平面几何的立体几何类比概况
几何学中的平面几何与立体几何
几何学是数学中的一个重要分支，探讨了空间中的图形、形状和关系。
而几何学又可分为平面几何和立体几何两个大类。
本文将以“几何学中的平面几何与立体几何”为题，探讨这两个分支的基本概念和重要性。
首先，平面几何是几何学中的一个重要分支，研究平面内的图形和关系。
在平面几何中，我们研究的对象是二维图形，如点、线、角、三角形、四边形和圆等。
平面几何主要探讨这些图形的性质和相互之间的关系。
例如，在平面几何中，我们可以证明的定理有：相等对应边相等、对角线相等的平行四边形是矩形；对角线相等的长方形是正方形；等边三角形的内角均为60度等。
这些定理在我们的日常生活中有着广泛的应用，例如工程测量、建筑设计等。
与平面几何相对应的是立体几何。
立体几何是几何学中研究空间图形和关系的一个分支。
在立体几何中，我们研究的对象是三维图形，如立方体、圆柱体、圆锥和球等。
立体几何主要探讨这些图形的性质和相互之间的关系。
例如，在立体几何中，我们可以证明的定理有：正方体的对角线等于边长的根号2；球的体积等于4/3πr^3等。
这些定理在物理学中的体积计算、建筑设计中的结构强度等方面有着广泛的应用价值。
值得注意的是，平面几何和立体几何并不是完全独立的。
实际上，平面几何是立体几何的一个特例。
在立体几何中，我们可以进行平面截割，将立体图形转化为平面图形进行研究。
例如，我们可以通过斜视图来观察和计算正方体的表面积，将其转化为一个平面几何问题。
这样的转化在研究和解决立体几何问题时是非常有用的。
总结起来，几何学中的平面几何和立体几何是相互联系的。
平面几何主要研究平面内的图形和关系，立体几何则研究空间内的图形和关系。
两者都有着广泛的应用价值，不仅在数学领域中，也在日常生活、工程测量、建筑设计等方面中发挥着重要作用。
因此，掌握和理解平面几何和立体几何的基本概念和定理是我们在学习和应用几何学时必不可少的一部分。
立体几何与平面几何
立体几何与平面几何几何学是一门研究空间、形状、大小和相对位置的学科。
在几何学中，立体几何和平面几何是两个重要的分支，它们分别研究立体空间和平面空间中的几何性质和关系。
本文将介绍立体几何和平面几何的基本概念及其在现实生活中的应用。
一、立体几何的概念和性质1. 立体几何的定义立体几何是研究三维空间中的几何图形和性质的学科。
立体几何中的基本概念包括点、线、面和体。
在立体几何中，我们可以通过测量、计算和推导来研究空间中的物体。
2. 立体几何的性质在立体几何中，有一些基本性质需要我们了解。
例如，直线是空间中最短的曲线，直线的两点确定一条直线，而三个点不在同一条直线上。
此外，平行线在空间中永远不会相交，而直线与平面只有一个公共点或者没有公共点。
3. 立体几何的应用立体几何的概念和性质在现实生活中有广泛的应用。
例如，在建筑设计中，我们需要使用立体几何的知识来设计和构造建筑物；在计算机图形学中，我们可以利用立体几何的原理来建模和渲染三维图像；在工程测量中，我们需要使用立体几何的方法来计算和测量物体的体积和表面积。
二、平面几何的概念和性质1. 平面几何的定义平面几何是研究二维平面上的几何图形和性质的学科。
平面几何中的基本概念包括点、线和面。
在平面几何中，我们可以通过测量、计算和推导来研究平面上的图形和几何性质。
2. 平面几何的性质在平面几何中，也有一些基本性质需要我们了解。
例如，两条不同直线在平面内最多只有一个公共点，而两条平行线永远不会相交。
此外，平面上的三个点不会共线，而通过一个点在平面内作一条直线有无数个方向。
3. 平面几何的应用平面几何的概念和性质在现实生活中也有广泛的应用。
例如，在地图上测量距离和角度时，我们需要使用平面几何的知识；在家居设计中，我们可以利用平面几何的原理来规划和布局空间；在航空航天领域，我们需要运用平面几何的概念来计算轨道和飞行路径。
结论立体几何和平面几何是几何学的两个重要分支，它们研究了空间和平面中的几何图形和性质。
初中数学中的几何知识
初中数学中的几何知识几何学作为数学的重要分支，对于初中数学学习至关重要。
通过学习几何知识，可以培养学生的空间观念和逻辑思维能力，帮助他们更好地理解和解决与空间相关的问题。
本文将介绍初中数学中的几何知识，包括平面几何和立体几何，并结合具体例子进行说明。
一、平面几何1. 点、线、面的概念在几何学中，最基本的概念就是点、线和面。
点是没有大小和形状的，只有位置的概念；线是由无限多个点连成的，具有长度但没有宽度和厚度；面是由无限多条线段组成，有长度和宽度但没有厚度。
初中数学主要研究平面几何，即二维几何，因此我们重点关注平面上的点、线和面。
2. 直线和射线直线是由至少两个不同的点连成的，它没有起点和终点，可以延伸到无穷远；射线是由一个起点和一个方向确定的，可以无限延伸。
直线和射线在几何证明中经常被使用，常见的符号表示直线为“l”或“AB”，表示射线可用“→”或“AB”。
3. 角的概念及分类角是由两条有公共端点的射线组成的，其中公共端点称为角的顶点，两条射线分别称为角的边。
角的大小可以用角的度数来度量，常用度（°）作为单位。
根据角的度数可以将角分为锐角（度数小于90°）、直角（度数等于90°）和钝角（度数大于90°）。
此外，还有特殊的角如零角（度数等于0°）和平角（度数等于180°）。
4. 三角形的性质三角形是由三条线段组成的图形，它是平面上最简单的多边形之一。
三角形根据边和角的关系可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
等边三角形的三条边相等，等腰三角形的两条边相等，普通三角形的三条边都不相等。
5. 直角三角形和勾股定理直角三角形是指其中一个角为直角（90°）的三角形。
直角三角形有一个重要的定理，即勾股定理。
勾股定理表明，在直角三角形中，直角边的平方等于两直角边各自平方的和。
即a² + b² = c²，其中a和b为直角边的长度，c为斜边的长度。
几何中的平面几何和立体几何
几何学是研究形状、大小、相对位置等几何属性的学科。
它可以分为平面几何和立体几何两个方向。
平面几何是研究平面上的点、线、角和形状的性质和关系的学科，立体几何则是研究空间中的点、线、面和立体的性质和关系的学科。
平面几何和立体几何都是几何学不可或缺的两个重要方面。
平面几何是几何学中最基础的一部分。
在平面几何中，主要研究平面上的点、线和面的性质。
平面上的点没有大小和形状，只有位置，用坐标表示。
线是由无数个点的集合构成，它们的性质可以通过直线、曲线、射线等不同形式进行描述。
线的性质非常丰富，可以通过线段、角、相交等概念进行研究。
面是由无数个点和线的集合构成，它们的性质可以通过多边形、圆、直角三角形等概念进行描述。
平面几何的基础是欧氏几何，是通过直观的感觉和常识进行研究和推理的。
立体几何则是在平面几何的基础上扩展到三维空间的一种几何学。
立体几何研究的对象是空间中的点、线、面和立体体。
在空间中，点没有大小和形状，只有位置，用坐标表示；线是由无数个点的集合构成，可以通过直线、曲线、射线等不同形式进行描述；面是由无数个点和线的集合构成，可以通过平面、曲面等不同形式进行描述；立体是由无数个点、线和面的集合构成，可以通过立方体、圆柱体、圆锥体等不同形式进行描述。
立体几何的基础是空间几何，它将几何学从平面延伸到了三维空间，需要借助抽象思维和几何推理的方法进行研究。
平面几何和立体几何相辅相成，共同构成了几何学的基础。
平面几何和立体几何的研究对象虽然不同，但是它们之间有很多联系和相似性。
首先，平面几何中的许多性质和定理可以通过立体几何进行证明，反之亦然。
其次，平面几何和立体几何都需要借助坐标、图形、定理等工具进行描述、研究和推理。
最后，平面几何和立体几何的研究结果可以应用于建筑、制图、计算机图形学等各个领域。
几何学作为数学的一个重要分支，不仅有着自身独立的研究内容和方法，还对其他数学学科，尤其是代数和分析学科有着重要的启发和辅助作用。
平面与立体几何的基本概念与区分
平面与立体几何的基本概念与区分几何学是一门研究形状、大小、相对位置等空间属性的学科。
在几何学中，平面和立体是两个基本的概念，它们在形态、性质以及应用上有着显著的区别。
本文将介绍平面和立体几何的基本概念，并对它们进行区分。
一、平面的基本概念平面可理解为一个没有厚度的无限大的表面。
在平面几何中，平面由无数个点构成，其中任意两点确定一条直线，任意三点不共线，且在平面外部不存在第四点与这三点共面。
在平面几何中，还有一些重要的基本概念：1. 直线：平面上的两点确定一条直线，并且这条直线上的所有点都在同一平面内。
2. 角度：由两条射线共享一个端点所形成的形状称为角度。
例如，直线上的两条射线形成的角度为直角。
3. 多边形：由连续的线段构成的封闭图形称为多边形，其中最常见的有三角形、四边形和五边形等。
二、立体的基本概念立体可视为一个有着长度、宽度和高度的物体。
在立体几何中，立体由许多平面组成，其中的平面称为面，相邻的面由边界线相连，而边界线的交点称为顶点。
在立体几何中，还有一些重要的基本概念：1. 体积：体积是立体所占用的空间大小，可以用来描述物体的容量。
例如，长方体的体积可以通过将长、宽和高相乘而得到。
2. 表面积：表面积是立体表面的总面积，可以用来描述物体的外包装面积。
例如，正方体的表面积可以通过将所有的面积相加而得到。
3. 多面体：由多个平面组成的立体称为多面体。
常见的多面体有三棱柱、四棱锥和正八面体等。
三、平面与立体的区分1. 维度差异：平面是二维的，只具有长度和宽度两个维度；而立体是三维的，具有长度、宽度和高度三个维度。
2. 图形特征：在平面几何中，图形通常只有长度和宽度，如直线、多边形等；而在立体几何中，图形除了长度和宽度外，还具有高度，如长方体、锥体等。
3. 视觉表现：平面几何中的图形只能通过二维平面来展示，无法展示出立体图形的空间特征；而立体几何中的图形可以通过三维的立体表现来展示，可以更加直观地看到立体图形的形态和结构。
立体几何和平面解析几何知识点
立体几何和平面解析几何知识点一、立体几何1.点、线、面和体：在立体几何中，点是没有大小和形状的，是具有位置的对象。
线由无数个点组成，线是没有宽度的。
面是由无数个线组成，面是二维的，具有长度和宽度。
体是由无数个面组成，体是三维的，具有长度、宽度和高度。
2.平行和垂直关系：在立体几何中，平行是两条线或两个面永远不会相交的关系，垂直是两条线或两个面相互垂直的关系。
3.点的投影：在立体几何中，点的投影是指垂直于水平面（或垂直于垂直面）的直线与平面的交点。
点的投影可以用来确定点在一些平面上的位置。
4.线和面的交点：在立体几何中，线和面的交点是指线与面相交的点。
线和面的交点可以用来确定线在一些面上的位置。
5.体的体积和表面积：在立体几何中，体的体积是指所占据的空间大小，可以通过计算底面积与高度的乘积来得到。
体的表面积是指体的外部空间的面积，可以通过计算底面积与侧面积的和来得到。
二、平面解析几何1. 直线的方程：在平面解析几何中，直线可以用一般式、截距式和斜截式等形式来表示。
一般式的直线方程是Ax + By + C = 0，其中A、B和C是常数；截距式的直线方程是x/a + y/b = 1，其中a和b分别是x轴和y轴上的截距；斜截式的直线方程是y = mx + c，其中m是斜率，c是y轴上的截距。
2.圆的方程：在平面解析几何中，圆可以用标准式和一般式来表示。
标准式的圆方程是(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)是圆心的坐标，r是半径的长度；一般式的圆方程是x²+y²+Dx+Ey+F=0，其中D、E和F是常数。
3.直线和圆的交点：在平面解析几何中，直线和圆可以相交于零个、一个或两个交点。
可以通过求解直线方程和圆方程的联立方程组来确定直线和圆的交点。
4.曲线的方程：在平面解析几何中，曲线可以用隐式方程、参数方程和极坐标方程来表示。
隐式方程是F(x,y)=0，其中F是关于x和y的方程；参数方程是x=f(t)，y=g(t)，其中t是参数；极坐标方程是r=f(θ)，其中r是距离原点的距离，θ是与x轴的夹角。
平面几何与立体几何的联系
平面几何与立体几何的联系平面几何和立体几何作为数学中的两个重要分支，都研究了几何图形的性质和相互关系。
虽然它们在研究对象和方法上有所不同，但二者之间存在着密切的联系。
本文将通过介绍平面几何和立体几何的基本概念和性质，然后详细讨论二者之间的联系。
1. 平面几何的基本概念和性质平面几何是研究二维平面上的几何图形的学科。
它研究封闭曲线和曲线之间的关系，包括点、线、角以及它们之间的运算。
平面几何的基本概念有点、线段、直线、角等，其中点是平面上最基本的单位，直线是由无限多个点组成的无限集合。
此外，平面几何还有一些基本公理，如点在直线上，两点确定一条直线等。
平面几何的性质是指在平面上各种几何图形之间的相互关系。
例如，平行线具有平行性，垂直线之间的夹角为90度，等边三角形的三边相等等。
这些性质是通过推理和证明得到的，为平面几何的发展提供了坚实的基础。
2. 立体几何的基本概念和性质立体几何是研究三维空间中的几何图形的学科。
它研究空间中的点、线、面以及它们之间的关系和性质。
立体几何的基本概念有点、线段、平面、体等，其中体是由无限多个点构成的三维图形。
与平面几何类似，立体几何也有一些基本公理，如平面上的两点确定一条直线，空间中的两点确定一条直线等。
立体几何的性质是指空间中各种几何图形之间的相互关系和特点。
例如，平行面之间的距离保持不变，正方体的六个面相互平行等。
立体几何的性质同样需要通过推理和证明来得到。
3. 平面几何与立体几何的联系虽然平面几何和立体几何是两个独立的学科，但它们之间存在着紧密的联系。
首先，平面几何可以看作是立体几何的一种特殊情况，即当所有的几何图形都在一个平面上时，就可以把它们看作是立体几何的一部分。
因此，平面几何可以被看作是立体几何的一个子集。
其次，平面几何和立体几何都研究了点、线、角等基本概念和性质，这些概念和性质在两个学科中都有着重要意义。
例如，平行线和垂直线的概念在平面几何和立体几何中都有明确的定义，并且具有相似的性质。
从平面到空间的类比推理
专题一：从平面到空间的类比推理类比是数学命题推广的基本方法之一，法国数学家拉普拉斯曾经说过：“即使在数学里,发现真理的主要工具也是归纳和类比．"类比推理就是在两类不同事物之间进行对比,找出若干相同或相似点之后,推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式．从逻辑上说，类比推理就是将命题的外延扩大．类比推理一般具有如下三个特点：（1)类比是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础，类比出新的结果；（2）类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；（3）类比的结果是猜测性的，因此，类比推理得出的结论不一定正确，有待证明，但它却有探索、发现的功能，有助于我们揭示自然界的奥秘．类比推理的一般步骤是：(1）找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；（2)用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而抽象、概括出一个猜想；(3）检验猜想．近几年来，在全国各地的模拟试题和高考试题中,陆续出现了从平面到空间的类比推理题，这些题目立意新颖，内涵深刻，大多以填空题的形式出现，不需要严格的证明，只需要猜想出正确的结论即可，旨在考查学生观察-分析-比较—联想-类比— ,mm 猜0想的探索能力和创新意识，归纳起来，主要有以下几种类型：一、平面几何定理类比到立体几何定理平面是空间的一部分，因此，平面中的不少结论都可以类比拓展到空间中去．数学家波利亚曾指出:“类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题．"类比方法：“直线”类比为“_____"，“角”类比为“________”，“角的两边"类比为“_________________"等．例1:对于平面几何中的命题:“如果两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补．”在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“__________________________．"其真假性是_________．我们所熟悉的从平面几何定理到立体几何定理还有不少类比的实例，例如：（1）平几:平行于同一直线的两直线平行;立几:平行于同一平面的两平面平行．（2）平几：垂直于同一直线的两直线平行；立几：垂直于同一平面的两直线平行;垂直于同一直线的两平面平行．（3)平几：如果一条直线垂直于两平行直线中的一条直线,那么它也和另一条直线垂直;立几：如果一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，那么它也和另一个平面垂直；如果一个平面垂直于两平行平面中的一个平面，那么它也和另一个平面垂直．(4）平几：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补；立几：如果一个二面角的两个面与另一个二面角的两个面分别平行，那么这两个二面角相等或互补．二、平面几何图形类比到空间几何体点、线、面是构成空间几何体的基本元素,构成几何体离不开平面图形，有不少几何体的底面或侧面是一些相类似的平面几何图形，因此，平面中某些特殊几何图形的性质也可以类比推广到相对应的特殊空间几何体中去．(一）平面中的三角形类比到空间中的________1．直角三角形类比到___________类比方法1：“直角三角形的直角边长、斜边长”类比为“_________________________”．例2(2003广东卷）在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2 +AC2= BC2 "，拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面积与底面面积间的关系,可以得出的正确结论是：“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB 两两相互垂直,则____________________________________________________.变式：在△ABC中,A B⊥AC，AD⊥BC,D为垂足,则AB 2=BD·BC（射影定理)．类似地，三棱锥A—BCD中，AD⊥平面ABC，AO⊥平面BCD，O为垂足，且O在△BCD内,则S △ABC ,S △BCO ，S △BCD 三者之间满足关系式_______________________________．类比方法2：“直角三角形的直角边长、斜边上的高”类比为“_____________________”．例3（2008深圳调研理） 在Rt △ABC 中,两直角边分别为a 、b ，设h 为斜边上的高，则222111ba h +=，由此类比：三棱锥S —ABC 中的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两垂直，且长度分别为a 、b 、c,设棱锥底面ABC 上的高为h ，则有结论_________________________． 变式:Rt △ABC 的两直角边分别为a 、b ，则其内切圆半径122)1111(-+++=b a b a r r ;由此类比：三棱锥S —ABC 中的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两垂直，且长度分别为a 、b 、c ，则其内切球半径R=___________________________.2．正三角形类比到________________类比方法1：“正三角形的高"类比为“________________”．例4 平面几何中,有结论:“正三角形内任意一点到三边的距离之和为定值,且定值等于该正三角形边长的_______倍”．类比这一结论，将其拓展到空间,可得到结论:________________________________________________________．例5(2008韶关调研理） 已知正三角形内切圆的半径是高的1／3，把这个结论推广到空间正四面体,类似的结论是___________________________________________________．类比方法2:“正三角形的中心”类比为“________________"．例6 在平面内，自一点O 至多能引3条射线OA 、OB 、OC ，使它们两两成等角,且两两所成的角为1200．类比到空间，自一点0至多能引_____条射线，使它们两两成等角，且两两所成的角为_________．3．一般三角形类比到_______________类比方法1:“三角形的面积”类比为“___________________”．例7（2008梅州一模文） 已知△ABC 的三边长为a ，b ，c ，内切圆半径为r(用S △ABC 表示△ABC 的面积），则S △ABC =r （a+b+c ）／2；类比这一结论有：若三棱锥A —BCD 的内切球半径为R,则三棱锥体积加V A-BCD =________________．例8（2004广东卷)教材P78练习3例9 若点D 在△ABC 内，则有结论0=⋅+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S OAB OAC OBC ，把命题类比推广到空间,若点O 在四面体ABCD 内，则有结论：___________________________。
平面几何与立体几何的类比探究
面积公 式 ：：竹ｒ 球的体积公式 ： ＝ ３ 。 中 ｒ ｓ ２； Ｖ ４ 霄一 其 表示半径 ， 而 ｒ 的指数 １２以及 系数 与维数之间存在着一种对应 。因为平面是 ， 二维的 ， 空间是三维的。而且这里 圆的面积对半径的导数正好是 圆的周长 ， 球的体积的导数也是球 的表面积。
４类比推 理论证 。 ． 另外有些探究拓展 的题型还可考虑类 比猜 想， 如求证 ： 四面体 内任一点 到四个 面的距离之和为定值。 正 第 一步 ， 比构造 一个辅助平 面几何 问题“ 类 求证 ： 正三角形 内任一点到三边距离之和为定值” ； 第二步 ，通过分割方法 ，利 用面积的关 系解决平 面几何 问
☆ 求 鸣 静 ☆数学大 世界
想 ， 由此寻求 问题 的解决途径 并 或结论。 正如波利亚所说 ：对平 “ 面几何和立体几何作类 比， 是提 出新 问题 和获得 新发现取 之不 竭 的源泉” 。下 面谈一谈 自己运用类 比思想对平 面几何与立体几
何进行探究 的教学过程 ： 提出问题 。 引导思考 ： 平面几何与立体几何的 关系 １由平面几何与立体几何的相似性引发的思考 ， ． 是否可 以类
面的距 离之和为定值 （ 一侧面上的高） 。 ⑤ 圆的 周长公 式 ： ＝ 叮ｒ； Ｃ ２ ｒ 球的表 面积公式 ：＝ 霄ｒ 圆 的 Ｓ４ ２ ；
直 线
？ 强
线段 长 面积
强积 。 牺殴｜
。
｜
２类比构造命题。①直线平行 的传递性 ： ． 平行于同一条直线 的两直线平行。在平面和空间 中都成立 。②等角定理 ： 如果一个
空间 ：
蠢 的。但是 ， 忽视这 种似真 的猜想更为愚蠢。让我们欣赏一段名 人名言 ：我珍惜类 比胜于任何 别的东西 ， “ 它是 我最 信赖的老师 ， 它能揭示 自然界的秘 密， 在几何中它应该是最不容忽视的。”
立体几何和平面几何类比联想型问题探究
（ ）对 此类 题 目的表述 改 为更 符 合科 学 准 确 １ 性 的类 型 ． 例如 ： 求满 足条 件 ｆ １ （ ＋ ）一 １— １
的一个 函数 厂 ） （ （ ）如果 不改 题 目， 定要 向学 生指 明 （ ２ 一 以题
３ 张 晓 宁等 编 ． 高等 数 学 指 导 ． 华 大 学 出 版社 ，０ ５ 清 ２ ０ ４ 黄 璞 生 主编 ． 高等 数 学 题 解 词 典 （ 题 与 解 答 ） 陕 西 问 ．
所 以 ｒ一 ｎ ，因为 Ｒ 一
Ｕ 厶
， ｒ一 ｎ 则 ．
． ）
评 注 ： 究过 程 凸显 正 四 面 体 的体 积 计 算 的 探 两种方 法 ， 一次 求正 四面体 体 积“ 第 补形 纳人 正方 体再 割补法 ” 这 是 由教 材第 ５ 页 ８ 的学习体 验 ， ３ 题 决定 的 ； 二次 探 求 外 接球 半 径 和 内接 球 半 径 的 第 关 系用 “ 体积 分 割 法” 这是 由 正 四 面体 的 外 心 和 ，
格定义 呢 ？
厂） ｛－Ｘ （一Ｘ ２ 。 ２ 厂） ｛－ｘ （一 ２ｘ ｘ ， ２ ＝ ／
：
∈ ， 以 Ｒ 可为 也
＝ １’ １
我 在进 行 这一 部 分 教学 工 作 的时 候 ， 这个 对 问题也 注 意得不 够 ， 以这 点体 会与 各位 同行 共勉 ．
表述 当 中难免 有 失 当之 处 ， 望 各 位 同行批 评 指 还
（ ）等腰 三 角形底 边 上 的 任意 一 点到 两腰 的 ３ 距 离之 和为定 值 ， 拓展 空 间为 ， 三棱锥 底 面上 的 正 任 一点 到三个 面 的距离 之和 为定 值． 即正 三棱锥 （ 侧 面上 的高 ， 斜高 ） ； （ ）正 三角形 内任 一点 到 各边 距 离之 和 为定 ４ 值 ， 正三 角 形 的 高 ； 比结 论 ， 四面 体 内任 一 即 类 正
数学中的平面几何与立体几何
数学中的平面几何与立体几何数学是一门抽象而优美的学科，其中平面几何和立体几何是数学中两个重要的分支。
平面几何研究二维空间中的图形和关系，而立体几何则探讨三维空间中的图形和关系。
在本文中，将介绍平面几何和立体几何的基本概念、性质和应用。
一、平面几何平面几何是研究二维平面上的图形和关系的数学学科。
它涉及到点、线、面等基本要素，并通过几何学的方法来研究它们之间的关系。
在平面几何中，我们常常用直角坐标系来描述图形的位置和性质。
1.1 点、线和面在平面几何中，最基本的要素是点。
点是没有大小和形状的，用来表示位置。
线是由无数个点组成的，没有宽度和厚度。
在平面几何中，我们常常用线段来表示线，线段由两个点确定。
面是由无数条线组成的，它有宽度和长度。
在平面几何中，我们研究的是平面，平面是由无数条平行线组成的，它有无限大的面积。
1.2 图形和关系平面几何中的图形有很多种类，比如点、线、圆、多边形等。
不同图形有不同的性质和关系，比如两条直线可能平行、相交或重合。
通过研究图形之间的关系，我们可以深入理解它们的性质和规律。
在平面几何中，我们经常研究的问题包括直线的斜率、两条直线的交点、多边形的内角和外角等。
这些问题在数学和物理学中都有广泛的应用。
二、立体几何立体几何是研究三维空间中的图形和关系的数学学科。
它涉及到点、线、面和体等基本要素，并通过几何学的方法来研究它们之间的关系。
2.1 点、线、面和体在立体几何中，点是最基本的要素，表示位置。
线是由无数个点组成的，线没有宽度和厚度。
面是由无数条线组成的，面有宽度和长度。
体是由无数个面组成的，它有宽度、长度和高度。
2.2 图形和关系立体几何中的图形有很多种类，比如棱锥、棱柱、球体、圆锥等。
不同的图形有不同的性质和关系，比如两个平面可能平行、相交或重合。
通过研究图形之间的关系，我们可以深入理解它们的性质和规律。
在立体几何中，我们经常研究的问题包括立体图形的体积、表面积、相交关系等。
数学中的几何从平面几何到立体几何
数学中的几何从平面几何到立体几何数学中的几何：从平面几何到立体几何数学中的几何是研究空间、形体和位置关系的学科。
它是一门基础性学科，对于人类的认知和科学研究具有重要的意义。
几何可以分为平面几何和立体几何两个分支，它们分别研究平面内的图形和空间体的性质和关系。
本文将从平面几何开始，逐步展开对几何学的介绍和探讨。
1. 平面几何平面几何是研究平面内点、线、面及其相关性质和关系的数学分支。
它关注平面内的图形，如点、线、圆和多边形等，以及它们之间的距离、角度和相对位置的规律。
在平面几何中，常见的概念包括：直线、射线、线段、角度、垂直、平行等。
另外，平面几何的基本公理是欧几里德几何的基础，被广泛应用于日常生活和科学研究中。
2. 立体几何立体几何是研究三维空间体和其中的图形性质的学科。
与平面几何不同的是，立体几何考虑的是有厚度、有体积的实体，如立方体、圆柱体、球体等。
在立体几何中，我们研究的对象有面、线和点，以及它们之间的距离、角度和相对位置的规律。
立体几何的应用非常广泛，包括建筑设计、工程制图以及计算机图形学等领域。
3. 数学中的几何应用数学中的几何不仅仅只是一门抽象的学科，它在各个领域都有广泛的应用。
例如在物理学中，几何的概念被用于描述物体的形状和运动；在计算机科学中，几何算法被用于图形处理和模型设计；在经济学中，几何方法被用于分析市场和优化资源分配等。
几何学的发展也推动了科学的进步和人类文明的发展。
总结：数学中的几何从平面几何到立体几何，涵盖了空间、形体和位置关系的研究。
平面几何主要研究平面内图形的性质和关系，而立体几何则研究三维空间体和其中的图形性质。
数学中的几何不仅具有理论意义，还广泛应用于各个领域，推动了科学和人类文明的进步。
通过学习和应用几何学，我们可以更好地理解和描述我们周围的世界。
高中数学的归纳平面几何与立体几何的基本概念总结
高中数学的归纳平面几何与立体几何的基本概念总结在高中数学中，归纳是一种重要的思维方式，它被广泛应用于平面几何和立体几何的学习中。
通过归纳，我们可以总结出许多基本概念和规律，从而更好地理解和应用几何知识。
本文将对高中数学中平面几何和立体几何的基本概念进行总结，并介绍它们的应用。
一、平面几何的基本概念1.1 点、线、面在平面几何中，点是最基本的概念，它没有大小和方向，只有位置。
线是由无数个点连接而成的，它是一维的，有长度但没有宽度。
面是由无数个线连接而成的，它是二维的，有面积。
在平面几何中，我们通过点、线和面建立起了一套完整的坐标系统。
1.2 角度角度是平面几何中的重要概念，它是由两条射线共同确定的。
常见的角度有直角（90度）、钝角（大于90度）和锐角（小于90度）。
角度的大小可以通过角度的度数来衡量，也可以通过弧度来表示。
在平面几何中，角度有着丰富的性质和应用，例如与圆相关的弧度、扇形等。
1.3 图形的性质在平面几何中，各种图形都有自己的性质和特点。
例如，三角形的内角和为180度，圆的周长和面积的计算公式等等。
这些性质是通过归纳和推理得出的，在解题中起到了重要的作用。
掌握图形的性质可以帮助我们更好地理解和运用平面几何的知识。
二、立体几何的基本概念2.1 空间和立体图形立体几何是研究三维空间中的图形和物体的学科。
与平面几何相比，立体几何更加复杂，需要我们在三维空间中进行观察和推理。
在立体几何中，我们常常遇到的图形有立方体、球体、棱柱、棱锥等，它们具有不同的性质和特点。
2.2 空间的投影在立体几何中，由于我们无法直接观察到三维空间中的图形，因此需要进行空间的投影，将三维的图形投影到二维平面上。
常见的投影方式有平行投影和中心投影。
通过投影，我们可以更好地理解和分析立体几何中的问题。
2.3 空间的计算在立体几何中，我们需要计算图形的体积、表面积等指标。
对于常见的图形，有一些计算公式可以帮助我们进行计算，例如长方体的体积公式、球体的表面积公式等。
类比的方法解题
如何用类比的方法解题一、类比意义与含义演绎推理——一般到特殊推理 归纳推理——特殊到一般推理 类比推理——特殊到特殊推理所谓类比是根据两个对象之间的相似性，把信息从一个对象转移到另一个对象。
类比的实质就是信息从模型向原型的转移，其步骤可由下列框图表示：类比是一种数学思想方法，将生疏的问题和熟知的问题进行比较，对生疏的问题作出猜想，并由此寻求问题的解决途径或结论。
数学家乔治·皮利亚相关名言： ——“类比是一个伟大的引路人”.—— “在你找到第一个蘑菇时,千万不要停下来,往前再走,继续观察,就会发现立体几何与平面几何的类比—— “对平面几何和立体几何作类比，是提出新问题和获得新发现取之不竭的源泉”。
——“如果把类比猜想的结论的似真性当作肯定性，那将是愚蠢的。
但是，忽视这种似真的猜想更为愚蠢。
”名人名言（Kepler ）：“我珍惜类比胜于任何别的东西，它是我最信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何中它应该是最不容忽视的 。
” 二、平面几何与立体几何类比 1、如何进行类比为了对二者进行类比，可以在它们的基本元素之间建立如下的类比关系：（但要注意的是这些类比关系又不是唯一的）2、类比构造命题（1）平面上定理——直线平行的传递性：平行于同一条直线的两直线平行。
在空间中成立。
（2）平面上定理——等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等。
在空间中成立。
（3）平面图形的研究需要建立平面直角坐标系；立体图形是建立在三维空间即空间直角坐标系上研究的。
（4）平面上有公共端点的两条射线形成的图形叫平面角；空间里一条直线和由这条直线出发的两个半平面组成的图形叫二面角。
而二面角的度数计算需转化为平面角来完成。
（5）平面上定理——平面中，不在同一条直线上的三点可确定一个圆，这是圆的确定性定理；在空间中，不在同一个平面上的四点可确定一个球，这是球的确定性定理。
（6）平面上定理——平面中，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；空间中，过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行。
高考数学中的立体几何与平面几何的异同
高考数学中的立体几何与平面几何的异同高考数学中，几何是一个不可避免的考点。
而几何又可以分为立体几何和平面几何两部分。
虽然这两部分内容有交叉，但是它们各具特色，有着非常明显的异同。
本文将从三个方面来分析高考数学中立体几何与平面几何的异同：内容难度、知识体系、应用场景。
一、内容难度高考数学中，立体几何相较于平面几何更为困难。
立体几何内容繁杂，理论知识相对于平面几何更为深奥，需要学生掌握三维图形的基本概念，如视角、正二十面体、正六面体等等。
另外，立体几何所涉及的运算和理论也更加复杂。
比如，立体图形的表面积和体积计算、旋转体的概念和分析等都是难点。
而相对于立体几何，平面几何相对简单一些。
平面几何理论基础浅显，知识点相对温和。
在高考数学中，平面几何是切实可行的，但也需要学生细心求证，考究出题者的考点设置。
二、知识体系立体几何、平面几何都是几何学的重要分支，可以说分别在一定程度上体现出几何知识的立体性和平面性。
立体几何主要是研究三维立体图形之间的关系，涉及到的知识点包括三视图、投影、截面、相似，是对数学中立体的完整描述。
而平面几何则主要涉及到平面内的图形，是对数学中平面的完整描述。
这两部分内容它们之间的关系密切，都涉及到许多相似和共性。
比如，平面内的角度运算便是立体几何中求两平面夹角的基础。
三、应用场景在日常生活中，平面几何及其运用较多。
比如地图上的尺度投影、画画设计、多媒体展示等都需要依赖于平面几何及其知识体系。
而立体几何在机械制图、建筑结构设计、工程求解等领域则占有重要的地位。
它的应用场景广泛，具备非常实际的意义。
结尾高考数学中立体几何与平面几何的异同，对于同学们来说是一道全新的未探明的课题。
本文从难度、知识体系和应用三方面来归纳总结其差异。
我们希望借此方式，能够提高同学们对几何这一重要学科的认知度和掌握度。
平面几何立体几何类比
从三角形到三棱锥性质1：在平面上到△ABC三个顶点距离相等的点是三角形三边的垂直平分线的交点，这个点也称为三角形的外心（外接圆圆心）.如果把“在平面上”几个字去掉，再来研究到三角形三个顶点距离相等的点会是一种什么情形呢？首先这样的点肯定存在（三角形外心就是一例），在平面ABC外是否还有这样的点呢？我们先把研究的问题具体化.ABC所在平面外满足PA=PB=PC的点P是否存在？先考虑到A、B距离相等的点.在平面中这样的点的轨迹为线段AB 的垂直平分线，不难证明在空间满足此条件的点的轨迹为线段AB的垂直平分面（即过AB中点且及AB垂直的平面.记为α）.同理，到A、C两点距离相等的点的轨迹为线段AC的垂直平分面（记为β）.显然这两个平面不平行，记交线为m,因为直线m上的任意一点P都满足PA=PB，PA=PC，所以有PB=PC，可知点P也应在线段BC的垂直平分面上，即直线m是AB、AC、BC三条线段的垂直平分面的交线.由此可得：在空间到三角形三个顶点距离相等的点在其三边的垂直平分面的交线上，易证，这条直线垂直于三角形所在平面且通过三角形的外心，这条直线我们不妨称之为三角形的外心线.这个结论还可以如下的角度来表述：如图1，如果平面ABC外有一点P且PA=PB=PC，那么点P在过△ABC外心且及平面ABC垂直的直线上.也可以说，到△ABC三个顶点距离相等的点在平面ABC内的射影是△ABC 的外心.思考：三角形还有哪些类似的性质可以推广到空间去？ 不难想到三角形的内心（三条角平分线的交点）、垂心（三条高线的交点）都可以在空间找到对应的图形.对这些性质我们不妨先大胆写出结论，再进行严格证明.在类比中，我们看到，平面中的点常对应空间中的线，平面中的线则常对应空 图1 间中的面.在平面几何中有这样一个性质：如图2，△ABC 中，B ′和C ′分别在边AB 、AC 上，则有.ACAB C A B A S S ABC C B A ⋅'⋅'=∆''∆ （用公式S △ABC =A bc sin 21易证）将这一性质类比到空间得到相应结论：图2性质2：如图3，已知四面体A —BCD 中，棱AB 、AC 、AD 上各有一点B ′、C ′、D ′，则有.ADAC AB D A C A B A S V BCD A D C B A ⋅⋅'⋅'⋅'=-'''- 图3证明：作DP ⊥平面ABC 于P ，连结A 、P 并延长AP 交BC 于E.则平面APD⊥平面ABC.过D′作QD'⊥AP于Q，则QD'⊥平面ABC，于是有., '',.31,31ADACABDACABAVVADADDPQDACABCABASSDPSVQDSVBCDADCBAABCCBAABCBCDACBADCBA⋅⋅'⋅'⋅'==⋅'⋅'=⋅='⋅=-'''-∆''∆∆-''∆'''-所以又因为练习：下面这些平面中的性质类比到空间应怎样叙述？它是正确的吗？如果正确，你能证明它吗？性质3：如图4，正△ABC，过其内任一点P作三边垂线，垂足分别为D、E、F，则PE+PF+PD为定值.性质4：如图5，点O是△ABC内任意一点，连结AO、BO、CO 并延长交BC、CA、AB于点D、E、F.则.1=++CFDFBEOEADOD图4 图5性质3、4向空间类比所得命题都是正确的，它们分别可表述为性质3′：如图6，过正四面体内一点P向四个面作垂线，垂足分别为M1、M2、M3、M4，则PM1+PM2+PM3+PM4为定值.性质4′：如图7，P为四面体A—BCD内任意一点，连结AP、BP、CP、DP并延长分别交A、B、C、D所对的平面于A1、B1、C1、D 1，则图6 图7.111111111=+++DD PD C C PC B B PB A A PA 这些性质的证明方法及性质本身的证明类似可以从相应平面性质的证明中类比得到.如性质3、4的证明用到了面积割补思想，类比到空间就是体积割补思想，性质3′、4′的证明问题就迎刃而解了.一、转化的思想方法研究问题时，将研究对象在一定条件下转化为熟悉的、简单的、基本的研究对象的思维方法称为转化的思想方法。
了解小学数学中的平面几何与立体几何
了解小学数学中的平面几何与立体几何在小学数学教学中，平面几何与立体几何是重要的内容，对培养学生的几何思维和空间想象能力有着重要的作用。
本文将介绍小学数学中的平面几何与立体几何的基本概念及应用。
一、平面几何平面几何是研究平面上图形的形状、大小、位置关系以及相关性质的数学分支。
了解平面几何能够帮助学生理解直线、折线、多边形等基本图形的特征和性质。
1.直线和射线直线是没有弯曲的、无限延伸的图形，可以用两个端点确定。
射线是有一个端点和一个延伸方向的无限延伸的图形。
2.线段和角线段是直线上两个不同的点之间的部分，具有长度。
角是由两条射线共享一个端点所组成的图形。
3.折线和多边形折线是由多个线段按一定的顺序依次拼接而成的图形。
而多边形是由折线的起点和终点相连形成的封闭图形。
4.平行线和垂直线平行线是永远不会相交的直线，而垂直线则是与另一条直线相交时，交点与该直线上的点成直角。
5.三角形和四边形三角形是由三条线段组成的多边形，有三个内角和三条边。
四边形是由四条线段组成的多边形，有四个内角和四条边。
二、立体几何立体几何是研究空间中图形的形状、大小、位置关系及相关性质的数学分支。
了解立体几何能够帮助学生理解正方体、长方体、球体等基本立体图形的特征和性质。
1.正方体和长方体正方体是由6个相等的正方形面所组成的立体图形，每个面都是正方形，并且相邻的面是共享一个边的。
长方体是由6个矩形面所组成的立体图形，矩形的对边相等且平行。
2.棱、面和顶点棱是立体图形的边界上的直线段，面是立体图形的边界，顶点是立体图形的角的共同端点。
3.球体和圆柱体球体是由无数个相等半径的点所组成的立体图形，任意两点之间的距离都是该半径。
圆柱体是由两个平行的圆面和若干个侧面所组成的立体图形。
4.体积和表面积体积是指立体图形所包含的三维空间的大小，常用单位为立方厘米（cm³）或者立方米（m³）。
表面积是指立体图形各个面的总和。
三、应用实例1.校园寻宝在校园里安排一次寻宝活动，学生们根据所学的平面几何知识，设计出具有一定形状的寻宝图，让其他同学通过解题找到宝藏的位置。
数学中的平面与立体几何
数学中的平面与立体几何数学中的平面与立体几何是数学领域中的重要分支，它研究了平面和立体的性质、结构和关系。
通过研究平面与立体几何，能够帮助我们更好地理解和应用数学知识。
本文将从基本概念、性质和应用等方面来介绍数学中的平面与立体几何。
一、基本概念1. 平面的定义和性质平面是一个没有厚度、无限延伸的几何概念，可以用无数个直线来刻画。
在平面上，任意两点之间都存在唯一的直线。
平面具有以下性质：（1）平面上的三点不共线；（2）平面上的任意两条直线相交于唯一一点；（3）平面上的两个平行直线不相交。
2. 立体的定义和性质立体是一个具有三个维度（长、宽、高）的几何概念，具有有限的体积和表面积。
立体由平面围成，由面、棱和点组成，其中面是由三个或更多个平面上的点围成的闭合曲线。
立体具有以下性质：（1）立体的表面由有限个平面所围成；（2）立体的任意两个面相交于一条线；（3）立体的任意两条边共有唯一一个公共点。
二、性质与关系1. 平行与垂直关系在平面几何中，平行是指两条直线在同一平面内永不相交。
如果两条直线的斜率相等且不相交，则称它们为平行线。
垂直是指两条直线在交点处相互垂直，即互相成直角的关系。
2. 直线与平面的关系直线与平面可能存在以下几种关系：（1）直线与平面相交于一点；（2）直线与平面平行；（3）直线在平面内；（4）直线与平面相交于多个点。
3. 空间几何中的角空间几何中的角是由两条直线在一个平面内所围成的空间部分。
角可以分为锐角、直角、钝角和平角等不同类型。
三、应用与实践1. 几何形状的计算平面与立体几何的理论可以应用于计算几何形状的面积、体积和周长等。
例如，通过了解平面三角形的性质，我们可以计算出它的面积；通过了解立体的体积公式，我们可以计算出各种形状的立体体积。
2. 空间的变换与投影在几何中，平面与立体的变换和投影是重要的应用领域。
例如，通过平面的投影可以获得物体在二维平面上的形状；通过立体的旋转变换可以获得物体在三维空间中的不同角度。
初中数学几何篇
初中数学几何篇数学几何在初中阶段是非常重要的一个学科，它不仅能够培养学生的空间思维能力，还能够帮助学生发展逻辑推理和问题解决能力。
本文将分为三个部分来介绍初中数学几何的主要内容：平面几何、立体几何和应用题。
一、平面几何平面几何是数学几何的一个重要分支，主要研究平面上的图形性质和变换。
在初中阶段，学生需要掌握平面几何的基本概念和性质，包括点、线、面、角、相似、全等等。
这些基本概念是后续学习平面几何的基石。
在学习平面几何的过程中，学生会遇到一些常见的图形，如三角形、四边形、圆等。
对于这些图形，学生需要了解它们的性质和特征。
例如，三角形的内角和为180度，正方形的四条边相等且四个内角都是直角。
另外，初中阶段的学生还需要掌握一些常见的定理和公式，例如勾股定理、相交线性质和面积计算公式等。
这些定理和公式能够帮助学生解决各种与图形有关的问题。
二、立体几何立体几何是数学几何的另一个重要分支，主要研究空间内的图形性质和变换。
与平面几何相比，立体几何更加复杂，需要学生掌握的内容也更多。
在学习立体几何的过程中，学生需要了解一些常见的立体图形，如长方体、正方体、球体等。
对于这些立体图形，学生需要了解它们的性质和特征。
例如，长方体的六个面都是矩形，正方体的六个面都是正方形。
此外，学生还需要学习一些与立体图形相关的参数，如体积、表面积等。
了解这些参数能够帮助学生计算和比较不同立体图形的大小和容积。
三、应用题在学习数学几何的过程中，学生还会遇到一些与实际问题有关的应用题。
这些题目能够帮助学生将数学知识应用于解决实际问题，提高他们的数学思维和问题解决能力。
应用题的内容非常丰富，包括测量、建模、设计等各方面。
例如，学生可能会遇到需要计算房间面积或体积的问题，需要计算材料用量的问题，还有分析折纸图形的问题等等。
通过解决这些应用题，学生不仅可以巩固数学几何知识，还能够培养他们的实际应用能力。
总结起来，初中数学几何篇包括平面几何、立体几何和应用题三个主要内容。
万变有其宗 横侧皆成峰
万变有其宗横侧皆成峰摘要：作为一种合情推理，类比具有或然性，但类比的真正价值在于它的发现性和创新性。
类比在掌握数学概念、理解数学本质、探索解题方法等方面都有着不可忽视的应用。
本文根据三角形所具备的一些结论，利用类比思想，结合演绎推理，探究四面体的一些结论。
关键词：类比；三角形；四面体一、形活则神聚：平面几何与立体几何的类比平面几何中的许多结论，可以推广立体几何。
其中有许多推广是通过类比建立起来的。
类比推理是从两个或两类事物在许多属性上都相同(或相似)，而且已知其中一个对象还有其他特定属性，由此推出另一个对象也具有同样的其他特定属性的结论。
类比思想是“形与神的统一”，其中“形的统一”是指数学表达式的结构或数学文字结论所类比的结果要与已知的结论在形式上大体一致，这是类比推理的前提；而“神的统一”是指类比推理的本质----思想、方法与条件中所运用的思想、方法一样，这是类比推理的关键。
平面几何与立体几何在研究对象和方法、构成图形的基本元素等方面是相同或相似的。
因此，在两者之间进行类比是研究它们性质的一种非常有效的方法。
为了对二者进行类比，可以在它们的基本元素之间建立如下的类比关系：二、水到则渠成：从三角形到四面体的类比1.概念与性质的类比(1)三角形是边数最少的凸多边形；四面体是面数最少的凸多面体，且其各面都是三角形。
(正因为如此，三角形与四面体有许多方面可以类比，当然也有一些不能类比的地方。
)(2)三角形的三条内角平分线交于一点，在三角形内，它到三角形三条边的距离相等，是三角形的内心，即三角形有内切圆；四面体六个二面角的平分面交于一点，在四面体内，它到四面体四个面的距离相等，是四面体的内心，即四面体有内切球。
(3)三角形三条边的垂直平分线交于一点，它到三角形三个顶点的距离相等，即三角形有外接圆；四面体六条棱的垂直平分面交于一点，它到四面体的四个顶点距离相等，即四面体有外接球。
(4)三角形三条边上的高线交于一点，该点即三角形的垂心。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
从三角形到三棱锥性质1：在平面上到△ABC三个顶点距离相等的点是三角形三边的垂直平分线的交点，这个点也称为三角形的外心（外接圆圆心）.如果把“在平面上”几个字去掉，再来研究到三角形三个顶点距离相等的点会是一种什么情形呢？首先这样的点肯定存在（三角形外心就是一例），在平面ABC外是否还有这样的点呢？我们先把研究的问题具体化.ABC所在平面外满足PA=PB=PC的点P是否存在？先考虑到A、B距离相等的点.在平面中这样的点的轨迹为线段AB的垂直平分线，不难证明在空间满足此条件的点的轨迹为线段AB的垂直平分面（即过AB中点且与AB垂直的平面.记为α）.同理，到A、C两点距离相等的点的轨迹为线段AC的垂直平分面（记为β）.显然这两个平面不平行，记交线为m,因为直线m上的任意一点P都满足PA=PB，PA=PC，所以有PB=PC，可知点P也应在线段BC的垂直平分面上，即直线m是AB、AC、BC三条线段的垂直平分面的交线.由此可得：在空间到三角形三个顶点距离相等的点在其三边的垂直平分面的交线上，易证，这条直线垂直于三角形所在平面且通过三角形的外心，这条直线我们不妨称之为三角形的外心线.这个结论还可以如下的角度来表述：如图1，如果平面ABC外有一点P且PA=PB=PC，那么点P在过△ABC外心且与平面ABC垂直的直线上.也可以说，到△ABC三个顶点距离相等的点在平面ABC内的射影是△ABC的外心.思考：三角形还有哪些类似的性质可以推广到空间去？不难想到三角形的内心（三条角平分线的交点）、垂心（三条高线的交点）都可以在空间找到对应的图形.对这些性质我们不妨先大胆写出结论，再进行严格证明.在类比中，我们看到，平面中的点常对应空间中的线，平面中的线则常对应空 图1 间中的面.在平面几何中有这样一个性质：如图2，△ABC 中，B ′和C ′分别在边AB 、AC 上，则有.ACAB C A B A S S ABC C B A ⋅'⋅'=∆''∆ （用公式S △ABC =A bc sin 21易证）将这一性质类比到空间得到相应结论：图2性质2：如图3，已知四面体A —BCD 中，棱AB 、AC 、AD 上各有一点B ′、C ′、D ′，则有.ADAC AB D A C A B A S V BCD A D C B A ⋅⋅'⋅'⋅'=-'''- 图3证明：作DP ⊥平面ABC 于P ，连结A 、P 并延长AP 交BC 于E.则平面APD ⊥平面ABC.过D ′作Q D '⊥AP 于Q ，则Q D '⊥平面ABC ，于是有.,'', .31,31ADAC AB D A C A B A V V AD AD DP Q D AC AB C A B A S S DP S V Q D S V BCD A D C B A ABC C B A ABC BCD A C B A D C B A ⋅⋅'⋅'⋅'==⋅'⋅'=⋅='⋅=-'''-∆''∆∆-''∆'''-所以又因为练习：下面这些平面中的性质类比到空间应怎样叙述？它是正确的吗？如果正确，你能证明它吗？性质3：如图4，正△ABC ，过其内任一点P 作三边垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则PE+PF+PD 为定值.性质4：如图5，点O 是△ABC 内任意一点，连结AO 、BO 、CO 并延长交BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F.则.1=++CFDFBE OE AD OD图4 图5性质3、4向空间类比所得命题都是正确的，它们分别可表述为 性质3′：如图6，过正四面体内一点P 向四个面作垂线，垂足分别为M 1、M 2、M 3、M 4，则PM 1+PM 2+PM 3+PM 4为定值.性质4′：如图7，P 为四面体A —BCD 内任意一点，连结AP 、BP 、CP 、DP 并延长分别交A 、B 、C 、D 所对的平面于A 1、B 1、C 1、D 1，则图6 图7.111111111=+++DD PD C C PC B B PB A A PA 这些性质的证明方法与性质本身的证明类似可以从相应平面性质的证明中类比得到.如性质3、4的证明用到了面积割补思想，类比到空间就是体积割补思想，性质3′、4′的证明问题就迎刃而解了. 一、转化的思想方法研究问题时，将研究对象在一定条件下转化为熟悉的、简单的、基本的研究对象的思维方法称为转化的思想方法。
这种思想方法是立体几何中最重要的思想方法，贯穿在立体几何教学的始终。
立体几何中转化的思想方法主要体现在如下几个方面：1、空间问题向平面问题转化将空间问题转化为熟知的平面问题是研究立体几何问题最重要的数学方法之一。
如线面垂直的判定定理转化为三角形全等的平面几何问题；教材中的几种多面体和旋转体的侧面积公式的推导（除球面和球冠外）、侧面上最短线问题都是通过侧面展开转化为平面几何问题；旋转体的有关问题不也是转化为关于轴截面的平面几何问题吗？其实，立体几何中的三种角（线线角、线面角、二面角）和四种距离（线线距、点面距、线面距、面面距）从定义到具体的计算以及三垂线定理都体现了空间到平面的转化。
例1. 正三棱锥A-BCD ，底面边长为a ，侧棱为2a ，过点B 作与侧棱AC 、AD 相交的截面，在这样的截面三角形中，求周长的最小值。
解析：沿侧棱AB 把正三棱锥的侧面剪开展成平面图.如图1，当周长最小时，EF在直线BB ′上，∵ΔABE ≌ΔB ′AF ，∴AE ＝AF ，AC ＝AD ，∴B ′B ∥CD ，∴∠1＝∠2＝∠3，∴BE ＝BC ＝a ，同理B ′F ＝B ′D ＝a.∵ΔFDB ′∽ΔADB ′，∴B D DF '＝B A B D ''，a DF＝a a 2＝21,∴DF ＝21a,AF ＝23a.又∵ΔAEF ∽ΔACD ，∴BB ′＝a+43a+a ＝411a,∴截面三角形的周长的最小值为411a.评析 把曲面上的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点间距离的问题，从而使问题得到解决，这是求曲面上最短路线的一种常用方法.又如异面直线所成的角、线面角、面面角的计算，最终都是转化为平面上两相交直线成的角来进行的。
实现空间问题向平面问题转化的方法很多，常用的就有：平移法、射影法、展开法和辅助面法等等。
2、位置关系的转化线线、线面、面面平行与垂直的位置关系既互相依存，又在一定条件下不仅能纵向转化：线线平行（或垂直） 线面平行（或垂直） ; 面面平行（或垂直），而且还可以横向转化：线线、线面、面面的平行 ; 线线、线面、面面的垂直。
这些转化关系在平行或垂直的判定和性质定理中得到充分体现。
平行或垂直关系的证明（除少数命题外），大都可以利用上述相互转化关系去证明。
例2. 如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 在AB 1上，F 在BD 上，且B 1E ＝BF. 求证：EF ∥平面BB 1C 1C.证法一：连AF 延长交BC 于M ，连结B 1M. ∵AD ∥BC ∴△AFD ∽△MFB ∴BFDFFM AF =又∵BD ＝B 1A ，B 1E ＝BF ∴DF ＝AE∴EB AEFM AF 1= ∴EF ∥B 1M ，B 1M ⊂平面BB 1C 1C ∴EF ∥平面BB 1C 1C.证法二：作FH ∥AD 交AB 于H ，连结HE ∵AD ∥BC∴FH ∥BC ，BC ⊂BB 1C 1C ∴FH ∥平面BB 1C 1C 由FH ∥AD 可得BABHBD BF =又BF ＝B 1E ，BD ＝AB 1∴BABHAB E B =11 ∴EH ∥B 1B ，B 1B ⊂平面BB 1C 1C ∴EH ∥平面BB 1C 1C ，EH ∩FH ＝H∴平面FHE ∥平面BB 1C 1CEF ⊂平面FHE∴EF ∥平面BB 1C 1C说明：证法一用了证线面平行，先证线线平行.证法二则是证线面平行，先证面面平行，然后说明直线在其中一个平面内.3、位置关系中的定性与定量的转化立体几何中对点、线、面在空间中特定位置关系的研究是从定性和定量两个方向进行的。
这两者既有联系又有区别，在一定条件下还可以互相转化。
线线、线面、面面平行,这些定性描述,表示线线、线面、面面的成角是0°,反之则不然；线线、线面、面面的成角是90°，这些量的结果，则反映了它们的垂直关系，反之亦然。
可见教材中深刻地蕴含着位置关系中的定性与定量的转化关系。
例3. 空间四边形PABC 中，PA 、PB 、PC 两两相互垂直，∠PBA ＝45°，∠PBC ＝60°，M 为AB 的中点.(1)求BC 与平面PAB 所成的角；(2)求证：AB ⊥平面PMC.解析：此题数据特殊，先考虑数据关系及计算、发现解题思路. 解 ∵ PA ⊥AB ，∴∠APB ＝90°在Rt ΔAPB 中，∵∠ABP ＝45°，设PA ＝a ， 则PB ＝a,AB ＝2a,∵PB ⊥PC ，在Rt ΔPBC 中， ∵∠PBC ＝60°,PB ＝a.∴BC ＝2a,PC ＝3a.∵AP ⊥PC ∴在Rt ΔAPC 中，AC ＝22PC PA +＝22)3(a a +＝2a(1)∵PC ⊥PA,PC ⊥PB,∴PC ⊥平面PAB ，∴BC 在平面PBC 上的射影是BP. ∠CBP 是CB 与平面PAB 所成的角∵∠PBC ＝60°，∴BC 与平面PBA 的角为60°.(2)由上知，PA ＝PB ＝a,AC ＝BC ＝2a.∴M 为AB 的中点，则AB ⊥PM ，AB ⊥CM. ∴AB ⊥平面PCM.说明 要清楚线面的垂直关系，线面角的定义，通过数据特点，发现解题捷径. 例4.如图9－19，在棱长为a 的正方体ABCD —111D C B A １中，O 是AC 、BD 的交点，E 、F 分别是AB 与AD 的中点．图9－19（1）求异面直线1OD 与11C A 所成角的大小； （2）求异面直线EF 与11C A 所成角的大小；解析：（1）∵ 11C A ∥AC ，∴ 1OD 与AC 所成的锐角或直角就是1OD 与11C A 所成的角，连结1AD 、1CD ，在△11D AA 和△11D CC ，∵ 1AA ＝1CC ，1111D C D A =，11D AA ∠11D CC ∠= 90=，∴△11D AA ≌△11D CC ，∴11CD AD =．∴△C AD 1是等腰三角形．∵ O 是底边AC 的中点，∴ AC OD ⊥1，故1OD 与11C A 所成的角是90°． （2）∵ E 、F 分别是AB 、AD 中点，∴ EF ∥BD ，又∵ 11C A ∥AC ，∴ AC与BD 所成的锐角或直角就是EF 与11C A 所成的角．∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ AC ⊥BD ，∴ EF 与11C A 所成的角为90°4、体积问题中的转化研究简单几何体体积问题的过程中，利用祖暅定理，将一般柱体体积问题转化为长方体体积问题，一般锥体体积问题转化为三棱锥体积问题，从而推导出柱体和锥体体积公式等。