新教材高中数学模块复习课学案新人教B版第三册

新教材高中数学模块复习课学案新人教B 版第三册一、弧度制与任意角的三角函数1.角的概念经过推广以后，包括正角、负角、零角．2.按角的终边所在位置可分为象限角和坐标轴上的角(又叫象限界角)．3.与角α终边相同的角可表示为S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }． 4．角度制与弧度制的换算关系是180°＝π. 5．扇形弧长公式是l ＝αr ，扇形面积公式是S ＝12lr .6．三角函数在各象限的符号可简记为一全正，二正弦，三正切，四余弦． 7．同角三角函数的基本关系式是sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α.8．三角函数的诱导公式都可表示为k π2±α，k ∈Z 的形式，可简记为奇变偶不变，符号看象限．二、三角函数的图像与性质 1.正弦函数(1)定义域R ，值域[－1,1]，最小正周期2π. (2)单调增区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k πk ∈Z ； 单调减区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k πk ∈Z . 2.余弦函数单调增区间：[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z ； 单调减区间：[2k π，2k π＋π]，k ∈Z .3.正切函数(1)定义域：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z. (2)单调增区间：⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π，k ∈Z .4．对于y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)，应明确A ，ω决定“形变”，φ，k 决定“位变”，A 影响值域，ω影响周期，A ，ω，φ影响单调性．针对x 的变换，即变换多少个单位长度，向左或向右很容易出错，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别．5．由已知函数图像求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的解析式时常用的解题方法是待定系数法．由图中的最大值或最小值确定A ，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ.但由图像求得的y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的解析式一般不唯一，只有限定φ的取值范围，才能得出唯一的解．否则φ的值不确定，解析式也就不唯一．三、平面向量的数量积 1.两个向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在平面内任选一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则称[0，π]内的∠AOB 为向量a 与向量b 的夹角，记作〈a ，b 〉．(1)两个向量的夹角的取值范围是[0，π]，且〈a ，b 〉＝〈b ，a 〉． (2)当〈a ，b 〉＝π2时，称向量a 与向量b 垂直，记作a ⊥b .2.向量数量积的定义一般地，当a 与b 都是非零向量时，称|a ||b |cos 〈a ，b 〉为向量a 与b 的数量积(也称为内积)，即a ·b ＝|a ||b |·cos 〈a ，b 〉．(1)当〈a ，b 〉∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0， π2时，a ·b ＞0; 当〈a ，b 〉＝π2时，a·b ＝0；当〈a ，b 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π时，a·b <0.(2)两个非零向量a ，b 的数量积的性质：(1)设非零向量b 所在的直线为l ，向量a 在直线l 上的投影称为a 在向量b 上的投影． (2)一般地，如果a ，b 都是非零向量，则|a |cos 〈a ，b 〉为向量a 在b 上的投影的数量．(3)两个非零向量a ，b 的数量积a ·b ，等于a 在向量b 上的投影的数量与b 的模的乘积．这就是两个向量数量积的几何意义．四、向量的运算律与坐标运算 1.向量的运算律(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ，a·b ＝b·a .(2)结合律：a ＋(b ＋c )＝(a ＋b )＋c ，a －b －c ＝a －(b ＋c )．(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb ) . (3)分配律(λ＋u )a ＝λa ＋u a ，λ(a ＋b )＝λa ＋λb ，(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c . 2.向量的坐标运算已知向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)和实数λ，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，|a |＝x 21＋y 21，a 2＝x 21＋y 21，a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0 .五、三角恒等变换 1.和角公式(1)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β . (2)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos _αsin_β_. (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2.辅助角公式f (x )＝a sin x ＋b cos x3.倍角公式(1)sin 2α＝2sin_αcos_α，(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α， (3)tan 2α＝2tan α1－tan α. 4．半角公式sin α2＝±1－cos α2 ，cos α2＝±， tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝1－cos αsin α＝sin α1＋cos α.5．积化和差公式cos αcos β＝12 [cos(α＋β)＋cos(α－β)]；sin αsin β＝－12 [cos(α＋β)－cos(α－β)]；sin αcos β＝12 [sin(α＋β)＋sin(α－β)]；cos αsin β＝12 [sin(α＋β)－sin(α－β)]．6．和差化积公式 sin x ＋sin y ＝2sinx ＋y2 cos x －y2； sin x －sin y ＝2cosx ＋y 2sinx －y2； cos x ＋cos y ＝2cosx ＋y2 cosx －y2； cos x －cos y ＝－2sinx ＋y2sinx －y2.1.钝角是第二象限角．(√)[提示] 钝角的范围是大于90°而小于180°，始边与x 轴正半轴重合时，终边落在第二象限，因此钝角是第二象限角．2.不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们都与圆的半径长短有关．(×)[提示] 根据角度、弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小都与圆的半径长短无关，而与弧长与半径的比值有关，所以错误．3.已知α是三角形的内角，则必有sin α>0.(√)[提示] 当α为三角形的内角时，0°<α<180°，由三角函数的定义知sin α>0. 4．三角函数线的长度等于三角函数值． (×)[提示] 三角函数线表示轴上的向量，不仅有大小，也有方向，三角函数线的方向表示三角函数值的正负．5．对任意角α，sinα2cosα2＝tan α2 都成立．(×)[提示] 由正切函数的定义域知α不能取任意角，所以错误． 6．若cos α＝0，则sin α＝1.(×)[提示] 由同角三角函数关系式sin 2α＋cos 2α＝1知，当cos α＝0时，sin α＝±1.7．诱导公式中角α是任意角．(×)[提示] 正余弦函数的诱导公式中，α为任意角但是正切函数的诱导公式中，α的取值必须使公式中角的正切值有意义．8．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ<0，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ >0，则θ是第一象限角． (×)[提示] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝cos θ<0cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin θ>0 ，所以θ为第二象限角．9．画正弦函数图像时，函数自变量通常用弧度制表示． (√)[提示] 在平面直角坐标系中画y ＝sin x (x ∈R )的图像自变量x 为实数，通常用弧度表示．10．函数y ＝3sin(2x －5)的初相为5. (×)[提示] 在y ＝3sin(2x －5)中x ＝0时的相位φ＝－5称为初相，故初相为－5.11.由函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 的图像得到y ＝sin x 的图像，必须向左平移．(×)[提示] 由函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3 的图像得到y ＝sin x 的图像，可以把y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图像向右平行移动π3得到y ＝sin x 的图像．12.函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π2 的图像与函数y ＝cos x ，x ∈ [0,2π]的图像的形状完全一致．(√)[提示] 由正、余弦曲线可知它们的图像形状一致．13.将函数y ＝sin x 的图像向左平移π2 个单位，得到函数y ＝cos x 的图像．[提示] 函数y ＝sin x 的图像向左平移π2 个单位，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2 的图像，因为y ＝sin x ＋π2＝cos x ，故正确．14．正切函数在整个定义域上是增函数．(×)[提示] 正切函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π k ∈Z ，只能说正切函数在每一个开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π ，k ∈Z 上为增函数，不能说它在整个定义域上为增函数．15．若sin α＝15 ，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π ，则α可表示为α＝π2＋arcsin 15 . (×) [提示] ∵α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π ，∴π－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 . ∵sin α＝sin(π－α)＝15 ，∴π－α＝arcsin 15 ，∴α＝π－arcsin 15.16．已知a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，若a ∥b ，则必有a 1b 2＝a 2b 1. (√)[提示] 若a ∥b ，则a 1b 2－a 2b 1＝0即a 1b 2＝a 2b 1. 17．若a·b ＝b·c ，则一定有a ＝c .(×) [提示] 当b ＝0时，满足a·b ＝b·c ，但不一定有a ＝c . 18．若a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0.(×)[提示] 当a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，且a ，b 为非零向量时，则a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0.19．对于任意实数α，β，cos(α＋β)＝cos α＋cos β都不成立．(×)[提示] 当α＝π3 ，β＝－π3时，cos(α＋β)＝1，cos α＋cos β＝1，此时cos(α＋β)＝cos α＋cos β.20．对于任意α∈R ，sin α2＝12sin α都不成立．(×)[提示] 当α＝2k π(k ∈Z )时，上式成立，但一般情况下不成立．21.tan α2＝sin α1＋cos α ，只需要满足α≠2k π＋π，(k ∈Z )．(√)[提示] tan α2 中，α2 ≠k π＋π2即α≠2k π＋π，(k ∈Z )，sin α1＋cos α中，cos α≠－1即α≠2k π＋π，(k ∈Z )．22.若x ＋y ＝1，则sin x ＋sin y ≥1. (×)[提示] ∵sin x ＋sin y ＝2sinx ＋y2cosx －y2＝2sin 12 cos x －y 2 ，又0<12<π6<π2 ，∴sin 12<sin π6.∴2sin 12<2sin π6＝1，∴sin x ＋sin y＝2sin 12cos x －y 2<cos x －y2 ≤1.∴sin x ＋sin y <1.1.(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中，以π2为周期且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2单调递增的是( )A ．f (x )＝|cos 2x |B ．f (x )＝|sin 2x |C ．f (x )＝cos |x |D ．f (x )＝sin|x |A [f (x )＝sin|x |不是周期函数，可排除D 选项；f (x )＝cos |x |的周期为2π，可排除C 选项；f (x )＝|sin 2x |在π4处取得最大值，不可能在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2单调递增，可排除B ．故选A ．]2.(2018·全国卷Ⅲ)若sin α＝13，则cos 2α＝( )A ．89B ．79C ．－79D ．－89B [cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79.]3.(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．0B [因为a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝2|a |2－(－1)＝2＋1＝3，所以选B ．]4．(2018·全国卷Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A ．π4B ．π2C ．3π4D ．πA [f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，且函数y ＝cos x 在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x ＋π4≤π，得－π4≤x ≤3π4.因为f (x )在[－a ，a ]上是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥－π4，a ≤3π4，解得a ≤π4，所以0＜a ≤π4，所以a 的最大值是π4，故选A ．]5．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2D [因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3－π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以曲线C 1：y ＝cos x 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线y ＝cos 2x ，再把得到的曲线y ＝cos 2x 向左平移π12个单位长度，得到曲线y ＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 故选D ．]6．(2016·全国Ⅲ)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( )A ．6425B ．4825C ．1D ．1625A [因为tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋4tan αtan 2α＋1＝1＋4×34⎝ ⎛⎭⎪⎫342＋1＝6425.故选A ．]7．(2018·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝tan x1＋tan 2x的最小正周期为( ) A ．π4B ．π2C ．πD ．2πC [函数f (x )＝tan x 1＋tan 2x ＝sin x cos x cos 2x ＋sin 2x ＝12sin2x 的最小正周期为2π2＝π，故选C ．] 8．(2019·全国卷Ⅱ)已知AB →＝(2,3)，AC →＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·BC →＝( ) A ．－3 B ．－2 C ．2D ．3C [∵AB →＝(2,3)，AC →＝(3，t )， ∴BC →＝AC →－AB →＝(1，t －3)，∵|BC →|＝1，∴t －3＝0，即BC →＝(1,0)，则A B →·BC →＝2，故选C ．] 9．(2019·全国卷Ⅱ)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(3,2)，则|a －b |＝( ) A ． 2 B ．2 C ．5 2D ．50A [∵a ＝(2,3)，b ＝(3,2)，∴a －b ＝(2,3)－(3,2)＝(－1,1)， ∴|a －b |＝(－1)2＋12＝ 2.故选A ．]10．(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6B [∵(a －b )⊥b ，∴(a －b )·b ＝a·b －b 2＝|a ||b |·cos〈a ，b 〉－b 2＝0， ∴cos〈a ，b 〉＝|b |2|a ||b |＝|b |22|b |2＝12，∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴〈a ，b 〉＝π3.故选B ．]11.(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________.12 [2a ＋b ＝(4,2)，因为c ＝(1，λ)，且c ∥(2a ＋b )，所以1×2＝4λ，即λ＝12.] 12.(2019·全国卷Ⅲ)已知a ，b 为单位向量，且a·b ＝0，若c ＝2a －5b ，则cos 〈a ，c 〉＝________.23[a·c ＝a ·(2a －5b )＝2a 2－5a·b ＝2， ∵c 2＝(2a －5b )2＝4a 2－45a·b ＋5b 2＝9，∴|c |＝3，∴cos〈a ，c 〉＝a·c |a ||c |＝23.]13.(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.－12 [∵sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，∴sin 2α＋cos 2β＋2sin αcos β＝1①，cos 2α＋sin 2β＋2cos αsin β＝0②，①②两式相加可得sin 2α＋cos 2α＋sin 2β＋cos 2β＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1，∴sin(α＋β)＝－12.]。