高中数学 第三章 变化率与导数单元测试1 北师大版选修1-1

第三章 变化率与导数

(时间：100分钟，满分：120分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知函数f (x )＝1

3

，则f ′(x )等于( )

A ．－3

3

B ．0 C.

33

D. 3

解析：选B.因为f (x )＝

1

3，所以f ′(x )＝(

1

3

)′＝0.

2．已知某质点的运动规律为s ＝t 2

＋3(s 的单位：m ，t 的单位：s)，则该质点在t ＝3 s 到t ＝(3＋Δt )s 这段时间内的平均速度为( )

A ．(6＋Δt )m/s

B ．(6＋Δt ＋9

Δt

)m/s

C ．(3＋Δt )m/s

D ．(9

Δt ＋Δt )m/s

解析：选A.平均速度为Δs Δt ＝（3＋Δt ）2＋3－（32

＋3）

Δt

＝(6＋Δt )m/s.

3．设f (x )为可导函数，且满足lim x →0 f （1）－f （1－x ）

2x ＝－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )

A ．2

B ．－1

C ．1

D ．－2

解析：选D.k ＝f ′(1)＝lim x →0 f （1－x ）－f （1）

－x

＝2lim x →0 f （1）－f （1－x ）

2x

＝－2. 4．已知函数f (x )在x ＝1处的导数为3，则f (x )的解析式可能是( )

A ．f (x )＝(x －1)3

＋3(x －1) B ．f (x )＝2(x －1)

C ．f (x )＝2(x －1)2

D ．f (x )＝x －1

解析：选A.利用排除法，分别对四个选项求导数f ′(x )，再求f ′(1)．

5．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为－1

2

，则切点的横坐标为( )

A ．3

B ．2

C ．1 D.1

2

解析：选B.设切点坐标为(x 0，y 0)，且x 0＞0，

因为y ′＝12x －3

x ，

所以k ＝12x 0－3x 0＝－1

2

，

所以x 0＝2.

6．已知y ＝2x 3

＋3x ＋cos x ，则y ′等于( )

A ．6x 2＋x －

23－sin x

B ．6x 2＋x －

23＋sin x

C ．6x 2

＋13

x －23＋sin x

D ．6x 2

＋13

x －23－sin x

解析：选D.y ′＝(2x 3

)′＋(x 1

3)′＋(cos x )′

＝6x 2

＋13

x －23－sin x .

7．给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称函数f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′.若f ″(x )＜0在D 上恒

成立，则称函数f (x )在D 上为凸函数，以下四个函数在⎝

⎛⎭⎪⎫0，π2上不是凸函数的是( )

A ．f (x )＝sin x ＋cos x

B ．f (x )＝ln x －2x

C ．f (x )＝－x 3

＋2x －1

D ．f (x )＝x e x

解析：选D.对A ，f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ＜0⎝

⎛⎭⎪⎫0＜x ＜π2， 故f (x )在⎝

⎛⎭⎪⎫0，π2上是凸函数；

对B ，f ′(x )＝1x －2，f ″(x )＝－1x 2＜0⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜π2，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是凸函数； 对C ，f ′(x )＝－3x 2

＋2，f ″(x )＝－6x ＜0⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜π2，故f (x )在⎝

⎛⎭⎪⎫0，π2上是凸函数；

对D ，f ′(x )＝e x ＋x e x ，f ″(x )＝e x ＋e x ＋x e x ＝e x

(2＋x )＞0⎝

⎛⎭⎪⎫0＜x ＜π2，

故f (x )在⎝

⎛⎭⎪⎫0，π2上不是凸函数，选D.

8．已知曲线C ：y ＝2x 2

，点A (0，－2)及点B (3，a )，从点A 观察点B ，要实现不被曲线C 挡住，则实数a 的取值范围是( )

A ．(4，＋∞)

B ．(－∞，4)

C ．(10，＋∞)

D ．(－∞，10)

解析：选D.在曲线C ：y ＝2x 2上取一点D (x 0，2x 20)(x 0＞0)，因为y ＝2x 2

，

所以y ′＝4x ，所以y ＝2x 2

在D 点处切线的斜率为4x 0，

令2x 2

0＋2x 0＝4x 0，解得x 0＝1，此时D (1，2)，所以k AD ＝2－（－2）1－0

＝4，

所以直线AD 的方程为y ＝4x －2，要实现不被曲线C 挡住，则实数a ＜4×3－2＝10，即实数a 的取值范围是(－∞，10)．

9．设a ＞0，f (x )＝ax 2

＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的倾斜角的取值范围为⎣

⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则P 到曲线y ＝f (x )对称轴距离的取值范围为( )

A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1a

B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12a

C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2a

D.⎣⎢⎡⎦

⎥⎤0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪b －12a 解析：选B.因为过P (x 0，f (x 0))的切线的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，且a ＞0，P 在

对称轴的右侧，所以P 到曲线y ＝f (x )对称轴x ＝－b

2a 的距离d ＝x 0－⎝ ⎛

⎭

⎪⎫

－b 2a ＝x 0＋b

2a .

又因为f ′(x 0)＝2ax 0＋b ∈[0，1]，

所以x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－b 2a

，1－b 2a .

所以d ＝x 0＋b 2a ∈⎣

⎢⎡

⎦⎥⎤0，12a .

10．定义方程f (x )＝f ′(x )的实数根x 0叫做函数f (x )的“新驻点”，若函数g (x )＝2x ，

h (x )＝ln x ，φ(x )＝x 3

(x ≠0)的“新驻点”分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为( )

A ．a ＞b ＞c

B ．c ＞b ＞a

C ．a ＞c ＞b

D ．b ＞a ＞c

解析：选B.g ′(x )＝2，h ′(x )＝1x

，φ′(x )＝3x 2

(x ≠0)．解方程g (x )＝g ′(x )，即

2x ＝2，得x ＝1，即a ＝1；解方程h (x )＝h ′(x )，即ln x ＝1

x

，在同一坐标系中画出函数y

＝ln x ，y ＝1x

的图像(图略)，可得1＜x ＜e ，即1＜b ＜e ；解方程φ(x )＝φ′(x )，即x

3

＝3x 2

(x ≠0)，得x ＝3，即c ＝3.所以c ＞b ＞a .

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)

11．已知a 为实数，f (x )＝(x 2

－4)(x －a )，且f ′(－1)＝0，则a ＝________．

解析：f (x )＝x 3－ax 2－4x ＋4a ，f ′(x )＝3x 2

－2ax －4，

f ′(－1)＝3＋2a －4＝0，所以a ＝1

2

.

答案：12

12．设f (x )＝e x

＋x ，若f ′(x 0)＝2，则在点(x 0，y 0)处的切线方程为________．

解析：f ′(x )＝e x ＋1，f ′(x 0)＝2，所以e x 0＋1＝2，所以x 0＝0，y 0＝e 0

＋0＝1，所以切线方程为y －1＝2(x －0)，即2x －y ＋1＝0.

答案：2x －y ＋1＝0

13．已知函数f (x )＝sin x －x cos x ，若存在x ∈(0，π)，使得f ′(x )＞λx 成立，则实数λ的取值范围是________．

解析：f ′(x )＝(sin x －x cos x )′＝(sin x )′－(x cos x )′＝cos x －(cos x －x sin x )＝x sin x ＞λx ，因为x ∈(0，π)，所以sin x ＞λ，因为sin x ∈(0，1]，所以λ＜1.

答案：(－∞，1)

14．抛物线y ＝x 2

上到直线x ＋2y ＋4＝0距离最短的点的坐标为________．

解析：y ′＝2x ，设P (x 0，x 2

0)处的切线平行直线x ＋2y ＋4＝0，则点P 到直线x ＋2y ＋4

＝0的距离最短，由抛物线y ＝x 2在点P (x 0，x 2

0)处的切线斜率为2x 0，则2x 0＝－12

，解得x 0