一道课本三角习题的多解和变式探究

一道课本三角习题的多解和变式探究
罗文军 刘娟娟
（甘肃省秦安县第二中学，741600）（甘肃省秦安县郭嘉镇槐川中学，741609） 在历年高考真题中，有部分解三角形试题以对角互补的四边形为载体（例如2014年新课标Ⅱ卷文科第17题和2015年四川卷理科19题）.主要考查余弦定理、三角形面积公式和三角恒等变换等知识，考查函数与方程、数形结合和化归与转化的思想，考查推理论证能力和运算求解能力，旨在考查学生的逻辑推理和数学运算的核心素养，具有很好的区分度和选拔功能.从源头来看，这类试题可以看成如下的源自苏教版课本必修5第11章解三角形第17页习题11.2的第13题.
题目、如图1，已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为2AB =，
6BC =，4AD CD ==，如何求出四边形ABCD 的面积？
本文对这道课本习题探究和变式探究，以期达到对学生解答这
类以对边互补的四边形为载体的解三角形问题求解起引导作用.
一、解法探究
将四边形问题转化为解三角形问题是所有解法探求的关键，在已知四边形四条边长的基础上，求某个内角大小是解题的主攻方向，掌握这两点，问题可迎刃而解.
分析1、连对角线BD ，将四边形分解成ABD ∆和BCD ∆.注意对角互补关系180A C +=o ，分别运用余弦定理表示出公共边BD ，解方程组可得cos A ，从而得到A 和C 的度数.明确了ABD ∆和BCD ∆的两边一角之和，利用三角形面积公式可得解. 解法1、如图2，连结BD .在ABD ∆、BCD ∆中分别应用余弦定理，可得
22222224224cos 64264cos BD A BD C
⎧=+-⨯⨯⎪⎨=+-⨯⨯⎪⎩ 因为四边形ABCD 为圆内接四边形，有180A C +=o
，从而
222016cos 5248cos BD A BD A ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，可得1cos 2A =-，120A =o ，所以60C =o . 于是1124sin12064sin 608322
ABD BCD ABCD S S S ∆∆=+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=o o 四边形. 解法2、如图3，在BC 边上取点E ，使得BE BA =，连结DE 合BD .
由4CD DA ==，得2ABC ABD ∠=∠，从而ABD EBD ∠=∠，
易得ABD ∆≌EBD ∆.
所以4DE DA CE ===，CDE ∆为等边三角形，得60C ∠=o .
所以，180120A C ∠=-∠=o o . 于是有1124sin12064sin 608322ABD BCD ABCD S S S ∆∆=+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=o o 四边形. 评注、本解法作辅助线DE 后，根据圆的弦长相等时所对应圆周角相等得出ABD EBD ∠=∠，进而得到ABD ∆和EBD ∆全等，推算出CDE ∆为等边三角形，得出角A 和C 的度数，着眼于用几何方法确定角的大小.然后同解法1求出四边形ABCD 的面积.
解法3、如图4，分别延长BA 与CD 交于点E .
由180BAD EAD ∠+∠=o ，180BAD C ∠+∠=o ，得
C EA
D ∠=∠；又AED CEB ∠=∠，所以AED ∆∽CEB ∆.
于是，23
EA ED EA AD EC EB EC BC ====. 设EA x =，ED y =，则有2432
23
x y y x ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，解得325285x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.
在EAD ∆中，由余弦定理，可得2221cos 22
EA AD ED EAD EA AD +-∠==•，所以60EAD C ∠=∠=o .
所以，11sin sin 8322
EBC EBC ABCD S S S BC CE C EA AD EAD ∆∆=-=•-•∠=四边形. 评注、本解法运用了割补法的思想.作辅助线后，先根据相似三角形的性质得出线段
EA 、ED 、EB 、
EC 的长度，再由余弦定理得出EAD ∠、C ∠的度数，最后将四边形ABCD 的面积化归为EBC ∆和EAD ∆的面积的差.
二、变式探究
变更课本习题的数据，可得
变式1、在圆内接四边形ABCD 中，6AB =，3BC =，4CD =，5AD =，求对角线BD 的长度和四边形ABCD 的面积.
解：连结BD ，由圆内接四边形性质可得180A C +=o
.在ABD ∆和BCD ∆中，由余弦
定理，可得2222222cos 2cos BD AB AD AB AD A BD BC CD BC CD C ⎧=+-•⎪⎨=+-•⎪⎩，即226160cos 2524cos BD A BD A
⎧=-⎪⎨=+⎪⎩， 解得3cos 7
A =. 所以
，sin sin 7C A ===，进而
ABD BCD ABCD S S S ∆∆=+四边形11sin sin 22
AB AD A BC CD C =•+
•11653427277
=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=. 变更课本习题的条件与结论，得
变式2、已知圆内接四边形ABCD 中，1AB =，3BC =，2CD DA ==，求圆的半径R .
解：连结BD ，由圆内接四边形性质可得180A C +=o
.由余弦定理，可得2222222cos 2cos BD AB AD AB AD A BD BC CD BC CD C ⎧=+-•⎪⎨=+-•⎪⎩，即2254cos 1312cos BD A BD A ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩， 解得1cos 2A =-
，BD =因为0180A <<o o ，所以120A =o .
在ABD ∆
中，由正弦定理，可得2sin 32
BD R A ===
，所以3R =. 变式3、已知四边形ABCD 内角A 与C 互补，且1AB =，2BC =，3CD =，4DA =，试求tan tan tan tan 2222
A B C D +++的值. 解;由题意，可得180C A =-o ，180D B =-o . 一方面，由2sin
2sin 1cos 22tan 2sin cos 2sin cos 222A A A A A A A A
-===. 可知
1cos 1cos 1cos(180)1cos(180)tan tan tan tan 2222sin sin sin(180)sin(180)
A B C D A B A B A B A B ------+++=+++--o o o o
22sin sin A B
=+. 另一方面，连结BD 、AC ，在ABD ∆和BCD ∆中，分别用余弦定理，可得
2222222cos 2cos BD AB AD AB AD A BD BC CD BC CD C ⎧=+-•⎪⎨=+-•⎪⎩，即22178cos 1312cos BD A BD A
⎧=-⎪⎨=+⎪⎩， 解得1cos 5
A =.
所以，sin A ==同理，在ABC ∆和ACD ∆中，分别运用余弦定理，
可解得5cos 7B =-，所以sin 7B ==.
于是，22tan tan tan tan 2222sin sin A B C D A B
+++=+=.。