人教b版数学必修三：3.3.1《几何概型》导学案(含答案)

§3.3随机数的含义与应用

3.3.1几何概型

自主学习

学习目标

1．通过实例体会几何概型的含义，会区分古典概型和几何概型．

2．掌握几何概型的概率计算公式，会求一些事件的概率．

自学导引

1．几何概型的概念

事件A理解为区域Ω的某一子区域A，如图，A的概

率只与子区域A的____________(长度、面积或体积)成________，而与A的________和________无关．满足以上条件的试验称为____________．

2．几何概型的概率计算公式

在几何概型中，事件A的概率定义为：________________，其中，μΩ表示________________，μA表示________________________．

对点讲练

知识点一与长度或角度有关的几何概型

例1公共汽车站每隔5 min有一辆汽车通过，乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的，求乘客候车不超过3 min的概率．

点评几何概型应用广泛，其难点是确定几何度量．本例中，设定乘客到站后开来一辆公共汽车的时刻t后，就容易写出Ω、A，这里设“t”是关键．

变式迁移1某人从东西走向的河的南岸向东北方向游去，游了100 m后没有到岸边，随后，他随意选定了一个方向继续游，求这个人游100 m之内能够到达南岸边的概率．

知识点二与面积有关的几何概型

例2在墙上挂着一块边长为16 cm的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2 cm，4 cm，6 cm，某人站在3 m之外向此板投镖．设投镖击中线上或没有投中木板都不算，可重投，问：

(1)投中大圆内的概率是多少？

(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？

(3)投中大圆之外的概率是多少？

点评在研究射击、射箭、投中、射门等实际问题时，常借助于区域的面积来计算概率的值．此时，只需分清各自区域特征，分别计算其面积，然后利用公式P(A)＝构成事件A的区域面积

来计算事件的概率．

试验的全部结果构成的区域面积

变式迁移2两个对讲机持有者莉莉和霍伊都为卡尔货运公司工作，他们的对讲机接收范围为25公里，在下午3∶00时莉莉正在基地正东距离基地30公里以内的某处向基地行驶．而此时霍伊正在基地正北距基地40公里以内的某地向基地行驶，试计算他们能够通过对讲机交谈的概率有多大？

知识点三与体积有关的几何概型问题

例3在1升高产小麦种子中混入了1粒带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，则“取出的种子中含有麦锈病的种子”的概率是多少？

点评如果试验的结果所成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的总的体积及事件A所分布的体积．其概率的计算

P (A )＝构成事件A 的区域体积

试验的全部结果构成的区域体积.

变式迁移3 有一杯2升的水，其中含有一个细菌，用一个小杯从这水中取出0.1升水，求小杯水中含有这个细菌的概率．

1．几何概型与古典概型的异同点 (1)相同点

古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的． (2)不同点

①古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个．

②在古典概型中，概率为0的事件为不可能事件，概率为1的事件是必然事件，而在几何概型中概率为0的事件可能发生，概率为1的事件不一定发生．

2．几何概型计算步骤

(1)判断是否是几何概型，尤其是判断等可能性，比古典概型更难于判断．

(2)计算基本事件的总体与事件A 所含的基本事件对应的区域的几何度量(长度、面积或体积)．这是计算的难点．

(3)利用概率公式计算.

课时作业

一、选择题

1．两根相距6 m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2 m 的概率为( )

A.12

B.13

C.14

D.16

2．一张方桌的图案如图所示，将一颗豆子随机扔到桌面上，假设豆子不落在线上，则豆子落在红色区域和落在黄色或绿色区域的概率分别是( )

A.13，23

B.13，16

C.16，13

D.23，34

3．在正方形ABCD 内任取一点P ，则使∠APB >90°的概率是( ) A.π8 B.π4

C.π

16 D.π2

4．在半径为1的半圆内，放置一个边长为1

2

的正方形ABCD ，向半圆内任投一点，落在

正方形内的概率为( )

A.12

B.14

C.14π

D.12π

5．在区间(10,20]内的所有实数中随机取一个实数a ，则这个实数a <13的概率是( ) A.13 B.17 C.310 D.710 二、填空题

6．如图所示的大正方形面积为13，四个全等的直角三角形围成一个阴影小正方形，较短的直角边长为2，向大正方形内投掷飞镖，飞镖落在阴影部分的概率为________．

7．一个游戏盘上有四种颜色：红，黄，蓝，黑，并且它们所占面积的比为6∶2∶1∶4，则指针停在红色或蓝色的区域的概率为________．

8．在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则|x |≤1的概率为________． 三、解答题 9．已知等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，在直角边BC 上任取一点M ，求∠CAM <30°的概率．

10．设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.

(1)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

(2)若a 是从区间[0,3]上任取的一个数，b 是从区间[0,2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

§3.3 随机数的含义与应用

3．3.1 几何概型