求函数定义域和值域方法和典型题归纳

<一>求函数定义域、值域方法和典型题归纳一、基础知识整合1.函数的定义：设集合A 和B 是非空数集，按照某一确定的对应关系f ，使得集合A 中任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)与之对应。

则称f:为A 到B 的一个函数。

2.由定义可知：确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系（f ）,②集合A 的取值范围。

由这两个条件就决定了f(x)的取值范围③{y|y=f(x),x ∈A}。

3.定义域：由于定义域是决定函数的重要因素，所以必须明白定义域指的是：（1）自变量放在一起构成的集合，成为定义域。

（2）数学表示：注意一定是用集合表示的范围才能是定义域，特殊的一个个的数时用“列举法”；一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。

4.值域：是由定义域和对应关系（f ）共同作用的结果，是个被动变量，所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。

（1）明白值域是在定义域A 内求出函数值构成的集合：{y|y=f(x),x ∈A}。

（2）明白定义中集合B 是包括值域，但是值域不一定为集合B 。

二、求函数定义域（一）求函数定义域的情形和方法总结1已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。

（1）常见要是满足有意义的情况简总：①表达式中出现分式时：分母一定满足不为0；②表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于0（非负数）。

③表达式中出现指数时：当指数为0时，底数一定不能为0.④根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0.⑤表达式中出现指数函数形式时：底数和指数都含有x ，必须满足指数底数大于0且不等于1.（0<底数<1;底数>1）⑥表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大于0且不等于 1.（2()log (1)x f x x =-）注：（1）出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义，及最后求的是所有式子解集的交集。

（2）求定义域时，尽量不要对函数解析式进行变形，以免发生变化。

(形如：2()x f x x=) 2.抽象函数（没有解析式的函数）解题的方法精髓是“换元法”，根据换元的思想，我们进行将括号为整体的换元思路解题，所以关键在于求括号整体的取值范围。

总结为：（1）给出了定义域就是给出了所给式子中x 的取值范围；（2）在同一个题中x 不是同一个x ；（3）只要对应关系f 不变，括号的取值范围不变。

（4）求抽象函数的定义域个关键在于求f(x)的取值范围，及括号的取值范围。

例1：已知f(x+1)的定义域为[-1,1]，求f （2x-1）的定义域。

解：∵f(x+1)的定义域为[-1,1]；（及其中x 的取值范围是[-1,1]）∴012x ≤+≤ ； （x+1的取值范围就是括号的取值范围） ∴f(x)的定义域为[0,2]；（f 不变，括号的取值范围不变）∴f(2x-1)中0212x ≤-≤ ∴1322x -≤≤ ∴f(2x-1)的定义域为13|22x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭ 3.复合函数定义域复合函数形如：(())y f g x =,理解复合函数就是可以看作由几个我们熟悉的函数组成的函数，或是可以看作几个函数组成一个新的函数形式。

例2：()(2,3),()(1)(2),f xg x f x f x -=++-若函数的定义域为求g(x)的定义域。

分析：由题目可以看出g(x)是由y=x+1、y=x-2和y=f(x)三个函数复合起来的新函数。

此时做加运算，所以只要求出f(x+1)和f(x-2)的定义域，再根据求函数定义域要所有式子同时满足，即只要求出f(x+1)和f(x-2)的定义域的交集即可。

解：由f(x)的定义域为（-2,3），则f(x+1)的定义域为（-3,2），f(x-2)的定义域为（0,4）；3204x x -<<⎧∴⎨<<⎩，解得0<x<2 所以，g(x)的定义域为（0,2）.（二）求定义域的典型题1.已知函数解析式（1）求下列函数的定义域211 (1)();(2)()(1)();31xf x f x x f xx x-==++=+-22(23)11(4)()(1);(5)()log();(6)()42xxf x x f x x f xx+-=-=-=+-（2）求下列函数的定义域(1)()()12(3)()()f x f xxf x f x==-==(3)与函数定义域有关的问题题①若函数224()(21)xf xx m x m-=+++的定义域为R，求实数m的取值范围。

②函数y=R，求k的取值范围。

③函数()f x=R，求m的取值范围。

2.求抽象数定义域①若函数f(x)的定义域为（-2,6），求1(1)2f x-的定义域。

②若数()f x的定义域为[0,2],求函数(2)()1f xg xx=-的定义域。

③若数(1)f x-的定义域为[-1,2],求函数()(2)g x f x=++的定义域。

④若函数()f x的定义域为[0,1],1()()(),()2g x f x a f x a a=++-≤，求函数g(x)的定义域。

⑤若()log (1),()log (1)a a f x x g x x =+=-，(0,1)a a >≠且，令 F （x ）=f(x)-g(x),求F （x ）的定义域。

二、求函数值域（一）求函数值域方法和情形总结1.直接观察法（利用函数图象）一般用于给出图象或是常见的函数的情形，根据图象来看出y 值的取值范围。

2.配方法适用于二次函数型或是可以化解成二次函数型的函数，此时注意对称轴的位置，在定义域范围内（以a<0为例），此时对称轴的地方为最大值，定义域为内端点离对称轴最远的端点处有最小值；对称轴在定义域的两边则根据单调性来求值域。

总结为三个要点：（1）含参数的二次型函数，首先判断是否为二次型，即讨论a ；（2）a 不为0时，讨论开口方向；（3）注意区间，即讨论对称轴。

例1：求2()46f x x x =-+在[1,5]上的值域.解：配方：2()(2)2f x x =-+f(x)的对称轴为x=2在[1,5]中间 min (2)2y f ==（端点5离x=2距离较远，此时为最大值）max (5)11y f ==所以，f(x)的值域为[2,11].3.分式型（1）分离常量法：应用于分式型的函数，并且是自变量x 的次数为1，或是可以看作整体为1的函数。

具体操作：先将分母搬到分子的位子上去，观察与原分子的区别，不够什么就给什么，化为d y a bx c =++。

例2：51()42x f x x -=+求的值域. 解：510(42)1515744()424242(42)x x f x x x x +---===-+++由于分母不可能为0，则意思就是函数值不可能取到54， 即：函数f(x)的值域为5{|}4y y ≠. 跟踪练习：已知(]2()4(1)3(0,2)f x ax a x x =++-∈在x=2处有最大值，求a 的取值范围.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2）利用20x ≥来求函数值域：适用于函数表达式为分式形式，并且只出现2x 形式，此时由于为平方形式大多时候x 可以取到任意实数，显然用分离常量法是行不通，只有另想它法（有界变量法）。

例3：求函数2231()2x f x x -=+的值域. 解：由于22x +不等于0，可将原式化为22231yx y x +=-即 2(3)12y x y -=--（由于20x ≥）只需3y ≠,则有21203y x y --=≥-3)y -(12)0y --≥ 所以，函数值域1,32y ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭. （3）方程根的判别式法：适用于分式形式，其中既出现变量x 又出现2x 混合，此时不能化为分离常量，也不能利用上述方法。

对于其中定义域为R 的情形，可以使用根的判别式法。

例4：求函数221x y x =+的值域解：由于函数的定义域为R ，即210x +≠原式可化为 220yx x y -+=（由于x 可以取到任意的实数，那么也就说总有一个x 会使得上述方程有实数根，即方程有根那么判别式大于或等于0，注：这里只考虑有无根，并不考虑根为多少）所以，2440y ∆=-≥所以，函数值域为[]1,1y ∈-跟踪练习：求下列函数值域 （1）11y x =+ （2）2211x y x -=+ （3）211y x =+ 22(4)36x y x x +=++ （5）若2328log 1mx x n y x ++=+的定义域为R ，值域为[]0,2，求常数m,n 的值（m=n=5）4.换元法通过换元将一个复杂的问题简单化更便于求函数值域，一般函数特征是函数解析式中含有根号形式，以及可将问题转换为我们熟悉的函数形式等问题。

而换元法其主要是让我们明白一种动态的方法来学习的一种思路，注重换元思维的培养，并不是专一的去解答某类问题，应该多加平时练习。

注：换元的时候应及时确定换元后的元的取值范围。

例5：求函数()2f x x =解：令20,1t t x t =≥=+则，带入原函数解析式中得 2221152(1)222()48y t t t t t =+-=-+=-+因为，0t ≥所以，函数的值域为15,8y ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭. 跟踪练习：求下列函数的域（1）22sin 3cos 1y x x =-- （2）21y x =+（3）sin cos sin cos y x x x x =++，（令t=sin cos x x +）(4) []4=3cos (0,))y x x θθπ=++∈令。