地球流体动力学复习总结

主要概念：1． 位势涡度及无粘浅水流体的位势涡度守恒定律位势涡度：在旋转流体中，流体运动时存在着一个保守性或守恒性的较强的组合物理量，称为位势涡度，且定义为πλρω=∇⋅Ω+)2(ϖρ。

位势涡度的引入有两种方法：A ． 可以从涡度方程出发涡度方程：ρρρωωωℑ⨯∇+∇⨯∇+⋅∇-∇⋅=p u u dt d a a a ρρρρρ影响涡度变化的因素可概括为：涡管的倾斜效应，涡管的伸缩效应，斜压性以及摩擦作用。

位势涡度方程：)(}{][)(3ρρλρρλρωλρωℑ⨯∇∇+∇⨯∇⋅∇+Φ∇⋅=∇⋅p dt d a a ρρ 因此，当满足以下三个条件时： 1. 0=ℑ 摩擦可忽略2. λ是守恒量，0=Φ3.λ仅是p ,ρ 的函数，0)(=∇⨯∇⋅∇p ρλ，或流体是正压的则有0])[(=∇⋅λρωadt d ρ------------------------Ertel 涡旋定理（位涡守恒定理），位涡是πλρω=∇⋅)(a ρ。

浅水中引入守恒量Hh z B-=λ 则Hf H h z k f B ρζρζπ)()()(+=-∇⋅+=ρ 故浅水位涡守恒0)(=+Hf dt d ρζB. 从浅水方程出发，按上述方法推导也可得出浅水位涡守恒。

2． 地转风和热成风地转风：在大尺度旋转流体运动中，其Rossby 数的量级O(ε)≤110-，在旋转流体水平运动过程中若略去O(110-)以上的量，流体则在科氏力和压强梯度力的作用下达到平衡，此时的运动即为地转运动，此时的风为地转风。

风沿等压线的方向，在北半球高压在右。

p fk v g ∇⨯=ρ1ρρ热成风：地转风随高度的变化或为两个等压面之间地转风的差k T pfRp v p gϖϖ⨯∇=∂∂ 又：y z u ∂∂-=∂∂00θ，xz v ∂∂=∂∂00θ热成风3． Taylor-proudman 定理在均质或正压旋转流体中，流体准定常和缓慢的运动，其速度在沿Ωρ的方向上将不改变。

也就是说，均质或正压旋转流体，准定常和缓慢的运动，其速度将独立于旋转轴Ωρ的方向，即运动将趋于两维化。

4． 地球上流体大尺度运动 大尺度运动的定义：120≤≅Ω=fLUL U R 物理意义：流体相对运动的时间尺度大于地球自转周期，流体在其运动的时间尺度内几乎感不到地球的自转。

也就是说，大尺度大气与海洋运动正是他们相对于地球运动的一个小偏差。

→惯性力/科氏力→旋转时间尺度/平流时间尺度→相对涡度/牵连涡度→相对速度/牵连速度≦1Rossby 数反映了各种动力学特征量与其相应旋转作用的比较。

5． Brunt-Vaisala 频率地球流体是具有层结结构的层结流体。

由于受扰抬升或下降的流体元在上升或下降时，其密度按一定的规律随高度变化，而四周环境流体的密度是按层结分布随高度变化的。

因此，流体元绝热地位移到新高度的时候，这一流体元本身的密度与环境密度差异将促使其产生振荡运动，又称为浮力振荡，其频率为21⎪⎭⎫⎝⎛∂∂≡z z N θθ，称作Brunt-Vasala 频率。

其中，z 为高度坐标，θ是位温。

Brunt-Vasala 频率为流体层结稳定或静力稳定的稳定度判据。

0>dzd θ时，层结是稳定的；当0<dzd θ时，层结是不稳定的。

对于海洋，流体元在小位移中所受的压缩性影响可以忽略，其表达式可简化为21⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-≡z g N ρρ 当0<∂∂zρ时为稳定层结，当0>∂∂zρ时，为不稳定层结。

6． 均质流体和层结流体（三种情况下）的准地转位势涡度方程 均质流体的准地转涡度方程：）（yvx u y v x u t dt d ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=11000000ζζζζ 层结流体的准地转位势涡度方程：)(1}{0i s s w zy dt d ρρβζ∂∂=+ 大气中天气尺度运动的准地转位涡方程：)(1)](1[000sz s z y dt d s s s s ℜ∂∂=∂∂++ρρθρρβζ 在无加热时，准地转涡度方程为：0)](1[000=∂∂++θρρβζsz y dt d s s 相应的流函数形式位涡方程：0])(1][[2222=+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂∂∂-∂∂∂∂+∂∂y zs z y x x y y x t s s βϕρρϕϕϕϕ 海洋中天气尺度的准地转位涡方程：ℜ=+-s w dtd 100ζ)()]([00s z s z y dt d s ℜ∂∂=∂∂-+ρβζ 0)]([000=∂∂-+s z y dt d ρβζ 无加热 0])1(][[4=+∂∂∂∂+∇∂∂∂∂-∂∂∂∂+∂∂y zs z x y y x t βϕϕϕϕ 无加热7． Rossby 变形半径Ω=≡200cf c R ，是一个与波动本身性质无关、只与流体深度和地球旋转有关的特征参数。

（1）Poincare 波：在旋转特征周期()12-Ω这一时间尺度上，波速为00gH c =的浅水重力波传播的特征距离。

（2）Kelvin 波：在边界处，波振幅取最大值，从边界向内区过渡，振幅呈指数减小。

振幅衰减的e-折尺度为Ω=≡200cf c R 。

可将Rossby 变形半径理解为一个特征距离尺度，在这个距离尺度上，科氏力使自由面变形的趋势与重力（或压强梯度力）使自由面复原的趋势相平衡。

（3）准地转位涡守恒方程：0}{00=+-B F dtdηηζ 准地转近似下的无量纲的位涡为：B g F ηηζπ+-=0002η∇和0ηF 两项比较看2)(RLF =：1<<F ，η的变化可以忽略， 比Rossby 半径小的水平尺度运动可视为刚盖运动（自由面起伏对大尺度运动的高度贡献不大）。

1>>F ，η2∇项可忽略，比Rossby 半径大的水平尺度运动)1(o 量级上的相对涡度是次要的。

因此，Rossby 波半径又可解释为这样一个特征距离尺度，在此距离上，相对涡度和表面高度起伏对位势涡度有同等重要的贡献。

8． Rossby 数，Ekman 数，雷诺数，Froude 数（旋转/层结）fLUL U R ≅Ω=20 →惯性力/科氏力→旋转时间尺度/平流时间尺度→相对涡度/牵连涡度→相对速度/牵连速度≦1Rossby 数反映了各种动力学特征量与其相应旋转作用的比较。

Ekman 数：fLfUL U E υυ==2/，表示分子粘性力和科氏力之比的无量纲参数。

垂直Ekman 数: VV V fD A E (Re)222ε==水平Ekman 数: He H H R fL A E )(222ε==雷诺数: He A LU R /=, H A 为垂直湍流粘性系数。

LK DU R v v e 2)(=为垂直涡粘性的雷诺数；v H e K UL R =)(为水平涡粘性的雷诺数。

Froude 数（旋转）：定义ηη0*N =，FD g L f fL U g fUL N ε===220，222)(RL gD L f F == F 是表征运动的水平尺度L 相对于Rossby 变形半径R 的大小的一个参数。

层结：222022)(L L Lf D N s D s ==，021'0)(f D g f D N L s D ==D L 为内Rossby 变形半径。

其中，'g 为简化重力（*'z g g ss D ∂∂=θθ）9． 群速度在简化条件1>>β下，由线性化准地转位涡守恒方程：0][2=∂∂+-∇∂∂xF t φβφφ 和波动的表达式)cos(),,(t ly kx t y x A σφ-+= 可以得到精确到最低阶的Rossby 波频散关系：FK k+-=2βσ以及反映振幅变化的方程：02222=∂∂+-∂∂++-∂∂yA F K l x A F K k t A σβσ 由此可见振幅为的传播速度：k FK F l k c gx ∂∂=+--=σβ222)(，l FK kl c gy ∂∂=+=σβ22 j c i c c gy gx g ρρρ+=，以速度g c ρ移动的观察者（因为0=dtdA）所看到的振幅为常数，将此速度定义为群速度：c K c c K c KKkc c k k k k g ∇+=∇+=∇=∇=ρρρ)(σ（c c g ρρ≠时为频散波）。

10． 共振三波组对于非线性准地转位涡 方程（无量纲）：0)()()(222=∂∂+∇∂∂∂∂-∇∂∂∂∂+-∇∂∂xx y y x F t ϕβϕϕϕϕϕϕ 120>>=UL ββ⇔Rossby 波的特征周期远远地小于质点运动的平流时间尺度。

令t UL t L t ==-~)(10*β（t ~为新的无量纲时间变量） 即t t UL t ββ==20~1>>β时，t ~为无量纲快变量，其特征值10)(-L β要小些t 为无量纲慢变量，其特征值)(UL要大些无量纲位涡方程则要求表示为：)]()([1)(222ϕϕϕϕβϕϕϕ∇∂∂∂∂-∇∂∂∂∂=∂∂+-∇∂∂yx x y x F t 显然非线性项的量纲为：1-β，是否忽略非线性作用的条件是由β决定。

求解方法是利用对小参数)1(β的摄动展开。

令...)~,,(1)~,,(1)~,,(),~,,(2210+++=t y x t y x t y x t y x ϕβϕβϕβϕ 得：:)()0(1-β0)(002=∂∂+-∇∂∂xF t ϕϕϕ 是一个线性方程 其解可表示为平面波的线性叠加j j ja θϕcos 0∑=j j j j j t y l x k ασθ+-+=，Fl k k jjjj ++-=22σ:)()1(1-β 略（2。

500-2。

504）此式说明了第m 个波和第n 个波相互作用产生了关于1ϕ方程的强迫项，此强迫项也是一个周期作用，其波矢为：n m mn K K K ρρρ±=；频率n m mn w σσ±=通过数学处理，可得强迫振荡1ϕ的振幅：))((),(21mn mn mn n m n m mn F K K K B a a A σω-+=明确：mn σ是ϕ方程的固有频率；mn ω是强迫项的频率；mn K ρ是强迫项的波矢)()(41),(m n n m n m K K Z K K k k B ρρρ⨯⋅-=这意味着在强迫作用下出现了第三种波动，且满足：Fl l k k k k n m n m nm mn +++++-=22)()(σ Fl k k F l k k n n nm mm mn ++-++-=2222ω 当mn σ与mn ω无限接近时，会出现共振。

非线性问题的解（精确到β1）：)cos()~(10n m mn a t θθβϕϕ++=)cos(10n m mn a θθϕ++=何时才会发生共振呢？第三个波相n m j θθθ+=-则要求：0=++n m j k k k ，0=++n m j l l l ，0),(),(),(=++n n n m m m j j j l k l k l k σσσ 即：三个波矢之和为零。