、复数的运算；2、复数的几何意义．3.在区间[]2,3-上随机选取一个数X ，则1X ≤的概率为A.45B.35C.25D.15【答案】B【详解】试题分析：在[]2,3-上符合1X ≤的区间为[]2,1-,因为区间[]2,3-的区间长度为5且区间[]2,1-的区间长度为3,所以根据几何概型的概率计算公式可得35P =,故选B.考点：几何概型4.设变量x,y 满足约束条件360,{20,30,x y x y y +-≥--≤-≤则目标函数z =y －2x 的最小值为A.－7B.－4C.1D.2【答案】A 【分析】画图分析【详解】画出原不等式组表示的平面区域如图所示阴影部分，由题意知,当目标函数2z y x =-表示的直线经过点A(5，3)时，z 取得最小值，所以z 的最小值为3257-⨯=-，故选A.【考点定位】本小题考查线性规划的基础知识，难度不大，线性规划知识在高考中一般以小题的形式出现，是高考的重点内容之一，几乎年年必考.5.奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(8)(9)f f +=A.2- B.1- C.0D.1【答案】D 【详解】【分析】试题分析：(2)f x +是偶函数，则()f x 的图象关于直线2x =对称，又()f x 是奇函数，则(0)0f =，且()f x 是周期函数，且周期为8，所以(8)(9)(0)(1)1f f f f +=+=．故选D ．考点：函数的奇偶性，周期性．【名师点睛】解函数问题时，有些隐含性质需我们已知条件找出，特别是周期性．当函数具有两个对称时函数一般也是周期函数．当函数()f x 是奇函数，又有对称轴x m =时，则函数一定是周期函数，且周期为4T m =；若()f x 有两条对称轴x a =和x b =，则函数是周期函数，2b a -是函数的一个周期；同样若()f x 有两个对称中心(,0)a 和(,0)b ，则函数是周期函数，2b a -是函数的一个周期；6.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，83742S a a ==-，，则9a =（）A.6B.4C.6- D.2【答案】C【分析】根据题意求出首项和公差，再根据等差数列的通项即可得解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由83742S a a ==-，，得()11187842262a d a d a d ⨯⎧+=+⎪⎨⎪+=-⎩，解得1102a d =⎧⎨=-⎩，所以9186a a d =+=-.7.若sin 2,sin x x 分别是sin θ与cos θ的等差中项和等比中项，则cos2x 的值为（）A.1338+ B.1338C.1338D.124【答案】A【分析】根据条件可得2sin 2sin cos x θθ=+，2sin sin cos x θθ=，然后结合同角三角函数的关系，以及恒等变换公式化简，即可得到结果.【详解】依题意可得2sin 2sin cos x θθ=+，2sin sin cos x θθ=，且()22222sin cos sin cos 2sin cos 4sin 22sin 1x x θθθθθθ+=+-=-=，所以()241cos 2cos 220x x -+-=，即24cos 2cos 220x x --=，解得133cos 28x ±=又因为2sin sin cos x θθ=，所以2cos 212sin 1sin 20x x θ=-=-≥，所以133cos 28x +=故选:A8.一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50 方向直线航行，30分钟后到达B 处．在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是东偏南20 ，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65 ，那么B 、C 两点间的距离是（）A.海里B.C.D.海里【答案】A【分析】根据给定条件，画出图形，再利用正弦定理解三角形作答.【详解】依题意，如图，在ABC中，5020304065105BAC ABC ∠=-=∠=+=，，则3045402060ACB AB ∠==⨯=，，由正弦定理得sin sin BC AB BAC ACB =∠∠，即20sin30sin45BC =，因此120222BC ⨯==（海里），所以B C 、两点间的距离是海里．9.函数2||2x y x e =-在[]–2,2的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D【详解】试题分析：函数2||()2x f x x e =-|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于y 轴对称，因为22(2)8e ,08e 1f =-<-<，所以排除,A B 选项；当[]0,2x ∈时，4x y x e '=-有一零点，设为0x ，当0(0,)x x ∈时，()f x 为减函数，当0(,2)x x ∈时，()f x 为增函数．故选：D.10.已知直三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，，,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为A.B. C.132D.【答案】C【详解】因为直三棱柱中，AB ＝3，AC ＝4，AA 1＝12，AB ⊥AC ，所以BC ＝5，且BC 为过底面ABC 的截面圆的直径．取BC 中点D ，则OD ⊥底面ABC ，则O 在侧面BCC 1B 1内，矩形BCC 1B 1的对角线长即为球直径，所以2R ＝13，即R ＝13211.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，左､右顶点分别为,A B 点,P Q 是双曲线C 上关于x 轴对称的两点，且直线PQ 经过点F .如果M 是线段FQ 上靠近点Q 的三等分点，E 在y 轴的正半轴上，且E A M ,,三点共线，,,P E B 三点共线，则双曲线C 的离心率为（）A.5B. C.D.6【分析】可设22,,b b P c Q c a a ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,，根据E A M ,,三点共线和,,P E B 三点共线，得到a 、c 的关系，即可求出离心率【详解】解：设()()(),0,,0,,0F c A a B a --，点PQ 是双曲线C 上关于x 轴对称的两点，且直线PQ 经过点F ，可得PQ x ⊥轴，令x c =-可得22221c y a b-=，解得2b y a =±可设22,,b b P c Q c a a ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由M 是线段FQ 上靠近点Q 的三等分点，可得22,3b M c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由E 在y 轴的正半轴上，可设()0,E e ，由E A M ,,三点共线，可得AM EA k k =，即为223b e a a a c=-+①由,,P E B 三点共线，可得EB BP k k =，即为2b e a ac a-=--，②由①②可得()123a c c a =+-，即为3322c a c a -=+，即5c a =，所以5ce a==.故选：A.【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：（1）直接求出a 、b 、c ，计算离心率；（2）根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．12.已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是()A.(－∞，0)B.C.(0,1)D.(0，＋∞)【答案】B【详解】函数f （x ）=x （lnx ﹣ax ），则f′（x ）=lnx ﹣ax+x （﹣a ）=lnx ﹣2ax+1，令f′（x ）=lnx ﹣2ax+1=0得lnx=2ax ﹣1，函数f （x ）=x （lnx ﹣ax ）有两个极值点，等价于f′（x ）=lnx ﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx 与y=2ax ﹣1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当a=时，直线y=2ax ﹣1与y=lnx 的图象相切，由图可知，当0＜a ＜时，y=lnx 与y=2ax ﹣1的图象有两个交点．则实数a 的取值范围是（0，）．故选B ．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量a 与b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则|a+2b |=______.【答案】【详解】∵平面向量a 与b 的夹角为060，21a b == ，∴021cos601a b ⋅=⨯⨯= .∴2a b +====故答案为点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式．(2)a =常用来求向量的模．14.过点(3，1)作圆22(2)(2)4x y -+-=的弦，其中最短的弦长为__________.【答案】【详解】最短弦为过点()3,1与圆心连线的垂线与圆相交而成，d ====【考点定位】本题考查直线和圆的位置关系，考查数形结合思想和运算能力.圆的半径、弦心距、半弦构成的直角三角形在解决直线和圆问题常常用到，本题只需要简单判断最短弦的位置就能轻松解答,有时候可能会出现点到直线的距离公式来求弦心距的长度.15.抛物线()220x py p =>的焦点为F ，其准线与22133y x -=相交于A ，B 两点，若ABF △为等边三角形，则p =___________.【答案】6【分析】求出抛物线的焦点和准线方程，求出AB 的长，根据ABF △为等边三角形，得到关于p 的方程，即可求得答案.【详解】抛物线()220x py p =>的焦点为(0,)2p F ，其准线为2p y =-，将2p y =-与22133y x -=联立，得221312x p -=，解得x =，则||AB =，由于ABF △为等边三角形，故||2AB p =，即32p ⋅=，解得6p =，故答案为：616.设()f x 与()g x 是定义在同一区间[],a b 上的两个函数，若对任意[],x a b ∈，都有()()1f x g x -≤成立，则称()f x 和()g x 在[],a b 上是“亲密函数”，区间[],a b 称为“亲密区间”．若()234f x x x =-+与()21g x x =-在[],a b 上是“亲密函数”，则b 的最大值______【答案】4【分析】首先表示出()()f x g x -，令()()1f x g x -≤，即2551x x -+≤，解得x 的取值范围，即可得解.【详解】解：因为()()()22342155f x g x x x x x x -=-+--=-+，若()234f x x x =-+与()21g x x =-在[],a b 上是“亲密函数”，则()()1f x g x -≤，即2551x x -+≤，即21551x x -≤-+≤，解得12x ≤≤或34x ≤≤，即[][]1,23,4x ∈⋃，所以b 的最大值为4.故答案为：4三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17.南中数学教研室对高二学生的记忆力x 和判断力y 进行统计分析，所得数据如下表所示：x681012y 2356（1）请画出上表数据的散点图;（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy bx a =+（3）根据（2）中求出的线性回归方程，预测记忆力为11的学生的判断力．(参考公式： 1221,n i ii n i i x y nx y b a y bx x nx==-==--∑∑ )【答案】（1）答案见解析（2）ˆ0.7 2.3yx =-（3）5.4【分析】（1）根据表格直接画出散点图即可；（2）根据公式分别计算出 ,ba ，即可得到线性回归防尘；（3）根据（2）中的回归方程，将11x =代入计算，即可得到结果.【小问1详解】散点图如下：【小问2详解】446283105126158i i i x y ==⨯+⨯+⨯+⨯=∑()()116810129,2356444x y =+++==+++=4222224*********i i x ==+++=∑2158494140.73444920b -⨯⨯∴===-⨯ ，则 40.79 2.3ay bx =-=-⨯=- ，故线性回归方程为ˆ0.7 2.3yx =-【小问3详解】由（2）中线性回归方程可知，当11x =时，0.711 2.3 5.4y =⨯-=，所以预测记忆力为11的同学的判断力约为5.418.已知向量()()sin ,sin ,cos ,cos ,sin 2m A B n B A m n C ==⋅= ，且、、A B C 分别为ABC 的三边,,a b c 所对的角．（1）求角C 的大小；（2）若sin ,sin ,sin A C B 成等差数列，且()18CA AB AC ⋅-= ，求c 边的长．【答案】（1）π3C =；（2）6c =.【分析】（1）根据数量积的运算，有sin 2m n C ⋅= ，因为2sin cos m n C C ⋅= ，可求得1πcos ,23C C ==；（2）因为sin ,sin ,sin A C B 成等差数列，由正弦定理得2c ab =，因为()18CA AB AC ⋅-= ,所以可得cos 18,36ab C ab ==，由余弦定理()22222cos 3c a b ab C a b ab =+-=+-，即可解得c .【详解】（1）对于ABC ，π,0πA B C C +=-<<，∴()sin sin A B C +=；由()()sin ,sin ,cos ,cos m A B n B A == ，可得sin cos sin cos sin()sin m n A B B A A B C ⋅=+=+= ，又∵sin 2m n C ⋅= ，∴1sin 22sin cos sin ,cos 2C C C C C ==∴=,π(0,π),3C C ∈∴= .（2）由sin ,sin ,sinB A C 成等差数列，得2sin sin sin C A B =+；由正弦定理得2c a b =+，∵()18CA AB AC ⋅-= ，∴18CA CB ⋅= ，即cos 18,36ab C ab ==，由余弦定理()22222cos 3c a b ab C a b ab =+-=+-，∴2224336,36c c c =-⨯=，∴6c =．19.如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，且90BAP CDP ∠=∠=︒.（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA PD AB DC ===，90APD ∠=︒，且四棱锥P ABCD -的体积为83，求该四棱锥的侧面积．【答案】（1）证明见解析；（2）623+.【详解】试题分析：（1）由90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB AP ⊥，CD PD ⊥．从而得AB PD ⊥，进而而AB ⊥平面PAD ，由面面垂直的判定定理可得平面PAB ⊥平面PAD ；（2）设PA PD AB DC a ====，取AD 中点O ，连结PO ，则PO ⊥底面ABCD ，且22,2AD a PO a ==，由四棱锥P ABCD -的体积为83，求出2a =，由此能求出该四棱锥的侧面积.试题解析：（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB AP ⊥，CD PD ⊥．由于AB CD ∥，故AB PD ⊥，从而AB ⊥平面PAD ．又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD ．（2）在平面PAD 内作PE AD ⊥，垂足为E ．由（1）知，AB ⊥面PAD ，故AB PE ⊥，可得PE ⊥平面ABCD ．设AB x =，则由已知可得2AD =，22PE x =．故四棱锥P ABCD -的体积31133P ABCD V AB AD PE x -=⋅⋅=．由题设得31833x =，故2x =．从而2PA PD ==，22AD BC ==，22PB PC ==．可得四棱锥P ABCD -的侧面积为111222PA PD PA AB PD DC ⋅+⋅+⋅21sin606232BC +︒=+．20.已知函数()3211,32f x x ax a =-∈R .(I)当a =2时,求曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程；(II)设函数()()()cos sin g x f x x a x x =+--,讨论()g x 的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.【答案】（Ⅰ）390x y --=；（Ⅱ）见解析．【详解】试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，求出切线的斜率,再用点斜式写出切线方程；（Ⅱ）由()()(sin )g x x a x x =-'-,通过讨论确定()g x 的单调性,再由单调性确定极值.试题解析：（Ⅰ）由题意2()f x x ax '=-，所以，当2a =时，(3)0f =，2()2f x x x =-'，所以(3)3f '=，因此，曲线()y f x =在点(3,(3))f 处的切线方程是3(3)y x =-，即390x y --=.（Ⅱ）因为()()()cos sin g x f x x a x x =+--，所以()()cos ()sin cos g x f x x x a x x ''=+---，()()sin x x a x a x=---()(sin )x a x x =--，令()sin h x x x =-，则()1cos 0h x x '=-≥，所以()h x 在R 上单调递增，因为(0)0h =，所以，当0x >时，()0h x >；当0x <时，()0h x <.（1）当a<0时，()()(sin )g x x a x x '=--，当(,)x a ∈-∞时，0x a -<，()0g x '>，()g x 单调递增；当(,0)x a ∈时，0x a ->，()0g x '<，()g x 单调递减；当(0,)x ∈+∞时，0x a ->，()0g x '>，()g x 单调递增.所以当x a =时()g x 取到极大值，极大值是31()sin 6g a a a =--，当0x =时()g x 取到极小值，极小值是(0)g a =-.（2）当0a =时，()(sin )g x x x x '=-，当(,)x ∈-∞+∞时，()0g x '≥，()g x 单调递增；所以()g x 在(,)∞∞-+上单调递增，()g x 无极大值也无极小值.（3）当0a >时，()()(sin )g x x a x x '=--，当(,0)x ∈-∞时，0x a -<，()0g x '>，()g x 单调递增；当(0,)x a ∈时，0x a -<，()0g x '<，()g x 单调递减；当(,)x a ∈+∞时，0x a ->，()0g x '>，()g x 单调递增.所以当0x =时()g x 取到极大值，极大值是(0)g a =-；当x a =时()g x 取到极小值，极小值是31()sin 6g a a a =--.综上所述：当a<0时，函数()g x 在(,)a -∞和(0,)+∞上单调递增，在(,0)a 上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是31()sin 6g a a a =--，极小值是(0)g a =-；当0a =时，函数()g x 在(,)∞∞-+上单调递增，无极值；当0a >时，函数()g x 在(,0)-∞和(,)a +∞上单调递增，在(0,)a 上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是(0)g a =-，极小值是31()sin 6g a a a =--.【考点】导数的几何意义及导数的应用【名师点睛】(1)求函数f (x )极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数f ′(x )；③解方程f ′(x )＝0,求出函数定义域内的所有根；④检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根x 0左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f (x )在x 0处取极大值,如果左负右正,那么f (x )在x 0处取极小值．(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ,b )内有极值,那么y ＝f (x )在(a ,b )内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值．21.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :22221x y a b +=(a >b >0)的离心率为22,椭圆C 截直线y =1所得线段的长度为(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)动直线l :y =kx +m (m ≠0)交椭圆C 于A ,B 两点,交y 轴于点M .点N 是M 关于O 的对称点,⊙N 的半径为|NO |.设D 为AB 的中点,DE ,DF 与⊙N 分别相切于点E ,F ,求∠EDF 的最小值.【答案】（Ⅰ）22142x y +=.(II)3π.【详解】试题分析：（Ⅰ）由2c a =得a =,由椭圆C 截直线y =1所得线段的长度为=,求得椭圆的方程为22142x y +=；（Ⅱ）由2224x y y kx m⎧+=⎨=+⎩,解得222(21)4240k x kmx m +++-=,确定222(,)2121km m D k k -++,DN =,结合22NDNF 的单调性求EDF ∠的最小值.试题解析：（Ⅰ）由椭圆的离心率为2，得2222()a a b =-，又当1y =时，2222a x a b =-，得2222a a b -=，所以224,2a b ==，因此椭圆方程为22142x y +=.（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，联立方程2224y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得222(21)4240k x kmx m +++-=，由0∆>得2242m k <+.（*）且122421km x x k +=+，因此122221m y y k +=+，所以222(,2121km m D k k -++，又(0,)N m -，所以222222(()2121km m ND m k k =-++++整理得2242224(13)(21)m k k ND k ++=+，因为NF m =，所以2422222224(31)831(21)(21)ND k k k k k NF +++==+++.令283,3t k t =+≥，故21214t k ++=，所以2221616111(1)2NDt t NF t t=+=++++.令1y t t=+，所以211y t '=-.当3t ≥时，0'>y ,从而1y t t =+在[3,)+∞上单调递增，因此1103t t +≥，等号当且仅当3t =时成立，此时0k =，所以22134ND NF ≤+=，由（*）得m <<且0m ≠.故12NF ND ≥，设2EDF θ∠=，则1sin 2NF ND θ=≥，所以θ的最小值为π6，从而EDF ∠的最小值为π3，此时直线l 的斜率是0.综上所述：当0k =，(m ∈⋃时，EDF ∠取到最小值π3.【考点】圆与椭圆的方程、直线与圆锥曲线的位置关系【名师点睛】圆锥曲线中的两类最值问题：①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题．常见解法：①几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决；②代数法,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值,最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解．22.在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线:4cos C ρθ=，直线l 的参数方程为：321x t y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于,M N 两点.（1）写出曲线C 和直线l 的普通方程；（2）若点(3,1)P -，求11||||PM PN -的值.【答案】（1）22(2)4x y -+=;250x y --=（2）55【分析】（1）利用极坐标和直角坐标方程得转化公式即可得出曲线C 的普通方程，消去直线l 参数方程中的t 即可得直线l 的普通方程；（2）联立直线l 的参数方程和曲线C 的普通方程得出关于参数的一元二次方程，利用参数t '的几何意义和韦达定理即可求得11||||PM PN -的值.【小问1详解】将:4cos C ρθ=等号两边同时乘以ρ可得24cos ρρθ=，所以224x y x +=；即22(2)4x y -+=；所以曲线C 的普通方程为22(2)4x y -+=；将32:1x t l y t =+⎧⎨=-+⎩消去参数t 可得，32(1)x y =++，整理得250x y --=；即直线l 的普通方程为250x y --=【小问2详解】注意到(3,1)P -在直线l 上，直线l 倾斜角为1tan 2αα=，，cos 2sin αα∴=，22π(0,),sin 0,cos 0,sin cos 12ααααα∈>>+= ，解得525sin ,cos ,55αα==所以直线l 参数方程为2535(515x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩'''为参数），联立C 的直角坐标方程与l的参数方程得22(+1)1)455t ''+-=整理得225205t ''+-=，设方程的解为12,t t ''，则125t t ''+=-，122t t ''=-，12,t t ''异号.不妨设1||PM t '=，2||PN t '=-，有12121211115||||5t t PM PN t t t t ''+-=+==''''.23.已知函数()2f x m x mx =+--()0m >的最大值为6.（1）求m 的值；（2）若正数x ，y ，z 满足x y z m ++=，求证：≤.【答案】（1）2；（2）证明见解析.【分析】（1）利用绝对值三角不等式求出()f x 的最大值，让最大值等于6即可得m 的值；（2）由（1）知，2x y z ++=，由222x x x y z y z ⎛⎫⎛⎫=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭利用基本不等式即可求证.【详解】（1）由题意得()2()(2)3f x x m x m x m x m m =+--≤+--=，因为函数()f x 的最大值为6，所以36m =，即2m =±.因为0m >，所以2m =；（2）由（1）知，2x y z ++=，因为0x >，0y >，0z >，所以222x x x y z y z ⎛⎫⎛⎫=++=+++≥+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当2x y z ==时，即1x =，12y z ==等号成立，22m ≤=≤，当且仅当11,2x y z ===时，等号成立.。
高考数学模拟试题（五）
图1一、单项选择题1.已知集合A ={}x |-1≤x ≤2，B ={}0,2,4，则A ⋂B =（）.A.{}0,2,4 B.{}0,2C.{}x |0≤x ≤4 D.{}x |-1≤x ≤2或x =42.设i 是虚数单位，z ()1+i =i ，则||z =（）.A.12B.1C. D.23.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A ()4,3，B ()-1,3，则∠AOB 的余弦值为（）.A. B.C. D.4.已知a ，b 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论正确的是（）.A.若α//β，a ⊂α，b ⊂β，则a //bB.若a ⊂α，b ⊂β，a //b ，则α//βC.若α⋂β=a ，b ⊂β，b ⊥a ，则α⊥βD.若α⋂β=l ，α⊥β，a ⊂α，a ⊥l ，a //b ，则b ⊥β5.在五边形ABCDE 中 EB =a ，AD =b，M ，N 分别为AE ，BD 的中点，则MN =（）.A.32a +12b B.23a+13b C.12a +12b D.34a+14b 6.命题p :关于x 的不等式ax 2+ax -x -1<0的解集为()-∞,-1⋃æèöø1a ,+∞的一个充分不必要条件是（）.A.a ≤-1B.a >0C.-2<a <0D.a <-27.清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比赛，经过初赛，共10人进入决赛，其中高一年级2人，高二年级3人，高三年级5人，现采取抽签方式决定演讲顺序，则在高二年级3人相邻的前提下，高一年级2人不相邻的概率为（）.A.112B.13C.12 D.348.若不等式m cos x -cos 3x -18≤0对任意x ∈æèöø0,π2恒成立，则实数m 的取值范围是（）.A.æèùû-∞,-94 B.(]-∞,-2C.æèùû-∞,94 D.æèùû-∞,98二、多选题9.已知0<log 12a <log 12b <1，则下列说法正确的是（）.A.1>a 2>b 2>14B.2>1a >1b >1C.a b -1>b a -1D.1e>e -b >1e 10.函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图1所示，则下列结论正确的是（）.A.f (x )的最小正周期为2B.把y =f (x )图象上所有点向右平移π12个单位长度后得到函数g (x )=2cos 2x 的图象C.f (x )在区间［π2,11π12］上单调递减D.（π6,0）是y =f (x )图象的一个对称中心11.提丢斯·波得定律是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是在1766年由德国的一位中学老师戴维斯·提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，即数列{}a n ：0.4，0.7，1.6，2.8，5.2，10，19.6，…，表示的是太阳系第n 颗行星与太阳的平均距离(以天文单位A .U .为单位).现将数列{}a n 的各项乘以10后再减4，得到数列{}b n ，可以发现数列{}b n 从第3项起，每项是前一项的2倍，则下列说法正确的是（）.A.数列{}b n 的通项公式为b n =3×2n -2B.数列{}a n 的第2021项为0.3×22020+0.4C.数列{}a n 的前n 项和S n =0.4n +0.3×2n -1-0.3D.数列{}nb n 的前n 项和T n =3()n -1∙2n -112.在一张纸上有一圆C :()x +22+y 2=r 2()r >0与点M ()m ,0()m ≠-2，折叠纸片，使圆C 上某一点M ′好与点M 重合，这样的折法每次都会留下一条直线折世世世世世世世世世世世世世世世世世53高考链接痕PQ ，设折痕PQ 与直线M ′C 的交点为T ，则下列说法正确的是（）.A.当-2-r <m <-2+r 时，点T 的轨迹为椭圆B.当r =1，m =2时，点T 的轨迹方程为x 2-y 23=1C.当m =2，1≤r ≤2时，点T 的轨迹对应曲线的离心率取值范围为[]2,4D.当r =22，m =2时，在T 的轨迹上任取一点S ，过S 作直线y =x 的垂线，垂足为N ，则△SON （O 为坐标原点)的面积为定值三、填空题13.正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践中，在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布.在某次大型联考中，所有学生的数学成绩X ~N ()100,225.若成绩低于m +10的同学人数和高于2m -20的同学人数相同，则整数m 的值为_______.14.已知抛物线x 2=4y ，其准线与y 轴交于点P ，则过点P 的抛物线的切线方程为_______.15.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，其中A =π3，b +c =4，M 为线段BC 的中点，则||AM 的最小值为_______.16.已知四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，PA =PB =PC =PD ，AB =2，若四棱锥P -ABCD 的体积为43，则以点P 为球心，以2为半径的球的表面与四棱锥侧面PAB 交线的长度约为_______，该四棱锥P -ABCD 外接球的体积为_______.(参考数据tan 35°≈).四、解答题17.在①S 8=72，②S 5=6a 2，③S 6=S 4+a 5这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．问题：已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3=6，________．若数列{b n }满足b n =2a n ，求数列{a n +b n }的前n 项和T n .18.已知等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，且S 4=S 5=-20.（1）求数列{}a n 的通项公式；（2）已知数列{}b n 是以4为首项，4为公比的等比数列，若数列{}a n 与{}b n 的公共项为a m ，记m 由小到大构成数列{}c n ，求{}c n 的前n 项和T n .19.如图2，已知圆台O 1O 的下底面半径为2，上底面半径为1，母线与底面所成的角为π3，AA 1，BB 1为母线，平面AA 1O 1O ⊥平面BB 1O 1O ,M 为BB 1的中点，P 为AM 上的任意一点.（1）证明：BB 1⊥OP ；（2）当点P 为线段AM 的中点时，求平面OPB 与平面OAM 所成锐二面角的余弦值.图220.机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让行人”．下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让行人”行为统计数据：月份违章驾驶员人数112021053100495580(1)请利用所给数据求违章人数y 与月份x 之间的回归直线方程y =b x +a ；(2)预测该路口9月份的不“礼让行人”违章驾驶员人数；(3)交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查70人，调查驾驶员不“礼让行人”行为与驾龄的关系，得到下表：驾龄不超过1年驾龄1年以上不礼让行人2416礼让行人1614能否据此判断有97.5%的把握认为“礼让行人”行为与驾龄有关？参考公式和数据：k 2=n (ad -bc )2(a +b )(c +d )(b +d )(其中n =a +b +c +d )．P (k 2≥k 0)k 00.152.0720.102.7060.053.8410.0255.0240.0106.63521.已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为12，过椭圆的左、右焦点F 1，F 2分别作倾斜角为π3的两条直线，且这两条直线之间的距离为3.54高考链接(1)求椭圆E 的标准方程；(2)如图3，过F 2与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆交于A ，B 两点．过点A 作与x 轴垂直的直线与椭圆交于点Q ，求证：直线QB 过定点．图322.已知函数f (x )=e x-1，g (x )=a sin x ，a ∈R .(1)若a =-1，证明：当x ≥0时，f (x )≥g (x )；(2)讨论φ(x )=f (x )-g (x )在x ∈[0，π]上零点的个数．参考答案及解析一、单项选择题1-8BCCDC DDA二、多项选择题9.ACD ；10.CD ；11.CD ；12.ACD.三、填空题；14.x -y -1=0,或x +y +1=0；15.3；16.；9π2.四、解答题17.解：选择①，设公差为d ，因为S 8=72，a 3=6，所以ìíî8a 1+28d =72,a 1+2d =6,解得ìíîa 1=2,d =2,所以a n =2n .因为b n =2a n ，所以b n =22n =4n ，a n +b n =2n +4n ，T n =2(1+2+...+n )+41+42+ (4)=n (n +1)+4(1-4n )1-4=43(4n -1)+n (n +1)=4n +13+n 2+n -43.选择②，设公差为d ，因为S 5=6a 2，所以5a 3=6a 2.因为a 3=6，所以a 2=5，所以d =1，所以a n =n +3.因为b n =2a n ，所以b n =2n +3=8×2n ，所以a n +b n =8×2n +n +3，T n =8(21+22+…+2n )+(1+2+…+n )+3n=8×2(1-2n )1-2+n (n +1)2+3n=16(2n -1)+n (n +1)2+3n =2n +4+12n 2+72n -16.选择③，设公差为d ，因为S 6=S 4+a 5，可得S 6-S 4=a 5，即a 6+a 5=a 5，所以a 6=0.因为a 3=6，所以d =-2，所以a n =-2n +12.因为b n =2a n ，所以b n =2-2n +12=212×2-2n ，T n =-2(1+2+…+n )+12n +212×(4-1+4-2+…+4-n )=-n (n +1)+12n +212×(14+142+…+14n )=2123[1-(14)n]-n 2+11n .18.解：（1）设等差数列{}a n 的公差为d ，因为S 4=S 5=-20,所以a 5=S 5-S 4=0.因为S 5=5a 3=-20,所以a 3=-4,所以d =a 5-a35-3=2，所以a n =a 5+()n -5d =2n -10.（2）由题意知b n =4×4n -1=4n .因为a m =2m -10,所以2m -10=4n ,m =4n+102.因此c n =4n +102=4n2+5.所以T n =42+5+422+5+432+5+⋯+4n 2+5=23×4n +5n -23.19.（1）证明：过点B 1作平面AOB 的垂线，垂足为C ，如图4，则C 是OB 的中点，所以BC =1.又∠OBB 1=π3,所以BB 1=2.连接OB 1,因为BB 1=OB =2，所以△OBB 1为等边三角形.因为点M 为BB 1的中点，所以BB 1⊥OM .因为平面AA 1O 1O ⊥平面BB 1O 1O ，平面AA 1O 1O ⋂平面BB 1O 1O =OO 1,且AO ⊥OO 1,AO ⊂平面AA 1O 1O ,所以AO ⊥平面BB 1O 1O .因为BB 1⊂平面BB 1O 1O ,所以AO ⊥BB 1.又因为AO ⋂OM =O ,AO ⊂平面OMA ,OM ⊂平面OMA ，所以BB 1⊥平面OMA .因为OP ⊂平面OMA ,所以BB 1⊥OP .图4（2）解：以O 为坐标原点，OA ，OB ，OO 1所在直55线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图4所示的空间直角坐标系A ()2,0,0,B ()0,2,0,B 1()0,1,3,M æèçç0,32,ø,P æèçø1,34, OP =æèçø1,34,,OB =()0,2,0设平面OPB 的一个法向量为n =()x ,y ,z ,则{OP ∙n =0， OB ∙n =0，即ìíîïïx +34y +=0，2y =0，取z =43,得x =-3,y =0，所以n=()-3,0,43,因为BB 1⊥平面OAM ，所以平面OAM 的一个法向量为BB 1=()0,-1,3,所以cos < BB 1,n >=BB 1∙n || BB 1||n 所以平面OAM 与平面OPB 所成锐二面角的余弦值为.20.解：(1)由表中数据知x ˉ=3，y ˉ=100，所以b =1410-150055-45=-9，所以a =y ˉ-b x ˉ=127，故所求回归直线方程为y =-9x +127.(2)由(1)知，令x =9，则y =-9×9+127=46人．(3)假设H 0：“礼让行人”行为与驾龄无关，由表中数据得k 2=70×(24×14-16×16)240×30×40×30=1445≈0.311<2.706，所以没有97.5%的把握认为“礼让行人”行为与驾龄有关．21.(1)解：因为过椭圆E 的左、右焦点倾斜角为π3的两条直线间的距离为3，所以sin π3所以c =1.因为椭圆的离心率为12，所以a =2，所以b =3，故椭圆E 的标准方程为x 24+y 23=1.(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l ：x =my +1，则Q (x 1，-y 1)．因为直线l 与坐标轴不垂直，所以直线QB ：y +y 1=y 1+y 2x 2-x 1(x -x 1)，所以y =y 1+y 2x 2-x 1x -x 2y 1+x 1y 2x 2-x 1=y 1+y 2m (y 2-y 1)x -2my 1y 2+y 1+y 2m (y 2-y 1),由得ìíîïïx 24+y 23=1,x =my +1,得(3m 2+4)y 2+6my -9=0，所以y 1+y 2=-6m 3m 2+4，y 1y 2=-93m 2+4，所以y =-6m(3m 2+4)(y 2-y 1)(x -4)，所以直线QB 恒过定点(4，0)．22.(1)证明：令F (x )=f (x )-g (x )=e x -1+sin x ，所以F ′(x )=e x +cos x .当x ∈(0，+∞)时，e x >1，cos x ≤1，所以F ′(x )>0.所以F (x )在[0，+∞)上单调递增．又x ∈[0，+∞)，所以F (x )≥F (0)=0，所以f (x )≥g (x )在x ∈[0，+∞)上恒成立．(2)解：因为φ(x )=e x -1-a sin x (a ∈R )，所以φ′(x )=e x -a cos x .设h (x )=φ′(x )，h ′(x )=e x +a sin x ，①当a ≤0时，因为x ∈[0，π]，所以-a sin x ≥0，而e x -1≥0，所以e x -1-a sin x ≥0，即φ(x )≥0恒成立，所以φ(x )零点个数为1个．②当0<a ≤1时，h ′(x )=e x +a sin x ≥0，所以φ′(x )在[0，π]上单调递增，而φ′(0)=1-a ≥0，所以φ′(x )≥φ′(0)=0，所以φ(x )在[0，π]上单调递增．因为φ(0)=0，所以x =0是唯一零点，此时φ(x )零点个数为1个．③当a >1时，h ′(x )=e x +a sin x ≥0，所以φ′(x )在[0，π]上单调递增，而φ′(0)=1-a <0，φ′(π2)=e π2>0，所以存在x 0∈[0，π]，使φ′(x 0)=0，所以当0<x <x 0时，φ(x )单调递减，当x 0<x <π时，φ(x )单调递增，所以当x =x 0时，φ(x )取得最小值φ(x 0)．而φ(x 0)<φ(0)=0，φ(π)=e π-1>0，又φ(x )图象是连续不间断的，由零点存在性定理知，φ(x )在(x 0，π)上有唯一零点．因为x =0也是零点，所以φ(x )在[0，π]上有2个零点.综上：当a ≤1时，φ(x )在[0，π]上有1个零点；当a >1时，φ(x )在[0，π]上有2个零点．高考链接56。
2023年普通高等学校招生全国统一考试·新高考仿真模拟卷数学(五)
一、单选题二、多选题1. 已知四棱锥，底面为矩形，侧面平面，.，若点M 为的中点，则下列说法正确的个数为（ ）（1）平面 （2）四棱锥的体积为12（3）平面（4）四棱锥外接球的表面积为A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2. 已知S n 为数列{a n }的前n 项和，，a n ，6S n 成等差数列，若t ＝a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1，则（ ）A．B．C．D．3. 设双曲线C:的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近线的距离为1，则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为A ．2B．C．D ．44. 如图，点在半径为的上运动，若，则的最大值为（）A．B．C．D．5. 设，，，若，则（ ）A．B．C ．2D ．06. i是虚数单位，（ ）A．B．C．D．7. 若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为（ ）A．B．C．D．8. 设，，函数，若恒成立，则（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，9. 已知实数x ，y 满足则（ ）A ．的取值范围为B ．的取值范围为C．的取值范围为D ．的取值范围为10. 如图，在正方体中，棱长为4，分别为的中点，分别为上的一点，且满足，，设正方体的体积为，几何体的体积为，则下列结论正确的是（ ）2023年普通高等学校招生全国统一考试·新高考仿真模拟卷数学（五）2023年普通高等学校招生全国统一考试·新高考仿真模拟卷数学（五）三、填空题四、解答题A．B ．点到平面的距离为定值C ．当时，D ．当时，11. 等差数列的首项，设其前项和为，且，则（ ）A．B．C．D ．的最大值是或者12.等差数列的前项和为，已知，，则（ ）A．B．的前项和中最小C．的最小值为-49D．的最大值为013. 已知向量， 满足：=，⊥，则=_______14.已知、、为空间中两两互相垂直的单位向量，，且，则的最小值为__________．15. 已知函数，①若有且只有一个根，则实数的取值范围是_______．② 若关于的方程有且仅有个不同的实根，则实数的取值范围是_______．16. 为了解顾客对五种款式运动鞋的满意度，厂家随机选取了2000名顾客进行回访，调查结果如表：运动鞋款式A B C D E 回访顾客（人数）700350300250400满意度注：1．满意度是指：某款式运动鞋的回访顾客中，满意人数与总人数的比值；2．对于每位回访顾客，只调研一种款式运动鞋的满意度．假设顾客对各款式运动鞋是否满意相互独立，用顾客对某款式运动鞋的满意度估计对该款式运动鞋满意的概率．(1)从所有的回访顾客中随机抽取1人，求此人是C 款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率；(2)从A 、E 两种款式运动鞋的回访顾客中各随机抽取1人，设其中满意的人数为，求的分布列和数学期望；(3)用“”和“”分别表示对A 款运动鞋满意和不满意，用“”和“”分别表示对B款运动满意和不满意，试比较方差与的大小．（结论不要求证明）17. 某兴趣小组为了研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，请一所中学校医务室人员统计近期昼夜温差情况和到该校医务室就诊的患感冒学生人数，如下是2021年10月、11月中的5组数据：日期10月8日10月18日10月28日11月8日11月18日昼夜温差x （℃）8116155就诊人数y131712199(1)通过分析，发现可用线性回归模型拟合就诊人数y 与昼夜温差x 之间的关系，请用以上5组数据求就诊人数关于昼夜温差的线性回归方程（结果精确到0.01）；(2)一位住校学生小明所患感冒为季节性流感，传染给同寝室每个同学的概率为0.6．若该寝室的另3位同学均未患感冒，在与小明近距离接触后有X 位同学被传染季节性流感，求的分布列和期望．参考数据：，．参考公式：，．18. 在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，.（I ）证明：平面；（II ）若，求二面角的余弦值.19. 设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．（1）求的方程；（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．20. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，∠BAF ＝90°，AD ＝2，AB ＝AF ＝2EF ＝2，点P 在棱DF 上．（1）若P 是DF 的中点，求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值；（2）若二面角D ﹣AP ﹣C 的正弦值为，求PF 的长度．21. 以为直径的圆经过、两点，延长、交于点，将沿线段折起，使点在底面的射影恰好为的中点.若，，线段、的中点分别为.(1)判断四点是否共面，并说明理由；(2)求四棱锥的体积.。
2023年高考数学模拟试题（五）参考答案
2023年高考数学模拟试题(五)参考答案 一㊁选择题1.A 2.D 3.D 4.D图15.A 提示:由题意知O P ң㊃O A ң=x -3y ,设z =x -3y ,如图1,当直线z =x -3y ,即y =13x -13z 经过点A 0,2时,直线在y 轴上的截距最大,进而可得z 最小,所以O P ң㊃O Aң的最小值为-6㊂6.B 7.B 8.C 9.D10.B 提示:由S a ㊃O A ң+S b ㊃OB ң+S c ㊃O C ң=0,得O A ң=-S b S a O B ң-S c S aO C ң,由a ㊃O A ң+b ㊃O B ң+c ㊃O C ң=0,得O A ң=-b a O B ң-c a O C ң,根据平面向量基本定理可得-S b S a =-b a ,-S c S a =-c a ,所以S b S a =b a ,S c Sa 图2=ca ,如图2,延长C O 交A B于E ,延长B O 交A C 于F ,则S b S a =|A E ||B E |㊂又S bS a =b a ,所以|A E ||B E |=b a =|A C ||B C |,所以C E 为øA C B 的平分线㊂同理可得,B F 是øA B C 的平分线㊂所以O 为әA B C 的内心㊂11.C 提示:双曲线C 的渐近线方程为y =ʃba x ,因为双曲线C 的一条渐近线经过点P (3,3),所以3=b a ˑ3,故ba=3,所以e 2=c 2a 2=a 2+b 2a 2=1+b2a2=4,所以e =2,选项A 正确;因为P F 1ң㊃P F 2ң=0,所以点P 在圆x 2+y 2=c 2上,所以c =23,又离心率e =2,所以a =3,所以b =c 2-a 2=9,所以双曲线C 的方程为x 23-y 29=1,选项B 正确;әP O F 2的面积为23ˑ32=33,选项C 错误;设A (x 0,y 0),F 2(c ,0),由F 2A ң=3P F 2ң,得(x 0-c ,y 0)=3(c -3,-3),所以x 0=4c -33,y 0=-9,代入渐近线方程y =-3x ,得-9=-3(4c -33),所以c =332,所以双曲线C 的焦距为2c =33,选项D 正确㊂图312.B 提示:令f (x )>0,两边同时除以e x,可得xe x >a (x +1)㊂如图3,分别绘制函数F (x )=xex与G (x )=a (x +1)的图像,其中G (x )恒过定点(-1,0)㊂为了符合题意,函数F (x )与G (x )的交点需位于A ,B 之间,此时a 的取值范围为23e 2,12e㊂二㊁填空题13.fx =x 3+x +1(答案不唯一)㊂14.84 提示:从A 区域开始种,当A 区域与C 区域种相同的花时,则有C 14ˑC 13ˑ1ˑC 13=36(种)不同的种法;当A 区域与C 区域种不同的花时,则有C 14ˑC 13ˑC 12ˑC 12=48(种)不同的种法㊂综上可得共有84种不同的种法㊂15.1150提示:根据题意可得U =311s i n (100πt ),在[0,0.02]内,令311㊃s i n (100πt )=3112,可得t 1=1600,t 2=5600;令311s i n (100πt )=-3112,可得t 1=7600,t 2=11600㊂综上可得,电压的绝对值低于3112的时间为2100-2ˑ5600-1600=1150㊂16.x 24+y 2=1 提示:由题意知k A B =-3,设A B 与x 轴的交点为C ,则øA C F =60ʎ,øA FC =30ʎ㊂设A F =a ,则O A =a2,O F =3a 2,所以A 0,a 2,即有b =a 2,直线l 的方程为y =-3x +a2,联立x 2a 2+y 2b2=1,y =-3x +a2,b =a 2, 解得x =0,y =a2,或x =4313a ,y=-1126a ,所以B 4313a ,-1126a,所以A B =0-4313a2+a 2+1126a2=8313a ,S әA B F =12A F ㊃A B =12ˑa ˑ8313a =16313,又a >0,所以a =2,b =a2=1,所以椭圆Γ的标准方程为x 24+y 2=1㊂三、解答题17.(1)因为4a n +1=4a n a n +1+1,所以a n +1=14(1-a n ),所以a 2=14(1-a 1)=13,a 3=14(1-a 2)=38,所以b 1=22a 1-1=-4,b 2=22a 2-1=-6,b 3=22a 3-1=-8㊂(2)b n为等差数列,理由如下:因为b n =22a n -1,所以a n =b n +22b n,所以a n +1=b n +1+22b n +1,代入4a n +1=4a n a n +1+1,得2b n +1+4b n +1=b n +2b n ㊃b n +1+2b n +1+1,整理得b n +1-b n =-2,所以b n 是公差为-2的等差数列㊂(3)由(1)(2)知,b n =-4+(n -1)ˑ(-2)=-2n -2,即22a n -1=-2n -2,所以2a n -1=1-n -1,a n =n 2(n +1)㊂所以a nn 2=1n2㊃n 2(n +1)=12n (n +1)=121n -1n +1㊂所以S n =121-12+1212-13+ +121n -1n +1=121-12+12-13+ +1n -1n +1=121-1n +1 <12㊂图418.(1)如图4,连接A C 交B D 于点O ,连接M O ㊂因为A B =A D ,CB =CD ,所以әA C D ɸәA C B ,所以A C ʅB D ㊂又因为A B =A D ,øB A D =60ʎ,所以әA B D 是正三角形,所以A O =23s i n 60ʎ=3,C O =C B 2-O B 2=6㊂因为P A ʊ平面BDM ,且P A ⊂平面P A C ,平面P A C ɘ平面B DM =M O ,所以P A ʊM O ㊂所以P M P C =A O A C =33+6=13,即λ=13㊂图5(2)如图5,以O 为坐标原点,O B 为x 轴,O C 为y 轴,过点O 且垂直于平面A B -C D 的直线为z 轴,建立空间直角坐标系Ox yz ㊂因为点P 在平面A B C D 上的投影恰好是әA B D 的重心,所以P E ʅ平面A B C D ,A E =2E O ,所以A E =2,E O =1㊂因为直线P A 与平面A B C D 所成角的正切值为32,所以在R t әP A E 中,t a n øP A E =P E A E =32,所以P E =32A E =3,所以A (0,-3,0),B (3,0,0),C (0,6,0),D (-3,0,0),P (0,-1,3)㊂由(1)知,λ=13,所以O M ң=O P ң+P M ң=O P ң+13P C ң=0,43,2,所以M 0,43,2,A P ң=(0,2,3),A D ң=(-3,3,0),OB ң=(3,0,0),O M ң=0,43,2㊂设平面P A D 的一个法向量为m =(x 1,y 1,z 1),则m ㊃A D ң=-3x 1+3y 1=0,m ㊃A P ң=2y 1+3z 1=0,取x 1=3,得y 1=1,z 1=-23,所以m =3,1,-23㊂设平面B DM 的一个法向量为n =(x 2,y 2,z 2),则n ㊃O B ң=3x 2=0,n ㊃O M ң=43y 2+2z 2=0,取y 2=3,得x 2=0,z 2=-2,所以n =(0,3,-2)㊂所以c o s <m ,n >=m ㊃n|m ||n |=3+4313ˑ409=13020,所以平面B DM 与平面P A D 的夹角的余弦值为13020㊂19.由题意可得10(0.010+b +0.030+0.016+a +0.008)=1,即a +b =0.036㊂因为平均数为77分,所以10(0.010ˑ55+b ˑ65+0.030ˑ75+0.016ˑ85+a ˑ95+0.008ˑ105)=77,即65b +95a =2.7㊂联立a +b =0.036,65b +95a =2.7,解得a =0.012,b =0.024㊂因为前250名进入复赛,在1000名大学生中占比为25%,原问题等价于估计频率直方图中的75百分位数㊂经统计,落到区间[50,60),[60,70),[70,80),[80,90)内的概率分别为0.1,0.24,0.3,0.16㊂因为0.1+0.24+0.3<0.75<0.1+0.24+0.3+0.16,所以75百分位数在区间[80,90)内,为80+0.75-0.640.16ˑ10=80+558ʈ87,由此估计进入复赛的分数线为87分(注:回答86分也可以得分)㊂(2)由题知,P 1=23,P n =45P n -1+(1-P n -1)ˑ13=715P n -1+13,所以P n -58=715P n -1-58,又因为P 1-58=124ʂ0,所以P n -58是以124为首项,715为公比的等比数列,所以P n -58=124ˑ715n -1,即P n =58+124ˑ715n -1,故P 10=58+124ˑ7159㊂20.(1)当l ʅx 轴时,A B 为抛物线E 的通径,此时A B =2p ,易知O F ʅA B ,所以O F 是әO A B 的高,所以әO A B 的面积S =12ˑA B ˑO F =p 22=2,解得p =2,所以抛物线E 的方程为y 2=4x ㊂(2)依题意可设直线l 的方程为x =m y +1,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),联立x =m y +1,y 2=4x ,消去x 整理得y 2-4m y -4=0,Δ>0,y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4㊂根据抛物线的定义可得F A =x 1+1,F B =x 2+1,所以F A ㊃F B =(x 1+1)(x 2+1)=(m y 1+2)(m y 2+2)=m 2y 1y 2+2m (y 1+y 2)+4=4m 2+4㊂设直线l 1的方程为x =m 1y +1,同理可得F C ㊃F D =4m 21+4㊂因为F A ㊃F B =F C ㊃F D ,所以4m 2+4=4m 21+4,故m =m 1(舍),或m +m 1=0,其中m ,m 1分别是直线l 与直线l 1的斜率的倒数,所以直线l 与直线l 1的斜率之和为0,此时A B =F A +F B =x 1+x 2+2=m (y 1+y 2)+2=4m 2+4㊂同理可得C D =4m 2+4,当C D =8时,解得m =ʃ1,所以直线l 的方程为x =ʃy +1㊂21.(1)对函数f (x )求导可得f '(x )=m x +1-1x =m x 2+x -1x㊂若m =0,则f '(x )=x -1x㊂令f '(x )=0,得x =1,所以当0<x <1时,f '(x )<0,f (x )在(0,1)上单调递减;当x >1时,f'(x )>0,f (x )在(1,+ɕ)上单调递增㊂若m <0,设g (x )=m x 2+x -1,Δ=1+4m ,当m ɤ-14时,Δɤ0,g (x )ɤ0,所以f '(x )ɤ0,f (x )在(0,+ɕ)上单调递减;当-14<m <0时,Δ>0,令g (x )=0,得x 1=-1-1+4m 2m >0,x 2=-1+1+4m 2m>0,且x 1>x 2,当0<x <x 2或x >x 1时,g (x )<0,即f'(x )<0,所以f (x )在0,-1+1+4m 2m,-1-1+4m 2m,+ɕ上单调递减;当x 2<x <x 1时,g (x )>0,即f '(x )>0,所以f (x )在-1+1+4m 2m ,-1-1+4m2m上单调递增㊂若m >0,则Δ>0㊂令g (x )=0,得x 1=-1-1+4m2m<0(舍去),x 2=-1+1+4m2m>0㊂当0<x <x 2时,g (x )<0,即f '(x )<0,所以f (x )在0,-1+1+4m2m上单调递减;当x >x 2时,g (x )>0,即f '(x )>0,所以f (x )在-1+1+4m2m,+ɕ上单调递增㊂(2)由(1)知,-14<m <0,a ,b 是m x2+x -1=0的两根,所以a +b =-1m㊂因为f (a )=12m a 2+a -l n a ,f (b )=12m b 2+b -l n b ,所以f (a )-f (b )=12m (a +b )(a -b )+(a -b )-(l n a -l n b )=12(a-b )-(l n a -l n b ),故2[f (a )-f (b )]=(a -b )-2(l n a -l n b )㊂因为a +b =-1m,所以要证2[f (a )-f (b )]<(4m +1)(a -b ),只需证l n a -l n b >2(a -b )a +b ,等价于l n a b >2a b-1ab+1㊂设a b =t ,则t >1,所以l n t >2(t -1)t +1,所以只需证l n t -2(t -1)t +1>0㊂令g (t )=l n t -2(t -1)t +1(t >1),则g '(t )=1t -2(t +1-t +1)(t +1)2=(t -1)2t (t +1)2>0,所以g (t )在(1,+ɕ)上单调递增,所以g (t )>g (1)=0,所以l n t -2(t -1)t +1>0,即2[f (a )-f (b )]<(4m +1)(a -b )㊂22.(1)由曲线C 1的参数方程可得曲线C 1的普通方程为y ㊃c o s α-x ㊃s i n α=0,则极坐标方程为θ=α(ρɪR )㊂由曲线C 2的极坐标方程可得曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2-2x =3,即(x -1)2+y 2=4㊂(2)将θ=α代入曲线C 2的极坐标方程得ρ2-2ρc o s α-3=0㊂设A ,B 两点对应的参数分别为ρ1,ρ2,则ρ1ρ2=-3㊂所以O A ㊃O B =ρ1ρ2=3㊂23.(1)当x <-3时,f x =-x -2 -x +3 =-2x -1;当-3ɤx ɤ2时,f x =-x -2 +x +3 =5;当x >2时,f x =x -2 +x +3 =2x +1㊂综上可得,f x m i n =5㊂(2)由(1)可知f x ȡx +a ⇒5ȡx +a ,解得x +a ȡ-5,x +a ɤ5㊂当x ɪ-3,2 时,欲使不等式f x ȡx +a 恒成立,则x +a m i n ȡ-5,x +a m a x ɤ5,解得-2ɤa ɤ3㊂(责任编辑 王福华)。
2022年普通高等学校招生全国统一考试新高考数学全真模拟测试(五)( 含答案)
2022年普通高等学校招生全国统一考试新高考全真模拟测试（五）数学本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若全集U={1,2,3,4,5,6}，M={1,4}，P={2,3}，则集合(∁U M)∩(∁U P)=（）A．{1,2,3,4,5,6}B．{2,3,5,6}C．{1,4,5,6}D．{5,6}2．不论m为何值，直线(2m−1)x+(m+2)y+5=0恒过定点A．(−1,−2)B．(1,−2)C．(−1,2)D．(1,2)3．设p：关于x的方程4x−2x+1−a=0有解；q：函数f(x)=log2(x+a−1)在区间(0,+∞)上恒为正值，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．如图，已知底面边长为a 的正四棱锥P −ABCD 的侧棱长为2a,若截面PAC 的面积为8√7,则正四棱锥P −ABCD 的体积等于（ ）A ．12√14B ．32√143C ．32√78D ．10835．已知函数f(x)=x 3+ax 2的图象在x =1处的切线的斜率为7，则函数f (−2x )的最大值为（ ） A ．1627B ．3227C ．2716D ．27326．函数y =cos(1+x 2)的导数是（ ） A ．2xsin(1+x 2)B ．−sin(1+x 2)C ．−2xsin(1+x 2)D ．2cos(1+x 2)7．设F 1(−c,0),F 2(c,0)是双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左右焦点，点P 是C 右支上异于顶点的任意一点，PQ 是∠F 1PF 2的角平分线，过点F 1作PQ 的垂线，垂足为Q ，O 为坐标原点，则|OQ|的长为 A ．定值a B ．定值bC ．定值cD ．不确定，随P 点位置变化而变化8．已知α、β、γ、δ为锐角，在sinαcosβ，sinβcosγ，sinγcosδ，sinδcosα四个值中，大于12的个数的最大值记为m ，小于14的个数的最大值记为n ，则m +n 等于（ ） A ．8B ．7C ．6D ．5二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．某电子商务平台每年都会举行“年货节”商业促销狂欢活动，现在统计了该平台从2013年到2021年共9年“年货节”期间的销售额（单位：亿元）并作出散点图，将销售额y看成年份序号x（2013年作为第一年）的函数.运用excel软件，分别选择回归直线和三次函数回归曲线进行拟合，效果如下图，则下列说法正确的是（）A．销售额y与年份序号x正相关B．销售额y与年份序号x线性关系不显著C．三次函数回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果D．根据三次函数回归曲线可以预测2022年“年货节”期间的销售额约为2680.54亿元10．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则（）A．D1D⊥AFB．A1G⊥平面AEFC．异面直线A1G与EF所成角的余弦值为√1010D ．点G 到平面AEF 的距离是点C 到平面AEF 的距离的2倍 11．已知数列{an }是等比数列，则下列结论中正确的是（ ） A ．数列{an 2}是等比数列 B ．若a 3=2，a 7=32，则a 5=±8C ．若a 1<a 2<a 3，则数列{an }是递增数列D ．若数列{an }的前n 和S n =3n−1+r ，则r =﹣112．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）A ．已知A (2,3)，B (4,−3)，点P 在直线AB 上，且|AP ⃑⃑⃑⃑⃑ |=32|PB ⃑⃑⃑⃑⃑ |，则P 的坐标为(165,−35). B ．已知O 是△ABC 的外接圆圆心，AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AO ⃑⃑⃑⃑⃑ ，|AO ⃑⃑⃑⃑⃑ |=|AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=R ，R 为圆的半径，则BA ⃑⃑⃑⃑⃑ 在BC ⃑⃑⃑⃑⃑ 上的投影为√32R . C ．若c ⊥(a −b ⃑ )，且c ≠0⃑ ，则a =b⃑ . D ．若点P 是△ABC 所在平面内一点，且PA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PB ⃑⃑⃑⃑⃑ =PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PC ⃑⃑⃑⃑⃑ =PC⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则P 是△ABC 的垂心. 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．复数z 满足z(2−3i)=18−i ，则|z |=__________． 14．9910被1000整除的余数为________.15．已知点A ，B ，C 在函数f (x )=√3sin (ωx +π3)(ω>0)的图象上，如图，若AB ⊥BC ，则ω=______.16．已知函数的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝____________四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17．已知菱形ABCD中,∠DAB=60∘，E是边BC上一点，线段DE交AC与点F.（1）若ΔDCE的面积为√32，DE=√3，求菱形的边长AB.（2）若CFDF =85，求cos∠DFC.18．某学习网按学生数学成绩的水平由高到低分成甲､乙两档，进行研究分析，假设学生做对每道题相互独立，其中甲､乙档学生做对每道题的概率分别为p，58p，现从甲､乙两档各抽取一名学生成为一个学习互助组合.(1)现从甲档中选取一名学生，该生5道题做对4道题的概率为f(p)，求出f(p)的最大值点p0；(2)若以p0作为p的值，⊥求每一个互助组合做对题的概率；⊥现选取n个组合，记做对题的组数为随机变量X，当X=90时，P(X)取得最大值，求相应的n和E(X).19．如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AC=AB=BC=√3AA1=√3A1C，且O为AC的中点.(1)求证：A1O⊥平面ABC；(2)求二面角C−A1B−C1的余弦值.20．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，焦距为2.（1）求椭圆C的方程；（2）设A，B为椭圆C上两点，O为坐标原点，k OA⋅k OB=−12，点D在线段AB上，且AD⃑⃑⃑⃑⃑ =1 3AB⃑⃑⃑⃑⃑ ，连接OD并延长交椭圆C于E，试问|OE||OD|是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，请说明理由.21．黄冈市一中学高一年级统计学生本学期20次数学周测成绩(满分150)，抽取了甲乙两位同学的20次成绩记录如下:甲:92,96,99,103,104,105,113,114,117,117,121,123,124,126,129,132,134,136,142,141乙:102,105,113,114,116,117,125,125,127,128,128,131,131,135,136,138,139,142,145,150（1）根据以上记录数据求甲乙两位同学成绩的中位数，并据此判断甲乙两位同学的成绩谁更好?（2）将同学乙的成绩分成[100,110),[120，130)[130,140)[140,150)，完成下列频率分布表，并画出频率分布直方图;分组频数频率[100,110)[110,120)[120,130)[130,140)[140,150)合计201（3）现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意取出2个成绩，求取出的2个成绩不是同一个人的且没有满分的概率.22．已知函数f(x)=ax−lnx+1有两个不同的零点x1,x2(x1<x2).（1）求实数a的取值范围；（2）记f(x)的极值点为x0，求证：1x1+1x2>2ef(x0).\2022年普通高等学校招生全国统一考试全真模拟测试（五）数学答案1．D∁U M={2,3,5,6}，∁UP={1,4,5,6}，(∁UM)∩(∁UP)={5,6}.故选：D.2．B∵(2m−1)x+(m+2)y+5=0恒过定点，∴(2x+y)m+(−x+2y+5)=0恒过定点，由{2x+y=0,−x+2y+5=0,解得{x=1,y=−2,即直线(2m−1)x+(m+2)y+5=0恒过定点(1,−2).3．B因为方程4x−2x+1−a=0有解,即方程a=(2x)2−2⋅2x有解，令t=2x>0，则y=t2−2t=(t−1)2−1∈[−1,+∞)，即a∈[−1,+∞)；因为函数f(x)=log2(x+a−1)在区间(0,+∞)上恒为正值，所以x+a−1>1在区间(0,+∞)上恒成立，即a>−x+2在区间(0,+∞)上恒成立，解得a≥2，所以p是q的必要不充分条件，4．B解：连接BD，交AC于O，连接PO，则PO⊥底面ABCD且O是AC中点，AC=√a2+a2=√2a，PO=√PC2−(AC2)2=√(2a)2−(√22a)2=√142a，∵截面PAC的面积为8√7，∴S△PAC＝12×√2a×√142a=8√7，解得a=4，∴正四棱锥P−ABCD的体积为：V P−ABCD＝13×S正方形ABCD×PO=13×a2×√142a=√146a3=√146×43=32√143.故选：B．5．B⊥f′(x)=3x2+2ax，⊥f′(1)=3+2a=7，则a=2，⊥f′(x)=x(3x+4)，当x <−43时，f ′(x)>0；当−43<x <0时，f ′(x)<0. 故f(x)在(−∞,0)上的最大值为f(−43)=3227. ⊥−2x <0，⊥f(−2x )的最大值为3227. 故选B. 6．C因为函数y =cos(1+x 2)所以y′=−sin(1+x 2)(1+x 2)′=−2xsin(1+x 2) 7．A依题意如图，延长F 1Q ，交PF 2于点T ， ⊥PQ 是⊥F 1PF 2的角分线．TF 1是PQ 的垂线， ⊥PQ 是TF 1的中垂线，⊥|PF 1|＝|PT |， ⊥P 为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1上一点， ⊥|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ， ⊥|TF 2|＝2a ，在三角形F 1F 2T 中，QO 是中位线， ⊥|OQ |＝a ． 故选A ．8．B解：因为α、β、γ、δ为锐角， 则sinαcosβ≤sin 2α+cos 2β2，当且仅当sinα=cosβ时取等号，同理sinαcosβ+ sinβcosγ+ sinγcosδ+ sinδcosα≤2，0<sinαcosβ sinβcosγ sinγcosδ sinδcosα=116sin2α⋅sin2β⋅sin2δ⋅sin2γ≤116， 故不可能有4个数都大于12，所以最多三个数大于12，所以m =3，例如α=45°,β=44°,γ=30°,δ=60°，故最多有4个数均小于14，所以n =4，例如α=β=γ=δ=80°， 所以m +n =7. 9．ACD根据图象可知，散点从左下到右上分布， 销售额y 与年份序号x 呈正相关关系，故A 正确；因为相关系数0.936>0.75，靠近1，销售额y 与年份序号x 线性相关显著，B 错误. 根据三次函数回归曲线的相关指数0.999>0.936，相关指数越大，拟合效果越好，所以三次多项式回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果，C 正确；由三次多项式函数y =0.07x 3+29.31x 2−33.09x +10.44， 当x =10时，y ≈2680.54亿元，D 正确； 10．BCDA 选项，由DD 1//CC 1，即CC 1与AF 并不垂直，所以D 1D ⊥AF 错误.B 选项，如下图，延长FE 、GB 交于G’连接AG’、GF ，有GF//BE 又E ，F ，G 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点，所以GG ′=BB 1=AA 1，而AA 1//GG ′，即A 1G//AG ′；又因为面ABB 1A 1 ∩面AEF =AG ，且A 1G ⊄面AEF ，A 1G ⊂面ABB 1A 1，所以A 1G ⊥平面AEF ，故正确.C选项，取B1C1中点H，连接GH，由题意知GH与EF平行且相等，所以异面直线A1G与EF 所成角的平面角为∠A1GH，若正方体棱长为2，则有GH=√2,A1G=A1H=√5，即在△A1GH中有cos∠A1GH=√1010，故正确.D选项，如下图若设G到平面AEF的距离、C到平面AEF的距离分别为ℎ1、ℎ2，则由V A−GEF=13⋅AB⋅S GEF=V G−AEF=13⋅ℎ1⋅S AEF且V A−CEF=13⋅AB⋅S CEF=V C−AEF=13⋅ℎ2⋅S AEF，知ℎ1ℎ2=S GEFS CEF=2，故正确.11．AC解：由数列{an }是等比数列，设公比为q ，知：在A 中，⊥a n 2=a 12q2n−2， ⊥a n+12a n2=a 12q 2n a 12q 2n−2=q 2是常数，⊥数列{an 2}是等比数列，故A 正确；在B 中，若a 3=2，a 7=32，则a 5=√2×32=8，故B 错误；在C 中，若a 1<a 2<a 3，则a 1<a 1q <a 1q 2，当a 1>0时，可得1<q <q 2，解得q >1， 且{a n }中各项为正数，所以a n+1−a n =a n (q −1)>0，此时数列{an }是递增数列； 当a 1<0时，可得1>q >q 2，解得0<q <1，此时{a n }中各项为负数， 所以a n+1−a n =a n (q −1)>0，此时数列{an }是递增数列，综上所述，C 正确； 在D 中，若数列{an }的前n 和Sn =3n ﹣1+r ，则a 1=S 1=1+r ，a 2=S 2﹣S 1=(3+r )﹣(1+r )=2，a 3=S 3﹣S 2=(9+r )﹣(3+r )=6，⊥a 1，a 2，a 3成等比数列，⊥a 22=a 1a 3，⊥4=6(1+r )，解得r =﹣13，故D 错误. 12．BD在直线AB 上满足|AP ⃑⃑⃑⃑⃑ |=32|PB ⃑⃑⃑⃑⃑ |的点P 有两个，一个在线段AB 上，一个在线段AB 的延长线上，A 错；如图，AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AO ⃑⃑⃑⃑⃑ ．则ABOC 是平行四边形，又|AO ⃑⃑⃑⃑⃑ |=|AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=R ，而|OB |=|OC |=R ， 所以ABOC 是菱形，且∠ABO =π3，|BE |=√32R ，BA⃑⃑⃑⃑⃑ 在BC ⃑⃑⃑⃑⃑ 上的投影为|BE |= √32R ，B 正确；如，a =(2,1),b ⃑ =(1,2)，c =(1,1)，满足c ⊥(a −b ⃑ )，但a ≠b⃑ ，C 错； PA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PB ⃑⃑⃑⃑⃑ =PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PC ⃑⃑⃑⃑⃑ ⇒PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅(PA ⃑⃑⃑⃑⃑ −PC ⃑⃑⃑⃑⃑ )=PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CA ⃑⃑⃑⃑⃑ =0⇒PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，即PB ⊥CA ，同理PC ⊥AB,PA ⊥BC ，所以P 是△ABC 的垂心，D 正确； 故选：BD ． 13．5.分析：先求复数z ，再求|z |. 详解：由题得z =18−i2−3i =(18−i)(2+3i)(2−3i)(2+3i)=39+52i 13=3+4i,所以|z|=√32+42=5.故答案为5.点睛：（1）本题主要考查复数的运算和复数的模，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复数z =a +bi(a,b ∈R)的共轭复数z =a −bi, |z|=√a 2+b 2. 14．19910=(100−1)10=(1−100)10=1−C 101×100+C 102×1002−⋯+10010，展开式中从第二项开始都是1000的倍数，因此它除以1000后余数为1． 15．π2设AC 的中点为D ，连接BD ，∵AB⊥BC，∴BD=AD，且AB=BD，∴ΔABD是等边三角形，并且ΔABD的高是√3,∴AD=2，即AC=2AD=4，∴T=4，即2πω=4，解得：ω=π2.故答案为：π216．±2试题分析：求导函数可得y′=3（x+1）（x-1），令y′＞0，可得x＞1或x＜-1；令y′＜0，可得-1＜x＜1；⊥函数在（-∞，-1），（1，+∞）上单调增，（-1，1）上单调减，⊥函数在x=-1处取得极大值，在x=1处取得极小值．⊥函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，⊥极大值等于0或极小值等于0．⊥1-3+c=0或-1+3+c=0，⊥c=-2或2．17．（1）在ΔDCE中，设CD=x，CE=y(x>y)，则S=12xysin60∘=√32，⊥xy=2，由余弦定理可得，DE2=x2+y2−2xycos60∘，⊥x2+y2=5，解得x=2，y=1，所以菱形的边长AB为2.（2）在ΔDCF中，由题意知,∠DCF=30∘，由正弦定理可得，CFsin∠CDF =DFsin30∘，⊥sin∠CDF=CFDF sin30∘=45，⊥E 是边BC 上一点，所以∠CDE ≤∠CDB =60∘， ⊥cos∠CDF =35，因为∠DFC =π−(∠CDF +30∘),所以cos∠DFC =cos [π−(∠CDF +30∘)]=−cos (∠CDF +30∘), 由两角和的余弦公式可得，cos (∠CDF +30∘)=cos∠CDFcos30∘−sin∠CDFsin30∘=35×√32−45×12=3√3−410，所以cos∠DFC = 4−3√310即为所求. 18 (1)由题可知f (p )=C 54p 4(1−p )=5p 4(1−p )，f ′(p )=5p 3(4−5p )，令f ′(p )=0，得p =45， 当p ∈(0,45)时，f ′(p )>0，f (p )在(0,45)上单调递增； 当p ∈(45,1)时，f ′(p )<0，f (p )在(45,1)上单调递减. 所以f (p )的最大值点p 0=45 (2)⊥记事件A 为一个互助组合做对题，事件B 为一个互助组合中甲档中的学生做对题，事件C 为一个互助组合中乙档中的学生做对题， 则P(B)=45，P (C )=45⋅58=12， P (A )=1−P (B̅)P (C )=1−15⋅12=0.9. ⊥由题意知随机变量X ∼B (n,0.9)，P (X =k )=C n k ×0.9k ×0.1n−k (k =0,1,2,⋅⋅⋅,n )因为P (X =90)最大，所以{C n 90×0.990×0.1n−90≥C n 91×0.991×0.1n−91C n 90×0.990×0.1n−90≥C n 89×0.989×0.1n−89，解得99≤n ≤9019，因为n 是整数，所以n =99或n =100， 当n =99时，E (X )=np =99×0.9=89.1； 当n =100时，E (X )=np =100×0.9=90 19． (1)证明：⊥AA 1=A 1C ，且O 为AC 的中点，⊥A 1O ⊥AC ，又侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，侧面AA 1C 1C ∩底面ABC =AC ，且A 1O ⊂平面AA 1C 1C ， ⊥A 1O ⊥平面ABC . (2)解：如图，连接OB ，以O 为坐标原点，OB ，OC ，OA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系.因为边长呈比例关系，不妨设AA 1=2.由已知可得A(0,−√3,0)，A 1(0,0,1)，B (3,0,0)，C(0,√3,0)，C 1(0,2√3,1) ⊥BC →=(−3,√3,0)，A 1B →=(3,0,−1)，A 1C 1→=(0,2√3,0).设平面CA 1B 的法向量为m →=(x 1,y 1,z 1).则有{m →⋅BC →=0m →⋅A 1B →=0⇒{−3x 1+√3y 1=03x 1−z 1=0 取x 1=1，则y 1=√3，z 1=3，⊥m →=(1,√3,3)为平面CA 1B 的一个法向量. 设平面A 1BC 1的法向量为n →=(x 2,y 2,z 2)，则有{n →⋅A 1C 1→=0n →⋅A 1B →=0⇒{2√3y 2=03x 2−z 2=0y 2=0，令x 2=1，则z 2=3，⊥n →=(1,0,3)为平面A 1BC 1的一个法向量， ⊥cos ⟨m →,n →⟩=m →⋅n→|m →|⋅|n →|√13⋅√10√13013.⊥所求二面角的余弦值为√13013.20．解：（1）由已知得e =c a=√22且2c =2，所以a =√2，c =1.所以椭圆方程为x 22+y 2=1.（2）设点A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，D (x 3,y 4)， 由AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =13AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，得{x 3=2x 1+x23y 3=2y 1+y 23 ， 设|OE ||OD |=λ，则结合题意可知OE ⃑⃑⃑⃑⃑ =λOD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，所以E (λx 3,λy 3). 将点E (λx 3,λy 3)代入椭圆方程，得λ2(x 322+y 32)=1.即1λ2=x 322+y 32=(2x 1+x 23)22+(2y 1+y 23)2. 变形，得1λ2=49(x 122+y 12)+49(x 1x 22+y 1y 1)+19(x 222+y 22)(*) 又因为A ，B 均在椭圆上，且k OA ⋅k OB =−12，所以{ x 122+y 12=1x 222+y 22=1k OA ⋅k OB=y 1x 1⋅y 2x 2=−12，代入(*)式解得λ=3√55. 所以|OE ||OD |是定值，为λ=3√55. 21．（1）甲的中位数是117+1212=119，乙的中位数是128+1282=128，乙的成绩更好（2）乙频率分布直方图如下图所示：分组频数频率[100,110)20.1[110,120)40.2[120,130)50.25[130,140)60.3[140,150)30.15合计201（3）甲乙两位同学的不低于140分的成绩共5个，甲两个成绩记作A1、A2,乙3个成绩记作B1、B2、B3（其中B3表示150分），任意选出2个成绩所有的取法为(A1,A2)，(A1,B1)，(A1,B2)，(A1,B3)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A2,B3)，(B1,B2)，(B1,B3)，(B2,B3)共10种取法其中两个成绩不是同一个人的且没有满分的是：(A1,B1)，(A1,B2)，(A2,B1)，(A2,B2)共4种取法，∴取出的2个成绩不是同一个人的且没有满分的概率：410=25. 22．解：（1）由f(x)=a x −lnx +1得f′(x)=−a x 2−1x =−a+x x 2(x >0)，⊥函数f(x)=ax −lnx +1有两个不同的零点x 1，x 2， ⊥f(x)在(0,+∞)上不单调， ⊥a <0，令f′(x)>0得0<x <−a ，f′(x)<0得x >−a ， 故f(x)在(0,−a )上单调递增，在(−a,+∞)上单调递减， 则f(x)的极大值为f (−a )=−ln (−a )>0， ⊥0<−a <1，⊥−1<a <0.⊥x →0+时f(x)<0，x →+∞时f(x)<0， ⊥a 的取值范围是−1<a <0. （2）由（1）知f (x 0)=−ln (−a )，⊥f (x 1)=f (x 2)，⊥a x 1−lnx 1+1=ax 2−lnx 2+1，⊥a =lnx 1−lnx 21x 1−1x 2=ln1x 2−ln 1x 11x 1−1x 2.令1x 1=t 1，1x 2=t 2，则a =lnt 2−lnt 1t 1−t 2，且1x 1+1x 22=t 1+t 22， 要证1x 1+1x 2>2ef (x 0)，只需证t 1+t 22>e(−ln(−a)).下面先证明t 1+t 22>t 1−t2lnt 1−lnt 2，这只要证明ln t 1t 2<2(t1t 2−1)t 1t 2+1，设0<t1t 2=m <1，所以只要证明lnm −2(m−1)m+1<0，设g(m)=lnm −2(m−1)m+1，则g′(m)=1m −4(m+1)2=(m−1)2m(m+1)2≥0，所以g (m )递增， 则g (m )<g (1)=0成立.于是得到t 1+t 22>t 1−t 2lnt 1−lnt 2=−1a，因此只要证明−1a ≥−eln(−a)(−1<a <0)，构造函数ℎ(a)=−1a +eln(−a)， 则ℎ′(a)=1a 2+ea =1+ea a 2，故ℎ(a )在(−1,−1e )上递减，在(−1e ,0)上递增，则ℎ(a)≥ℎ(−1e )=0，即−1a ≥−eln(−a)成立.。
2024届湖北省新高考协作体高三统一模拟考试数学试卷(五)
2024届湖北省新高考协作体高三统一模拟考试数学试卷(五)一、单选题(★) 1. 数据20，24，6，7，13，14的第60百分位数是（）A．6B．7C．13D．14(★★) 2. 若集合．集合，则的真子集个数为（）A．3B．4C．31D．32(★) 3. 用斜二测画法画出的水平放置的的直观图如图所示，其中是的中点，且轴，轴，，那么（）A．B．2C．D．4(★★) 4. 已知函数则（）A．B．C．D．(★★) 5. 已知等差数列的前项和为，若，，则（）A．52B．54C．56D．58(★★) 6. 椭圆的右顶点为，直线与椭圆交于A，B两点，直线P A，PB的斜率乘积为，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．(★★★) 7. 在平面直角坐标系中，已知圆，若正三角形的一边为圆的一条弦，则的最大值为（）A．1B．C．D．2(★★★★) 8. 向量，满足，，且，不等式恒成立.函数的最小值为（）A．B．1C．D．二、多选题(★★) 9. 已知，则下列命题错误的是（）A．若，则B．若，则C．D．若，则(★★★) 10. 已知函数在上可导，且的导函数为．若，，为奇函数，则下列说法正确的有（）A．是奇函数B．关于点对称C．D．(★★★★) 11. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A、B两点（点A在第一象限），与的等差中项为．抛物线在点A、B处的切线交于点M，过点M且垂直于y轴的直线与y轴交于点N，O 为坐标原点，P为抛物线上一点，则下列说法正确的是（）A．B．的最大值为C．的最大值为D．的最小值为16三、填空题(★★) 12. 甲、乙两同学玩掷股子游戏，规则如下：（1）甲、乙各抛掷质地均匀的殿子一次，甲得到的点数为，乙得到的点数为；（2）若的值能使二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则甲胜，否则乙胜．那么甲胜的概率为 ______ ．(★★★) 13. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则 ______ ．(★★★★★) 14. 关于x的方程有实根，则的最小值为 ______ ．四、解答题(★★★) 15. 函数．(1)当时，证明：；(2)讨论函数的零点个数．(★★★) 16. 如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，平面ABC，，，E，F分别为P A，PC的中点，平面BEF与平面ABC的交线为l．(1)证明：平面PBC；(2)直线l与圆O的交点为B，D，求三棱锥的体积；(3)点Q在直线l上，直线PQ与直线EF的夹角为，直线PQ与平面BEF的夹角为，是否存在点Q，使得？如果存在，请求出；如果不存在，请说明理由．(★★★) 17. 若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互质，欧拉函数是指，对于一个正整数n，小于或等于n的正整数中与n互质的正整数（包括1）的个数，记作，例如，．(1)求，，；(2)设，，求数列的前项和；(3)设，，数列的前项和为，证明：，(★★★★) 18. 平面直角坐标系中，动点满足，点P的轨迹为C，过点作直线l，与轨迹C相交于A，B两点．(1)求轨迹C的方程；(2)求面积的取值范围；(3)若直线l与直线交于点M，过点M作y轴的垂线，垂足为N，直线NA，NB分别与x轴交于点S，T，证明：为定值．(★★★★) 19. 某农户购入一批种子，已知每粒种子发芽的概率均为0.9，总共种下n粒种子，其中发芽种子的数量为X．(1)要使的值最大，求n的值；(2)已知切比雪夫不等式：设随机变量X的期望为，方差为，则对任意均有，切比雪夫不等式可以使人们在随机变量X的分布末知的情况下，对事件的概率作出估计．①当随机变量X为离散型随机变量，证明切比雪夫不等式（可以直接证明，也可以用下面的马尔科夫不等式来证明切比雪夫不等式）；②为了至少有的把握使种子的发芽率落在区间，请利用切比雪夫不等式估计农户种下种子数的最小值．注：马尔科夫不等式为：设X为一个非负随机变量，其数学期望为，则对任意，均有．。
2023年普通高等学校招生全国统一考试新高考仿真模拟卷数学(五)试题
2023年普通高等学校招生全国统一考试·仿真模拟卷数学（五）注意事项：1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,2,3,4A =，{}1,3,5,7B =，则A B ⋂的子集共有（）A.2个B.3个C.4个D.8个2.已知复数52i2iz =-，则z =（）A.1B.35 C.355D.3.在ABC 中，记AB m = ，AC n =u u ur r ，则()CB AB AC ⋅+=u u u r u u u r u u u r （）A.m n- B.22m n+u r r C.22n m-r u r D.22m n-u r r 4.已知函数()()()ln 2ln 4f x x x =-+-，则()f x 的单调递增区间为（）A.()2,3 B.()3,4 C.(),3-∞ D.()3,+∞5.如图，已知正四棱锥P ABCD -的底面边长和高分别为2和1，若点E 是棱PD 的中点，则异面直线PA 与CE 所成角的余弦值为（）A.B.3311C.6D.666.某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线均生产5mm 规格的芯片，现有25块该规格的芯片，其中甲、乙、丙生产的芯片分别为5块，10块，10块，若甲、乙、丙生产该芯片的次品率分别为0.1，0.2，0.3，则从这25块芯片中任取一块芯片，是正品的概率为（）A .0.78B.0.64C.0.58D.0.487.已知()1sinsin 2222x x x f x ⎫=-+⎪⎭.若存在0π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式()20132f x m m ≤--有解，则实数m 的取值范围为（）A.[]0,3 B.(][),03,-∞+∞ C.1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.(]5,0,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭8.已知(),,1,a b c ∈+∞，且1ln 1e a a ---=，2ln 2e b b ---=，4ln 4e c c ---=，其中e 是自然对数的底数，则（）A.a b c <<B.b a c<< C.b<c<aD.c b a<<二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.空气质量指数大小分为五级.指数越大说明污染的情况越严重，对人体危害越大，指数范围[)0,50，[)50,100，[)100,200，[)200,300，[]300,500分别对应“优”“良”“轻度污染”“中度污染”“重污染”五个等级.如图是某市连续14天的空气质量指数趋势图，下面说法正确的是（）A.这14天中有5天空气质量指数为“轻度污染”B.从2日到5日空气质量越来越好C.这14天中空气质量的中位数是196.5D.连续三天中空气质量指数方差最小是5日到7日10.密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角.在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“0—07”，478密位写成“4—78”.若()2sin cos sin 2ααα-=，则角α可取的值用密位制表示可能是（）A.10—50B.2—50C.13—50D.42—5011.已知点A ，B 分别是双曲线22:14x C y -=的左，右顶点，点P 是双曲线C 的右支上位于第一象限的动点，记PA 、PB 的斜率分别为1k 、2k ，则下列说法正确的是（）A.双曲线CB.双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为1C.12k k 为定值14D.存在点P ，使得1212k k +=12.已知()221f x x =+，()4g x x =-，若方程()()()()420f x g x f x g x ax a ---+++=有四个不同的实数根，则满足上述条件的a值可以为（）A .1- B.15C.35D.1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若13nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中各项系数之和为64，则该展开式中含4x 的项的系数为______.14.设甲、乙两个圆柱的底面半径分别为2，3，体积分别为1V ，2V ，若它们的侧面积相等，则12V V 的值是______.15.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何现有这样一个相关的问题：被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则30n S n+的最小值为__________．16.抛物线()2:20C y px p =>的焦点到直线10x y -+=的距离为528，点M 是C 上任意一点，点N 是圆()22:31D x y -+=上任意一点，则MN 的最小值是______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()()sin sin sin sin A B A B +-=)sin sin A C C -.（1）求角B 的大小；（2）若BC 边上的高为2b c -，求sin C .18.设等差数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，()*141n n n a S a n +=+∈N .（1）求{}n a 的通项公式；（2）设5nn a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]2.62=.19.某校举办传统文化知识竞赛，从该校参赛学生中随机抽取100名学生，竞赛成绩的频率分布表如下：竞赛成绩[)50,60[)60,70[)70,80[)80,90[)90,100频率0.080.240.360.200.12（1）估计该校学生成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）已知样本中竞赛成绩在[)50,60的男生有2人，从样本中竞赛成绩在[)50,60的学生中随机抽取3人进行调查，记抽取的男生人数为X ，求X 的分布列及期望.20.如图所示的几何体中，底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AB AD ⊥，四边形PDCE为矩形，平面PDCE ⊥平面ABCD ，F 为PA 的中点，N 为PC 与DE 的交点，PD =112AB AD CD ===.（1）求证：//FN 平面ABCD ；（2）若G 是线段CD 上一点，平面PBC 与平面EFG 所成角的余弦值为6，求DG 的长.21.设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左焦点为F ，上顶点为P ，离心率为22，O 是坐标原点，且OP FP ⋅=.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 作两条互相垂直的直线，分别与C 交于A ，B ，M ，N 四点，求四边形AMBN 面积的取值范围.22.已知函数()()()ln 21f x x m x m m =+-+-∈R .（1）当4m =时，求函数()f x 的单调区间；（2）是否存在正整数m ，使得()0f x ≤恒成立，若存在求出m 的最小值，若不存在说明理由.。
2021年高考数学模拟考试卷(五)(含解析)
2021年高考数学模拟考试卷（五）（含解析）年级：姓名：高考数学模拟考试卷（五）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设集合{|02}A x x =<<，1{|0}4x B x x -=+，则集合(A B = )A ．(0，1]B ．(0,1)C ．(0,4)D ．(0，4]2．（5分）已知复数z 的共轭复数为z ，若0)z a a =>，且4z z ⋅=，则(a =)A ．1BC ．2 D3．（5分）在6的二项展开式中，2x 的系数为( ) A ．1516B ．1516-C ．316D ．316-4．（5分）下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是( ) A ．:p a c b d +>+，:q a b >且c d >B ．:1p a >，1b >，:()(0,1)x q f x a b a a =->≠的图象不过第二象限C ．:2p x 且2y ，22:4q x y +D ．:1p a >，:()log (0,1)a q f x x a a =>≠在(0,)+∞上为增函数 5．（5分）已知2|log ||sin |,02()(2),2x x x f x f x x -<⎧=⎨->⎩，则()f x 在(0,2)π上的零点个数是()A ．3B ．4C ．5D ．66．（5分）随着国家对环保的重视，地方政府积极兴建生活垃圾无害化处理厂．如表是近年来广东省的数据表：用线性回归方程模型ˆˆˆy a b t =+拟合垃圾处理厂数量y 与年份代号t 的关系，用公式计算得ˆ7.50b ≈，相关系数0.96r ≈，81620ii y ==∑，据此可估计2022年广东市辖区生活垃圾无害化处理厂数量为( )（结果四舍五入） A ．118B ．126C ．129D ．1347．（5分）已知在ABC ∆中，3AB BC ==，4AC =，设O 是ABC ∆的内心，若AO mAB nAC =+，则:(m n = )A ．5:3B ．4:3C ．2:3D ．3:48．（5分）已知函数()(1)x f x a x e x =+-，若存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，则实数a 的取值范围是( ) A ．1[2e -，33)4eB ．33[4e ，22)3eC ．22[3e ，1)2eD ．1[2e ，1)2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高考数学模拟测试题五doc
高考数学模拟测试题（五）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷（第1题至10题），第Ⅱ卷（第11题至21题）．共150分．考试用时120分钟．第Ⅰ卷（选择题共50分）注意事项：答题前考生务必将学校、姓名、班级、学号写在答卷纸的密封线内。
选择题答案按答卷纸上要求正确填涂，非选择题答案写在答卷纸上对应题目的答案空格里，答案不写在试卷上。
考试结束，将答案纸交回。
参考公式 若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率是 ()(1)k k n kn n P k C p p -=-一组数据12,,,n x x x 的方差2222121[()()()]n S x x x x x x n=-+-++-其中x 为这组数据的平均值一、选择题：本大题共10小题；每小题5分．共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1． 设全集I R =，集合{}123456P =，，，，，，{}|25Q x x x R =<≤∈，，则IPQ 为A ．{}345，，B ．{}234，，C ．{}156，，D ．{}126，，2． 等差数列{}n a 中，50a >，470a a +<，则{}n a 的前n 项和n S 中最大的为A ．4SB ．5SC ．6SD ．7S3． 设nb a )(-的展开式中，二项式系数的和为256，则此二项展开式中系数最小的项是 A ．第5项 B ．第4、5两项 C ．第5、6两项 D ．第4、6两项 4． 已知正三棱锥S ABC -各条棱长都相等，M 为SC 中点， 则异面直线SA 及BM 所成角的余弦值为ABC ．6 D ．125． 点(3)P a ，在直线230x y -+=的上方的一个必要不充分条件为A ．3a <B ．3a >C ．9a <D ．9a >ABSMC6． 已知函数的图象及直线1y =-的交点中距离最近的两点间的距离为6π，则函数()f x 的最小正周期等于 A ．4π B ．3π C ．2πD ．π7． 蜘蛛Jam 给他的8只脚穿上袜子和鞋子，每只脚要先穿袜子才能穿鞋，那么不同的穿法总数为A ．28!⋅B ．828!⋅ C ．2(8!) D ．816!28． 将两邻边长之比为3:4的长方形ABCD 沿对角线AC 折成一个直二面角，若AC 中点为O ，则BO 及平面ACD 所成角的正弦值为A ．2425B ．725C ．45D ．359． 如图，椭圆中心在坐标原点，离心率为12，A 、B 、C 为顶点，F 为椭圆的左焦点，直线AB 及FC 交于点D ，则BDC ∠的正切值是 A．- B．3 C． D．3+10．已知定义域为R 的函数()f x 满足()(4)f x f x -=-+，当2x >时，()f x 单调递增．如果421<+x x 且0)2)(2(21<--x x ，则)()(21x f x f +的值 A ．恒小于0 B ．恒大于0 C ．可能为0 D ．可正可负第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共6小题；每小题5分，共30分．11．一组数据中的每一个数据都减去50，得到一组新数据．已知这组新数据的方差为5.1，则原来数据的方差为 ▲ ．12．若D 点在ABC ∆的BC 边上，且3CD DB r AB sAC ==+，则r s +的值为 ▲ ． 13．已知正实数a 、b 满足2ab =，则使得取得最小值的实数对()a b ，为 ▲ ． 14．已知直线1l 为曲线22y x x =+-在点（1，0）处的切线，2l 为该曲线的另一条切线，且21l l ⊥，则直线2l 的方程为 ▲．15．一个袋子里有5个不同的球，3个红色2个白色，不放回的从袋子里取球，每次只取一个，当某种同色球全部被取出时就停止取球，则最后一次取出的球为白球的概率为▲ ．16．关于曲线C ：241x y +=的下列说法：①关于点(00)，对称；②关于直线y x =对称；③是封闭图形，面积小于π；④是封闭图形，面积大于π；⑤不是封闭图形，无面积可言．其中正确的序号是 ▲ ．（写出所有你认为正确的结论的序号）三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知向量a (22)=，，向量b 及向量a 的夹角为43π，且a ·b 2=-． （Ⅰ）求向量b ；（Ⅱ）若t (10)=，，且b ⊥t ，c (cos sin )A A =，，其中A 是锐角△ABC 的最大角，求|b +c |的取值范围． 18．（本小题满分14分）如图，P ABCD -是正四棱锥,1111ABCD A B C D -是正方体，其中2,AB PA ==（Ⅰ）求证：11PA B D ⊥；（Ⅱ）求平面PAD 及平面11BDD B 所成的锐二面角θ的大小； （Ⅲ）求1B 到平面PAD 的距离． 19．（本小题满分14分）政府决定用“对社会的有效贡献率”对企业进行评价．用n a 表示某企业第n 年投入的治理污染的环保费用，用n b 表示该企业第n 年的产值．设1a a =(万元)，且以后治理污染的环保费用每年都比上一年增加2a (万元)；又设1b b =(万元)，且企业的产值每年比上一年的平均增长率为10%，用表示企业第n 年“对社会的有效贡献率”． （I ）求该企业第一年和第二年的“对社会的有效贡献率”；（II ）试问：从第几年起该企业“对社会的有效贡献率”不低于20%？（参考数据：51.1 1.61=，61.1 1.77=，71.1 1.95=）20．（本小题满分14分）如图，1A 、2A 为圆222x y +=及x 轴的两个交点，12P P 为垂直于x 轴的弦，且11A P 及22A P 的交点为M ．PA1A1BBD1D C1C（I ）求证：直线11A P 及直线22A P 的斜率的乘积为定值； （II ）求动点M 的轨迹方程；（Ⅲ）记动点M 的轨迹为曲线E ，过点(04)A ，的直线l 及曲线E 交于y 轴右边不同两点B 、C ，若在y 轴上存在点P ，使得BPC ∠为钝角，求直线l 的斜率k 的取值范围．21．（本小题满分16分）定义在]1,0[上的函数)(x f ，满足()f x ≥0，且，对定义域中任意两实数1x 、2x ，当12x x +≤1时，恒有12()f x x +≥12()()f x f x +．（Ⅰ）求证：(i ) 对定义域中任意两实数1x 、2x ，当12x x <时,总有1()f x ≤2()f x ； (ii ) 对定义域中的一切实数x ，总有()f x ≤x ；（Ⅱ）对定义域中的一切实数x ，()f x ≤0.9x 是否都成立？写出结论并说明理由．一、选择题：每小题5分，满分50分．1．D 2．B 3．D 4．C 5．B 6．C 7．D 8．A 9．C 10．A 二、填空题：每小题5分，满分30分．11．5.1 12．0 13．（2，1） 14．39220x y ++= 15．3516．①④ 三、解答题：17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）a ·b =|a ||b |，又|a |=|b |=1， 设b ()x y =，，则 解得或，∴b (10)=-，或b (01)=-，；……………………………………………………… 4分 （Ⅱ）∵b ⊥t ，∴b (01)=-，，…………………………………………………… 6分 ∴b +c (cos sin 1)A A =-，， ∴|b +c |222cos (sin 1)22sin A A A =+-=-，…………………………… 8分又∵π3≤A<π2，∴32≤sinA<1， ………………………………………… 9分∴0<|b +c |2≤2-3，∴|b +c |取值范围是（0，6-22]． ………… 12分 18．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）连结AC ，交BD 于点O ，连结PO ，则PO ⊥面ABCD ，又∵AC BD ⊥，∴PA BD ⊥，∵11//BD B D ，∴11PA B D ⊥.………………………………4分（Ⅱ）∵AO BD ⊥， AO PO ⊥， ∴AO ⊥面PBD ,过点O 作OM PD ⊥于点M ,连结AM ,则AM PD ⊥,∴AMO ∠就是二面角A PD O --的平面角,又∵2AB =，PA =∴AO =,1PO =，3PO OA OM PA ⋅===, ∴tan AO AMO OM ∠=== , 即二面角的大小为3π.………………………………………………………8分 （Ⅲ）∵AO ⊥面1B PD ,∴AO 即为A 到面1B PD 的距离， 设1B 到平面PAD 的距离为h ，∵11A B PD B APD V V --=， ∴1PDB PADAO Sh S⋅=⋅，又122PADS=⨯=11323PDB S =⨯= ∴1PDB PADAO S h S⋅===14分 19．（本小题满分14分） 解：(Ⅰ)因为1a a =，1b b =，根据题意：2123a a a a =+=，21(110%) 1.1b b b =+= 所以………………………………………………………… 2分2223 1.1 3.3%100100a b a bP ab ab⨯===……………………………………………… 4分该企业第一年和第二年的“对社会的有效贡献率”分别为1%和3.3%．… 5分 CA 1C 111DB（Ⅱ）因为12(1)(21)n a a a n n a =+-=- *()n N ∈……………………………6分111(110%) 1.1n n n b b b --=⨯+= *()n N ∈ ……………………………… 7分所以11(21) 1.1(21) 1.1%100n n n n a bP n ab---⨯==-⨯………………………… 8分 下证：1()(21) 1.1%n n P f n n -==-⨯为增函数．…………………………11分证法1：12121.1(1) 1.112121n n P n P n n ++==⨯=+⨯>-- 又0n P > ∴1n n P P +>，即1()(21) 1.1%n n P f n n -==-⨯为增函数．证法2：11(0.2 2.1) 1.1%0n n n P P n -+-==+⨯> ∴1n n P P +>即1()(21) 1.1%n n P f n n -==-⨯为增函数． 再验证：6713 1.1%23.01%20%P =⨯≈>，5611 1.1%17.71%20%P =⨯≈<………………………………………… 13分所以从第7年起该企业“对社会的有效贡献率”不低于20%．……… 14分20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设100200(,),(,)P x y P xy -，由题意12(A A .则112220202A P A P y k k x -⋅==-，又点1P 在圆上，所以22002x y +=. 所以11221A P A P k k ⋅= ………………………………………………3分 （Ⅱ）直线11A P ：，直线22A P ：. 两式相乘，化简得：222(x y x -=≠………………………………7分（没有范围扣1分）（Ⅲ）设1122(0,),(,),(,)P t B x y C x y 。
2021年高三下学期综合模拟练习数学试题(5)
2021年高三下学期综合模拟练习数学试题（5）一、填空题 (本大题满分48分) 本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1、已知集合A=,B=,则AB= 。
2、若sin= -,则cos 2= 。
3、方程的解是。
4、已知函数f(x)的图象与函数的图象关于直线y=x对称，则f(9)= 。
5、复数的共轭复数＝。
6、在数列中a= -13,且3a=3a -2,则当前n项和s取最小值时n的值是。
7．集合，在A中任取一元素m和在B中任取一元素 n,则所取两数m>n的概率是_ 。
8、在△ABC中三边之比a:b:c=2:3:,则△ABC中最大角= 。
9、（理）在的展开式中，的系数是和的系数的等差中项，若实数，那么。
（文）某工程由下列工序组成，则工程总时数为天。
10、试在无穷等比数列，…中找出一个无穷等比的子数列（由原数列中部分项按原来次序排列的数列），使它所有项的和为，则此子数列的通项公式为。
11、在R上定义运算△：x△y=x(1 -y) 若不等式(x-a)△(x+a)<1,对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是。
12、已知数列，，把数列的各项排成三角形状，如图所示．记表示第m行，第n列的项，则= 。
二、选择题 (本大题满分16分) 本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号，选对得4分，不选、错选或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内)，一律得零分。
13、若复数所对应的点在第四象限，则所在的象限是（）(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限14、函数y=cos 2x的图象的一个对称中心是（）(A)() (B) () (C) (-) (D) (0,0)15、函数y=（）(A)在(-,+)上单调递增。
(B)在上是减函数，在上是增函数。
(C)在上是增函数，在上是减函数。
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D
A
D1
C B
C1
（Ⅰ）求证： PA B1D1 ； （Ⅱ）求平面 PAD 与平面 BDD1B1 所成的锐二面角 的大小； （Ⅲ）求 B1 到平面 PAD 的距离．
19．（本小题满分 14 分）
政府决定用“对社会的有效贡献率”对企业进行评价．用
an 表示某企业第 n 年投入的治
理污染的环保费用，用 bn 表示该企业第 n 年的产值．设 a1 a (万元 )，且以后治理污染的环保
[( x1 x) (x2
2
x)
n
2
(xn x) ]
其中 x 为这组数据的平均值
一、选择题 ：本大题共 10 小题 ；每小题 5 分 ．共 50 分．在每小题给出的四个选项中 ，有且只 有一项是符合题目要求的 ．
1． 设全集 I R ，集合 P 1，2，3，4，5，6 ， Q x | 2 x 5， x R ，则 P eI Q 为
费用每年都比上一年增加 2a (万元 )；又设 b1 b (万元 )，且企业的产值每年比上一年的平均增
长率为 10% ，用 Pn anbn 表示企业第 n 年“对社会的有效贡献率” ． 100ab
（ I）求该企业第一年和第二年的“对社会的有效贡献率” ；
（ II）试问：从第几年起该企业“对社会的有效贡献率”不低于
A． a 3
B． a 3
C． a 9
D． a 9
6． 已知函数 f (x) 2sin( x ) 的图象与直线 y 5
离为 ，则函数 f ( x) 的最小正周期等于 6
1的交点中距离最近的两点间的距
A．
4
B．
3
C．
D．
2
7． 蜘蛛 Jam 给他的 8 只脚穿上袜子和鞋子，每只脚要先穿袜子才能穿鞋，那么不同的穿法 总数为
2009 届高考数学综合模拟测试题 (五)
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷（第 Ⅱ卷（第 11 题至 21 题）．共 150 分．考试用时 120 分钟．
1 题至 10 题），第
第Ⅰ卷（选择题共 50 分）
注意事项：
答题前考生务必将学校、姓名、班级、学号写在答卷纸的密封线内。选择题答案按答卷纸
上要求正确填涂， 非选择题答案写在答卷纸上对应题目的答案空格里，
答案不写在试卷上。 考
试结束，将答案纸交回。
参考公式
若事件 A 在一次试验中发生的概率是
p ，则它在 n 次独立重复试验中恰好发生
k 次的概率是
Pn( k) Cnk pk (1 p)n k
一组数据 x1, x2,
, xn 的方差
2
S
1
2
A． 2 8!
B． 28 8!
C． (8!)2
16! D． 28
8． 将两邻边长之比为 3: 4 的长方形 ABCD 沿对角线 AC 折成一个直二面角，若 AC 中点为 O ，则 BO 与平面 ACD 所成角的正弦值为
24
A．
25
B． 7 25
C． 4 5
D． 3 5
9． 如图，椭圆中心在坐标原点，离心率为
原来数据的方差为
▲．
5.1，则
12．若 D 点在 ABC 的 BC 边上，且 CD 3DB r AB sAC ，则 r s 的值为 ▲ ．
13．已知正实数 a 、 b 满足 ab
2 2 ，则使得
1
取得最小值的实数对
(a， b) 为
▲
．
ab
14．已知直线 l1 为曲线 y x2 x 2在点（ 1， 0）处的切线， l 2 为该曲线的另一条切线，且
2．
4
（Ⅰ）求向量 b；
（Ⅱ）若 t (1，0) ，且 b⊥ t ， c (cos A，sin A) ，其中 A 是锐角△ ABC的最大角，求 | b+c|
的取值范围．
18．（本小题满分 14 分）
P 如图， P ABCD 是正四棱锥 , ABCD A1B1C1D1 是正方体，
其中 AB 2, PA 3 ．
是封闭图形， 面积小于 ；④是封闭图形， 面积大于 ；⑤不是封闭图形， 无面积可言． 其
中正确的序号是
▲
．（写出所有你认为正确的结论的序号）
三、 解答题 ： 本大题共 5 小题 ，共 70 分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ．
17．（本小题满分 12 分）
已知向量 a (2，2) ，向量 b 与向量 a 的夹角为 3 ，且 a ·b
20% ？
（参考数据： 1.15 1.61 ， 1.16 1.77 ， 1.17 1.95 ）
20．（本小题满分 14 分）
如图， A1、A2 为圆 x2 y2 2 与 x 轴的两个交点， P1P2 为垂直于 x 轴的弦，且 A1P1 与 A2P2
1 ， A 、 B 、 C 为顶点， F 为椭圆的左焦点，直
2
y
线 AB 与 FC 交于点 D ，则 BDC 的正切值是
A
A． 3 3
B． 3 3
D
C． 3 3
D． 3 3
B
FO
x
10．已知定义域为 R 的函数 f (x) 满足 f ( x)
C f ( x 4) ，当 x 2 时， f (x) 单调递
A． 3，4，5
B． 2，3，4
C． 1，5，6
D． 1，2，6
2 等差数列 an 大的为
A． S4
B． S5
C． S6
D． S7
3． 设 ( a b) n 的展开式中，二项式系数的和为 256，则此二项展开式中系数最小的项是
A．第 5 项
B．第 4、 5 两项 C．第 5、 6 两项
4． 已知正三棱锥 S ABC 各条棱长都相等， M 为 SC 中点，
则异面直线 SA与 BM 所成角的余弦值为
3
6
A．
B．
3
3
A
D．第 4、 6 两项
S
M C
B
3
C．
6
1
D．
2
5． 点 P (3， a) 在直线 2 x y 3 0 的上方的一个必要不充分条件为
l 2 l1 ，则直线 l2 的方程为
▲
．
15．一个袋子里有 5 个不同的球， 3 个红色 2 个白色， 不放回的从袋子里取球， 每次只取一个， 当某种同色球全部被取出时就停止取球，则最后一次取出的球为白球的概率为 ▲．
16．关于曲线 C ： x2 y4 1的下列说法：①关于点 (0，0) 对称；②关于直线 y x 对称；③
增．如果 x1 x2 4 且 (x1 2)( x2 2) 0 ，则 f (x1) f ( x2 ) 的值
A．恒小于 0
B．恒大于 0
C．可能为 0
D．可正可负
第Ⅱ卷（非选择题共 100 分）
二、填空题 ： 本大题共 6 小题 ；每小题 5 分 ， 共 30 分 ．
11．一组数据中的每一个数据都减去 50，得到一组新数据．已知这组新数据的方差为