人教b版数学必修三：3.3.1《几何概型》导学案(含答案)

§3.3随机数的含义与应用3.3.1几何概型自主学习学习目标1．通过实例体会几何概型的含义，会区分古典概型和几何概型．2．掌握几何概型的概率计算公式，会求一些事件的概率．自学导引1．几何概型的概念事件A理解为区域Ω的某一子区域A，如图，A的概率只与子区域A的____________(长度、面积或体积)成________，而与A的________和________无关．满足以上条件的试验称为____________．2．几何概型的概率计算公式在几何概型中，事件A的概率定义为：________________，其中，μΩ表示________________，μA表示________________________．对点讲练知识点一与长度或角度有关的几何概型例1公共汽车站每隔5 min有一辆汽车通过，乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的，求乘客候车不超过3 min的概率．点评几何概型应用广泛，其难点是确定几何度量．本例中，设定乘客到站后开来一辆公共汽车的时刻t后，就容易写出Ω、A，这里设“t”是关键．变式迁移1某人从东西走向的河的南岸向东北方向游去，游了100 m后没有到岸边，随后，他随意选定了一个方向继续游，求这个人游100 m之内能够到达南岸边的概率．知识点二与面积有关的几何概型例2在墙上挂着一块边长为16 cm的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2 cm，4 cm，6 cm，某人站在3 m之外向此板投镖．设投镖击中线上或没有投中木板都不算，可重投，问：(1)投中大圆内的概率是多少？(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？(3)投中大圆之外的概率是多少？点评在研究射击、射箭、投中、射门等实际问题时，常借助于区域的面积来计算概率的值．此时，只需分清各自区域特征，分别计算其面积，然后利用公式P(A)＝构成事件A的区域面积来计算事件的概率．试验的全部结果构成的区域面积变式迁移2两个对讲机持有者莉莉和霍伊都为卡尔货运公司工作，他们的对讲机接收范围为25公里，在下午3∶00时莉莉正在基地正东距离基地30公里以内的某处向基地行驶．而此时霍伊正在基地正北距基地40公里以内的某地向基地行驶，试计算他们能够通过对讲机交谈的概率有多大？知识点三与体积有关的几何概型问题例3在1升高产小麦种子中混入了1粒带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，则“取出的种子中含有麦锈病的种子”的概率是多少？点评如果试验的结果所成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的总的体积及事件A所分布的体积．其概率的计算P (A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果构成的区域体积.变式迁移3 有一杯2升的水，其中含有一个细菌，用一个小杯从这水中取出0.1升水，求小杯水中含有这个细菌的概率．1．几何概型与古典概型的异同点 (1)相同点古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的． (2)不同点①古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个．②在古典概型中，概率为0的事件为不可能事件，概率为1的事件是必然事件，而在几何概型中概率为0的事件可能发生，概率为1的事件不一定发生．2．几何概型计算步骤(1)判断是否是几何概型，尤其是判断等可能性，比古典概型更难于判断．(2)计算基本事件的总体与事件A 所含的基本事件对应的区域的几何度量(长度、面积或体积)．这是计算的难点．(3)利用概率公式计算.课时作业一、选择题1．两根相距6 m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2 m 的概率为( )A.12B.13C.14D.162．一张方桌的图案如图所示，将一颗豆子随机扔到桌面上，假设豆子不落在线上，则豆子落在红色区域和落在黄色或绿色区域的概率分别是( )A.13，23B.13，16C.16，13D.23，343．在正方形ABCD 内任取一点P ，则使∠APB >90°的概率是( ) A.π8 B.π4C.π16 D.π24．在半径为1的半圆内，放置一个边长为12的正方形ABCD ，向半圆内任投一点，落在正方形内的概率为( )A.12B.14C.14πD.12π5．在区间(10,20]内的所有实数中随机取一个实数a ，则这个实数a <13的概率是( ) A.13 B.17 C.310 D.710 二、填空题6．如图所示的大正方形面积为13，四个全等的直角三角形围成一个阴影小正方形，较短的直角边长为2，向大正方形内投掷飞镖，飞镖落在阴影部分的概率为________．7．一个游戏盘上有四种颜色：红，黄，蓝，黑，并且它们所占面积的比为6∶2∶1∶4，则指针停在红色或蓝色的区域的概率为________．8．在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则|x |≤1的概率为________． 三、解答题 9．已知等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，在直角边BC 上任取一点M ，求∠CAM <30°的概率．10．设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.(1)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．(2)若a 是从区间[0,3]上任取的一个数，b 是从区间[0,2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．§3.3 随机数的含义与应用3．3.1 几何概型自学导引1．几何度量 正比 位置 形状 几何概型2．P (A )＝μAμΩ区域Ω的几何度量 子区域A 的几何度量对点讲练例1 解 设A ＝“候车时间不超过3 min ”，x 表示乘客来到车站的时刻，那么每一个试验结果可表示为x ，假定乘客到达车站后开来一辆公共汽车的时刻为t ，据题意，乘客必然在(t －5，t ]内来到车站，故Ω＝{x |t －5<x ≤t }，欲乘客候车时间不超过3 min ，必有t －3≤x ≤t ，所以A ＝{x |t －3≤x ≤t }，所以P (A )＝A 的度量Ω的度量＝35＝0.6.答 乘客候车时间不超过3 min 的概率为0.6. 变式迁移1 解如图所示，某人从B 沿北偏东45°方向游了100 m 到达O 点处．由图可知，∠OBA ＝45°，OA ＝OB ＝100 m ，在点O 处只有向阴影方向游100 m 之内才能到达岸边，故所求的概率为P ＝90°360°＝14.例2 解 S 正方形＝16×16＝256(cm 2)， S 小圆＝π×22＝4π(cm 2)，S 圆环＝π×42－π×22＝12π(cm 2)， S 大圆＝π×62＝36π(cm 2)，S 大圆外＝16×16－36π＝(256－36π)(cm 2)，则(1)投中大圆的概率P (A 1)＝36π256≈0.442.(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率为P (A 2)＝12π256≈0.147.(3)投中大圆之外的概率为P (A 3)＝256－36π256＝1－36π256＝1－P (A 1)≈0.558.变式迁移2 解 设x 和y 分别代表莉莉和霍伊距基地的距离，于是0≤x ≤30,0≤y ≤40.则他俩所有可能的距离的数据构成有序数对(x ，y )，这里x ，y 都在它们各自的限制范围内，则所有这样的有序数对构成的集合即为试验的全部结果，每一个点都代表莉莉和霍伊的一个特定的位置，他们可以通过对讲机交谈这一事件仅当他们之间的距离不超过25公里时发生，因此构成该事件的点由满足不等式x 2＋y 2≤25的数对组成，此不等式等价于x 2＋y 2≤625.图中，长和宽分别为40和30的矩形区域表示试验的所有结果构成的区域，以25为半径的14圆的区域表示事件发生的区域，而矩形的面积为30×40＝1 200(平方公里)，而扇形的面积为14π×252＝625π4(平方公里)，故所求事件成功的概率为P ＝625π4×1 200＝625π4 800＝25π192.例3 解 取出10毫升种子，其中“含有麦锈病种子”记为事件A ，则P (A )＝取出的种子体积所有种子体积＝101 000＝0.01.所以“含有麦锈病种子”的概率为0.01.变式迁移3 解 记“小水杯中含有这个细菌”为事件A ，则事件A 的概率只与取出水的体积有关，符合几何概型的条件，又μA ＝0.1升，μΩ＝2升，所以由几何概型的概率公式，得P (A )＝μA μΩ＝0.12＝0.05.课时作业 1．B2．A [一颗豆子落在每一点的可能性相同，是几何概型问题，设A ＝{豆子落在红色区域}，B ＝{豆子落在黄色或绿色区域}，设方桌的总面积为9，则μΩ＝9，μA ＝3，μB ＝6.∴P (A )＝39＝13，P (B )＝69＝23.]3．A [如图，由题意知点P 落在以AB 为直径的半圆内时∠APB >90°，设正方形边长为2，则μΩ＝4，μA ＝π2，∴P (A )＝π24＝π8.]4．D [如图，半圆的面积为π2，正方形的面积为14，所求概率为P ＝S 正方形S 半圆＝12π.]5．C 6.113解析 由题意得，区域D 所对应的面积是大正方形的面积S 大＝13，事件A ＝{飞镖落在阴影部分}对应的区域面积是阴影部分(小正方形)的面积，S 阴＝(13－22－2)2＝1，所以P (A )＝113.7.713 8.23解析 由|x |≤1，得－1≤x ≤1.由几何概型的概率求法知，所求的概率P ＝区间[－1，1]的长度区间[－1，2]的长度＝23.9．解如图所示，在CB 上取点M 0，使∠CAM 0＝30°，设BC ＝a ，则CM 0＝33AC ＝33BC ＝33a . 于是有P (∠CAM <30°)＝CM 0CB ＝33aa ＝33. 10．解 设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b . (1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 包含9个基本事件，故事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34.(2)试验的全部结果所构成的区域为 {(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}．构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }． 所以所求的概率为P (A )＝3×2－12×223×2＝23.。