2019年北京市高考理科数学试卷及答案

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2019年北京卷数学(理)高考真题(选择题和填空题)详解版

绝密★本科目考试启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知复数z=2+i，则z z⋅=（A（B（C）3 （D）5考点：复数的基本概念及其四则运算概念：①；②两个实部相等,虚部互为相反数的复数互为共轭复数解析：因为所以所以z ⋅⎺z = (2+i) (2-i)=22-i2=4-(-1)=5，答案：D（2）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）1 （B）2 （C）3 （D）4考点：考查程序框图的应用，考查学生逻辑推理能力、运算求解能力解析：解决此类问题最常用的方法就是代入求值法。

当k=1，s=1时，，不满足k≥3，进入循环；当k =2，s =2时，，不满足k ≥3，进入循环；当k =3，s =2时，，满足k ≥3，退出循环；输出s =2；答案：B（3）已知直线l 的参数方程为13,24x t y t =+=+⎧⎨⎩（t 为参数），则点（1，0）到直线l 的距离是（A ）15（B ）25（C ）45（D ）65考点：考查点到线的距离【直线与方程】和参数方程与一般方程的转化概念：平面中点(m,n )到直线ax+by+c =0的距离为d解析：首先，将直线l 由参数方程转变为一般方程。

由x=1+3t 可得,将t 代入至y=2+4t 中可得转化成一般方程为4x-3y+2 =0其次，根据点到直线的距离公式，代入公式算出数值即可答案：D（4）已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则（A ）a 2=2b 2（B ）3a 2=4b2（C ）a =2b （D ）3a =4b考点：椭圆的性质概念：①椭圆（a ＞b ＞0）的离心率解析：根据椭圆方程的公式可知：推出推出3a 2=4b 2 答案：B（5）若x ，y 满足|1|x y ≤-，且y ≥−1，则3x+y 的最大值为（A ）−7（B ）1（C ）5（D ）7考点：不等式的计算及应用解析：解题思路：作图法。

2019年高考真题北京卷理科数学试卷(详解版)(加密版)

2019 年高考真题北京卷理科数学试卷一、选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分）1.已知复数z = 2 + i，则z⋅ z =（）．A.√3B.√5C.3D.5【答案】D【解析】复数z = 2 + i，∴z= 2 − i，∴z⋅ z = (2 + i)(2 − i)= 4 − i2 = 5．故选D ．2.执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）．A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】模拟程序的运行，可得k = 1，s = 1；s = 2，不满足条件k⩾ 3，执行循环体，k = 2，s = 2，不满足条件k⩾ 3，执行循环体，k = 3，s = 2，此时，满足条件k⩾ 3，退出循环，输出s的值为2．故选：B．3.己知直线l 的参数方程为{x = 1 + 3t（t 为参数），则点(1,0)到直线l 的距离是（）．y = 2 + 4tA.1 B.2 C.4 D.6 5 5 5 5【答案】 D【解析】 l 的参数方程{x = 1 + 3t ，y = 2 + 4t∴l 的一般方程：4x − 3y + 2 = 0，∴点(1,0)到l 的距离，d =|4+2| √42+32故选D ．= 6． 54.已知椭圆x 2+ y 2= 1（a > b > 0）的离心率为1，则（）．a 2b 22A.a 2 = 2b 2B.3a 2 = 4b 2C.a = 2bD.3a = 4b【答案】 B【解析】由题意，c = 1，得c 2 = 1，则a 2−b 2 = 1，a2a 24a 24∴ 4a 2 − 4b 2 = a 2，即3a 2 = 4b 2．故选：B ．5.若x ，y 满足|x | ⩽ 1 − y ，且y ⩾ −1，则3x + y 的最大值为（）．A.−7B.1C.5D.7【答案】 C【解析】由{|x | ⩽ 1 − yy ⩾ −1作出可行域如图，联立{y = −1x + y − 1 = 0，解得A (2, −1)，令z = 3x + y ，化为y = −3x + z ，由图可知，当直线y = −3x + z 过点A 时，z 有最大值为3 × 2 − 1 = 5．故选：C．6.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2 −m1 =5 lg E1，其中星等为m的星的亮度为E (k = 1,2)．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是2 E2k k−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）．A.1010.1B.10.1C.lg 10.1D.10−10.1【答案】A【解析】设太阳的亮度为E1，天狼星的亮度为E2，由题得，−1.45 − (−26.7) =5 lg2E1，E2∴lg E1E2= 25.25 × 25= 10.1，∴E1 = 1010.1 ．E2故选A．→→→→→7.设点A，B，C不共线，则“AB与AC的夹角为锐角”是“|AB + AC| > |BC|”的（）．A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】A，B，C不共线，→→→BC = AC− AB，→→→若|AB + AC| > |BC|，→→→→即|AB + AC| > |AC− AB|，→→→→∴(AB + AC)2 > (AC− AB)2，→→→→→→→→即AB2 + AC2 + 2AB⋅ AC > AB2 + AC2− 2AB⋅ AC，→→4AB⋅ AC > 0，→→|AB| ⋅ |AC| ⋅ cos A > 0，∴cos A > 0，→→即AB与AC为锐角或同向共线，∴A，B，C不共线，→→∴AB与AC夹角为锐角，→→→→→∴“AB与AC的夹角是锐角”是“|AB + AC| > |BC|”的充要条件．故选C．8.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C: x2 + y2 = 1 + |x|y就是其中之一（如图），给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过√2；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是（）．A.①B.②C.①②D.①②③【答案】C【解析】将x换成−x方程不变，所以图形关于y轴对称，当x = 0时，代入得y2 = 1，∴ y = ±1，即曲线经过(0,1)，(0, −1)；当x > 0时，方程变为y2− xy + x2− 1 = 0，所以Δ = x2− 4(x2− 1) ⩾ 0，解得x∈ (0，2√3]，3所以x只能取整数1，当x = 1时，y2− y = 0，解得y = 0或y = 1，即曲线经过(1,0)，(1,1)，根据对称性可得曲线还经过(−1,0)，(−1,1)，故曲线一共经过6个整点，故①正确．当x > 0时，由x2 + y2 = 1 + xy得x2 + y2− 1 = xy⩽x 2+y2，（当x = y时取等），2∴ x2 + y2⩽ 2，∴ √x2 + y2 ⩽√2，即曲线C上y轴右边的点到原点的距离不超过√2，根据对称性可得：曲线C上任意一点到原点的距离都不超过√2；故②正确．在x 轴上图形面积大于矩形面积= 1 × 2 = 2，x 轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积= 12× 2 × 1 = 1，因此曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于2 + 1 = 3，故③错误．故选C ．二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）9.函数f (x ) = sin 22x 的最小正周期是．【答案】π 2【解析】 f (x ) = sin 22x=1−cos 4x2 = − 12cos 4x + 1，2∴最小正周期T = 2π = π．42故答案为：π．210.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2 = −3，S 5 = −10，则a 5 = ，S n 的最小值为．【答案】 0 −10【解析】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2 = −3，S 5 = −10，a 1 + d = −3∴ {5a+ 5×4 d = −10 ，2解得a 1 = −4，d = 1，∴ a 5 = a 1 + 4d = −4 + 4 × 1 = 0，S = n a+n (n−1) d = −4n +n (n−1)19 281，n12= (n − ) −22 2 8∴ n = 4或n = 5时，S n 取最小值为S 4 = S 5 = −10．故答案为：0，−10．11. 某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为．1。

2019年高考理科数学北京卷(附参考答案和详解)

4!数学中有许多形状优美/寓意美好的曲线# 曲线 .,#$0&$'!0"#"& 就是其中之一$如图 %!给出下列三个结论 ,
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三解答题解答应写出文字说明证明过程或演算步骤
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第二部分
二填空题本大题共&小题每小题 " 分共 +# 分!把答案
填在题中横线上
8!函数 *$#%'9/:$$# 的最小正周期是!!!!! !#!设等差数列!'-"的前- 项和为,-#若'$ ' (+#," ' (!##

2019年高考理科数学北京卷含答案

AC
|2
＞|BC
|2
，
2 AB

2 AC
+2AB

AC＞|BC
|2
，
∵点 A ， B ， C 不共线，∴线段 AB ， BC ， AC 构成一个三角形 ABC ，设内
角可知A，，ABB2，
CAC对2 +应2的AB边分AC别＞为|BaC，|2
9.函数 f x sin2 2x 的最小正周期是
.
10.设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 a2 3 ， S5 10 ，则 a5
最小值为
.
， Sn 的
11.某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小
正方形的边长为 1，那么该几何体的体积为
递增子列末项的最小值为 2s 1 ，且长度为 s 末项为 2s 1 的递增子列恰有 2s1
个（ s 1,2,），求数列an 的通项公式.
2019 年普通高等学校招生全国统一考试·北京卷
数学（理）答案解析
第一部分
一、选择题
1．【答案】D
【解析】∵ z 2 i ，∴ z 2 i, z z 2 i2 i 5 ．故选 D．
的最大值为
.
三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15.(本小题 13 分)
在 △ABC 中， a3， b c 2 ， cos B 1 .
2
（Ⅰ）求 b ， c 的值；
（Ⅱ）求 sin B C 的值.
数学试卷第 3页（共 16页）
【考点】共轭复数，复数的运算
2．【答案】B

2019年北京市高考数学试卷(理科)以及答案解析

绝密★本科目考试启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．（5分）已知复数z＝2+i，则z•＝（）A．B．C．3D．52．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．1B．2C．3D．43．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），则点（1，0）到直线l的距离是（）A．B．C．D．4．（5分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为，则（）A．a2＝2b2B．3a2＝4b2C．a＝2b D．3a＝4b5．（5分）若x，y满足|x|≤1﹣y，且y≥﹣1，则3x+y的最大值为（）A．﹣7B．1C．5D．76．（5分）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2﹣m1＝lg，其中星等为m k的星的亮度为E k（k＝1，2）．已知太阳的星等是﹣26.7，天狼星的星等是﹣1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．10﹣10.17．（5分）设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“|+|＞||”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2+y2＝1+|x|y就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是（）A．①B．②C．①②D．①②③二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2019北京高考试题解析版-数学(理)(纯word)

2019北京高考试题解析版-数学（理）（纯word ）注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！数学〔理〕〔北京卷〕本试卷共5页，150分、考试时长120分钟、考试生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回、第一部分〔选择题共40分〕【一】选择题共8小题，每题5分，共40分、在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项、1、集合{}|320A x x =∈+>R ，()(){}|130B x x x =∈+->R ，那么A B =〔〕A 、()1-∞-，B 、213⎧⎫--⎨⎬⎩⎭， C 、233⎛⎫- ⎪⎝⎭，D 、()3+∞，【解析】和往年一样，依然的集合(交集)运算，本次考查的是一次和二次不等式的解法。

因为32}023|{->⇒>+∈=x x R x A ，利用二次不等式可得1|{-<=x x B 或}3>x 画出数轴易得：}3|{>=x x B A 、应选D 、【答案】D2、设不等式组0202x y ⎧⎨⎩≤≤，≤≤表示的平面区域为D 、在区域D 内随机取一个点，那么此点到坐标原点的距离大于2的概率是〔〕A 、π4B 、π22-C 、π6D 、4π4-【解析】题目中⎩⎨⎧≤≤≤≤2020y x 表示的区域如图正方形所示，而动点D 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此4422241222ππ-=⨯⋅-⨯=P ，应选D 。

【答案】D3、设a b ∈R ，、“0a =”是“复数i a b +是纯虚数”的〔〕A 、充分而不必要条件B 、必要而不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件【解析】当a ＝0时，如果b 也等于0，那么i a b +是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果i a b +为纯虚数，那么一定有a ＝0，所以是必要条件，选B 。

2019年高考理数真题试卷(北京卷)

2019年高考理数真题试卷（北京卷）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.（2019•北京）已知复数z=2+i，则=（）A. B. C. 3 D. 52.（2019•北京）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A. 1B. 2C. 3D. 43.（2019•北京）已知直线l的参数方程为（t为参数），则点（1，0）到直线l的距离是（）A. B. C. D.4.（2019•北京）已知椭圆（a>b>0）的离心率为，则（）A. a2=2b2B. 3a2=4b2C. a=2bD. 3a=4b5.（2019•北京）若x，y满足|x|≤1-y，且y≥-1.则3x+y的最大值为（）A. -7B. 1C. 5D. 76.（2019•北京）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。

两颗星的星等与亮度满足m1-m2=，其中星等为m k的星的亮度为E k（k=1，2）.己知太阳的星等是-26.7，天狼星的星等是-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A. 1010.1B. 10.1C. lg10.1D. 10-10.17.（2019•北京）设点A，B，C不共线，则“ 与的夹角为锐角”是“| + |>| |”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.（2019•北京）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2+y2=1+|x|y就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任一点到原点的距离都不超过；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是（）A. ①B. ②C. ①②D. ①②③二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9.（2019•北京）函数f（x）=sin22x的最小正周期是________.10.（2019•北京）设等差数列{a n}的前n项和为S n.若a2=-3，S5=-10，则a5=________，S n的最小值为________.11.（2019•北京）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得.其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1.那么该几何体的体积为________.12.（2019•北京）已知l，m是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断：①l⊥m：②m∥α：③l⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________。

2019北京卷理科数学解析版

2019北京卷理科数学一、单选题1．已知复数z =2+i ，则z z ⋅=A B C ．3D ．5【答案】D 【解析】∵z 2i,z z (2i)(2i)5=+⋅=+-= 故选D. 2．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】运行第一次， =1k ，2212312s ⨯==⨯- ，运行第二次，2k = ，2222322s ⨯==⨯- ，运行第三次，3k = ，2222322s ⨯==⨯- ，结束循环，输出=2s ，故选B . 3．已知直线l 的参数方程为13,24x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），则点（1,0）到直线l 的距离是A ．15B ．25C ．45D ．65【答案】D 【解析】直线l 的普通方程为()()41320x y ---=,即4320x y -+=,点()1,0到直线l 的距离65d ==,故选D. 4．已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b 2C ．a =2bD ．3a =4b【答案】B 【解析】椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-,化简得2234a b =, 故选B. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查. 5．若x ，y 满足|1|x y ≤-，且y ≥−1，则3x+y 的最大值为 A ．−7 B ．1C ．5D ．7【答案】C 【解析】由题意1,11yy x y -≤⎧⎨-≤≤-⎩作出可行域如图阴影部分所示.设3,3z x y y z x =+=-,当直线0:3l y z x =-经过点()2,1-时,z 取最大值5.故选C.6．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为m 1的星的亮度为E 2（k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A ．1010.1 B ．10.1C ．lg10.1D ．10–10.1【答案】D 【解析】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -= , 令2 1.45m =- ，126.7m =- ，()1212221g( 1.4526.7)10.155E m m E =-=-+=， 10.110.112211010E EE E -=⋅= ，故选D.7．设点A ，B ，C 不共线，则“AB u u u v 与AC u u u v的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>u u u r u u u r u u u r”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】∵A ､B ､C 三点不共线,∵|AB u u u v +AC u u uv |>|BC u u u r|⇔|AB u u u v +AC u u u v |>|AB u u u v -AC u u uv |⇔|AB u u u v +AC u u u v |2>|AB u u u v -AC u u uv |2AB u u u r ⇔•AC u u u v >0AB u u u r ⇔与AC u u u v的夹角为锐角.故“AB u u u v与AC u u u v 的夹角为锐角”是“|AB u u u v +AC u u uv |>|BC u u u r|”的充分必要条件,故选C.8．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；①曲线C ； ①曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是 A ．① B ．①C ．①①D ．①①①【答案】C 【解析】由221x y x y +=+得,221y x y x -=-,2222||3341,10,2443x x x y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭厔, 所以x 可为的整数有0,-1,1,从而曲线22:1C x y x y +=+恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论∵正确.由221x y x y +=+得,222212x y x y +++…,解得222x y +≤,所以曲线C 上任意一点. 结论∵正确.如图所示,易知()()()()0,1,1,0,1,1,,0,1A B C D -,四边形ABCD 的面积13111122ABCD S =⨯⨯+⨯=,很明显“心形”区域的面积大于2ABCD S ,即“心形”区域的面积大于3,说法∵错误.故选C. 二、填空题9．函数f (x )=sin 22x 的最小正周期是__________．【答案】2π. 【解析】函数()2sin 2f x x ==142cos x -,周期为2π 【点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式､三角函数的最小正周期公式，属于基础题. 10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=−3，S 5=−10，则a 5=__________，S n 的最小值为__________．【答案】0. -10. 【解析】等差数列{}n a 中,53510S a ==-,得322,3a a =-=-,公差321d a a =-=,5320a a d =+=,由等差数列{}n a 的性质得5n ≤时,0n a ≤,6n ≥时,n a 大于0,所以n S 的最小值为4S 或5S ,即为10-.11．某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．【答案】40.【解析】在正方体中还原该几何体，如图所示几何体的体积V=43-12（2+4）×2×4=4012．已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l①m；①m①α；①l①α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．【答案】如果l∵α，m∵α，则l∵m.【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：（1）如果l∵α，m∵α，则l∵m. 正确；（2）如果l∵α，l∵m，则m∵α.不正确，有可能m在平面α内；（3）如果l∵m，m∵α，则l∵α.不正确，有可能l与α斜交、l∵α.13．设函数f（x）=e x+a e−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________．【答案】-1; (],0-∞. 【解析】若函数()xxf x e ae -=+为奇函数,则()()(),xx x x f x f x eae e ae ---=-+=-+，()()1 0x x a e e -++=对任意的x 恒成立.若函数()xxf x e ae -=+是R 上的增函数,则()' 0xxf x e ae-=-≥恒成立,2,0x a e a ≤≤.即实数a 的取值范围是(],0-∞14．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；①在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】130. 15. 【解析】（1）x =10，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付（60+80）-10=130元.（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元，120y ＜元时，李明得到的金额为y ×80%，符合要求.120y ≥元时，有（y -x ）×80%≥y ×70%成立，即8（y -x ）≥7y ，x ≤8y ，即x ≤（8y）min =15元. 所以x 的最大值为15.三、解答题15．在①ABC 中，a =3，b −c =2，cos B =12-．（①）求b ，c 的值；（①）求sin （B –C ）的值．【答案】(∵) 375a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩；(∵)【解析】(∵)由题意可得：2221cos 2223a c b B ac b c a ⎧+-==-⎪⎪⎪-=⎨⎪=⎪⎪⎩，解得：375a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩.(∵)由同角三角函数基本关系可得：sin 2B ==，结合正弦定理sin sin b c B C =可得：sin sin 14c B C b == 很明显角C为锐角，故11cos 14C ==，故()sin sin cos cos sin B C B C B C -=-=16．如图，在四棱锥P –ABCD 中，PA ①平面ABCD ，AD ①CD ，AD ①BC ，PA =AD =CD =2，BC =3．E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且13PF PC =．（①）求证：CD ①平面PAD ；（①）求二面角F–AE–P 的余弦值；（①）设点G 在PB 上，且23PG PB =．判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由．【解析】(∵)由于P A ∵平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，则P A ∵CD ，由题意可知AD ∵CD ，且P A ∩AD =A ，由线面垂直的判定定理可得CD ∵平面P AD .(∵)以点A 为坐标原点，平面ABCD 内与AD 垂直的直线为x 轴，AD ,AP 方向为y 轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，易知：()()()()0,0,0,0,0,2,2,2,0,0,2,0A P C D ，由13PF PC =u u u r u u u r 可得点F 的坐标为224,,333F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由12PE PD =u u u r u u u r可得()0,1,1E ，设平面AEF 的法向量为：(),,m x y z =u r，则()()()224224,,,,0333333,,0,1,10m AF x y z x y z m AE x y z y z u u u v v u u u v v ⎧⎛⎫⋅=⋅=++=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪⋅=⋅=+=⎩，据此可得平面AEF 的一个法向量为：()1,1,1m =-u r，很明显平面AEP 的一个法向量为()1,0,0n =r，cos ,m n m n m n⋅<>===⨯u r ru r r u r r ，二面角F -AE -P 的平面角为锐角，故二面角F -AE -P. (∵)易知()()0,0,2,2,1,0P B -，由23PG PB =u u u r u u u r 可得422,,333G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则422,,333AG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，注意到平面AEF 的一个法向量为：()1,1,1m =-u r，其0m AG ⋅=u r u u u r且点A 在平面AEF 内，故直线AG 在平面AEF 内.17．改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：（①）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率；（①）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X 的分布列和数学期望；（①）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．【解析】(∵)由题意可知，两种支付方式都是用的人数为：1003025540---=人，则：该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率4021005p ==. (∵)由题意可知，仅使用A 支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占35，金额大于1000的人数占25，仅使用B 支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占25，金额大于1000的人数占35，且X 可能的取值为0,1,2.()32605525p X ==⨯=，()22321315525p X ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()32625525p X ==⨯=，X 的分布列为：其数学期望：()61360121252525E X =⨯+⨯+⨯=. (∵)我们不认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化.理由如下：随机事件在一次随机实验中是否发生是随机的，是不能预知的，随着试验次数的增多，频率越来越稳定于概率。

2019年北京市高考数学试卷(理科)(解析版)

3 5绝密★启用前2019 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共 5 页，150 分。

考试时长 120 分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知复数 z =2+i ，则 z ⋅z =A. B. C. 3 D. 5【答案】D【解析】【分析】题先求得 z ，然后根据复数的乘法运算法则即得.【详解】∵ z = 2 + i, z ⋅ z = (2 + i)(2 - i) = 5故选 D.【点睛】本容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.2. 执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为42 + 32A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据程序框图中的条件逐次运算即可.2 ⨯12【详解】运行第一次， k=1 s == 2， 3⨯1- 2，运行第二次， k = 2运行第三次， k = 3 2 ⨯ 22 s == 2，3⨯ 2 - 2 ，2 ⨯ 22s == 2，3⨯ 2 - 2，结束循环，输出 s =2，故选 B .【点睛】本题考查程序框图，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查.⎧x = 1+ 3t , ⎨3. 已知直线 l 的参数方程为⎩（t 为参数），则点（1,0）到直线 l 的距离是1 A. 52 B. 54 C. 56 D. 5【答案】D【解析】【分析】首先将参数方程化为直角坐标方程，然后利用点到直线距离公式求解距离即可. 【详解】直线l 的普通方程为4 (x -1)- 3(y - 2)= 0,即4x - 3y + 2 = 0 ,点(1, 0)到直线l 的距离d ==65 ,故选 D. 【点睛】本题考查直线参数方程与普通方程的转化,点到直线的距离,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.y = 2 + 4t【详解】由题意⎩x 2 + y 2 =1a 2 b2 1 24. 已知椭圆（a ＞b ＞0）的离心率为，则A. a 2=2b 2B. 3a 2=4b 2C. a =2bD. 3a =4b【答案】B【解析】【分析】由题意利用离心率的定义和 a , b , c 的关系可得满足题意的等式.e = c = 1, c 2 = a 2 - b 2【详解】椭圆的离心率 a 2,化简得3a 2 = 4b 2,故选 B.【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.5. 若 x ，y 满足| x |≤ 1- y ，且 y ≥−1，则 3x+y 的最大值为A. −7B. 1C. 5D. 7【答案】C【解析】【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定其最值即可.⎧-1 ≤ y⎨y -1 ≤ x ≤ 1- y ,作出可行域如图阴影部分所示.(设 z = 3x + y , y = z - 3x ,当直线 0经过点时, z 取最大值 5.故选 C.【点睛】本题是简单线性规划问题的基本题型,根据“画､移､解”等步骤可得解.题目难度不大题,注重了基础知识､基本技能的考查.m – m = 5 lg E1 2 16. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足E 2 ，其中星等为 m 1 的星的亮度为 E 2（k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A. 1010.1 B. 10.1 C. lg10.1 D. 10–10.1【答案】D【解析】【分析】lgE 1E 1 E 1先求出E 2 ，然后将对数式换为指数式求 E 2 ，再求 E 2 .m - m = 5 lg E1 2 1【详解】两颗星的星等与亮度满足E 2 ,令m 2 = -1.45 ， m 1 = -26.7 ，2 22 11g E 1 = 2 (m - m )= 2(-1.45 + 26.7) = 10.1E 2 5 5 ，E 1 = 1010.1 ⋅ E2 = 10-10.1 E 2 E 1，故选 D.【点睛】考查考生的数学应用意识、信息处理能力、阅读理解能力以及指数对数运算.7. 设点 A ，B ，C 不共线，则“ AB 与 AC 的夹角为锐角”是“| AB + AC |>| BC | ”的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由题意结合向量的减法公式和向量的运算法则考查充分性和必要性是否成立即可.【详解】∵A ､B ､C 三点不共线,∴| AB + AC |>|BC | ⇔ | AB + AC |>| AB - AC |⇔ | AB + AC |2>| AB - AC |2 ⇔ AB • AC >0 ⇔ AB 与 AC的夹角为锐角.故“ AB 与 AC 的夹角为锐角”是“| AB + AC |>|BC |”的充分必要条件,故选 C.【点睛】本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想.8. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 C ：x 2 + y 2 = 1+ | x | y 就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：2 2x ( ) ( ) ( ) () ①曲线 C 恰好经过 6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过；③曲线 C 所围成的“心形”区域的面积小于 3.其中，所有正确结论的序号是A. ①B. ②C. ①②D. ①②③【答案】C【解析】【分析】将所给方程进行等价变形确定 x 的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.x 2 + y 2 = 1+ x yy 2 - x y = 1- x 2 ⎛ y - | x | ⎫2⎪ = 1- 3x 2 ,1- 3x 2 0, x 24【详解】由得, ,⎝ 2 ⎭ 4 4 3 ,C : x 2 + y 2 = 1+ x y所以可为的整数有 0,-1,1,从而曲线恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.2 2x 2 + y 2x 2 + y 2 = 1+ x yx + y1+ 2 x 2 + y 2 ≤ 2C由得,,解得 ,所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过 . 结论②正确.A 0, -1 ,B 1, 0 ,C 1,1, ,D 0,1 如图所示,易知,S= 1 ⨯1⨯1+1⨯1 = 3四边形 ABCD 的面积ABCD2 2 ,很明显“心形”区域的面积大于2S ABCD ,即“心形”区域的面积大于 3,说法③错误.故选 C.【点睛】本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识､基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”.第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。

2019年北京卷理数高考试题文档版(含答案)

绝密★本科目考试启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知复数z=2+i，则z z⋅=（A）3（B）5（C）3 （D）5（2）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）1 （B）2 （C）3 （D）4（3）已知直线l的参数方程为13,24x ty t=+=+⎧⎨⎩（t为参数），则点（1，0）到直线l的距离是（A）15（B）25（C）45（D）65（4）已知椭圆22221x ya b+=（a＞b＞0）的离心率为12，则（A）a2=2b2（B）3a2=4b2 （C）a=2b （D）3a=4b（5）若x ，y 满足|1|x y ≤-，且y ≥−1，则3x+y 的最大值为（A ）−7（B ）1（C ）5（D ）7（6）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2−m 1=52lg 21E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（A ）1010.1（B ）10.1（C ）lg10.1（D ）10−10.1（7）设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 2； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是（A ）①（B ）②（C ）①②（D ）①②③第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2019年北京高考理科数学真题及答案

改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用（0，1000] （1000，2000]（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程； ()y f x =（Ⅱ）当时，求证：；[2,4]x ∈-6()x f x x -≤≤（Ⅲ）设，记在区间上的最大值为M （a ）．当M （a ）最()|()()|()F x f x x a a =-+∈R ()F x [2,4]-小时，求a 的值．（20）（本小题13分）已知数列{a n }，从中选取第i 1项、第i 2项、…、第i m 项（i 1<i 2<…<i m ），若，则称12m i i i a a a <<⋅⋅⋅<新数列为{a n }的长度为m 的递增子列．规定：数列{a n }的任意一项都是{a n }的长度为112m i i i a a a ⋅⋅⋅，，，的递增子列．（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；（Ⅱ）已知数列{a n }的长度为p 的递增子列的末项的最小值为，长度为q 的递增子列的末项的最小0m a 值为．若p <q ，求证：<；0n a 0m a 0n a （Ⅲ）设无穷数列{a n }的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{a n }的长度为s 的递增子列末项的最小值为2s –1，且长度为s 末项为2s –1的递增子列恰有2s -1个（s =1，2，…），求数列{a n }的通项公式．2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）D（2）B（3）D（4）B（5）C（6）A（7）C（8）C二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）（10）0（11）40（12）若，，则.（答案不唯一）π210-l m ⊥l α⊥m α∥（13）（14）130 151-(,0]-∞三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-.22213232b c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭因为，2b c =+所以. 2221(2)3232c c c ⎛⎫+=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭解得. 5c =所以. 7b =（Ⅱ）由得. 1cos 2B =-3sin 2B =由正弦定理得. 53sin sin 14c C B b ==在中，∠B 是钝角， ABC △所以∠C 为锐角.所以. 211cos 1sin 14C C =-=所以. 43sin()sin cos cos sin 7B C B C B C -=-=（16）（共14分）所以.2424422,,,,,3333333PG PB AG AP PG ⎛⎫⎛⎫==--=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由（Ⅱ）知，平面AEF 的法向量.=(1,1,1)--n 所以.4220333AG ⋅=-++= n 所以直线AG 在平面AEF 内. （17）（共13分）解：（Ⅰ）由题意知，样本中仅使用A 的学生有18+9+3=30人，仅使用B 的学生有10+14+1=25人，A ，B 两种支付方式都不使用的学生有5人.故样本中A ，B 两种支付方式都使用的学生有100−30−25−5=40人.所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率估计为. 400.4100=（Ⅱ）X 的所有可能值为0，1，2.记事件C 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，事件D 为“从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”. 由题设知，事件C ，D 相互独立，且. 93141()0.4,()0.63025P C P D ++====所以，(2)()()()0.24P X P CD P C P D ==== (1)()P X P CD CD ==()()()()P C P D P C P D =+=0.4×（1−0.6）+（1−0.4）×0.6 =0.52，.(0)()()()0.24P X P CD P C P D ====所以X 的分布列为X 0 1 2P0.24 0.52 0.24故X 的数学期望E （X ）=0×0.24+1×0.52+2×0.24=1.（Ⅲ）记事件E 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”. 假设样本仅使用A 的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由上个月的样本数据得. 33011()C 4060P E ==答案示例1：可以认为有变化.理由如下：P （E ）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化.所以可以认为有变化. 答案示例2：无法确定有没有变化.理由如下：事件E 是随机事件，P （E ）比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化. （18）（共14分）解：（Ⅰ）由抛物线经过点，得. 2:2C x py =-(2,1)-2p =所以抛物线的方程为，其准线方程为. C 24x y =-1y =（Ⅱ）抛物线的焦点为. C (0,1)F -设直线的方程为.l 1(0)y kx k =-≠由得. 21,4y kx x y=-⎧⎨=-⎩2440x kx +-=设，则. ()()1122,,,M x y N x y 124x x =-直线的方程为. OM 11y y x x =令，得点A 的横坐标. 1y =-11A x x y =-同理得点B 的横坐标. 22B x x y =-设点，则，(0, )D n 1212,1,,1x x DA n DB n y y ⎛⎫⎛⎫=---=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21212(1)x xDA DB n y y ⋅=++ 2122212(1)44x x n x x =++⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21216(1)n x x =++.24(1)n =-++令，即，则或.0DA DB ⋅= 24(1)0n -++=1n =3n =-综上，以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点和. (0,1)(0,3)-（19）（共13分）解：（Ⅰ）由得. 321()4f x x x x =-+23()214f x x x '=-+令，即，得或.()1f x '=232114x x -+=0x =83x =又，，(0)0f =88()327f =所以曲线的斜率为1的切线方程是与，()y f x =y x =88273y x -=-即与.y x =6427y x =-（Ⅱ）令.()(),[2,4]g x f x x x =-∈-由得. 321()4g x x x =-23()24g'x x x =-令得或.()0g'x =0x =83x =的情况如下：(),()g'x g x x2-(2,0)-0 8(0,)3 838(,4)34 ()g'x+-+()g x 6-6427-0所以的最小值为，最大值为. ()g x 6-0故，即. 6()0g x -≤≤6()x f x x -≤≤（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，； 3a <-()(0)|(0)|3M F g a a a ≥=-=->当时，；3a >-()(2)|(2)|63M F a g a a ≥-=--=+>当时，.3a =-()3M a =综上，当最小时，.()M a 3a =-（20）（共13分）解：（Ⅰ）1，3，5，6.（答案不唯一）（Ⅱ）设长度为q 末项为的一个递增子列为. 0n a 1210,,,,q r r r n a a a a - 由p <q ，得.10p q r r n a a a -≤<因为的长度为p 的递增子列末项的最小值为，{}n a 0m a 又是的长度为p 的递增子列，12,,,p r r r a a a {}n a 所以.0p m r a a ≤所以·00m n a a <（Ⅲ）由题设知，所有正奇数都是中的项.{}n a 先证明：若2m 是中的项，则2m 必排在2m −1之前（m 为正整数）. {}n a 假设2m 排在2m −1之后.设是数列的长度为m 末项为2m −1的递增子列，则121,,,,21m p p p a a a m -- {}n a 是数列的长度为m +1末项为2m 的递增子列.与已知矛盾. 121,,,,21,2m p p p a a a m m -- {}n a 再证明：所有正偶数都是中的项.{}n a 假设存在正偶数不是中的项，设不在中的最小的正偶数为2m . {}n a {}n a 因为2k 排在2k −1之前（k =1，2，…，m −1），所以2k 和不可能在的同一个递增子列中. 21k -{}n a 又中不超过2m +1的数为1，2，…，2m −2，2m −1，2m +1，所以的长度为m +1且末项为2m +1的递{}n a {}n a 增子列个数至多为.1(1)22221122m m m --⨯⨯⨯⨯⨯⨯=< 个与已知矛盾.最后证明：2m 排在2m −3之后（m ≥2为整数）.假设存在2m （m ≥2），使得2m 排在2m −3之前，则的长度为m +1且末项为2m +l 的递增子列的个数小于{}n a.与已知矛盾.2m 综上，数列只可能为2，1，4，3，…，2m −3，2m ，2m −1，…. {}n a 经验证，数列2，1，4，3，…，2m −3，2m ，2m −1，…符合条件. 所以 1,1,n n n a n n +⎧=⎨-⎩为奇数，为偶数.。

2019年北京卷理科数学高考真题

2019 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共 5页， 150 分。

考试时长 120 分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

部分（选择题共 40 分）5）若 x ，y 满足|x| 1 y ，且 y ≥-1，则 3x+y 的最大值为、选择题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1）已知复数 z=2+i ，则 z zB ) 5D )52）执行如图所示的程序框图，输出的A )1 D )43）已知直线l的参数方程为x 1 3t,y 2 4tt 为参数），则点（ 1， 0）到直线 l 的距离是 A )152B )54 C )45D ）4）已知椭圆 2x y 21 22aba >b >0）的离心率为 1 ，则2A )a 2=2b 222B )3a 2=4b 2C ) a=2bD ） 3a=4bA )-7B )1C )5D ）C )3B )26）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足其中星等为 m k 的星的亮度为 E k （ k=1， 2）．已知太阳的星等是天狼星的亮度的比值为D ）既不充分也不必要条件其中，所有正确结论的序号是二、填空题共 6小题，每小题 5分，共 30 分。

29）函数 f （x ）=sin 22x 的最小正周期是10）设等差数列 {a n }的前 n 项和为 S n ，若 a 2=- 3，S 5=- 10，则 a 5=11）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为 1 ，那么该几何体的体积为8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线列三个结论：C ：2y 21 |x| y 就是其中之一（如图）．给出①曲线 2；C 恰好经过 6 个整点（即横②曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过③曲线 C 所围成的“心形”区域的面积小于 3．5 E 1m 2- m 1=lg E，2 E 2- 26.7，天狼星的星等是 - 1.45，则太阳与A )1010.1B )10.1C )lg10.1D ) 10- 10.17）设点 A ，B ，C 不共线，则“ AB 与 AC 的夹角为锐角”是“|AB AC | |BC | ”的A ）充分而不必要条件B ）必要而不充分条件C ）充分必要条件A ）①B ）②C ）①②D ）①②③第二部分（非选择题共 110 分），S n 的最小值为12）已知l ， m 是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ； ② m ∥ ； ③l ⊥ ．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： _____________ ．13）设函数 f （x ）=e x+ae -x（a 为常数）．若 f （x ）为奇函数，则 a= ________ ；若 f （x ）是 R 上的增函数，则 a 的取值范围是 __________ ．14 ）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65 元/盒、 80 元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到 120 元，顾客就少付 x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的 80%． ①当 x=10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，需要支付 __________ 元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 x 的最大值为三、解答题共 6小题，共 80 分。

2019年高考理数北京卷(附答案与解析)

---------------- 密★启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试·北京卷数学（理）m - m = lg 1 ，其中星等为 m 的星的亮度为 E （k = 1,2）.已知太阳的星等是 -26.7 ，2 E_ -------------------- __ __ ___号卷__ 生 __ __ 上___ 答 __ ___ --------------------A .1B .2C .3D .4（ t 为参数），则点 (1,0) 到直线 l 的距离是()A . 15B .5C .5D .5--------------------b 2 = 1 （ a ＞b ＞0 ）4.已知椭圆( )n }的前 n 项和为 S_ __ __1.已知复数 z = 2 + i ，则 z ⋅ z =()考__ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 名 __ 姓 _ _ _ __ __ __ _ 题校学 -------------绝在--------------------本试卷满分 150 分,考试时长 120 分钟.此第一部分(选择题共 40 分)一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

A . 3B . 5C .3D .5--------------------2.执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为 ( )----------------------------------------业 ⎧ x = 1 + 3t,毕 3.已知直线 l 的参数方程为 ⎨ ⎩ y = 2 + 4t2 4 6无x 2 y 2a 2 +A . a 2 = 2b 2B . 3a 2 = 4b 2C . a = 2bD . 3a = 4b 5.若 x ， y 满足 |x|≤1 - y ，且 y ≥ - 1 ，则 3x + y 的最大值为 ( )|A . -7B .1C .5D .7 6.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述 .两颗星的星等与亮度满足 5 E2 1 k k 2天狼星的星等是 -1.45 ，则太阳与天狼星的亮度的比值为下列说法中,正确的是( )A .1010.1B .10.1C . lg10.1D .10 -10.1 7.设点 A , B ， C 不共线，则“ AB 与 AC 的夹角为锐角”是“| AB + AC | ＞ B C | ”的 ( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件8.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 C ： x 2 + y 2 = 1+ | x | y 就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线 C 恰好经过 6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过 2 ； ③曲线 C 所围成的“心形”区域的面积小于 3.其中，所有正确结论的序号是 ( )A .①B .②C .①②D .①②③第二部分(非选择题共 110 分)二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。

2019年北京市高考数学试卷(理科)含答案

2019年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知复数2z i =+，则(z z = ) A ．3B ．5C ．3D ．52．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．已知直线l 的参数方程为13,(24x t t y t =+⎧⎨=+⎩为参数），则点(1,0)到直线l 的距离是( )A ．15B ．25C ．45D ．654．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，则( )A ．222a b =B ．2234a b =C ．2a b =D ．34a b =5．若x ，y 满足||1x y -，且1y -，则3x y +的最大值为( ) A ．7-B ．1C ．5D ．76．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足121252Em m lg E -=，其中星等为k m 的星的亮度为(1,2)k E k =．已知太阳的星等是26.7-，天狼星的星等是 1.45-，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A ．10.110B ．10.1C ．10.1lgD ．10.110-7．设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线22:1||C x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是( )A ．①B ．②C ．①②D ．①②③二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2019年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)

2019年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)（北京卷）本试卷共5页，150分钟。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题40分）一、选择题共8题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项（1）已知复数z=i+2，则z·=(A)(B)(C) 3 (D) 5（2）执行如图所示的程序框图，输出的s值为(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4（3）已知直线方程的参数方程为（t为参数），则点（1,0）到直线l的距离是(A)(B)(C) (D)（4）已知椭圆+=1（a>b>0）的离心率为，则(A) a2=2b2(B) 3a2=4b2(C) a=2b (D) 3a=4b（5）若x,y满足｜x｜≤1-y，且y≥-1,则3x+y的最大值为(A) -7 (B) 1(C) 5 (D) 7(6)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。

两颗星的星等与亮度满足m2-m1=lg，其中星等为m1的星的亮度为E1(k=1，2)。

已知太阳的星等是-26.7，天复星的星等是-1.45，则太阳与天袋星的亮度的比值为(A) 1010.1 (B) 10.1(C) lg10.1 (D) 10-10.1(7)设点A,B,C不共线，则“与的夹角为锐角”是“｜+｜｜｜"的(A)充分不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(8)数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线C:x2+y2=1+｜x｜y就是其中之一(如图),给出下列三个结论:①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过 ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3 其中，所有正确结论的序号是 (A)①(B)②(C)①②(D)①②③第二部分(非选择题共110分)二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。