题型29：利用同构秒杀高考试题 魅力无限

高考数学核心题型与解答技巧

题型29：利用同构秒杀高考试题魅力无限发现同构、利用同构是分析能力的展现，是慧眼，关键是秒杀高考压轴试题。

例1：（高考真题）设,a b R Î，则|“a b >”是“a a b b >”的（

）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充要又不必要条件思路：观察a a b b >可发现其同构的特点，所以将这种结构设为函数()f x x x =，分析其单调性。

()22,0,0

x x f x x x x x ⎧>⎪==⎨-<⎪⎩可得()f x 为增函数。例2：若1201x x <<<，则（

）A.2121ln ln x x e e x x ->- B.1221ln ln x x e e

x x ->-C.1221x x x e x e > D.12

21x x x e x e <思路：本题从选项出发可发现，每个选项通过不等式变形将12,x x 分居在不等式两侧后都具备同构的特点，所以考虑将相同的形式构造为函数，从而只需判断函数在()0,1的单调性即可

解：。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

例3：已知函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有

()()()11xf x x f x +=+，则20152f ⎛⎫ ⎪⎝⎭

的值是（）A.0 B.1

2 C.1 D.5

2

思路：观察条件可变形为：()()11f x f x x x

+=+，从而得到等式左右的结构均为()f t t 的形式，且括号内的数间隔为1。。。。。。。。。。。。

例4【2020年高考全国I 卷理数】若242log 42log a b a b +=+，则

A ．2a b

>B ．2a b D ．2

a b <核心秘籍：依据同构思想变形。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

所以【答案】B 是不是该法特别强大！

还记得利用同构求解析几何中切点弦方程吗？

利用同构获得（可以找圆锥曲线部分专题）

例5：如图，设点()

00

,

P x y在直线()

,01,

x m y m m m

=≠±<<且为常数

上，过点P作双曲线221

x y-=的两条切线,

PA PB，切点为,A B，求证：

直线AB过某一个定点

思路：先迅速获得AB方程，后面就易于反掌。

例6：

迎难而上，才是真

正的勇士！

利用同构得到

2

x

121

x e x ln x

=⇒=

核心秘籍：利用导数可知f(x)的单调性情况，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。下面构造函数h(k)=2k

k e(k<0)利用导数知识可得max24

h(k)h(2)

e

=-=

例7：

利用同构构造函数

依据单调性进行分类讨论即可。

核心秘籍：

方法有。。。。。。。。。。。。。。。。。。

例8.

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

例9：

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

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3.已知函数()()2

ln f x x a x x =+--在0x =处取得极值（1）求实数a 的值

（2）证明：对于任意的正整数n ，不等式23412ln(1)49n n n ++

+++>+ 都成立解：（1）()'121f x x x a =--+0x = 为()f x 的极值点()'10101f a a ∴=-=⇒=（2）思路：联想所证不等式与题目所给函数的联系，会发现在()()2

ln 1f x x x x =+--中，存在对

数，且左边数列的通项公式

2

2

111

n

n

a

n n n

+⎛⎫

==+ ⎪

⎝⎭

也具备()

f x项的特征，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

这是解答数列问题中的应用。