函数定义域、值域求法的总结

函数定义域、值域求法总结

一、定义域是函数()y f x =中的自变量x 的范围。 求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零

（2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。

（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1

（5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠

二、值域是函数()y f x =中y 的取值范围。

常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法

（4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元） （6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等

这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。

三、典例解析 1、定义域问题

例1 求下列函数的定义域：

① 21)(-=

x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x

x x f -++=21

1)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式2

1

-x 无意义，

而2≠x 时，分式21

-x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x .

②∵3x+2<0，即x<-32

时，根式23+x 无意义，

而023≥+x ，即3

2

-≥x 时，根式23+x 才有意义，

∴这个函数的定义域是{x |3

2

-≥x }.

③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x

-21

同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x }

另解：要使函数有意义，必须： ⎩

⎨⎧≠-≥+020

1x x ⇒ ⎩⎨⎧≠-≥21x x

例2 求下列函数的定义域：

①14)(2

--=

x x f ②2

14

3)(2-+--=

x x x x f

③=

)(x f x

11111++

④x

x x x f -+=

0)1()(

⑤3

7

3132+++-=

x x y

解：①要使函数有意义，必须：142

≥-x 即： 33≤≤-x

∴函数14)(2--=

x x f 的定义域为： [3,3-

]

②要使函数有意义，必须：⎩⎨

⎧≠-≠-≤≥⇒⎩

⎨⎧≠-+≥--131

40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--<⇒x x x 或或

∴定义域为：{ x|4133≥-≤<--

③要使函数有意义，必须： 011110110≠++≠+≠⎪

⎪⎪

⎩

⎪

⎪

⎪

⎨⎧x

x x ⇒ 2

110-≠-≠≠⎪⎩⎪⎨⎧x x x

∴函数的定义域为：}2

1

,1,0|{--≠∈x R x x 且

④要使函数有意义，必须： ⎩⎨

⎧≠-≠+0

01x x x ⎩⎨⎧<-≠⇒01

x x

∴定义域为：{}011|<<--

⑤要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠+≥+-073032x x ⎪⎩

⎪⎨⎧-≠∈⇒37x R x 即 x<37-

或 x>37- ∴定义域为：}3

7

|{-≠x x 例3 若函数a

ax ax y 1

2+

-=

的定义域是R ，求实数a 的取值范围 解：∵定义域是R,∴恒成立，01

2

≥+

-a

ax ax ∴⎪⎩

⎪⎨⎧≤<⇒≤⋅-=∆>2001402a a a a a 等价于 例4 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41

(+=x f y )4

1(-⋅x f 的定义域

解：要使函数有意义，必须：

4343454

34345

14111411≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤

≤-≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≤+≤-x x x x x ∴函数)41(+=x f y )4

1(-⋅x f 的定义域为：⎭

⎬⎫⎩

⎨⎧≤≤-

434

3

|x x 例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。

分析：法则f 要求自变量在[－1，1]内取值，则法则作用在2x －1上必也要求2x －1在 [－1，1]

内取值，即－1≤2x －1≤1,解出x 的取值范围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考f(2x －1)中2x －1与f(x)中的x 位置相同，范围也应一样，∴－1≤2x －1≤1,解出x 的取值范围就是复合函数的定义域。

（注意：f(x)中的x 与f(2x －1)中的x 不是同一个x ，即它们意义不同。） 解：∵f(x)的定义域为[－1，1]， ∴－1≤2x －1≤1，解之0≤x ≤1， ∴f(2x －1)的定义域为[0，1]。

例6已知已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(x 2

)的定义域。

答案：－1≤x 2≤1⇒ x 2≤1⇒－1≤x ≤1

练习：设)(x f 的定义域是[-3，2]，求函数)2(-x f 的定义域

解：要使函数有意义，必须：223≤-≤-x 得： 221+≤≤-x

∵ x ≥0 ∴ 220+≤≤

x 2460+≤≤x

∴ 函数)2(-x f 的定域义为：{}

2460|+≤≤x x

例7已知f(2x －1)的定义域为[0，1]，求f(x)的定义域

因为2x －1是R 上的单调递增函数，因此由2x －1， x ∈[0,1]求得的值域[－1，1]是f(x)的定义域。

已知f(3x －1)的定义域为[－1，2），求f(2x+1)的定义域。[2,2

5

-）

（提示：定义域是自变量x 的取值范围） 练习：

已知f(x 2)的定义域为[－1，1]，求f(x)的定义域

若()y f x =的定义域是[]0,2，则函数()()121f x f x ++-的定义域是 （ ）

Ａ．[]1,1-

Ｂ⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡-

21,21

Ｃ．⎥⎦

⎤⎢⎣⎡1,2

1

Ｄ．10,2

⎡⎤⎢⎥⎣⎦

已知函数()11x

f x x

+=

-的定义域为Ａ，函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的定义域为Ｂ，则

（ ）