分式方程及其应用
(完整版)分式方程及其应用(习题及答案)
八年级数学上册 分式方程及其应用（习题）班级 姓名➢ 例题示范例1：解分式方程：11322x x x-=---． 【过程书写】1(1)3(2)1136242x x x x x x =----=-+-+==解：检验：把x =2代入原方程，不成立 ∴x =2是原分式方程的增根 ∴原分式方程无解例2：八年级（1）班学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校120km ．一部分学生乘慢车先行，出发0.5h 后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达游览区．已知快车的速度是慢车速度的1.2倍，求慢车的速度. 【思路分析】 列表梳理信息：【过程书写】解：设慢车的速度为x km/h ，则快车的速度为1.2x km/h ，由题意得，1201200.51.2x x =-解得，x =40 经检验：x =40是原方程的解，且符合题意 答：慢车的速度是40km/h ．➢ 巩固练习1. 下列关于x 的方程，其中不属于分式方程的是（ ）A ．1a b a x a ++=B ．x a b x b a +=-11C ．b x a a x 1-=+D ．1=-+++-nx mx m x n x 2. 解分式方程2236111x x x +=+--分以下四步，其中错误的一步是（ ） A ．方程两边分式的最简公分母是(1)(1)x x -+B ．方程两边都乘以(1)(1)x x -+，得整式方程： 2(1)3(1)6x x -++=C ．解这个整式方程，得1x =D ．原方程的解为1x =3. 张老师和李老师同时从学校出发，骑行15千米去县城购买书籍．已知张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，则两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x 千米，依题意可列方程为（ ）A ．1515112x x -=+ B ．1515112x x -=+ C ．1515112x x -=- D ．1515112x x -=- 4. 若方程61(1)(1)1mx x x -=+--有增根，则m =_________． 5. 如果解关于x 的分式方程1134x m x x +-=-+出现了增根，那么增根是________．6. 解分式方程： （1）43(1)1x x x x +=--； （2）22(1)23422x x x x +=+--+；（3）23112x x x x -=+--； （4）11222x x x-=---．7.某服装厂设计了一款新式夏装，想尽快制作8 800件投入市场．已知该服装厂有A，B两个制衣车间，A车间每天加工的数量是B车间的1.2倍．A，B 两车间共同完成一半的生产任务后，A车间因出现故障而停产，剩下的全部由B车间单独完成，结果前后共用了20天完成全部生产任务．则A，B两车间每天分别能加工多少件该款夏装？【思路分析】列表梳理信息：【过程书写】8.某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求．商厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但是单价贵了4元．商厦销售这种衬衫时每件定价都是58元，最后剩下150件按八折销售，很快售完．在这两笔生意中，商厦共盈利多少元？【思路分析】列表梳理信息：【过程书写】附加题：1. 解分式方程：（1）2115225x x x ++=--；（2）100602020x x=+-；（3）3201(1)x x x x +-=--；（4）2216124x x x ++=---；（5）2236111x x x +=+--； （6）2221114268x x x x x +-=----+．【参考答案】 ➢ 巩固练习1. C2. D3. B4. 35.x =36. （1）x =2（2） （3）无解 （4）无解7. A 车间每天能加工384件该款夏装B 车间每天能加工320件该款夏装 8. 商厦共盈利90 260元附加题；1. （1）（2）（3）无解 （4）无解 （5）无解 （6）x =143x =43x =5x =。
第四节 分式方程及应用-学而思培优
第四节分式方程及应用-学而思培优第四节分式方程及应用一、课标导航本节内容主要包括分式方程的定义、解法和应用。
二、核心纲要1.分式方程分母中含有未知数的方程叫分式方程。
2.解分式方程的基本思想将分式方程转化为整式方程。
3.解分式方程的一般步骤1) 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。
2) 解这个整式方程。
3) 验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零。
如果最简公分母等于零的根是原方程的增根，则必须舍去。
但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。
4.分式方程无解的原因1) 将分式方程化为整式方程后，整式方程无解。
2) 解出的整式方程的根是增根。
5.用换元法解分式方程的一般步骤1) 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式。
2) 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值。
3) 把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值。
4) 检验作答，要检验求得的解是否为原方程的根，是否符合题意。
本节重点讲解：一个概念，一个解法，一个应用（列分式方程解应用题）。
三、全能突破基础演练1.下列各式中，不是分式方程的是(。
)。
A。
1/(x-1) + 1/(1-x) = 1B。
(x-1) + x = 1C。
x/(x+1) + (x^2-x)/3 = 2D。
[(x-1)-1] = 12.分式方程 (11/(4x-12)) + (1/(x+3)) = 2 的解是(。
)。
A。
x = 2B。
x = -2C。
x = 3D。
无解3.关于 x 的方程 (1/5) + (2/x) = (3/x-3) 的解是(。
)。
A。
3B。
-3C。
±3D。
无法确定4.一艘轮船在静水中的最大航速为 30 千米/时，它沿江以最大航速顺流航行 100 千米所用时间，与以最大航速逆流航行60 千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为 x 千米/时，则可列方程(。
)。
A。
100/(x+30) + 60/(30-x) = 4B。
分式方程及其应用(含答案)
分式方程及其应用【分类解析】 例1. 解方程：x x x --+=1211分析：首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根解：方程两边都乘以()()x x +-11，得x x x x x x xx x 22221112123232--=+---=--∴==()()()，即，经检验：是原方程的根。
例2. 解方程x x x x x x x x +++++=+++++12672356分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现()()()()x x x x ++++6723与、与的值相差1，而分子也有这个特点，因此，可将分母的值相差1的两个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用分式的等值性质求值。
解：原方程变形为：x x x x x x x x ++-++=++-++67562312方程两边通分，得167123672383692()()()()()()()()x x x x x x x x x x ++=++++=++=-∴=-所以即经检验：原方程的根是x =-92。
例3. 解方程：121043323489242387161945x x x x x x x x --+--=--+--分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分数式之和。
解：由原方程得：3143428932874145--++-=--++-x x x x即2892862810287x x x x ---=---于是，所以解得：经检验：是原方程的根。
1898618108789868108711()()()()()()()()x x x x x x x x x x --=----=--==例4. 解方程：61244444402222y y y y y y yy +++---++-=2分析：此题若用一般解法，则计算量较大。
分式方程及应用
分式方程及应用1．分式方程:分母中含有 的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法：解分式方程的关键是 （即方程两边都乘以最简公分母）,将分式方程转化为整式方程；3．分式方程的增根问题：⑴ 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根的增根；⑵ 验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根。
验根的方法是将所求的根代入或 。
4．分式方程的应用：列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．5．通过解分式方程初步体验“转化”的数学思想方法，并能观察分析所给的各个特殊分式或分式方程，灵活应用不同的解法，特别是技巧性的解法解决问题。
6. 分式方程的解法有 和 。
1.把分式方程的两边同时乘以(x-2), 约去分母，得（ ）A．1-(1-x)=1 B．1+(1-x)=1 C．1-(1-x)=x-2 D．1+(1-x)=x-22. 方程的根是（ ）A.－2 B. C.－2， D.－2，13.当=_____时，方程的根为4.如果，则 A=____ B＝________.5.若方程有增根，则增根为_____，a=________.6.解下列分式方程：7. 若关于x的分式方程有增根，求m的值。
1.方程去分母后，可得方程（ ）2.解方程，设，将原方程化为（ ）3. 已知方程的解相同，则a等于（ ）A．3 B．－3 C、2 D．－24. 分式方程有增根x=1，则 k的值为________5.满足分式方程的x值是（ ）A．2 B．－2 C．1 D．06.解方程：（本题写出主要思想和步骤）7.某煤厂原计划天生产120吨煤，由于采用新的技术，每天增加生产3吨，因此提前2天完成任务，列出方程为 .8.小军家距学校5千米，原来他骑自行车上学，现在乘车，若乘车速度是他骑车速度的2倍，现在小军乘车上学可以从家晚10分钟出发，结果与原来到校时间相同．设小军骑车的速度为x千米/小时，则所列方程正确的为。
分式方程的解法和应用
分式方程的解法和应用分式方程，又称有理方程，是指包含了分数的方程。
解决分式方程问题可以在数学中发挥很大的作用，因为它们可以用来描述实际问题，特别是在科学和工程领域中。
本文将介绍一些常见的分式方程的解法以及它们在实际应用中的应用。
一、一次分式方程的解法一次分式方程是指分式的分子和分母的次数均为1的方程。
例如，2/x + 3 = 1/2。
解决这类问题的一种常见方法是通过消去分母，使方程转化为线性方程。
在这种情况下，可以通过以下步骤来解决方程：1. 将分数转化为一个等于0的分式形式，例如将2/x转化为2/x - 1/2。
2. 通过求公倍数来消去分母，例如通过乘以2来消去分母。
3. 合并同类项并将方程转化为一元一次方程，例如2 - x = 1/2。
4. 将方程解题得到x的值，检查解的合法性。
二、二次分式方程的解法二次分式方程是指分式的分子或者分母的次数为2的方程。
例如，1/x^2 + 1/x = 2。
解决这类问题的一种常见方法是通过将方程转化为二次方程，然后使用二次方程的解决方法来求解。
在这种情况下，可以通过以下步骤来解决方程：1. 将分数转化为一个等于0的分式形式，例如将1/x^2转化为1/x^2 - 2。
2. 将方程中的分数转化为一个多项式方程，例如通过乘以x^2来消去分母。
3. 合并同类项并将方程转化为二次方程，例如x^2 - 2x + 1 = 0。
4. 使用求解二次方程的方法，例如配方法、因式分解法或者公式法，得到x的值。
5. 检查解的合法性。
三、分式方程的应用分式方程在实际应用中有广泛的用途，常见的应用包括以下几个方面：1. 比例问题：比例问题可以通过设置分式方程来解决。
例如，一个图书馆中有1000本书，其中有3/10是故事书，那么故事书的数目可以表示为(3/10)*1000=300本。
2. 涉及速度、距离和时间的问题：速度、距离和时间之间有一定的关系，可以通过设置分式方程来解决相关问题。
例如，一个人以每小时60公里的速度行驶，问他行驶1小时可以行驶多远，可以通过设置方程60/1=x/1解决。
分式方程及其应用课件
04
分式方程的练习题及解答
分式方程的练习题
总结词：巩固提高
练习题2：某种植物生长速度很快，已知它1天前的高 度，求现在的高度。
练习题1：小明打篮球，每场得分相同，已知他1场比 赛得分，求他打了多少场。
练习题3：已知一个矩形的面积和长，求宽。
分式方程的解答
总结词：解题技巧
解答1：通过观察， 发现分母可以约掉， 化简得分式方程即可 。
03
分式方程的注意事项
解分式方程的步骤
整理方程
将方程化为最简形式，以便后 续步骤。
确定根
通过交叉相乘等方法，确定方程 的根。
验根
通过代入法，验证方程的根是否正 确。
分式方程的局限性
适用范围有限
分式方程适用于可以化成分母 中带有未知数的形式的问题， 但有些问题可能无法使用分式
方程求解。
解法有限
分式方程的解法有限，常用的 只有几种，如部分分式、对数
超越分式方程：分母是超越式的分式方 程，如 $\frac{x}{e^x}$
分式方程的解法
约分法：将方程中的因子约掉， 化简方程
图象法：画出方程中变量的图象 ，通过交点求解方程
分式方程的求解方法包括以下几 种
换元法：引入新的变量，将方程 转化为容易求解的形式
逐步迭代法：通过逐步迭代，逼 近方程的解
02
2023
分式方程及其应用课件
目录
• 分式方程的基本概念 • 分式方程的应用 • 分式方程的注意事项 • 分式方程的练习题及解答 • 分式方程的应用实例
01
分式方程的基本概念
分式方程的定义
1
分式方程是一种描述两个变量之间关系的数学 模型
2
它的一般形式为 $f(x) = \frac{B}{A}$，其中A 和B是两个整式
中考复习 分式方程及其应用课件
• (2)分式方程
x 1 x 1 x
3
(x 1)( x 2)
的解是
（C）
A．x=1 B.x=-1 C.无解 D.x=-2
•
（3）解方程：
x2
3 3x
1 x 3
1
原方程的解为x=-1
2020/3/2
例题讲解
•
例1、（1）若分式方程
2
1 kx x2
2
1
x
有增根，则k＝___k_=_1___.
2020/3/2
二、题型、方法
• 考点1 分式方程的概念
热身练手：1、指出下列关于x的方程中，是分式方程的是（4）、（5（）只 填序号）.
(1) x y 5 ；(2)
x
5
2
2
y 3
z
；(3) 1 ；
x
(4)
x
y
5
0
；
(5)
1 2x 5 x
3/2
考点2 分式方程的解法
变式1、若关于x分式方程
x
x
2
2
m 2
x
的解为正数，
求满足条件的正整数m的值？
m的值为1、3
变式2、若关于x的方程 m 1 x 0无解，求m的值？
x4 4x
m=3
2020/3/2
考点3 分式方程的应用 • 热身练手：某校甲、乙两组同学同时出发去距离学校4 km的植物园参观，
热身练手：2、解方程：
2 x
x 3
3
1
x
1
解：去分母,两边同时乘以（x-3），得 2-x-1=x-3， 解得x＝2， 检验：当x＝2时x-3 ≠0，
分式方程及其应用讲义
分式方程及其应用讲义1、解分式方程时注意去分母、检验根。
2、分式方程应用性问题联系实际比较广泛，灵活运用分式的基本性质，有助于解决应用问题中出现的分式化简、计算、求值等题目，运用分式的计算有助于解决日常生活实际问题．本课内容： 营销类应用性问题、工程类应用性问题行程中的应用性问题、轮船顺逆水应用性问题浓度应用性问题、货物运输应用性问题———————————————————————————题型一:解分式方程, 解分式方程时去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程的分母为0,所以解分式方程必须检验.例1.解方程(1) 2223-=---x xx (2) 114112=---+x x x题型二:关于增根:将分式方程变形为整式方程,方程两边同时乘以一个含有未知数的整式,并越去分母,有时可能产生不适合原分式方程的根,这种根通常称为增根.例;1. 若方程x x x --=+-34731有增根,则增根为 . 2. 若方程113122-=-++x k x x 有增根,则k 的值为 . 3. 若分式方程x x k x x x k +-=----2225111有增根1-=x ,求k 的值?题型三:分式方程无解①转化成整式方程来解,产生了增根;②转化的整式方程无解.例题：1. 若关于x 的方程11+=+x mx x无解, 则m 的值为 . 2. 当k 取何值时关于X 的方程4162222-=--+-x k x x x x 无解？ 3. 已知关于x 的方程m x mx =-+3无解,求m 的值.题型四：解的正负情况:先化为整式方程,求整式方程的解①若解为正⎩⎨⎧>去掉增根正的解0x ;②若解为负⎩⎨⎧<去掉增根负的解0x 例题：已知关于x 的方程323-=--x mx x解为正数,求m 的取值范围.一、【营销类应用性问题】例1：某校办工厂将总价值为2000元的甲种原料与总价值为4800元的乙种原料混合后，其平均价比原甲种原料每千克少3元，比乙种原料每千克多1元，问混合后的单价每千克是多少元？二、【工程类应用性问题】例2：甲乙两个工程队合作一项工程，两队合作2天后，由乙队单独做1天就完成了全部工程。
分式方程的实际应用
分式方程的实际应用分式方程在实际生活中有很多应用。
下面我将举例说明几种常见的实际应用。
1.比例问题比例问题是分式方程的一个典型应用。
例如，在购物时，我们常常会遇到“打折”或“降价”的情况。
假设一家商店原价出售一件商品，现在将商品以折扣价出售，打折比例为x。
那么，我们可以得到以下分式方程：折扣价=原价*(1-x)通过解这个分式方程，我们可以计算出打折后的价格。
这个方程可以帮助我们在购物时做出更明智的决策。
2.涉及速度的问题分式方程也可用于涉及速度的问题。
例如，在旅行中，当我们知道辆车每小时行驶v英里时，我们可以计算出x小时后车辆所行驶的总英里数，这可以表示为以下分式方程：总英里数=v*x这个方程可以帮助我们计算出车辆在任意时间内的行驶距离，从而帮助我们规划旅行路线或者估算到达目的地所需时间。
3.混合液体问题分式方程还可用于混合液体问题。
例如，假设我们有两种浓度不同的溶液，其中一种浓度为x，另一种浓度为y，我们想要得到一定浓度的混合液体，我们可以通过以下分式方程求解：所需浓度*所需体积=x*体积1+y*体积2通过解这个方程，我们可以计算出需要的溶液体积，以及每种溶液的体积比例，从而准确地配制出我们所需要的混合液体。
4.长方形的长和宽问题分式方程还可以用于解决长方形的长和宽问题。
例如，假设我们知道一个长方形的面积为A，我们希望找到一个长方形，使得其一边长为x，另一边长为y，那么我们可以用以下分式方程来表示这个问题：A=x*y通过解这个方程，我们可以计算出长方形的长和宽，从而绘制出所需要的长方形。
综上所述，分式方程在实际生活中有许多应用。
从求解比例问题、涉及速度的问题到混合液体问题和长方形的长和宽问题，分式方程都能够提供一种有效的工具来解决这些实际问题。
了解分式方程的实际应用可以帮助我们更好地理解和应用这个数学概念，并将其运用到日常生活中的各种情境中。
分式方程以及分式方程的实际应用
《分式方程及分式方程的实际应用》复习一、教学目标1、熟悉分式方程的定义。
2、掌握解分式方程的方法。
3、掌握分式方程不同类型的题型的求解方法。
4、掌握分式方程的实际应用二、重点和难点1、分式方程的解法。
2、增根、无解问题。
3、分式方程的实际应用。
三、基础知识1、定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程。
2、求解分式方程的步骤：能化简的先化简——寻找最小公分母——去分母——解整式方程——检验3、增根和无解问题：1)增根：使最小公分母为零的未知数的取值。
2)无解：整式方程本身无解；解为增根3）求解含有字母的分式方程：①有增根：x的值=增根，解出字母的值。
②无解：化简后，等式的两边不相等。
③解为正数（负数）：x的值≠增根“且”x的值为正数（负数）4）分式方程的实际应用：读题画图——设未知数——列方程——解方程——答①路程问题：路程=时间*速度②工程问题：工作量=工作效率×工作时间（一般设工作总量为1）③流水问题：顺流速度=静水速度＋水流速度逆流速度=静水速度－水流速度考点一、解分式方程例1、求解下列分式方程（1）、22xx+=（2）、321051xx-+=+练习：解分式方程12（1）15102x x ++= （2）3233x x x -=+++（3）5412524236x x x x ---=-- （4）315132x x x x-+=-考点二、根的问题例2、当m =_______________时，分式方程223242m x x x x +=--+会产生增根。
练习：1、当a =_______________时，分式方程233x a x x =+++会产生增根。
2、已知分式方程1213ax x =--+有增根，则增根为_________________;当a 为________________时，分式方程会产生增根。
例3、若分式方程311x a x x--=-无解，则a =____________________。
分式方程的解法及应用
分式方程的解法及应用分式方程是数学中常见的一类方程，其特点是方程中含有分式表达式。
解决分式方程的关键是找到合适的方法，以求得方程的解。
本文将介绍几种常见的分式方程解法，并探讨其在实际应用中的一些案例。
一、通分法通分法是解决分式方程的基本方法之一。
当方程中含有多个分式时，我们可以通过通分的方式，将其转化为一个分子为0的分式方程。
例如，对于方程$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}$，我们可以通过通分得到$yz+xz=xy$，进而得到$xy-xz-yz=0$。
这样，我们就将原方程转化为了一个分子为0的分式方程，可以更方便地求解。
二、代换法代换法是解决分式方程的另一种常用方法。
通过合理的代换，可以将方程转化为一个更简单的形式。
例如，对于方程$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2$，我们可以令$u=\frac{1}{x}$，$v=\frac{1}{y}$，则原方程可以转化为$u+v=2$。
这样，我们就将原方程转化为了一个线性方程，可以通过求解线性方程的方法得到解。
三、消元法消元法是解决分式方程的另一种常见方法。
通过巧妙地选择消元的方式，可以将方程转化为一个更简单的形式。
例如，对于方程$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=3$，我们可以通过乘以$x$和$y$的方式，得到$x^2+y^2=3xy$。
这样，我们就将原方程转化为了一个二次方程，可以通过求解二次方程的方法得到解。
在实际应用中，分式方程的解法有着广泛的应用。
以下是几个具体的案例：案例一：物体的速度假设一个物体以速度$v$匀速运动，经过时间$t$后的位移为$s$。
根据运动学公式，位移与速度和时间的关系可以表示为$s=vt$。
现在假设物体的速度是变化的，速度与时间的关系可以表示为$v=\frac{a}{t}$，其中$a$是一个常数。
我们可以通过求解分式方程$\frac{s}{t}=\frac{a}{t}$，得到物体的位移与时间的关系。
分式方程及应用压轴(解析版)
分式方程及应用压轴考点一：解分式方程考点二：已知分式方程的解，求字母参数的值考点三：分式方程的特殊解问题考点四：分式方程的无解（增根）问题考点五：分式方程的应用问题【考点一：解分式方程】【典例1】（2023春•万源市校级期末）解方程：（1）1﹣＝（2）﹣＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）去分母得：x2﹣25﹣x﹣5＝x2﹣5x，解得：x＝，经检验x＝是分式方程的解；（2）去分母得：3x+3﹣2x+2＝1，解得：x＝﹣4，经检验x＝﹣4是分式方程的解．【变式1-1】（2023•青秀区校级模拟）解方程：+＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：去分母得：2（x+1）+2x＝5x，去括号得：2x+2+2x＝5x，解得：x＝2，经检验x＝2是分式方程的解．【变式1-2】（2023秋•高邮市期末）解方程：（1）（2）﹣＝1．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）去分母得：x﹣5＝2x﹣5，移项合并得：x＝0，经检验x＝0是分式方程的解；（2）去分母得：（x+1）2﹣4＝x2﹣1，去括号得：x2+2x+1﹣4＝x2﹣1，解得：x＝1，经检验x＝1是增根，分式方程无解．【变式1-3】（2023秋•石河子校级期末）解方程：（1）；（2）．【答案】（1）x＝2；（2）无解．【解答】解：（1）去分母得：2＝5x﹣5，解得：x＝2，经检验x＝2是分式方程的解；（2）去分母得：16+x2﹣4＝x2+4x+4，解得：x＝2，经检验x＝2是增根，分式方程无解．【变式1-4】（2023秋•铁岭县期末）解方程：（1）（2）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）去分母得：15x﹣12+x﹣3＝6x+5，移项合并得：10x＝20，解得：x＝2，经检验x＝2是分式方程的解；（2）去分母得：（x+1）2﹣4＝x2﹣1，去括号得：x2+2x+1﹣4＝x2﹣1，移项合并得：2x＝2，解得：x＝1，经检验x＝1是增根，分式方程无解．【考点二：已知分式方程的解，求字母参数的值】（2023秋•绥中县期末）已知关于x的方程的解是x＝1，则a的值为（）【典例2】A．2B．1C．﹣1D．﹣2【答案】C【解答】解：∵关于x的方程的解是x＝1，∴＝，解得a＝﹣1，经检验a＝﹣1是方程的解．故选：C．【变式2-1】（2023秋•常德期末）已知关于x的分式方程的解为x＝4，则a的值为（）A．4B．3C．0D．﹣6【答案】D【解答】解：将x＝4代入方程，得：，解得a＝﹣6，故选：D．（2023•武侯区校级模拟）已知x＝1是分式方程的解，则a的值为（）【变式2-2】A．﹣1B．1C．3D．﹣3【答案】D【解答】解：把x＝1代入分式方程得：＝，去分母得：8a+12＝3a﹣3，解得：a＝﹣3，∵a﹣1＝﹣4≠0，∴a的值为﹣3．故选：D．【变式2-3】（2023秋•平舆县期末）若分式方程的解为x＝2，则a的值是（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【答案】C【解答】解：∵分式方程的解为x＝2，∴＝，即＝1，解得a＝﹣1，经检验a＝﹣1是方程的解，所以原方程的解为a＝﹣1，故选：C．【变式2-4】（2023秋•绵阳期末）已知x＝2是关于x的分式方程的解，则a ＝．【答案】．【解答】解：把x＝2代入关于x的分式方程得：，，4a＝1，，检验：当时，2a≠0，∴是分式方程的解，故答案为：【考点三：分式方程的特殊解问题】【典例3】（2023秋•南陵县期末）若关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（）A．m＜4且m≠3B．m＜4C．m≠3D．m＞4且m≠3【答案】A【解答】解：方程两边同时乘以x﹣1得，1﹣m﹣（x﹣1）+2＝0，解得x＝4﹣m．∵x为正数，∴4﹣m＞0，解得m＜4．∵x≠1，∴4﹣m≠1，即m≠3．∴m的取值范围是m＜4且m≠3．故选：A．【变式3-1】（2023秋•陵城区期末）若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是（）A．a＞1且a≠2B．a＜1C．a≥1且a≠2D．a≤1且a≠﹣2【答案】C【解答】解：，方程两边同时乘2（x﹣2）得：2（x﹣a）＝x﹣2，2x﹣2a＝x﹣2，2x﹣x＝2a﹣2，x＝2a﹣2，∵关于x的分式方程的解为非负数，∴2a﹣2≥0，2a≥2，a≥1，∵分式的分母x﹣2≠0，∴x≠2，即2a﹣2≠2，解得：a≠2，∴a≥1且a≠2，故选：C．【变式3-2】（2023秋•重庆期末）若关于x的不等式组的解集为x≥3，且关于y的分式方程有非负数解，则满足条件的所有整数a的和为．【答案】5．【解答】解：，解不等式①，得x≥3，解不等式②，得x＞a﹣2，∵原不等式组的解集为x≥3，∴a﹣2＜3，∴a＜5；解分式方程，得y＝，∵y＝1是原分式方程的增根，∴a≠4，∵≥0，∴a≥2；综上，2≤a＜5，且a≠4，∴满足条件的整数a为2或3，2+3＝5，故答案为：5．【考点四：分式方程的无解（增根）问题】（2023秋•滨州期末）若关于x的分式方程＝1无解，则a的值为（）【典例4】A．0B．1C．1或5D．5【答案】B【解答】解：+＝1，方程两边同时乘以x﹣5得：2﹣（a+1）＝x﹣5，去括号得，2﹣a﹣1＝x﹣5，解得x＝6﹣a，∵原分式方程无解，∴x＝5，∴m＝1，故选：B．【变式4-1】（2023秋•安顺期末）若关于x的分式方程无解，则k的取值是（）A．﹣3B．﹣3或﹣5C．1D．1或﹣5【答案】B【解答】解：，去分母，得6x＝x+3﹣k（x﹣1），∴（5+k）x＝3+k，∵关于x的分式方程无解，∴分两种情况：当5+k＝0时，k＝﹣5，当x（x﹣1）＝0时，x＝0或1，当x＝0时，0＝3+k，∴k＝﹣3，当x＝1时，5+k＝3+k，∴k不存在，故不符合题意，综上所述：k的值为：﹣3或﹣5．故选：B．【变式4-2】（2023秋•凉州区期末）若分式方程无解，则k的值为（）A．±1B．2C．1或2D．﹣1或2【答案】C【解答】解：，去分母得：2（x﹣2）+1﹣kx＝﹣1，2x﹣4+1﹣kx＝﹣1，2x﹣kx＝2，（2﹣k）x＝2，∵分式方程无解，∴x﹣2＝0，x＝2，2﹣k＝0，k＝2，当k＝1时，原方程为：，2（x﹣2）+1﹣x＝﹣1，2x﹣4+1﹣x+1＝0，x＝2，检验：当x＝2时，x﹣2＝0，∴k＝1时，原方程无解；综上可知：分式方程无解时，k的值为1或2，故选：C．【变式4-3】（2023秋•江汉区期末）若关于x的分式方程﹣＝1无解，则m的值为．【答案】见试题解答内容【解答】解：去分母得：x2﹣mx﹣3x+3＝x2﹣x，解得：（2+m）x＝3，由分式方程无解，得到2+m＝0，即m＝﹣2或x＝＝1，即m＝1，综上，m的值为﹣2或1．故答案为：﹣2或1【考点五：分式方程的应用问题】【典例5】（2023秋•信州区期末）某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天．（1）这项工程的规定时间是多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设这项工程的规定时间是x天，根据题意得：（+）×15+＝1．解得：x＝30．经检验x＝30是原分式方程的解．答：这项工程的规定时间是30天．（2）该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：1÷（+）＝22.5（天），则该工程施工费用是：22.5×（6500+3500）＝225000（元）．答：该工程的费用为225000元．【变式5-1】（2023秋•藁城区期末）甲、乙两同学的家与学校的距离均为3000米．甲同学先步行600米，然后乘公交车去学校，乙同学骑自行车去学校．已知甲步行速度是乙骑自行车速度的，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍．甲、乙两同学同时从家里出发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟．（1）求乙骑自行车的速度；（2）当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？【答案】（1）300米/分钟；（2）600米．【解答】解：（1）设乙骑自行车的速度为x米/分钟，则甲步行速度是x米/分钟，公交车的速度是2x米/分钟，根据题意得+＝﹣2，解得：x＝300米/分钟，经检验x＝300是方程的根，答：乙骑自行车的速度为300米/分钟；（2）∵300×2＝600米，答：当甲到达学校时，乙同学离学校还有600米．【变式5-2】（2023秋•商丘期末）某文具店老板第一次用1000元购进一批文具，很快销售完毕；第二次购进时发现每件文具进价比第一次上涨了2.5元．老板用2500元购进了第二批文具，所购进文具的数量是第一次购进数量的2倍，同样很快销售完毕，两批文具的售价为每件15元．（1）问第二次购进了多少件文具？（2）文具店老板第一次购进的文具有30元的损耗，第二次购进的文具有125元的损耗，问文具店老板在这两笔生意中是盈利还是亏本？请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设第一次购进x件文具，第二次就购进2x件文具，由题意得＝﹣2.5，解得：x＝100，经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意，则2x＝2×100＝200．答：第二次购进200件文具；（2）第一次购进100件文具，利润为：（15﹣10）×100﹣30＝470（元）；第二次购进200件文具，利润为：（15﹣12.5）×200﹣125＝375（元），两笔生意是盈利：利润为470+375＝845元．【变式5-3】（2023秋•恩施市期末）某单位为美化环境，计划对面积为1200平方米的区域进行绿化，现安排甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的1.5倍，并且在独立完成面积为360平方米区域的绿化时，甲队比乙队少用3天．（1）甲、乙两工程队每天能绿化的面积分别是多少平方米？（2）若该单位每天需付给甲队的绿化费用为700元，付给乙队的费用为500元，要使这次的绿化总费用不超过14500元，至少安排甲队工作多少天？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x平方米，则甲工程队每天能完成绿化的面积是1.5x平方米，依题意，得：﹣＝3，解得：x＝40，经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，∴1.5x＝60．答：甲工程队每天能完成绿化的面积是60平方米，乙工程队每天能完成绿化的面积是40平方米．（2）设安排甲队工作m天，则需安排乙队工作天，依题意，得：700m+500×≤14500，解得：m≥10．所以m最小值是10．答：至少应安排甲队工作10天．1．（2023秋•交口县期末）解方程，去分母后正确的是（）A．3（x+1）＝1﹣x（x﹣1）B．3（x+1）＝（x+1）（x﹣1）﹣x（x﹣1）C．3（x+1）＝（x+1）（x﹣1）﹣x（x+1）D．3（x﹣1）＝1﹣x（x+1）【答案】B【解答】解：去分母得：3（x+1）＝（x+1）（x﹣1）﹣x（x﹣1）．故选：B．2．（2023秋•阳新县期末）已知一艘轮船顺水航行46千米和逆水航行34千米共用的时间，正好等于船在静水中航行80千米所用的时间，并且水流的速度是2千米/小时，求设轮船在静水中的速度为x千米/小时，是下列方程正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：设船在静水中航行的速度为x千米/时（1分）则+＝故选：B．3．（2023秋•广平县期末）甲、乙两人分别从相距目的地6km和10km的两地同时出发，甲、乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前20min到达目的地，设甲的速度为3x km/h．依题意，下面所列方程正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：设甲的速度为3x/时，则乙的速度为4x千米/时．根据题意，得﹣＝．故选：D．4．（2023秋•秦皇岛期末）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（）A．m＞2B．m≥2C．m≥2且m≠3D．m＞2且m≠3【答案】C【解答】解：分式方程去分母得：m﹣3＝x﹣1，解得：x＝m﹣2，由分式方程的解是非负数，得到m﹣2≥0，且m﹣2≠1，解得：m≥2且m≠3，故选：C．5．（2023秋•冠县期末）若解分式方程＝﹣3产生增根，则k的值为（）A．2B．1C．0D．任何数【答案】B【解答】解：＝﹣3，去分母，得k＝x﹣k﹣3（x﹣2）．去括号，得k＝x﹣k﹣3x+6．移项，得﹣x+3x＝﹣k+6﹣k．合并同类项，得2x＝6﹣2k．x的系数化为1，得x＝3﹣k．∵分式方程＝﹣3产生增根，∴3﹣k＝2．∴k＝1．故选：B．6．（2023秋•宜春期末）现定义一种新的运算：，例如：，若关于x的方程x⊕（2x﹣m）＝3的解为非负数，则m的取值范围为（）A．m≤8B．m≤8且m≠7C．m≥﹣2且m≠7D．m≥﹣2【答案】B【解答】解：∵x⊕（2x﹣m）＝3，∴，解方程得：x＝8﹣m；由于方程有解，则8﹣m≠1，即m≠7；由题意得：8﹣m≥0，解得：m≤8；综合起来，m的取值范围为m≤8且m≠7；故选：B．7．（2023秋•兰陵县期末）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号min{a，b}表示a，b 中较小的值，如min{2，4}＝2，按照这个规定，方程min{，﹣}＝的解为（）A．﹣1或2B．2C．﹣1D．无解【答案】D【解答】解：①当x＞0时，有＞﹣，∴min{，﹣}＝﹣，即﹣＝，解得x＝﹣1（不合题意舍去）；②当x＜0时，有＜﹣，∴min{，﹣}＝，即＝，解得x＝2（不合题意舍去）；综上所述，方程min{，﹣}＝无解，故选：D．8．（2023秋•崆峒区期末）分式与互为相反数，则x的值为（）A．1B．﹣1C．﹣2D．﹣3【答案】C【解答】解：由题意得，去分母3x+2（1﹣x）＝0，解得x＝﹣2．经检验得x＝﹣2是原方程的解．故选：C．9．（2023秋•罗山县期末）定义运算“※”：a※b＝，若5※x＝2，则x的值为（）A．B．C．10D．或10【答案】D【解答】解：当5＞x时，∵5※x＝2，∴＝2，解得x＝．经检验，x＝符合题意，是分式方程的解．当5＜x时，∵5※x＝2，∴＝2．解得x＝10．经检验，x＝10符合题意，是分式方程的解．故选：D．10．（2023秋•开州区期末）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程3﹣的解为正数，则所有满足条件的整数a的值的和为．【答案】13．【解答】解：，由①得，x≥﹣1，由②得，x＜﹣a，∵不等式组无解，∴﹣a≤﹣1，即a≥1，3﹣，3（y﹣2）+a＝y，3y﹣6+a＝y，解得y＝3﹣a，∵分式方程的解为正数，∴3﹣a＞0且3﹣a≠2，解得a＜6且a≠2，∴a的取值为1≤a＜6且a≠2，∴所有满足条件的整数a的值的和为1+3+4+5＝13，故答案为：13．11．（2023秋•虹口区校级期末）若关于x的方程的解为负数，则a 的取值范围是．【答案】a＜﹣13或﹣13＜a＜﹣10．【解答】解：+＝，去分母，得（x﹣1）（x+1）+（3﹣x）（x﹣3）＝3x+a，去括号、合并同类项，得3x＝a+10，等号两边同除以3，得x＝（x≠3，且x≠﹣1），∵x＝3或x＝﹣1是原分式方程的增根，∴a≠﹣1，且a≠﹣13，∵＜0，∴a＜﹣10，∴a＜﹣13或﹣13＜a＜﹣10，故答案为：a＜﹣13或﹣13＜a＜﹣10．12．（2022秋•宁远县期末）若关于x的方程＝+1无解，则a的值是3或1．【答案】见试题解答内容【解答】解：去分母，得：ax＝3+x﹣1，整理，得：（a﹣1）x＝2，当x＝1时，分式方程无解，则a﹣1＝2，解得：a＝3；当整式方程无解时，a＝1，故答案为：3或1．13.（2023秋•应城市期末）解下列分式方程．（1）；（2）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）原方程变形得：，方程两边同乘以最简公分母（x﹣3）得：1＝2（x﹣3）﹣x，整理的：1＝2x﹣6﹣x，移项得：x＝7，检验：当x＝7时，x﹣3＝7﹣3＝4≠0，所以，x＝7，是原方程的根，（2）方程两边同乘以最简公分母（x﹣1）（x+2）得：x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）＝3，整理得：x2+2x﹣x2﹣x+2＝3，合并同类项得：x＝1，检验：当x＝1时，（x﹣1）（x+2）＝（1﹣1）（1+2）＝0，所以，x＝1是原方程的增根，所以，原分式方程无解．14．（2023秋•南宁期末）为提高快递包裹分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线．一条某型号的自动分拣流水线的工作效率是一名工人工作效率的4倍，用这条自动分拣流水线分拣3000件包裹比一名工人分拣这些包裹要少用3小时．（1）这条自动分拣流水线每小时能分拣多少件包裹？（215000件，则至少应购买多少条该型号的自动分拣流水线，才能完成分拣任务？【答案】（1）条自动分拣流水线每小时能分拣3000件包裹；（2）至少应购买5条该型号的自动分拣流水线，才能完成分拣任务．【解答】解：（1）设一名工人每小时能分拣x件包裹，则这条自动分拣流水线每小时能分拣4x件包裹，由题意得：﹣＝3，解得：x＝750，经检验，x＝750是原方程的解，且符合题意，∴4x＝4×750＝3000，答：这条自动分拣流水线每小时能分拣3000件包裹；（2）应购买m条该型号的自动分拣流水线，才能完成分拣任务，由题意得：3000m≥15000，解得：m≥5，答：至少应购买5条该型号的自动分拣流水线，才能完成分拣任务．15．（2022秋•洪山区校级期末）春节前夕，某超市用6000元购进了一批箱装饮料，上市后很快售完，接着又用8800元购进第二批这种箱装饮料．已知第二批所购箱装饮料的进价比第一批每箱多20元，且数量是第一批箱数的倍．（1）求第一批箱装饮料每箱的进价是多少元；（2）若两批箱装饮料按相同的标价出售，为加快销售，商家决定最后的10箱饮料按八折出售，如果两批箱装饮料全部售完利润率不低于36%（不考虑其他因素），那么每箱饮料的标价至少多少元？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）该第一批箱装饮料每箱的进价是x元，则第二批购进（x+20）元，根据题意，得解得：x＝200经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意，∴第一批箱装饮料每箱的进价是200元．（2）设每箱饮料的标价为y元，根据题意，得（30+40﹣10）y×10y≥（1+36%）（6000+8800）解得：y≥296答：至少标价296元．。
第6讲 分式方程及其应用
经检验,x=40 是分式方程的根.
∴B 采样点送检车的平均速度为 40×1.5=60(km/h),
∴B 采样点送检车的行驶时间为 45÷60=0.75(h).
∵3.2+0.75=3.95<4,∴B 采样点采集的样本不会失效.
1.(2021 恩施)分式方程
A.x=1
C.x=
+1=
-
的解是( D )
A.x=
B.x=
C.x=
D.x=
[变式 2](2021 连云港)解方程:
+
(x+1)2-4=(x+1)(x-1),
整理,得2x-2=0,解得x=1.
检验:当x=1时,(x+1)(x-1)=0,
∴原方程无解.
=1.
- -
解:方程两边同乘(x+1)(x-1),得
∴x=1是增根,应舍去.
-
8.(2021 潍坊)若 x<2,且
0
+|x-2|+x-1=0,则 x=
-
.
1 .
9.(2021 东营)某地积极响应“把绿水青山变成金山银山,用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念,开展
荒山绿化,打造美好家园,促进旅游发展.某工程队承接了 90 万平方米的荒山绿化任务,为了迎接雨
季的到来,实际工作时每天的工作效率比原计划提高了 25%,结果提前 30 天完成了任务.设原计划每
1.(2022 方城期中)给出下列方程:
-
+
+
分式方程的解法与应用
分式方程的解法与应用分式方程是指方程中含有分式的方程，通常形式为分子中含有未知数的方程。
解决分式方程问题的关键是找到其中的未知数的值，使等式成立。
本文将介绍常见的分式方程解法以及其在实际问题中的应用。
一、基本解法1. 消去分母将分数方程中的分母通过乘以最小公倍数或通分的方法消去，从而得到一个等式。
然后继续将未知数移到方程的一边，常数移到另一边，最终求得未知数的值。
2. 通分并整理将分式方程的分子进行通分，并整理为一个等式。
然后通过移项和整理，将未知数移到一边，常数移到另一边，继而求解未知数的值。
3. 求最小公倍数对于一些特殊的分式方程，我们可以先求出方程中分母的最小公倍数，然后将方程中的所有分式统一化。
接着，将分母消去，得到一个整式方程，进而解决。
二、分式方程的应用1. 比例问题分式方程经常用于解决比例相关的问题。
比如，A车和B车以不同的速度驶向一个目的地，已知A车比B车快1小时到达目的地，而A 车比B车慢1小时赶上B车。
求A车和B车单独行驶到达目的地所需的时间。
通过建立分式方程可得到两车的速度比，从而解决问题。
2. 涉及水池、容器等物理问题假设有一个水池，一根管子可以独立进行排水，另一根管子可以独立进行注水。
已知两根管子独立工作时分别需要6小时和8小时将水池排干或注满。
求填满一半的水池所需的时间。
通过建立分式方程可得到两根管子的工作效率，进而解决问题。
3. 财务问题分式方程在解决财务问题时也具有重要应用。
例如，某人通过两种不同的投资方式投资了一笔钱，两种方式的年利率分别为4%和6%。
已知一年后获得的总收益为800元。
求该人分别投资了多少钱。
通过建立分式方程可得到两种投资的金额比例，从而解决问题。
4. 混合液体问题当涉及到两种不同浓度的液体混合时，我们可以利用分式方程解决问题。
例如，混合含有30%盐的溶液和50%盐的溶液，已知混合后的溶液含有40%盐。
求两种溶液的混合比例。
通过建立分式方程可得到两种溶液的体积比例，进而解决问题。
分式方程及其应用
分式方程及其应用分式方程是带分母的方程，如x/(x+1)=2。
它是数字、字母及参加运算的符号所组成的算式之间的等式。
在分式方程中，有未知量的分子和分母一般都是多项式，其中分母不能为0。
下面我们来看一些关于分式方程的基本定义和应用。
一、分式方程的定义在一个方程中，如果方程中至少有一个未知数的系数、常数、系数常数的乘积以及未知数的幂等组成分数形式，那这个方程就是分式方程。
分式方程是一种比较特殊的方程，通常都含有分数，并且要求求解该方程中的未知数不能使分母为零。
二、分式方程的解法解分式方程的方法一般有以下几种：1. 通分消去法：将方程的分式部分转化为分母相同的形式，从而进行运算。
2. 消去法：把方程中的分式去掉，使方程变为整式方程，然后直接求解。
3. 代数法：通过代数计算，逐步化简等式，推导出未知数的值。
三、分式方程的应用分式方程在实际生活中有着广泛的应用，特别是在实际问题的解决过程中，我们经常会遇到各种涉及分式方程的情况。
以下是几个常见的应用示例：1. 比例问题：如两支笔的长度比是3：5，其中一支比另一支长12cm，则求这两支笔的长度。
设较短的笔的长度为x，则较长的笔的长度为5x，根据题意得到等式3/5=12/x，解此分式方程得x=20，因此较长的笔的长度为100cm。
2. 水泥拌合问题：如果两名工人A、B一起拌水泥，A每小时拌水泥的能力是B的1.5倍，第一小时两个人共拌水泥30kg，求每个人每小时拌水泥的能力。
设工人B每小时拌水泥x kg，则工人A每小时拌水泥为1.5x kg，根据题意得到等式1.5x+x=30，解此分式方程得x=10，因此工人B每小时拌水泥10kg，工人A每小时拌水泥15kg。
3. 赛跑问题：A、B两人进行百米赛跑，A比B领先10米跑完全程，若A的速度是B的1.5倍，求A和B的速度。
设B每小时的速度为x km/h，则A每小时的速度为1.5x km/h，根据题意得到等式100/(1.5x)-10/x=0，解此分式方程得x=20，A的速度为30 km/h，B的速度为20 km/h。
分式方程及其应用
分式方程及其应用一、分式方程的基本解法：1．分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫作分式方程．2．可化为一元一次方程的分式方程的解法：（1）解分式方程的基本思想是：把分式方程转化为整式方程．（2）解可化为一元一次方程的分式方程的一般方法和步骤：①去分母，即在方程的两边同时乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；②解这个整式方程；③验根：把整式方程的根代入最简公分母中，使最简公分母不等于零的值是原方程的根；使最简公分母等于零的值是原方程的增根．注意：（1）增根能使最简公分母等于0；（2）增根是去分母后所得整式方程的根．3．解分式方程产生增根的原因：增根的产生是在解分式方程的第一步“去分母”时造成的，根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得的方程是原方程的同解方程，如果方程的两边都乘以的数是0 ，那么所得的方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根．【例1】解下列分式方程：（1）131x x+=-（2）31244xx x-+=--（3）21122xx x=---（4）11222xx x-=---（5）212xx x+=+（6）2216124xx x--=+-【例2】（1）若关于x 的方程1233mx x=+--有增根，则m =________．（2）解关于x 的方程2224222x a a x x+-=--会产生增根，则a 的值是________．（3）若关于x 的分式方程11044a xx x---=--无解，则a 的值为________．（4）若关于x 的分式方程2111m x x+=--的解为整数，则m 的取值范围是________．（5）若关于x 的分式方程311x a x x--=-无解，则a =________．二、巧解分式方程： 【例3】（1）111141086x x x x +=+---- （2）2263503x x x x-++=-（3）()()()()()1111111220212022x x x x x x x +++=------…（4）方程222313x x x x-+=-中，如设23y x x =-，原方程可化为整式方程：________．【拓1】观察下列方程及其解的特征：①12x x+=的解为121x x ==； ②152x x +=的解为12x =，212x =；③1103x x +=的解为13x =，213x =；…… 解答下列问题： ①请猜想：方程1265x x +=的解为________； ②请猜想：关于x 的方程1x x +=________的解为1x a =，21x a=（0a ≠）； ③上题中的结论可以证明是正确的，请用该结论来解方程：315132x x x x -+=-．【拓2】24111181111x x x x +++=-+++．三、分式方程的应用：【例4】（20宝应模拟）十堰即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成．现还有6000米的钢轨需要铺设，为确保年底通车，如果实际施工时每天比原计划多铺设20米，就能提前15天完成任务．设原计划每天铺设钢轨x 米，则根据题意所列的方程是（ ） A ．600060001520x x -=+ B ．600060001520x x -=+ C ．600060002015x x -=- D ．600060002015x x-=-【拓3】某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问原计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设原计划每天加工x 套，则根据题意可得方程为（ ） A ．()16040018120%x x +=+ B ．()16040016018120%x x -+=+ C ．1604001601820%x x -+= D ．()40040016018120%x x-+=+【例5】一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度行驶，一小时后加速为原来的1.5倍，并比原计划提前40分钟到达目的地，求前一小 时的平均速度．【拓4】有一段6000米的道路由甲乙两个工程队负责完成．已知甲工程队每天完成的工作量是乙工程队每天完成工作量的2倍，且甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独 完成此项工程少用10天．（1）求甲、乙两工程队每天各完成多少米？（2）如果甲工程队每天需工程费7000元，乙工程队每天需工程费5000元，若甲队 先单独工作若干天，再由甲乙两工程队合作完成剩余的任务，支付工程队总费用不超 过79000元，则两工程队最多可以合作施工多少天？四、真题演练：1．（21扬州三模）若关于x 的分式方程21mx x=-有正整数解，则整数m 的值是（ ） A ．3 B ．5 C ．3或5 D ．3或42．（19仪征期中）定义：如果一个关于x 的分式方程a b x=的解等于1a b -，我们就说这个方程叫差解方程．比如：243x =就是个差解方程．如果关于x 的分式方程2mm x =-是一个差解方程，那么m 的值是（ ） A ．2 B ．12 C ．12- D ．2-3．（20邗江月考）扬州轨道交通线网规划2020年由4条线路组成，其中1号线一期工程全长30千米，预计运行后的平均速度是原来乘公交车的1.5倍，行驶时间则缩短半小时．设原来公交车的平均速度为x 千米/时，则下列方程正确的是（ ） A ．30301.50.5x x +=B ．30301.50.5x x -= C ．30300.5 1.5x x +=D ．30300.5 1.5x x-=4．（21高邮期末）如果关于x 的不等式组521113()22m x x x -≥⎧⎪⎨-<+⎪⎩有且仅有四个整数解，且关于y的分式方程28122my y y --=--有非负数解，则符合条件的所有整数m 的和是（ ） A ．13 B ．15 C ．20 D ．225．（21仪征期末）若关于x 的分式方程312mx -=+的解为负数，则m 的取值范围为________．6．（21邗江期末）关于x 的方程1122m x x-=--有增根，则m 的值为________．7．（19宝应月考）若关于x 的分式方程21011m x x -=-+无解，则m =________．8．（18高邮期中）已知关于x 的分式方程111x k kx x +-=+-的解为负数，则k 的取值范围是________．9．（19江都期中）若关于x 的方程4122ax x x =+--无解，则a 的值是________．10．（20广陵期中）要使方程121x x a=--有正数解，则a 的取值范围是________．11．（21仪征期末）若关于x 的分式方程12221(2)(1)x x x ax x x x --+-=-+-+的解为负数，则a 的取值范围是________．12．（19邗江月考）对于非零实数a 、b ，规定21a ab b a⊗=-．若(21)1x x ⊗-=，则x 的值为________．13．（20仪征期中）对于两个不相等的实数a 、b ，我们规定{in }m h a b 、表示a 、b 中较小的数的一半，如min 2{}31h =、，那么方程22{i }m n h x x xx=-+、的解为________．14．（20仪征期中）定义运算“※”： , , aa b a ba b b a b b a⎧>⎪⎪-=⎨⎪<⎪-⎩※，若52x =※，则x 的值为________．15．（20仪征期中）若32248168224816321111111a x x x x x x x =+++++--+++++，则a 的值是________．16．（2021·扬州）为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天．问：原先每天生产多少万剂疫苗？17．（20邗江月考）疫情防控形势下，人们在外出时都应戴上口罩以保护自己免受新型冠状病毒感染．某药店用4000元购进若干包次性医用口罩，很快售完，该店又用7500元钱购进第二批这种口罩，所进的包数比第一批多50%，每包口罩的进价比第一批每包口罩的进价多0.5元，请解答下列问题： （1）求购进的第一批医用口罩有多少包？（2）政府采取措施，在这两批医用口罩的销售中，售价保持了一致，若售完这两批口罩的总利润不高于3500元钱，那么药店销售该口罩每包的最高售价是多少元？18．（21邗江期末）对于两个不等的非零实数a ，b ，若分式()()x a x b x--的值为0，则x a =或x b =．因为2()()()()x a x b x a b x ab abx a b x x x---++==+-+，所以关于x 的方程abx a b x+=+的两个解分别为1x a =，2x b =．利用上面建构的模型，解决下列问题： （1）若方程px q x+=的两个解分别为11x =-，24x =．则p =________，q =________；（2）已知关于x 的方程222221n n x n x +-+=+两个解分别为1x ，2x （12x x <）．求12223x x -的值．19．（21高邮期末）八年级学生去距学校12km 的珠湖小镇游玩，一部分学生骑自行车先走，其余学生20min 后乘汽车出发，结果他们同时到达、已知汽车的速度是骑车学生速度的3倍．（1）求骑车学生的速度；（2）游玩中八（4）班班主任为增强班级凝聚力决定让全班学生在户外拓展区参加一次户外拓展活动，班主任根据该项目收费标准支付了1575元，请根据该项目收费信息确定全班人数．户外拓展收费标准：人数 收费 不超过30人 人均收费50元超过30人每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于40元20．（2020·扬州）如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染． 进货单：商品 进价（元/件）数量（件）总金额（元）甲7200 乙3200李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%． 王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件． 请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单．。
分式方程应用
分式方程应用
分式方程是指方程中包含有分式表达式的方程。
它们的应用十分广泛，例如在经济学、物理学和化学等科学领域中常常用到。
下面我们将介绍分式方程的一些常见应用。
一、比例问题
比例问题可以转化为分式方程的形式，例如：
已知两种货币之间的汇率为1:7，如果我拥有100美元，那么我可以换成多少卢布
解法：假设1美元可以换成x卢布，则有分式方程100/1 = x/7，通过解方程可以得到x=700，因此100美元可以换成700卢布。
二、利润分配问题
利润分配问题也可以转化为分式方程的形式，例如：
甲、乙两人合伙做生意，利润分成3:7，请问他们的利润分别是多少
解法：假设总利润为x元，则甲、乙的利润分别为3x/10和7x/10，因此有分式方程3x/10 + 7x/10 = x，通过解方程可以得到x=10，因此甲、乙的利润分别为3元和7元。
三、速度问题
速度问题也可以转化为分式方程的形式，例如：
已知甲、乙两人同时从A点出发，沿同一方向行驶，甲速度为30km/h，乙速度为50km/h。
如果乙比甲迟出发30分钟，则乙需要行驶多久才能追上甲
解法：假设乙行驶的时间为t小时，则甲行驶的时间为t+1/2小时，两人之间的距离为50t-30，30(t+1/2)，因此有分式方程50t-30=30(t+1/2)，通过解方程可以得到t=3，因此乙需要行驶3小时才能追上甲。
以上就是分式方程的一些常见应用，希望对你有所帮助。
分式方程及其应用课件
密度与质量的关系
总结词
通过已知密度和质量，求体积
详细描述
密度是物质的质量除以其体积，可以用以下方程表示：密度 = 质量 / 体积。 已知密度和质量，就可以求出体积。例如，已知水的密度是1克/立方厘米， 质量为100克的水，其体积是100立方厘米。
效率与成本的关系
总结词
通过已知效率和成本，求产量或收益
示例
例如，x/3=2就是一个简单的分式方程，其中x是未知数，3 是分母。
分式方程的分类
简单分式方程
只有一个分式和一个未知数，且未知数在分母中。
复杂分式方程
包含多个分式和未知数，或者未知数在分子或分母中。
分式方程的解法
1 2
转化法
将分式方程转化为整式方程，求解整式方程得 到未知数的值。
图像法
画出分式方程对应的函数图像，通过交点或切 线求解未知数。
运动学问题
在物理学中，分式方程也经常用来解决运动学问题，例如计算物体的速度和 加速度。
在化学中的应用
化学反应速率
在化学反应中，分式方程可以用来描述化学反应的速率，以及反应物和生成物之 间的比例关系。
溶液浓度问题
在化学中，分式方程也经常用来解决溶液的浓度问题，例如计算溶液的渗透压等 。
在工程中的应用
例子
解分式方程 $x+1\div x-1=3$，通过建立方程 $(x+1)(x1)=3$，解决了问题。
分类讨论思想
分类讨论思想
对于一些未知数的取值范围不明确的问题，需要分类讨论。
例子
解分式方程 $\frac{x}{x-1}-\frac{3}{x}=1$，需要考虑 x 的取值范围，当 x<0 时，方程无解；当 0<x<1 时，方程的解为 x=3-2\sqrt{2}；当 x>1 时，方程的解为 x=3+2\sqrt{2}。
七年级数学下册_分式方程及分式应用题
分式方程及分式应用题【知识点归纳】知识点一、分式方程1分式方程概念：方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程.2解分式方程：基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母。
一般的，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。
《1》理解分式方程的有关概念例1 指出下列方程中，分式方程有（ ）①21123x x -=5 ②223x x -=52-5x=0x +3=0 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【点评】根据分式方程的概念，看方程中分母是否含有未知数．《2》掌握分式方程的解法步骤（注意分式方程最后要验根。
（易错点））例2 解方程：100307x x =-.例3. 解关于x 的方程x a b c x b c b x c ab a bc --+--+--=>30()，， 解：原方程化为：x a b c x b c b x c ab---+---+---=1110 即x a b c c x b c a a x c a bb---+---+---=0 ∴---++=>>>∴++≠∴---=∴=++()()x a b c a b c a b c a b cx a b c x a b c11100011100 ，，说明：本题中，常数“3”是一个重要的量，把3拆成3个1，正好能凑成公因式x a b c ---。
若按常规在方程两边去分母，则解法太繁，故解题中一定要注意观察方程的结构特征，才能找到合适的办法。
例4. 解关于x 的方程。
ax x a bx x b a b x a x b ab ()()()()()()+++=+++≠0解：去括号：ax a x bx b x a b x a b x ab a b 222222+++=+++++()()()()()()()a b x a b x ab a b abx ab a b ab x a b222202+-+=+-=+≠∴=-+说明：解含字母系数的方程，在消未知数的系数时，一定要强调未知数的系数不等于0，如果方程的解是分式形式，必须化成最简分式或整式。
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分析：设自行车的速度是x千米/时，汽车的速度是3x千米/时 请找出可列方 程的等量请关根系据题意填写速度、时间、路程之间的关系表
请审题分析题意
速度（千米/时） 路程（千米） 时间（时）
自行车
x
汽车
3x
15
15
x
15
15
3x
农 机C 厂
B
自行车先走 2 时 3
向 阳 村
同时 到达
练习：农机厂到距工厂15千米的向阳村检修农机，一部分人骑自行车先走，过了40分 钟，其余人乘汽车去，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的 速度。
区别：解方程后要检验。
总结：列分式方程解应用题的方法和步骤如下：
1：审清题意，并设未知数 2：找出相等关系，并列出方程； 3：解这个分式方程， 4：验根（包括两方面 ：1、是否是分式方
程的根；2、是否符合题意） 5：写答案
练习
1、长沙市为了治理城市污水，需要铺设一段全长为 300米的污水排放管道．铺设完120米后，为了尽可能减 少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工作量比 原计划增加20%，结果共用了15天完成了这一任务．求 原计划每天铺设管道多少米？
B．1－2(3x＋1)＝2x
C．1－2(3x＋1)＝6x
D．1－6x＋2＝6x
2．若方程xx－ －14＝x－m 4有增根，则 m 的值是( B )
A．2
B．3
C．－3
D．1
3．解方程： x＋1 3－3－2 x＝x21－2 9.
2x2－x 5－2x2＋5＝1.
·新课标
【温馨提示】分式方程的增根与无解并非同一个概念，
考点3 分式方程的应用
·新课标
引入：
• 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独 完成施工1个月完成总工程的三分之一，这时增 加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全 部完成，哪个队的施工速度快？
• 分析：甲队1个月完成总工程的1∕3，设乙队如
果单独完成施工1个月能完成总工程的1∕x,那么
甲队半个月完成总工程的
+1 2x
=1
2x+x+3=6x x=1
经检验：x=1是原分式方程的解，且符合题意。 1
∵ 1﹥ 3
∴ 乙队施工速度快。
例1 甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙 多做6个，甲做90个零件所用的时间和乙做60个零件所 用时间相等，求甲、乙每小时各做多少个零件？
解：设甲每小时做x个零件则乙每小时做（ x －6）个零件， 依题意得： 等量关系：甲用时间=乙用时间
答：自行车的速度是15千米/时，汽车的速度是45千米/时
本题还有其它解法吗？
等量关系：
汽车所用时间=自行车所用时间 2 小时 3
汽车走15千米所用时间=自行车走 (15 2 x)千米
3
所用时间
间接设未知数
如：设汽车走这段路需x小时，则自行车需
(x 2 )小时 3
问题：请分析列分式方程解应用题与以前学习的 列方程解应用题有什么区别？
分式方程及其应用
·新课标
│ 考考点随点堂梳练 理
考点1 分式方程及相关概念
含有未知数
·新课标
展示一 │ 考点随堂练
1.下列方程中是分式方程的是( A )
A.πx＝πx
B.21x－31y＝51
C.πx＝3x＋x2
D.x＋3 1－x－2 1＝－1
2．方程2－ ax3＋x1＝1的解是x＝3，则a＝___－__53____.
解：设甲施工队单独完成此项工程需x天，则乙施工队 4
单独完成此项工程需 5 x 天,根据题意，得
10 x
10 2 4x
1,
解得x＝25，经检验，x＝25是原方程的
5 根，且符合题意，
∴4 5
x
＝
4×25＝20. 5
答：甲施工队单独完成此项工程需要25天，乙施工队单独
完成此项工程需要20天．
3. 关于 x 的分式方程x－m 1＋1－3 x＝1 的解为正数，则 m 的取值范围是 __m_＞__2_且__m__≠_3．
·新课标
│ 考点随堂练
考点2 分式方程的解法
增根
最简公分母
·新课标
展示二│ 考点随堂练
1.解分式方程21x－3x＋ x 1＝3，去分母后所得的方程是( C )
A．1－2(3x＋1)＝3
1∕6 ，乙队半个
月完成总工程的
1∕2x，两队半个
月完成Байду номын сангаас工程的
1﹢ 1
6
2x 。
列方程的关键是什么？问题中的那个等量 关系可以用来列方程？
• 关键：找出相等关系
• 甲队施工1个月的工作量+甲乙共施工半个 月的工作量=总工作量
解：设乙队如果单独施工1个月能完成总工
程的
1 x
。
由题意得：
1 3
+
1 6
分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的
整式方程无解；分式方程的增根不仅是去分母后的整式
方程的根，也是使分式方程的分母为0的根．
失分点 3
解分式方程忘记验根
下列是小芳求解分式方程
1 2(x
1)
x x2 1
0 的全部过程
，请检查她的解法是否正确．
失分点 3
解：方程两边同乘以2(x＋1)(x－1)， 得x－1－2x＝0， 解得x＝－1， 所以，原分式方程的解为x＝－1. 小芳的解题过程错在_忘__记__检__验___,此题最终结果为_无__解__．
汽车所用的时间＝自行车所用时间－ 时 2
3
解：设自行车的速度为x千米/时，那么汽车的速度是3x千米/时， 依题意得：
15 15 2 3x x 3
即： 5 15 2 x x3
15＝45－2x
2x=30
设元时单位一定 要准确
得到结果记住要 检验。
x=15
经检验，15是原方程的根，并符合题意
由x＝15得3x=45
解：设原计划每天铺设管道x米，根据题意得，
120 300 120 15 , x x( 1 20%)
解得x＝18， 经检验x＝18是原方程的根，且符合题意． 答：原计划每天铺设管道18米．
2、 已知某项工程由甲、乙两个施工队共同完成，乙队 先单独做2天后，再由两队合作10天完成全部工程．已知 乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工 程所需天数的 ，4求甲、乙两个施工队单独完成此项工 程各需几天？ 5
90 60 x x6
90x 6 60x
90x 60x 540 30x 540
x 18
经检验X=18是原方程的根,且符合题意。
由x＝18得x－6=12
答：甲每小时做18个，乙每小时12个
请审题分析题意 设元
我们所列的是一个分 式方程，这是分式方
程的应用
行程问题基本关系：S=vt
练习：农机厂到距工厂15千米的向阳村检修农机，一部分人骑自行车先走，过了40分 钟，其余人乘汽车去，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的 速度。