西电排队论大作业

西安电子科技大学

(2016年度)

随机过程与排队论

班级：XXXXXXX

姓名：XXX XXX

学号：XXXXXXXXXX XXXXXXXXXXX

一步转移概率矩阵收敛快慢的影响因素

作者姓名：XXX XXX 指导老师姓名：XXX

(西安电子科技大学计算机学院，陕西西安)

摘要：根据课程教材《排队现象的建模、解析与模拟【西安电子科技大学出版社曾勇版】》，第[1.3马尔可夫过程]中，马尔可夫过程链n时刻的k步转移概率结果，当k=1时，得到一步转移概率。进而得到一步转移概率矩阵P（1）。为研究此一步转移概率矩阵（下称一步矩阵）的收敛特性以及影响其收敛快慢的因素，使用MATLAB实验工具进行仿真，先从特殊矩阵开始做起，发现规律，然后向普通矩阵进行拓展猜想，并根据算术理论分析进行论证，最终得出一步矩阵收敛快慢的影响因素。

关键词：一步转移概率矩阵 MATLAB 仿真猜想

一、问题概述

我们讨论时一步矩阵的特性应从以下两方面来分析：

（1）矩阵P（n）在满足什么条件时具有收敛特性;

对于矩阵P（n）,当P（n）=P(n+1)时，我们说此矩阵具有收敛特性，简称矩阵

P（n）收敛。

（2）若一个一步矩阵具有收敛特性，那么其收敛速度与什么有关？

首先，我们需要明确什么是一步矩阵收敛：

对于一般的一步矩阵P 、矩阵An+1、矩阵An，若有： An+1=AnP=An

那么称该一步转移矩阵可收敛。

二、仿真实验

1、仿真环境

本次采用的是MATLAB仿真实验软件进行仿真实验

2、结果与分析

【1】、特殊矩阵：单位矩阵与类单位矩阵

从图（1）和图（2）可以看出，单位矩阵不具有收敛特性，类单位矩阵并非单位矩阵但是经过n次后也变为单位矩阵，所以此矩阵也不具有收敛特性。此类矩阵也易证明其不具有收敛性。

图（1）单位矩阵图（2）：类单位矩阵【2】、一般单位矩阵

图（3）：一般一步矩阵Ⅰ图（4）：一般一步矩阵

从图（3）和（）可以看出他们分别在18次和4次后收敛到一个稳定的值

3、根据实验的猜想

根据在单位矩阵和一般单位矩阵和一般一步矩阵中得到的结果，可以对得出如下结论：类单位矩阵、单位矩阵是不具有收敛性的，而一般的一步矩阵是有收敛性的，而且收敛速率有快有慢。

对于上面结论中的状况，我们首先观察如上四个矩阵，不难发现，在矩阵收敛的最终结果矩阵中，其每行和均为1，而且每列上的值均为相同值。最终概率分布结果也是矩阵收敛后的一行。

所以根据上述的结果及分析做出如下猜想：

每一列比较均匀的矩阵收敛速度较快；与类单位矩阵类似的矩阵收敛速度较慢。

在极限情况下，有如下情况：

[1]、列相同矩阵已经是收敛矩阵

[2]、已经是是类单位矩阵的，不会收敛。

下面是刻画矩阵收敛速度的方法：

根据矩阵的行列式的值，当矩阵的行列式的绝对值为1时，矩阵为类单位矩阵，不会收敛，是收敛最慢的极限。当矩阵行列式为0时，是收敛最快的极限。根据以上分析，行列式值越接近1，越与类单位矩阵类似，稳定速率越慢。矩阵的行列式值越接近0，收敛越快。

作为例证，我们计算一下上述两个矩阵的行列式的值：

图（5）：矩阵B的行列式值图（6）：矩阵C的行列式值

从上述的验证中可以看到矩阵B的行列式的绝对值为0.0255 而矩阵C的行列式绝对值为

6*10^(-6)，远小于行列式B中的值，而正好矩阵B的列值相似度要小于矩阵C。

4、分析与证明

我们先看类单位矩阵的行列式的值 为1 而且不难证明所以得一步转移概率矩阵的行列式的值得绝对值都在[0,1]之间。假设一个n 阶一步转移概率矩阵Q 其行列式的表达式为：

Det(Q)=

a

11

*(-1)

1+1

Det(c (11))+

a

12

*(-1)

1+2

Det(c (12))….+

a

1n

*(-1)

1+n

Det(c

(1n))

由上式可以看出，若列值的差值越大，那么行列式的值就取决于该列的值中的较大的值，若行列式的列差值比较小，那么最终行列式降阶到2阶时，计算得到的值为对角线相减，由于列值相差小，所以所得到的值也会相对较小，也会比较靠近0。而差值越大，决定因素也会由列中较大值决定以此类推，到最后降阶到2阶时起决定因素的系数都为列中的较大值，而最后的二阶行列式由于差值较大所以计算的结果也会比较大，整体行列式的值都会靠近1。换个角度 可以将单位矩阵看成1和很多无穷小ε组成。那么其决定因素就为1，那么其行列式的值就为1了。 5、额外的问题与解答

在之后的学习中发现一个问题就是我在猜想一步转移概率矩阵是否能收敛的问题上还是考虑的不够全面，漏掉了很多重要的问题，我也在这儿举例验证如下：

Q=[0 1 0;0.5 0 0.5; 0 1 0]

图（7）：矩阵Q 的行列式值

图（8）：矩阵Q 的秩

这个3阶的矩阵，也是书上的一个例题的矩阵，这个矩阵并不是上述我说的类单位矩阵或者是单位矩阵。而是一个一般的矩阵，然而这个矩阵是没有办法收敛的其n 次的值是在两个值之间循环跳动的。这个矩阵的det 值为0【见上图（7）】，但是并没有上述验证中的列相同达到收敛的规律。但是其行列式的值也为0。之后我算了一下他的秩，发现是2【见上图（8）】，也就是说秩的值小于阶的值，而我之前举的例子中，秩的值都是等于阶的值。

之后我又验证了一个矩阵【见下图（9）&图（10）】：

W=[0.1 0.1 0.1 0.7;0 0.2 0.2 0.6;0 0 0.4 0.6;0.1 0.1 0.1 0.7]