计算方法 常微分方程初值问题数值解法-Euler公式-龙格-库塔法
微分方程的数值解法
微分方程的数值解法微分方程是自然科学和现代技术领域中一种最基本的数学描述工具，它可以描述物理世界中的各种现象。
微分方程的解析解往往很难求出，因此数值解法成为解决微分方程问题的主要手段之一。
本文将介绍几种常见的微分方程的数值解法。
一、欧拉法欧拉法是微分方程初值问题的最简单的数值方法之一，它是由欧拉提出的。
考虑一阶常微分方程：$y'=f(t,y),y(t_0)=y_0$其中，$f(t,y)$表示$y$对$t$的导数，则$y(t_{i+1})=y(t_i)+hf(t_i,y_i)$其中，$h$为步长，$t_i=t_0+ih$，$y_i$是$y(t_i)$的近似值。
欧拉法的精度较低，误差随着步长的增加而增大，因此不适用于求解精度要求较高的问题。
二、改进欧拉法改进欧拉法又称为Heun方法，它是由Heun提出的。
改进欧拉法是在欧拉法的基础上进行的改进，它在每个步长内提高求解精度。
改进欧拉法的步骤如下：1. 根据当前$t_i$和$y_i$估算$y_{i+1}$:$y^*=y_i+hf(t_i,y_i),t^*=t_i+h$2. 利用$y^*$和$t^*$估算$f(t^*,y^*)$:$f^*=f(t^*,y^*)$3. 利用$y_i$、$f(t_i,y_i)$和$f^*$估算$y_{i+1}$:$y_{i+1}=y_i+\frac{h}{2}(f(t_i,y_i)+f^*)$改进欧拉法具有比欧拉法更高的精度，但是相较于其他更高精度的数值方法，它的精度仍然较低。
三、龙格-库塔法龙格-库塔法是一种广泛使用的高精度数值方法，它不仅能够求解一阶和二阶常微分方程，还能够求解高阶常微分方程和偏微分方程。
其中，经典的四阶龙格-库塔法是最常用的数值方法之一。
四阶龙格-库塔法的步骤如下：1. 根据当前$t_i$和$y_i$估算$k_1$:$k_1=f(t_i,y_i)$2. 根据$k_1$和$y_i$估算$k_2$:$k_2=f(t_i+\frac{h}{2},y_i+\frac{h}{2}k_1)$3. 根据$k_2$和$y_i$估算$k_3$:$k_3=f(t_i+\frac{h}{2},y_i+\frac{h}{2}k_2)$4. 根据$k_3$和$y_i$估算$k_4$:$k_4=f(t_i+h,y_i+hk_3)$5. 根据$k_1$、$k_2$、$k_3$和$k_4$计算$y_{i+1}$:$y_{i+1}=y_i+\frac{h}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)$龙格-库塔法的精度较高，在求解一些对精度要求较高的问题时，龙格-库塔法是一个比较好的选择。
常微分方程数值解法-欧拉法、改进欧拉法与四阶龙格库塔法常微分方程数值解法
y( xn1)
y( xn
Байду номын сангаас
h)
y(xn )
hy'( xn )
h2 2!
y''( )
进一步: 令
h2 y( xn ) hy'( xn ) 2! y''( xn )
常微分方 yn1 y( xn1 ) , yn y( xn )
程数值解
法-欧拉法 yn1 yn hf ( xn , yn ) h2
、改进欧 y( xn1 ) yn1
2
max y''( x)
a xb
拉法和四
三、Euler方法
已 知 初 值 问 题 的 一 般 形式 为:
dy
dx
f (x, y)
a xb
(1)
y( x0 ) y0
常微分方 用差商近似导数 程数值解 问题转化为
yn1 yn dy
h
dx
法-欧拉法 yn1 yn hf ( xn , yn )
法-欧 y(拉0) 法1
、改进欧
拉法和四
四、几何意义
由 x0 , y0 出发取解曲线 y yx 的切线（存在！），则斜率
dy
f x0, y0
dx x y
,
0
0
常微分方 由于 f x0, y0 及 x0, y0 已知，必有切线方程。
由点斜式写出切程线方数程：值解
法、-改欧进拉欧法 ddxy y y0 x x0
常微分方 程数值解 能用解析方法求出精确解的微分方程为数不多,
而且有的方程即使有解析解,也可能由于解的表达
法-欧拉法 式非常复杂而不易计算,因此有必要研究微分方程
欧拉法与龙格库塔法比较分析
欧拉法与龙格库塔法比较分析解微分方程的欧拉法，龙格-库塔法简单实例比较欧拉方法(Euler method)用以对给定初值的常微分方程(即初值问题)求解分为前EULER法、后退EULER法、改进的EULER法。
缺点:欧拉法简单地取切线的端点作为下一步的起点进行计算，当步数增多时，误差会因积累而越来越大。
因此欧拉格式一般不用于实际计算。
改进欧拉格式(向前欧拉公式):为提高精度，需要在欧拉格式的基础上进行改进。
采用区间两端的斜率的平均值作为直线方程的斜率。
改进欧拉法的精度为二阶。
算法:微分方程的本质特征是方程中含有导数项，数值解法的第一步就是设法消除其导数值。
对于常微分方程:dy,fxy(,)xab,[,] dxyay(), 0'可以将区间分成段，那么方程在第点有，再用n[,]abyxfxyx()(,()),xiiii 向前差商近似代替导数则为:((1)())yxyx，,ii,fxyx(,()) iihh在这里，是步长，即相邻两个结点间的距离。
因此可以根据点和的数xyii值计算出来: yi，1yyhfxy,，，(,)iL,0,1,2,？ iiii，1这就是向前欧拉公式。
改进的欧拉公式:将向前欧拉公式中的导数改为微元两端导数的平均，即上式便是梯形的fxy(,)ii欧拉公式。
可见，上式是隐式格式，需要迭代求解。
为了便于求解，使用改进的欧拉公式: 数值分析中，龙格,库塔法(Runge-Kutta)是用于模拟常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法。
实际上，龙格-库塔法是欧拉方法的一种推广，向前欧拉公式将导数项简单取为,而改进的欧拉公式将导数项取为两端导数fxy(,)nn 的平均。
龙格-库塔方法的基本思想:在区间内多取几个点，将他们的斜率加权平均，作为导数的近似。
[,]xxnn，1龙格库塔法的家族中的一个成员如此常用，以至于经常被称为“RK4”或者就是“龙格库塔法”。
令初值问题表述如下。
'yty(),yfty,(,) 00则，对于该问题的RK4由如下方程给出:h,，，，，(22)yykkkk nn，112346其中kfty,(,) 1nnhh(,)kftyk,，， 21nn22hh(,)kftyk,，， 32nn22kfthyhk,，，(,) 43nnh这样，下一个值由现在的值加上时间间隔和一个估算的斜率的乘积决yyn，1n定。
求常微分方程的数值解
求常微分方程的数值解一、背景介绍常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）是描述自然界中变化的数学模型。
常微分方程的解析解往往难以求得，因此需要寻找数值解来近似地描述其行为。
求解常微分方程的数值方法主要有欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法等。
二、数值方法1. 欧拉法欧拉法是最简单的求解常微分方程的数值方法之一。
它基于导数的定义，将微分方程转化为差分方程，通过迭代计算得到近似解。
欧拉法的公式如下：$$y_{n+1}=y_n+f(t_n,y_n)\Delta t$$其中，$y_n$表示第$n$个时间步长处的函数值，$f(t_n,y_n)$表示在$(t_n,y_n)$处的导数，$\Delta t$表示时间步长。
欧拉法具有易于实现和理解的优点，但精度较低。
2. 改进欧拉法（Heun方法）改进欧拉法又称Heun方法或两步龙格-库塔方法，是对欧拉法进行了精度上提升后得到的一种方法。
它利用两个斜率来近似函数值，并通过加权平均来计算下一个时间步长处的函数值。
改进欧拉法的公式如下：$$k_1=f(t_n,y_n)$$$$k_2=f(t_n+\Delta t,y_n+k_1\Delta t)$$$$y_{n+1}=y_n+\frac{1}{2}(k_1+k_2)\Delta t$$改进欧拉法比欧拉法精度更高，但计算量也更大。
3. 龙格-库塔法（RK4方法）龙格-库塔法是求解常微分方程中最常用的数值方法之一。
它通过计算多个斜率来近似函数值，并通过加权平均来计算下一个时间步长处的函数值。
RK4方法是龙格-库塔法中最常用的一种方法，其公式如下：$$k_1=f(t_n,y_n)$$$$k_2=f(t_n+\frac{\Delta t}{2},y_n+\frac{k_1\Delta t}{2})$$ $$k_3=f(t_n+\frac{\Delta t}{2},y_n+\frac{k_2\Delta t}{2})$$ $$k_4=f(t_n+\Delta t,y_n+k_3\Delta t)$$$$y_{n+1}=y_n+\frac{1}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)\Delta t$$三、数值求解步骤对于给定的常微分方程，可以通过以下步骤求解其数值解：1. 确定初值条件：确定$t=0$时刻的函数值$y(0)$。
常微分方程的数值解法(欧拉法、改进欧拉法、泰勒方法和龙格库塔法)
［例1］用欧拉方法与改进的欧拉方法求初值问题h 的数值解。
在区间[0,1]上取0.1［解］欧拉方法的计算公式为x0=0;y0=1;x(1)=0.1;y(1)=y0+0.1*2*x0/(3*y0^2);for n=1:9x(n+1)=0.1*(n+1);y(n+1)=y(n)+0.1*2*x(n)/(3*y(n)^2);end;xy结果为x =Columns 1 through 80.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 Columns 9 through 100.9000 1.0000y =Columns 1 through 81.0000 1.0067 1.0198 1.0391 1.0638 1.0932 1.1267 1.1634 Columns 9 through 101.2028 1.2443改进的欧拉方法其计算公式为本题的精确解为()y x=x0=0;y0=1;ya(1)=y0+0.1*2*x0/(3*y0^2);y(1)=y0+0.05*(2*x0/(3*y0^2)+2*x0/(3*ya^2));for n=1:9x(n+1)=0.1*(n+1);ya(n+1)=ya(n)+0.1*2*x(n)/(3*ya(n)^2);y(n+1)=y(n)+0.05*(2*x(n)/(3*y(n)^2)+2*x(n+1)/(3*ya(n+1)^2));end;xy结果为x =Columns 1 through 80.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 Columns 9 through 100.9000 1.0000y =Columns 1 through 81.0000 1.0099 1.0261 1.0479 1.0748 1.1059 1.1407 1.1783 Columns 9 through 101.2183 1.2600［例2］用泰勒方法解x＝0.1, 0.2, …, 1.0处的数值解，并与精确解进行比较。
计算方法 常微分方程初值问题数值解法-Euler公式-龙格-库塔法
yi1
1 2
(y p
yc)
i 0,1, 2 … , n 1
(9.12)
例9.2 用改进欧拉法解初值问题
y
y
2x y
y(0) 1
区间为0,1，取步长 h=0.1
解:
改进欧拉法公式
y p
yi
0.1(yi
2xi ) yi
课堂练习： x0 = 0, y0 = 1 计算出
欧拉公式的截断误差推导：
在欧拉公式中，假定 yi y(x i ) (近似地相等)，则有
yi1 y(x i ) h[f(x i , y(x i ))] y(x i ) hy(xi ) (a)
而将真解y(x)在xi处按二阶泰勒展开，得
y(x i1 )
y(x i ) hy(xi )
h2 2!
y(x0 ) f(x 0 , y0 )
Pn
y
P1(x1 , y1)
P2(x2 , y2)
y=y(x)
Pi(xi , yi) Pi+1(xi+1 , yi+1) y(xn)
P0 y(x0) y(x1)
y(x2) y(xi)
y(xi+1)
x0 x1
x2 xi
xi+1
xn
直线 P0P1 的方程为： y y0 f(x 0 , y0 )(x x0 )
(9.5)式的右端含有未知的yi+1,它是一个关于yi+1的函 数方程,这类数值方法称为隐式方法。相反地,欧拉法 是显式方法。
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两步Euler公式
9.2.3 两步欧拉公式
2个区间
对方程 y f( x,y) 两端在区间 [xi1, xi1] 上积分得
微分方程求解的后退欧拉法、龙格库塔法
1.对于后退欧拉法：
利用
(0)
yn1
(k 1)
yn1
yn
yn
hf
hf
(
xn , yn ) (xn1, yn1
)
及其精确解 y x 2 e x2
进行迭代求解可以完成计算
需要将微分方程表达式和精度计算表达式作为两个函数保存在 m 文件里并在程序
中调用：
第1页共6页
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资0配不料置仅试技可卷术以要是解求指决，机吊对组顶电在层气进配设行置备继不进电规行保范空护高载高中与中资带资料负料试荷试卷下卷问高总题中体2资2配，料置而试时且卷，可调需保控要障试在各验最类；大管对限路设度习备内题进来到行确位调保。整机在使组管其高路在中敷正资设常料过工试程况卷中下安，与全要过，加度并强工且看作尽护下可关都能于可地管以缩路正小高常故中工障资作高料；中试对资卷于料连继试接电卷管保破口护坏处进范理行围高整，中核或资对者料定对试值某卷，些弯审异扁核常度与高固校中定对资盒图料位纸试置，卷.编保工写护况复层进杂防行设腐自备跨动与接处装地理置线，高弯尤中曲其资半要料径避试标免卷高错调等误试，高方要中案求资，技料编术试写5交、卷重底电保要。气护设管设装备线备置4高敷、调动中设电试作资技气高，料术课中并3试中、件资且卷包管中料拒试含路调试绝验线敷试卷动方槽设技作案、技术，以管术来及架避系等免统多不启项必动方要方式高案，中；为资对解料整决试套高卷启中突动语然过文停程电机中气。高课因中件此资中，料管电试壁力卷薄高电、中气接资设口料备不试进严卷行等保调问护试题装工，置作合调并理试且利技进用术行管，过线要关敷求运设电行技力高术保中。护资线装料缆置试敷做卷设到技原准术则确指：灵导在活。分。对线对于盒于调处差试，动过当保程不护中同装高电置中压高资回中料路资试交料卷叉试技时卷术，调问应试题采技，用术作金是为属指调隔发试板电人进机员行一，隔变需开压要处器在理组事；在前同发掌一生握线内图槽部纸内故资，障料强时、电，设回需备路要制须进造同行厂时外家切部出断电具习源高题高中电中资源资料，料试线试卷缆卷试敷切验设除报完从告毕而与，采相要用关进高技行中术检资资查料料和试，检卷并测主且处要了理保解。护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
常微分方程的数值求解
常微分方程的数值求解在数学中，常微分方程是一类重要的数学模型，通常用来描述物理、化学、生物等自然现象中的变化规律。
对于一些复杂的微分方程，无法通过解析方法进行求解，这时候就需要借助数值方法来近似求解。
本文将介绍常微分方程的数值求解方法及其应用。
一、数值求解方法常微分方程的数值求解方法主要包括欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等。
欧拉法是最简单也是最常用的数值求解方法，其基本思想是根据微分方程的导数近似求解下一个时间步上的解，并通过逐步迭代来得到整个解的数值近似。
改进的欧拉法在欧拉法的基础上做出了一定的修正，提高了数值求解的精度。
而龙格-库塔法则是一种更加精确的数值求解方法，通过考虑多个点的斜率来进行求解，从而减小误差。
二、应用领域常微分方程的数值求解方法在科学研究和工程实践中有着广泛的应用。
在物理学中，通过数值求解微分方程可以模拟天体运动、粒子运动等现象；在生物学领域，可以模拟生物种群的增长和变化规律；在工程领域，可以通过数值求解微分方程来设计控制系统、优化结构等。
三、实例分析以一个简单的一阶常微分方程为例：dy/dx = -y，初始条件为y(0) = 1。
我们可以用欧拉法来进行数值求解。
将时间间隔取为0.1，通过迭代计算可以得到y(1)的近似值为0.367。
而利用改进的欧拉法或者龙格-库塔法可以得到更加精确的数值近似。
这个例子展示了数值方法在解决微分方程问题上的有效性。
四、总结常微分方程是求解自然界中变化规律的重要数学工具，而数值方法则是解决一些难以解析求解的微分方程的有效途径。
通过本文的介绍，读者可以了解常微分方程的数值求解方法及其应用，希望可以对相关领域的研究和实践有所帮助。
至此，关于常微分方程的数值求解的文章正文部分结束。
四阶龙格-库塔法求解常微分方程的初值问题
1. 算法原理 龙格—库塔法是一种求其准确解 y( x) 在一系列点 xi 处 y ( xi ) 的近似值 yi 的方 法， yi 称为数值解。 经典的四阶龙格—库塔公式为：
K1 hf ( xi , yi ) K 2 hf ( xi h , yi 1 K1 ) 2 2 h 1 K 3 hf ( xi , yi K 2 ) 2 2 K 4 hf ( xi h, yi K 3 ) yi 1 yi 1 ( K1 2 K 2 2 K 3 K 4 ) 6
2. 程序框图
开始
输入函数 f ，初始点 x0，初始向量 y0，步 长 h， 矩阵的等分数 N
N
xi = x0 ih
计算 K1，K2，K3，
i=i+1 否
K4，yi+1
i=N
是
输出一系列点 xi 和 对应的数值解 yi
结束
3. 程序使用说明 本程序使用 MATLAB 利用四阶龙格—库塔法来求解常微分方程的初值问题。 源程序文件 “RK.m”为龙格—库塔法的源程序，x为一系列点 xi = x0 ih 组成 的向量，y为数值解 yi 组成的矩阵，f为1阶微分方程的函数，x0为初始点，y0为 初始向量（列向量） ，h为步长，N为矩阵的等分数。 输入1阶微分方程的函数f，初始点x0，初始向量y0，步长h，矩阵的等分数N 后， 在命令窗口输入[x,y]=RK(f,x0,y0,h,N)， 回车后即可算出一系列点 xi 和对应的 数值解 yi 。 源程序文件 “RK2.m”是计算实习 9.2 算例的程序， 直接运行后， 在命令窗口 输入 t1，t2，回车后即可得到算例结果，其中 t1 表示 y (1) 的近似值，t2 表示 y (1) 的精确值。 4. 算例计算结果 此算例为课本 304 页计算实习 9.2. 将算例的高阶常微分方程转化为如下一阶微分方程组。
常微分方程的数值解法
常微分方程的数值解法常微分方程是研究变量的变化率与其当前状态之间的关系的数学分支。
它在物理、工程、经济等领域有着广泛的应用。
解常微分方程的精确解往往十分困难甚至不可得，因此数值解法在实际问题中起到了重要的作用。
本文将介绍常见的常微分方程的数值解法，并比较其优缺点。
1. 欧拉方法欧拉方法是最简单的数值解法之一。
它基于近似替代的思想，将微分方程中的导数用差商近似表示。
具体步骤如下：（1）确定初始条件，即问题的初值。
（2）选择相应的步长h。
（3）根据微分方程的定义使用近似来计算下一个点的值。
欧拉方法的计算简单，但是由于误差累积，精度较低。
2. 改进欧拉方法为了提高欧拉方法的精度，改进欧拉方法应运而生。
改进欧拉方法通过使用两个点的斜率的平均值来计算下一个点的值。
具体步骤如下：（1）确定初始条件，即问题的初值。
（2）选择相应的步长h。
（3）根据微分方程的定义使用近似来计算下一个点的值。
改进欧拉方法相较于欧拉方法而言，精度更高。
3. 龙格-库塔法龙格-库塔法（Runge-Kutta）是常微分方程数值解法中最常用的方法之一。
它通过迭代逼近精确解，并在每一步中计算出多个斜率的加权平均值。
具体步骤如下：（1）确定初始条件，即问题的初值。
（2）选择相应的步长h。
（3）计算各阶导数的导数值。
（4）根据权重系数计算下一个点的值。
与欧拉方法和改进欧拉方法相比，龙格-库塔法的精度更高，但计算量也更大。
4. 亚当斯法亚当斯法（Adams）是一种多步法，它利用之前的解来近似下一个点的值。
具体步骤如下：（1）确定初始条件，即问题的初值。
（2）选择相应的步长h。
（3）通过隐式或显式的方式计算下一个点的值。
亚当斯法可以提高精度，并且比龙格-库塔法更加高效。
5. 多步法和多级法除了亚当斯法，还有其他的多步法和多级法可以用于解常微分方程。
多步法通过利用多个点的值来逼近解，从而提高精度。
而多级法则将步长进行分割，分别计算每个子问题的解，再进行组合得到整体解。
常微分方程初值问题的数值解法中三种算法的比较
常微分方程初值问题的数值解法中三种算法的比较
常微分方程初值问题的数值解法是数学分析中的一个重要的研究内容，众多的
算法都有助于我们更好地求解一般的初值问题，在这里我们将介绍常微分方程初值问题的三种基本算法，它们是欧拉法、改进欧拉法以及四阶龙格-库塔法。
欧拉法是常微分方程初值问题中最常用的算法，他是一种简洁而又灵活的方法，其基本思想是根据给定的常微分方程和初值，通过积分形式求解精确解，此方法解决的问题比较简单，但它的误差公式与时间步长的N次方有关，误差较大，而且容易出现严重的误差误差，当时间步长To增大时会出现误差振荡。
改进欧拉法是弥补欧拉法缺陷的一种优化算法，它使用线性插值，代替欧拉法
用积分形式计算出来的结果，从而更准确地求出结果，且误差降低，由于它对动态系统的误差有一定的抑制，使得它的运算误差相对于欧拉法是高准确度的，但在某些特殊情况下仍然可能出现误差波动的情况。
四阶龙格-库塔法是在现实生活中最常用的数值解法。
它把问题分解成5种不
同形式的积分公式，并分别交由5个层次的方法来解决，仔细把握每一步的运算，把数值舍入后再运算，虽然该法运算量大，但它的准确性更高，误差相对于其它两种方法要小得多，且具有良好的精度稳定性，具有很好的鲁棒性和适应性，可以很好地用于对解初值问题作出估计和预测。
综上，这三种数值解法都有自身的特点，欧拉法计算简单，但误差较大；改进
欧拉法的精度和误差抑制能力更强；四阶龙格-库塔法的算术精度更高，出现误差
波动的概率最低，在可靠性方面更加准确。
因此，应用的时机对于三种算法的选择就显得尤为重要。
初值问题与解方法
初值问题与解方法初值问题是数学中的一个重要概念，它涉及到微分方程的解的初始条件。
解决初值问题的方法有多种，本文将介绍几种常用的解法，并讨论它们的适用性和优缺点。
一、欧拉法（Euler's method）欧拉法是一种较为简单的数值解法，通过逐步逼近微分方程的解。
它的基本思想是将时间和空间分割成小的步长，并用线性逼近的方式求解微分方程。
欧拉法的计算公式为：y_{n+1} = y_n + h * f(t_n, y_n)其中，y_{n+1} 是下一个时间步长上的解，y_n 是当前时间步长上的解，h 是步长（时间或空间），f(t_n, y_n) 是微分方程的右端函数。
欧拉法的优点是简单易懂、计算量小。
然而，它的精度较低，对于具有较大步长或非线性的微分方程，可能会产生较大的误差。
二、改进的欧拉法（Improved Euler's method）改进的欧拉法是对欧拉法的一种改进方法，通过增加一个中间点的计算来提高精度。
改进的欧拉法的计算公式为：y_{n+1} = y_n + (h/2) * (f(t_n, y_n) + f(t_{n+1}, y_n + h * f(t_n, y_n)))改进的欧拉法通过使用两个不同的斜率来进行计算，提高了解的逼近精度。
相比于欧拉法，改进的欧拉法的精度更高，误差较小。
三、龙格-库塔方法（Runge-Kutta methods）龙格-库塔方法是一类常用的数值解法，包括一阶、二阶、四阶等不同精度的方法。
其中，最常用的是四阶龙格-库塔方法。
四阶龙格-库塔方法的计算公式为：k_1 = h * f(t_n, y_n)k_2 = h * f(t_n + h/2, y_n + k_1/2)k_3 = h * f(t_n + h/2, y_n + k_2/2)k_4 = h * f(t_n + h, y_n + k_3)y_{n+1} = y_n + (k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)/6四阶龙格-库塔方法通过使用多个斜率进行逼近，进而提高了解的精度。
微分方程的常用数值解法
微分方程的常用数值解法摘要：微分方程是数学中的一种重要的方程类型，它能描述自然现象和工程问题中的许多变化规律。
但是大多数微分方程解法是无法用解析的方式求解的，因此需要借助数值解法来近似求解。
本文将介绍微分方程的常用数值解法。
关键词：欧拉方法；龙格-库塔方法；微分方程；常用数值解法一、微分方程数值解方法微分方程数值解法是数学中的重要部分。
欧拉方法、龙格-库塔方法和二阶龙格-库塔方法是常用的微分方程数值解法，下面就分别介绍这三种方法。
（一）欧拉方法欧拉方法是解初值问题的一种简单方法，它是欧拉用的第一种数值方法，也叫向前欧拉法。
欧拉方法是利用微分方程的定义式y’=f(x, y)，将它带入微分方程初值问题y（x_0）=y_0中，以y_0为初始解，在每一步上通过沿着切线的方法进行估计并推进新的解y_{i+1}：y_i+1=y_i+hf(x_i,y_i)其中，x_i和y_i是我们知道的初始条件，h是求解过程中的步长，f是微分方程右端项。
它是一种时间迭代的算法，易于实现，但存在着精度不高的缺点。
（二）龙格-库塔方法龙格-库塔方法是一种经典迭代方法，也是近代微分方程数值解法发展的里程碑之一。
龙格-库塔方法的主要思想是利用规定的阶码及阶向量，通过递推求解微分方程数值解的近似值。
龙格-库塔方法的方式不同，其步骤如下：第一步：根据微分方程，计算出在x_i和y_i的值。
第二步：在x_i处对斜率进行估计，并利用这个斜率来求解下一步所需的y_i+1值。
第三步：使用x_i和y_i+1的值来重新估计斜率。
第四步：使用这个新的斜率来更新y_i+1的值。
（三）二阶龙格-库塔方法二阶龙格-库塔方法是龙格-库塔方法的一种变体，它根据龙格-库塔方法的思想，使用更好的步长来提高数值解的精度。
二阶龙格-库塔方法的基本思路是，在第一次迭代时使用一个阶段小一半的y_i+1，然后使用这个估算值来计算接下来的斜率。
通过这种方法，可以提高解的精度。
二阶龙格-库塔方法的步骤如下：第一步：计算出初始阶段的y_i+1值。
常微分方程初值问题数值解法龙格库塔
实验八 常微分方程初值问题数值解法【实验内容】科学计算中经常遇到微分方程（组）初值问题，需要利用Euler 法，改进Euler 法，Rung-Kutta 方法求其数值解，诸如以下问题：402(0)1x y xy y x y ⎧'=-⎪<≤⎨⎪=⎩分别取h=0.1,0.2,0.4时数值解。
初值问题的精确解y =【实验前的预备知识】1、 熟悉各种初值问题的算法；2、 明确各种算法的精度与所选步长有密切关系；3、 通过计算更加了解各种算法的优越性。
【实验方法或步骤】1、 根据初值问题数值算法，编程计算；2、 试分别取不同步长，考察某节点j x 处数值解的误差变化情况；3、 试用不同算法求解某初值问题，结果有何异常；4、 分析各个算法的优缺点。
【实验过程】1、402(0)1x y xy y x y ⎧'=-⎪<≤⎨⎪=⎩分别取h=0.1,0.2,0.4时数值解。
初值问题的精确解y =解：四阶Rung-Kutta方法求解：（1）、步长为0.1时的运行结果：（2）、步长为0.2时的结果：（3）步长为0.4的结果：【四阶Rung-Kutta方法程序】:#include<stdio.h>#include<math.h>#define f(x,y)( 4*x / y-x*y)int main(){int m;int i;double a,b,y0;double xn,yn,yn1;double k1,k2,k3,k4;double h;printf("\nInput the begin and end of x:");scanf("%lf%lf",&a,&b);printf("nInput the y value at %f:",a);scanf("%lf",&y0);printf("nInput m value[divide(%f,%f)]:",a,b); scanf("%d",&m);if(m<=0){printf("Please input a number larger than 1.\n"); return 1;}h=(b-a)/m;xn=a;yn=y0;for(i=1;i<=m;i++){k1=f(xn,yn);k2=f((xn+h/2),(yn+h*k1/2));k3=f((xn+h/2),(yn+h*k2/2));k4=f((xn+h),(yn+h*k3));yn1=yn+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);xn+=h;printf("x%d=%f,y%d=%f\n",i,xn,i,yn1)；yn=yn1;}scanf("%lf",yn);}（2）用r=3的Adams 显式和预 - 校式求解2210(1)0y x y x y '⎧=--≤≤⎨-=⎩取步长h=0.1，用四阶标准R-K 方法求值。
龙格库塔法和欧拉法求解微分方程的比较
龙格库塔法和欧拉法求解微分方程的比较龙格库塔法和欧拉法是常用的数值求解微分方程的方法。
它们在数学和工程领域广泛应用，具有各自的优缺点。
本文将比较这两种方法，分析它们的特点和适用范围。
我们来介绍一下龙格库塔法。
龙格库塔法是一种迭代法，通过多次迭代来逼近微分方程的解。
它的基本思想是将微分方程的解看作是一系列离散点的函数值，通过不断迭代来逼近真实解。
龙格库塔法的优点是精度高，适用于求解复杂的微分方程。
它的缺点是计算量大，迭代次数较多，计算速度相对较慢。
接下来，我们来介绍欧拉法。
欧拉法是一种简单而直观的数值求解方法。
它的基本思想是通过微分方程的导数来逼近微分方程的解。
欧拉法的优点是计算速度快，迭代次数较少。
它的缺点是精度较低，适用范围相对较窄。
那么，我们该如何选择使用龙格库塔法还是欧拉法呢？这取决于我们对精度和计算速度的要求。
如果我们对精度要求较高，可以选择龙格库塔法；如果我们对计算速度要求较高，可以选择欧拉法。
当然，这并不是绝对的，根据具体问题的复杂程度和计算资源的限制，我们可以灵活选择使用不同的方法。
除了精度和计算速度之外，我们还需要考虑数值稳定性的问题。
龙格库塔法在数值稳定性方面表现更好，适用于求解一些数值不稳定的微分方程。
而欧拉法在数值稳定性方面相对较差，适用于求解一些数值稳定的微分方程。
在实际应用中，我们可以根据问题的具体要求和条件来选择使用龙格库塔法还是欧拉法。
如果我们需要求解复杂的微分方程，且对精度要求较高，可以选择龙格库塔法；如果我们需要求解简单的微分方程，且对计算速度要求较高，可以选择欧拉法。
龙格库塔法和欧拉法是常用的数值求解微分方程的方法。
它们各有优缺点，适用于不同的问题和要求。
我们可以根据具体情况来选择使用不同的方法，以求得更好的数值解。
希望本文对读者们对龙格库塔法和欧拉法的比较有所帮助。
微分方程常用的两种数值解法欧拉方法和龙格库塔法
微分方程常用的两种数值解法欧拉方法和龙格库塔法微分方程是数学中重要的概念之一，用于描述变化率的关系。
通常情况下，微分方程很难通过解析方法求解，因此需要借助于数值解法。
欧拉方法和龙格库塔法是常用的数值解微分方程的方法。
欧拉方法（Euler's method）是数值解微分方程的最简单的方法之一、通过将微分方程转化为差分方程来求得数值解。
欧拉方法的基本思想是将微分方程的导数近似为取定步长的差商，从而得到离散的逼近解。
具体步骤如下：1.确定微分方程和初始条件。
2.设定步长h，确定求解的区间。
3.将微分方程转化为差分方程，即利用导数的定义将微分项近似为差商。
4.使用迭代公式进行计算，得到逼近解。
欧拉方法的基本迭代公式为：yn+1 = yn + h * f(xn, yn)其中，xn和yn分别代表当前的自变量和因变量的值，h为步长，f(xn, yn)为微分方程右端项关于自变量和因变量的函数，yn+1为逼近解的新值。
欧拉方法的优点是简单易懂，易于实现；缺点是由于使用一阶近似，误差较大，尤其在步长较大时会造成较大的误差。
龙格库塔法（Runge-Kutta method）是一种更高阶的数值解微分方程的方法。
与欧拉方法不同，龙格库塔法使用多次逼近的方式，从而得到更精确的数值解。
具体步骤如下：1.确定微分方程和初始条件。
2.设定步长h，确定求解的区间。
3.根据龙格库塔法的具体阶数，确定迭代公式。
4.使用迭代公式进行计算，得到逼近解。
龙格库塔法的基本迭代公式为：yn+1 = yn + (1/6) * (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4)其中，k1 = h * f(xn, yn)k2 = h * f(xn + (h/2), yn + (k1/2))k3 = h * f(xn + (h/2), yn + (k2/2))k4 = h * f(xn + h, yn + k3)龙格库塔法通过多次迭代计算，利用更高阶的近似方式，可以得到较高精度的数值解。
龙格库塔法和欧拉法求解微分方程的比较
龙格库塔法和欧拉法求解微分方程的比较龙格库塔法和欧拉法是数值解微分方程常用的两种方法，它们在求解微分方程时具有不同的特点和优劣势。
本文将对这两种方法进行比较，分析其适用范围和数值稳定性，并结合实例说明其应用。
龙格库塔法（Runge-Kutta method）是一种经典的数值解微分方程的方法，可以较为精确地求解一阶或高阶的常微分方程。
其核心思想是将微分方程转化为一组差分方程，通过迭代计算逼近真实解。
龙格库塔法的主要特点是精度较高，可以达到四阶甚至更高的精度。
它的基本思路是通过计算初始点和中间点的斜率来估计下一个点的值，从而逼近真实解。
因此，龙格库塔法的计算量较大，但精度较高，适用于需要较高精度的求解问题。
欧拉法（Euler method）是最简单常用的数值解微分方程的方法，可以求解一阶常微分方程。
欧拉法的核心思想是将微分方程转化为差分方程，通过迭代计算逼近真实解。
欧拉法的主要特点是简单易实现，计算量较小。
它的基本思路是根据初始点处的斜率来估计下一个点的值，从而逼近真实解。
然而，欧拉法的精度较低，只有一阶精度，容易积累较大的误差。
因此，欧拉法适用于对精度要求不高的简单求解问题。
对比龙格库塔法和欧拉法的特点，可以得出以下结论：1.精度比较：龙格库塔法的精度较高，可以达到四阶或更高的精度；而欧拉法的精度较低，只有一阶精度。
因此，在对精度要求较高的情况下，应优先选择龙格库塔法。
2.计算量比较：龙格库塔法的计算量较大，需要计算多个中间点的斜率；而欧拉法的计算量较小，只需要计算一个初始点的斜率。
因此，在计算量要求较高的情况下，可以选择欧拉法。
3.数值稳定性比较：龙格库塔法具有较好的数值稳定性，可以适应较大的步长；而欧拉法的数值稳定性较差，需要选取较小的步长才能保证结果的稳定性。
因此，在数值稳定性要求较高的情况下，应优先选择龙格库塔法。
下面通过一个具体的例子来说明龙格库塔法和欧拉法的应用。
假设有一个一阶常微分方程 dy/dx = x + y，初始条件为 y(0) = 1。
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[xi , xi 1 ]上积分得，
y(xi 1 ) y(xi )
xi 1
xi
f[x, y(x)]dx
(9.4 )
改用梯形方法计算其积分项，即
xi 1
x i 1 x i [f(x i , y(x i )) f(x i 1 , y(x i 1 ))] 2
xi
f[x, y(x)]dx
0 1 n1 n
… , y(xn ) (未知) 处的函数值 y(x 0 ), y(x1 ),
, yn 的近似值 y 0 , y1 ,…
y=y(x)
a=x0 x1
x2
x3
xn=b
• 相邻两个节点的间距 h xi 1 xi 称为步长，
步长可以相等，也可以不等。
• 本章总是假定h为定数，称为定步长，这时节 点可表示为
第9章 常微分方程初值问题数值解法
§9.1 引言
包含自变量、未知函数及未知函数的导数的方程称 为微分方程。
自变量个数只有一个的微分方程称为常微分方 程。
微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数 称为微分方程的阶数。 如果未知函数y及其各阶导数
y, y, … , y
(n)
都是一次的,则称其为线性的,否则称为非线性的。
• 如下是一些典型方程求解析解的基本方法 可分离变量法、 常系数齐次线性方程的解法、 常系数非齐次线性方程的解法等。
• 但能求解的常微分方程仍然是很少的，大多数
的常微分方程是不可能给出解析解。例如，一
阶微分方程
y x y
2
2
的解就不能用初等函数及其积分来表达。
• 从实际问题当中归纳出来的微分方程，通常主 要依靠数值解法来解决。 • 本章主要讨论一阶常微分方程初值问题
y2 y1 f(x 1 , y1 )(x 2 x1 )
由此获得了P2的坐标。
重复以上过程, 对已求得点 Pi (xi , yi ) ,以 y(xi ) f(x i , yi ) 为（近似）斜率作直线
y yi f(x i , yi )(x xi )
当 x xi 1 时,得
y(x 0 ) f(x 0 , y 0 )
Pn P2(x2 , y2) y=y(x) P1(x1 , y1) Pi(xi , yi) Pi+1(xi+1 , yi+1) y(xn) y(x1) y(x2) P0 y(x0) y(xi) y(xi+1)
y
x0 x1
x2
xi
xi+1
xn
直线 P0P1 的方程为： y y 0 f(x 0 , y 0 )(x x0 )
的解y=y(x)代表通过点 ( x0 , y 0 ) 的一条称之为微分方程 的积分曲线。 积分曲线上每一点 (x, y)的切线的斜率 y (x)等于函
数 f(x, y) 在这点的函数值。
Euler法的求解过程: 从初始点P0( 即点(x0,y0))出发，
作积分曲线y=y(x)在P0点上切线 P0P1 ，其斜率为
Home
欧拉法的局部截断误差
9.2.4． 欧拉法的局部截断误差 衡量求解公式好坏的一个主要标准是求解公式的精 度, 因此引入局部截断误差和阶数的概念。
定义9.1 在yi准确的前提下, 即 y i y ( x i ) 时, 用数值
方法计算yi+1的误差：
Ri y(xi 1 ) yi 1
(b)-(a），得
ξ (x i , x i 1 ) (b)
y(x i 1 ) y i 1
h2 y (ξ ) 2!
定义9.2 若数值方法的局部截断误差为 O(hp 1 ) ，
则称这种数值方法的精度阶数是P。
评论： • 步长(h<1) 越小，P越高，则局部截断误差 越小。计算精度越高。
xi 1
f[x, y(x)]dx xi 1 xi 1 f[x i , y(x i )]
代入上式,并用yi近似代替式中y(xi)即可得到 两步欧拉公式
yi 1 yi 1 2hf(xi , yi )
( 9.7 )
【注】欧拉方法和梯形方法，都是单步法,其特点是 在计算yi+1时只用到前一步的信息yi; 而两步欧拉公式 (9.7)中除了yi外,还用到更前一步的 信息yi-1,即调用了前两步的信息。
计算方法 (Numerical Analysis)
第12次 常微分方程初值问题数值解法
内容
1.
2.
常微分方程初值问题解的存在性定理
Euler公式
3.
4. 5. 6. 7. 8.
梯形公式
两步Euler公式 欧拉法的局部截断误差 改进型Euler公式 龙格-库塔法 算法实现
常微分方程初值问题 解的存在性定理
y(x n) 1.0954 1.1832 1.2649 1.3416 1.4142 1.4832 1.5492 1.6125 1.6733 1.7321
2 1.5 1
y=y(x)的近似解
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
0.7
0.8
0.9
1
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梯形公式
9.2.2 梯形公式 为了提高精度,对方程 y f(x, y) 的两端在区间
f(x, y 1 ) f(x, y 2 ) L y 1 y 2 , y 1 , y 2 R
则方程( 9.1 ) 在a, b上存在唯一的连续可微分的 解的解 y=y(x) 。
f(x, y) 推论：如果函数f(x,y)对y的偏导数 在带形 y
区域
R {a x b,- y }
内有界。
即存在常数L(它与x,y无关)使 f(x, y) | | L y
对R内的所有x，y 都成立。 则方程( 9.1 ) 在a , b上存在唯一的连续可微解 y=y(x) 。
Home
Euler公式
值问题(9.1)的数值解法的基本思想： • 算出精确解y(x)在区间a,b上的一系列离散节 点 a x x … x x b
y f(x, y) y(x 0 ) y 0
在区间a ≤ x ≤ b上的数值解法。
(9.1 )
定理1：如果函数f(x, y)在带形区域
R {a x b,- y }
内连续，且关于y满足李普希兹(Lipschitz)条件， 即存在常数L(它与x, y无关)使
改进的思路： 先用欧拉公式(9.2)求出一个初步的近似值,
称为预测值, 它的精度不高； 再用梯形公式(9.5)对
y i 1
其中， h xi 1 xi 为常数，i=0,1,…,n
注：还可用数值积分法和泰勒展开法推导 Euler公式 （略）。
例9.1：利用Euler公式求解微分方程的初值问题
2x y y ,0 x 1 y y(0) 1
解：取h=0.1，根据Euler公式，得
初值问题有解：
y 1 2x
欧拉公式的精度讨论
欧拉公式的局部截断误差为 ： y(xi+1 ) – yi+1 = O(h2)
欧拉方法仅为一阶方法。
两步欧拉公式的局部截断误差为：
y(xi 1 ) yi 1 O(h3 )
从而两步欧拉公式的阶数是2.推导过程省略。 Home
改进的Euler公式
9.2.5 改进的欧拉公式 • 显式欧拉公式
y n 1
2xn 0.2xn y n h(yn ) 1.1yn yn yn
y1 = 1.1*y0 - 0.2* x0/y0 = 1.1
由x0 = 0, y0 =1，代入以上公式，得
课堂练习：计算出 x2 , y2；x3 , y3
y n 1 0.2xn 1.1yn yn
yi 1 yi hf(x i , yi )
计算工作量小，但精度低。 • 梯形公式
(9.2)
y i 1
h y i [f(x i , y i ) f(x i 1 , y i 1 )] 2
(9.5)
精度高些,但为隐式公式,需用迭代法求解,计算量大。 •欲综合欧拉公式和梯形公式，得到改进的欧拉公式。
x0 = 0, y0 =1 x1 = 0.1 , y1= 1.1
计算结果比较：
欧拉法
准确值
y n 1
0.2xn 1.1yn yn
初值问题有解：
y
1 2x
可以由此公式计算 出准确解：y(xn)
xn 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
yn 1.1000 1.1918 1.2774 1.3582 1.4351 1.5090 1.5803 1.6498 1.7178 1.7848
代入(7.4)式,并用近似代替式中即可得到梯形公式
y i 1
h y i [f(x i , y i ) f(x i 1 , y i 1 )] ( 9.5 ) 2 求解困难
由于数值积分的梯形公式比矩形公式的精度高，所以 梯形公式（9.5）比欧拉公式( 9.2 )的精度高。 (9.5)式的右端含有未知的yi+1,它是一个关于yi+1的函 数方程,这类数值方法称为隐式方法。相反地,欧拉法 是显式方法。 Home
xi x0 ih, i 1,2,… ,n
数值解法需要把连续性的问题加以离散化，从 而求出离散节点的数值解。
a=x0 x1
x2
x3
x4 xn-1 xn=b
• 常微分方程数值解法的基本出发点：离散化。 采用“步进式”，即求解过程顺着节点排列的 次序逐步向前推进。 • 算法：要求给出用已知信息 … ,y y ,y ,y ,