练习题 信安数学

7、已知a=5,b=42,n=455, 求abmod n
• x ≡ 542(mod 455) • 455=5*7*13 • x≡ 542(mod 5),x≡ 542(mod 7), x≡ 542(mod 13)
• x≡ 0(mod 5),x≡50 ≡1(mod 7), x≡ 56 ≡-1(mod 13) • x≡0+1*5*13*(-3)-1*5*7*3 ≡-300 ≡155(mod 455)
2、计算5模11的逆元
• • • • 欧几里德除法、缩系 11=5*2+1 1=11-5*2 所以 -5*2≡1(mod 11) 所以模11时，-5和2,5和-2互为逆元
3、解方程567x≡21(mod 1225)
• 步骤：其实是化简x的系数， 第一步：方程最简化，看是否有解 第二步：简化以后x系数的逆元，化简x的系数。 • 解：（1）求(567,1225)
4、15的完系和缩系
• 完系：0到14 • 缩系：完系中与模互质的：即与3、5互质 1，2，4，7，8，11，13，14 • 全为奇的缩系： 1，17，19，7，23，11，13，29 • 剩余类分解 ： • 1(mod5)可分解为1,6,11(mod 15)
5、计算15的欧拉函数
• ф(15)= ф(3)* ф(5)= 2*4=8
18、群的阶与元素的阶，如Z12的的每 个元素的阶、所有生成元和所有子群
• （Z12,×12）不是群，因为2等没逆元 • （Z12,+12）单位元0 元素：0，阶：1； 元素：2,10，阶：6 元素：3,9，阶：4； 元素：4,8，阶：3 元素：6，阶：2； 元素：1，5，7，11，阶：12 • 生成元： 1，5，7，11 • 子群：略
20、多项式环上的运算，如Z2上的多 项式环中：
• （4）求两个多项式的最大公约数 f(x)= x4+x+1,g(x)=x+1的最大公约数1 • 欧几里的除法
21、构造一个八元域
• 因为8=23，所以可以通过GF(2)扩成GF（23） • 需要GF(2)上的3次不可约多项式
• x|x3 ，x+1| x3 +1 ，x| x3 +x，x,x+1均 | x3 +x+1， • x3 +x+1= (x2+x+1)(x+1)+x，所以 x3 +x+1 | x3 +x+1
20、多项式环上的运算，如Z2上的多 项式环中：
• （3）除法：f(x)= x4+x+1,g(x)=x+1,f(x)/g(x) • x3 + x2 +x • x+1 x4+0x3+0x2+x+1 • x4+ x3 • x3+0x2 • x3+x2 • x2 +x • x2 +x • 1 • f(x)/g(x)=x3 + x2 +x，余1
• • • • 取为x3+x+1，叫做生成元或生成多项式 生成的域为{0,1,x,x+1, x2, x2 +1, x2 +x, x2 +x+1, } 域上的加法为：a+b=(a+b)(mod x3+x+1) 域上的乘法为：a*b=(a*b)(mod x3+x+1)
23、CRC计算：
• 生成多项式为f(x)=x4+x+1， 传送的信息为10110100110，请给出接收方收到的信 息，并进行校验 • 生成多项式为f(x)=x4+x+1，即10011 ，作为除数 • 101101001100000(mod10011) ≡0011（除法算式） • 则接收方收到信息：101101001100011 • 进行校验：101101001100011 (mod10011)≡0，余数为 0 • 所以没有发生错误
16、（Z，*）是群吗？其中*定义为 a*b=a+b-4
• （1）封闭性：a*b=a+b-4，整数运算后仍为பைடு நூலகம் 数，所以封闭 • （ 2 ） 结 合 性 ： (a*b)*c=(a+b-4)*c=a+b-4+c4=a*(b*c)，所以结合性满足 • （ 3 ）单位元：任意 a∈Z ，若 e 为单位元，则 a*e=a+e-4=a，所以4为单位元 • （ 4 ） 逆 元 ： 任 意 a,b∈Z ， a*b=a+b-4=4 ， 则 b=8-a，所以逆元为8-a • 所以，（Z,*）构成群
6、化简：115x15+278x3+12 (mod 12)，x=20
• 系数、指数、底数化简 • 系数： 115x15+278x3+12 (mod 12) ≡7 x15+2x3+0 (mod 12) • 指数： ф(12) =ф(3)* ф(4)= 2*2=4 7 x15+2x3 (mod 12) ≡7 x3+2x3 ≡9x3 (mod 12) • 底数：9x3(mod 12)≡9*203≡9*83≡0 (mod 12)
17、（Z12,+12）的各子群
• 子群是与原来的群运算相同，集合为子集合 • 子群具有同样的单位元 • （Z12,+12）的单位元为0，集合为0-11的整数 • 子群： (1)（Z12,+12） (2) (A1,+12)：A1={0，2，4，8，10} (3) (A2,+12)：A2={0，3，6，9} (4) (A3,+12)：A3={0，4，8} (5) (A4,+12)：A4={0，6} (6) (A5,+12)：A5={0}
14、1841是强伪素数吗？
• 通过miller-robin素性测试的就是强伪素数 • 1841-1=1840=16*5*23 • 2115(mod 1841)≡891，8912 (mod 1841) ≡410 4102 (mod 1841) ≡569 • 5692 (mod 1841) ≡-255，2552 (mod 1841) ≡590 • 非-1，所以没通过，如果是-1则通过 • 所以1841是合数，不是强伪素数 • 另：安全参数：重复测试的次数
13、找出模13的所有原根，有多少个？ 并据此求出1-12每个数的阶
• • • • • • • 可能的阶有1，2，3，4，6，12 阶1的数有1个：1 阶2的数有ф(2)=1个：-1≡12(mod 13) 阶3的数有ф(3)=2个： 24≡3， 28≡9(mod 13) 阶4的数有ф(4)=2个： 23≡8， 29≡5(mod 13) 阶6的数有ф(6)=2个： 22≡4， 210≡10(mod 13) 阶12的数有4个： 2，6，7，11
13、找出模13的所有原根，有多少个？ 并据此求出1-12每个数的阶
• 每个元素可能的阶为ф(13)=12的因子 • 从2开始： 22≡4，23≡8，24≡3，26≡-1(mod 13)， 所以2为其中一个原根。 • 原根共ф(12)= ф(4) ф(3)=4个 • 分别为2，25≡6，27≡11，211≡7(mod 13)
1225=567*2+91 7= (1225-567*2)*25-567*4=1225*25-567*54 567=91*6+21 7=91-(567-91*6)*4=91*25-567*4 91=21*4+7 7=91-21*4 21=7*3
所以(567,1225)=7，因为7|21，所以有解，有7个解 -567*54≡7(mod 1225)
19、置换，理解含义，会计算
•
1 2 3 4 ( 142 ) 4 1 3 2
20、多项式环上的运算，如Z2上的多 项式环中：
• • • • • （1）f(x)=x2+x+1，可约吗？ 可能因式：x, x+1 f(x)=x(x+1)+1，所以不可约 （2）加法：f(x)=x2+x+1,g(x)=x3+1,f(x)+g(x) f(x)+g(x)= x3+ x2+x+2= x3+ x2+x
3、解方程567x≡21(mod 1225)
• -567*54≡7(mod 1225) • (2)化简方程 81x≡3(mod 175) -567*54≡7(mod 1225) 所以-81*54 ≡1(mod 175) 所以-81*54*3 ≡3(mod 175) 所以x ≡ -54*3 ≡-162 ≡ 13(mod 175) • (3)所有解 x ≡ 13+175t(mod 1225) t=0,1,…,5,6