高中数学选修2-2测试题

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高中数学-选修2-2模块测试卷(含详细答案)

高中数学选修2-2模块测试卷考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1．因指数函数xa y =是增函数（大前提）,而x y )31(=是指数函数（小前提），所以x y )31(=是增函数（结论）”，上面推理的错误是（）A ．大前提错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错2．设O 是原点，向量OA OB u u u r u u u r ，对应的复数分别为2332i i --+，，那么向量BA u u u r 对应的复数是（）A ．55i -+B ．55i --C ．55i +D ．55i - 3．函数x x x f ln )(=，则（）A ．在(0)∞，上递增B ．在(0)∞，上递减C ．在1(0)e ，上递增 D ．在1(0)e，上递减 4．如右图，阴影部分面积为（） A ．[()()]ba f x g x dx -⎰B ．[()()][()()]c bacg x f x dx f x g x dx -+-⎰⎰C ．[()()][()()]c bacf xg x dx g x f x dx -+-⎰⎰D ．[()()]bag x f x dx -⎰5．证明：2111111(1)22342n n n n +<+++++<+>L ，当2n =时，中间式子等于（） A ．1 B ．112+C ．11123++ D ．1111234+++ 6．42xe dx -⎰的值等于（）A ．42e e -- B ．42e e + C ．422e e +- D ．422e e -+-7．函数2sin(2)y x x =+导数是（）A ．2cos(2)x x + B ．22sin(2)x x x + C ．2(41)cos(2)x x x ++ D ．24cos(2)x x +8．抛物线2y x bx c =++在点(12)，处的切线与其平行直线0bx y c ++=间的距离是（） A ．2B ．2 C ．32D ．29．'()f x 是()f x 的导函数，'()f x 的图象如右图所示，则()f x 的图象只可能是（）A ．B ．C ．D ．10．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（） A ．(0)(2)2(1)f f f +< B ．(0)(2)2(1)f f f +≤ C ．(0)(2)2(1)f f f +≥ D ．(0)(2)2(1)f f f +>二、填空题（共5小题，每题5分，共25分）11．若复数()()22563m m m m i -++-是纯虚数，则实数m =_________． 12．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为3213232s t t t =-+，那么速度为零的时刻是_________． 13．若函数()y f x =的图象在4x =处的切线方程是29y x =-+，则(4)(4)f f '-=_________．14．已知2()ln(22)(0)f x x ax a a =-+->，若()f x 在[1)+∞，上是增函数，则a 的取值范围是_________．15．通过类比长方形，由命题“周长为定值l 的长方形中，正方形的面积最大，最大值为216l ”，可猜想关于长方体的相应命题为：．三、解答题（共6小题，共75分）16．（本小题满分10分）已知复数2(1i)3(1i)2iz ++-=+，若21i()z az b a b ++=+∈R ，，求a b +的值．17．（本小题满分11分）设2(0)()cos 1(0)x x f x x x ⎧=⎨->⎩ ≤，，试求π21()f x dx -⎰．18．（本小题满分12分）设a b c ，，均为大于1的正数，且10ab =．求证：log log 4lg a b c c c +≥．19．（本小题满分14分）在数列{}n a 中，113a =，且前n 项的算术平均数等于第n 项的21n -倍*()n ∈N ．（1）写出此数列的前5项；（2）归纳猜想{}n a 的通项公式，并加以证明．20．（本小题满分14分）已知函数21()ln 2f x x x =+．（1）求函数()f x 在区间[1e]，上的最大、最小值；（2）求证：在区间(1)+∞，上，函数()f x 的图象在函数32()3g x x =的图象的下方．21．（本小题满分14分）已知函数3()31f x x ax =+-，()()5g x f x ax '=--，其中()f x '是()f x 的导函数．（1）对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x <，求实数x 的取值范围；（2）设2a m =-，当实数m 在什么范围内变化时，函数()y f x =的图象与直线3y =只有一个公共点．参考答案一、选择题二、填空题11．2 12．1秒或2秒 13．3 14．12a <≤15．表面积为定值S 的长方体中，正方体的体积最大，最大值为236S ⎛⎫ ⎪⎝⎭三、解答题 16．解：2i 33i 3i1i 2i 2iz +--===-++，2(1i)(1i)1i a b ∴-+-+=+，()(22i)1i a b ∴++--=+，1a b ∴+=． 17．解：ππ02211()()()f x dx f x dx f x dx --=+⎰⎰⎰π0221(cos 1)x dx x dx -=+-⎰⎰π20201(sin )3xx x -1=+-1π4π13232=+-=-． 18．证明：由于1a >，1b >，故要证明log log lg a b c c c +4≥，只需证明lg lg 4lg lg lg c cc a b+≥，又1c >，lg 0c >，所以只需证明11lg lg a b +4≥，即lg lg 4lg lg a b a b+≥．因为10ab =，所以lg lg 1a b +=，故只需证明14lg lg a b≥．①由于1a >，1b >，所以lg 0a >，lg 0b >，所以2lg lg 10lg lg 24a b a b +⎛⎫<= ⎪⎝⎭≤．即①式成立，所以原不等式成立．19．解：（1）由已知113a =，123(21)n n a a a a n a n ++++=-L ，分别取2345n =，，，，得2111153515a a ===⨯， 312111()145735a a a =+==⨯，4123111()277963a a a a =++==⨯， 51234111()4491199a a a a a =+++==⨯，所以数列的前5项是113a =，2115a =，3135a =，4163a =，5199a =；（2）由（1）中的分析可以猜想1(21)(21)n a n n =-+．下面用数学归纳法证明： ①当1n =时，猜想显然成立． ②假设当n k =时猜想成立，即1(21)(21)k a k k =-+．那么由已知，得12311(21)1k k k a a a a a k a k +++++++=++L ，即21231(23)k k a a a a k k a +++++=+L ．所以221(2)(23)k k k k a k k a +-=+，即1(21)(23)k k k a k a +-=+，又由归纳假设，得11(21)(23)(21)(21)k k k a k k +-=+-+，所以11(21)(23)k a k k +=++，即当1n k =+时，公式也成立．由①和②知，对一切*n ∈N ，都有1(21)(21)n a n n =-+成立．20．（1）解：由已知1()f x x x'=+，当[1e]x ∈，时，()0f x '>，所以函数()f x 在区间[1e]，上单调递增，所以函数()f x 在区间[1e]，上的最大、最小值分别为2e (e)12f =+，1(1)2f =，所以函数()f x 在区间[1e]，上的最大值为2e 12+，最小值为12；（2）证明：设2312()ln 23F x x x x =+-，则221(1)(12)()2x x x F x x x x x -++'=+-=．因为1x >，所以()0F x '<，所以函数()F x 在区间(1)+∞，上单调递减，又1(1)06F =-<，所以在区间(1)+∞，上，()0F x <，即2312ln 23x x x +<，所以在区间(1)+∞，上函数()f x 的图象在函数32()3g x x =图象的下方．21．解：（1）由题意，得22()335(3)35g x x ax a x a x =-+-=-+-，设2()(3)35a x a x ϕ=-+-，11a -≤≤．对11a -≤≤中任意a 值，恒有()0g x <，即()0a ϕ<，(1)0(1)0ϕϕ<⎧∴⎨-<⎩，，即2232080x x x x ⎧--<⎪⎨3+-<⎪⎩，，解得213x -<<．故213x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x <．（2）22()33f x x m '=-，①当0m =时，3()1f x x =-的图象与直线3y =只有一个公共点． ②当0m ≠时，列表：()()f x f m ∴==极小．又()f x Q 的值域是R ，且在()m +∞，上单调递增，∴当x m >时，函数()y f x =的图象与直线3y =只有一个公共点；当x m <-时，恒有()()f x f m -≤．由题意，得()3f m -<，即3221213m m m -=-<，解得((0m ∈U ．综上，m的取值范围是(．。

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数学选修 2-2 第一章单元测试题一、选择题 ( 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f ( x) 的定义域为开区间 ( a，b) ，导函数f′(x) 在( a，b) 内的图像如图所示，则函数 f ( x)在开区间( a，b)内有极小值点()A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个1 12．在区间[ 2，2] 上，函数 f ( x)＝x2＋px＋q 与g( x)＝2x＋x2在1同一点处取得相同的最小值，那么f(x)在[2，2]上的最大值是()C．8D．423．点P在曲线y＝x3－x＋3上移动，设点P处的切线的倾斜角为α，则α 的取值范围是( )ππ3A．[0 ，2 ] B．[0 ，2 ] ∪[ 4π，π)3 π 3C．[ 4π，π ) D．[ 2，4π]14．已知函数f ( x) ＝2x4－2x3＋3m，x∈R，若f ( x) ＋9≥0恒成立，则实数 m的取值范围是()3 3A．m≥2 B．m＞23 3C．m≤2 D．m＜2x2 25．函数f ( x) ＝cos x－2cos 2的一个单调增区间是 ()f x 0＋3 －f x 06．设f ( x) 在x＝x0 处可导，且lim Δx＝1，Δx→0则 f ′(x0)等于( )A．1 B．0C．3x＋97．经过原点且与曲线y＝x＋5相切的切线方程为()A．x＋y＝0B．x＋25y＝0C．x＋y＝ 0 或x＋25y＝0D．以上皆非8．函数f ( x) ＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，当a2－3b＜0 时，f ( x) 是()A．增函数B．减函数C．常数D．既不是增函数也不是减函数13 29．若a>2，则方程3x －ax ＋1＝0 在(0,2) 上恰好有 ()A．0 个根B．1 个根C．2 个根D．3 个根1 10．一点沿直线运动，如果由始点起经过t s 后距离为s＝4t 4－53t 3＋2t 2，那么速度为零的时刻是( )A．1 s 末B．0 sC．4 s 末D．0,1,4 s 末x2，x∈[0，1]，2f(x) d x 等于 () 11．设f ( x) ＝则2－x，x∈ 1，2] ，0D．不存在sin x sin x1 sin x2 12．若函数 f(x) ＝x，且 0<x1<x2 <1，设 a＝x1 ，b＝x2 ，则 a，b 的大小关系是 ( )A．a>b B．a<bC．a＝b D．a、b的大小不能确定二、填空题 ( 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上 )1 3 213．若 f(x) ＝3x －f ′(1)x ＋x＋5，则 f ′(1) ＝ ________.π π14．已知函数 f(x) 满足 f(x) ＝f( π－x) ，且当 x∈ －2，2 时，f(x) ＝x＋sin x，设a＝f(1) ，b＝f(2) ，c＝f(3) ，则a、b、c 的大小关系是 ________．15．已知函数f(x) 为一次函数，其图像经过点(2,4) ，且1f(x) d x＝3，则函数f(x) 的解析式为________．16．(2010 ·江苏卷) 函数2y＝x(x＞0)的图像在点 2(a k，a k) 处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k＋1，其中k∈N*. 若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．三、解答题 ( 本大题共 6 小题，共 70 分，解答应出写文字说明、证明过程或演算步骤 )17．(10 分) 如图，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围成图形为面积相等的两部分，求k 的值．18．(12 分) 已知函数 f(x) ＝x4－4x3＋ax2－1 在区间 [0,1] 上单调递增，在区间 [1,2) 上单调递减．(1)求 a 的值；(2)若点 A(x0，f(x0)) 在函数 f(x) 的图像上，求证：点 A关于直线x＝1 的对称点 B 也在函数 f(x) 的图像上．19．(12 分) 设 x＝－ 2 与 x＝4 是函数 f(x) ＝x3＋ax2＋bx 的两个极值点．(1)求常数 a，b；(2)试判断 x＝－ 2，x＝ 4 是函数 f(x) 的极大值还是极小值，并说明理由．20．(12 分) 已知 f(x) ＝ax3－6ax2＋b，x∈[ －1,2] 的最大值为 3，最小值为－ 29，求 a，b 的值．21．(12 分)(2010 ·重庆卷 ) 已知函数 f(x) ＝ax3＋x2＋ bx( 其中常数a，b∈R) ，g( x) ＝f ( x) ＋f′(x) 是奇函数．(1)求 f ( x)的表达式；(2)讨论 g( x)的单调性，并求 g( x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．1－x22．(12 分) 已知函数f ( x) ＝ln( ax＋1) ＋1＋x，x≥0，其中a>0.(1)若 f ( x)在 x＝1处取得极值，求 a 的值；(2)求 f ( x)的单调区间；(3)若 f ( x)的最小值为1，求 a 的取值范围．参考答案1.答案 A解析设极值点依次为 x1，x2，x3且 a＜x1＜x2＜x3＜b，则 f ( x) 在( a，x1) ，( x2，x3) 上递增，在 ( x1，x2) ，( x3，b) 上递减，因此，x1、x3是极大值点，只有x2是极小值点．2.答案 D3.答案 B4.答案 A1解析因为函数 f ( x)＝2x4－2x3＋3m，所以 f ′(x)＝2x3－6x2.令 f ′(x)＝0，得 x＝0或 x＝3，经检验知 x＝3是函数的一个最27小值点，所以函数的最小值为 f (3)＝3m－2.不等式 f ( x)＋9≥0恒成27 3立，即 f ( x)≥－9恒成立，所以3m－2≥－9，解得 m≥2.5.答案 A解析 f ( x)＝cos2x－cos x－1，∴f′(x)＝－2sin x·cos x＋sin x＝sin x·(1－2cos x)．令 f ′(x)>0，结合选项，选A.6. 答案 D7. 答案 D8. 答案 A9. 答案 B解析 1 3 2设 f ( x ) ＝3x －ax ＋1，则2f ′(x )＝x －2ax ＝x ( x －2a ) ，当 x ∈(0,2) 时， f ′(x )<0，f ( x ) 在(0,2) 上为减函数，又 f (0) f (2) ＝8 111 3－4a ＋1 ＝ 3 －4a <0，f ( x ) ＝0 在(0,2) 上恰好有一个根，故选 B.10. 答案 D11. 答案 C解析数形结合，如图．2f(x) d x ＝ 1x 2d x ＋ 2(2 －x) d x0 11 3 11 22＝ 3x＋ 2x －2x11 1＝ 3＋(4 －2－2＋2)5＝ 6，故选 C .12. 答案Af ′(x) ＝x cos x －sin x解析 x 2，令 g(x) ＝x cos x －sin x ，则g ′(x) ＝－ x sin x ＋cos x －cos x ＝－ x sin x.∵0<x<1，∴ g ′(x)<0 ，即函数 g(x) 在 (0,1) 上是减函数，得 g(x)<g(0) ＝0，故 f ′(x)<0 ，函数 f(x) 在(0,1) 上是减函数，得 a>b ，故选A .213. 答案 32 2解析 f ′(x) ＝ x －2f ′(1)x ＋ 1，令 x＝1，得 f ′(1) ＝3.14. 答案 c<a<b解析f(2) ＝ f( π－2) ， f(3) ＝ f( π－ 3) ，因为 f ′(x) ＝ 1＋π ππcos x≥0，故f(x)在－2，2上是增函数，∵2 >π－2>1>π－3>0，∴f( π－2)>f(1)>f( π－3) ，即 c<a<b.2815.答案 f(x) ＝3x＋3解析设函数 f(x) ＝ax＋b(a ≠0) ，因为函数 f(x) 的图像过点(2,4) ，所以有 b＝4－2a.∴1 f(x) d x＝ 1 (ax ＋4－2a) d x0 01 2 1 1＝[ ax ＋(4 －2a)x] | 0＝a＋4－2a＝1.2 22 8 2 8∴a＝3. ∴b＝3. ∴f(x) ＝3x＋3.16. 答案21解析2 2∵y′＝2x，∴过点( a k，a k)处的切线方程为y－a k＝2a k( x1－a k)，又该切线与 x 轴的交点为( a k＋1,0)，所以 a k＋1＝2a k，即数列{ a k}1是等比数列，首项a1＝16，其公比q＝2，∴ a3＝4，a5＝1，∴ a1＋a3 ＋a5＝21.17. 解析抛物线 y ＝x －x 2 与 x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与 x 轴所围图形面积 S ＝ 12) d x ＝x 2 x 3 11 (x －x 2 －3 0＝2－1 13＝6.y ＝x －x 2，又由此可得抛物线 y ＝x －x 2 与 y ＝kx 两交点的横y ＝kx ，S－ 2 x 3 －坐标 x 3＝， 4＝－，所以＝ 1-k (x － x 2 kx) d x ＝1 k x － 1k －0 x 1 k 2 02313＝6(1 －k) .3又 S ＝，所以 (1 －k) 3＝1，∴ k ＝1－ 4.622118. 解析 (1) 由函数 f(x) ＝x4－4x3＋ax2－1 在区间 [0,1] 单调递增，在区间 [1,2) 单调递减，∴x ＝1 时，取得极大值，∴ f ′(1) ＝ 0.又 f ′(x) ＝ 4x3－12x2＋2ax ，∴4－12＋2a ＝ 0? a ＝ 4.(2) 点 A(x0，f(x0)) 关于直线 x ＝1 的对称点 B 的坐标为 (2 －x0， f(x0)) ，f(2 －x0) ＝(2 －x0)4 －4(2 －x0)3 ＋4(2 －x0)2 －1＝ (2 －x0)2[(2 －x0) －2]2 －1＝ x 40－4x30＋ ax20－ 1＝f(x0) ，∴A 关于直线 x ＝1 的对称点 B 也在函数 f(x) 的图像上．19.解析 f ′(x) ＝3x2＋2ax＋b.(1) 由极值点的必要条件可知：12－4a＋b＝0，f ′( － 2) ＝f ′(4) ＝ 0，即48＋8a＋b＝0，解得 a＝－ 3，b＝－ 24.或f ′(x) ＝ 3x2＋2ax＋b＝3(x ＋2)(x －4)＝3x2－6x－24，也可得 a＝－ 3，b＝－ 24.(2) 由 f ′(x) ＝ 3(x ＋2)(x －4) ．当 x＜－ 2 时， f ′(x) ＞ 0，当－ 2＜x＜4 时， f ′(x) ＜ 0. ∴x＝－ 2 是极大值点，而当x＞4 时， f ′(x) ＞ 0，∴x＝4 是极小值点．20.解析 a≠0( 否则 f(x) ＝b 与题设矛盾 ) ，由f ′(x) ＝ 3ax2－12ax＝0 及 x∈[ － 1,2] ，得 x＝0. (1) 当 a＞0 时，列表：x ( －1,0) 0 (0,2)f ′(x) ＋0 －f(x) 增极大值 b 减由上表知， f(x) 在[ － 1,0] 上是增函数，f(x) 在[0,2] 上是减函数．则当 x＝0 时， f(x) 有最大值，从而b＝3.又f( －1) ＝－ 7a＋3，f(2) ＝－ 16a＋3，∵a＞0，∴ f( －1) ＞f(2) ．从而 f(2) ＝－ 16a＋3＝－ 29，得a＝2.(2)当 a＜0 时，用类似的方法可判断当 x＝0 时 f(x) 有最小值．当x＝2 时， f(x) 有最大值．从而 f(0) ＝b＝－ 29, f(2)＝－16a－29＝3，得a＝－ 2.综上， a＝ 2，b＝3 或 a＝－ 2，b＝－ 29.21.解析 (1) 由题意得f′(x) ＝ 3ax2＋2x＋b. 因此g( x) ＝f ( x) ＋f′(x)＝ax3＋(3 a＋1) x2＋( b＋2) x＋b.因为函数 g( x)是奇函数，所以g(－x)＝－ g( x)，即对任意实数x，有 a(－ x)3＋(3 a＋1)(－x)2＋( b ＋2)( －x) ＋b＝－ [ ax3＋(3 a＋1) x2＋( b＋2) x＋b] ，从而 3a＋1＝0，b＝0，解得a＝－1，b＝0，因此f ( x) 的解析式为f ( x) ＝－x3＋x2. 331(2)由(1) 知g( x) ＝－1x3＋2x，所以g′(x) ＝－x2＋2. 3令g′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝2，则当x<－2或x> 2时，g′(x)<0，从而 g( x)在区间(－∞，－2]，[ 2，＋∞)上是减函数；当－ 2<x< 2时，g′(x)>0 ，从而g( x) 在[ － 2， 2] 上是增函数．由前面讨论知， g( x)在区间[1,2] 上的最大值与最小值只能在x＝1，2，2 时取得，而g(1)5＝3，g( 2) ＝4 23，g(2)4＝3. 因此g( x)在区间 [1,2] 上的最大值为g( 2) ＝4 2，最小值为3g(2)4＝3.22. 分析解答本题，应先正确求出函数 f ( x)的导数f ′(x)，再利用导数与函数的单调性、导数与极值、导数与最值等知识求解，并注意在定义域范围内求解．a 2 ax2＋a－2解析 (1) f′(x) ＝ax＋1－1＋x 2＝ax＋1 1＋x 2，∵f ( x)在 x＝1处取得极值，2∴f ′(1)＝0，即 a·1＋a－2＝0，解得 a＝1.(2) f′(x) ＝ax2＋a－22，ax＋1 1＋x∵x≥0， a>0，∴ ax＋1>0.①当 a≥2时，在区间[0，＋∞)上， f ′(x)>0，∴f( x)的单调增区间为[0，＋∞)．②当 0<a<2 时，由 f ′(x)>0，解得 x> 2－a a.由 f ′(x)<0，解得 x< 2－a a.∴f ( x)的单调减区间为(0, 2－a 2－a a ) ，单调增区间为 ( a，＋∞ ) ．(3) 当a≥2时，由 (2) ①知，f ( x) 的最小值为f (0) ＝1；当 0<a<2，由 (2) ②知，f ( x) 在x＝2－aa 处取得最小值，且2－af ( a )< f (0) ＝1.综上可知，若 f ( x)的最小值为1，则 a 的取值范围是[2，＋∞)．。

高中数学选修2-2综合测试试题及答案解析

高中数学选修2-2综合测试试题及答案解析时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．曲线y ＝4x －x 3在点(－1，－3)处的切线方程是导学号 10510897( ) A ．y ＝7x ＋4 B ．y ＝x －4 C ．y ＝7x ＋2D ．y ＝x －22．设x ＝3＋4i ，则复数z ＝x －|x |－(1－i)在复平面上的对应点在导学号 10510898( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的顶点在第四象限，则函数f ′(x )的图象是导学号 10510899( )4．定义复数的一种运算z 1*z 2=|z 1|＋|z 2|2(等式右边为普通运算)，若复数z ＝a ＋b i ，z －为z 的共轭复数，且正实数a ，b 满足a ＋b ＝3，则z *z －的最小值为导学号 10510900( )A.92B.322C.32D ．945．(2016·宜春高二检测)已知函数f (x )＝sin x ＋e x ＋x 2015，令f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，则f 2016(x )＝导学号 10510901( )A ．sin x ＋e xB ．cos x ＋e xC ．－sin x ＋e xD ．－cos x ＋e x6．函数f (x )＝3x －4x 3(x ∈[0,1])的最大值是导学号 10510902( ) A.12 B ．－1 C ．0D ．17．(2016·哈尔滨质检)在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．若函数图象恰好经过k 个格点，则称函数为k 阶格点函数．已知函数：①y ＝sin x; ②y ＝cos(x ＋π6)；③y ＝e x －1;④y ＝x 2.其中为一阶格点函数的序号为导学号 10510903( ) A ．①② B ．②③ C ．①③D ．②④8．(2016·淄博高二检测)下列求导运算正确的是导学号 10510904( ) A ．(2x )′＝x ·2x －1 B ．(3e x )′＝3e xC ．(x 2－1x )′＝2x －1x2D ．(xcos x )′＝cos x －x sin x (cos x )29．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是导学号 10510905( )A ．289B ．1024C ．1225D ．137810．若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a ＝导学号 10510906( )A ．64B ．32C ．16D ．811．(2016·全国卷Ⅲ理，12)定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数，若m ＝4，则不同的“规范01数列”共有导学号 10510907( )A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个12．当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是导学号 10510908( )A ．[－5，－3]B ．[－6，－98]C ．[－6，－2]D ．[－4，－3]二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．对任意非零实数a 、b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝________.导学号 1051090914．请阅读下列材料：若两个正实数a 1、a 2满足a 21＋a 22＝1，那么a 1＋a 2≤ 2.证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋1.因为对一切实数x ，恒有f (x )≥0，所以Δ≤0，从而得4(a 1＋a 2)2－8≤0，所以a 1＋a 2≤ 2.类比上述结论，若n 个正实数满足a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，你能得到的结论为________.导学号 1051091015．对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式：导学号 10510911 22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7； 23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19.根据上述分解规律，若n 2＝1＋3＋5＋…＋19，m 3(m ∈N *)的分解中最小的数是21，则m ＋n 的值为________．16．(2016·全国卷Ⅱ理，16)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________.导学号 10510912三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)(2016·大连高二期中)已知z 1、z 2为复数，i 为虚数单位，z 1·z －1＋3(z 1＋z －1)＋5＝0，z 2＋3z 2－3为纯虚数，z 1、z 2在复平面内对应的点分别为P 、Q .导学号 10510913(1)求点P 的轨迹方程； (2)求点Q 的轨迹方程； (3)写出线段PQ 长的取值范围．18．(本题满分12分)设函数f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0<x <2π，求函数f (x )的单调区间与极值.导学号 1051091419．(本题满分12分)已知A n (n ，a n )为函数y 1＝x 2＋1图象上的点，B n (n ，b n )为函数y 2＝x 的图象上的点，设c n ＝a n －b n ，其中n ∈N *.导学号 10510915(1)求证：数列{c n }既不是等差数列也不是等比数列； (2)试比较c n 与c n ＋1的大小．20．(本题满分12分)设函数f (x )＝x ln x .导学号 10510916 (1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[18，12]上的最大值和最小值．21．(本题满分12分)(2016·贵州高二检测)已知点列A n (x n,0)，n ∈N *，其中x 1＝0，x 2＝a (a >0)，A 3是线段A 1A 2的中点，A 4是线段A 2A 3的中点，…，A n 是线段A n －2A n －1的中点，….导学号 10510917(1)写出x n 与x n －1、x n －2之间的关系式(n ≥3)；(2)设a n ＝x n ＋1－x n ，计算a 1、a 2、a 3，由此推测数列{a n }的通项公式，并加以证明．22．(本题满分12分)(2016·北京文，20)设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c .导学号 10510918 (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)设a ＝b ＝4，若函数f (x )有三个不同零点，求c 的取值范围； (3)求证：a 2－3b >0是f (x )有三个不同零点的必要而不充分条件．高中数学选修2-2综合测试试题答案解析1．[答案] D[解析] y ′|x ＝－1＝(4－3x 2)|x ＝－1＝1， ∴切线方程为y ＋3＝x ＋1，即y ＝x －2.2． [答案] B[解析] ∵x ＝3＋4i ，∴|x |＝32＋42＝5， ∴z ＝3＋4i －5－(1－i)＝(3－5－1)＋(4＋1)i ＝－3＋5i. ∴复数z 在复平面上的对应点在第二象限，故应选B.3． [答案] A[解析] ∵f ′(x )＝2x ＋b 为增函数，∴排除B 、D ；又f (x )的顶点在第四象限，∴－b2>0，∴b <0，排除C ，故选A.4．[答案] B[解析] 由题意可得z *z －＝|a ＋b i|＋|a －b i|2＝a 2＋b 2＋a 2＋(－b )22＝a 2＋b 2，∵正实数a ，b 满足a ＋b ＝3，∴b ＝3－a ，∴a 2＋b 2＝a 2＋(3－a )2＝2a 2－6a ＋9，由二次函数可知当a ＝32时，上式取最小值322.故选B.5．[答案] A[解析] f 1(x )＝f ′(x )＝cos x ＋e x ＋2015x 2014，f 2(x )＝f 1′(x )＝－sin x ＋e x ＋2015× 2014x 2013， f 3(x )＝f 2′(x )＝－cos x ＋e x ＋2015×2014×2013x 2012，…，∴f 2016(x )＝sin x ＋e x .6．[答案] D[解析] 由f ′(x )＝3－12x 2＝0得，x ＝±12，∵x ∈[0,1]，∴x ＝12，∵当x∈[0，12]，f ′(x )>0，当x ∈[12，1]时，f ′(x )<0，∴f (x )在[0，12]上单调递增，在[12，1]上单调递减，故x ＝12时，f (x )取到极大值也是最大值，f (12)＝3×12－4×(12)3＝1，故选D.7． [答案] C[解析] 对于①，注意到y ＝sin x 的值域是[－1,1]；当sin x ＝0时，x ＝k π(k ∈Z )，此时相应的整数x ＝0；当sin x ＝±1时，x ＝k π＋π2(k ∈Z )，此时没有相应的整数x ，因此函数y ＝sin x 仅过唯一的整点(0,0)，该函数是一阶格点函数．同理可知，对于②，函数y ＝cos(x ＋π6)不是一阶格点函数．对于③，令y ＝e x －1＝k (k ∈Z )得e x ＝k ＋1>0，x ＝ln(k ＋1)，仅当k ＝0时，x ＝0∈Z ，因此函数y ＝e x －1是一阶格点函数．对于④，注意到函数y ＝x 2的图象经过多个整点，如点(0,0)，(1,1)，因此函数y ＝x 2不是一阶格点函数．综上所述知选C.8．[答案] B[解析] 对于A ，(2x )′＝2x ln2；对于B ，(3e x )′＝3e x ；对于C ，(x 2－1x)′＝2x ＋1x 2；对于D ，(xcos x )′＝cos x ＋x sin x (cos x )2；综上可知选B.9．[答案] C[解析] 图1中满足a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ，以上累加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ，a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n ·(n ＋1)2，图2中满足b n ＝n 2，一个数若满足三角形数，其必能分解成两个相邻自然数乘积的一半；一个数若满足正方形数，其必为某个自然数的平方． ∵1225＝352＝49×502，∴选C.10．[答案] A[解析] y ′＝－12x －32，∴k ＝－12a －32，切线方程是y －a －12＝－12a －32(x －a )，令x ＝0，y ＝32a －12，令y ＝0，x ＝3a ，∴三角形的面积是S ＝12·3a ·32a －12＝18，解得a ＝64.11． [答案] C[解析] 由题意可得a 1＝0，a 8＝1，a 2，a 3，…，a 7中有3个0、3个1，且满足对任意k ≤8，都有a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数，利用列举法可得不同的“规范01数列”有00001111,00010111,00011011,00011101,00100111,00101011,00101101,00110011,00110101,01000111,01001011,01001101,01010011,01010101，共14个．12．[答案] C[解析] ax 3≥x 2－4x －3恒成立．当x ＝0时式子恒成立．∴a ∈R ，当x >0时，a ≥1x －4x 2－3x 3恒成立．令1x ＝t ，x ∈(0,1]，∴t ≥1.∴a ≥t －4t 2－3t 3恒成立．令g (t )＝t －4t 2－3t 3，g ′(t )＝1－8t －9t 2＝(t ＋1)(－9t ＋1)， ∴函数g ′(t )在[1，＋∞)上为减函数而且g ′(1)＝－16<0，∴g ′(t )<0在[1，＋∞)上恒成立． ∴g (t )在[1，＋∞)上是减函数， ∴g (t )max ＝g (1)＝－6，∴a ≥－6；当x <0时，a ≤1x －4x 2－3x 3恒成立，∵x ∈[－2,0)，∴t ≤－12，令g ′(t )＝0得，t ＝－1，∴g (t )在(－∞，－1]上为减函数，在(－1，－12]上为增函数，∴g (t )min ＝g (－1)＝－2，∴a ≤－2.综上知－6≤a ≤－2. 13． [答案]22[解析] ∵⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x |π0＝2>2， ∴2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝2⊗2＝2－12＝22.14．[答案] a 1＋a 2＋…＋a n ≤n (n ∈N *)[解析] 构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋1， ∵f (x )≥0对任意实数x 都成立，∴Δ＝4(a 1＋a 2＋…＋a n )2－4n ≤0， ∵a 1，a 2，…，a n 都是正数，∴a 1＋a 2＋…＋a n ≤n .15． [答案] 15[解析] 依题意得n 2＝10×(1＋19)2＝100，∴n ＝10.易知m 3＝21m ＋m (m －1)2×2，整理得(m －5)(m ＋4)＝0，又m ∈N *，所以m ＝5，即53＝21＋23＋25＋27＋29，所以m ＋n ＝15.16． [答案] 1－ln2[解析] 设y ＝kx ＋b 与y ＝ln x ＋2和y ＝ln(x ＋1)的切点分别为(x 1，ln x 1＋2)和(x 2，ln(x 2＋1))．则切线分别为y －ln x 1－2＝1x 1(x －x 1)，y －ln(x 2＋1)＝1x 2＋1(x －x 2)，化简得y ＝1x 1x ＋ln x 1＋1，y ＝1x 2＋1x －x 2x 2＋1＋ln(x 2＋1)，依题意，⎩⎨⎧1x 1＝1x 2＋1ln x 1＋1＝－x 2x 2＋1＋ln (x 2＋1)，解得x 1＝12，从而b ＝ln x 1＋1＝1－ln2.17． [解析] (1)设z 1＝x ＋y i ，(x 、y ∈R )，由z 1·z －1＋3(z 1＋z －1)＋5＝0得x 2＋y 2＋6x ＋5＝0，整理得(x ＋3)2＋y 2＝4，∴点P 的轨迹方程为(x ＋3)2＋y 2＝4. (2)设z 2＝x ＋y i ，(x 、y ∈R )， z 2＋3z 2－3＝x ＋3＋y i x －3＋y i ＝x 2＋y 2－9－6y i(x －3)2＋y 2， ∵z 2＋3z 2－3为纯虚数，∴x 2＋y 2＝9且y ≠0， ∴点Q 的轨迹方程为x 2＋y 2＝9(y ≠0)． (3)PQ 长的取值范围是[0,8)． ∵两圆相交，∴PQ 长的最小值为0，又两圆圆心距为3，两圆半径分别为2和3，∴PQ 长的最大值为8，但点Q 的轨迹方程中y ≠0，∴|PQ |<8，∴线段PQ 长的取值范围是[0,8)．18． [解析] f ′(x )＝cos x ＋sin x ＋1＝2sin(x ＋π4)＋1 (0<x <2π)，令f ′(x )＝0，即sin(x ＋π4)＝－22，解之得x ＝π或x ＝3π2.x ，f ′(x )以及f (x )变化情况如下表：∴f (x )的单调增区间为(0，π)和(3π2，2π)，单调减区间为(π，3π2)．f 极大(x )＝f (π)＝π＋2，f 极小(x )＝f (3π2)＝3π2.19． [解析] (1)证明：依题意，a n ＝n 2＋1，b n ＝n ，c n ＝n 2＋1－n . 假设{c n }是等差数列，则2c 2＝c 1＋c 3，∴2(5－2)＝2－1＋10－3. ∴25＝2＋10，产生矛盾， ∴{c n }不是等差数列．假设{c n }是等比数列，则c 22＝c 1c 3，即(5－2)2＝(2－1)(10－3)．有6＝65－32－10，产生矛盾， ∴{c n }也不是等比数列．(2)解：∵c n ＋1＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)>0，c n ＝n 2＋1－n >0， ∴c n ＋1c n ＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)n 2＋1－n ＝n 2＋1＋n(n ＋1)2＋1＋(n ＋1)， 0<n 2＋1<(n ＋1)2＋1，又0<n <n ＋1，∴n 2＋1＋n <(n ＋1)2＋1＋n ＋1， ∴0<n 2＋1＋n(n ＋1)2＋1＋(n ＋1)<1，∴c n ＋1c n<1，即c n ＋1<c n . 20． [解析] (1)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)． ∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )＝0，得x ＝1e ，令f ′(x )>0，得x >1e ，令f ′(x )<0，得0<x <1e，∴f (x )的单调递增区间为(1e ，＋∞)，单调递减区间为(0，1e )．(2)∵f (18)＝18ln 18＝38ln 12，f (12)＝12ln 12，f (1e )＝1e ln 1e ＝－1e ，又12ln 12<38ln 12， ∴求f (x )在区间[18，12]的最大值为38ln 12，最小值为－1e .21． [解析] (1)由题意，当n ≥3时，x n ＝12(x n －1＋x n －2)(2)x 1＝0，x 2＝a ，x 3＝12(x 2＋x 1)＝a 2，x 4＝12(x 3＋x 2)＝3a4，∴a 1＝x 2－x 1＝a ，a 2＝x 3－x 2＝－a 2，a 3＝x 4－x 3＝a4，推测a n ＝a(－2)n －1.方法一证明：对于任意n ∈N *，a n ＝x n ＋1－x n ，a n ＋1＝x n ＋2－x n ＋1＝12(x n ＋1＋x n )－x n ＋1＝－12(x n ＋1－x n )＝－12a n ，又∵a 1＝a >0，∴{a n }是以a 为首项，以－12为公比的等比数列．故a n ＝a ·(－12)n －1＝a(－2)n －1. 方法二下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1＝a ＝a ·(－12)1－1，结论a n ＝a (－2)n －1成立． ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N )时，a n ＝a (－2)n －1成立，即a k＝a ·(－12)k －1，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝x k ＋2－x k ＋1＝x k ＋x k ＋12－x k ＋1＝x k －x k ＋12＝－12a k ＝(－12)·a ·(－12)k －1＝a ·(－12)(k ＋1)－1，所以n ＝k ＋1时，a n ＝a(－2)n －1成立．由①②可知，数列{a n }的通项公式为a n ＝a ·(－12)n －1，n ∈N *.22． [解析] (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 因为f (0)＝c ，f ′(0)＝b ，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝bx ＋c . (2)当a ＝b ＝4时，f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c ，所以f ′(x )＝3x 2＋8x ＋4.令f ′(x )＝0，得3x 2＋8x ＋4＝0，解得x ＝－2或x ＝－23.f (x )与f ′(x )在区间(－∞，＋∞)上的情况如下：所以，当c >0且c －3227<0时，存在x 1∈(－4，－2)，x 2∈(－2，－23)，x 3∈(－23，0)，使得f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝0.由f (x )的单调性知，当且仅当c ∈(0，3227)时，函数f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c 有三个不同零点．(3)当Δ＝4a 2－12b <0时，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b >0，x ∈(－∞，＋∞)，此时函数f (x )在区间(－∞，＋∞)上单调递增，所以f (x )不可能有三个不同零点．当Δ＝4a 2－12b ＝0时， f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b 只有一个零点，记作x 0. 当x ∈(－∞，x 0)时， f ′(x )>0，f (x )在区间(－∞，x 0)上单调递增；当x ∈(x 0，＋∞)时， f ′(x )>0，f (x )在区间(x 0，＋∞)上单调递增；所以f (x )不可能有三个不同零点．综上所述，若函数f (x )有三个不同零点，则必有Δ＝4a 2－12b >0. 故a 2－3b >0是f (x )有三个不同零点的必要条件．当a ＝b ＝4，c ＝0时，a 2－3b >0，f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＝x (x ＋2)2只有两个不同零点，所以a 2－3b >0不是f (x )有三个不同零点的充分条件．因此a 2－3b >0是f (x )有三个不同零点的必要而不充分条件．。

高中数学选修2-2综合测试题(全册含答案)

高中数学选修2-2综合测试题(全册含答案)1.复数就像平面上的点，有实部和虚部。

2.复数就像向量，有大小和方向。

3.复数就像计算机中的复数类型，有实部和虚部。

4.复数就像两个数字的有序对，有序对的第一个数字是实部，第二个数字是虚部。

改写：关于复数的四种类比推理，可以用不同的比喻来描述复数的实部和虚部。

一种比喻是将复数看作平面上的点，实部和虚部分别对应点的横坐标和纵坐标；另一种比喻是将复数看作向量，实部和虚部分别对应向量的大小和方向；还可以将复数看作计算机中的复数类型，实部和虚部分别对应类型中的两个数；最后一种比喻是将复数看作有序对，实部和虚部分别对应有序对的第一个数字和第二个数字。

①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则。

②由向量a的性质|a|²＝a²，可以类比得到复数z的性质：|z|²＝z²。

③方程ax²＋bx＋c＝0 (a，b，c∈R，且a≠0)有两个不同的实数根的条件是b²－4ac>0，类比可得方程ax²＋bx＋c＝0 (a，b，c∈C且a≠0)有两个不同的复数根的条件是b²－4ac>0.④由向量加法的几何意义，可以类比得到复数加法的几何意义。

其中类比得到的结论正确的是：A。

①③B。

②④C。

②③D。

①④2.删除明显有问题的段落。

3.填空题：11.若复数z满足z＋i＝0，则|z|＝1.12.直线y＝kx＋1与曲线y＝x³＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值为4.13.第n个正方形数是n²。

14.＋＋＝AA′BB′CC′；＋＋＋＝AA′BB′CC′DD′。

4.解答题：15.1) F(x)的单调区间为(-∞。

0)和(2.+∞)。

2) F(x)在[1,5]上的最小值为-5，最大值为9.16.因为AD⊥BC，所以AB²=AD²+DB²。

又因为AB⊥AC，所以AC²=AD²+DC²。

高中数学选修2-2分章节测试卷(含答案)

第一章综合能力检测一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．函数y ＝sin(π4－x )的导数为( )A ．－cos(π4＋x )B ．cos(π4－x )C ．－sin(π4－x )D ．－sin(x ＋π4)2．(2009·广东三校联考)函数f (x )＝a ln x ＋x 在x ＝1处取得极值，则a 的值为( ) A.12B ．－1C ．0D ．－123．如果f (x )为定义在R 上的偶函数，且导数f ′(x )存在，则f ′(0)的值为( ) A ．2B ．1C ．0D ．－14．(2009·全国卷Ⅰ)已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1B ．2C ．－1D ．－25．已知f (x )＝(x －1)2＋2，g (x )＝x 2－1，则f [g (x )]( ) A ．在(－2,0)上递增 B ．在(0,2)上递增 C ．在(－2，0)上递增 D ．在(0，2)上递增6．已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在R 上是增函数，则m 的取值范围是( )A ．m <2或m >4B ．－4<m <－2C ．2<m <4D ．2≤m ≤47．(2009·江西高考)若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或78．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1) 9．由y ＝sin x ，y ＝cos x ，x ＝0，x ＝π所围成图形的面积可表示为( ) A.⎠⎛0π(sin x －cos x )dxC.⎠⎛0π(cos x －sin x )dx10．已知f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )dx ，则f (a )的最大值为( )A ．－12B.19C.29D ．不存在11．(2009·青岛模拟)如右图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，由曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )A.1πB.2πC.3πD.π412．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意正数a ，b ，若a <b ，则必有( )A ．af (b )≤bf (a )B ．bf (a )≤af (b )C ．af (a )≤f (b )D ．bf (b )≤f (a ) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.⎠⎛02(2x －e x )dx ＝________.14．(2009·海淀区模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的导函数y＝f ′(x )的部分图象如右图所示，且导函数f ′(x )有最小值－2，则ω＝________，φ＝________.15．若函数y ＝a (x 3－x )的单调递减区间为(－33，33)，则a 的取值范围是________． 16．物体A 以速度v ＝3t 2＋1在一直线上运动，在此直线上物体A 出发的同时，物体B 在物体A 的正前方5 m 处以v ＝10t 的速度与A 同向运动，当t ＝________ s 时，两物体相遇，相遇时物体A 走过________m.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)(2009·浙江高考)已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a，b的值；(2)若函数f(x)在区间(－1,1)上不单调．．．，求a的取值范围．18．(本小题满分12分)已知F(x)＝⎠⎛x－1t(t－4)dt，x∈(0，＋∞)．(1)求F(x)的单调区间；(2)求函数F(x)在[1,5]上的最值．19．(本小题满分12分)已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1.(1)试求常数a，b，c的值；(2)试判断x＝±1是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由．20．(本小题满分12分)求函数y＝x3－3ax＋2的极值，并说明方程x3－3ax＋2＝0何时有三个不同的实根？何时有唯一的实根？(其中a>0)21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝13ax3－bx2＋(2－b)x＋1，在x＝x1处取得极大值，在x＝x2处取得极小值，且0<x1<1<x2<2.(1)证明a>0；(2)求z＝a＋2b的取值范围．22．(本小题满分12分)(2009·湖北黄冈模拟)已知函数f(x)＝12x2－a ln x(a∈R)．(1)若f(x)在x＝2时取得极值，求a的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)求证：当x>1时，12x2＋ln x<23x3.第二章综合能力检测一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．所有自然数都是整数，4是自然数，所以4是整数，以上三段推理( ) A ．正确 B ．推理形式不正确 C ．两个“自然数”概念不一致 D ．两个“整数”概念不一致 2．若a >0，b >0，则有( )A.b 2a >2b －aB.b 2a <2b －aC.b 2a ≥2b －a D.b 2a≤2b －a 3．设S (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1n 2，则( )A ．S (n )共有n 项，当n ＝2时，S (2)＝12＋13B ．S (n )共有n ＋1项，当n ＝2时，S (2)＝12＋13＋14C ．S (n )共有n 2－n 项，当n ＝2时，S (2)＝12＋13＋14D ．S (n )共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，S (2)＝12＋13＋144．F (n )是一个关于自然数n 的命题，若F (k )(k ∈N *)真，则F (k ＋1)真，现已知F (7)不真，则有：①F (8)不真；②F (8)真；③F (6)不真；④F (6)真；⑤F (5)不真；⑥F (5)真．其中为真命题的是( )A ．③⑤B ．①②C ．④⑥D ．③④5．若x ，y ∈R ，且2x 2＋y 2＝6x ，则x 2＋y 2＋2x 的最大值为( ) A ．14B ．15C ．16D ．176．设f (x )(x ∈R )为奇函数，f (1)＝12，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (5)等于( )A ．0B ．1 C.52D ．57．若O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|＋AC→|AC →|)，λ∈[0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心D ．垂心8．如图所示为某旅游区各景点的分布图，图中一支箭头表示一段有方向的路，试计算顺着箭头方向，从A 到H 有几条不同的旅游路线可走( )A ．15B ．16C ．17D ．189．对于直角坐标平面内的任意两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)定义它们之间的一种“距离”：||AB ||＝|x 2－x 1|＋|y 2－y 1|.给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则||AC ||＋||CB ||＝||AB ||； ②在△ABC 中，若∠C ＝90°，则||AC ||2＋||CB ||2＝||AB ||2； ③在△ABC 中，||AC ||＋||CB ||>||AB ||. 其中真命题的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．310．已知a ，b ，c ，d 是正实数，P ＝a a ＋b ＋c ＋b a ＋b ＋d ＋c c ＋d ＋a ＋d c ＋d ＋b ，则有( )A ．0<P <1B ．1<P <2C ．2<P <3D ．3<P <411．一个等差数列{a n }，其中a 10＝0，则有a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (1≤n ≤19)．一个等比数列{b n }，其中b 15＝1.类比等差数列{a n }有下列结论，正确的是( )A ．b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 29－n (1≤n ≤29，n ∈N *)B ．b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 29－nC ．b 1＋b 2＋…＋b n ＝b 1＋b 2＋…＋b 29－n (1≤n ≤29，n ∈N *)D ．b 1＋b 2＋…＋b n ＝b 1＋b 2＋…＋b 29－n 12．观察数表1 2 3 4 …第一行 2 3 4 5 …第二行 3 4 5 6 …第三行 4 5 6 7 …第四行 … … … …第一列第二列第三列第四列根据数表中所反映的规律，第n 行与第n 列的交叉点上的数应该是( ) A ．2n －1 B ．2n ＋1 C ．n 2－1D ．n 2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若三角形内切圆的半径为r ，三边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S ＝12r (a ＋b ＋c )，根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为R ，四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，则四面体的体积V ＝________.14．若符号“*”表示求实数a 与b 的算术平均数的运算，即a *b ＝a ＋b2，则两边均含有运算符号“*”和“＋”，且对于任意3个实数a 、b 、c 都能成立的一个等式可以是________．15．把数列{2n ＋1}依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数……循环下去，如：(3)，(5,7)，(9,11,13)，(15,17,19,21)，…，则第104个括号内各数字之和为________．16．已知n 次多项式P n (x )＝a 0x n ＋a 1x n －1＋…＋a n －2x 2＋a n －1x ＋a n .如果在一种算法中，计算x k 0(k ＝2,3,4，…，n )的值需要k －1次乘法，计算P 3(x 0)的值共需要9次运算(6次乘法，3次加法)，那么计算P n (x 0)的值共需要________次运算．下面给出一种减少运算次数的算法：P 0(x )＝a 0，P k ＋1(x )＝xP k (x )＋a k ＋1(k ＝0,1,2，…，n －1)．利用该算法，计算P 3(x 0)的值共需要6次运算，计算P n (x 0)的值共需要________次运算．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)证明对于任意实数x ，y 都有x 4＋y 4≥12xy (x ＋y )2.18．(本小题满分12分)(2009·江苏高考)如右图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上，A 1D ⊥B 1C .求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C .19．(本小题满分12分)求证：y ＝ax 2＋2bx ＋c ，y ＝bx 2＋2cx ＋a ，y ＝cx 2＋2ax ＋b (a ，b ，c 是互不相等的实数)这三条抛物线中，至少有一条与x 轴有两个交点．20．(本小题满分12分)已知函数f(n)(n∈N*)，满足条件：①f(2)＝2，②f(xy)＝f(x)·f(y)，③f(n)∈N*，④当x>y时，有f(x)>f(y)．(1)求f(1)，f(3)的值；(2)由f(1)，f(2)，f(3)的值，猜想f(n)的解析式；(3)证明你猜想的f(n)的解析式的正确性．21．(本小题满分12分)已知数列a1，a2，…，a30，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列；a10，a11，…，a20是公差为d的等差数列；a20，a21，…a30是公差为d2的等差数列(d≠0)．(1)若a20＝40，求d；(2)试写出a30关于d的关系式，并求a30的取值范围；(3)续写已知数列，使得a30，a31，a40是公差为d3的等差数列，…，依次类推，把已知数列推广为无穷数列．提出同(2)类似的问题((2)应当作为特例)，并进行研究，你能得到什么样的结论？22．(本小题满分12分)对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点．如果函数f(x)＝x2＋abx－c(b，c∈N)有且只有两个不动点0,2，且f(－2)<－12.(1)求函数f(x)的解析式；(2)已知各项均不为零的数列{a n}满足4S n·f(1a n)＝1，求数列的通项a n；(3)如果数列{a n}满足a1＝4，a n＋1＝f(a n)，求证当n≥2时，恒有a n<3成立．第三章综合能力检测一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．一个实数x 与一个虚数y 的和x ＋y 必为( )A ．实数B ．虚数C ．可能实数也可能是虚数D ．纯虚数 2．复数4＋3i1＋2i 的实部是( )A ．－2B ．2C ．3D ．43．复数z ＝m －2i1＋2i (m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面上的对应点不可能位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．若复数a ＋3i1＋2i (a ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为( )A ．－2B ．4C ．－6D ．65．若3＋2i 是关于x 的方程2x 2＋px ＋q ＝0(p ，q ∈R )的一个根，则q 的值是( ) A ．26B ．13C ．6D ．56．已知z 1＝2－5i ，z 2＝－3＋i ，z 1，z 2的对应点分别为P 1，P 2，则向量P 2P 1→对应的复数为( ) A ．－5＋6iB ．5－6iC ．5＋6iD ．－1－4i7．已知m1＋i ＝1＋n i ，其中m ，n 是实数，i 是虚数单位，则m ＋n i 的值为( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i8．复数z 满足|3z ＋1|＝|z －i|，则复数z 对应点的轨迹是( ) A ．直线B ．正方形C ．圆D ．椭圆9．“复数z ＝12＋32i ”是“z ＋1z ∈R ”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件10．复数－35＋2i 2＋35i ＋(21＋i )2008的虚部为( )A ．－1B ．1C ．－iD ．i11．设f (n )＝(1＋i 1－i )n ＋(1－i 1＋i )n(n ∈N *)，则集合{x |x ＝f (n )}中的元素有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．无穷多个12．若复数z ，a ，x 满足x ＝a －z 1－a z，且|z |＝1，则|x |等于( )A ．0B ．1C ．|a |D.12二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知复数z 0＝3＋2i ，复数z 满足z ·z 0＝3z ＋z 0，则复数z ＝________. 14．复数z 满足|z ＋2＋2i|＝|z |，那么|z －1＋i|的最小值是________． 15．i 是虚数单位，若1＋7i 2－i＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则乘积ab ＝________.16．对于n 个复数z 1，z 1，…，z n ，如果存在n 个不全为零的实数k 1，k 2，…，k n ，使得k 1z 1＋k 2z 2＋…＋k n z n ＝0，就称z 1，z 2，…，z n 线性相关．若要说明复数z 1＝1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝－2线性相关，那么可取{k 1，k 2，k 3}＝________.(只要写出满足条件的一组值即可)三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)(1)设复数z 1＝1＋i ，z 2＝x ＋2i(x ∈R )．若z 1z 2为实数，求实数x ； (2)计算：(4－i 5)(6＋2i 7)＋(7－i 11)(4－3i)．18．(本小题满分12分)在复数范围内解方程|z 2|＋(z ＋z )i ＝3－i2＋i .(i 为虚数单位)19．(本小题满分12分)已知z ＝(－1＋3i)(1－i)－(1＋3i)i ，ω＝z ＋a i(a ∈R )，当|ωz |≤2时，求a的取值范围．20．(本小题满分12分)已知z ∈C ，z －1z ＋1是纯虚数，求|z 2－z ＋2|的最小值．21．(本小题满分12分)设虚数z 满足|2z ＋5|＝|z ＋10|. (1)求|z |的值；(2)若z m ＋mz为实数，求实数m 的值；(3)若(1－2i)z 在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，求复数z .22．(本小题满分12分)对任意一个非零复数α，定义M α＝{ω|ω＝α2n －1，n ∈N *}．(1)设α是方程x ＋1x ＝2的一个根，试用列举法表示集合M α.若在M α中任取两个元素，求其和为零的概率P ；(2)若集合M α中只有三个元素，试写出满足条件的一个α值，并说明理由．第一章综合能力检测答案一、选择题：1．解析：y ′＝－cos(π4－x )＝－sin[π2－(π4－x )]＝－sin(π4＋x )．答案：D2．解析：f ′(x )＝ax ＋1，令f ′(x )＝0，得x ＝－a ，由题知当a ＝－1时，原函数在x ＝1处取得极值．答案：B3．解析：偶函数的导数为奇函数，即f ′(x )为奇函数，故f ′(0)＝0. 答案：C4．解析：y ′＝1x ＋a ，设直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切的切点为(x 0，x 0＋1)，则1x 0＋a ＝1，∴x 0＝1－a ，∴ln(1－a ＋a )＝2－a ，∴e 2－a ＝1， ∴a ＝2. 答案：B5．解析：F (x )＝f [g (x )]＝x 4－4x 2＋6，F ′(x )＝4x 3－8x .令F ′(x )>0，得－2<x <0或x >2，∴F (x )在(－2，0)上递增．答案：C6．解析：由题意，得f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋(15m 2－2m －7)，由于f ′(x )≥0恒成立，故Δ≤0，解得2≤m ≤4. 答案：D7．解析：设直线与曲线y ＝x 3的切点为P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 30y 0x 0－1＝3x 20⇒切线斜率k ＝3x 20＝0或k ＝274. 若k ＝0，切线方程为y ＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，y ＝ax 2＋154x －9，消去y ，得ax 2＋154x －9＝0，其判别式Δ＝0⇒a ＝－2564；若k ＝274，切线方程为y ＝274(x －1)，由⎩⎨⎧y ＝274(x －1)，y ＝ax 2＋154x －9消去y ，得ax 2－3x －94＝0，其判别式Δ＝0⇒a ＝－1. 答案：A8．解析：∵f ′(x )＝－x ＋b x ＋2，由题知，f ′(x )<0在(－1，＋∞)上恒成立，即－x ＋bx ＋2<0，∴b <x (x ＋2)＝(x ＋1)2－1. ∴b <－1.又当b ＝－1时，f ′(x )＝－x －1x ＋2＝－x (x ＋2)＋1x ＋2＝－(x ＋1)2x ＋2<0，∴b ≤－1. 答案：C9．解析：由y ＝sin x ，y ＝cos x ，x ＝0，x ＝π所围成的图形，如下图的阴影部分．答案：B10．解析：⎠⎛01(2ax 2－a 2x )dx＝(23ax 3－12a 2x 2)|10＝23a －12a 2，即f (a )＝23a －12a 2＝－12(a 2－43a ＋49)＋29＝－12(a －23)2＋29，∴当a ＝23时，f (a )有最大值29. 答案：C11．解析：根据几何概型的意义，所投的点落在阴影部分的概率是S 阴影S 矩形，由S 阴影＝⎠⎛0πsin xdx ＝(－cos x )|π0＝2，所求概率为S 阴影S 矩形＝22π＝1π. 答案：A 12．解析：设函数F (x )＝xf (x )，∴F ′(x )＝[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )≤0，∴F (x )＝xf (x )在(0，＋∞)上单调递减．∵a <b ，∴F (a )≥F (b )，即af (a )≥bf (b )．又∵0<a <b ，f (b )≥0，∴af (a )≤bf (a )，bf (b )≥af (b )．∴bf (a )≥af (b )．答案：A二、填空题：13.解析：⎠⎛02(2x －e x )dx ＝(x 2－e x )|20＝4－e 2＋1＝5－e 2. 答案：5－e 214．解析：f ′(x )＝ωcos(ωx ＋φ)，依题意，得ω＝2,2cos(π3＋φ)＝－1，解得φ＝π3.答案：2 π315．解析：∵y ′＝a (3x 2－1)，令y ′<0，当a >0时，不等式的解集为(－33，33)；当a <0时，不等式的解集为(－∞，－33)∪(33，＋∞)．∵已知函数y ＝a (x 3－x )在(－33，33)上单调递减， ∴a >0. 答案：a >016．解析：设A 追上B 时，所用的时间为t 0，依题意有s A ＝s B ＋5，即10tdt＋5，t 30＋t 0＝5t 20＋5，即t 0(t 20＋1)＝5(t 20＋1)，解得t 0＝5 s ．所以s A ＝5t 20＋5＝130(m)．答案：130三、解答题：17．解：(1)由函数f (x )的图象过原点，得b ＝0，又f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)， f (x )在原点处的切线斜率是－3，则－a (a ＋2)＝－3，所以a ＝－3，或a ＝1.(2)由f ′(x )＝0，得x 1＝a ，x 2＝－a ＋23.又f (x )在(－1,1)上不单调，即⎩⎨⎧－1<a <1，a ≠－a ＋23，或⎩⎪⎨⎪⎧－1<－a ＋23<1，a ≠－a ＋23.解得⎩⎪⎨⎪⎧ －1<a <1，a ≠－12，或⎩⎪⎨⎪⎧－5<a <1，a ≠－12，所以a 的取值范围是(－5，－12)∪(－12，1)．18．解：F (x )＝⎠⎛x －1(t 2－4t )dt ＝(13t 3－2t 2)|x －1＝13x 3－2x 2－(－13－2)＝13x 3－2x 2＋73(x >－1)． (1)F ′(x )＝x 2－4x ，由F ′(x )>0，即x 2－4x >0，得－1<x <0或x >4，由F ′(x )<0，即x 2－4x <0，得0<x <4，∴F (x )的单调递增区间为(－1,0)∪(4，＋∞)，单调递减区间为(0,4)．(2)由(1)知F (x )在[1,4]上递减，[4,5]上递增．又∵F (1)＝13－2＋73＝23，F (4)＝13×43－2×42＋73＝－253，F (5)＝13×53－2×52＋73＝－6，∴F (x )在[1,5]上的最大值为23，最小值为－253. 19．解：(1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，因为x ＝±1是函数f (x )的极值点，所以x ＝±1是方程f ′(x )＝0即3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根．由根与系数的关系，得⎩⎨⎧－2b3a ＝0，①c3a ＝－1，②又f (1)＝－1，所以a ＋b＋c ＝－1.③ 由①②③，解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)因为f (x )＝12x 3－32x ，所以f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)·(x ＋1)．当x <－1或x >1时，f ′(x )>0，当－1<x <1时，f ′(x )<0.所以函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上是减函数．所以当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1，当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1.20．解：函数的定义域为R ，其导函数为y ′＝3x 2－3a .由y ′＝0，得x＝±a ，列表讨论如下：x (－∞，－a ) －a(－a ，a ) a (a ，＋∞) f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值极小值由此可得，函数x ＝－a 处取得极大值2＋2a 32；在x ＝a 处取得极小值2－2a 32.根据列表讨论，可作出函数的草图(如右图所示)，因为极大值f (－a )＝2＋2a 32>0，故当极小值f (a )＝2－2a 32<0，即a >1时，方程x 3－3ax ＋2＝0有三个不同的实根；当极小值f (a )＝2－2a 32>0，即0<a <1时，方程x 3－3ax ＋2＝0有唯一的实根．21．解：求函数f (x )的导数得 f ′(x )＝ax 2－2bx ＋2－b .(1)证明：由函数f (x )在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值，知x 1，x 2是f ′(x )＝0的两个根．所以f ′(x )＝a (x －x 1)(x －x 2)．当x <x 1时，f ′(x )>0，函数为增函数，由x －x 1<0，x －x 2<0得a >0. (2)在题设下，0<x 1<1<x 2<2等价于⎩⎨⎧f ′(0)>0，f ′(1)<0，f ′(2)>0.即⎩⎪⎨⎪⎧2－b >0，a －2b ＋2－b <0，4a －4b ＋2－b >0.化简得⎩⎪⎨⎪⎧2－b >0，a －3b ＋2<0，4a －5b ＋2>0.此不等式组表示的区域为平面aOb 上三条直线2－b ＝0，a －3b ＋2＝0,4a －5b ＋2＝0所围成的△ABC 的内部，其三个顶点分别为A (47，67)，B (2,2)，C (4,2)．z 在这三点的值依次为167，6,8.所以z 的取值范围为(167，8)．22．解：(1)f ′(x )＝x －ax ，∵x ＝2是一个极值点，∴2－a2＝0.∴a ＝4.此时f ′(x )＝x －4x ＝x 2－4x ＝(x －2)(x ＋2)x.∵f (x )的定义域是{x |x >0}，∴当0<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0. ∴当a ＝4时，x ＝2是f (x )的极小值点．∴a ＝4. (2)∵f ′(x )＝x －ax，∴当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．当a >0时，f ′(x )＝x －a x ＝x 2－a x ＝(x －a )(x ＋a )x，令f ′(x )>0有x >a ，∴函数f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞)；令f ′(x )<0有0<x <a ，∴函数f (x )的单调递减区间为(0，a )． (3)证明：设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x ，则g ′(x )＝2x 2－x －1x，∵当x >1时，g ′(x )＝(x －1)(2x 2＋x ＋1)x >0，∴g (x )在(1，＋∞)上是增函数． ∴g (x )>g (1)＝16>0.∴当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.第二章综合能力检测答案一、选择题：1．解析：三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的．答案：A 2．解析：∵b 2a －(2b －a )＝b 2－2ab ＋a 2a ＝(b －a )2a ≥0，∴b 2a≥2b －a . 答案：C 3．解析：从n 到n 2共有n 2－n ＋1个自然数，即S (n )共有n 2－n ＋1项．故选D. 4．解析：若F (k )真，则F (k ＋1)一定真，其逆否命题为F (k ＋1)不真，则F (k )不真． ∴F (7)不真，则F (6)不真；F (6)不真，则F (5)不真．答案：A5．解析：x 2＋y 2＋2x ＝x 2＋(6x －2x 2)＋2x ＝－x 2＋8x ＝－(x －4)2＋16≤16. 答案：C6．解析：∵f (x ＋2)＝f (x )＋f (2) ∴令x ＝－1则有 f (1)＝f (－1)＋f (2) ∴f (2)＝2f (1)又∵f (1)＝12，∴f (2)＝1∴f (5)＝f (2＋3)＝f (2)＋f (3) ＝f (2)＋f (2)＋f (1) ＝2f (2)＋f (1)＝2＋12＝52. 答案：C7．解析：OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)，AP →＝λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)＝λ(e 1＋e 2)，∴AP 是∠A 的内角平分线．答案：B8．解析：这是图论中的一个问题，如果一条一条的去数，由于道路错综复杂，哪些已算过，哪些没有算过就搞不清了，所以我们换一个思路，用分析法来试试．要到H 点，需从F 、E 、G 走过来，F 、E 、G 各点又可由哪些点走过来，……，这样一步步倒推，最后归结到A ，然后再反推过去得到如下的计算法：A 至B 、C 、D 的路数记在B 、C 、D 圆圈内，B 、C 、D 分别到F 、E 、G 的路数亦记在F 、E 、G 圆圈内，最后F 、E 、G 各个路数之和，即得至H 的总路数如答图1所示．答案：C9．解析：①当点C 在线段AB 上时，可知||AC ||＋||CB ||＝||AB ||，故①是正确的．②取A (0,0)，B (1,1)，C (1,0)，则||AC ||2＝1，||BC ||2＝1，||AB ||2＝(1＋1)2＝4，故②是不正确的．③取A (0,0)，B (1,1)，C (1,0)，证明||AC ||＋||CB ||＝||AB ||，故③不正确．故选B. 10．解析：P ＝a a ＋b ＋c ＋b a ＋b ＋d ＋c c ＋d ＋a ＋dc ＋d ＋b>a a ＋b ＋c ＋d ＋b a ＋b ＋d ＋c ＋c c ＋d ＋a ＋b ＋d c ＋d ＋b ＋a ＝1， P ＝a a ＋b ＋c ＋b a ＋b ＋d ＋c c ＋d ＋a ＋dc ＋d ＋b<a a ＋b ＋b a ＋b ＋c c ＋d ＋d c ＋d ＝2， ∴1<P <2. 答案：B11．解析：在等差数列{a n }中，a 10＝0，知以a 10为等差中项的项和为0，如a 9＋a 11＝a 8＋a 12＝…＝a 2＋a 18＝a 1＋a 19＝0.而在等比数列{b n }中，b 15＝1，类比地有b 1b 29＝b 2b 28＝…＝b 14b 16＝1.从而类似地总结规律应为各项之积．∵等差数列{a n }中a 10＝0，∴a 1＋a 19＝a 2＋a 18＝…＝a 8＋a 12＝a 9＋a 11＝0. 即：a 19－n ＋a n ＋1＝0， a 18－n ＋a n ＋2＝0， a 17－n ＋a n ＋3＝0， …∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＋…＋a 19－n . ∵b 15＝1，∴b 1b 29＝b 2b 28＝…＝b 14b 16＝1. 即b 29－n b n ＋1＝b 28－n b n ＋2＝…＝b 14b 16＝1.∴b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 29－n (1≤n ≤29，n ∈N *)．故选A.12．解析：根据数表可知，第1行第1列上的数为1，第2行第2列上的数为3，第3行第3列上的数为5，第4行第4列上的数为7，那么，由此可以推导出第n 行第n 列交叉点上的数应该是2n －1. 答案：A二、填空题：13．解析：由平面图形到空间图形的类比过程中，边长→面积，面积→体积．答案：13R (S 1＋S 2＋S 3＋S 4)14．解析：答案不唯一．因为a ＋(b *c )＝a ＋b ＋c 2＝2a ＋b ＋c 2，又(a ＋b )*(a ＋c )＝(a ＋b )＋(a ＋c )2＝2a ＋b ＋c2，因此答案成立．同时：(a *b )＋c ＝(a *c )＋(b *c )；a *(b ＋c )＝(a ＋b )*c ＝(b ＋c )*a ＝(a ＋c )*b ；(a *b )＋c ＝(b *a )＋c 也符合题意．答案：a ＋(b *c )＝(a ＋b )*(a ＋c )15．解析：前面103个括号中共用了256个数，第104个括号有4个数分别是515,517,519,521，其和为2072. 答案：207216．解析：P n (x 0)＝a 0x n －10＋…＋a n －2x 20＋a n －1x 0＋a n ，共需n 次加法运算，每个小因式中所需乘法运算依次为n ，n －1，…，1.故共需计算次数为n ＋n (n ＋1)2＝12n (n ＋3)．第二种运算中，P 0(x 0)＝a 0，不需要运算，P 1(x 0)＝x 0P 0(x 0)＋a 1，需2次运算．P 2(x 0)＝x 0P 1(x 0)＋a 2，需2＋2次运算，依次往下，P n (x 0)需2n 次运算．答案：12n (n ＋3) 2n三、解答题：17．证明：(分析法)要证x 4＋y 4≥12xy (x ＋y )2，只需证明2(x 4＋y 4)≥xy (x ＋y )2，即证2(x 4＋y 4)≥x 3y ＋xy 3＋2x 2y 2.只需x 4＋y 4≥x 3y ＋xy 3与x 4＋y 4≥2x 2y 2同时成立即可．又知x 4＋y 4－2x 2y 2＝(x 2－y 2)2≥0，即x 4＋y 4≥2x 2y 2成立，只需再有x 4＋y 4≥x 3y ＋xy 3成立即可．由于x 4＋y 4－x 3y －xy 3＝(x －y )(x 3－y 3)， ∵x －y 与x 3－y 3同号，∴(x －y )(x 3－y 3)≥0，即x 4＋y 4≥x 3y ＋xy 3成立．∴对于任意实数x ，y 都有x 4＋y 4≥12xy (x ＋y )2成立．18．证明：(1)因为E 、F 分别是A 1B 、A 1C 的中点，所以EF ∥BC ，EF ⊄面ABC ，BC ⊂面ABC .所以EF ∥平面ABC .(2)因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，所以BB 1⊥面A 1B 1C 1，BB 1⊥A 1D ，又A 1D ⊥B 1C ，所以A 1D ⊥平面BB 1C 1C ，又A 1D ⊂平面A 1FD ，所以平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C .19．证明：假设三条抛物线均与x 轴无两交点，则Δ1＝4b 2－4ac ≤0，Δ2＝4c 2－4ab ≤0，Δ3＝4a 2－4bc ≤0，∴a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc ≤0，即12[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2]≤0，∴a ＝b ＝c ，与a ，b ，c 是互不相等的实数矛盾．故三条抛物线中，至少有一条与x 轴有两个交点．20．解：(1)∵f (2)＝f (2×1)＝f (2)·f (1)，又f (2)＝2，∴f (1)＝1.又∵f (4)＝f (2·2)＝f (2)·f (2)＝4,2＝f (2)<f (3)<f (4)＝4，且f (3)∈N *.∴f (3)＝3.(2)由f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝3，猜想f (n )＝n (n ∈N *)．(3)用数学归纳法证明：(ⅰ)当n ＝1时，f (1)＝1，函数解析式成立． (ⅱ)假设n ＝k 时，f (k )＝k ，函数解析式成立．①若k ＋1＝2m (m ∈N *)，f (k ＋1)＝f (2m )＝f (2)·f (m )＝2m ＝k ＋1. ②若k ＋1＝2m ＋1(m ∈N *)，f (2m ＋2)＝f [2(m ＋1)]＝f (2)·f (m ＋1)＝2(m ＋1)＝2m ＋2，2m ＝f (2m )<f (2m ＋1)<f (2m ＋2)＝2m ＋2. ∴f (2m ＋1)＝2m ＋1＝k ＋1.即当n ＝k ＋1时，函数解析式成立．综合(ⅰ)(ⅱ)可知，f (n )＝n (n ∈N *)成立． 21．解：(1)a 10＝10，a 20＝10＋10d ＝40， ∴d ＝3.(2)a 30＝a 20＋10d 2＝10(1＋d ＋d 2)(d ≠0)， a 30＝10[(d ＋12)2＋34]，当d ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，a 30∈[7.5，＋∞)；(3)所给数列可推广为无穷数列{a n }，其中a 1，a 2，…，a 10是首项为1，公差为1的等差数列，当n ≥1时，数列a 10n ，a 10n ＋1，…，a 10(n ＋1)是公差为d n 的等差数列．研究的问题可以是：试写出a 10(n ＋1)关于d 的关系式，并求a 10(n ＋1)的取值范围研究的结论可以是：由a 40＝a 30＋10d 3＝10(1＋d ＋d 2＋d 3)，依次类推可得a 10(n ＋1)＝10(1＋d ＋…＋d n ) ＝⎩⎪⎨⎪⎧10×1－d n ＋11－d ，d ≠1，10(n ＋1)，d ＝1.当d >0时，a 10(n ＋1)的取值范围为(10，＋∞)． 22．解：(1)依题意有x 2＋a bx －c＝x ，化简为(1－b )x 2＋cx ＋a ＝0，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧2＋0＝－c 1－b，2·0＝a 1－b，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1＋c 2，代入表达式得f (x )＝x 2(1＋c 2)x －c ，由f (－2)＝－21＋c <－12，得c <3.又因为c ∈N ，b ∈N ，若c ＝0，b ＝1，f (x )＝x 不止有两个不动点，若c ＝1，b ＝32，则f (x )＝x只有一个不动点，所以c ＝2，b ＝2，故f (x )＝x 22(x －1)(x ≠1)．(2)由题设得4S n ·(1a n)22(1a n－1)＝1，得2S n ＝a n －a 2n ，(*) 且a n ≠1，把n －1代入得2S n －1＝a n －1－a 2n －1.(**)由(*)与(**)两式相减得2a n ＝(a n －a n －1)－(a 2n －a 2n －1)，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1＋1)＝0，所以a n ＝－a n －1或a n －a n －1＝－1，把n ＝1代入(*)得2a 1＝a 1－a 21，解得a 1＝0(舍去)或a 1＝－1.由a 1＝－1，a n ＝－a n －1，得a 2＝1，这与a n ≠1矛盾，所以a n －a n －1＝－1，即{a n }是以－1为首项，－1为公差的等差数列，所以a n ＝－n .(3)证明：(采用反证法)假设a n ≥3(n ≥2)，则由(1)知a n ＋1＝f (a n )＝a 2n2a n －2，所以a n ＋1a n ＝a n 2(a n －1)＝12·(1＋1a n －1)≤12(1＋12)＝34<1，即a n ＋1<a n (n ≥2，n ∈N )，有a n <a n －1<…<a 2，而当n ＝2时，a 2＝a 212a 1－2＝168－2＝83<3，所以a 2<3.这与假设矛盾，故假设不成立，所以a n <3.第三章综合能力检测答案一、选择题：1．解析：由复数的概念可知x ＋y 仍是虚数．答案：B2．解析：4＋3i 1＋2i ＝(4＋3i)(1－2i)1＋22＝(4＋6)＋(3－8)i5＝2－i. 答案：B3．解析：m －2i 1＋2i ＝(m －2i)(1－2i)(1＋2i)(1－2i)＝(m －4)－2(m ＋1)i5，对于m 的值，不存在m 使m －4>0且m＋1<0，故对应的点不可能在第一象限．答案：A4．解析：∵z ＝(a ＋3i)(1－2i)(1＋2i)(1－2i)＝a ＋65＋(3－2a )i 5.若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋6＝0，3－2a ≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，a ≠32.答案：C5．解析：由于实系数一元二次方程的虚根成对出现，是互为共轭复数的，故另一根为3－2i ，则(3＋2i)·(3－2i)＝q2＝13.故选A.6．解析：∵P 2P 1→＝OP 1→－OP 2→，∴P 2P 1→对应的复数为z 1－z 2＝(2－5i)－(－3＋i)＝5－6i. 答案：B7．解析：由m1＋i ＝1＋n i 得m ＝(1＋i)(1－n i)＝(1＋n )＋(1－n )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1＋n ，0＝1－n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1，∴m ＋n i ＝2＋i. 答案：C8．解析：设z ＝x ＋y i ，则|3x ＋3y i ＋1|＝|x ＋y i －i|. ∴(3x ＋1)2＋9y 2＝x 2＋(y －1)2，即4x 2＋4y 2＋3x ＋y ＝0.∴复数z 对应点Z 的轨迹为圆．故选C.9．解析：由z ＝12＋32i 可得，z ＋1z ＝12＋32i ＋12－32i ＝1∈R . ∴z ＝12＋32i 是z ＋1z ∈R 的充分条件．但z ＋1z ∈R ⇒|z |＝1z ＝12＋32i ，所以z ＝12＋32i 是z ＋1z∈R 的充分非必要条件．答案：A10．解析：－35＋2i 2＋35i ＋(21＋i )2008＝i(35i ＋2)2＋35i ＋1i1004＝i ＋1. 答案：B11．解析：f (n )＝(1＋i 1－i )n ＋(1－i1＋i )n ＝i n ＋(－i)n (n ∈N *)，根据i n 取值的周期性，给n 赋值发现集合{x |x ＝f (n )}＝{0，－2,2}，故应选C.12．解析：由|z |＝1，得|z |2＝1，即z ·z ＝1，所以x ＝a －z z z －a z ＝a －zz (z －a )＝－1z＝－z ，所以|x |＝|－z |＝1. 答案：B二、填空题：13．解析：由已知得z ＝z 0z 0－3＝3＋2i 2i ＝1－32i. 答案：1－32i14．解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由|z ＋2＋2i|＝|z |得(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝x 2＋y 2，即x ＋y ＋2＝0，点(1，－1)到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ＝|1－1＋2|2＝2，∴|z －1＋i|的最小值为 2. 答案： 215．解析：1＋7i 2－i ＝(1＋7i)(2＋i)4＋1＝－1＋3i由－1＋3i ＝a ＋b i 得a ＝－1，b ＝3 ∴ab ＝－3 答案：－316．解析：由k 1z 1＋k 2z 2＋k 3z 3＝0得k 1(1＋2i)＋k 2(1－i)＋k 2·(－2)＝0，即(k 1＋k 2－2k 3)＋(2k 1－k 2)i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 1＋k 2－2k 3＝0，2k 1－k 2＝0.∴k 1∶k 2∶k 3＝1∶2∶32.(答案不唯一，只需满足1∶2∶32的任何一组都行) 答案：{1,2，32}三、解答题：17．解：(1)z 1z 2＝(1＋i)(x ＋2i)＝x ＋2i ＋x i －2＝(x －2)＋(2＋x )i ，因为z 1z 2是实数，所以x ＋2＝0，所以x ＝－2.(2)原式＝2(4－i)(3－i)＋(7－i)(4－3i)＝2(12－3i －4i 2)＋(28－4i －21i ＋3i 2)＝2(11－7i)＋25(1－i)＝47－39i.18．解：原方程化简为|z |2＋(z ＋z )i ＝1－i ，设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，代入上述方程；得x 2＋y 2＋2x i ＝1－i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，2x ＝－1.解得⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝±32.所以原方程的解是z ＝－12±32i.19．解：z ＝2＋4i －(1＋3i)i ＝1＋i i ＝－i(1＋i)＝1－i ，ω＝1＋(a －1)i ，ωz ＝1＋(a －1)i1－i＝[1＋(a －1)i](1＋i)2＝2－a ＋a i 2，由|ωz |≤2，得(2－a 2)2＋(a2)2≤2，解得1－3≤a ≤1＋ 3.故a 的取值范围是[1－3，1＋3]．20．解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z －1z ＋1＝(x －1)＋y i (x ＋1)＋y i ＝x 2＋y 2－1＋2y i(x ＋1)2＋y 2是纯虚数，∴x2＋y 2＝1且y ≠0，于是－1<x <1.而|z 2－z ＋2|＝|(x ＋y i)2－(x ＋y i)＋2|＝|(x 2－y 2－x ＋2)＋y (2x －1)i|＝(x 2－y 2－x ＋2)2＋y 2(2x －1)2＝8x 2－6x ＋2＝8(x －38)2＋78，∴当x ＝38时，|z 2－z ＋2|取得最小值144. 21．解：(1)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，且y ≠0)，则 (2x ＋5)2＋(2y )2＝(x ＋10)2＋y 2. 化简得x 2＋y 2＝25.∴|z |＝5. (2)∵z m ＋m z ＝x ＋y i m ＋m x ＋y i＝(x m ＋mx x 2＋y 2)＋(y m －myx 2＋y2)i 为实数，∴y m －myx 2＋y 2＝0. 又y ≠0，且x 2＋y 2＝25， ∴1m －m25＝0，解得m ＝±5. (3)(1－2i)z ＝(1－2i)(x ＋y i)＝(x ＋2y )＋(y －2x )i ，依据题意，得x ＋2y ＝y －2x . ∴y ＝－3x .①又∵|z |＝5，即x 2＋y 2＝25.② 由①、②得⎩⎨⎧x ＝102，y ＝－3102或⎩⎨⎧x ＝－102，y ＝3102.∴z ＝102－3102i 或z ＝－102＋3102i. 22．解：(1)解方程x ＋1x ＝2，得x ＝22±22i.当α1＝22＋22i 时，ω＝α2n －11＝(α21)nα1＝[(22＋22i)2]n α1＝in α1.由i n 的周期性知，ω有四个值，n ＝1时，ω＝22＋22i ；n ＝2时，ω＝－22＋22i ；n ＝3时，ω＝－22－22i ；n ＝4是，ω＝22－22i. 当α2＝22－22i 时，ω＝α2n －12＝(α22)n α2＝(－i)nα2.当n ＝1时，ω＝22－22i ；n ＝2时，ω＝－22－22i ；n ＝3时，ω＝－22＋22i ；n ＝4时，ω＝22＋22i.∴不论α＝22＋22i 还是α＝22－22i ，都有 M α＝{22＋22i ，22－22i ，－22＋22i ，－22－22i}，P ＝2C 24＝13. (2)取α＝－12＋32i ，则α3＝1，α5＝－12－32i ，于是M α＝{α，α3，α5}＝{－12＋32i,1，－12－32i}．(或取α＝－12－32i ，则α3＝1，α5＝－12＋32i)。

(必考题)高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》检测题(含答案解析)(3)

一、选择题1．若i 为虚数单位，则复数311i i-+的模是（） A ．22B ．5C ．5D ．22．已知i 是虚数单位，,a b ∈R ，31ia bi i++=-，则a b -等于（） A ．-1B ．1C ．3D ．43．如果复数z 满足21z i -=，i 为虚数单位，那么1z i ++的最小值是（） A ．101-B ．21-C ．101+D ．21+4．设复数z=()()12i i a ++为纯虚数，其中a 为实数，则a =（） A ．2-B ．12-C ．12D ．25．已知复数z 满足：()()312z i i i -+=(其中i 为虚数单位)，复数z 的虚部等于( ) A ．15-B ．25-C ．45D ．356．若复数满足，则复数的虚部为（）A ．B ．C ．D ．7．已知复数3412iz i+=-，是z 的共轭复数，则z 为 ( ) A ．55B ．221C ．5D ．58．已知复数z 满足z （1﹣i ）＝﹣3+i （期中i 是虚数单位），则z 的共轭复数z 在复平面对应的点是（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 9．若复数z 满足(34)112i z i -=+，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为（） A ．2-B ．2C ．2i -D ．2i10．满足条件4z i z i ++-=的复数z 在复平面上对应点的轨迹是（）． A ．椭圆 B ．两条直线C ．圆D ．一条直线11．已知复数33iz i --=，则z 的虚部为（） A ．3-B ．3C ．3iD ．3i -12．已知复数z 满足(1-i)z=2+i ，则z 的共轭复数为（） A ．3322i + B ．1322i - C ．3322i - D ．1322i + 二、填空题13．已知复数z 满足|2|1z i +-=，则|21|z -的取值范围是________. 14．设复数z 满足(1)1z i i -=+（i 为虚数单位），则z 的模为________． 15．复数z 满足21z i -+=，则z 的最大值是___________． 16．213i(3i)-+化简后的结果为_________． 17．已知i 是虚数单位，则满足()1z i i +=的复数z 的共轭复数为_______________ 18．设a R ∈，若复数3a i z i-=+(i 是虚数单位)的实部为12，则 a = __________．19．已知复数43cos sin 55z i θθ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是纯虚数，（i 为虚数单位)，则tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.20．已知z C ∈，||1z =，则2|21|z z ++的最大值为______．三、解答题21．（Ⅰ）已知m R ∈，复数()()2245215z m m m m i =--+--是纯虚数，求m 的值；（Ⅱ）已知复数z 满足方程()20z z i +-=，求z 及2z i +的值． 22．已知复数w 满足()432(w w i i -=-为虚数单位）．（1）求w ；（2）设z C ∈，在复平面内求满足不等式12z w ≤-≤的点Z 构成的图形面积． 23．已知复数，，，求：（1）求的值；（2）若,且,求的值．24．已知复数()()2226z m m m m i =-++-所对应的点分别在（1）虚轴上；（2）第三象限．试求以上实数m 的值或取值范围． 25．已知1z i =+．（1）设23(1)4z i ω=+--，求ω；（2）如果2211z az bi z z ++=--+，求实数,a b 的值． 26．下列方程至少有一个实根，求实数t 的值与相应方程的根.（1）2(2)(2)0x t i x ti ++++=；（2）2(21)(3)0x i x t i --+-=.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据复数的除法运算把311i i-+化成(),a bi a b R +∈ 【详解】()()()()2231131331241211112i i i i i i ii i i i i -----++====+++--，31121i i i-∴=+==+ 故选：B . 【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的求模公式，属于基础题.2．A解析：A 【分析】根据复数的除法化简31ii+-，再根据复数相等的充要条件求出,a b ，即得答案. 【详解】()()()()2231334241211112i i i i i ia bi i i i i i +++++++=====+--+-， 1,2,1ab a b ∴==∴-=-.故选：A . 【点睛】本题考查复数的除法运算和复数相等的充要条件，属于基础题.3．A解析：A 【分析】由模的几何意义可转化为以(0,2)为圆心，1为半径的圆上一点与点(1,1)--距离的最小值,根据圆的性质即可求解. 【详解】因为21z i -=，所以复数z 对应的点Z 在以(0,2)为圆心，1为半径的圆上，因为1z i ++表示Z 点与定点(1,1)--的距离，所以Z 点与定点(1,1)--的距离的最小值等于圆心(0,2)与(1,1)--的距离减去圆的半径，即min 111z i ++==，故选：A 【点睛】本题主要考查了复数及复数模的几何意义，圆的性质，属于中档题.4．D解析：D 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a 值. 【详解】()()()()12i i 212i z a a a =++=-++为纯虚数， 20120a a -=⎧∴⎨+≠⎩，解得2a =，故选D. 【点睛】本题主要考查的是复数的乘法运算以及纯虚数的定义，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++以及()()()()a bi c di a bi c di c di c di +-+=++- 运算的准确性，否则很容易出现错误.5．C解析：C 【分析】利用复数代数形式的乘除运算法则求出241255i z i i i -=+=-++，由此能求出复数z 的虚部．【详解】∵复数z 满足：()()312z i i i -+=(其中i 为虚数单位)，∴()()()122412121255i i i z i i i i i i ---=+=+=-+++-． ∴复数z 的虚部等于45，故选C. 【点睛】本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数代数形式的乘除运算法则的合理运用．6．B【解析】分析：先根据复数除法法则得复数，再根据复数虚部概念得结果. 详解：因为，所以，因此复数的虚部为，选B.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为7．C解析：C 【解析】分析：利用复数模的性质直接求解．详解：∵3412iz i+=-， ∴2222343434512121(2)i i z z i i +++=====--+- 故选C ．点睛：复数(,)z a bi a b R =+∈的模为22z a b =+1212z z z z =，1122z z z z =． 8．B解析：B 【分析】先化简得到2z i =--，再计算2z i =-+得到答案。

(必考题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》检测(含答案解析)

一、选择题1．给出下列函数：①()()2ln 1f x x x =+-；②()3cos f x x x =；③()xf x e x =+.0a ∃>使得()0aaf x dx -=⎰的函数是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③2．在1100x y x y ==-=,,,围成的正方形中随机投掷10000个点，则落入曲线20x y -=,1y =和y 轴围成的区域的点的个数的估计值为（）A ．5000B ．6667C ．7500D ．78543．三棱锥D ABC -及其正视图和侧视图如图所示，且顶点,,,A B C D 均在球O 的表面上，则球O 的表面积为（）A ．32πB ．36πC ．128πD ．144π4．若函数()32nxf x x x =++在点()1,6M 处切线的斜率为33ln3+，则n 的值是（） A ．1 B ．2 C ．4 D ．35．设若20lg ,0()3,0ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰，((1))1f f =，则a 的值是( ) A ．-1 B ．2 C ．1 D ．-26．设()2012a x dx =-⎰,则二项式6212a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的常数项是（）A ．240B ．240-C ．60-D ．607．曲线22y x x =-与直线11x x =-=，以及x 轴所围图形的面积为（） A ．2 B ．83 C ．43 D ．238．已知幂函数a y x =图像的一部分如下图，且过点(2,4)P ，则图中阴影部分的面积等于（）A ．163B ．83C ．43D ．239．曲线()sin 0πy x x =≤≤与直线12y =围成的封闭图形的面积是 A ．3B ．23-C ．π23-D ．π33-10．若2221111,,,x a e dx b xdx c dx x ===⎰⎰⎰则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．a b c << B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．4B ．2C ．43D ．2312．下列积分值最大的是（） A ．222sin +1x x dx -⎰（）B ．()22cos x dx ππ--⎰C ．24x dx --⎰D ．11edx x二、填空题13．定积分211dx x⎰的值等于________. 14．曲线y x =21y x =-及x 轴所围成的封闭图形的面积为 ____．15．()12012x x dx -=⎰__________．16．定积分12(1)x x dx --=⎰______________.17．由曲线22y x =+与3y x =，1x =，2x =所围成的平面图形的面积为________________.18．已知()[](]221,1,11,1,2x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨-∈⎪⎩，则()21f x dx -=⎰______． 19．设函数()f x 的图象与直线,x a x b ==及x 轴所围成图形的面积称为函数()f x 在[],a b 上的面积，已知函数()sin f x nx =在0,2n π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的面积为1n()*n N ∈，则函数()()sin 32f x x π=-+在4,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的面积为__________．20．()402sin cos 2x a x dx π-=-⎰，则实数a =____________. 三、解答题21．已知函数()32f x x ax =+图像上一点()1,P b 的切线斜率为3-，()()()3261302t g x x x t x t -=+-++> （Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）当[]1,4x ∈-时，求()f x 的值域；（Ⅲ）当[]1,4x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围.22．如图所示，抛物线21y x =-与x 轴所围成的区域是一块等待开垦的土地，现计划在该区域内围出一块矩形地块ABCD 作为工业用地，其中A 、B 在抛物线上，C 、D 在x 轴上已知工业用地每单位面积价值为3a 元()0a >，其它的三个边角地块每单位面积价值a 元．（Ⅰ）求等待开垦土地的面积；（Ⅱ）如何确定点C 的位置，才能使得整块土地总价值最大． 23．设函数()x x f x e e -=- （1）证明：'()2f x ≥；（2）若对任意[0,)x ∈+∞都有21(22)f x x e e ---<-，求x 的取值范围.24．已知函数32()f x x ax bx c =+++的图象如图，直线0y =在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为274.（1）求()f x 的解析式；（2）若常数0m >，求函数()f x 在区间[],m m -上的最大值. 25．计算下列定积分（1） ()12xx e dx +⎰（2）2442cos tan 2x x dx ππ-⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰ （3）214x dx --26．计算由直线4,y x =-曲线2y x =x 轴所围图形的面积S 。

高中数学人教A版选修2-2综合测试试卷

高中数学人教A 版选修2-2综合测试试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.1＋2i (1－i )2＝( ) A ．－1－12i B ．－1＋12i C ．1＋12i D ．1－12i 2．若f(x)＝e x，则lim Δx →0f (1－2Δx )－f (1)Δx＝( ) A ．e B ．－e C ．2e D ．－2e3．已知数列2,5,11,20，x,47，…合情推出x 的值为( ) A ．29 B ．31 C ．32 D ．334．函数y ＝f(x)在区间[a ，b]上的最大值是M ，最小值是m ，若m ＝M ，则f ′(x)( )A ．等于0B ．大于0C ．小于0D ．以上都有可能 5．已知函数f(x)＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－ 3 ]∪[3，＋∞)B ．[－3， 3 ]C ．(－∞，－ 3 )∪(3，＋∞)D ．(－3， 3 )6．用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1<n(n ∈N *且n >1)时，第一步应验证不等式( )A ．1＋12<2B ．1＋12＋13<2C ．1＋12＋13<3D ．1＋12＋13＋14<37．对任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x >0时，有f ′(x )>0，g ′(x )＞0，则x <0时，有( )A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0B ．f ′(x )<0，g ′(x )>0C ．f ′(x )<0，g ′(x )<0D ．f ′(x )>0，g ′(x )<08．若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1 9．曲线y ＝13x 3＋12x 2在点T(1，56)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )A .4918B .4936C .4972D .4914410．在平面直角坐标系中，直线x －y ＝0与曲线y ＝x 2－2x 所围成的面积为( )A ．1B .52C .92 D ．911．用反证法证明命题：“若a ，b ∈N ，ab 能被5整除，则a ，b 中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是( ) A ．a ，b 都能被5整除 B ．a ，b 都不能被5整除 C ．a ，b 有一个能被5整除 D ．a ，b 有一个不能被5整除12．桌上放着红桃、黑桃和梅花三种牌，共20张，下列判断正确的是( )①桌上至少有一种花色的牌少于6张；②桌上至少有一种花色的牌多于6张；③桌上任意两种牌的总数将不超过19张．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．关于x的不等式mx2－nx＋p>0(m，n，p∈R)的解集为(－1,2)，则复数m＋p i所对应的点位于复平面内的第________象限．14．已知函数f(x)＝3x2＋2x，若⎠⎛1－1f(x)d x＝2f(a)成立，则a＝________.15．观察下列等式：(1＋1)＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5，…照此规律，第n个等式可为________________．16．若函数f(x)＝4xx2＋1在区间(m,2m＋1)上是单调递增函数，则实数m的取值范围是________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)用反证法证明：在△ABC中，若sin A>sin B，则∠B 必为锐角．19．(12分)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在点x0处取得极小值－7，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(－1,0)，(2,0)，如图所示，试求x0，a，b，c的值．20．(12分)设f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．(1)确定a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．21．(12分)已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，S n＝n2a n(n ∈N*)．(1)写出S1，S2，S3，S4，并猜想S n的表达式；(2)用数学归纳法证明你的猜想，并求出a n的表达式．22．(12分)已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x＋k2x2(k≥0)．(1)当k＝2时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间．参考答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.1＋2i (1－i )2＝( ) A ．－1－12i B ．－1＋12i C ．1＋12iD ．1－12i解析 1＋2i(1－i )2＝1＋2i －2i ＝(1＋2i )i －2i ·i ＝－1＋12i . 答案 B2．若f(x)＝e x，则lim Δx →0f (1－2Δx )－f (1)Δx＝( ) A ．e B ．－e C ．2eD ．－2e解析 ∵f(x)＝e x ，∴f ′(x)＝e x ，f ′(1)＝e .∴lim Δx →0f (1－2Δx )－f (1)Δx ＝－2lim Δx →0f (1－2Δx )－f (1)－2Δx＝－2f ′(1)＝－2e .答案 D3．已知数列2,5,11,20，x,47，…合情推出x 的值为( ) A ．29 B ．31 C ．32D ．33解析观察前几项知，5＝2＋3，11＝5＋2×3,20＝11＋3×3， x ＝20＋4×3＝32,47＝32＋5×3. 答案 C4．函数y ＝f(x)在区间[a ，b]上的最大值是M ，最小值是m ，若m ＝M ，则f ′(x)( )A ．等于0B ．大于0C ．小于0D ．以上都有可能答案 A5．已知函数f(x)＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－ 3 ]∪[3，＋∞)B ．[－3， 3 ]C ．(－∞，－ 3 )∪(3，＋∞)D ．(－3， 3 )解析 f ′(x)＝－3x 2＋2ax －1，若f(x)在(－∞，＋∞)上为单调函数只有f ′(x)≤0， ∴Δ＝(2a)2－4(－3)(－1)≤0，解得－3≤a ≤ 3. 答案 B6．用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1<n(n ∈N *且n >1)时，第一步应验证不等式( )A ．1＋12<2B ．1＋12＋13<2C ．1＋12＋13<3 D ．1＋12＋13＋14<3答案 B7．对任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x >0时，有f ′(x )>0，g ′(x )＞0，则x <0时，有( )A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0B ．f ′(x )<0，g ′(x )>0C ．f ′(x )<0，g ′(x )<0D ．f ′(x )>0，g ′(x )<0解析由f (－x )＝－f (x )及g (－x )＝g (x )知，f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，由函数奇偶性的性质得f ′(x )>0，g ′(x )<0.答案 D 8．若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1解析 S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪⎪21＝13(23－13)＝73，S 2＝⎠⎛121x d x ＝ln x ⎪⎪⎪⎪ 21＝ln 2，S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e x ⎪⎪⎪⎪21＝e 2－e .∵e 2－e >4，ln 2<lne ＝1,2<73<3，∴S 3>S 1>S 2. 答案 B9．曲线y ＝13x 3＋12x 2在点T(1，56)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )A .4918B .4936C .4972D .49144解析 y ′＝x 2＋x ，y ′|x ＝1＝2，∴切线方程为y －56＝2(x －1)，与坐标轴的交点分别为(0，－76)，(712，0)，故切线与坐标轴围成的三角形的面积S ＝12×76×712＝49144.答案 D10．在平面直角坐标系中，直线x －y ＝0与曲线y ＝x 2－2x 所围成的面积为( )A ．1B .52C .92D ．9解析如图所示由⎩⎨⎧y ＝x 2－2x ，y ＝x ，得交点(0,0)，(3,3)．∴阴影部分的面积为 S ＝⎠⎛03(x －x 2＋2x)d x ＝⎠⎛3(－x 2＋3x)d x ＝(－13x 3＋32x 2)⎪⎪⎪⎪ 30＝－9＋272＝92.答案 C11．用反证法证明命题：“若a ，b ∈N ，ab 能被5整除，则a ，b 中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是( )A ．a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a ，b 有一个能被5整除D ．a ，b 有一个不能被5整除答案 B12．桌上放着红桃、黑桃和梅花三种牌，共20张，下列判断正确的是( )①桌上至少有一种花色的牌少于6张；②桌上至少有一种花色的牌多于6张；③桌上任意两种牌的总数将不超过19张．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③答案 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．关于x 的不等式mx 2－nx ＋p >0(m ，n ，p ∈R )的解集为(－1,2)，则复数m ＋p i 所对应的点位于复平面内的第________象限．解析因为mx 2－nx ＋p >0(m ，n ，p ∈R )的解集为(－1,2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧m <0，(－1)＋2＝n m，(－1)×2＝p m ，解得m <0，p >0.故复数m ＋p i 所对应的点位于复平面内的第二象限．答案第二14．已知函数f (x )＝3x 2＋2x ，若⎠⎛1－1f(x)d x ＝2f(a)成立，则a ＝________.解析 ∵⎠⎛1－1(3x 2＋2x)d x ＝(x 3＋x 2)⎪⎪⎪⎪1－1＝2，∴2(3a 2＋2a)＝2.即3a 2＋2a －1＝0，解得a ＝－1，或a ＝13. 答案－1或13 15．观察下列等式： (1＋1)＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5， …照此规律，第n 个等式可为________________．解析观察上列等式可得第4个等式为(4＋1)(4＋2)(4＋3)(4＋4)＝24×1×3×5×7，…，第n 个等式为(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n)＝2n ×1×3×5×…×(2n －1)．答案 (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n)＝2n ×1×3×…×(2n －1)16．若函数f(x)＝4x x 2＋1在区间(m,2m ＋1)上是单调递增函数，则实数m 的取值范围是________．解析 f ′(x)＝4(x 2＋1)－4x·2x (x 2＋1)2＝4(1＋x )(1－x )(x 2＋1)2，令f ′(x)>0，得(1＋x)(1－x)>0，解得－1<x<1.若在区间(m,2m ＋1)上是单调增函数，则有⎩⎨⎧ m>－1，2m ＋1<1，解得－1<m<0.但m ＝0时，也适合，故－1<m ≤0.答案 (－1,0]三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)用反证法证明：在△ABC 中，若sin A>sin B ，则∠B 必为锐角．证明假设B 不是锐角，则0°<∠A<∠A ＋∠C ＝180°－∠B ≤90°，∴sin A<sin (180°－B)，即sin A<sin B ，这与已知sin A>sin B 矛盾，故∠B 必为锐角．18．(12分)已知f(x)为二次函数，且f(－1)＝2，f ′(0)＝0，∫10f(x)d x＝－2.(1)求f(x)的表达式；(2)求f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值．解 (1)设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，则f ′(x)＝2ax ＋b.由f(－1)＝2，f ′(0)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋c ＝2，b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2－a ，b ＝0. ∴f(x)＝ax 2＋2－a.又∵⎠⎛01f(x)d x ＝⎠⎛01(ax 2＋2－a)d x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13ax 3＋(2－a )x ⎪⎪⎪10＝13a ＋2－a ＝－2，∴a ＝6.从而c ＝－4.故f(x)＝6x 2－4.(2)∵f(x)＝6x 2－4，x ∈[－1,1]，∴f(x)min ＝－4.f(x)max ＝f(－1)＝f(1)＝2.故f(x)在[－1,1]上的最大值为2，最小值为－4.19．(12分)已知函数f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx 在点x 0处取得极小值－7，其导函数y ＝f ′(x)的图象经过点(－1,0)，(2,0)，如图所示，试求x 0，a ，b ，c 的值．解由y ＝f ′(x)的图象可知，在(－∞，－1)上f ′(x)<0，在(－1,2)上f ′(x)>0，在(2，＋∞)上f ′(x)<0，故f(x)在(－∞，－1)上递减，在(－1,2)上递增，在(2，＋∞)上递减．因此，f(x)在x ＝－1处取得极小值，所以x 0＝－1.∵f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx ，∴f ′(x)＝3ax 2＋2bx ＋c.故由f ′(－1)＝0，f ′(2)＝0，f(－1)＝－7，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －2b ＋c ＝0，12a ＋4b ＋c ＝0，－a ＋b －c ＝－7，解得a ＝－2，b ＝3，c ＝12.20．(12分)设f(x)＝a(x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)．(1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．解 (1)∵f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ＝ax 2－10ax ＋25a ＋6ln x ，∴f ′(x )＝2ax －10a ＋6x ＝2a (x －5)＋6x .令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝－8a ＋6.故曲线在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )(x －1)．又点(0,6)在切线上，得6－16a ＝8a －6，∴a ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x ，(x >0)，f ′(x )＝x －5＋6x ＝(x －2)(x －3)x. 令f ′(x )＝0，得x 1＝2，x 2＝3.当0<x <2或x >3时，f ′(x )>0，故f (x )的增区间为(0,2)，(3，＋∞)；当2<x <3时，f ′(x )<0，故f (x )的减区间为(2,3)．由此可知，当x ＝2时，f (x )取得极大值f (2)＝92＋6ln2.当x ＝3时，f (x )取得极小值f (3)＝2＋6ln3.21．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n∈N *)．(1)写出S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式；(2)用数学归纳法证明你的猜想，并求出a n 的表达式．解 (1)易求得S 1＝1＝22，S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85，猜想S n ＝2n n ＋1. (2)①当n ＝1时，S 1＝2×11＋1＝1，猜想成立． ②假设n ＝k (k ∈N *)时，S k ＝2k k ＋1，则当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝(k ＋1)2a k ＋1＝(k ＋1)2(S k ＋1－S k )，∴S k ＋1＝(k ＋1)2k 2＋2k ·2k k ＋1＝2(k ＋1)(k ＋1)＋1，这表明当n ＝k ＋1时，猜想也成立．根据①，②可知，对n ∈N *，S n ＝2n n ＋1，从而a n ＝S n n 2＝2n (n ＋1). 22．(12分)已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ＋k 2x 2(k ≥0)．(1)当k ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)求f (x )的单调区间．解 (1)当k ＝2时，f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2，f ′(x )＝11＋x－1＋2x . 由于f (1)＝ln2，f ′(1)＝32，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －ln2＝32(x －1)，即3x －2y ＋2ln2－3＝0.(2)f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x，x ∈(－1，＋∞)，当k ＝0时，f ′(x )＝－x 1＋x，所以在区间(－1,0)上f ′(x )>0；在区间(0，＋∞)上f ′(x )<0，故f (x )的单调增区间为(－1,0)，单调减区间为(0，＋∞)．当0<k <1时，由f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x＝0，得x 1＝0，x 2＝1－k k >0. 所以在区间(－1,0)和(1－k k ，＋∞)上f ′(x )>0；在(0，1－k k )上f ′(x )<0，故f (x )的单调增区间为(－1,0)和(1－k k ，＋∞)，单调减区间为(0，1－k k )．当k ＝1时，f ′(x )＝x 21＋x>0，故f (x )的单调增区间为(－1，＋∞)．当k >1时，由f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x ＝0，得x 1＝0，x 2＝1－k k ∈(－1,0)，所以在区间(－1，1－k k )和(0，＋∞)上f ′(x )>0；在区间(1－k k ，0)上f ′(x )<0，故f (x )的单调增区间为(－1，1－k k )和(0，＋∞)，单调减区间为(1－k k ，0)．。

(压轴题)高中数学高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》检测题(答案解析)(1)

一、选择题1．设点P 是曲线()23xf x e =-+上的任意一点，点P 处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A ．2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．20,,23πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭C ．50,,26πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ D ．5,26ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭2．日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为()5284100c x x=-（80100x <<）.当净化到95%时所需净化费用的瞬时变化率为（）元/吨. A ．5284B ．1056.8C ．211.36D ．105.683．设函数()ln f x x =，且()012,,0,x x x ∈+∞，下列命题： ①若12x x <，则()()122121f x f x x x x ->-； ②存在()012,x x x ∈，12x x <，使得()()120121f x f x x x x -=-； ③若11x >，21>x ，则()()12121f x f x x x -<-；④对任意的1x ，2x ，都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭. 其中正确的命题个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．14．221(1)1lim 1(1)1n n n→∞+--+的值为（） A ．0B ．1C ．12D ．不存在5．已知函数()f x 在0x x =处可导,若()()00021x f x x f x lim x∆→+∆-=∆,则()0'f x = （）A ．2B ．1C ．12D ．06．函数()(cos )x f x a x e =+，若曲线()y f x =在点,33f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线垂直于y 轴，则实数a =（）A B C D ．7．已知函数32(),3x f x x x m m R =+-+∈，2()45g x x x =-+，若直线2y x a =+与两函数的图象均相切，则m =（）A ．233-或13- B ．3-或7- C ．73-或7- D ．73-或13- 8．设曲线31x y x +=-在点25（，）处的切线与直线10ax y +-=平行，则a=（） A ．-4B ．14-C ．14D ．49．已知ln 0a b -=，1c d -=，则22()()a c b d -+-的最小值是（）.A ．1B C ．2D ．10．已知函数()f x 为R 上的可导函数，且x R ∀∈，均有()()f x f x '<，则有（） A ．2019(2019)(0)e f f -<，2019(2019)(0)f e f < B ．2019(2019)(0)e f f -<，2019(2019)(0)f e f > C ．2019(2019)(0)e f f ->，2019(2019)(0)f e f > D ．2019(2019)(0)e f f ->，2019(2019)(0)f e f <11．若函数()3ln f x x x x -+-，则曲线()y f x =在点()()-1,-1f 处的切线的倾斜角是（） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 12．函数()ln 0y x x =>的图象与直线12y x a =+相切，则a 等于（） A ．ln 21-B ．ln21+C ．ln 2D ．2ln 2二、填空题13．曲线232ln y x x x =-+的切线中，斜率最小的切线方程为__________.14．已知抛物线1C ：224y x x =+和2C ：22y x m =-+有且仅有一条公切线（同时与1C 和2C 相切的直线称为1C 和2C 的公切线），则m =______.15．经研究发现，三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠都有对称中心，设其为()()0,x f x ，则()0''0f x =，反之也成立，其中()''f x 是函数()f x 的导函数()'f x 的导数.已知()()322221f x x ax a a x a =++-++，若对任意的实数()1m m ≠，函数()f x 在x m =和2x m =-处的切线互相平行，则实数a =______.16．若函数()ln f x x =与函数()()2g 2ln 0x x x a x =++<有公切线，则实数a 的取值范围是________.17．已知函数()cos2f x x =的图象与直线()4400kx y k k π--=>恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为123,,x x x ，则()()2113tan x x x x -=-________.18．如图，函数y=f （x ）的图象在点P 处的切线方程是y=-x+8，则f （2018）+f'（2018）=_________.19．已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为_________．20．已知点P 在曲线sin y x =上，a 为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则a 的取值范围是__________．三、解答题21．已知函数()24ln 23f x x x ax =-+.（1）当1a =时，求()f x 的图象在()()1,1f 处的切线方程；（2）若函数()()3g x f x ax m =-+在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求实数m 的取值范围.22．已知直线240x y +-=与抛物线212y x =相交于,A B 两点（A 在B 上方）,O 是坐标原点。

(必考题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试(有答案解析)(2)

一、选择题1．如图，由曲线21y x =-直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是（）A ．1B ．23C ．43D ．22．定积分= A ．B ．C ．D ．3．已知函数()2ln 2f x mx x x =+-在定义域内存在单调递减区间，则实数m 的取值范围是（） A ．12m ≥B ．12m < C ．1m ≥ D ．1m < 4．设函数()f x 是R 上的奇函数， ()()f x f x π+=-，当02x π≤≤时，()cos 1f x x =-，则22x ππ-≤≤时， ()f x 的图象与x 轴所围成图形的面积为（）A ．48π-B ．24π-C ．2π-D ．36π-5．3侧面与底面所成的角是45︒，则该正四棱锥的体积是（） A ．23B ．43C 22D 426．曲线3y x =在点()1,1处的切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积为（） A ．83B ．73C ．53D ．437．已知402cos 2d t x x π=⎰，执行下面的程序框图，如果输入的,2a t b t ==，那么输出的n 的值为（）A ．3B ．4C ．5D ．68．20ln 1()231mx x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰，，，且()()10f f e =，则m 的值为（） A ．1B ．2C ．1-D ．2-9．已知125113,log ,log 3,a a x dx m a n p a-====⎰，则（） A ．m n p << B ．m p n <<C ．p m n <<D ．p n m <<10．已知320n x dx =⎰，且21001210(2)(23)n x x a a x a x a x +-=+++⋅⋅⋅+，则12310012102310a a a a a a a a +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+的值为（）A ．823B ．845C ．965-D ．87711．20sin xdx π=⎰（）A ．4B ．2C ．-2D ．012．设21,[0,1]()1,[1,0)x x f x x x ⎧⎪-∈=⎨+∈-⎪⎩，则11()f x dx -⎰等于（） A ．12π+B ．122π+ C ．124π+ D ．14π+二、填空题13．曲线2yx x 和2y x x 所围成的封闭图形的面积是_______.14．由曲线x y e x =+与直线0,1,0x x y ===所围成图形的面积等于________．15．由曲线sin .cos y x y x ==与直线0,2x x π==所围成的平面图形的面积是______.16．定积分121(4sin )x x dx --+=⎰________.17．已知曲线y x =，2y x =-，与x 轴所围成的图形的面积为S ，则S =__________．18．如图所示，则阴影部分的面积是 .19．在下列命题中 ①函数1()f x x=在定义域内为单调递减函数； ②已知定义在R 上周期为4的函数()f x 满足(2)(2)f x f x -=+，则()f x 一定为偶函数；③若()f x 为奇函数，则()2()(0)aaaf x dx f x dx a -=>⎰⎰；④已知函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，则0a b c ++=是()f x 有极值的充分不必要条件；⑤已知函数()sin f x x x =-，若0a b +>，则()()0f a f b +>. 其中正确命题的序号为___________________（写出所有正确命题的序号）. 20．二项式33()6a x -的展开式的第二项的系数为,则的值为______．三、解答题21．已知函数f （x ）=x 3-3ax+e ，g （x ）=1-lnx ，其中e 为自然对数的底数.（I ）若曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线与直线l ：x+2y=0垂直，求实数a 的值；（II ）设函数F （x ）=-x[g （x ）+12x-2]，若F （x ）在区间（m,m+1）（m ∈Z ）内存在唯一的极值点，求m 的值；（III ）用max{m ，n}表示m ，n 中的较大者，记函数h （x ）=max{f （x ），g （x ）}（x>0）. 若函数h （x ）在（0，+∞）上恰有2个零点，求实数a 的取值范围.22．已知函数32()f x x ax bx c =+++的图象如图，直线0y =在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为274.（1）求()f x 的解析式；（2）若常数0m >，求函数()f x 在区间[],m m -上的最大值. 23．（1）已知0a >，求22aa x dx --⎰；（2）求证：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的面积为ab π.24．在曲线2(0)y x x =≥上某一点A 处作一切线与曲线及坐标轴所围成图形的面积为112，试求：（1）点A 的坐标；（2）过切点A 的切线方程.25．已知函数()xae f x x x=+．（1）若函数()f x 的图象在(1,(1))f 处的切线经过点(0,1)-，求a 的值；（2）是否存在负整数a ，使函数()f x 的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a 的值；若不存在，请说明理由；（3）设0a >，求证：函数()f x 既有极大值，又有极小值 26．已知21()3cos cos 2f x x x x =-+ . （Ⅰ）写出()f x 的最小正周期T ；（Ⅱ）求由555()(0),0(0),(10),666y f x x y x x y πππ=≤≤=≤≤=-≤≤ 以及10(0)2x y =-≤≤ 围成的平面图形的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D解析：D 【解析】由曲线21y x =-直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是122201(1)(1)S x dx x dx =---⎰⎰31320111281()|()|2133333x x x x -+-=+--+ 2．B解析：B【解析】由题意得，故选B.3．B解析：B【解析】求导函数，可得()1'220f x mx x x=+->，，函数()2ln 2f x mx x x =+-在定义域内是增函数，所以()'0f x < 成立，即1220(0)mx x x+-<>恒成立，所以21211m x ⎛⎫->-- ⎪⎝⎭，所以21m ->-，所以12m < 时，函数()f x 在定义域内是增函数．故选B ．4．A解析：A【解析】由题设()()()()2f x f x f x f x ππ+=-⇒+=，则函数()y f x =是周期为2π的奇函数，画出函数()[],0,2y f x x π=∈的图像，结合函数的图像可知：只要求出该函数(),0,2y f x x π⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦的图像与x 轴所围成的面积即可。

(易错题)高中数学高中数学选修2-2第三章《导数应用》检测卷(有答案解析)(1)

一、选择题1．已知函数()ln f x x ax =-有两个零点，则实数a 的取值范围为（）A ．1a e<B ．0a <C ．0a ≤D ．10a e<<2．已知函数()32f x x bx cx =++的图象如图所示，则2212x x +等于（）A ．23B ．43C ．83D ．1633．已知函数()32f x x x x a =--+，若曲线()y f x =与x 轴有三个不同交点，则实数a 的取值范围为（）A ．11,27⎛⎫-∞-⎪⎝⎭B ．1,C ．5,127⎛⎫-⎪⎝⎭D ．11,127⎛⎫-⎪⎝⎭4．以下不等式不成立的是（） A ．sin x x >，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．1ln x x -≥，()0,x ∈+∞C ．10x e x --≥，x ∈RD ．ln 10x x e +->，()0,x ∈+∞5．函数()ln sin f x x x =+（x ππ-≤≤且0x ≠）的大致图像是（）A ．B ．C ．D ．6．若1201x x ，则（）A ．2121ln ln xxe e x x ->- B ．2121ln ln x x ee x x -<-C ．1221xxx e x e > D ．1221xxx e x e <7．已知函数21()43ln 2f x x x x =-+-在[,1]t t +上不单调，则t 的取值范围是（） A ．(0,1)(2,3)⋃B ．(0,2)C ．(0,3)D ．(0,1][2,3)⋃8．已知定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数为()f x '，满足()()f x f x <'，且(1)y f x =+为偶函数，(2)1f =，则不等式()x f x e <的解集为（） A ．4(,)e -∞B ．4(,)e +∞C ．(,0)-∞D ．(0,)+∞9．已知函数(),2021,0x e x f x x x x ⎧>=⎨-++≤⎩，若函数()()g x f x kx =-恰好有两个零点，则实数k 等于（e 为自然对数的底数）（） A ．1 B ．2 C ．e D ．2e10．已知函数()2x f x e =+，2()21g x x x =-+，若存在123,,,[0,1]n x x x x ∈，使得*122-1122-1()()()()+()()()()()+(),N n n n n n n f x f x f x g x g x g x g x g x f x f x n --++++=++++∈成立，则n 的最大值为（）（注：=2.71828e 为自然对数的底数）A ．9B ．8C ．7D ．611．已知0a >，函数()225,0,2,0,x a x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩若关于x 的方程()()2f x a x =-恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围为（）A ．14a <<B ．24a <<C ．48a <<D ．28a <<12．已知函数()22ln f x x x =-，若关于x 的不等式()0f x m -≥在[]1,e 上有实数解，则实数m 的取值范围是（） A ．()2,2e -∞-B ．(2,2e ⎤-∞-⎦C ．(],1-∞D ．(),1-∞二、填空题13．已知函数()24f x x ax =++（a ∈R ），()ln 2xg x x=+，若方程()0f g x ⎡⎤=⎣⎦有三个实根1x 、2x 、3x ，且123x x x <<，则2312123ln ln ln 222x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为______.14．函数()()2ln 23f x x x =++在区间31,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值之和为____________.15．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，对任意实数均有(1)()'()0x f x xf x -+>成立，且()1y f x e =+-是奇函数，则不等式()0x xf x e ->的解集是_________．16．已知函数()e e xxf x -=-，有以下命题：①()f x 是奇函数； ②()f x 单调递增函数；③方程()22f x x x =+仅有1个实数根；④如果对任意(0,)x ∈+∞有()f x kx >，则k 的最大值为2. 则上述命题正确的有_____________.（写出所有正确命题的编号） 17．已知函数2()f x x a =+，ln ()2e xg x x x=+，其中e 为自然对数的底数，若函数()y f x =与函数()y g x =的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是________．18．某生产厂家生产一种产品的固定成本为1万元，并且每生产1百台产品需增加投入0.5万元.已知销售收入()R x （万元）满足()32191882R x x x x =-++（其中x 是该产品的月产量，单位：百台，08x <<），假定生产的产品都能卖掉，则当公司每月产量为______百台时，公司所获利润最大.. 19．已知函数21()ln 2f x x a x =+，若对任意两个不等的正实数1x ，2x 都有()()12122f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是____20．已知函数2()2ln af x x x=+，其中0a >，若()2f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围为________．三、解答题21．设函数()()()ln 10f x x x =+≥，()()()101x x a g x x x ++=≥+.（1）证明：()2f x x x ≥-. （2）若()()f x xg x +≥恒成立，求a 的取值范围；（3）证明：当*n ∈N 时，()2121ln 149n n n-+>+++. 22．已知函数()ln 1x f x ae x =--．（1）设2x =是()f x 的极值点，求()f x 的单调区间；（2）证明：当1a e≥时，()0f x ≥． 23．已知函数2()f x alnx bx =-，a ，b R ∈．若()f x 在1x =处与直线12y 相切．（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 在1[e，]e 上的最大值．24．定义：若一个函数存在极大值，且该极大值为负数，则称这个函数为“YZ 函数”．（1）判断函数()1x xf x e=-是否为“YZ 函数”，并说明理由；（2）若函数()()ln g x x mx m R =-∈是“YZ 函数”，求实数m 的取值范围；（3）已知()32111323h x x ax bx b =++-，()0,x ∈+∞，a 、b R ∈，求证：当2a ≤-，且01b <<时，函数()h x 是“YZ 函数”．25．一件要在展览馆展出的文物类似于圆柱体，底面直径为0.8米，高1.2米，体积约为0.5立方米，为了保护文物需要设计各面是玻璃平面的正四棱柱形无底保护罩，保护罩底面边长不少于1.2米，高是底面边长的2倍，保护罩内充满保护文物的无色气体，气体每立方米500元，为防止文物发生意外，展览馆向保险公司进行了投保，保险费用和保护罩的占地面积成反比例，当占地面积为1平方米时，保险费用为48000元. （1）若保护罩的底面边长为2.5米，求气体费用和保险费用之和；（2）为使气体费用和保险费用之和最低，保护罩该如何设计？ 26．已知函数ln xy x=（0x >）. （1）求这个函数的单调区间；（2）求这个函数在区间21,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值与最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】求出()f x 的导数，可得0a ≤时函数单调递增，不满足题意，0a >时，利用()max 0f x >可得.【详解】可知()f x 的定义域为()0,∞+，()11ax f x a x x-'=-=，当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，()f x 单调递增，则()f x 不可能有两个零点；当0a >时，10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增；1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，则()f x 在1x a=处取得极大值即最大值11ln 1f a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，要满足()ln f x x ax =-有两个零点，则1ln 10a ->，解得10a e<<，综上，10a e<<. 故选：D. 【点睛】方法点睛：本题考查利用导数研究函数的零点，根据零点个数求参数，一般如下步骤：（1）求出函数的定义域，求出函数的导数；（2）先讨论参数范围（以明显使得导数为正或负为参数界点讨论）；（3）利用导数正负讨论函数单调性，得出极值或最值；（4）以极值或最值列出满足条件的等式或不等式，即可求出.2．C解析：C 【分析】先利用函数的零点，计算b 、c 的值，确定函数解析式，再利用函数的极值点为x ，xz ，利用导数和一元二次方程根与系数的关系计算所求值即可【详解】由图可知，()0f x =的3个根为0,1,2，()()110,28420f b c f b c ∴=++==++=，解得3,2b c =-=，又由图可知，12,x x 为函数f (x )的两个极值点，()23620f x x x ∴=-+='的两个根为12,x x ，121222,3x x x x ∴+==， ()222121212482433x x x x x x ∴+=+-=-=，故选：C 【点睛】本题主要考查了导数在函数极值中的应用，一元二次方程根与系数的关系，整体代入求值的思想方法.3．C解析：C 【分析】根据曲线()y f x =与x 轴有三个不同交点，可转化为函数()32g x x x x =-++与y a =的图象有三个不同的交点，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】函数()32f x x x x a =--+与x 轴有三个不同交点，可转化为函数()32g x x x x =-++与y a =的图象有三个不同的交点.又()2321(31)(1)g x x x x x '=-++=-+-，∴在1,,(1,)3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭上，()0g x '<；在1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭上，()0g x '>.∴()15327g x g ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭极小值，()()11g x g ==极大值，5127a ∴-<<. 故选：C 【点睛】本题考查函数的零点及导数与极值的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题.4．D解析：D 【分析】针对ABC 选项中的不等式构造函数，然后利用导数研究函数的单调性，由此判断出不等式成立，利用特殊值判断出D 选项不等式不成立. 【详解】A.令()sin x x x f -=，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由()cos 10x x f '=->，则()f x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增，则()()00sin 0sin f x f x x x x >=⇒->⇒>，不等式成立 B.令()1ln f x x x =--，()0,x ∈+∞，由()111x f x x x-'=-=，当()0,1x ∈，()0f x '<，()f x 单调递减，当()1,x ∈+∞，()0f x '>，()f x 单调递增，则()()101ln 01ln f x f x x x x ≥=⇒--≥⇒-≥，不等式成立C.令()1xf x e x =--，x ∈R ，由()1xf x e '=-，当(),0x ∈-∞，()0f x '<，()f x 单调递减，当()0,x ∈+∞，()0f x '>，()f x 单调递增，则()()0010xf x f e x =⇒--≥≥，不等式成立D.令()ln 1xf x x e =+-，()0,x ∈+∞，当1x =时，()110f e =-<，所以不等式不成立.故选：D 【点睛】本小题主要考查利用导数证明不等式，属于中档题.5．D解析：D 【分析】利用函数的奇偶性排除选项，能过导数求解函数极值点的个数，求出()f π的值，从而可判断选项【详解】解：因为()ln sin()ln sin ()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以()f x 为偶函数，故排除B当0πx <≤时，()ln sin f x x x =+，则'1()cos f x x x=+，令'()0f x =，则1cos x x=-，作出1,cos y y x x==-的图像如图，可知两个函数图像有一个交点，就是函数的极值点，所以排除A 因为()ln 1f ππ=>，所以排除C ，当0x x =时，'0()0f x =，故0(0,)x x ∈时，函数()f x 单调递增，当0(,)x x π∈时，函数()f x 单调递减，所以D 满足. 故选：D 【点睛】此题考查了与三角函数有关的函数图像识别，利用了导数判断函数的单调性，考查数形结合的思想，属于中档题6．C解析：C 【分析】令()x e f x x=，(01)x <<，()()ln 01xg x e x x =-<<，求出函数的导数，通过讨论x的范围，求出函数的单调区间，从而判断结论. 【详解】令()x e f x x =，(01)x <<，则2(1)()0x e x f x x-'=<，故()f x 在(0,1)递减，若1201x x ，则12()()f x f x >，故1212x x e e x x >，即1221x xx e x e >，故C 正确，D 不正确；令()()ln 01xg x e x x =-<<，则11()x xxe g x e x x-'=-=，令()1x h x xe =-，可知()h x 在()0,1单调递增，且(0)10,(1)10h h e =-<=->，则存在()00,1x ∈，使得0()0h x =，则当()00,x x ∈时，()0h x <，即()0g x '<，()g x 在()00,x 单调递减，当()0,1x x ∈时，()0h x >，即()0g x '>，()g x 在()0,1x 单调递增，所以()g x 在()0,1不单调，故A ，B 错误. 故选：C. 【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题.7．A解析：A 【详解】试题分析：此题考查导数的应用；2343(1)(3)()4x x x x f x x x x x-+--=-+-'=-=-，所以当(0,1),(3,)x ∈+∞时，原函数递减，当(1,3)x ∈原函数递增；因为在[],1t t +上不单调，所以在[],1t t +上即有减又有增，所以01{113t t <<<+<或13{31t t <<<+，01t ∴<<或23t <<，故选A.考点：函数的单调性与导数.8．D解析：D 【详解】()()()()()0()x xf x f x f xg x g x g x e e'-'=∴=<∴单调递减 (1)(1)(0)(2)1f x f x f f +=-+∴==因此()g()(0)0x f x e x g x <⇔<⇔> 故选：D9．C解析：C【分析】求得y kx =与x y e =的图象相切时的k 值，结合图象可得结论．【详解】()()0g x f x kx =-=，()f x kx =，作出()f x 的图象，及直线y kx =，如图，∵0x ≤时，221y x x =-++是增函数，0x =时，1y =，无论k 为何值，直线y kx =与()(0)y f x x =≤都有一个交点且只有一个交点，而()g x 有两个零点，∴直线y kx =与()(0)x f x e x =>只能有一个公共点即相切．设切点为00(,)x y ，()x f x e '=，00()xf x e '=，切线方程为000()-=-xx y e e x x ，切线过原点，∴000x x ee x -=-⋅，01x =，∴(1)kf e '==，故选：C ．【点睛】方法点睛：本题考查函数零点个数问题，解题方法是把零点转化为直线与函数图象交点个数，再转化为求直线与函数图象相切问题．10．D解析：D 【分析】构造函数()()()h x f x g x =-，利用导数研究函数的单调性，求出函数的值域即可求解. 【详解】由122-1()()()()+()n n n f x f x f x g x g x -++++*122-1()()()()+(),N n n n g x g x g x f x f x n -=++++∈，变形为：()()()()()()112222n n f x g x f x g x f x g x ---+-+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()()11n n n n f x g x f x g x --=-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，设()()()h x f x g x =-，则()()()()()1122n n n h x h x h x h x h x --+=+++，()()()()2222121x x h x f x g x e x x e x x =-=+--+=-++，()22'=-+x h x e x ，当[]0,1x ∈时，()0h x '>，所以[]0,1x ∈时，()h x 单调递增，()22h x e ∴≤≤+，()()()122n h x h x h x -∴++的值域为()()()22,22n e n -+-⎡⎤⎣⎦，若存在123,,,[0,1]nx x x x ∈，使得()()()()()1122n n n h x h x h x h x h x --+=+++，则()42224n e ≤-≤+，44n e ∴≤≤+，且n *∈N ，n ∴的最大值为6.故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查了导数研究函数方程的根，解题的关键是构造函数()()()h x f x g x =-，考查了运算能力、分析能力. 11．D解析：D 【分析】根据分段函数，看成函数()f x 与直线()2y a x =-的交点问题，分0x =，0x ≤，0x >讨论求解.【详解】当0x =时，()502f a =，对于直线()2y a x =-，2y a =，因为0a >，所以无交点；当0x ≤时，()2f x x '=，令2x a =-，解得 2ax =-，要使方程()()2f x a x =-恰有2个互异的实数解，则252222a a a a ⎛⎫⎛⎫-+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得 2a >；当0x >时，()2f x x '=-，令2x a -=-，解得 2ax =，因为0x ≤时，方程()()2f x a x =-恰有2个互异的实数解，则0x >时，无交点，则2222a a a ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得 8a <,综上：a 的取值范围为28a <<故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键是由0a >和直线()2y a x =-过定点()2,0，确定方程()()2f x a x =-恰有2个互异的实数解只有一种情况：当0x ≤时，方程恰有2个互异的实数解，当0x >时，方程无实数解.12．B解析：B【分析】由题意可得()max m f x ≤，利用导数求出函数()f x 在区间[]1,e 上的最大值，由此可求得实数a 的取值范围.【详解】由题意可知，存在[]1,3x ∈，使得()m f x ≤，则()max m f x ≤.()22ln f x x x =-，则()()()22112222x x x f x x x x x -+-'=-==，当[]1,3x ∈时，()0f x '≥，所以，函数()f x 在区间[]1,e 上单调递增，则()()2max 2f x f e e ==-，22m e ∴≤-，因此，实数m 的取值范围是(2,2e ⎤-∞-⎦. 故选：B.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤；（2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥；（3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤；（4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.二、填空题13．16【分析】利用导数画出函数的大致图象数形结合可得有两个不等实根满足且即可得解【详解】因为所以令得所以当时函数单调递增；当时函数单调递减又故可画出函数的大致图象如图所示：因为方程有三个实根故有两个不解析：16【分析】利用导数画出函数()g x 的大致图象，数形结合可得()0f x =有两个不等实根，满足124t t =、121022t t e<<<<+，且111ln 2x t x =+，32223ln ln 22x x t x x =+=+，即可得解. 【详解】因为()ln 2x g x x=+，()0,x ∈+∞，所以()21ln x g x x-'=，令()0g x '=得x e =，所以当()0,x e ∈时，()0g x '>，函数()g x 单调递增；当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，又()12g e e =+，故可画出函数()g x 的大致图象，如图所示：因为方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有三个实根，故()0f x =有两个不等实根，不妨设两根为1t ，2t ，且12t t <，则124t t =，所以121022t t e <<<<+，则111ln 2x t x =+，32223ln ln 22x x t x x =+=+，所以()22223121212123ln ln ln 22216x x x t t t t x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：16.【点睛】本题考查了函数的零点与方程的根的关系，考查了利用导数研究函数的单调性和极值，属于中档题.14．【分析】利用导数求得函数的单调性进而求得极值和区间端点处的函数值值找出函数的最大值和最小值即可【详解】解：由题得的定义域为由得或因为所以时单调递增；时单调递减；所以为极小值点且又因为又所以所以所以故解析：5ln 716+【分析】利用导数求得函数的单调性，进而求得极值和区间端点处的函数值值，找出函数的最大值和最小值即可.【详解】解：由题得()f x 的定义域为3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭， ()22(1)(21)22323x x f x x x x ++'=+=++ 由()0f x '=得，1x =-或12x =-,因为31,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦所以11,24⎛⎤- ⎥⎝⎦时，()0f x '>，()f x 单调递增； 31,42x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，()0f x '<，()f x 单调递减；所以12x =-为极小值点，且11ln 224f ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，又因为339ln 4216f ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，171ln 4216f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 又13711ln ln 2044322f f ⎛⎫⎛⎫--=->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以max 171()ln 4216f x f ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭ 所以()min 11ln 224f x f ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭. 所以max min 7115()()lnln 2ln 7216416f x f x +=+++=+. 故答案为：5ln 716+. 【点睛】本题主要考查用导数求函数的最值，属于中档题.15．【分析】将问题转化为解不等式令根据函数的单调性以及奇偶性求出的范围即可【详解】由可得令则故在上单调递增又是奇函数故故解得：故答案为：【点睛】本题主要考查了函数的单调性问题考查导数的应用以及函数的奇偶解析：()1,+∞【分析】将问题转化为解不等式()1x xf x e >，令()()x xf x g x e =，根据函数的单调性以及奇偶性求出x 的范围即可.【详解】由()0x xf x e ->可得()1x xf x e >，令()()x xf x g x e =，则()()()()10xx f x xf x g x e -+''=>，故()g x 在R 上单调递增，又()1y f x e =+-是奇函数，故()1f e =，()11g =，故()()1g x g >，解得：1x >，故答案为：()1,+∞.【点睛】本题主要考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数的奇偶性，属于中档题. 16．①②④【分析】根据题意依次分析4个命题对于①由奇函数的定义分析可得①正确；对于②对函数求导分析可得分析可得②正确；对于③分析可得即方程有一根进而利用二分法分析可得有一根在之间即方程至少有2跟故③错误解析：①②④【分析】根据题意，依次分析4个命题，对于①、由奇函数的定义分析可得①正确；对于②、对函数()x x f x e e -=-求导，分析可得()0f x '>，分析可得②正确；对于③、2()2x x g x e e x x -=---，分析可得(0)0g =，即方程2()2f x x x =+有一根0x =，进而利用二分法分析可得()g x 有一根在(3,4)之间，即方程2()2f x x x =+至少有2跟，故③错误，对于④、由函数的恒成立问题的分析方法，分析可得④正确，综合可得答案．【详解】解：根据题意，依次分析4个命题：对于①、()x x f x e e -=-，定义域是R ，且()()x x f x e e f x --=-=-，()f x 是奇函数；故①正确；对于②、若()x x f x e e -=-，则()0x x f x e e -'=+>，故()f x 在R 递增；故②正确；对于③、2()2f x x x =+，令2()2x x g x e e x x -=---，令0x =可得，(0)0g =，即方程2()2f x x x =+有一根0x =，()3313130g e e =--<，()4414200g e e =-->，则方程2()2f x x x =+有一根在(3,4)之间，故③错误；对于④、如果对任意(0,)x ∈+∞，都有()f x kx >，即0x x e e kx --->恒成立，令()x x h x e e kx -=--，且(0)0h =，若()0h x >恒成立，则必有()0x x h x e e k -'=+->恒成立，若0x x e e k -+->，即1x x x xk e e e e -<+=+恒成立，而12x xe e +，若有2k <，故④正确；综合可得：①②④正确；故答案为：①②④．【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的判定，以及方程的根与恒成立问题的综合应用，③关键是利用二分法，属于中档题．17．【分析】将已知等价转化为函数与函数的图象有两个交点分别作出图象观察其只需满足二次函数顶点低于函数的顶点从而构建不等式解得答案【详解】函数与函数的图象有两个交点等价于函数与函数的图象有两个交点对函数求解析：21,e e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭ 【分析】将已知等价转化为函数22y x ex a =-+与函数ln x y x =的图象有两个交点，分别作出图象，观察其只需满足二次函数顶点低于函数ln x y x =的顶点，从而构建不等式，解得答案. 【详解】函数()y f x =与函数()y g x =的图象有两个交点，等价于函数22y x ex a =-+与函数ln x y x =的图象有两个交点，对函数ln x y x =求导，得21ln x y x -'=，()0,x e ∈,0y '>，函数ln x y x =单调递增；(),x e ∈+∞,0y '<，函数ln x y x =单调递减，在x e =处取得极大值，也是最大值为1e，对二次函数22y x ex a =-+，其对称轴为x e =，顶点坐标为()2,e a e - 分别作出图象，其若要有两个交点，则2211a e a e e e-<⇒<+故答案为：21,e e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭ 【点睛】本题考查由函数图象的交点个数求参数的取值范围，属于中档题.18．6【分析】设销售利润为利用导数求出的最大值即可【详解】设销售利润为依题意可得当时当时所以在单调递增在单调递减所以时取得极大值也是最大值所以当公司每月生产6百台时获得利润最大故答案为：6【点睛】本题考解析：6【分析】设销售利润为1(),()()12g x g x R x x =--，利用导数求出()g x 的最大值即可. 【详解】设销售利润为()g x ，依题意可得， 3232191119()11,(0,8)882288g x x x x x x x x =-++--=-+-∈， 2393()(6)848g x x x x x '=-+=--，当(0,6)x ∈时，()0g x '>，当(6,8)x ∈时，()0g x '<，所以()g x 在(0,6)单调递增，在(6,8)单调递减，所以6x =时，()g x 取得极大值，也是最大值，所以当公司每月生产6百台时，获得利润最大.故答案为：6.【点睛】本题考查函数应用问题以及运用导数求最值，考查数学建模、数学计算能力，属于中档题. 19．【分析】由条件不妨设恒成立即为恒成立构造函数只需在上为增函数即可即求恒成立时的取值范围【详解】依题意不妨设恒成立恒成立设即在上为增函数恒成立只需的取值范围是故答案为:【点睛】本题考查函数的单调性求参解析：[1,)+∞【分析】由条件不妨设12x x >，()()12122f x f x x x ->-恒成立，即为()()112222f x x f x x ->-恒成立，构造函数()()2g x f x x =-，只需()g x 在(0,)+∞上为增函数即可，即求()0g x '≥恒成立时a 的取值范围.【详解】依题意，不妨设12x x >，()()12122f x f x x x ->-恒成立， ()()112222f x x f x x ->-恒成立，设()()2g x f x x =-即12()(),()g x g x g x >在(0,)+∞上为增函数，2()2,()1220ln a g x x g x x x a x x'=-+-+=≥， 22,(0,)a x x x ≥-+∈+∞恒成立，只需2max (2)1,(0,)a x x x ≥-+=∈+∞,a ∴的取值范围是[1,)+∞.故答案为:[1,)+∞.【点睛】本题考查函数的单调性求参数范围，构造函数把问题等价转化为函数的单调性是解题的关键，属于中档题.20．【分析】恒成立只需即可求出得出单调区间进而求出求解即可得出结论【详解】由得又函数的定义域为且当时；当时故是函数的极小值点也是最小值点且要使恒成立需则∴的取值范围为故答案为：【点睛】本题考查应用导数求解析：[),e +∞【分析】()2f x ≥恒成立，只需min ()2f x ≥即可，求出()f x '，得出单调区间，进而求出min ()f x ，求解即可得出结论.【详解】由2()2ln a f x x x =+，得()233222()x a a f x x x x-'=-+=，又函数()f x 的定义域为(0,)+∞且0a >，当0x <<()0f x '<；当x ()0f x '>，故x =()f x 的极小值点，也是最小值点，且ln 1f a =+，要使()2f x ≥恒成立，需ln 12a +≥，则a e ≥，∴a 的取值范围为[),e +∞．故答案为：[),e +∞．【点睛】本题考查应用导数求函数的最值，恒成立问题等价转化为函数的最值，考查计算求解能力，属于中档题.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）(],1-∞；（3）证明见解析.【分析】（1）令函数()()2ln 1h x x x x =+-+，[)0,x ∈+∞，利用导数判断函数单调递增，从而可得()()00h x h ≥=，即证.（2）令()()ln 11ax m x x x=+-+，转化为()0m x ≥恒成立，利用导数求出()()11x a m x x +-'=+，讨论a 的取值，判断函数的单调性，求出()()()min 100m x m a m =-<=，即求.（3）由（1）()2ln 1x x x +≥-，令1x n =，*n ∈N ，整理可得()21ln 1ln n n n n -+->，然后将不等式相加即可证明.【详解】（1）证明：令函数()()2ln 1h x x x x =+-+，[)0,x ∈+∞， ()21221011x x h x x x x+'=+-=≥++，所以()h x 为单调递增函数，()()00h x h ≥=，故()2ln 1x x x +≥-. （2）()()f x x g x +≥，即为()ln 11ax x x +≥+，令()()ln 11ax m x x x=+-+，即()0m x ≥恒成立， ()()()()2111111a x ax x a m x x x x +-+-'=-=+++，令()0m x '>，即10x a +->，得1x a >-. 当10a -≤，即1a ≤时，()m x 在[)0,+∞上单调递增，()()00m x m ≥=，所以当1a ≤时，()0m x ≥在[)0,+∞上恒成立；当10a ->，即1a >时，()m x 在()1,a -+∞上单调递增，在[]0,1a -上单调递减，所以()()()min 100m x m a m =-<=，所以当1a >，()0m x ≥不恒成立.综上所述：a 的取值范围为(],1-∞.（3）证明：由（1）知()2ln 1x x x +≥-，令1x n=，*n ∈N ，(]0,1x ∈， 211lnn n n n+->，即()21ln 1ln n n n n -+->，故有ln 2ln10->， 1ln 3ln 24->， …… ()21ln 1ln n n n n-+->，上述各式相加可得()2121ln 149n n n -+>+++. 【点睛】本题考查了利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立，考查了转化与划归的思想，属于中档题.22．（1）在()0,2上单调递减，在(2,)+∞上单调递增；（2）证明见解析.【分析】（1）由()20f '=可得212a e =，由导函数的符号可得函数的单调区间；（2）当1a e 时，()ln 1x e f x x e--()g x =，利用导数证明()0g x ≥即可. 【详解】（1）()f x 的定义域为1(0,),()e x f x a x'+∞=-．由题设知，()20f '=，所以212a e =．从而22111()ln 1,()22x x f x e x f x e e e x'=--=-．当02x <<时，()0f x <′；当2x >时，()0f x >′．所以()f x 在()0,2上单调递减，在(2,)+∞上单调递增．（2）证明：当1a e 时，()ln 1x e f x x e --．设()ln 1x e g x x e =--，则1()x e g x e x'=-为(0,)+∞上的增函数，当01x <<时，()0(1)g g x '<'=；当1x >时，()(1)0g x g ''>=．所以()g x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，所以1x =是()g x 的最小值点．故当0x >时，()()10g x g ≥=．因此，当1ae时，()()0f x g x ≥≥．【点睛】本题考查了由函数的极值点求参数，考查了利用导数求函数的单调区间，考查了利用导数证明不等式，属于中档题. 23．（1）112a b =⎧⎪⎨=⎪⎩；（2）12- . 【分析】（1）对()f x 进行求导，先利用导数求出在1x =处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．列出关于a ，b 的方程求得a ，b 的值．（2）判定函数的单调性，可得函数的极大值就是最大值，求出函数的极值可确定出最大值．【详解】（1）函数2()(0)f x alnx bx x =->，()2a f x bx x ∴'=-，函数()f x 在1x =处与直线12y相切， ∴(1)201(1)2f a b f b '=-=⎧⎪⎨=-=-⎪⎩，解得112a b =⎧⎪⎨=⎪⎩；（2）21()2f x lnx x =-，21()x f x x-'=，当1x e e 时，令()0f x '>得：11x e <，令()0f x '<，得1x e <，()f x ∴在1[e，1]，上单调递增，在[1，]e 上单调递减，所以函数的极大值就是最大值， ()max f x f ∴=（1）12=-．【点睛】本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、导数在最大值、最小值问题中的应用考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．24．（1）()f x 是“YZ 函数”，理由见解析；（2）1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（3）证明见解析. 【分析】（1）利用导数求出函数()y f x =的极大值，结合题中定义判断即可；（2）分0m ≤和0m >两种情况讨论，利用导数分析函数()y g x =的单调性，利用题中定义得出关于m 的不等式，进而可解得实数m 的取值范围；（3）求出函数()y h x =的导数()2h x x ax b =++'，利用导数分析函数()y h x =的单调性，设函数()y h x =的极值点分别为1x 、2x ，可知1x 、2x 是方程()0h x '=的两根，进而可列出韦达定理，结合韦达定理证明出函数()y h x =的极大值为负数，由此可证得结论.【详解】（1）函数()1x x f x e =-是“YZ 函数”，理由如下：因为()1x x f x e =-，则()1x x f x e='-，当1x <时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<，所以函数()1x x f x e =-的极大值()1110f e =-<，故函数()1x x f x e=-是“YZ 函数”；（2）函数()ln g x x mx =-的定义域为()0,+∞，()1g x m x '=-. 当0m ≤时，()10g x m x-'=>，函数()y g x =单调递增，无极大值，不满足题意；当0m >时，当10x m <<时，()10g x m x -'=>，函数单调递增，当1x m>时，()10g x m x -'=<，函数单调递减，所以函数()y g x =的极大值为111ln ln 1g m m m m m ⎛⎫=-⋅=--⎪⎝⎭，易知1ln 10g m m ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，解得1m e >，因此，实数m 的取值范围是1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（3） ()2h x x ax b =++'，因为2a ≤-，01b <<，则240a b ∆=->，所以()20h x x ax b =++='有两个不等实根，设为1x 、2x ，因为121200x x a x x b +=->⎧⎨=>⎩，所以1>0x ，20x >，不妨设120x x <<，当10x x <<时，()0h x '>，则函数()y h x =单调递增；当12x x x <<时，()0h x '<，则函数()y h x =单调递减.所以函数()y h x =的极大值为()321111111323h x x ax bx b =++-，由()21110h x x ax b =++='得()3211111x x ax b ax bx =--=--，因为2a ≤-，01b <<，所以()()322211111111111111323323h x x ax bx b ax bx ax bx b =++-=--++- ()()22211111121121111063333333ax bx b x bx b x b b b =+-≤-+-=--+-<．所以函数()y h x =是“YZ 函数”．【点睛】本题考查函数的新定义“YZ 函数”的应用，考查利用导数求函数的极值、利用极值求参数，同时也考查了利用导数证明不等式，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题. 25．（1）23055元；（2）保护罩为底面边长为2米，高为4米的正四棱柱【分析】（1）根据定义先求保险费用，再计算正四棱柱体积，进而求气体费用，最后求和得结果；（2）先列出气体费用和保险费用之和函数关系式，再利用导数求最值，即得结果.【详解】（1）保险费用为24800076802.5= 正四棱柱体积为22.5(2 2.5)⨯⨯所以气体费用为2500[2.5(2 2.5)0.5]15375⨯⨯⨯-=因此气体费用和保险费用之和为76801537523055+=（元）；（2）设正四棱柱底面边长为a 米，则 1.2a ≥因此气体费用和保险费用之和23224800048000500[(2)0.5]1000250y a a a a a=+⨯⨯-=+-因为2396000300002y a a a'=-+=∴= 当2a >时，0y '>，当1.22a ≤<时，0y '<，因此当2a =时，y 取最小值，保护罩为底面边长为2米，高为4米的正四棱柱时，气体费用和保险费用之和最低.【点睛】本题考查利用导数求函数最值、列函数解析式，考查基本分析求解能力，属中档题. 26．（1）函数ln x y x =在()0,e 单调递增；在(),e +∞单调递减；（2）最大值1e ，最小值e -.【分析】（1）对函数进行求导得()21ln x y f x x-''==，解不等式，即可得答案；（2）求出端点的函数值和极值，再进行比较，即可得答案；【详解】（1）()21ln x y f x x -''==，解()0f x '=得x e =，当0x e <<时，()0f x '>，所以函数ln x y x =在()0,e 单调递增；当x e >时，()0f x '<，所以函数ln x y x =在(),e +∞单调递减. （2）由（1）知，()ln x y f x x ==在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，在区间2,e e ⎡⎤⎣⎦单调递减，所以最大值为()1f e e =，而1f e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；()222f e e =. 因为()21f f ee ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以，ln x y x =在区间21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值1M e =，最小值m e =-. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属于基础题.。

高中数学综合测试题3 新人教A版选修2-2

高中新课标数学选修（2-2）综合测试题一、选择题1．函数2y x =在区间[12]，上的平均变化率为（）Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．5答案：Ｂ2．已知直线y kx =是ln y x =的切线，则k 的值为（）Ａ．1e Ｂ．1e- Ｃ．2e Ｄ．2e -答案：Ａ3．如果1N 的力能拉长弹簧1cm ，为了将弹簧拉长6cm （在弹性限度内）所耗费的功为（）Ａ．0.18J Ｂ．0.26J Ｃ．0.12J Ｄ．0.28J答案：Ａ4．方程2(4)40()x i x ai a ++++=∈R 有实根b ，且z a bi =+，则z =（）Ａ．22i - Ｂ．22i + Ｃ．22i -+ Ｄ．22i --答案：Ａ5．ABC △内有任意三点不共线的2002个点，加上A B C ，，三个顶点，共2005个点，把这2005个点连线形成不重叠的小三角形，则一共可以形成小三角形的个数为（）Ａ．4005 Ｂ．4002 Ｃ．4007 Ｄ．4000答案：Ａ6．数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，的第50项（）Ａ．8 Ｂ．9 Ｃ．10 Ｄ．11答案：Ｃ7．在证明()21f x x =+为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数()21f x x =+满足增函数的定义是大前提；④函数()21f x x =+满足增函数的定义是大前提．其中正确的命题是（）Ａ．①② Ｂ．②④ Ｃ．①③ Ｄ．②③答案：Ｃ8．若a b ∈R ，，则复数22(45)(26)a a b b i -++-+-表示的点在（）Ａ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限答案：Ｄ9．一圆的面积以210πcm /s 速度增加，那么当圆半径20cm r =时，其半径r 的增加速率u 为（）Ａ．12cm/s Ｂ．13 cm/s Ｃ．14 cm/s Ｄ．15 cm/s答案：Ｃ10．用数学归纳法证明不等式“11113(2)12224n n n n +++>>++”时的过程中，由n k =到1n k =+时，不等式的左边（）Ａ．增加了一项12(1)k +Ｂ．增加了两项11212(1)k k +++ Ｃ．增加了两项11212(1)k k +++，又减少了一项11k + Ｄ．增加了一项12(1)k +，又减少了一项11k +答案：Ｃ11．在下列各函数中，值域不是[22]-，的函数共有（）（1）(sin )(cos )y x x ''=+ （2）(sin )cos y x x '=+ （3）sin (cos )y x x '=+（4）(sin )(cos )y x x ''=· Ａ．1个Ｂ．2个Ｃ．3个Ｄ．4个答案：Ｃ12．如图是函数32()f x x bx cx d =+++的大致图象，则2212x x +等于（）Ａ．23Ｂ．43 Ｃ．83Ｄ．123答案：Ｃ二、填空题13．函数3()31f x x x =-+在闭区间[30]-，上的最大值与最小值分别为．答案：3，17-14．若113z i =-，268z i =-，且12111z z z +=，则z 的值为．答案：42255i -+15．用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数n a 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是．答案：21n a n =+16．物体A 的运动速度v 与时间t 之间的关系为21v t =-（v 的单位是m/s ，t 的单位是s ），物体B 的运动速度v 与时间t 之间的关系为18v t =+，两个物体在相距为405m 的同一直线上同时相向运动．则它们相遇时，A 物体的运动路程为．答案：72m三、解答题17．已知复数1z ，2z 满足2212121052z z z z +=，且122z z +为纯虚数，求证：123z z -为实数．证明：由2212121052z z z z +=，得22112210250z z z z -+=，即221212(3)(2)0z z z z -++=，那么222121212(3)(2)[(2)]z z z z z z i -=-+=+，由于，122z z +为纯虚数，可设122(0)z z bi b b ==∈≠R ，且，所以2212(3)z z b -=，从而123z z b -=±，故123z z -为实数．18．用总长14.8的钢条做一个长方体容器的框架，如果所做容器的底面的一边长比另一边长多0.5m ，那么高是多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．解：设该容器底面矩形的短边长为x cm ，则另一边长为(0.5)x +m ，此容器的高为14.8(0.5) 3.224y x x x =--+=-，于是，此容器的容积为：32()(0.5)(3.22)2 2.2 1.6V x x x x x x x =+-=-++，其中0 1.6x <<，即2()6 4.4 1.60V x x x '=-++=，得11x =，2415x =-（舍去），因为，()V x '在(01.6)，内只有一个极值点，且(01)x ∈，时，()0V x '>，函数()V x 递增； (11.6)x ∈，时，()0V x '<，函数()V x 递减；所以，当1x =时，函数()V x 有最大值3(1)1(10.5)(3.221) 1.8m V =⨯+⨯-⨯=，即当高为1.2m 时，长方体容器的空积最大，最大容积为31.8m ． 19．如图所示，已知直线a 与b 不共面，直线c a M =，直线b c N =，又a 平面A α=，b 平面B α=，c 平面C α=，求证：A B C ，，三点不共线．证明：用反证法，假设A B C ，，三点共线于直线l ， A B C α∈，，∵，l α⊂∴．c l C =∵，c ∴与l 可确定一个平面β． c a M =∵，M β∈∴．又A l ∈，a β⊂∴，同理b β⊂，∴直线a ，b 共面，与a ，b 不共面矛盾．所以A B C ，，三点不共线．20．已知函数32()31f x ax x x =+-+在R 上是减函数，求a 的取值范围．解：求函数()f x 的导数：2()361f x ax x '=+-．（1）当()0()f x x '<∈R 时，()f x 是减函数．23610()0ax x x a +-<∈⇔<R 且36120a ∆=+<3a ⇔<-．所以，当3a <-时，由()0f x '<，知()()f x x ∈R 是减函数；（2）当3a =-时，33218()331339f x x x x x ⎛⎫=-+-+=--+ ⎪⎝⎭，由函数3y x =在R 上的单调性，可知当3a =-时，()()f x x ∈R 是减函数；（3）当3a >-时，在R 上存在使()0f x '>的区间，所以，当3a >-时，函数()()f x x ∈R 不是减函数．综上，所求a 的取值范围是(3)--，∞．21．若0(123)i x i n >=，，，，，观察下列不等式：121211()4x x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥，123123111()9x x x x x x ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭≥，，请你猜测1212111()n nx x x x x x ⎛⎫++++++⎪⎝⎭满足的不等式，并用数学归纳法加以证明．解：满足的不等式为21212111()(2)n n x x x n n x x x ⎛⎫++++++⎪⎝⎭≥≥，证明如下： 1．当2n =时，结论成立；2．假设当n k =时，结论成立，即21212111()k kx x x k x x x ⎛⎫++++++⎪⎝⎭12121121121111111()()1k k k k k x x x x x x x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫=+++++++++++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭· 212111)1k kk x x x x ⎛⎫+++++++ ⎪⎝⎭≥ 2221(1)k k k ++=+≥．显然，当1n k =+时，结论成立．22．设曲线2(0)y ax bx c a =++<过点(11)-，，(11)，．（1）用a 表示曲线与x 轴所围成的图形面积()S a ；（2）求()Sa 的最小值．解：（1）曲线过点(11)-，及(11)，，故有1a b c a b c =-+=++，于是0b =且1c a =-，令0y =，即2(1)0ax a +-=，得x = 记α=，β，由曲线关于y 轴对称，有2300()2[(1)]2(1)3a S a ax a dx x a x ββ⎡⎤=+-=+-⎢⎥⎣⎦⎰|2(13a a ⎡=-=⎢⎣· （2）()S a 3(1)()(0)a f a a a-=<，则223221(1)()[3(1)(1)](21)a f a a a a a a a -'=---=+．令()0f a '=，得12a =-或1a =（舍去）．又12a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，∞时，()0f x'<；102a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，()0f x '>．所以，当12a =-时，()f a 有最小值274，此时()S a高中新课标数学选修（2-2）综合测试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．函数cos sin y x x x =-的导数为（）（A ）cos x x （B ）sin x x - （C ）sin x x （D ）cos x x -2．下列说法正确的是（）（A ）当0()0f x '=时，0()f x 为()f x 的极大值（B ）当0()0f x '=时，0()f x 为()f x 的极小值（C ）当0()0f x '=时，0()f x 为()f x 的极值（D ）当0()f x 为()f x 的极值时， 0()0f x '=3．如果z 是34i +的共轭复数，则z 对应的向量OA 的模是（）（A ）1 （B 7 （C 13（D ）54．若函数3()y a x x =-的递减区间为33(,33-，则a 的取值范围是（）（A ）(0,)+∞ （B ）(1,0)- （C ）(1,)+∞ （D ）(0,1)5．下列四条曲线（直线）所围成的区域的面积是（） (1)sin y x =;(2) s y co x =; (3)4x π=-;(4) 4x π=2 (B)22226．由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，叫（）（A ）合情推理（B ）演绎推理（C ）类比推理（D ）归纳推理7．复数a bi -与c di +的积是实数的充要条件是（）（A ）0ad bc += （B ）0ac bd += （C ）0ad bc -= （D ）0ac bd -= 8．已知函数1sin 2sin 2y x x =+，那么y '是（）（A ）仅有最小值的奇函数（B ）既有最大值又有最小值的偶函数（C ）仅有最大值的偶函数（D ）非奇非偶函数9．用边长为48厘米的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒。

人A数学选修2-2 阶段测试 (3)

选修2－2综合测评 (时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．已知复数z ＝21－i，则z 2－z ·z 等于( ) A ．－2＋2i B ．2i C ．－2－2iD ．－2i解析：∵z ＝21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝1＋i ，∴z ＝1－i ，∴z 2－z ·z ＝(1＋i)2－(1＋i)(1－i)＝2i －2＝－2＋2i. 答案：A2．(2019·福建三明高二月考)某演绎推理的“三段”分解如下：①函数f (x )＝13x 是减函数；②指数函数y ＝a x (0<a <1)是减函数；③函数f (x )＝13x 是指数函数，则按照演绎推理的三段论模式，排序正确的是( )A ．①→②→③B ．③→②→①C ．②→①→③D ．②→③→①解析：按照演绎推理的三段论模式可得，已知指数函数y ＝a x (0<a <1)是减函数，因为函数f (x )＝13x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<13<1是指数函数，所以函数f (x )＝13x 是减函数，即排序正确的是②→③→①，故选D.答案：D3．如图，曲线f (x )＝x 2和g (x )＝2x 围成几何图形的面积是( )A.12 B.23C.43D．4解析：由f(x)＝x2与g(x)＝2x得x2＝2x，得x＝0或x＝2，＝4－83＝43，故选C.答案：C4．设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2－2t＋2)i，t∈R，则下列命题中正确的是() A．z对应的点Z在第一象限B．z对应的点Z在第四象限C．z不是纯虚数D．z是虚数解析：当t＝12或t＝－3时，2t2＋5t－3＝0，此时z为纯虚数，C不正确；当－3<t<12时，2t2＋5t－3<0，又t2－2t＋2>0，此时z对应的点Z在第二象限，当t<－3或t>12时，2t2＋5t－3>0，又t2－2t＋2>0，此时z对应的点Z在第一象限，A、B不正确；∵t2－2t＋2>0恒成立，∴z是虚数，D正确．故选D.答案：D5．(2019·蚌埠二中高二检测)已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则()A．函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点B．函数f(x)有2个极大值点，2个极小值点C．函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点D．函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点解析：根据导函数的图象知，在x2处导函数由大于0变为小于0，此时原函数有极大值，在x3处导函数由小于0变为大于0，此时原函数有极小值，在x1，x4处导函数没有正负变化无极值点，故选A.答案：A6．设函数f(x)＝x cos x＋(a－2)x sin x＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A．y＝x B．y＝2xC．y＝4x D．y＝3x解析：∵函数f(x)＝x cos x＋(a－2)x sin x＋ax为奇函数，∴a＝2.∴f(x)＝x cos x＋2x，∴f′(x)＝cos x－x sin x＋2，∴f′(0)＝cos 0＋2＝3，∴曲线y＝f(x)在(0,0)处的切线方程为y＝3x.故选D.答案：D7．(2019·南阳一中高二月考)定积分|x|d x＝()A.52B．－52C.32D．－32解析：如图，|x |d x ＝12＋2＝52，故选A.答案：A8．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取得极值10，则实数a ＝( ) A ．4或－3 B ．4或－11 C ．4D ．－3解析：∵f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2， ∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . ∵f (x )在x ＝1处取得极值10，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b ＋a 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11，经检验⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3时函数f (x )在R 上单调递增，无极值，不符合题意，当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11时函数f (x )在x ＝1处取得极小值10， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11，故选C. 答案：C9．设f (x )＝13x 3＋ax 2＋5x ＋6在区间[1,3]上为单调函数，则实数a 的取值范围是()A．[－5，＋∞)B．(－∞，－3]C．(－∞，－3]∪[－5，＋∞)D．[－5，5]解析：f′(x)＝x2＋2ax＋5.由f′(x)≥0在[1,3]上恒成立，或f′(x)≤0在[1,3]上恒成立，得a≥－x2－52x或a≤－x2－52x，设g(x)＝－x2－52x＝－⎝⎛⎭⎪⎫x2＋52x，则g(x) 在[1,3]上的值域为[－3，－5]，∴a≤－3或a≥－ 5.答案：C10．给出下面三个推理：①由“若a、b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|”推广到复数中，则有“若z1、z2是复数，则|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|”；②由“在半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”类比推出“在半径为R的球内接长方体中，正方体的体积最大”；③以半径R为自变量，由“圆面积函数的导函数是圆的周长函数”类比推出“球体积函数的导函数是球的表面积函数”．其中，推理得到的结论正确的个数有()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：由复数的几何意义知，①正确；设球的内接长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则a2＋b2＋c2＝(2R)2，由基本不等式a2＋b2＋c2≥33a2b2c2，即abc ≤，当且仅当a ＝b ＝c 时，等式成立，即正方体的体积最大，②正确；球的体积V ＝43πR 3，则V ′＝4πR 2，③正确，综上所述，三个推理均正确．故选D.答案：D11．(2019·哈尔滨师大附中月考)已知函数f (x )＝x 3－ln(x 2＋1－x )，则对于任意实数a ，b (a ＋b >0)，则f (a )＋f (b )a ＋b的值为( ) A ．恒正 B ．恒等于0 C ．恒负D ．不确定解析：可知函数f (x )＋f (－x )＝x 3－ln(x 2＋1－x )＋(－x )3－ln(x 2＋1＋x )＝0，所以函数为奇函数，同时f ′(x )＝3x 2＋1x 2＋1>0，f (x )是递增函数，f (a )＋f (b )a ＋b ＝f (a )－f (－b )a －(－b )，所以f (a )＋f (b )a ＋b>0，所以选A.答案：A12．(2019·江西赣州十四县(市)期中联考)设f (x )＝e x (x 2＋2x )，令f 1(x )＝f ′(x )，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，若f n (x )＝e x (A n x 2＋B n x ＋C n )，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1C n 的前n 项和为S n ，当|S n－1|≤12 019时，n 的最小整数值为( )A ．2 017B ．2 018C ．2 019D ．2 020解析：由题意得f 1(x )＝(2x ＋2)e x ＋(x 2＋2x )e x ＝(x 2＋4x ＋2)e x ， f 2(x )＝(2x ＋4)e x ＋(x 2＋4x ＋2)e x ＝(x 2＋6x ＋6)e x ， f 3(x )＝(2x ＋6)e x ＋(x 2＋6x ＋6)e x ＝(x 2＋8x ＋12)e x ，…由此可得C 1＝2，C 2＝6，C 3＝12，故可归纳得C n ＝n (n ＋1)，∴1C n＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1，由题意得|S n －1|＝1n ＋1≤12 019，解得n ≥2 018.∴n 的最小整数值为2 018.故选B.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．若复数z ＝3－i|2－i|，则|z |＝________. 解析：z ＝3－i |2－i|＝3－i 5，∴|z |＝|3－i|5＝105＝ 2. 答案： 214．对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式： 22＝1＋332＝1＋3＋542＝1＋3＋5＋7…23＝3＋533＝7＋9＋1143＝13＋15＋17＋19…根据上述分解规律，若m 2＝1＋3＋5＋…＋11，p 3的分解中最小的正整数是21，则m ＋p ＝______.解析：由所给等式推测m ＝6，p ＝5，∴m ＋p ＝11. 答案：1115．已知z 1＝m 2－(m 2－3m )i ，z 2＝(m 2－4m ＋3)i ＋10(m ∈R )，若z 1<z 2，求实数m 的取值为________．解析：∵z 1<z 2，∴z 1与z 2均为实数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝0，m 2－4m ＋3＝0，∴m ＝3.答案：316．对于三次函数y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512，根据这一发现可得：(1)函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为________． (2)计算f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫27＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫37＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫47＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫57＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫67＝________.解析：(1)依题意，f ′(x )＝x 2－x ＋3， ∴f ″(x )＝2x －1，由2x －1＝0得x ＝12，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝13×18－12×14＋3×12－512＝1，∴函数f (x )的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.(2)由f (x )的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫67＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫27＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫57＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫37＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫47＝2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫27＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫37＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫47＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫57＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫67＝6. 答案：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 (2)6三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解：(1)选择②式，计算如下： sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15° ＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 证法一：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 证法二：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos (60°－2α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.18．(12分)(1)已知x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，求实数x ，y 的值；(2)关于x 的方程3x 2－a2x －1＝(10－x －2x 2)i 有实根，求实数a 的值．解：(1)∵x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，x ，y ∈R ， ∴⎩⎨⎧ x 2－y 2＝0，2xy ＝2，解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－1.(2)∵关于x 的方程3x 2－a2x －1＝(10－x －2x 2)i 有实根，且a ∈R ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－a 2x －1＝0，10－x －2x 2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，a ＝11或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－52，a ＝－715.19．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－23，满足S n ＋1S n＋2＝a n (n ≥2)，(1)求S 2，S 3，S 4；(2)根据(1)猜想S n 的表达式，并用数学归纳法证明．解：(1)由a 1＝－23，及S n ＋1S n＋2＝a n (n ≥2)可算得S 1＝－23，S 2＝－34，S 3＝－45，S 4＝－56.(2)由此猜想S n 的表达式是S n ＝－n ＋1n ＋2.下面用数学归纳法证明：①由a 1＝S 1＝－23＝－1＋11＋2知，当n ＝1时，等式成立； ②当n ≥2时，假设n ＝k (k ≥1)时等式成立，即S k ＝－k ＋1k ＋2，那么，当n ＝k ＋1时，由S n ＋1S n ＋2＝a n (n ≥2)得 S k ＋1＋1S k ＋1＋2＝a k ＋1，得－1S k ＋1＝(S k ＋1－a k ＋1)＋2，而S k ＝S k ＋1－a k ＋1，∴－1S k ＋1＝S k ＋2＝－k ＋1k ＋2＋2＝k ＋3k ＋2， ∴S k ＋1＝－k ＋2k ＋3＝－(k ＋1)＋1(k ＋1)＋2. 所以当n ＝k ＋1时，等式成立．综合①②可知，对任意的正整数n ，有S n ＝－n ＋1n ＋2成立． 20．(12分)已知非零实数a ，b ，c 成等差数列，且公差d ≠0，求证：1a ，1b ，1c 不可能是等差数列．证明：假设1a ，1b ，1c 成等差数列，则1a ＋1c ＝2b ，又∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b ，∴b ＝a ＋c 2，把b ＝a ＋c 2代入1a ＋1c ＝2b ，得(a －c )2＝0，∴a ＝c ，∴c －a ＝2d ＝0，这与公差d ≠0矛盾，∴1a ，1b ，1c 不可能是等差数列．21．(12分)(2019·乾安中学高三模拟)在各项为正的数列{a n }中，数列的前n项和S n 满足S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n . (1)求a 1，a 2，a 3；(2)由(1)猜想到数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．解：(1)由S 1＝a 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1，得a 21＝1，因为a n >0，所以a 1＝1.由S 2＝a 1＋a 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2，得a 22＋2a 2－1＝0，所以a 2＝2－1，由S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋1a 3，得a 23＋22a 3－1＝0，所以a 3＝3－ 2.(2)猜想a n ＝n －n －1(n ∈N ＋)．证明：①当n ＝1时，a 1＝1－0＝1，命题成立；②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，a k ＝k －k －1成立，则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k ，即a k ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12k －k －1＋1k －k －1＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k ，所以a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0.所以a k ＋1＝k ＋1－k ，则n ＝k ＋1时，命题成立．由①②知，n ∈N ＋，a n ＝n －n －1.22．(12分)(2019·长庆高中高三阶段测试)设函数f (x )＝a e x ln x ＋b e x －1x ，曲线y＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝e(x －1)＋2.(1)求a ，b ；(2)证明：f (x )>1.解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a e x ln x ＋a x e x －b x 2e x －1＋b x e x －1.由题意可得f (1)＝2，f ′(1)＝e.故a ＝1，b ＝2.(2)证明：由(1)知，f (x )＝e x ln x ＋2x e x －1，从而f (x )>1等价于x ln x >x e －x －2e .设函数g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝1＋ln x .所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，g ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，g ′(x )>0. 故g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增，从而g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e . 设函数h (x )＝x e －x －2e ，则h ′(x )＝e －x (1－x )．所以当x ∈(0,1)时，h ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0.故h (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h (1)＝－1e .所以g (x )≥－1e ≥h (x )，又因为等号无法同时取到，所以g (x )>h (x )，即f (x )>1.。

(易错题)高中数学高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》测试题(含答案解析)(1)

一、选择题1．已知()()()()()()*1232,f x x x x x n n n N =++++≥∈，其导函数是()f x '，若()()10n f a f '-=，则50a =（） A ．150! B ．150 C ．50 D ．50!2．直线y kx b =+与曲线()y f x =相切也与曲线()y g x =相切，则称直线y kx b =+为曲线()y f x =和曲线()y g x =的公切线，已知()x f x e =，()ln 2g x x =+，直线l 是()f x 与()g x 的公切线，则直线l 的方程为（）A ．1y x e =或1y x =-B ．y ex =-或1y x =--C ．y ex =或1y x =+D ．1y x e=-或1y x =-+ 3．如图，()y f x =是可导函数，直线l ：2y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线，令2()()g x x f x =，()g x '是()g x 的导函数，则()3g '等于（）A ．3B ．0C ．2D ．44．若曲线()x f x mx e n =⋅+在点()()1,1f 处的切线方程为y ex =，则m n +的值为（）A ．12e +B ．12e -C ．12D ．2e 5．函数()2221sin cos 622x x f x x =+-的导函数()y f x '=的图象大致是（） A ． B ．C ．D ．6．已知()ln 1x f x x =+，则()0f '等于（） A ．12 B ．12- C ．14 D ．14- 7．函数22sin 22()([,0)(0,])133x x f x x x ππ=∈-+的图像大致为（） A ． B ．C ．D ．8．设函数()ln f x x =，且()012,,0,x x x ∈+∞，下列命题：①若12x x <，则()()122121f x f x x x x ->-； ②存在()012,x x x ∈，12x x <，使得()()120121f x f x x x x -=-； ③若11x >，21>x ，则()()12121f x f x x x -<-； ④对任意的1x ，2x ，都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭. 其中正确的命题个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．19．直线2y kx =+与曲线32y x ax b =++相切于点(1,4)，则4a b +的值为（） A ．2 B ．－1 C ．1 D ．－210．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2()f x xf e ='lnx +，则()f e =（） A ．e B ．1e - C ．1- D ．e -11．已知函数f(x)=x 2-ax 的图象在点A(1，f(1))处的切线l 与直线x+3y=0垂直，若数列{1()f n }的前n 项和为S n ，则S 2013的值为( ) A ．20102011 B ．20112012 C ．20122013 D ．2013201412．曲线l (n )f x x x =-在点(1,(1))f 处的切线方程为A ．0x y +=B ．1x =C ．20x y --=D ．1y =-二、填空题13．函数()ln(32)f x x =-在点(1,(1))f 处的切线方程为_______14．已知函数32()1(0,0)32x b f x x ax a b =-++>>，则函数'()()ln f x g x a x a =+在点(,())b g b 处切线的斜率的最小值是________．15．已知1()2(1)f x xf x=+'，则(2)f '=______． 16．如图，函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程是28y x =-+，则(3)(3)f f '+=__________．17．已知函数1()f x x x=+和点(1,0)P ，过点P 作曲线()y f x =的两条切线PM ，PN ，切点分别为M ，N ，则直线MN 的斜率等于____.18．某物体作直线运动，其位移S 与时间t 的运动规律为2S t t =+t 的单位为秒，S 的单位为米），则它在第4秒末的瞬时速度应该为__________米/秒.19．设函数y=-x 2+l 的切线l 与x 轴，y 轴的交点分别为A ，B ，O 为坐标原点，则△OAB 的面积的最小值为__________.20．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足2()32(2)f x x xf ，则(3)f '=_______．三、解答题21．已知函数，，曲线在处的切线方程为．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）若对，恒有成立，求的取值范围． 22．定义在R 上的函数()()313,3f x x cx f x =++在0x =处的切线与直线2y x =+垂直. （1）求函数()y f x =的解析式；（2）设()()4ln g x x f x =-'，（其中f x 是函数()f x 的导函数），求()g x 的极值. 23．已知函数()31132f x x =+. （1）求曲线y =f （x ）在点516P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；（2）求过点122A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，作曲线y =f （x ）的切线方程.24．求下列函数的导函数.（1）()521y x =+（2）1log 32a y x =+ 25．已知平面向量(sin 2,cos2),(sin 2,cos2)a x xb ϕϕ==，设函数()f x a b =⋅（ϕ为常数且满足0πϕ-<<），若函数4y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象的一条对称轴是直线8x π=. （1）求ϕ的值；（2）求函数4y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值：（3530x y -+=与函数4y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象不相切． 26．已知函数()()1ln 1x f x x ++=和()()1ln 1g x x x =--+（1）若()f x '是()f x 的导函数，求(1)f '的值（2）当0x >时，不等式()()0g x f x k x'->恒成立，其中()g x '是()g x 导函数,求正整数k 的最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】求出()1f '-和()0f ，可得出n a 的表达式，进而可计算得出50a 的值.【详解】()()()()()123f x x x x x n =++++，其中2n ≥且n *∈N ，()()()()()()()2313f x x x x n x x x n '∴=++++++++()()()121x x x n ++++-，()()11231f n '∴-=⨯⨯⨯⨯-，()()01231f n n =⨯⨯⨯⨯-⨯，则()()110n f a f n'-==，因此，50150a =. 故选：B.【点睛】本题考查导数值的计算，考查计算能力，属于中等题. 2．C解析：C【分析】首先设出切点坐标，根据导数的几何意义列出等量关系，解出切点坐标，从而得到切点方程.【详解】设()f x ，()g x 的切点分别为11(,)x x e ，22(,ln 2)x x +，()x f x e '=，1()g x x '=. 所以121x x k e ==，即1221ln ln x x x ==-. 又因为122221221ln 2ln 2ln x x x e x k x x x x +-+-==-+，所以222221ln 21ln x x x x x +-=+. 整理得22(1)(ln 1)0x x -+=，解得：21x =或21x e=. 所以()g x 的切点为(1,2)或1(,1)e，1k =或e . 切线为21y x -=-或11()y e x e-=-，即：1y x =+或y ex =.故选：C【点睛】本题主要考查导数的切线问题，利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系进行转化为解题的关键，属于中档题. 3．A解析：A【分析】2y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线求出=(3)k f ，由图(3)=1f ，对2()()g x x f x =求导取值可得.【详解】2y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线,所以切点(3,1)代入切线方程得1=(3)=3k f ，又(3)=1f 2()()g x x f x =，2()2()+()g x xf x x f x ''=，(3)6(3)+9(3)=3g f f ''∴=故选：A.【点睛】本题考查导数的几何意义.根据导数的几何意义求参数值的思路根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点00)(P x y ，既在曲线上又在切线上构造方程组求解．4．A解析：A【分析】求导得到()()'1xf x m x e =+⋅，由已知得()1f e =，()1f e '=，解得答案. 【详解】()x f x mx e n =⋅+，则()()'1x f x m x e =+⋅，故()1f e =，()1f e '=，()11me n e m e e +=⎧∴⎨+=⎩，解得122m e n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以12e m n ++=. 故选：A .【点睛】本题考查了根据切线方程求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.5．C解析：C【分析】将函数()y f x =的解析式化简，求出其导数()1sin 3f x x x '=+，，然后结合导函数的符号排除错误选项即可确定导函数的图像.【详解】因为()222211sin cos cos 6226x x f x x x x =+-=-，()1sin 3f x x x '∴=+. 当03x <≤时，103x >，sin 0x >，则()1sin 03f x x x '=+>；当3x >时，113x >，1sin 1x -≤≤，则()1sin 03f x x x '=+>. 所以，当0x >时，()1sin 03f x x x '=+>，排除ABD 选项，故选：C.【点睛】本题考查函数图象的识别，给定函数解析式，一般要结合函数的定义域、奇偶性、单调性（导数）、特殊值符号、零点等知识进行逐一排除，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.6．C解析：C【分析】首先利用换元法求出函数()f x 的解析式，再求出其导函数，最后代入求值即可；【详解】解：()ln 1x f x x=+，令ln t x =，t R ∈，则t x e =()1tt e f t e∴=+，t R ∈()1xx e f x e∴=+，x ∈R ()()()()()222111x x x x x x e e e e f x e e +-'∴==++()()0201041e f e '∴==+故选：C【点睛】本题考查换元法求函数解析式，导数的计算，属于中档题.7．A解析：A【分析】根据解析式判断函数的奇偶性，2f π⎛⎫⎪⎝⎭的正负，以及2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭'的正负，即可进行选择. 【详解】因为()221x sinx f x x =+，()221x sinx f x x -=-+，且定义域关于原点对称，故()f x 是奇函数，排除选项C ；因为2220212f πππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭=> ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故排除选项D ；因为()()()()223222121xsinx x cosx x x sinx f x x ++-=+'，故可得220212f πππ⎛⎫=> ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦' 故函数()f x 在点(),2f x π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线的斜率为正数，故排除选项B ；故选：A.【点睛】本题考查函数图像的识别，涉及函数的奇偶性，特值的把握，利用导数研究函数某点处切线的斜率，属综合中档题.8．B解析：B【分析】作出函数的图象，并作出切线与割线，结合导数的几何意义，对选项逐个分析，可选出答案.【详解】对于①，设112x =，21x =，()()121221ln ln1122ln 21112f x f x x x x --==>=--，显然①不正确；作出函数()ln f x x =的图象，取点()()11,C x f x ，点()()22,D x f x ，取线段CD 的中点B ，过B 作垂直于x 轴的直线交函数图象于A ，显然A B y y >，即()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭，即④成立. 在弧CD 之间，必存在某点E ，使过该点的切线的斜率等于割线CD 的斜率，所以②对. 对于③，1()f x x'=，()'f x 在()0,∞+上单调递减，(1)1f '=，表示过点()1,0的切线的斜率为1，若11x >，21>x ，则1()1f x '<，2()1f x '<，割线CD 的斜率小于1，所以③对.故选：B.【点睛】本题考查函数的导数、导数的几何意义，考查对数函数的图象性质，考查学生的推理能力，属于中档题.9．A解析：A【解析】【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，由切点满足切线的方程和曲线的方程，解方程即可求解，得到答案．【详解】由题意，直线2y kx =+与曲线32y x ax b =++相切于点(1,4)，则点(1,4)满足直线2y kx =+，代入可得412k =⨯+，解得2k =，又由曲线()32f x x ax b =++，则()232f x x a '=+，所以()213122f a '=⨯+=，解得12a =-，即()3f x x xb =-+，把点(1,4)代入()3f x x x b =-+，可得3411b =-+，解答4b =，所以144()422a b +=⨯-+=，故选A ．【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，其中解答中熟记导数的几何意义，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 10．C解析：C【分析】求得()12()f x f e x '='+，令x e =，解得1()f e e '=-，得到()2f x x lnx e=-+，即可求解()f e 的值，得到答案.【详解】由题意，函数()2()f x xf e ='lnx +，则()12()f x f e x '='+，令x e =，则()12()f e f e e '='+，解得1()f e e '=-，即()2f x x lnx e =-+，令x e =，则()2ln 1f e e e e =-⨯+=-，故选C. 【点睛】本题主要考查了导数运算，以及函数值的求解，其中正确求解函数的导数，求得()f e '的值，得出函数的解析式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 11．D解析：D【解析】【分析】利用导数的几何意义求b ，然后通过数列{()1f n }的通项公式，利用裂项法进行求和即可求出S 2013的值．【详解】∵f(x)=x 2-ax ，∴f′(x)=2x -a ，根据导数的几何意义，∴y=f(x)的图象在点A(1，f(1))处的切线斜率k=f′(1)=2-a ，∵函数f(x)=x 2-ax 的图象在点A(1，f(1))处的切线l 与直线x+3y=0垂直，∴()1213a ⎛⎫-⨯-=- ⎪⎝⎭，∴a=-1，∴f(x)=x 2+x ，∴f(n)=n 2+n=n(n+1)，∴()()111111f n n n n n ==-++ , ∴20131111112013112232013201420142014S =-+-++-=-=. 故选D ．【点睛】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，数列的求和．考查学生的综合能力．属于中档题．12．D解析：D 【解析】由题可得11'()1xf x x x-=-=，则切线的斜率为'(1)0f =，又(1)1f =-，所以切线方程为1y =-，故选D ．二、填空题13．【分析】求出该点坐标和导函数该点的导数值即为此处切线斜率利用点斜式写出直线方程化简可得【详解】由题：所以函数在处的切线斜率所以切线方程：即故答案为：【点睛】此题考查导数的几何意义求函数在某点处的切线解析：330x y --=【分析】求出该点坐标和导函数，该点的导数值即为此处切线斜率，利用点斜式写出直线方程化简可得. 【详解】由题：(1)ln(32)0f =-=，3()32f x x '=-，所以函数()f x 在(1,0)处的切线斜率(1)3k f '==，所以切线方程：03(1)y x -=-，即330x y --=. 故答案为：330x y --=. 【点睛】此题考查导数的几何意义，求函数在某点处的切线方程，易错点在于容易混淆函数值与导数值，考查基本运算，是基础题.14．2【解析】【分析】根据已知条件得到的导函数根据限制性条件和基本不等式进行解答【详解】因为所以又因为所以（b ）所以斜率的最小值是2故答案是：2【点睛】本题主要考查导数的计算和基本不等式求最值根据导数的解析：2 【解析】【分析】根据已知条件得到()()f x g x alnx a'=+的导函数，根据限制性条件0a >，0b >和基本不等式进行解答．【详解】因为()()f x g x alnx a'=+，所以2()a x b g x x a-'=+．又因为0a >，0b >，所以g '（b ）22a b b a ab a b b-=+=+，所以斜率的最小值是2．故答案是：2．【点睛】本题主要考查导数的计算和基本不等式求最值，根据导数的几何意义求出切线斜率是解决本题的关键．15．【解析】【分析】先求导再求和【详解】由题得所以故答案为：【点睛】（1）本题主要考查导数的求法意在考查学生对该知识的掌握水平和基本的计算能力(2)解答本题的关键是求在求导时知道它是一个常数就可以了解析：74【解析】【分析】先求导，再求()1f '和()2f '. 【详解】由题得222111()2(1),(1)2(1),(1)1,()21f x f f f f f x x x =-+∴=-+∴=∴=-'''''+'，所以()2f '=17244-+=. 故答案为：74【点睛】（1）本题主要考查导数的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和基本的计算能力.(2)解答本题的关键是求(1)f '，在求导时，知道它是一个常数就可以了.16．【解析】分析：根据导数几何意义得再根据函数值得代入即得结果详解：由题意可知故点睛：利用导数的几何意义解题主要是利用导数切点坐标切线斜率之间的关系来进行转化解析：0【解析】分析：根据导数几何意义得(3)2f '=-，再根据函数值得(3)2382f =-⨯+=，代入即得结果.详解：由题意可知(3)2382f =-⨯+=，(3)2f '=-，故(3)(3)0f f '+=．点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.17．2【解析】设∵函数∴∵过点作曲线的两条切线∴∴直线的方程为直线的方程为∵∴∴即是方程的两根∴∴直线的斜率故答案为2点睛：本题主要考查利用导数求切线斜率属于中档题应用导数的几何意义求切点处切线的斜率主解析：2 【解析】设11(,)M x y ，22(,)N x y . ∵函数()1f x x x=+ ∴21()1f x x =-' ∵过点P 作曲线()y f x =的两条切线PM ，PN ∴2111PM k x =-，2211PNk x =- ∴直线PM 的方程为11211(1)()y y x x x -=--，直线PN 的方程为22221(1)()y y x x x -=--. ∵1111y x x =+，2221y x x =+ ∴11211110()(1)(1)x x x x -+=--，22222110()(1)(1)x x x x -+=-- ∴211210x x +-=，222210x x +-=，即1x ，2x 是方程2210x x +-=的两根. ∴122x x +=-，121x x ⋅=- ∴直线MN 的斜率12121212121211112MN x x y y x x k x x x x x x +---===-=--⋅.故答案为2.点睛：本题主要考查利用导数求切线斜率，属于中档题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x '=；(2) 己知斜率k 求切点()()11,,A x f x 即解方程()1f x k '=；(3) 巳知切线过某点()()11,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点()()00,,A x f x 利用()()()10010f x f x k f x x x -'==-求解.18．【解析】由题意可得所以第4秒末的瞬时速度为填解析：32【解析】由题意可得t 2S t t =+（）,1()1s t t=+'所以第4秒末的瞬时速度为13(4)124s '=+=，填32。

高中数学选修2-2综合测试题及答案

选修2-2综合测试题2一、选择题1．在数学归纳法证明“1211(1)1n na a a a a n a+*-++++=≠∈-N ，”时，验证当1n =时，等式的左边为（）Ａ．1Ｂ．1a -Ｃ．1a + Ｄ．21a -2．已知三次函数3221()(41)(1527)23f x x m x m m x =--+--+在()x ∈-+，∞∞上是增函数，则m 的取值范围为（Ａ．m <3．设(f Ａ．1，4Ａ．y =5．数列Ａ．676．已知Ａ．x >7．复数Ａ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限8．定义A B B C C D D A ****，，，的运算分别对应下图中的（1），（2），（3），（4），那么，图中（Ａ），（Ｂ）可能是下列（）的运算的结果Ａ．B D *，A D *Ｂ．B D *，A C * Ｃ．B C *，A D *Ｄ．C D *，A D *9．用反证法证明命题“a b ∈N ，，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除．”则假设的内容是（）Ａ．a ，b 都能被5整除Ｂ．a ，b 都不能被5整除Ｃ．a 不能被5整除Ｄ．a ，b 有1个不能被5整除 10．下列说法正确的是（）Ａ．函数y x =有极大值，但无极小值Ｂ．函数y x =有极小值，但无极大值Ｃ．函数y x =既有极大值又有极小值Ｄ．函数y x =无极值11．对于两个复数12α=，12β=-，有下列四个结论：①1αβ=；②1αβ=；③1αβ=；17．设n *∈N 且sin cos 1x x +=-，求s i n c o snnx x +的值．（先观察1234n =，，，时的值，归纳猜测sin cos n n x x +的值．）18．设关于x 的方程2(tan )(2)0x i x i θ-+-+=，（1）若方程有实数根，求锐角θ和实数根；（2）证明：对任意ππ()2k k θ≠+∈Z ，方程无纯虚数根．19．设0t ≠，点(0)P t ，是函数3()f x x ax =+与2()g x bx c =+的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线．（1）用t 表示a b c ，，；（2）若函数()()y f x g x =-在(13)-，上单调递减，求t 的取值范围．20．下列命题是真命题，还是假命题，用分析法证明你的结论．命题：若a b c >>，且0a b c ++=，<．21．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为(0)k k >，且知当利率为0.012时，存款量为1.44亿；又贷款的利率为4.8%时，银行吸收的存款能全部放贷22（1）求（217当2n =当3n =而sin x +当4n =18由于a ，tan θ∈R ，那么21tan tan 20tan 111a a a a θθ=-⎧--=⎧⇒⎨⎨=+=⎩⎩，，．又π02θ<<，得1π4a θ=-⎧⎪⎨=⎪⎩，．（2）若有纯虚数根()i ββ∈R ，使2()(tan )()(2)0i i i i βθβ-+-+=，即2(2)(tan 1)0i βββθ-+--+=，由β，tan θ∈R ，那么220tan 10βββθ⎧-+-=⎨+=⎩，，由于220ββ-+-=无实数解．故对任意ππ()2k k θ≠+∈Z ，方程无纯虚数根19、解：（1）因为函数()f x ，()g x 的图象都过点(0)t ，，所以()0f t =，即30t at +=．因为0t ≠，所以2a t =-．()0g t =，即20bt c +=，所以c ab =．又因为()()f x g x ，在点(0)t ，处有相同的切线，所以()()f t g t ''=，而2()3f x x a '=+，()2g x bx '=，所以232t a bt +=．将2a 323（2当y '由y '若t ][)3+，∞．20a b c ++∵21、解：由题意，存款量2()f x kx =，又当利率为0.012时，存款量为1.44亿，即0.012x =时， 1.44y =；由21.44(0.012)k=·，得10000k =，那么2()10000f x x =，银行应支付的利息3()()10000g x x f x x ==·，设银行可获收益为y ，则2348010000y x x =-，由于296030000y x x '=-，则0y '=，即2960300000x x -=，得0x =或0.032x =．因为，(00.032)x ∈，时，0y '>，此时，函数2348010000y x x =-递增；(0.0320.048)x ∈，时，0y '<，此时，函数2348010000y x x =-递减；故当0.032x =时，y 有最大值，其值约为0.164亿．22、解：（1）由1()a f x =，得21()a f a ==，32()a f a =43()a f a =（2证明：（（2由（1）。

(完整版)数学选修2-2练习题及答案

目录：数学选修2-2第一章导数及其应用 [基础训练A 组] 第一章导数及其应用 [综合训练B 组] 第一章导数及其应用 [提高训练C 组] 第二章推理与证明 [基础训练A 组] 第二章推理与证明 [综合训练B 组]第二章推理与证明 [提高训练C 组] 第三章复数 [基础训练A 组] 第三章复数 [综合训练B 组]第三章复数 [提高训练C 组]（数学选修2-2）第一章导数及其应用[基础训练A 组]一、选择题1．若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+--的值为（）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x - D ．02．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（） A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒 3．函数3yx x 的递增区间是（）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞4．32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（）A ．319 B ．316C ．313 D ．310 5．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．必要非充分条件6．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（）A ．72B ．36C ．12D ．0二、填空题1．若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________________；2．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________； 3．函数sin xy x=的导数为_________________； 4．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________； 5．函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。

北师大版高中数学选修2-2测试题全套及答案

北师大版高中数学选修2-2测试题全套及答案模块综合测评(时间150分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若复数z＝a＋i的实部与虚部相等，则实数a＝()A.－1B.1C.－2D.2【解析】z＝a＋i的虚部为1，故a＝1，选B.【答案】B2.已知复数z＝11＋i，则z·i在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】∵z＝11＋i＝1－i2，∴z＝12＋12i，∴z·i＝－12＋1 2i.【答案】B3.观察：6＋15<211， 5.5＋15.5<211，4－2＋17＋2<211，……，对于任意的正实数a，b，使a＋b<211成立的一个条件可以是()A.a＋b＝22B.a＋b＝21C.ab＝20D.ab＝21【解析】由归纳推理可知a＋b＝21.故选B.【答案】B4.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝()A.－eB.－1C.1D.e【解析】∵f(x)＝2xf′(1)＋ln x，∴f′(x)＝2f′(1)＋1x，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，∴f′(1)＝－1.【答案】B5.由①y＝2x＋5是一次函数；②y＝2x＋5的图像是一条直线；③一次函数的图像是一条直线.写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是()A.②①③B.③②①C.①②③D.③①②【解析】该三段论应为：一次函数的图像是一条直线(大前提)，y＝2x＋5是一次函数(小前提)，y＝2x＋5的图像是一条直线(结论).【答案】D6.已知函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图像如图1所示，则( )图1A.函数f (x )有1个极大值点，1个极小值点B.函数f (x )有2个极大值点，2个极小值点C.函数f (x )有3个极大值点，1个极小值点D.函数f (x )有1个极大值点，3个极小值点【解析】根据极值的定义及判断方法，检查f ′(x )的零点左右值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个点处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个点处取得极小值；如果左右都是正，或者左右都是负，那么f (x )在这个点处不是极值.由此可见，x 2是函数f (x )的极大值点，x 3是极小值点，x 1，x 4不是极值点. 【答案】 A7.曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A.94e 2 B.2e 2C.e 2D.e 22【解析】 ∵f ′(x )＝e x ，∴曲线在点(2，e 2)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝e 2，切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，即e 2x －y －e 2＝0，切线与x 轴和y 轴的交点坐标分别为A (1，0)，B (0，－e 2)，则切线与坐标轴围成的△OAB 的面积为12×1×e 2＝e 22.【答案】 D8.已知数列1，a ＋a 2，a 2＋a 3＋a 4，a 3＋a 4＋a 5＋a 6，…，则数列的第k 项是( ) A.a k ＋a k ＋1＋…＋a 2k B.a k －1＋a k ＋…＋a 2k －1 C.a k －1＋a k ＋…＋a 2k D.a k －1＋a k ＋…＋a 2k －2【解析】由归纳推理可知，第k 项的第一个数为a k －1，且共有k 项.故选D. 【答案】 D9.函数f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，则( ) A.a ≤0 B.a <1C.a <2D.a ≤13 【解析】由题意可知f ′(x )＝3ax 2－1≤0在R 上恒成立，则a ≤0. 【答案】 A10.设a ＝⎠⎛10x －13d x ，b ＝1－⎠⎛01x 12d x ，c ＝⎠⎛10x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系( ) A .a>b>c B.b>a>c C .a>c>b D.b>c>a【解析】由题意可得a ＝⎠⎛01x －13dx ＝32x 23⎪⎪⎪10＝32；b ＝1－⎠⎛01x 12dx ＝1－23x 32⎪⎪⎪10＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23－0＝13；c ＝⎠⎛01x 3dx ＝x 44⎪⎪⎪1＝14.综上，a >b >c . 【答案】 A11.在数学归纳法的递推性证明中，由假设n ＝k 时成立推导n ＝k ＋1时成立时，f (n )＝1＋12＋13＋…＋12n －1增加的项数是( )A.1B.2k ＋1C.2k －1D.2k【解析】 ∵f (k )＝1＋12＋13＋…＋12k －1，又f (k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1.从f (k )到f (k ＋1)是增加了(2k ＋1－1)－2k ＋1＝2k 项.【答案】 D12.已知函数f (x )＝x 3－ln (x 2＋1－x )，则对于任意实数a ，b (a ＋b ≠0)，则f （a ）＋f （b ）a ＋b的值为( )A.恒正B.恒等于0C.恒负D.不确定【解析】可知函数f (x )＋f (－x )＝x 3－ln (x 2＋1－x )＋(－x )3－ln (x 2＋1＋x )＝0，所以函数为奇函数，同时， f ′(x )＝3x 2＋1x 2＋1>0，f (x )是递增函数，f （a ）＋f （b ）a ＋b＝f （a ）－f （－b ）a －（－b ），所以f （a ）＋f （b ）a ＋b>0，所以选A .【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)13.复数3＋ii 2(i 为虚数单位)的实部等于________. 【解析】 ∵3＋ii 2＝－3－i ，∴其实部为－3.【答案】－314.观察下列等式：13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，……，根据上述规律，第五个等式为________.【解析】第n 个等式左边为1到n ＋1的立方和，右边为1＋2＋3＋…＋(n ＋1)的平方，所以第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.【答案】 13＋23＋33＋43＋53＋63＝21215.曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝12围成的封闭图形的面积为__________.【解析】由于曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝12的交点的横坐标分别为x ＝π6及x ＝5π6，因此所求图形的面积为⎠⎜⎛π65π6⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －12dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos x －12x ⎪⎪⎪⎪5π6π6＝3－π3.【答案】3－π316.已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的切线方程是________.【解析】设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝e x －1＋x . ∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )＝e x －1＋x . ∵当x ＞0时，f ′(x )＝e x －1＋1， ∴f ′(1)＝e 1－1＋1＝1＋1＝2.∴曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的切线方程为 y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.【答案】 2x －y ＝0三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)设复数z ＝（1＋i ）2＋3（1－i ）2＋i，若z 2＋az ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值.【解】 z ＝（1＋i ）2＋3（1－i ）2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i＝（3－i ）（2－i ）5＝5－5i5＝1－i .因为z 2＋az ＋b ＝(1－i )2＋a (1－i )＋b ＝－2i ＋a －ai ＋b ＝(a ＋b )－(2＋a )i ＝1＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，－（2＋a ）＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4.18.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3x ＋1. (1)当a ＝－2时，讨论f (x )的单调性；(2)若x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥0，求a 的取值范围. 【解】 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 3－32x 2＋3x ＋1， f ′(x )＝3x 2－62x ＋3.令f ′(x )＝0，得x 1＝2－1，x 2＝2＋1.当x ∈(－∞， 2－1)时，f ′(x )＞0，f (x )在(－∞，2－1)上是增函数；当x ∈(2－1，2＋1)时，f ′(x )＜0，f (x )在(2－1, 2＋1)上是减函数；当x ∈(2＋1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在(2＋1，＋∞)上是增函数.(2)由f (2)≥0，得a ≥－54.当a ≥－54，x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＝3(x 2＋2ax ＋1)≥3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－52x ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －2)＞0，所以f (x )在(2，＋∞)上是增函数，于是当x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥f (2)≥0.综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－54，＋∞.19.(本小题满分12分)设等差数列{a n }的公差为d ，S n 是{a n }中从第2n －1项开始的连续2n －1项的和，即 S 1＝a 1， S 2＝a 2＋a 3，S 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7， ……S n ＝a 2n －1＋a 2n －1＋1＋…＋a 2n －1， ……若S 1，S 2，S 3成等比数列，问：数列{S n }是否成等比数列？请说明你的理由.【解】 ∵S 1，S 2，S 3成等比数列， ∴S 1＝a 1≠0，且S 1·S 3＝S 22，由S 1·S 3＝S 22，得a 1(a 4＋a 5＋a 6＋a 7)＝(a 2＋a 3)2，即a 1(4a 1＋18d )＝(2a 1＋3d )2，2a 1d ＝3d 2.∴d ＝0或a 1＝32d . 当d ＝0时，S n ＝2n －1a 1≠0，S n ＋1S n ＝2n a 12n －1a 1＝2(常数)，n ∈N ＋，{S n }成等比数列；当a 1＝32d 时，S n ＝a 2n －1＋a 2n －1＋1＋a 2n －1＝2n －1a 2n －1＋2n －1（2n －1－1）2d＝2n －1[a 1＋(2n －1－1)d ]＋2n －1（2n －1－1）2d＝2n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫32d ·2n －1＋a 1－32d ＝32d ·4n －1≠0， S n ＋1S n ＝32d ·4n32d ·4n －1＝4(常数)，n ∈N ＋，{S n }成等比数列.综上所述，若S 1，S 2，S 3成等比数列，则{S n }成等比数列.20.(本小题满分12分)已知幂函数f (x )＝x －m 2＋2m ＋3(m ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设函数g (x )＝14f (x )＋ax 3＋92x 2－b (x ∈R )，其中a ，b ∈R ，若函数g (x )仅在x ＝0处有极值，求a 的取值范围.【解】 (1)因为f (x )在区间(0，＋∞)上是单调增函数，所以－m 2＋2m ＋3>0，即m 2－2m －3<0，所以－1<m <3，又m ∈Z ，所以m ＝0，1，2. 而m ＝0，2时，f (x )＝x 3不是偶函数，m ＝1时， f (x )＝x 4是偶函数，所以f (x )＝x 4.(2)由(1)知g (x )＝14x 4＋ax 3＋92x 2－b ，则g ′(x )＝x (x 2＋3ax ＋9)，显然x ＝0不是方程x 2＋3ax ＋9＝0的根. 为使g (x )仅在x ＝0处有极值，必须x 2＋3ax ＋9≥0恒成立，即有Δ＝9a 2－36≤0，解不等式得a ∈[－2，2]. 这时，g (0)＝－b 是唯一极值，所以a ∈[－2，2].21.(本小题满分12分)在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n . (1)求a 1，a 2，a 3；(2)由(1)猜想到数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想.【解】 (1)由S 1＝a 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1，得a 21＝1，因为a n >0，所以a 1＝1.由S 2＝a 1＋a 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2，得a 22＋2a 2－1＝0，所以a 2＝2－1，由S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋1a 3，得a 23＋22a 3－1＝0，所以a 3＝3－ 2. (2)猜想a n ＝n －n －1(n ∈N ＋).证明：①当n ＝1时， a 1＝1－0＝1，命题成立； ②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时， a k ＝k －k －1成立，则n ＝k ＋1时， a k ＋1＝S k ＋1－S k＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k ，即a k ＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1 －12⎝⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k ，所以a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0. 所以a k ＋1＝k ＋1－k ，则n ＝k ＋1时，命题成立. 则①②知，n ∈N ＋，a n ＝n －n －1.22.(本小题满分12分)设函数f (x )＝a e x ln x ＋b ex －1x ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝e(x －1)＋2.(1)求a ，b ； (2)证明：f (x )>1.【解】 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a e x ln x ＋a x e x －b x 2e x －1＋bx e x －1.由题意可得f (1)＝2，f ′(1)＝e.故a ＝1，b ＝2.(2)证明：由(1)知，f (x )＝e x ln x ＋2x e x －1，从而f (x )>1等价于x ln x >x e －x －2e .设函数g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝1＋ln x .所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，g ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，g ′(x )>0.故g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增，从而g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e .设函数h (x )＝x e －x －2e ，则h ′(x )＝e －x (1－x ).所以当x ∈(0，1)时，h ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0.故h (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h (1)＝－1e . 综上，当x >0时，g (x )>h (x )，即f (x )>1.章末综合测评(一) 推理与证明(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下面四个推理不是合情推理的是()A.由圆的性质类比推出球的有关性质B.由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°C.某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分D.蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的【解析】逐项分析可知，A项属于类比推理，B项和D项属于归纳推理，而C项中各个学生的成绩不能类比，不是合情推理.【答案】C2.用反证法证明命题“若直线AB，CD是异面直线，则直线AC，BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A，B，C，D四点共面，所以AB，CD共面，这与AB，CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC，BD也是异面直线；③假设直线AC，BD是共面直线.则正确的序号顺序为()A.①②③B.③①②C.①③②D.②③①【解析】结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.【答案】B3.下列推理是归纳推理的是()A.A，B为定点，动点P满足|P A|＋|PB|＝2a>|AB|，得P的轨迹为椭圆B.由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式C.由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积S＝πabD.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇【解析】由归纳推理的特点知，选B.【答案】B4.用反证法证明“a，b，c中至少有一个大于0”，下列假设正确的是()A.假设a，b，c都小于0B.假设a，b，c都大于0C.假设a，b，c中都不大于0D.假设a，b，c中至多有一个大于0【解析】用反证法证明“a，b，c中至少有一个大于0”，应先假设要证命题的否定成立.而要证命题的否定为：“假设a，b，c中都不大于0”，故选C.【答案】C5.用数学归纳法证明“5n－2n能被3整除”的第二步中，当n＝k＋1时，为了使用假设，应将5k＋1－2k＋1变形为()A.(5k－2k)＋4·5k－2kB.5(5k－2k)＋3·2kC.(5－2)(5k－2k)D.2(5k－2k)－3·5k【解析】5k＋1－2k＋1＝5k·5－2k·2＝5k·5－2k·5＋2k·5－2k·2＝5(5k－2k)＋3·2k.【答案】B6.已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…－1n＝2⎝⎛⎭⎪⎫1n＋2＋1n＋4＋…＋12n时，若已假设n＝k(k≥2且k为偶数)时等式成立，则还需要用归纳假设再证n＝________时等式成立.()A.k＋1B.k＋2C.2k＋2D.2(k＋2)【解析】根据数学归纳法的步骤可知，n＝k(k≥2且k为偶数)的下一个偶数为n＝k＋2，故选B.【答案】B7.已知{b n}为等比数列，b5＝2，则b1·b2·b3·b4·b5·b6·b7·b8·b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}的类似结论为()A.a1a2a3…a9＝29B.a1＋a2＋a3＋…＋a9＝29C.a1a2a3…a9＝2×9D.a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9【解析】根据等差、等比数列的特征知，a1＋a2＋…＋a9＝2×9.【答案】D8.袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则()A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【解析】取两个球往盒子中放有4种情况：①红＋红，则乙盒中红球数加1；②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1；③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1；④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1.因为红球和黑球个数一样多，所以①和②的情况一样多，③和④的情况完全随机.③和④对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响.①和②出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样.综上，选B.【答案】 B9.在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19且n ∈N ＋)成立，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b 11＝1，则有( )A.b 1·b 2·…·b n ＝b 1·b 2·…·b 19－nB.b 1·b 2·…·b n ＝b 1·b 2·…·b 21－nC.b 1＋b 2＋…＋b n ＝b 1＋b 2＋…＋b 19－nD.b 1＋b 2＋…＋b n ＝b 1＋b 2＋…＋b 21－n 【解析】令n ＝10时，验证即知选B. 【答案】 B10.将石子摆成如图1的梯形形状.称数列5，9，14，20，…为“梯形数”.根据图形的构成，此数列的第2 016项与5的差，即a 2 016－5＝( )图1 A.2 018×2 014 B.2 018×2 013 C .1 010×2 012 D.1 011×2 013【解析】 a n －5表示第n 个梯形有n －1层点，最上面一层为4个，最下面一层为n ＋2个.∴a n －5＝（n －1）（n ＋6）2，∴a 2 016－5＝2 015×2 0222＝2 013×1 011. 【答案】 D11.在直角坐标系xOy 中，一个质点从A (a 1，a 2)出发沿图2中路线依次经过B (a 3，a 4)，C (a 5，a 6)，D (a 7，a 8)，…，按此规律一直运动下去，则a 2 015＋a 2 016＋a 2 017＝( )图2A.1 006B.1 007C.1 008D.1 009【解析】依题意a 1＝1，a 2＝1；a 3＝－1，a 4＝2；a 5＝2，a 6＝3；…，归纳可得a 1＋a 3＝1－1＝0，a 5＋a 7＝2－2＝0，…，进而可归纳得a 2 015＋a 2 017＝0，a 2＝1，a 4＝2，a 6＝3，…，进而可归纳得a 2 016＝12×2 016＝1 008，a 2 015＋a 2 016＋a 2 017＝1 008.故选C.【答案】 C12.记集合T ＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 110＋a 2102＋a 3103＋a 4104|a i ∈T ，i ＝1，2，3，4，将M 中的元素按从大到小排列，则第2 016个数是( )A.710＋9102＋8103＋4104B.510＋5102＋7103＋2104C.510＋5102＋7103＋3104D.710＋9102＋9103＋1104【解析】因为a 110＋a 2102＋a 3103＋a 4104 ＝1104(a 1×103＋a 2×102＋a 3×101＋a 4)，括号内表示的10进制数，其最大值为9 999，从大到小排列，第2 016个数为9 999－2 016＋1＝7 984，所以a 1＝7，a 2＝9，a 3＝8，a 4＝4. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)13.已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，则经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.类比上述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为__________.【解析】圆的性质中，经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y 分别用M (x 0，y 0)的横坐标与纵坐标替换.故可得椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为：过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b 2＝1.【答案】经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb 2＝1 14.观察下列等式： 13＝1， 13＋23＝9，13＋23＋33＝36，13＋23＋33＋43＝100， ……照此规律，第n 个等式可为__________.【解析】依题意，注意到13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×1×（1＋1）2，13＋23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×2×（2＋1）2＝9，13＋23＋33＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×3×（3＋1）2＝36，……，照此规律，第n 个等式可为13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n （n ＋1）2. 【答案】 13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n （n ＋1）2 15.当n ＝1时，有(a －b )(a ＋b )＝a 2－b 2，当n ＝2时，有(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3，当n ＝3时，有(a －b )(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3)＝a 4－b 4，当n ∈N ＋时，你能得到的结论是__________.【解析】根据题意，由于当n ＝1时，有(a －b )(a ＋b )＝a 2－b 2，当n ＝2时，有(a －b )(a 2＋ab＋b2)＝a3－b3，当n＝3时，有(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4，当n∈N＋时，左边第二个因式可知为a n＋a n－1b＋…＋ab n－1＋b n，那么对应的表达式为(a －b)·(a n＋a n－1b＋…＋ab n－1＋b n)＝a n＋1－b n＋1.【答案】(a－b)(a n＋a n－1b＋…＋ab n－1＋b n)＝a n＋1－b n＋116.如图3，如果一个凸多面体是n(n∈N＋)棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有________条，这些直线共有f(n)对异面直线，则f(4)＝________，f(n)＝__________.(答案用数字或n的解析式表示)图3【解析】所有顶点所确定的直线共有棱数＋底边数＋对角线数＝n＋n＋n（n－3）2＝n（n＋1）2.从题图中能看出四棱锥中异面直线的对数为f(4)＝4×2＋4×12×2＝12，所以f(n)＝n(n－2)＋n（n－3）2·(n－2)＝n（n－1）（n－2）2.【答案】n（n＋1）212n（n－1）（n－2）2三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)用综合法或分析法证明：(1)如果a，b>0，则lg a＋b2≥lg a＋lg b2；(2)6＋10>23＋2.【证明】(1)当a，b>0时，有a＋b2≥ab，∴lg a＋b2≥lg ab，∴lg a＋b2≥12lg ab＝lg a＋lg b2.(2)要证6＋10>23＋2，只要证(6＋10)2>(23＋2)2，即260>248，这是显然成立的，所以，原不等式成立.18.(本小题满分12分)观察以下各等式：sin230°＋cos260°＋sin 30°cos 60°＝3 4，sin 220°＋cos 250°＋sin 20°cos 50°＝34， sin 215°＋cos 245°＋sin 15°cos 45°＝34.分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明.【解】猜想：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝sin 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α2＋sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α＝sin 2α＋34cos 2α－32sin αcos α＋14sin 2α＋ 32sin α·cos α－12sin 2α ＝34sin 2α＋34cos 2α ＝34.19.(本小题满分12分)点P 为斜三棱柱ABC A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点，PM ⊥BB 1交AA 1于点M ，PN ⊥BB 1交CC 1于点N .(1)求证：CC 1⊥MN ；(2)在任意△DEF 中有余弦定理：DE 2＝DF 2＋EF 2－2DF ·EF ·cos ∠DFE .扩展到空间类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.【解】 (1)证明：因为PM ⊥BB 1，PN ⊥BB 1，又PM ∩PN ＝P ，所以BB 1⊥平面PMN ，所以BB 1⊥MN . 又CC 1∥BB 1，所以CC 1⊥MN . (2)在斜三棱柱ABC A 1B 1C 1中，有S 2ABB 1A 1＝S 2BCC 1B 1＋S 2ACC 1A 1－2S BCC 1B 1S ACC 1A 1cos α. 其中α为平面BCC 1B 1与平面ACC 1A 1所成的二面角. 证明如下：因为CC 1⊥平面PMN ，所以上述的二面角的平面角为∠MNP . 在△PMN 中，因为PM 2＝PN 2＋MN 2－2PN · MN cos ∠MNP ，所以PM 2·CC 21＝PN 2·CC 21＋MN 2·CC 21－2(PN ·CC 1)·(MN ·CC 1)cos ∠MNP ，由于S BCC 1B 1＝PN ·CC 1，S ACC 1A 1＝MN ·CC 1， S ABB 1A 1＝PM ·BB 1＝PM ·CC 1，所以S 2 ABB 1A 1＝S 2 BCC 1B 1＋S 2 ACC 1A 1－2S BCC 1B 1·S ACC 1A 1·cos α.20.(本小题满分12分)如图4，在三棱锥P ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点.已知P A ⊥AC ，P A ＝6，BC ＝8，DF ＝5.求证：图4(1)直线P A ∥平面DEF ； (2)平面BDE ⊥平面ABC .【证明】 (1)因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点，所以DE ∥P A . 又因为P A ⊆/平面DEF ，DE 平面DEF ，所以直线P A ∥平面DEF .(2)因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，P A ＝6，BC ＝8，所以DE ∥P A ，DE ＝12P A ＝3，EF ＝12BC ＝4.又因为DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2，所以∠DEF ＝90°，即DE ⊥EF . 又P A ⊥AC ，DE ∥P A ，所以DE ⊥AC . 因为AC ∩EF ＝E ，AC 平面ABC ，EF 平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC . 又DE 平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC .21.(本小题满分12分)在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝14，且a n ＋1＝（n －1）a n n －a n(n ≥2).(1)求a 3，a 4，猜想a n 的表达式，并加以证明；(2)设b n ＝a n ·a n ＋1a n ＋a n ＋1，求证：对任意的n ∈N ＋，都有b 1＋b 2＋…＋b n <n3.【解】 (1)容易求得：a 3＝17，a 4＝110.故可以猜想a n ＝13n －2，n ∈N ＋.下面利用数学归纳法加以证明： ①显然当n ＝1，2，3，4时，结论成立， ②假设当n ＝k (k ≥4，k ∈N ＋)时，结论也成立，即a k ＝13k －2.那么当n ＝k ＋1时，由题设与归纳假设可知：a k ＋1＝（k －1）a kk －a k＝（k －1）×13k －2k －13k －2＝k －13k 2－2k －1＝k －1（3k ＋1）（k －1）＝13k ＋1＝13（k ＋1）－2. 即当n ＝k ＋1时，结论也成立，综上，对任意n ∈N ＋，a n ＝13n －2成立.(2)证明：b n ＝a n ·a n ＋1a n ＋a n ＋1＝13n －2·13n ＋113n －2＋13n ＋1＝13n ＋1＋3n －2＝13(3n ＋1－3n －2)，所以b 1＋b 2＋…＋b n ＝13[(4－1)＋(7－4)＋(10－7)＋…＋(3n ＋1－3n －2)] ＝13(3n ＋1－1)，所以只需要证明13(3n ＋1－1)<n3⇔3n ＋1<3n ＋1⇔3n ＋1<3n ＋23n ＋1⇔0<23n (显然成立)，所以对任意的n ∈N ＋，都有b 1＋b 2＋…＋b n <n 3.22.(本小题满分12分)记U ＝{1，2，…，100}，对数列{a n }(n ∈N ＋)和U 的子集T ，若T ＝∅，定义S T ＝0；若T ＝{t 1，t 2，…，t k }，定义S T ＝at 1＋at 2＋…＋at k .例如：T ＝{1，3，66}时，S T ＝a 1＋a 3＋a 66.现设{a n }(n ∈N ＋)是公比为3的等比数列，且当T ＝{2，4}时，S T ＝30.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意正整数k (1≤k ≤100)，若T ⊆{1，2，…，k }，求证：S T <a k ＋1； (3)设C ⊆U ，D ⊆U ，S C ≥S D ，求证：S C ＋S C ∩D ≥2S D .【解】 (1)由已知得a n ＝a 1·3n －1，n ∈N ＋.于是当T ＝{2，4}时，S T ＝a 2＋a 4＝3a 1＋27a 1＝30a 1. 又S T ＝30，故30a 1＝30，即a 1＝1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，n ∈N ＋.(2)证明：因为T ⊆{1，2，…，k }，a n ＝3n －1>0，n ∈N ＋，所以S T ≤a 1＋a 2＋…＋a k ＝1＋3＋…＋3k －1＝12(3k －1)<3k .因此，S T <a k ＋1.(3)证明：下面分三种情况证明.①若D 是C 的子集，则S C ＋S C ∩D ＝S C ＋S D ≥S D ＋S D ＝2S D . ②若C 是D 的子集，则S C ＋S C ∩D ＝S C ＋S C ＝2S C ≥2S D . ③若D 不是C 的子集，且C 不是D 的子集. 令E ＝C ∩∁U D ，F ＝D ∩∁U C ，则E ≠∅，F ≠∅，E ∩F ＝∅.于是S C ＝S E ＋S C ∩D ，S D ＝S F ＋S C ∩D ，进而由S C ≥S D 得S E ≥S F . 设k 为E 中的最大数，l 为F 中的最大数，则k ≥1，l ≥1，k ≠l . 由(2)知，S E <a k ＋1.于是3l －1＝a l ≤S F ≤S E <a k ＋1＝3k ，所以l －1<k ，即l ≤k . 又k ≠l ，故l ≤k －1.从而S F ≤a 1＋a 2＋…＋a l ＝1＋3＋…＋3l －1＝3l －12≤3k －1－12＝a k －12≤S E －12，故S E ≥2S F ＋1，所以S C －S C ∩D ≥2(S D －S C ∩D )＋1，即S C ＋S C ∩D ≥2S D ＋1. 综合①②③得，S C ＋S C ∩D ≥2S D .章末综合测评(二) 变化率与导数(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.某质点沿直线运动的位移方程为f (x )＝－2x 2＋1，那么该质点从x ＝1到x ＝2的平均速度为( )A.－4B.－5C.－6D.－7【解析】Δy Δx ＝f （2）－f （1）2－1＝（－2×22＋1）－（－2×12＋1）1＝－6.【答案】 C2.设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( )A.1B.12C.－12 D.－1【解析】 y ′＝2ax ，于是切线斜率k ＝f ′(1)＝2a ，由题意知2a ＝2，∴a ＝1. 【答案】 A3.下列各式正确的是( ) A.(sin α)′＝cos α(α为常数) B.(cos x )′＝sin xC.(sin x)′＝cos xD.(x－5)′＝－15x－6【解析】由导数公式知选项A中(sin α)′＝0；选项B中(cos x)′＝－sin x；选项D中(x －5)′＝－5x－6.【答案】C4.设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a等于()【解析】令f(x)＝ax－ln(x＋1)，则f′(x)＝a－1x＋1.由导数的几何意义可得在点(0，0)处的切线的斜率为f′(0)＝a－1.又切线方程为y＝2x，则有a－1＝2.∴a＝3.【答案】D5.已知二次函数f(x)的图像如图1所示，则其导函数f′(x)的图像大致形状是()图1A B C D【解析】由图像知f(x)＝ax2＋c(a<0)，∴f′(x)＝2ax(a<0)，故选B.【答案】B6.已知函数y＝x－1，则它的导函数是()A.y′＝12x－1 B.y′＝x－12（x－1）C.y′＝2x－1x－1 D.y′＝－x－12（x－1）【解析】u＝x－1，y′＝(u)′·u′＝12u＝12x－1＝x－12（x－1）.【答案】B7.若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为()A.4x－y－3＝0B.x＋4y－5＝0C.4x－y＋3＝0D.x＋4y＋3＝0【解析】切线l的斜率k＝4，设y＝x4的切点的坐标为(x0，y0)，则k＝4x30＝4，∴x0＝1，∴切点为(1，1)，即y－1＝4(x－1)，∴4x－y－3＝0.【答案】A8.设函数f (x )＝x m＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1f （n ）(n ∈N ＋)的前n 项和是( )A.n n ＋1 B.n ＋2n ＋1 C.n n －1 D.n ＋1n 【解析】 ∵f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1，∴m ＝2，a ＝1，∴f (x )＝x 2＋x ，∴1f （n ）＝1n 2＋n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f （n ）(n ∈N ＋)的前n 项和为1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.故选A.【答案】 A9.如图2，下列图像中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图像，则f (－1)等于( )图2A.－13B.13C.73D.－13或73【解析】 f ′(x )＝x 2＋2ax ＋(a 2－1)＝[x ＋(a －1)][x ＋(a ＋1)].显然(2)(4)不符合，若(1)是f ′(x )的图像，则有a ＝0，与已知矛盾，故(3)是f ′(x )的图像，∴a ＝－1.∴f (－1)＝－13－1＋1＝－13.【答案】 A10.过点(－1，0)作抛物线y ＝x 2＋x ＋1的切线，则其中一条切线为( ) A.2x ＋y ＋2＝0 B.3x －y ＋3＝0 C.x ＋y ＋1＝0 D.x －y ＋1＝0 【解析】 y ′＝2x ＋1，设所求切线的切点为(x 0，x 20＋x 0＋1)，则x 20＋x 0＋1x 0＋1＝2x 0＋1，∴x 0＝0或x 0＝－2.当x 0＝0时，曲线y ＝x 2＋x ＋1在点(0，1)处的切线斜率为1，方程为y －1＝x ，即x －y ＋1＝0.当x 0＝－2时，切线方程为3x ＋y ＋3＝0. 【答案】 D11.点P 是曲线x 2－y －2ln x ＝0上任意一点，则点P 到直线4x ＋4y ＋1＝0的最短距离是( )A.22(1－ln 2)B.22(1＋ln 2) C.22⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋ln 2D.12(1＋ln 2)【解析】 y ′＝2x －1x ＝－1⇒x ＝12⇒y ＝14＋ln 2，所以切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14＋ln 2，切点到直线的距离就是两平行线间的距离，由点到直线的距离公式求得d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4×12＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋ln 2＋142＋42＝22(1＋ln 2)，故选B.【答案】 B12.已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 【解析】因为y ＝4e x＋1，所以y ′＝－4e x（e x ＋1）2＝－4e xe 2x ＋2e x ＋1＝－4e x ＋1ex ＋2. 因为e x >0，所以e x ＋1e x≥2，所以y ′∈[－1，0)，所以tan α∈[－1，0).又因为α∈[0，π)，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上) 13.设函数y ＝f (x )是一次函数，若f (1)＝－1，且f ′(2)＝－4，则f (x )＝________. 【解析】 ∵y ＝f (x )是一次函数，∴设f (x )＝ax ＋b ， ∴f ′(x )＝a ，则f (1)＝a ＋b ＝－1，又f ′(2)＝a ＝－4.即a ＝－4，b ＝3，∴f (x )＝－4x ＋3. 【答案】－4x ＋314.若抛物线y ＝x 2－x ＋c 上一点P 的横坐标为－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则c 的值为________.【解析】 ∵y ′＝2x －1， ∴当x ＝－2时，y ′＝－5. 又P (－2，6＋c )， ∴6＋c －2＝－5，∴c ＝4. 【答案】 415.设函数f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )(a ，b ，c 是两两不等的常数)，则a f ′（a ）＋bf ′（b ）＋cf ′（c ）＝________. 【解析】 ∵f ′(x )＝(x －b )(x －c )＋(x －a )·(x －c )＋(x －a )·(x －b )， ∴f ′(a )＝(a －b )(a －c )，同理f ′(b )＝(b －a )(b －c )， f ′(c )＝(c －a )(c －b )，代入原式中得值为0. 【答案】 016.设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0<φ<π)，若f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝____. 【解析】 f ′(x )＝－sin (3x ＋φ)·(3x ＋φ)′＝－3sin (3x ＋φ)，∴f (x )＋f ′(x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)＝2 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋φ＋π3，当f (x )＋f ′(x )为奇函数时，φ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋π6，k ∈Z ，∵0<φ<π，∴φ＝π6.【答案】 π6三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)求下列函数的导数. (1)y ＝3x 2＋x cos x ；(2)y ＝tan x x ；(3)y ＝x 2－2x ＋5x 3.【解】 (1)y ′＝(3x 2)′＋(x cos x )′ ＝6x ＋x ′cos x ＋x (cos x )′ ＝6x ＋cos x －x sin x .(2)法一：y ′＝（tan x ）′·x －tan xx 2＝xcos 2x －tan x x 2＝x －cos 2x ·tan x x 2cos 2x ＝x －sin x cos x x 2cos 2x .法二：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x cos x ′＝（sin x ）′x cos x －sin x （x cos x ）′x 2cos 2x＝x cos 2x －sin x （cos x －x sin x ）x 2cos 2x＝x －sin x cos x x 2cos 2x .(3)∵y ＝1x －2x 2＋5x 3＝x －1－2x －2＋5x －3，∴y ′＝－x －2－2×(－2)x －3＋5×(－3)x －4＝－1x 2＋4x 3－15x 4.18.(本小题满分12分)已知曲线y ＝f (x )＝x 3－8x ＋2. (1)求曲线在点(0，2)处的切线方程；(2)过原点作曲线的切线l ：y ＝kx ，求切线l 的方程.【解】 (1)∵f (x )＝x 3－8x ＋2，∴f ′(x )＝3x 2－8，则f ′(0)＝－8，所以曲线在点(0，2)处的切线方程为y －2＝－8(x －0)，即8x ＋y －2＝0.(2)设切点为P (a ，a 3－8a ＋2)，切线斜率k ＝3a 2－8，则切线方程y －(a 3－8a ＋2)＝(3a 2－8)(x －a )，又因为切线过原点，所以0－(a 3－8a ＋2)＝(3a 2－8)(0－a )，即2a 3－2＝0，所以a ＝1，即切线l 斜率为k ＝－5，切线l 方程为y ＝－5x ，即5x ＋y ＝0.19.(本小题满分12分)已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限.(1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程.【解】 (1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1，由已知得3x 2＋1＝4，解得x ＝±1.当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又因为点P 0在第三象限，所以切点P 0的坐标为(－1，－4).(2)因为直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，所以直线l 的斜率为－14，因为l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)，所以直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.20.(本小题满分12分)设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝(e －1)x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)求过点(2，f (2))且与切线y ＝(e －1)x ＋4垂直的直线方程l .【解】 (1)因为f (x )＝x e a －x ＋bx ，所以f ′(x )＝(1－x )e a －x ＋b .依题设，⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝2e ＋2，f ′（2）＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝e.(2)由(1)知k l ＝11－e ，且f (2)＝2e ＋2， ∴y －(2e ＋2)＝11－e(x －2).即所求直线l 的方程为y ＝11－e x ＋21－e ＋2e ＋2.21.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x ＋x 2. (1)若a ＝1，求f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)对于任意x ≥2使得f ′(x )≥x 恒成立，求实数a 的取值范围.【解】 (1)当a ＝1时，f (x )＝ln x ＋x 2，则f ′(x )＝1x ＋2x ，故在点(1，f (1))处的切线斜率为k ＝f ′(1)＝3，又f (1)＝1，即切点为(1，1)，故切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.(2)当x ≥2时，f ′(x )≥x ，即ax ＋2x ≥x (x ≥2)恒成立，即a ≥－x 2在x ∈[2，＋∞)上恒成立. 令t ＝－x 2，当x ∈[2，＋∞)时，易知t max ＝－4，为使不等式a ≥－x 2恒成立，则a ≥－4，故实数a 的取值范围为[－4，＋∞).22.(本小题满分12分)已知两曲线f (x )＝x 3＋ax ，g (x )＝ax 2＋bx ＋c 都经过点P (1，2)，且在点P 有公切线.(1)求a ，b ，c 的值；(2)设k (x )＝f （x ）g （x ），求k ′(－2)的值.【解】 (1)依题意，⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝2，a ＋b ＋c ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＋c ＝1.故f (x )＝x 3＋x ，g (x )＝x 2＋bx ＋1－b ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，g ′(x )＝2x ＋b ，由于两曲线在点P (1，2)处有公切线，故f ′(1)＝g ′(1)，即4＝2＋b ，所以b ＝2. 故c ＝1－b ＝－1.(2)由(1)可得f (x )＝x 3＋x ，g (x )＝x 2＋2x －1，故k (x )＝f （x ）g （x ）＝x 3＋x x 2＋2x －1，故k ′(x )＝（x 3＋x ）′（x 2＋2x －1）－（x 3＋x ）（x 2＋2x －1）′（x 2＋2x －1）2＝（3x 2＋1）（x 2＋2x －1）－（x 3＋x ）（2x ＋2）（x 2＋2x －1）2＝x 4＋4x 3－4x 2－1（x 2＋2x －1）2. 故k ′(－2)＝16－32－16－1（4－4－1）2＝－33.章末综合测评(三) 导数应用(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.物体运动的方程为s ＝14t 4－3，则t ＝5时的瞬时速度为( ) A.5 B.25 C.125 D.625【解析】 ∵v ＝s ′＝t 3，∴t ＝5时的瞬时速度为53＝125. 【答案】 C2.函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A.(－∞，2) B.(0，3) C.(1，4) D.(2，＋∞)【解析】 f ′(x )＝(x －2)e x ，由f ′(x )>0，得x >2，所以函数f (x )的单调递增区间是(2，＋∞). 【答案】 D3.函数f (x )＝ax 3＋x ＋1有极值的充要条件是( ) A.a ≥0 B.a >0 C.a ≤0 D.a <0 【解析】 f ′(x )＝3ax 2＋1，当a ＝0时，f ′(x )＝1>0，f (x )单调增加，无极值；当a ≠0时，只需Δ＝－12a >0，即a <0即可. 【答案】 D4.函数f (x )的导函数f ′(x )的图像如图1所示，那么f (x )的图像最有可能的是( )图1A B C D【解析】数形结合可得在(－∞，－2)，(－1，＋∞)上，f ′(x )<0，f (x )是减函数；在(－2，－1)上，f ′(x )>0，f (x )是增函数，从而得出结论.【答案】 B5.若函数y ＝a (x 3－x )的递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞，则a 的取值范围是( )A.a >0B.－1<a <0C.a >1D.0<a <1【解析】依题意得y ′＝a (3x 2－1)>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞，∴a >0.【答案】 A6.若函数f (x )在R 上可导，且满足f (x )－xf ′(x )>0，则( ) A.3f (1)<f (3) B.3f (1)>f (3) C.3f (1)＝f (3) D.f (1)＝f (3) 【解析】由于f (x )>xf ′(x )，⎝ ⎛⎭⎪⎫f （x ）x ′＝f ′（x ）x －f （x ）x 2<0恒成立，因此f （x ）x 在R 上是单调递减函数，∴f （3）3<f （1）1，即3f (1)>f (3)，故选B.【答案】 B7.若函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a 在区间[－2，－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为( )A.－5B.7C.10D.－19【解析】 ∵f (x )′＝－3x 2＋6x ＋9＝－3(x ＋1)(x －3)，所以函数在[－2，－1]内单调递减，所以最大值为f (－2)＝2＋a ＝2， ∴a ＝0，最小值为f (－1)＝a －5＝－5. 【答案】 A8.函数y ＝12x －2sin x 的图像大致是( )【解析】因为y ′＝12－2cos x ，所以令y ′＝12－2cos x >0，得cos x <14，此时原函数是增函数；令y ′＝12－2cos x <0，得cos x >14，此时原函数是减函数，结合余弦函数图像，可得选项C 正确.【答案】 C9.若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是( )A.[－1，＋∞)B.(－1，＋∞)C.(－∞，－1]D.(－∞，－1)【解析】 f ′(x )＝－x ＋bx ＋2，由题意知f ′(x )≤0在(－1，＋∞)上恒成立，即b ≤x 2＋2x 在(－1，＋∞)上恒成立，即b ≤(x ＋1)2－1，则b ≤－1，故选C.【答案】 C10.已知y ＝f (x )是定义在R 上的函数，且f (1)＝1，f ′(x )>1，则f (x )>x 的解集是( ) A.(0，1) B.(－1，0)∪(0，1) C.(1，＋∞) D.(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】不等式f (x )>x 可化为f (x )－x >0，设g (x )＝f (x )－x ，则g ′(x )＝f (x )′－1，由题意g ′(x )＝f ′(x )－1>0，∴函数g (x )在R 上单调递增，又g (1)＝f (1)－1＝0， ∴原不等式⇔g (x )>0⇔g (x )>g (1)，∴x >1，故选C. 【答案】 C11.当x ∈[－2，1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.[－5，－3]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－98C.[－6，－2]D.[－4，－3] 【解析】当x ＝0时，ax 3－x 2＋4x ＋3≥0变为3≥0恒成立，即a ∈R . 当x ∈(0，1]时，ax 3≥x 2－4x －3，a ≥x 2－4x －3x 3，∴a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－4x －3x 3max . 设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝（2x －4）x 3－（x 2－4x －3）3x 2x 6＝－x 2－8x －9x 4＝－（x －9）（x ＋1）x 4＞0，∴φ(x )在(0，1]上递增，φ(x )max ＝φ(1)＝－6. ∴a ≥－6.当x ∈[－2，0)时，a ≤x 2－4x －3x 3，∴a ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－4x －3x 3min . 仍设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝－（x －9）（x ＋1）x 4.当x ∈[－2，－1)时，φ′(x )＜0.当x ∈(－1，0)时，φ′(x )＞0.∴当x ＝－1时，φ(x )有极小值，即为最小值. 而φ(x )min ＝φ(－1)＝1＋4－3－1＝－2，∴a ≤－2.综上知－6≤a ≤－2. 【答案】 C12.已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x ，若函数f (x )在(0，1)上单调，则实数a 的取值范围是( ) A.a ≥0 B.a <－4 C.a ≥0或a ≤－4 D.a >0或a <－4【解析】 f ′(x )＝2x ＋2＋ax ，x ∈(0，1)， ∵f (x )在(0，1)上单调，∴f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在(0，1)上恒成立，∴2x ＋2＋a x ≥0或2x ＋2＋ax ≤0在(0，1)上恒成立，即a ≥－2x 2－2x 或a ≤－2x 2－2x 在(0，1)上恒成立.设g (x )＝－2x 2－2x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋12，则g (x )在(0，1)上单调递减，∴g (x )max ＝g (0)＝0，g (x )min ＝g (1)＝－4.∴a ≥g (x )max ＝0或a ≤g (x )min ＝－4.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上) 13.已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________. 【解析】因为f (x )＝(2x ＋1)e x ，所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x ，所以f ′(0)＝3e 0＝3. 【答案】 314.函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为________.【解析】 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ′(x )＝e x cos x ≥0，∴f (0)≤f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，即12≤f (x )≤12e π2.【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，12e π2 15.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2，在x ＝1时有极值10，则a ＋b ＝________. 【解析】 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(1)＝2a ＋b ＋3＝0，f (1)＝a 2＋a ＋b ＋1＝10，⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝－3，a 2＋a ＋b ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11，当a ＝－3时，x ＝1不是极值点，a ，b 的值分别为4，－11，∴a ＋b ＝－7.【答案】－716.周长为20 cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________cm 3.【解析】设矩形的长为x ，则宽为10－x (0<x <10)，由题意可知所求圆柱的体积V ＝πx 2(10－x )＝10πx 2－πx 3，∴V ′(x )＝20πx －3πx 2.由V ′(x )＝0，得x ＝0(舍去)，x ＝203，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，203时，V ′(x )>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫203，10时，V ′(x )<0，∴当x ＝203时，V (x )取得最大值为4 00027π cm 3.【答案】 4 00027π三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)若函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋3既有极大值又有极小值，求实数a 的取值范围.【解】 ∵f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)，令3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)＝0，即x 2＋2ax ＋a ＋2＝0，∵函数f (x )有极大值和极小值，∴方程x 2＋2ax ＋a ＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a 2－4a －8>0，解得a >2或a <－1.故实数a 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞).18.(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3bx 的图像与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11).(1)求a ，b 的值；(2)讨论函数f (x )的单调性.【解】 (1)求导得f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b .由于f (x )的图像与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)，所以f (1)＝－11，f ′(1)＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧1－3a ＋3b ＝－11，3－6a ＋3b ＝－12，解得a ＝1，b ＝－3. (2)由a ＝1，b ＝－3得f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x 2－2x －3) ＝3(x ＋1)(x －3).令f ′(x )>0，解得x <－1或x >3；又令f ′(x )<0，解得－1<x <3.故当x ∈(－∞，－1)和x ∈(3，＋∞)时，f (x )是增函数，当x ∈(－1，3)时，f (x )是减函数.。

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高中数学选修2-2综合测试题一一、选择题（共8题，每题5分）1、复数(2)z i i =+在复平面内的对应点在（）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 2、定积分1101dx x +⎰的值为（）A 、1B 、ln2 C、122- D 、11ln 222- 3、某班一天上午安排语、数、外、体四门课，其中体育课不能排在第一、第四节，则不同排法的种数为（）A 、24B 、22C 、20D 、12 4、已知14a b c =+==则a ，b ，c 的大小关系为（）A 、a>b>cB 、c>a>bC 、c>b>aD 、b>c>a5、曲线32y x =-+上的任意一点P 处切线的斜率的取值范围是（）A、)+∞ B、()3+∞ C、()+∞ D、[)+∞ 6、已知数列{}n a 满足12a =，23a =，21||n n n a a a ++=-，则2009a ＝（）A 、1B 、2C 、3D 、0 7、函数()ln f x x x =的大致图像为（）8、ABCD-A 1B 1C 1D 1是单位正方体，黑白两只蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”.白蚂蚁爬行的路线是AA 1→A 1D 1，…，黑蚂蚁爬行的路线是AB →BB 1，…，它们都遵循如下规则：所爬行的第i +2段与第i 段所在直线必须是异面直线（i ∈N *），设黑白蚂蚁都爬完2007段后各自停止在正方体的某个顶点处，则此时黑白蚂蚁的距离是（）AB 、1C 、0 DCDA 1二、填空题（共6题，30分）9、已知2()ln(22)(0)f x x ax a a =-+->，若()f x 在[1)+∞，上是增函数，则a 的取值范围是．10、若复数1111i iz i i-+⋅=+-，则复数z= ___11、质点运动的速度2(183)m/s v t t =-，则质点由开始运动到停止运动所走过的路程是12、若a b ∈R ，，且22(i)(1i)32i a b +++=+，则ab的值等于．13、为如图所示的四块区域涂色，要求相邻区域不能同色，现有3种不同颜色可供选择，则共有_______种不同涂色方案（要求用具体数字作答）.14、若在区间[-1, 1]上，函数3()10f x x ax =-+≥恒成立，则a 的取值范围是_________________三、解答题（共6题，80分）15、已知复数22(815)(918)z m m m m i =-++-+在复平面内表示的点为A ，实数m 取什么值时，（1）z 为实数？z 为纯虚数？（2）A 位于第三象限？16、观察给出的下列各式：（1）tan10tan 20tan 20tan 60tan 60tan101++=o o o o o ogg g ； oooooo由以上两式成立，你能得到一个什么样的推广？证明你的结论．17、设2(0)()cos 1(0)x x f x x x ⎧=⎨->⎩ ≤，，试求π21()f x dx -⎰．18、如图，设铁路AB 长为80，BC ⊥AB ，且BC ＝10，为将货物从A 运往C ，现在AB 上距点B 为x 的点M 处修一公路至C ，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4. （1）将总运费y 表示为x 的函数；（2）如何选点M 才使总运费最小？A BC M19、已知函数）（）（023≠++=a cx bx ax x f 是定义在R 上的奇函数，且1-=x 时，函数取极值1．（1）求c b a ，，的值；（2）若对任意的[]1121，，-∈x x ，均有 12f x f x s -≤（）（）成立，求s 的最小值；20、已知等腰梯形OABC 的顶点A B ，在复平面上对应的复数分别为12i +、26i -+，且O 是坐标原点，OA BC ∥．求顶点C 所对应的复数z ．21、已知各项为正的数列{}n a 的首项为12sin a θ=（θ为锐角）212n a +=，数列{}n b 满足12n n n b a +=.（1）求证：当x (0,)2π∈时，sin x x <；（2）求n a ，并证明：若4πθ=，则12n a a a π+++<L（3）是否存在最大正整数m ，使得sin n b m θ≥对任意正整数n 恒成立？若存在，求出m ；若不存在，请说明理由.高中数学选修2-2测试题一参考答案一、选择题（每题5分）1—5： B 、B 、D 、C 、D ； 6—8：A 、A 、C ；二、填空题：9、12a <≤； 10、-1 ； 11、108m .； 12、2- 13、18； 14、[0,2；三、解答题15、解：（1）当2918m m -+＝0即m ＝3或m ＝6时，z 为实数； …………………………3分当28150m m -+=，29180m m -+≠即m ＝5时，z 为纯虚数.…………………………6分（2）当2281509180m m m m ⎧-+<⎨-+<⎩即3536m m <<⎧⎨<<⎩即3<m<5时，对应点在第三象限. ……………12分16、解：可以观察到：10206090++=oooo，5157090++=oooo，故可以猜想此推广式为：若π2αβγ++=，且αβγ，，都不等于ππ()2k k +∈Z ，则有tan tan tan tan tan tan 1αββγγα++=g g g ．证明如下：由π2αβγ++=，得π2αβγ+=-，所以πtan()tan cot 2αβγγ⎛⎫+=-=⎪⎝⎭，又因为tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-，所以tan tan tan()(1tan tan )cot (1tan tan )αβαβαβγαβ+=+-=-，所以tan tan tan tan tan tan tan tan tan (tan tan )αββγγααβγαβ++=++g g gtan tan tan cot (1tan tan )1αβγγαβ=+-=．17、解：ππ02211()()()f x dx f x dx f x dx --=+⎰⎰⎰π0221(cos 1)x dx x dx -=+-⎰⎰π20201(sin )3x x x -1=+-1π4π13232=+-=-．总运费为2(50)50)y x x =-+≤≤ …………………………… 6分（2）2(050)y x '=-+≤≤，令0y '=，解得1x=2x =……9分当0x ≤<时，0y '<，y ]；当50x ≥>时，0y '>，y Z故当x =y 取得最小值. ……………………………12分即当在距离点BM 处修筑公路至C 时总运费最省. ……………………13分 19、解：(1)函数）（）（023≠++=a cx bx ax x f 是定义在R 上的奇函数,），（）（x f x f -=-∴即02=bx 对于R x ∈恒成立，0=∴b . cx ax x f +=3）（,c ax x f +='23）（Θ1-=x 时，函数取极值1. ∴103=--=+c a c a ，,解得:2321-==c a ，．故1322，=0,a b c ==-……………………………………………6分(2)x x x f 23213-=）（,)1)(1(232323)(2+-=-='x x x x f ,()11，-∈x 时0<'）（x f ,[]1,1)(-∈∴x x f 在上是减函数, ……………8分故[]1,1)(-∈∴x x f 在上最小值为(1)f ＝－1，最大值为(1)1f -=,因此当[]1121，，-∈x x 时,12min ()()2Max f x f x f x f x -≤-=（）（）．…12分12min ()()Max f x f x s f x f x s -≤⇔-≤（）（），故s 的最小值为2 ………14分20、解：设i()z x y x y =+∈R ，．由OA BC ∥，OC AB =，得OA BC k k =，C B A z z z =-，即2612y x -⎧=⎪+=， OA BC ≠Q ，3x ∴=-，4y =舍去． 5z ∴=-． 21、解：（1）令()sin (0)2f x x x x π=-<<，则()cos 10(0)2f x x x π'=-<<<故()f x ]，（2212n a +=得10)n n a a +=>又12sin a θ=，∴22sin2a θ===，32sin4a θ===，猜想：12sin2n n a θ-= ………………………………5分下面用数学归纳法证明：①n ＝1时，12sin a θ=，成立， ②假设n ＝k 时命题成立，即12sin2k k a θ-=，则n ＝k ＋1时，1k a +===＝2sin2kθ，即n ＝k ＋1时命题成立.由①②知12sin 2n n a θ-=对n ∈N*成立.…………………………8分由（1）知122sin22n n n a θθ--=<，n ∈N*故121212[1()]124[1()]41222212n n n n a a a θθθθθθθ---+++<++++==-<-L L 因此4πθ=时，12n a a a π+++<L ………………………………11分（3）12122sin2n n n n n b a θ++-==，故112sin2sin1221sin 2sin cos cos 2222n nn nn n n nb b θθθθθθ+-===>，{}n b 为递增数列，因此要使sin n b m θ≥对任意正整数n 恒成立，只需1sin b m θ≥成立，而18sin b θ≥，因此8m ≤，故存在最大自然数m ＝8满足条件。

………………………… 14分另证：由于1sin b m θ≥，可得8m ≤，因此可猜想m 的最大值8m =，下面证明8sin n b θ≥，即证12sin2sin 2nn θθ-≥恒成立.①n ＝1时，12sin 2sin b θθ=≥，成立， ②假设n ＝k 时命题成立，即12sin2sin 2kk θθ-≥，则n ＝k ＋1时，112sincossin2sin 2222sin22sin22222coscos cos 222kk k k kkkkkkk ksin θθθθθθθθθθ-+===≥≥，nθ即8sin n b θ≥对n ∈N*成立，由8m ≤知正整数m 的最大值为8………………………14分。