地球流体动力学复习总结

主要概念：

1． 位势涡度及无粘浅水流体的位势涡度守恒定律

位势涡度：在旋转流体中，流体运动时存在着一个保守性或守恒性的较强的组合物理量，称

为位势涡度，且定义为πλρ

ω=∇⋅Ω

+)2(

ϖρ

。 位势涡度的引入有两种方法：

A ． 可以从涡度方程出发

涡度方程：ρ

ρρωωωℑ⨯∇+∇⨯∇+⋅∇-∇⋅=p u u dt d a a a ρρρρρ

影响涡度变化的因素可概括为：涡管的倾斜效应，涡管的伸缩效应，斜压性以及摩擦作用。

位势涡度方程：

)(}{][)(3ρρλρρλρωλρωℑ⨯∇∇+∇⨯∇⋅∇+Φ∇⋅=∇⋅p dt d a a ρ

ρ 因此，当满足以下三个条件时： 1. 0=ℑ 摩擦可忽略

2. λ是守恒量，0=Φ

3.

λ仅是p ,ρ 的函数，0)(=∇⨯∇⋅∇p ρλ，或流体是正压的

则有0])[(=∇⋅λρ

ωa

dt d ρ

------------------------Ertel 涡旋定理（位涡守恒定理），位涡是πλρ

ω

=∇⋅)(a ρ

。 浅水中引入守恒量H

h z B

-=

λ 则H

f H h z k f B ρζρζπ)()()(+=-∇⋅+=ρ 故浅水位涡守恒

0)

(=+H

f dt d ρζ

B. 从浅水方程出发，按上述方法推导也可得出浅水位涡守恒。

2． 地转风和热成风

地转风：在大尺度旋转流体运动中，其Rossby 数的量级O(ε)≤1

10-，在旋转流体水平运动过程中若略去O(1

10-)以上的量，流体则在科氏力和压强梯度力的作用下达到平衡，此时的运动即为地转运动，此时的风为地转风。风沿等压线的方向，在北半球高压在右。

p f

k v g ∇⨯=ρ1ρρ

热成风：地转风随高度的变化或为两个等压面之间地转风的差k T pf

R

p v p g

ϖϖ⨯∇=∂∂ 又：

y z u ∂∂-=∂∂00θ，x

z v ∂∂=∂∂00θ

热成风

3． Taylor-proudman 定理

在均质或正压旋转流体中，流体准定常和缓慢的运动，其速度在沿Ωρ

的方向上将不改变。也就是说，均质或正压旋转流体，准定常和缓慢的运动，其速度将独立于旋转轴Ωρ

的方向，

即运动将趋于两维化。

4． 地球上流体大尺度运动 大尺度运动的定义：120≤≅Ω=

fL

U

L U R 物理意义：流体相对运动的时间尺度大于地球自转周期，流体在其运动的时间尺度内几乎感不到地球的自转。也就是说，大尺度大气与海洋运动正是他们相对于地球运动的一个小偏差。

→惯性力/科氏力→旋转时间尺度/平流时间尺度→相对涡度/牵连涡度→相对速度/牵连速度≦1

Rossby 数反映了各种动力学特征量与其相应旋转作用的比较。

5． Brunt-Vaisala 频率

地球流体是具有层结结构的层结流体。由于受扰抬升或下降的流体元在上升或下降时，其密度按一定的规律随高度变化，而四周环境流体的密度是按层结分布随高度变化的。因此，流体元绝热地位移到新高度的时候，这一流体元本身的密度与环境密度差异将促使其产生振荡运动，又称为浮力振荡，其频率为2

1

⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂≡z z N θθ，称作Brunt-Vasala 频率。其中，z 为高度坐标，θ是位温。

Brunt-Vasala 频率为流体层结稳定或静力稳定的稳定度判据。0>dz

d θ时，层结是稳

定的；当0

d θ

时，层结是不稳定的。对于海洋，流体元在小位移中所受的压缩性影响

可以忽略，其表达式可简化为

2

1⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛

∂∂-≡z g N ρρ 当

0<∂∂z

ρ

时为稳定层结，当0>∂∂z

ρ

时，为不稳定层结。

6． 均质流体和层结流体（三种情况下）的准地转位势涡度方程 均质流体的准地转涡度方程：

）（y

v

x u y v x u t dt d ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=11000000ζζζζ 层结流体的准地转位势涡度方程：

)(1}{0i s s w z

y dt d ρρβζ∂∂

=+ 大气中天气尺度运动的准地转位涡方程：

)(1)](1[000s

z s z y dt d s s s s ℜ

∂∂=∂∂++ρρθρρβζ 在无加热时，准地转涡度方程为：0)](1[000=∂∂++θρρβζs

z y dt d s s 相应的流函数形式位涡方程：

0])(1][[2222=+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂∂∂-∂∂∂∂+∂∂y z

s z y x x y y x t s s βϕ

ρρϕϕϕϕ 海洋中天气尺度的准地转位涡方程：ℜ=+-

s w dt

d 10

0ζ

)()]([00s z s z y dt d s ℜ∂∂=∂∂-+ρβζ 0)]([000=∂∂-+s z y dt d ρ

βζ 无加热 0])1(][[

4=+∂∂∂∂+∇∂∂∂∂-∂∂∂∂+∂∂y z

s z x y y x t βϕϕϕϕ 无加热

7． Rossby 变形半径

Ω

=≡

200c

f c R ，是一个与波动本身性质无关、只与流体深度和地球旋转有关的特征参数。 （1）Poincare 波：在旋转特征周期()1

2-Ω这一时间尺度上，波速为00gH c =

的浅水重力

波传播的特征距离。

（2）Kelvin 波：在边界处，波振幅取最大值，从边界向内区过渡，振幅呈指数减小。振幅