不定积分凑微分法和换元法(课堂PPT)

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换元积分法PPT课件

dx
x 1 x2
dx
arctan 1 x2
x
dx
1 2
1 1 x2
d(1
x2
)
arctanxd
arctanx
1 ln(1 x2 ) 1 (arctanx)2 C
2
2
28
二、第二换元法
引例
x dx x 1
为了将被积函数中的根式 x 1 去掉，
应将其作为一个整体，因此令 t x 1
因此，x t 2 1, dx 2tdt 将其代入原积分式中，
x dx t 2 1 2tdt 2 (t2 1)dt 2 t3 2t C
x 1
t
3
2 (t 2 1)dt 2 t3 2t C 3
2 ( x 1)3 2 x 1 C
29
3
第一换元法： f (j(x))j(x) d x f (u) d u 是被积表达式
已明显含有因子j(x)。而在实际问题中，常常遇到的是一般形
dx
1 3
dx x4
dx x 1
1 ln x 4 C. 3 x1
24
例 19
求
x2
dx . 4x 5
解
x2
dx 4x
5
1
dx (x
2)2
1
d( x 2) ( x 2)2
arctan(x 2) C.
25
例 20
求
x1
x2
4x
dx. 5
解
x1
x2
4x
dx 5
1 ( x2 4x 5) 1
例 2 求 (4x 5)99 dx.
解上式与基本积分表中 x dx 1 x 1 C 1

不定积分 ppt

x11 x11
dx
x 1 t,
则
x1 t
2
,
d x 2 td t
2 t1
,

x11 x11

dx

t1 t1
4t t1
2 td t
(1
)2 td t
4
(2t
2
)d t
(2t 4
t1
)d t
t 4 t 4 ln | t 1 | C 1
101
(1 x )
102
C

(1 x ) 102

(1 x ) 101
C
解二

x (1 x )
100
dx
(1 x 1)(1 x )
(1
101
100
dx

x)
dx
(1
101
100
x)
dx

(1 x ) 102
102

(1 x ) 101
ln
t 1 t 1
C

1 2(ln 3 ln 2)
ln
3 2
x
x x
3 2
x
C.
例2 解一

ln x ln( x 1) x ( x 1)
dx
1 x ( x 1)
注意到 [ln x ln( x 1 ) ]
ln x ln( x 1 ) x ( x 1) dx
dx
1 co s x
dx

dx 2 co s
2
d x 2

《不定积分》ppt课件

2
2
a2 x2 dx x a2 x2 a2 arcsin x C
2
2
a
.
+ 除牢记积分公式外，还需熟练运用几种常用方法：
+ 〔1〕换元积分法 + 〔2〕分部积分法 + 〔3〕有理函数积分法〔运用分式变形处置
积分函数联络积分根本公式〕
.
+ 关于换元法的问题不定积分的换元法是在复合函数求导法那么的根底上得来的，我们应根据详细实例来选择所用的方法，求不定积分不象求导那样有规那么可依，因此要想熟练的求出某函数的不定积分，只需作大量的练习。
ln a
shxdx chx C
chxdx shx C
dx
ln( x
x2 a2
x2 a2 ) C
I n
2
sin n
0
2
xdx cosn
0
xdx
n 1
n
I n2
x 2 a 2 dx x 2
x 2 a 2 a 2 ln( x 2
x2 a2 ) C
x 2 a 2 dx x 2
2
2
2
.
2.第一类换元法利用复合函数的一阶微分形式的不变性，通过变量代换求不定积分
简记为
g（x） dx = f φ（x） φ‘（x）dx
例 1.求
e x dx
2x
解：令u =
x，原式= e x d x =
eu du = eu + C = e x + C
例 2.求
arcsin x−x2
x
dx
解
：
令
dt
=
1 4
1 t−3
−

高等数学第四章第二节不定积分课件

1 x+ 1 例17 求 ∫ (1 − 2 )e x dx . x ′ 1 1 解 ∵ x + = 1− 2 , x x
1 ∴ ∫ (1 − 2 )e x = ∫e
x+ 1 x
x+
1 x
dx
1 x+ 1 d( x + ) = e x + C. x
例18 求解
cot x dx ∫ ln sin x
同样可证
∫ csc xdx = ln csc x − cot x + C
或
x 1 1 − cos x = ln tan + C = ln + C. 2 1 + cos x 2
1 dx . 例12 求∫ 1 + cos x 1 1 − cos x 解法一 ∫ dx = ∫ dx 1 + cos x (1+ cos x)(1− cos x) 1 − cos x 1 1 dx = ∫ 2 dx − ∫ 2 d (sin x ) =∫ 2 sin x sin x sin x 1 = − cot x + + C. sin x
x x
1 8) ∫ f ( x ) d x = 2∫ f ( x )d x x
1 9) ∫ f (arctan x) d x = ∫ f (arctan x)darctan x 2 1+ x
例7. 求
dln x 1 d(1+ 2ln x) 解: 原式 = ∫ = ∫ 1+ 2ln x 2 1+ 2ln x
其中 ψ − 1 ( x ) 是 x = ψ ( t ) 的反函数。的反函数。
d (( ∫ f [ψ ( t )]ψ ′( t ) dt )

《新编高等数学》课件5高等数学-第五章不定积分

（11） csc x cot xdx csc x C
（12） a xdx a x C
ln a
（13） e xdx e x C
12
第一节不定积分的概念和性质三、基本积分表
以上所列基本积分公式是求不定积分的基础，必须熟记。
例5-2 求
1 x2
dx
解
1 x2
dx
x2dx
1 x21 C 2 1
x2
dx
x
3
3 x
1 x2
dx
xdx
3
dx
3dx x
1 x2
dx
1 x2 3x 3ln | x | 1 C
2
x
18ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第一节不定积分的概念和性质
x2
例5-10 求 1 x2 dx
四、不定积分的性质
解
x2 1 x2
dx
x2 1
1 x2
1
dx
1
1 1 x2
dx
x arctan x C
19
第一节不定积分的概念和性质四、不定积分的性质
例5-11 求
1
dx
sin2 x cos2 x
解
1
dx sin2 x cos2 x dx
sin2 x cos2 x
sin2 x cos2 x
1 cos2
x
1 sin 2
x
dx
tan x cot x C
20
第二节第一类换元积分法
解 (3ex sin x 2)dx 3 exdx sin xdx 2 dx
3ex cos x 2x C
15
第一节不定积分的概念和性质四、不定积分的性质

不定积分的换元积分法PPT课件

例 2.求 3x 1dx
解：
3x
1dx
1 3
3x
1d(3x
1)
令u
3x
1
1 3
udu
1 3
2 3
u
3 2
C
回代3x
1
u
2 9
(3x
3
1) 2
C
2 9
(3x
1)
3x 1 C.
第5页/共34页
例 3.求下列不定积分
（1）
e2x2ln xdx
e2x2 xdx 1
4
e2x2d(2x2 ) 1 e2x2 C. 4
其中s 是m和n的最小公倍数.
(2) 对 R(x, n ax b )dx, (ad bc 0)可作代换 cx d t n ax b . cx d
第21页/共34页
例 11.求 1 dx
1 ex
解：令 1 ex t ，ex t 2 1，
x ln(t 2 1) ，dx 2t dt ，则 t2 1
积分
F(u) C 回代: (x) u
F[(x)] C
第一换元法或称为凑微分法，是与复合函数的微分法则相对应的积分方法。
第3页/共34页
（二）常用凑微分式子
1、求不定积分时常用的微分性质
(x)dx d[(x)] 1 d[a(x) b] ， a
其中 a, b 都是常数，且a 0 。
2、常用凑微分式子
x C.
第9页/共34页
例 6．求下列不定积分
（1）
a2
1
x2
dx
1 dx a2[1 ( x )2 ]
1 arctan x C.
a
1 a

不定积分的计算ppt课件

1
1 (ex )2
dex
arctan ex C.
dex exdx
1
1 u
2
du
arctan u C
一般地, 有
ex f (ex )dx f (ex )dex.
13
例9 求
dx 2x ln
x
.
解
dx 2x ln
x
2
1 ln
x
d
(ln
x)
1 ln ln x C. 2
d ln x 1 dx x
解: 令 u ln x , v x
则 du 1 dx , v 1 x2
x
2
原式
=
1 2
x2
ln
x
1 2
x dx
1 x2 ln x 1 x2 C
2
4
30
例2 求积分 x cos xdx . uvdx uv uvdx
分析：被积函数 xcosx 是幂函数与三角函数的乘积,
采用分部积分.d(1x2 Nhomakorabea)
x arccos x 1 x2 C
34
例4 求 x arctan xdx.
解设 u = arctanx, v′= x, 则
x
arctan
xdx
arctan
xd
(
1 2
x
2
)
du
1 1 x2
dx, v
1 2
x2
1 x2 arctan x 1
2
2
x2 1 x2 dx
1 x2 arctan x 1
不定积分的计算
一、第一换元积分法二、第二换元积分法三、分部积分法
1

42不定积分的换元积分法-52页PPT文档资料

(4 )f(sx)icno xd xs
d(axb)
dxn
1 xn
dxn
dsinx
(5 )f(cx)o sis xd n x dcosx
(6 )f(tx a )sn e 2xd c x
dtanx
(7) f(ex)exdx (8) f(lnx)1xdx
de x dln x
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例5. 求解:
类似

sin xdx cos x

dcosx cosx

cos x dx sin x

dsin x sin x
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例10
求

1 dx. x(12lnx)
解 x(112lnx)dx121lnxd(lnx)
1 212 1ln xd(12ln x)
补例
求

1 2x3
d.x 2x1
解：原式 2 x 3 2 2 x x 3 1 2 2 x x 3 1 2 x 1 dx
1 4 2x3 d x1 4 2x1 dx
1 8 2 x 3 d ( 2 x 3 ) 1 8 2 x 1 d ( 2 x 1 )
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补例. 求
解: 令 uaxb,则 duadx,故
原式 = u m 1 d u 1 1 um1C
a
a m1
注: 当
时
上页下页返回结束
常用的几种配元形式:
(1)f(axb)dx1a (2) f(xn)xn 1dx1
n
(3) f(xn)1xdx1n
x
上页下页返回结束
例6. 求

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1 cos 2x C; 2
解（二） sin 2xdx 2 sin x cos xdx 2 sin xd(sin x)
sin x2 C;
已知
udu
1 2
u2
C
解（三） sin 2xdx 2 sin x cos xdx 2 cos xd(cos x)
cos x2 C.
已知
udu
1 2
7.2 不定积分的计算
巴马水具有四个显著特征: 一是弱碱性离子水。二是还原水。三是小分子团水。四是营养水。
1
1、第一换元积分法
问题 cos2xdx sin 2x C,
解决方法利用复合函数，设置中间变量.
过程令 t 2x dx 1 dt, 2
cos
2
xdx
1 2
cos
tdt
1 2
x 2
1 tan
x 2
d
tan
x 2
ln tan x C ln(csc x cot x) C. 2
（使用了三角函数恒等变形）
16
解（二） csc
xdx
1 sin
x
dx
sin x sin2 x
dx
1
1 cos2 x d(cos x) u cos x
1
1 u2
du
1 2
由此可得换元法定理
3
定理7.2.1 设u ( x)在[a,b]可导，(x)[, ]，
g(u) 在[, ]上有原函数G(u) ，则有换元积分公式
g[( x)]( x)dx g(u)du G(( x)) C
第一类换元公式（凑微分法）说明: 使用此公式的关键在于将
f [( x)]( x)dx 化为 g(u)du.
1
11
a2
x 2 dx
a2
1
x a2
2dx
1 a
1
1
x a
2
d
x a
1 arctan a
x a
C.
6
求
x2
1 8x
dx. 25
解
x2
1 8x
dx 25
(
x
1 4)2
dx 9
1 32
x
3
1 4 2
dx 1
1 3
x
3
1 42
d 1
x
3
4
1 arctan x 4 C.
3
3
10
书中例4 求
dx
x2
. 1
1du u
ln
u
C
.
1
1
11 1
解
x2
1
(x
1)( x
1)
[ 2
x
1
x
], 1
dx 1 1 1
x2 1
2
[
x
1
x
]dx 1
1 (ln x 1 ln x 1 ) C 2
1 ln x 1 C. 2 x1
11
求
x(1
1 2ln
dx. x)
解
x(1
1 2
ln
dx x)
1
1 2 ln
d (ln x
x)
1 2
1
1 2 ln
d x
(1
2
ln
x)
u 1 2ln x
1 2
1 u
du
1 ln u 2
C
1 ln(1 2
2 ln
x)
C.
12
例5 求 sin5 xdx.
解 sin5 xdx sin4 x sin xdx
(sin2 x)2 d(cos x)
u2
C
9
例4
求
3
1 2
dx. x
解 d(3 2x) (3 2x)dx 2dx,
3
1 dx 2x
1 2
1 3 2x
(3
2 x )dx
1 2
3
1 2x
d(3
2x)
1 2
1du u
1 ln u C 2
1 ln(3 2x) C. 2
一般地
f
(ax
b)dx
1 a
f
(u)du
(其中u ax b)
(sin2 x 2sin4 x sin6 x)d(sin x)
1 sin3 x 2 sin5 x 1 sin7 x C.
3
5
7
14
例6 求
1 cos
x
dx.
解
1 dx cos x
cos cos2
x x
dx
1 1 sin2 x d sin x
1 2
( 1
1 sin
x
1
1 sin
dx
1 cos x sin2 x
dx
1 sin 2
x
dx
1 sin 2
x
d (sin
x)
cot x 1 C. sin x
18
例9 求 cos 3x cos 2xdx.
解 cos Acos B 1[cos( A B) cos( A B)], 2
1
1
u
1
1
u
du
1 ln 1 u C 1 ln 1 cos x C.
2 1u
2 1 cos x
类似地可推出 sec xdx ln(sec x tan x) C.
17
例8 求
1
1 cos
x
dx.
解
1
1 cos
x
dx
1
1 cos x
cos x1 cos
x
dx
1 cos x 1 cos2 x
(1 cos2 x)2 d cos x
(1 2cos2 x cos4 x)d cos x
cos x
2 cos3 x 1 cos5 x
3
5
C.
说明当被积函数是三角函数相乘或幂时，拆开奇次项去凑微分.
13
附例求 sin2 x cos5 xdx.
解 sin2 x cos5 xdx sin2 x cos4 xd(sin x) sin2 x (1 sin2 x)2 d(sin x)
x
)d
sin
x
1 ln 1 sin x C 2 1 sin x
1 2
ln
(1 sin x)2 cos2 x
C
ln sec x tan x C.
15
例7 求 csc xdx.
解（一）
csc
xdx
1 sin
x
dx
2
sin
1 x cos
x
dx
22
tan
x 2
1 cos
x 2
2
d
7
例3 求 x sin x2dx.
已知 sin udu cos u C
解
x
sin
x2dx
1 2
sin
x 2dx 2
1 2
sin
udu
1 cos u C 2
1 cos x2 C; 2
(u x2)
8
求 sin 2xdx.
解（一）
sin
2
xdx
1 2
sin
2 xd
(2x)
已知 sin udu cos u C
sin
t
C
1 2
sin
2
x
C
.
2
在一般情况下：
设 F (u) f (u), 则 f (u)du F (u) C.
如果 u ( x)（可微）
dF[ ( x)] f [ ( x)] ( x)dx
f [( x)]( x)dx F[( x)] C F(u) C
[ f (u)du] (u (x))
左式不易求出原函数，转化后右式能求出原函数.
4
例1 求 3 x 5dx.
已知 u du 1 u 1 C
1
解 3 x 5dx (令u x 5)
1
u3du
34
3
4
u3 C ( x 5)3 C.
4
4
5
例2a21 x2dx.(a
0)
已知
1
1 x
2
dx
arctan
x
C
解