立体几何与解析几何综合题训练

A C D E B
M
立体解析综合题练习1
1．如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直， 已知//,AB CD AD CD ⊥，1
2
AB AD CD ==.
（Ⅰ）求证:BF //平面CDE ；
（Ⅱ）求平面BDF 与平面CDE 所成锐二面角的余弦值; (Ⅲ)线段EC 上是否存在点M ，使得平面BDM ⊥平面
BDF 若存在，
求出EM EC
的值；若不存在，说明理由.
2．已知1(2,0)F -，2(2,0)F 两点，曲线C 上的动点P 满足12123
||||||2
PF PF F F +=. （Ⅰ）求曲线C 的方程；
（Ⅱ）若直线l 经过点(0,3)M ，交曲线C 于A ，B 两点，且1
2
MA MB =，求直线l 的方程.
立体解析综合题练习2
1． 在如图所示的多面体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，BC AC ⊥，
且22====AE BD BC AC ，M 是AB 的中点． （Ⅰ）求证：CM ⊥EM ；
（Ⅱ）求平面EMC 与平面BCD 所成的锐二面角的余弦值； （Ⅲ）在棱DC 上是否存在一点N ,使得直线MN 与平面EMC
所成的角为60︒．若存在，指出点N 的位置；若不存在，请说明理由．
2．椭圆C:22
221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆C 上，且11212414,||,||.33PF F F PF PF ⊥==
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若直线l 过圆M: x 2+y 2+4x-2y=0的圆心，交椭圆C 于,A B 两点，且A 、B 关于点M 对称，
求直线l 的方程.
立体解析综合题练习3
1．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA //BE ，AB =PA =4，BE =2． （Ⅰ）求证：CE //平面PAD ；
（Ⅱ）求PD 与平面PCE 所成角的正弦值； （Ⅲ）在棱AB 上是否存在一点F ，使得
平面DEF ⊥平面PCE ？如果存在，求AF
AB
的值； 如果不存在，说明理由．
2．已知抛物线C ：2
2y px =(0p >)的焦点F (1,0)，O 为坐标原点，A ，B 是抛物线C 上
异于O 的两点.
（Ⅰ）求抛物线C 的方程；
（Ⅱ）若直线OA ，OB 的斜率之积为1
2
-,求证：直线AB 过x 轴上一定点.
A
B
F
E
D C
立体解析综合题练习4
1．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD //BC ，AD DC ⊥，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 的中点，
1
2,1, 3.2
PA PD BC AD CD ===
== （I ）求证：PQ AB ⊥；
（II ）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值； （III ）求二面角P QB M --的余弦值.
2．已知椭圆，其短轴的一个端点到右焦点的距离为，且点在
椭圆上. 直线的斜率为,且与椭圆交于、两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求面积的最大值.
立体解析综合题练习5
1．如图，棱柱ABCD —1111A B C D 的所有棱长都为2， AC BD O =，侧棱1AA 与底面ABCD 的所成角
为60°，1A O ⊥平面ABCD ，F 为1DC 的中点． （Ⅰ）证明：BD ⊥1AA ；
（Ⅱ）证明：//OF 平面11BCC B ； （Ⅲ）求二面角D -1AA -C 的余弦值．
2．已知椭圆C 两焦点坐标分别为1(2,0)F -,2(2,0)F ，一个顶点为(0,1)A -. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）是否存在斜率为(0)k k ≠的直线l ，使直线l 与椭圆C 交于不同的两点,M N ，满足AM AN =. 若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.
立体解析综合题练习6
1．如图, ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，DE AF //，AF DE 3=，BE 与平面
ABCD 所成角为060.
(Ⅰ)求证：AC ⊥平面BDE ； (Ⅱ)求二面角D BE F --的余弦值；
（Ⅲ）设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得//AM 平面BEF ，并证明你的结论.
2．已知椭圆C ：22
221x y a b +=（0a b >>）过点(20)，，且椭圆C 的离心率为12
.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若动点P 在直线1x =-上，过P 作直线交椭圆C 于M N ，两点，且P 为线段MN 中点，再过P 作直线l MN ⊥.证明：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标.
:M 22
221(0)x y a b a b
+=>>2A (2,1)M l 2
2
M B C M ABC ∆A
B
C
1
B 1
C 1
A D
F
1
D O
A B
C
D
F
E
立体解析综合题练习7
1．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，且//AD BC ，90ABC PAD ∠=∠=︒，侧面PAD ⊥底面ABCD . 若1
2
PA AB BC AD ===
. （Ⅰ）求证：CD ⊥平面PAC ；
（Ⅱ）侧棱PA 上是否存在点E ，使得//BE 平面PCD ？若存在，指出点E 的位置并证明，若不存
在，请说明理由；
（Ⅲ）求二面角A PD C --的余弦值.
2．已知直线022=+-y x 经过椭圆)0(1:22
22
>>=+b a b
y a x C 的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 是椭圆上位于x
轴上方的动点，直线AS ,BS 与直线4=x l ：分别 交于N M ,两点.
(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）(ⅰ) 设直线AS ,BS 的斜率分别为21,k k ，求证21k k ⋅为定值； (ⅱ)求线段MN 的长度的最小值.
立体解析综合题练习8
1．在如图的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE EB ⊥,//AD EF ，//EF BC ，
24BC AD ==，3EF =，2AE BE ==， G 是BC 的中点．
(Ⅰ) 求证：//AB 平面DEG ； (Ⅱ) 求证：BD EG ⊥；
(Ⅲ) 求二面角C DF E --的余弦
2．已知椭圆（）的长轴长是，且过点． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，为椭圆的右焦点，直线与关于轴对称．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
立体解析综合题练习9
1．在长方形11AA B B 中，124AB AA ==，C ，1C 分别是AB ，11A B 的中点（如图1）. 将此长方形
沿1CC 对折，使二面角11A CC B --为直二面角，D ，E 分别是11A B ，1CC 的中点（如图2）. （Ⅰ）求证：1C D ∥平面1A BE ； （Ⅱ）求证：平面1A BE ⊥平面11AA B B ； （Ⅲ）求直线1BC 与平面1A BE 所成角的正弦值.
2．已知直线与椭圆相交于两点，与轴相交于点，且当时，. （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点的坐标为，直线，与直线分别交于，两点. 试判断以为直径的圆是否经过点?并请说明理由.
1:22
22=+b
y a x C 0>>b a 22)221( ，C )0(≠+=k m kx y l :C N M 、F MF NF x l :1()l x my m =+∈R ()22
:109x y C t t
+=>,E F x B 0m =8
3
EF =
C A (3,0)-AE AF 3x =M N MN B 图（1）
图（2）
C 1
B
C
A
A 1
B 1
B
C
A
D
E
A 1
B 1
C 1
M
Y S
D
N B
x
A
O
A B
P C
D
A D
F
E
B G C
立体解析综合题练习10
1．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，5AB AC ==，D ，E 分别为BC ，1BB 的中点，四边形11B BCC 是边长为6的正方形． （Ⅰ）求证：1A B ∥平面1AC D ； （Ⅱ）求证：CE ⊥平面1AC D ； （Ⅲ）求二面角1C AC D --的余弦值． 2
．
如
图
，
已
知
椭
圆
E:
2222
1(0)x y a b a b 的离心率为
32
，过左焦点(3,0)F -且斜率为k 的直线交椭圆E 于A,B 两点，线段AB 的中点为M,直线l ：40x ky +=交椭圆E 于C,D 两点. （Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ）求证：点M 在直线l 上；
（Ⅲ）是否存在实数k ，使得四边形AOBC 为平行四边形?若存在求出k 的值，若不存在说明理由.。