第2章 文法和语言的基本知识

例如， ∑′={0，1}是一个字母表，由0 和1两个元素组成。 不同的语言有不同的字母表，如英文的字 母表是26个字母、数字和标点符号的集合，C语 言的字母表是由字母、数字和若干专用符号组 成。 2. 符号（字符） 字母表中的元素称为符号，或称为字符。 例如，前述例子中，a，b，c是字母中∑ 中的符号；0和1是字母表∑′中的符号。
例如：用A表示∑ + ，用式子A→0表示符号串 0∈A或A生成符号串0，符号“→”读做“生成”或 “由……组成”。则集合A可表示成 A→0 A→1 A→A0 A→A1 显然，由A生成的符号串属于∑+，这就是用文 法描述语言。
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2.2.2 文法的形式定义
1. 规则 规则也称产生式，它是一个符号与一个符号 串的有序对(A，β)，通常写做 A→β(或A::=β) 其中，A是规则左部，它是一个符号；β是 规则右部，它是一个符号串；“→”和“::=”表 示“定义为”或”生成”，意思是左部符号用右 部的符号串定义或左部符号生成右部是集合， 而｛ε｝表示由空符号串ε所组成的集合，但 这样的集合不是集合φ＝｛｝。 ３. 符号串的幂运算 设x是符号串，则x的幂运算定义为 x0=ε X1= x x2 = xx ………… xn = xxxx……xx=xxn-1 ( n > 0)
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试设计一个表示所有标识符的文法。 例2.2 ：
分析 题意是用文法定义标识符，必须确 定P中规则。为了设计出一组规则，首先应搞清 楚集合中符号串的结构特征。标识符的定义是 字母或以字母开头的字母数字串，结构如图：
字母 字母或数字串
用I代表标识符，L代表字母，D代表数字， 则定义标识符的方法为 G = (VN ,VT, P , S)
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例如，前述例中一组规则 A→0 A→1 A→A 0 A→A 1 描述的语言序列只可能是由0和1组成的符号 串，即∑+ ={0,1,00,01,10,000,100,…}。 规则中出现的符号分为终结符号和非终结符 号两类。 非终结符号能派生出符号或符号串，即一定 符号串的集合，用大写字母表示或用尖括号把非终 结符号括起来。例如，例中的A。
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§2.2
文法和语言的形式定义
2.2.1 形式语言 序列的集合称为形式语言。也就是说，每个 形式语言都是字母表上按某种规则构成的所有符 号串的集合，反之，任何一个字母表上符号串的 集合均可定义为一个形式语言。 形式语言不考虑语义。例如，C语言是其基 本符号字母表上的符号串的集合，而每个C语言 程序是基本符号的符号串。
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L→a|b|c|……|x|y|z D→0|1|2|3|……|9} 该文法不能定义ab,abc,……仅由字母串 组成的标识符，缩小了所定义语言的范围。
例2.3 ：用文法定义一个含+,*的算术表
达式，定义用下述自然语言描述:变量是一
个表达式；
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若E1和E2是算术表达式，则E1+E2,(E1)也是 算术表达式。 分析 算术表达式的定义用自然语言描述， 这是对算术表达式的非形式定义，题意用文法 来定义算术表达式，即是用形式化的方法定义 表达式。定义算术表达式的文法为 G =({E},{ i,+,*,(,)},P,E) 其中P为 E→i|E+E|E*E|(E)。
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3. 符号串（字） 符号的有穷序列称为符号串。 例如，设有字母表∑={a，b，c}，则有 符号串a，b，ab，ba，cba，abc…。 符号串总是建立在某个特定字母表上的 且只能由字母表上的有穷多个符号组成。符号 串中符号的顺序很重要，如ab和ba是字母表∑ 上的两个不同的符号串。不包含任何符号的符 号串，称为空符号串，用ε表示，即空符号串 由0个符号组成，其长度{ε}=0。
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学习本章目的
• 学生通过学习了解高级程序语言的一些 基本概念及其分类。以及语法结构的形 式描述问题。 • 讲授6课时 • 以板书为主
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• 本章主要讲解的内容为乔姆斯基文法及 其分类，文法的二义性判断和证明，上 下文无关文法的简化和语法树。
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2.2.3 文法的形式定义
1. 直接推导 令G是一文法，我们从xAy直接推出xay， 即 xAy=>xay ， 仅 A→a 是 G 的 一 个 规 则 且 x,y∈(VN∪VT)*,也就是说从符号串xAy直接推导 出xay仅使用一次规则。 例如，设有文法G[S]（符号G[S]表示S为文 法G的开始符号） G[S]=（{S}，{0，1}，P，S）
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对形式语言的描述有两种方法 ： ⑴ 当语言为有穷集合时，用枚举方法来表示 语言： 例如：设有字母表A={a，b，c}，则 L1={a，b，c} L2={a，aa，ab，ac} L3={c，cc} 均表示字母表A上的一个形式语言。 ⑵ 对无穷集合的语言，需要设计文法来描述：
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例： 设有文法G[E]：
G[E]=（{E，T，F}，{i,+,*,(,)},P,E） 其中，P为 E→E+T|T T→T*F|F F→(E)|i 对i+i*i有如下直接推导序列 E E+T T+T F+T i+T i+T*F => i+FF i+i*F i+i*i 我们可记为Ei i*i。
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描述该语言的文法不是唯一的。对例2.1 的语言L就能设计出文法G′ G′= ( { A,B,D},{a,b},P,A) 其中，P为 A→B|D B→aa|aBa D→bb|bDb G和G′是两个不同的文法，如果它们 描述的语言相同，那么称G和G′为等价文法。
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问题:
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§2.1 字母表和符号串的基本概念
2.1.1 字母表和符号串
1. 字母表 字母表是元素的非空有穷集合。 例如，∑={a ，b ，c} 根据字母表的定义，∑是字母表，它由a，b， c三个元素组成。 字母表中至少包含一个元素。字母表中的元 素，可以是字母、数字或其他符号。
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5. 集合A的正闭包A+与A的闭包A*定义为 A+=A1∪A2∪…An… A*=A0∪A1∪A2∪…∪An…={ε}∪A+ 例如，设A={a，b}，则 A+={a，b，aa，ab，ba，bb，aaa，aab，…} A*={ε ， a ， b ， aa ， ab ， ba ， bb ， aaa ， aab，…} 可见，集合A的正闭包表示A上元素a，b构成 的所有符号串的集合，集合A的闭包比集合A的正闭 包多含一个空符号串ε。
描述该属于语言L的方法为什么不是但G″? G″ = ( { A },{ a,b},P , A ) 其中，P为： A→aa|bb|Aaa|Abb 对于文法G″来说，它所产生的所有符号 串都应该属于语言L，但G″产生的有些符号串， 如aabb,bbaa,…不属于语言L，即设计的文法超 出了所定义语言的范围。
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2.1.2 符号串的运算
1. 符号串的连结 设x和y是符号串，则串xy称为它们的连结。 即xy是将y符号串写在x符号串之后得到的符号 串。 例 如 ， 设 x=abc ， y = 10a ， 则 xy = abc10a，yx = 10aabc。 注意：对任意一个符号串x，我们有 εx=xε=x。
重点与难点
• 本章重点就是二义性判断和转化以及高 级语言文法的内容。 • 文法分类是难点
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对程序设计语言的描述是从语法、语 义和语用三个因素来考虑的。所谓语法是 对语言结构的定义；语义是描述了语言的 含义；语用则是从使用的角度去描述语言。 为了精确定义和描述程序设计语言，需采 用形式化的方法。所谓形式化的方法，是 用一整套带有严格符号规定的符号体系来 描述问题的方法。
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终结符号是组成语言的基本符号，是一个语 言的不可再分的基本符号，通常用小写字母表示。 例如，上例中的0和1。 2. 文法 文法是规则的非空有穷集合，通常表示成四 元组G=(VN，VT，P，S)。 VN是规则中非终结符号的集合。 VT是规则中终结符号的集合。 P是文法规则的集合。
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VN = { I, L , D} VT = { a,b,c……..,x,y,z,0,1,2,……,9} P = { I →L|IL|LD L→a|b|c|……|x|y|z D→0|1|2|3|……|9} S = I 若将定义标识符的的设计成 G′= (VN ,VT, P , S) VN ,VT,S同上， P = { I → L | ID
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２．集合的乘积 设A和Ｂ是符号的集合，则A和B的乘积定义 为： AB＝｛xy｜Ｘ∈A，y∈B｝ 例如，设A＝｛a，b｝B={c，d}，则AB = { ac ，ad，bc，bd}。 集合的乘积是满足于x∈A，y∈B的所有符号 串xy所构成的集合。 由于对任意的符号串x，总有εx =xε = x， 所以，对任意集合A，有： ｛ε｝A = A {ε}=A
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当 n = 3 L = { aaaaaa,bbbbbb} …………… L = { aa,bb,aaa,bbbb,aaaaaa,bbbbbb,…} 因此，定义语言L的文法 G ={ VN,VT,P,S } 其中： VN = { A ,B ,D }, VT = { a ,b} P = {A→aa|aaB|bb|bbD B→aa|aaB D→bb|bbD} S = A
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其中，P为 S→01|0S1 有如下直接推导： S=> 01 使用规则S→01， 此时x=ε,y=ε, S=>0S1 使用规则S→0S1，此时x=ε,y=ε, 0S1=>0011 使用规则S→01, 此时x=0,y=1 00S11=>000S111 使 用 规 则 S→0S1 ， 此 时 x=00， y=11 000S111 => 00001111 使用规则S→01， 此时x=000,y=111