高中教材教法考试模拟试题高中数学

高中数学模拟试题(附答案及解析)

高中数学模拟试题（附答案及解析）一、选择题（共10小题）1．（2014•衡阳三模）复数z=1+i，为z的共轭复数，则=（）A．﹣2i B．﹣i C．i D．2i2．（2014•上海）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，0]C．[1，2]D．[0，2]3．（2014•广西模拟）将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱锥D﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．4．（2014•河南）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P 做直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f （x）在[0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．5．（2014•包头一模）设函数，则f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），则（）A．y=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称B．y=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称C．y=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称D．y=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称6．（2014•太原一模）复数的共轭复数是（）A．B．C．﹣i D．i7．（2014•广西）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F 1、F2，点A在C上，若|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=（）A．B．C．D．8．（2014•上海二模）已知正四棱锥S﹣ABCD中，SA=2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A．1B．C．2D．39．（2014•重庆）已知函数f（x）=，且g（x）=f（x）﹣mx﹣m在（﹣1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，﹣2]∪（0，]B．（﹣，﹣2]∪（0，]C．（﹣，﹣2]∪（0，]D．（﹣，﹣2]∪（0，]10．（2013•铁岭模拟）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S k+2﹣S k=24，则k=（）A．8B．7C．6D．5二、填空题（共5小题）（除非特别说明，请填准确值）11．（2014•乌鲁木齐二模）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于_________．12．（2014•湖南）如图所示，正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为a，b（a＜b），原点O为AD的中点，抛物线y2=2px（p＞0）经过C，F两点，则=_________．13．（2014•云南一模）已知圆C过双曲线﹣=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是_________．14．（2014•上海）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为_________．15．（2014•上海）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为_________．三、解答题（共6小题）（选答题，不自动判卷）16．（2014•江西）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD．（1）求证：AB⊥PD；（2）若∠BPC=90°，PB=，PC=2，问AB为何值时，四棱锥P﹣ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值．17．（2014•江西模拟）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．18．（2014•四川）三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP．（1）证明：P是线段BC的中点；（2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值．19．（2014•天津）设f（x）=x﹣ae x（a∈R），x∈R，已知函数y=f（x）有两个零点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）证明：随着a的减小而增大；（Ⅲ）证明x1+x2随着a的减小而增大．20．（2014•陕西）设函数f（x）=lnx+，m∈R．（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数；（Ⅲ）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．21．（2014•江苏）已知函数f0（x）=（x＞0），设f n（x）为f n﹣1（x）的导数，n∈N*．（1）求2f1（）+f2（）的值；（2）证明：对任意n∈N*，等式|nf n﹣1（）+f n（）|=都成立．参考答案与试题解析一、选择题（共10小题）1．（2014•衡阳三模）复数z=1+i，为z的共轭复数，则=（）A．﹣2i B．﹣i C．i D．2i考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：求出复数z的共轭复数，代入表达式，求解即可．解答：解：=1﹣i，所以=（1+i）（1﹣i）﹣1﹣i﹣1=﹣i故选B点评：本题是基础题，考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型．2．（2014•上海）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，0]C．[1，2]D．[0，2]考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：当a＜0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，当a≥0时，解不等式：a2﹣a﹣2≤0，得﹣1≤a≤2，问题解决．解答：解；当a＜0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，当a≥0时，f（0）=a2，由题意得：a2≤x++a，解不等式：a2﹣a﹣2≤0，得﹣1≤a≤2，∴0≤a≤2，故选：D．点评：本题考察了分段函数的问题，基本不等式的应用，渗透了分类讨论思想，是一道基础题．3．（2014•广西模拟）将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱锥D﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：取AC的中点O，连接DO，BO，求出三角形DOB的面积，求出AC 的长，即可求三棱锥D﹣ABC的体积．解答：解：O是AC中点，连接DO，BO△ADC，△ABC都是等腰直角三角形DO=B0==，BD=a△BDO也是等腰直角三角形DO⊥AC，DO⊥BO DO⊥平面ABC DO就是三棱锥D﹣ABC的高S△ABC=a2三棱锥D﹣ABC的体积：故选D．点评：本题考查棱锥的体积，是基础题．4．（2014•河南）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P做直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．考点：抽象函数及其应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：在直角三角形OMP中，求出OM，注意长度、距离为正，再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到f（x）的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择．解答：解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，则OM=|cosx|，∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM|sinx|=|cosx|•|sinx|=|sin2x|，其周期为T=，最大值为，最小值为0，故选C．点评：本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的运用．5．（2014•包头一模）设函数，则f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），则（）A．y=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称B．y=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称C．y=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称D．y=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称考点：正弦函数的对称性；正弦函数的单调性．专题：计算题；压轴题．分析：利用辅助角公式（两角和的正弦函数）化简函数f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），然后求出对称轴方程，判断y=f（x）在（0，）单调性，即可得到答案．解答：解：因为f（x）=sin（2x+）+cos（2x+）=sin（2x+）=cos2x．它的对称轴方程可以是：x=；所以A，C错误；函数y=f（x）在（0，）单调递减，所以B错误；D正确．故选D点评：本题是基础题，考查三角函数的化简，三角函数的性质：对称性、单调性，考查计算能力，常考题型．6．（2014•太原一模）复数的共轭复数是（）A．B．C．﹣i D．i考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为a+bi（a，b∈R）的形式，然后求出共轭复数，即可．解答：解：复数===i，它的共轭复数为：﹣i．故选C点评：本题是基础题，考查复数代数形式的混合运算，共轭复数的概念，常考题型．7．（2014•广西）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线的定义，以及余弦定理建立方程关系即可得到结论．解答：解：∵双曲线C的离心率为2，∴e=，即c=2a，点A在双曲线上，则|F1A|﹣|F2A|=2a，又|F1A|=2|F2A|，∴解得|F1A|=4a，|F2A|=2a，||F1F2|=2c，则由余弦定理得cos∠AF2F1===，故选：A．点评：本题主要考查双曲线的定义和运算，利用离心率的定义和余弦定理是解决本题的关键，考查学生的计算能力．8．（2014•上海二模）已知正四棱锥S﹣ABCD中，SA=2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A．1B．C．2D．3考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；压轴题．分析：设出底面边长，求出正四棱锥的高，写出体积表达式，利用求导求得最大值时，高的值．解答：解：设底面边长为a，则高h==，所以体积V=a2h=，设y=12a4﹣a6，则y′=48a3﹣3a5，当y取最值时，y′=48a3﹣3a5=0，解得a=0或a=4时，体积最大，此时h==2，故选C．点评：本试题主要考查椎体的体积，考查高次函数的最值问题的求法．是中档题．9．（2014•重庆）已知函数f（x）=，且g（x）=f（x）﹣mx﹣m在（﹣1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，﹣2]∪（0，]B．（﹣，﹣2]∪（0，]C．（﹣，﹣2]∪（0，]D．（﹣，﹣2]∪（0，]考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：由g（x）=f（x）﹣mx﹣m=0，即f（x）=m（x+1），作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论．解答：解：由g（x）=f（x）﹣mx﹣m=0，即f（x）=m（x+1），分别作出函数f（x）和y=g（x）=m（x+1）的图象如图：由图象可知f（1）=1，g（x）表示过定点A（﹣1，0）的直线，当g（x）过（1，1）时，m═此时两个函数有两个交点，此时满足条件的m的取值范围是0＜m≤，当g（x）过（0，﹣2）时，g（0）=﹣2，解得m=﹣2，此时两个函数有两个交点，当g（x）与f（x）相切时，两个函数只有一个交点，此时，即m（x+1）2+3（x+1）﹣1=0，当m=0时，x=，只有1解，当m≠0，由△=9+4m=0得m=﹣，此时直线和f（x）相切，∴要使函数有两个零点，则﹣＜m≤﹣2或0＜m≤，故选：A点评：本题主要考查函数零点的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．10．（2013•铁岭模拟）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S k+2﹣S k=24，则k=（）A．8B．7C．6D．5考点：等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：先由等差数列前n项和公式求得S k+2，S k，将S k+2﹣S k=24转化为关于k的方程求解．解答：解：根据题意：S k+2=（k+2）2，S k=k2∴S k+2﹣S k=24转化为：（k+2）2﹣k2=24∴k=5故选D点评：本题主要考查等差数列的前n项和公式及其应用，同时还考查了方程思想，属中档题．二、填空题（共5小题）（除非特别说明，请填准确值）11．（2014•乌鲁木齐二模）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于20π．考点：球内接多面体．专题：计算题；压轴题．分析：通过已知体积求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，求出球的半径，然后求出球的表面积．解答：解：在△ABC中AB=AC=2，∠BAC=120°，可得，由正弦定理，可得△ABC外接圆半径r=2，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，易得球半径，故此球的表面积为4πR2=20π故答案为：20π点评：本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能力，计算能力．12．（2014•湖南）如图所示，正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为a，b（a＜b），原点O为AD的中点，抛物线y2=2px（p＞0）经过C，F两点，则=．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：计算题．分析：可先由图中的点与抛物线的位置关系，写出C，F两点的坐标，再将坐标代入抛物线方程中，消去参数p后，得到a，b的关系式，再寻求的值．解答：解：由题意可得，，将C，F两点的坐标分别代入抛物线方程y2=2px中，得∵a＞0，b＞0，p＞0，两式相比消去p得，化简整理得a2+2ab﹣b2=0，此式可看作是关于a的一元二次方程，由求根公式得，取，从而，故答案为：．点评：本题关键是弄清两个正方形与抛物线的位置关系，这样才能顺利写出C，F的坐标，接下来是消参，得到了一个关于a，b的齐次式，应注意根的取舍与细心的计算．13．（2014•云南一模）已知圆C过双曲线﹣=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C的圆心的横坐标为4．故圆心坐标为（4，±）．由此可求出它到双曲线中心的距离．解答：解：由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C的圆心的横坐标为4．故圆心坐标为（4，±）．∴它到中心（0，0）的距离为d==．故答案为：．点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时注意圆的性质的应用．14．（2014•上海）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为（﹣∞，2]．考点：分段函数的应用；真题集萃．专题：分类讨论；函数的性质及应用．分析：可对a进行讨论，当a＞2时，当a=2时，当a＜2时，将a代入相对应的函数解析式，从而求出a的范围．解答：解：当a＞2时，f（2）=2≠4，不合题意；当a=2时，f（2）=22=4，符合题意；当a＜2时，f（2）=22=4，符合题意；∴a≤2，故答案为：（﹣∞，2]．点评：本题考察了分段函数的应用，渗透了分类讨论思想，本题是一道基础题．15．（2014•上海）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（﹣∞，2]．考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：分别由f（0）=a，x≥2，a≤x+综合得出a的取值范围．解答：解：当x=0时，f（0）=a，由题意得：a≤x+，又∵x+≥2=2，∴a≤2，故答案为：（﹣∞，2]．点评：本题考察了分段函数的应用，基本不等式的性质，是一道基础题．三、解答题（共6小题）（选答题，不自动判卷）16．（2014•江西）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD．（1）求证：AB⊥PD；（2）若∠BPC=90°，PB=，PC=2，问AB为何值时，四棱锥P﹣ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值．考点：二面角的平面角及求法．专题：空间角；空间向量及应用．分析：（1）要证AD⊥PD，可以证明AB⊥面PAD，再利用面面垂直以及线面垂直的性质，即可证明AB⊥PD．（2）过P做PO⊥AD得到PO⊥平面ABCD，作OM⊥BC，连接PM，由边长关系得到BC=，PM=，设AB=x，则V P﹣ABCD=，故当时，V P﹣ABCD取最大值，建立空间直角坐标系O﹣AMP，利用向量方法即可得到夹角的余弦值．解答：解：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，∴AB⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴AB⊥面PAD，∴AB⊥PD．（2）过P做PO⊥AD，∴PO⊥平面ABCD，作OM⊥BC，连接PM∴PM⊥BC，∵∠BPC=90°，PB=，PC=2，∴BC=，PM==，BM=，设AB=x，∴OM=x∴PO=，∴V P﹣ABCD=×x××=当，即x=，V P﹣ABCD=，建立空间直角坐标系O﹣AMP，如图所示，则P（0，0，），D（﹣，0，0），C（﹣，，0），M（0，，0），B（，，0）面PBC的法向量为=（0，1，1），面DPC的法向量为=（1，0，﹣2）∴cosθ===﹣．点评：本题考查线面位置关系、线线位置关系、线面角的度量，考查分析解决问题、空间想象、转化、计算的能力与方程思想．17．（2014•江西模拟）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．考点：数列递推式；等比关系的确定．专题：综合题．分析：（1）由题设条件知b1=a2﹣2a1=3．由S n+1=4a n+2和S n=4a n﹣1+2相减得a n+1=4a n﹣4a n﹣1，即a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），所以b n=2b n﹣1，由此可知{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（2）由题设知．所以数列是首项为，公差为的等差数列．由此能求出数列{a n}的通项公式．解答：解：（1）由a1=1，及S n+1=4a n+2，得a1+a2=4a1+2，a2=3a1+2=5，所以b1=a2﹣2a1=3．由S n+1=4a n+2，①则当n≥2时，有S n=4a n﹣1+2，②①﹣②得a n+1=4a n﹣4a n﹣1，所以a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），又b n=a n+1﹣2a n，所以b n=2b n，所以{b n}是﹣1以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（6分）（2）由（I）可得b n=a n+1﹣2a n=3•2n﹣1，等式两边同时除以2n+1，得．所以数列是首项为，公差为的等差数列．所以，即a n=（3n﹣1）•2n﹣2（n∈N*）．（13分）点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要掌握等比数列的证明方法，会求数列的通项公式．18．（2014•四川）三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP．（1）证明：P是线段BC的中点；（2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角．专题：空间向量及应用．分析：（1）用线面垂直的性质和反证法推出结论，（2）先建空间直角坐标系，再求平面的法向量，即可求出二面角A﹣NP﹣M的余弦值．解答：解：（1）由三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥A﹣BCD中：平面ABD⊥平面CBD，AB=AD=BD=CD=CB=2设O为BD的中点，连接OA，OC于是OA⊥BD，OC⊥BD 所以BD⊥平面OAC⇒BD⊥AC因为M，N分别为线段AD，AB的中点，所以MN∥BD，MN⊥NP，故BD⊥NP假设P不是线段BC的中点，则直线NP与直线AC是平面ABC内相交直线从而BD⊥平面ABC，这与∠DBC=60°矛盾，所以P为线段BC的中点（2）以O为坐标原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，），M（，O，），N（，0，），P（，，0）于是，，设平面ANP和平面NPM的法向量分别为和由，则，设z1=1，则由，则，设z2=1，则cos===所以二面角A﹣NP﹣M的余弦值点评：本题考查线线的位置关系，考查二面角知识的应用，解题的关键是掌握用向量的方法求二面角大小的步骤，属于中档题．19．（2014•天津）设f（x）=x﹣ae x（a∈R），x∈R，已知函数y=f（x）有两个零点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）证明：随着a的减小而增大；（Ⅲ）证明x1+x2随着a的减小而增大．考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）对f（x）求导，讨论f′（x）的正负以及对应f（x）的单调性，得出函数y=f（x）有两个零点的等价条件，从而求出a的取值范围；（Ⅱ）由f（x）=0，得a=，设g（x）=，判定g（x）的单调性即得证；（Ⅲ）由于x1=a，x2=a，则x2﹣x1=lnx2﹣lnx1=ln，令=t，整理得到x1+x2=，令h（x）=，x∈（1，+∞），得到h（x）在（1，+∞）上是增函数，故得到x1+x2随着t的减小而增大．再由（Ⅱ）知，t随着a的减小而增大，即得证．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x﹣ae x，∴f′（x）=1﹣ae x；下面分两种情况讨论：①a≤0时，f′（x）＞0在R上恒成立，∴f（x）在R上是增函数，不合题意；②a＞0时，由f′（x）=0，得x=﹣lna，当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如下表：x l f′（x）f（x）∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣lna），减区间是（﹣lna，+∞）；∴函数y=f（x）有两个零点等价于如下条件同时成立：（i）f（﹣lna）＞0，（ii）存在s1∈（﹣∞，﹣lna），满足f（s1）＜0，（iii）存在s2∈（﹣lna，+∞），满足f（s2）＜0；由f（﹣lna）＞0，即﹣lna﹣1＞0，解得0＜a＜e﹣1；取s1=0，满足s1∈（﹣∞，﹣lna），且f（s1）=﹣a＜0，取s2=+ln，满足s2∈（﹣lna，+∞），且f（s2）=（﹣）+（ln﹣）＜0；∴a的取值范围是（0，e﹣1）．（Ⅱ）证明：由f （x）=x﹣ae x=0，得a=，设g（x）=，由g′（x）=，得g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，并且，当x∈（﹣∞，0）时，g（x）≤0，当x∈（0，+∞）时，g（x）≥0，x1、x2满足a=g （x1），a=g（x2），a∈（0，e﹣1）及g（x）的单调性，可得x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）；对于任意的a1、a2∈（0，e﹣1），设a1＞a2，g（X1）=g（X2）=a i，其中0＜X1＜1＜X2；g（Y1）=g（Y2）=a2，其中0＜Y1＜1＜Y2；∵g（x）在（0，1）上是增函数，∴由a1＞a2，得g （X i）＞g（Y i），可得X1＞Y1；类似可得X2＜Y2；又由X、Y＞0，得＜＜；∴随着a的减小而增大；（Ⅲ）证明：∵x1=a，x2=a，∴lnx1=lna+x1，lnx2=lna+x2；∴x2﹣x1=lnx2﹣lnx1=ln，设=t，则t＞1，∴，解得x1=，x2=，∴x1+x2=…①；令h（x）=，x∈（1，+∞），则h′（x）=；令u（x）=﹣2lnx+x﹣，得u′（x）=，当x∈（1，+∞）时，u′（x）＞0，∴u（x）在（1，+∞）上是增函数，∴对任意的x∈（1，+∞），u（x）＞u（1）=0，∴h′（x）＞0，∴h（x）在（1，+∞）上是增函数；∴由①得x1+x2随着t的减小而增大．由（Ⅱ）知，t随着a的减小而增大，∴x1+x2随着a的减小而增大．点评：本题考查了导数的运算以及利用导数研究函数的单调性与极值问题，也考查了函数思想、化归思想、抽象概括能力和分析问题、解决问题的能力，是综合型题目．20．（2014•陕西）设函数f（x）=lnx+，m∈R．（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数；（Ⅲ）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）m=e时，f（x）=lnx+，利用f′（x）判定f（x）的增减性并求出f（x）的极小值；（Ⅱ）由函数g（x）=f′（x）﹣，令g（x）=0，求出m；设φ（x）=m，求出φ（x）的值域，讨论m的取值，对应g（x）的零点情况；（Ⅲ）由b＞a＞0，＜1恒成立，等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；即h（x）=f（x）﹣x在（0，+∞）上单调递减；h′（x）≤0，求出m的取值范围．解答：解：（Ⅰ）当m=e时，f（x）=lnx+，∴f′（x）=；∴当x∈（0，e）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，e）上是减函数；当x∈（e，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（e，+∞）上是增函数；∴x=e时，f（x）取得极小值f（e）=lne+=2；（Ⅱ）∵函数g（x）=f′（x）﹣=﹣﹣（x＞0），令g（x）=0，得m=﹣x3+x（x＞0）；设φ（x）=﹣x3+x（x≥0），∴φ′（x）=﹣x2+1=﹣（x﹣1）（x+1）；当x∈（0，1）时，φ′（x）＞0，φ（x）在（0，1）上是增函数，当x∈（1，+∞）时，φ′（x）＜0，φ（x）在（1，+∞）上是减函数；∴x=1是φ（x）的极值点，且是极大值点，∴x=1是φ（x）的最大值点，∴φ（x）的最大值为φ（1）=；又φ（0）=0，结合y=φ（x）的图象，如图；可知：①当m＞时，函数g（x）无零点；②当m=时，函数g（x）有且只有一个零点；③当0＜m＜时，函数g（x）有两个零点；④当m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；综上，当m＞时，函数g（x）无零点；当m=或m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；当0＜m＜时，函数g（x）有两个零点；（Ⅲ）对任意b ＞a＞0，＜1恒成立，等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；设h（x）=f（x）﹣x=lnx+﹣x（x＞0），∴h（x）在（0，+∞）上单调递减；∵h′（x）=﹣﹣1≤0在（0，+∞）上恒成立，∴m≥﹣x2+x=﹣+（x＞0），∴m≥；对于m=，h′（x）=0仅在x=时成立；∴m的取值范围是[，+∞）．点评：本题考查了导数的综合应用问题，解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极值和最值，应用分类讨论法，构造函数等方法来解答问题，是难题．21．（2014•江苏）已知函数f0（x）=（x＞0），设f n（x）为f n﹣1（x）的导数，n∈N*．（1）求2f1（）+f2（）的值；（2）证明：对任意n∈N*，等式|nf n﹣1（）+f n（）|=都成立．考点：三角函数中的恒等变换应用；导数的运算．专题：函数的性质及应用；三角函数的求值．分析：（1）由于求两个函数的相除的导数比较麻烦，根据条件和结论先将原函数化为：xf0（x）=sinx，然后两边求导后根据条件两边再求导得：2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，把x=代入式子求值；（2）由（1）得，f0（x）+xf1（x）=cosx和2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，利用相同的方法再对所得的式子两边再求导，并利用诱导公式对所得式子进行化简、归纳，再进行猜想得到等式，用数学归纳法进行证明等式成立，主要利用假设的条件、诱导公式、求导公式以及题意进行证明，最后再把x=代入所给的式子求解验证．解答：解：（1）∵f0（x）=，∴xf0（x）=sinx，则两边求导，[xf0（x）]′=（sinx）′，∵f n（x）为f n﹣1（x）的导数，n∈N*，∴f0（x）+xf1（x）=cosx，两边再同时求导得，2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，将x=代入上式得，2f1（）+f2（）=﹣1，（2）由（1）得，f0（x）+xf1（x）=cosx=sin（x+），恒成立两边再同时求导得，2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx=sin（x+π），再对上式两边同时求导得，3f2（x）+xf3（x）=﹣cosx=sin（x+），同理可得，两边再同时求导得，4f3（x）+xf4（x）=sinx=sin（x+2π），猜想得，nf n﹣1（x）+xf n（x）=sin（x+）对任意n∈N*恒成立，下面用数学归纳法进行证明等式成立：①当n=1时，成立，则上式成立；②假设n=k（k＞1且k∈N*）时等式成立，即，∵[kf k﹣1（x）+xf k （x）]′=kf k﹣1′（x）+f k（x）+xf k′（x）=（k+1）f k（x）+xf k+1（x）又===，∴那么n=k（k＞1且k∈N*）时．等式也成立，由①②得，nf n﹣1（x）+xf n（x）=sin（x+）对任意n∈N*恒成立，令x=代入上式得，nf n﹣1（）+f n（）=sin（+）=±cos=±，所以，对任意n∈N*，等式|nf n（）+f n﹣1（）|=都成立．点评：本题考查了三角函数、复合函数的求导数公式和法则、诱导公式，以及数学归纳法证明命题、转化思想等，本题设计巧菁优网 ©2010-2014 菁优网妙，题型新颖，立意深刻，是一道不可多得的好题，难度很大，考查了学生观察问题、分析问题、解决问题的能力，以及逻辑思维能力．。

高中数学模拟试题(附答案及解析)

高中数学模拟试题（附答案及解析）一、选择题（共10小题）1．（2014•衡阳三模）复数z=1+i，为z的共轭复数，则=（）A．﹣2i B．﹣i C．i D．2i2．（2014•上海）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，0]C．[1，2]D．[0，2]3．（2014•广西模拟）将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱锥D﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．4．（2014•河南）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P 做直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f （x）在[0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．5．（2014•包头一模）设函数，则f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），则（）A．y=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称B．y=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称C．y=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称D．y=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称6．（2014•太原一模）复数的共轭复数是（）A．B．C．﹣i D．i7．（2014•广西）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F 1、F2，点A在C上，若|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=（）A．B．C．D．8．（2014•上海二模）已知正四棱锥S﹣ABCD中，SA=2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A．1B．C．2D．39．（2014•重庆）已知函数f（x）=，且g（x）=f（x）﹣mx﹣m在（﹣1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，﹣2]∪（0，]B．（﹣，﹣2]∪（0，]C．（﹣，﹣2]∪（0，]D．（﹣，﹣2]∪（0，]10．（2013•铁岭模拟）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S k+2﹣S k=24，则k=（）A．8B．7C．6D．5二、填空题（共5小题）（除非特别说明，请填准确值）11．（2014•乌鲁木齐二模）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于_________．12．（2014•湖南）如图所示，正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为a，b（a＜b），原点O为AD的中点，抛物线y2=2px（p＞0）经过C，F两点，则=_________．13．（2014•云南一模）已知圆C过双曲线﹣=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是_________．14．（2014•上海）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为_________．15．（2014•上海）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为_________．三、解答题（共6小题）（选答题，不自动判卷）16．（2014•江西）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD．（1）求证：AB⊥PD；（2）若∠BPC=90°，PB=，PC=2，问AB为何值时，四棱锥P﹣ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值．17．（2014•江西模拟）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．18．（2014•四川）三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP．（1）证明：P是线段BC的中点；（2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值．19．（2014•天津）设f（x）=x﹣ae x（a∈R），x∈R，已知函数y=f（x）有两个零点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）证明：随着a的减小而增大；（Ⅲ）证明x1+x2随着a的减小而增大．20．（2014•陕西）设函数f（x）=lnx+，m∈R．（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数；（Ⅲ）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．21．（2014•江苏）已知函数f0（x）=（x＞0），设f n（x）为f n﹣1（x）的导数，n∈N*．（1）求2f1（）+f2（）的值；（2）证明：对任意n∈N*，等式|nf n﹣1（）+f n（）|=都成立．参考答案与试题解析一、选择题（共10小题）1．（2014•衡阳三模）复数z=1+i，为z的共轭复数，则=（）A．﹣2i B．﹣i C．i D．2i考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：求出复数z的共轭复数，代入表达式，求解即可．解答：解：=1﹣i，所以=（1+i）（1﹣i）﹣1﹣i﹣1=﹣i故选B点评：本题是基础题，考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型．2．（2014•上海）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，0]C．[1，2]D．[0，2]考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：当a＜0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，当a≥0时，解不等式：a2﹣a﹣2≤0，得﹣1≤a≤2，问题解决．解答：解；当a＜0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，当a≥0时，f（0）=a2，由题意得：a2≤x++a，解不等式：a2﹣a﹣2≤0，得﹣1≤a≤2，∴0≤a≤2，故选：D．点评：本题考察了分段函数的问题，基本不等式的应用，渗透了分类讨论思想，是一道基础题．3．（2014•广西模拟）将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱锥D﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：取AC的中点O，连接DO，BO，求出三角形DOB的面积，求出AC 的长，即可求三棱锥D﹣ABC的体积．解答：解：O是AC中点，连接DO，BO△ADC，△ABC都是等腰直角三角形DO=B0==，BD=a△BDO也是等腰直角三角形DO⊥AC，DO⊥BO DO⊥平面ABC DO就是三棱锥D﹣ABC的高S△ABC=a2三棱锥D﹣ABC的体积：故选D．点评：本题考查棱锥的体积，是基础题．4．（2014•河南）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P做直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．考点：抽象函数及其应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：在直角三角形OMP中，求出OM，注意长度、距离为正，再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到f（x）的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择．解答：解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，则OM=|cosx|，∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM|sinx|=|cosx|•|sinx|=|sin2x|，其周期为T=，最大值为，最小值为0，故选C．点评：本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的运用．5．（2014•包头一模）设函数，则f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），则（）A．y=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称B．y=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称C．y=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称D．y=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称考点：正弦函数的对称性；正弦函数的单调性．专题：计算题；压轴题．分析：利用辅助角公式（两角和的正弦函数）化简函数f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），然后求出对称轴方程，判断y=f（x）在（0，）单调性，即可得到答案．解答：解：因为f（x）=sin（2x+）+cos（2x+）=sin（2x+）=cos2x．它的对称轴方程可以是：x=；所以A，C错误；函数y=f（x）在（0，）单调递减，所以B错误；D正确．故选D点评：本题是基础题，考查三角函数的化简，三角函数的性质：对称性、单调性，考查计算能力，常考题型．6．（2014•太原一模）复数的共轭复数是（）A．B．C．﹣i D．i考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为a+bi（a，b∈R）的形式，然后求出共轭复数，即可．解答：解：复数===i，它的共轭复数为：﹣i．故选C点评：本题是基础题，考查复数代数形式的混合运算，共轭复数的概念，常考题型．7．（2014•广西）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线的定义，以及余弦定理建立方程关系即可得到结论．解答：解：∵双曲线C的离心率为2，∴e=，即c=2a，点A在双曲线上，则|F1A|﹣|F2A|=2a，又|F1A|=2|F2A|，∴解得|F1A|=4a，|F2A|=2a，||F1F2|=2c，则由余弦定理得cos∠AF2F1===，故选：A．点评：本题主要考查双曲线的定义和运算，利用离心率的定义和余弦定理是解决本题的关键，考查学生的计算能力．8．（2014•上海二模）已知正四棱锥S﹣ABCD中，SA=2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A．1B．C．2D．3考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；压轴题．分析：设出底面边长，求出正四棱锥的高，写出体积表达式，利用求导求得最大值时，高的值．解答：解：设底面边长为a，则高h==，所以体积V=a2h=，设y=12a4﹣a6，则y′=48a3﹣3a5，当y取最值时，y′=48a3﹣3a5=0，解得a=0或a=4时，体积最大，此时h==2，故选C．点评：本试题主要考查椎体的体积，考查高次函数的最值问题的求法．是中档题．9．（2014•重庆）已知函数f（x）=，且g（x）=f（x）﹣mx﹣m在（﹣1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，﹣2]∪（0，]B．（﹣，﹣2]∪（0，]C．（﹣，﹣2]∪（0，]D．（﹣，﹣2]∪（0，]考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：由g（x）=f（x）﹣mx﹣m=0，即f（x）=m（x+1），作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论．解答：解：由g（x）=f（x）﹣mx﹣m=0，即f（x）=m（x+1），分别作出函数f（x）和y=g（x）=m（x+1）的图象如图：由图象可知f（1）=1，g（x）表示过定点A（﹣1，0）的直线，当g（x）过（1，1）时，m═此时两个函数有两个交点，此时满足条件的m的取值范围是0＜m≤，当g（x）过（0，﹣2）时，g（0）=﹣2，解得m=﹣2，此时两个函数有两个交点，当g（x）与f（x）相切时，两个函数只有一个交点，此时，即m（x+1）2+3（x+1）﹣1=0，当m=0时，x=，只有1解，当m≠0，由△=9+4m=0得m=﹣，此时直线和f（x）相切，∴要使函数有两个零点，则﹣＜m≤﹣2或0＜m≤，故选：A点评：本题主要考查函数零点的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．10．（2013•铁岭模拟）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S k+2﹣S k=24，则k=（）A．8B．7C．6D．5考点：等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：先由等差数列前n项和公式求得S k+2，S k，将S k+2﹣S k=24转化为关于k的方程求解．解答：解：根据题意：S k+2=（k+2）2，S k=k2∴S k+2﹣S k=24转化为：（k+2）2﹣k2=24∴k=5故选D点评：本题主要考查等差数列的前n项和公式及其应用，同时还考查了方程思想，属中档题．二、填空题（共5小题）（除非特别说明，请填准确值）11．（2014•乌鲁木齐二模）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于20π．考点：球内接多面体．专题：计算题；压轴题．分析：通过已知体积求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，求出球的半径，然后求出球的表面积．解答：解：在△ABC中AB=AC=2，∠BAC=120°，可得，由正弦定理，可得△ABC外接圆半径r=2，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，易得球半径，故此球的表面积为4πR2=20π故答案为：20π点评：本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能力，计算能力．12．（2014•湖南）如图所示，正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为a，b（a＜b），原点O为AD的中点，抛物线y2=2px（p＞0）经过C，F两点，则=．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：计算题．分析：可先由图中的点与抛物线的位置关系，写出C，F两点的坐标，再将坐标代入抛物线方程中，消去参数p后，得到a，b的关系式，再寻求的值．解答：解：由题意可得，，将C，F两点的坐标分别代入抛物线方程y2=2px中，得∵a＞0，b＞0，p＞0，两式相比消去p得，化简整理得a2+2ab﹣b2=0，此式可看作是关于a的一元二次方程，由求根公式得，取，从而，故答案为：．点评：本题关键是弄清两个正方形与抛物线的位置关系，这样才能顺利写出C，F的坐标，接下来是消参，得到了一个关于a，b的齐次式，应注意根的取舍与细心的计算．13．（2014•云南一模）已知圆C过双曲线﹣=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C的圆心的横坐标为4．故圆心坐标为（4，±）．由此可求出它到双曲线中心的距离．解答：解：由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C的圆心的横坐标为4．故圆心坐标为（4，±）．∴它到中心（0，0）的距离为d==．故答案为：．点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时注意圆的性质的应用．14．（2014•上海）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为（﹣∞，2]．考点：分段函数的应用；真题集萃．专题：分类讨论；函数的性质及应用．分析：可对a进行讨论，当a＞2时，当a=2时，当a＜2时，将a代入相对应的函数解析式，从而求出a的范围．解答：解：当a＞2时，f（2）=2≠4，不合题意；当a=2时，f（2）=22=4，符合题意；当a＜2时，f（2）=22=4，符合题意；∴a≤2，故答案为：（﹣∞，2]．点评：本题考察了分段函数的应用，渗透了分类讨论思想，本题是一道基础题．15．（2014•上海）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（﹣∞，2]．考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：分别由f（0）=a，x≥2，a≤x+综合得出a的取值范围．解答：解：当x=0时，f（0）=a，由题意得：a≤x+，又∵x+≥2=2，∴a≤2，故答案为：（﹣∞，2]．点评：本题考察了分段函数的应用，基本不等式的性质，是一道基础题．三、解答题（共6小题）（选答题，不自动判卷）16．（2014•江西）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD．（1）求证：AB⊥PD；（2）若∠BPC=90°，PB=，PC=2，问AB为何值时，四棱锥P﹣ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值．考点：二面角的平面角及求法．专题：空间角；空间向量及应用．分析：（1）要证AD⊥PD，可以证明AB⊥面PAD，再利用面面垂直以及线面垂直的性质，即可证明AB⊥PD．（2）过P做PO⊥AD得到PO⊥平面ABCD，作OM⊥BC，连接PM，由边长关系得到BC=，PM=，设AB=x，则V P﹣ABCD=，故当时，V P﹣ABCD取最大值，建立空间直角坐标系O﹣AMP，利用向量方法即可得到夹角的余弦值．解答：解：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，∴AB⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴AB⊥面PAD，∴AB⊥PD．（2）过P做PO⊥AD，∴PO⊥平面ABCD，作OM⊥BC，连接PM∴PM⊥BC，∵∠BPC=90°，PB=，PC=2，∴BC=，PM==，BM=，设AB=x，∴OM=x∴PO=，∴V P﹣ABCD=×x××=当，即x=，V P﹣ABCD=，建立空间直角坐标系O﹣AMP，如图所示，则P（0，0，），D（﹣，0，0），C（﹣，，0），M（0，，0），B（，，0）面PBC的法向量为=（0，1，1），面DPC的法向量为=（1，0，﹣2）∴cosθ===﹣．点评：本题考查线面位置关系、线线位置关系、线面角的度量，考查分析解决问题、空间想象、转化、计算的能力与方程思想．17．（2014•江西模拟）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．考点：数列递推式；等比关系的确定．专题：综合题．分析：（1）由题设条件知b1=a2﹣2a1=3．由S n+1=4a n+2和S n=4a n﹣1+2相减得a n+1=4a n﹣4a n﹣1，即a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），所以b n=2b n﹣1，由此可知{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（2）由题设知．所以数列是首项为，公差为的等差数列．由此能求出数列{a n}的通项公式．解答：解：（1）由a1=1，及S n+1=4a n+2，得a1+a2=4a1+2，a2=3a1+2=5，所以b1=a2﹣2a1=3．由S n+1=4a n+2，①则当n≥2时，有S n=4a n﹣1+2，②①﹣②得a n+1=4a n﹣4a n﹣1，所以a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），又b n=a n+1﹣2a n，所以b n=2b n，所以{b n}是﹣1以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（6分）（2）由（I）可得b n=a n+1﹣2a n=3•2n﹣1，等式两边同时除以2n+1，得．所以数列是首项为，公差为的等差数列．所以，即a n=（3n﹣1）•2n﹣2（n∈N*）．（13分）点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要掌握等比数列的证明方法，会求数列的通项公式．18．（2014•四川）三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP．（1）证明：P是线段BC的中点；（2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角．专题：空间向量及应用．分析：（1）用线面垂直的性质和反证法推出结论，（2）先建空间直角坐标系，再求平面的法向量，即可求出二面角A﹣NP﹣M的余弦值．解答：解：（1）由三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥A﹣BCD中：平面ABD⊥平面CBD，AB=AD=BD=CD=CB=2设O为BD的中点，连接OA，OC于是OA⊥BD，OC⊥BD 所以BD⊥平面OAC⇒BD⊥AC因为M，N分别为线段AD，AB的中点，所以MN∥BD，MN⊥NP，故BD⊥NP假设P不是线段BC的中点，则直线NP与直线AC是平面ABC内相交直线从而BD⊥平面ABC，这与∠DBC=60°矛盾，所以P为线段BC的中点（2）以O为坐标原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，），M（，O，），N（，0，），P（，，0）于是，，设平面ANP和平面NPM的法向量分别为和由，则，设z1=1，则由，则，设z2=1，则cos===所以二面角A﹣NP﹣M的余弦值点评：本题考查线线的位置关系，考查二面角知识的应用，解题的关键是掌握用向量的方法求二面角大小的步骤，属于中档题．19．（2014•天津）设f（x）=x﹣ae x（a∈R），x∈R，已知函数y=f（x）有两个零点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）证明：随着a的减小而增大；（Ⅲ）证明x1+x2随着a的减小而增大．考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）对f（x）求导，讨论f′（x）的正负以及对应f（x）的单调性，得出函数y=f（x）有两个零点的等价条件，从而求出a的取值范围；（Ⅱ）由f（x）=0，得a=，设g（x）=，判定g（x）的单调性即得证；（Ⅲ）由于x1=a，x2=a，则x2﹣x1=lnx2﹣lnx1=ln，令=t，整理得到x1+x2=，令h（x）=，x∈（1，+∞），得到h（x）在（1，+∞）上是增函数，故得到x1+x2随着t的减小而增大．再由（Ⅱ）知，t随着a的减小而增大，即得证．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x﹣ae x，∴f′（x）=1﹣ae x；下面分两种情况讨论：①a≤0时，f′（x）＞0在R上恒成立，∴f（x）在R上是增函数，不合题意；②a＞0时，由f′（x）=0，得x=﹣lna，当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如下表：x l f′（x）f（x）∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣lna），减区间是（﹣lna，+∞）；∴函数y=f（x）有两个零点等价于如下条件同时成立：（i）f（﹣lna）＞0，（ii）存在s1∈（﹣∞，﹣lna），满足f（s1）＜0，（iii）存在s2∈（﹣lna，+∞），满足f（s2）＜0；由f（﹣lna）＞0，即﹣lna﹣1＞0，解得0＜a＜e﹣1；取s1=0，满足s1∈（﹣∞，﹣lna），且f（s1）=﹣a＜0，取s2=+ln，满足s2∈（﹣lna，+∞），且f（s2）=（﹣）+（ln﹣）＜0；∴a的取值范围是（0，e﹣1）．（Ⅱ）证明：由f （x）=x﹣ae x=0，得a=，设g（x）=，由g′（x）=，得g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，并且，当x∈（﹣∞，0）时，g（x）≤0，当x∈（0，+∞）时，g（x）≥0，x1、x2满足a=g （x1），a=g（x2），a∈（0，e﹣1）及g（x）的单调性，可得x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）；对于任意的a1、a2∈（0，e﹣1），设a1＞a2，g（X1）=g（X2）=a i，其中0＜X1＜1＜X2；g（Y1）=g（Y2）=a2，其中0＜Y1＜1＜Y2；∵g（x）在（0，1）上是增函数，∴由a1＞a2，得g （X i）＞g（Y i），可得X1＞Y1；类似可得X2＜Y2；又由X、Y＞0，得＜＜；∴随着a的减小而增大；（Ⅲ）证明：∵x1=a，x2=a，∴lnx1=lna+x1，lnx2=lna+x2；∴x2﹣x1=lnx2﹣lnx1=ln，设=t，则t＞1，∴，解得x1=，x2=，∴x1+x2=…①；令h（x）=，x∈（1，+∞），则h′（x）=；令u（x）=﹣2lnx+x﹣，得u′（x）=，当x∈（1，+∞）时，u′（x）＞0，∴u（x）在（1，+∞）上是增函数，∴对任意的x∈（1，+∞），u（x）＞u（1）=0，∴h′（x）＞0，∴h（x）在（1，+∞）上是增函数；∴由①得x1+x2随着t的减小而增大．由（Ⅱ）知，t随着a的减小而增大，∴x1+x2随着a的减小而增大．点评：本题考查了导数的运算以及利用导数研究函数的单调性与极值问题，也考查了函数思想、化归思想、抽象概括能力和分析问题、解决问题的能力，是综合型题目．20．（2014•陕西）设函数f（x）=lnx+，m∈R．（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数；（Ⅲ）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）m=e时，f（x）=lnx+，利用f′（x）判定f（x）的增减性并求出f（x）的极小值；（Ⅱ）由函数g（x）=f′（x）﹣，令g（x）=0，求出m；设φ（x）=m，求出φ（x）的值域，讨论m的取值，对应g（x）的零点情况；（Ⅲ）由b＞a＞0，＜1恒成立，等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；即h（x）=f（x）﹣x在（0，+∞）上单调递减；h′（x）≤0，求出m的取值范围．解答：解：（Ⅰ）当m=e时，f（x）=lnx+，∴f′（x）=；∴当x∈（0，e）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，e）上是减函数；当x∈（e，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（e，+∞）上是增函数；∴x=e时，f（x）取得极小值f（e）=lne+=2；（Ⅱ）∵函数g（x）=f′（x）﹣=﹣﹣（x＞0），令g（x）=0，得m=﹣x3+x（x＞0）；设φ（x）=﹣x3+x（x≥0），∴φ′（x）=﹣x2+1=﹣（x﹣1）（x+1）；当x∈（0，1）时，φ′（x）＞0，φ（x）在（0，1）上是增函数，当x∈（1，+∞）时，φ′（x）＜0，φ（x）在（1，+∞）上是减函数；∴x=1是φ（x）的极值点，且是极大值点，∴x=1是φ（x）的最大值点，∴φ（x）的最大值为φ（1）=；又φ（0）=0，结合y=φ（x）的图象，如图；可知：①当m＞时，函数g（x）无零点；②当m=时，函数g（x）有且只有一个零点；③当0＜m＜时，函数g（x）有两个零点；④当m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；综上，当m＞时，函数g（x）无零点；当m=或m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；当0＜m＜时，函数g（x）有两个零点；（Ⅲ）对任意b ＞a＞0，＜1恒成立，等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；设h（x）=f（x）﹣x=lnx+﹣x（x＞0），∴h（x）在（0，+∞）上单调递减；∵h′（x）=﹣﹣1≤0在（0，+∞）上恒成立，∴m≥﹣x2+x=﹣+（x＞0），∴m≥；对于m=，h′（x）=0仅在x=时成立；∴m的取值范围是[，+∞）．点评：本题考查了导数的综合应用问题，解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极值和最值，应用分类讨论法，构造函数等方法来解答问题，是难题．21．（2014•江苏）已知函数f0（x）=（x＞0），设f n（x）为f n﹣1（x）的导数，n∈N*．（1）求2f1（）+f2（）的值；（2）证明：对任意n∈N*，等式|nf n﹣1（）+f n（）|=都成立．考点：三角函数中的恒等变换应用；导数的运算．专题：函数的性质及应用；三角函数的求值．分析：（1）由于求两个函数的相除的导数比较麻烦，根据条件和结论先将原函数化为：xf0（x）=sinx，然后两边求导后根据条件两边再求导得：2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，把x=代入式子求值；（2）由（1）得，f0（x）+xf1（x）=cosx和2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，利用相同的方法再对所得的式子两边再求导，并利用诱导公式对所得式子进行化简、归纳，再进行猜想得到等式，用数学归纳法进行证明等式成立，主要利用假设的条件、诱导公式、求导公式以及题意进行证明，最后再把x=代入所给的式子求解验证．解答：解：（1）∵f0（x）=，∴xf0（x）=sinx，则两边求导，[xf0（x）]′=（sinx）′，∵f n（x）为f n﹣1（x）的导数，n∈N*，∴f0（x）+xf1（x）=cosx，两边再同时求导得，2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，将x=代入上式得，2f1（）+f2（）=﹣1，（2）由（1）得，f0（x）+xf1（x）=cosx=sin（x+），恒成立两边再同时求导得，2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx=sin（x+π），再对上式两边同时求导得，3f2（x）+xf3（x）=﹣cosx=sin（x+），同理可得，两边再同时求导得，4f3（x）+xf4（x）=sinx=sin（x+2π），猜想得，nf n﹣1（x）+xf n（x）=sin（x+）对任意n∈N*恒成立，下面用数学归纳法进行证明等式成立：①当n=1时，成立，则上式成立；②假设n=k（k＞1且k∈N*）时等式成立，即，∵[kf k﹣1（x）+xf k （x）]′=kf k﹣1′（x）+f k（x）+xf k′（x）=（k+1）f k（x）+xf k+1（x）又===，∴那么n=k（k＞1且k∈N*）时．等式也成立，由①②得，nf n﹣1（x）+xf n（x）=sin（x+）对任意n∈N*恒成立，令x=代入上式得，nf n﹣1（）+f n（）=sin（+）=±cos=±，所以，对任意n∈N*，等式|nf n（）+f n﹣1（）|=都成立．点评：本题考查了三角函数、复合函数的求导数公式和法则、诱导公式，以及数学归纳法证明命题、转化思想等，本题设计巧菁优网 ©2010-2014 菁优网妙，题型新颖，立意深刻，是一道不可多得的好题，难度很大，考查了学生观察问题、分析问题、解决问题的能力，以及逻辑思维能力．。

教师资格考试高中数学学科知识与教学能力试题与参考答案

教师资格考试高中数学学科知识与教学能力模拟试题(答案在后面)一、单项选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、设函数(f(x)=log2(x2−4x+5))，则该函数的定义域为：A.(x<2)B.(x>2)C. 全体实数D.(x≠2)2、已知向量(a⃗=(3,4))，(b⃗⃗=(−1,2))，若(c⃗=a⃗−2b⃗⃗)，则(|c⃗|)（即(c⃗)的模）等于：A. 5B. 7C.(√29)D.(√53)3、在以下函数中，定义域为全体实数的是（）A.(f(x)=√x−1))B.(g(x)=1x2C.(ℎ(x)=log2(x+3))+√x+1)D.(j(x)=1x−14、在等差数列({a n})中，若首项(a1=3)，公差(d=2)，则第10项(a10)的值是（）A. 21B. 19C. 17D. 155、设函数(f(x)=x3−3x+1)，则函数在区间[-2, 2]上的最大值为：A、1B、3C、5D、不存在6、若矩阵(A)经过有限次初等行变换可化为矩阵(B)，下列叙述正确的是：A、(A)与(B)的秩不一定相等。

B、(A)与(B)的行列式值相同。

C、若(A)可逆，则(B)也可逆。

D、(A)与(B)相似。

7、在下列数学概念中，属于集合概念的是：A. 方程B. 函数C. 点D. 三角形8、函数y=lg(2x-1)的定义域是：A. (1, +∞)B. (0, +∞)C. (0, 1)D. (1, 2)二、简答题（本大题有5小题，每小题7分，共35分）第一题在高中数学课程中，函数是一个非常重要的概念，请详细解释函数的概念，并举例说明函数在实际生活中的应用。

第二题请结合高中数学课程标准，谈谈如何有效地进行高中数学概念的教学设计。

第三题题目：请简述函数的奇偶性，并举例说明。

如何利用函数的奇偶性简化某些积分问题？第四题请结合高中数学教学实际，阐述如何利用“问题情境”激发学生学习高中数学的兴趣。

第五题请结合高中数学教学实际，谈谈如何有效地进行数学课堂导入，提高学生的学习兴趣。

高中数学教招试题及答案

高中数学教招试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-2x+3的最小值是（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 已知等差数列{a_n}的前三项依次为1，4，7，则该数列的通项公式为（）A. a_n = 3n - 2B. a_n = 3n + 1C. a_n = 3n - 1D. a_n = 3n答案：A3. 若cosθ=1/3，则sinθ的值为（）A. 2√2/3B. √2/3C. √6/3D. -√6/3答案：C4. 抛物线y^2=4x的焦点坐标是（）A. (0, 0)B. (1, 0)C. (2, 0)D. (0, 1)答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知圆的方程为x^2+y^2-6x-8y+24=0，该圆的半径为_________。

答案：2√52. 函数y=2x^3-3x^2+4x-1的导数为_________。

答案：6x^2-6x+43. 集合A={x|x^2-5x+6=0}，则A的元素个数为_________。

答案：24. 已知向量a=(3, -4)，b=(2, k)，若a与b垂直，则k的值为_________。

答案：-2三、解答题（每题15分，共30分）1. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+4，求证：f(x)在x=2处取得极值。

证明：首先求导数f'(x)=3x^2-6x。

令f'(x)=0，解得x=0或x=2。

计算f''(x)=6x-6，代入x=2，得到f''(2)=6，说明f(x)在x=2处取得极小值。

因此，f(x)在x=2处取得极值。

2. 已知三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a=2，b=3，c=√7，求三角形ABC的面积。

解：由余弦定理得cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=1/2，因此C=π/3。

利用正弦定理，有S=1/2ab*sinC=1/2*2*3*√3/2=3√3/2。

教师资格考试高级中学数学学科知识与教学能力2025年模拟试题与参考答案

2025年教师资格考试高级中学数学学科知识与教学能力模拟试题与参考答案一、单项选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、若集合A={x | x^2 - 5x + 6 = 0}，集合B={x | x < 3}，则A ∩ B等于什么？A. {2}B. {3}C. {2, 3}D. 空集答案：A. {2}解析：解方程x^2 - 5x + 6 = 0，我们得到这是一个二次方程，可以通过因式分解来解它。

方程可以分解为(x-2)(x-3)=0，从而解得x=2或x=3。

因此，集合A包含元素2和3。

而集合B定义为所有小于3的实数构成的集合。

故A ∩ B只包含2，因为3并不满足B中的条件（即不大于3）。

所以正确答案是A. {2}。

2、在平面直角坐标系中，已知直线l经过点P(2, 3)，且斜率为-1/2。

那么直线l 的方程是什么？A. y - 3 = -1/2(x - 2)B. y - 3 = 1/2(x - 2)C. y + 3 = -1/2(x + 2)D. y + 3 = 1/2(x + 2)答案：A. y - 3 = -1/2(x - 2)解析：直线的点斜式方程形式为y - y₁ = m(x - x₁)，其中m是直线的斜率，(x₁, y₁)是直线上的一点。

根据题目给出的信息，斜率m=-1/2，点P(2, 3)是直线上的一个点，代入上述公式可得直线l的方程为y - 3 = -1/2(x - 2)。

因此正确答案是A选项。

让我们验证一下第二个题目的答案是否正确。

看来在解释第二个题目时出现了技术上的展示错误。

不过，基于解析几何的知识，我们可以手动写出答案。

给定点P(2, 3)和斜率m = -1/2，直线的点斜式方程是 y - y₁ = m(x - x₁)，代入得到 y - 3 = -1/2(x - 2)。

这证实了第二个题目的正确答案确实是：A. y - 3 = -1/2(x - 2)3、在下列数学概念中，属于类比推理的是：A. 集合的并集与交集B. 函数的单调性与周期性C. 向量的数量积与向量积D. 点的坐标与直线的斜率答案：D解析：类比推理是指通过比较两个或多个对象之间的相似之处，推导出它们之间可能存在的其他相似之处的推理方法。

全国教师资格证考试高中数学(高级中学)模拟卷(一)

(xn 1) | f (xn )．
11．求下列向量组的秩和一个极大线性无关组：
1 1, 2,3T ，2 1, 1,1T ，3 4,5, 3T ，4 3, 6,5T ．
11．【答案】方程组的秩为 3，1, 2, 3是方程组的一个极大线性无关组．
解析：
1 1 4 3 1 1 4 3 1 1 4 3
画出任意度数的角呢？
30°，750°，﹣330°．
象限角的引入
6．是否每次画角都要经历这 6．有没有发现 30°，750°，
样复杂的过程？
﹣330°画出来的角长得都
很像？
象限角的学习
7．借助平面直角坐标系，可 7．尝试将 30°，750°，﹣
以将角做一个分类，你能否 330°，90°，150°，在坐
6．【答案】A．解析：对行列式 2 3 1 1 32 进行拆分、提公因式、交换换列变换符号，
2 3 1 1 32 2 3 1 1 2 3 1 32 1 3 2 1 3 2 1 32
1 2 3 1 3 1 2 3 2 1 2 3 1 3 1 2 2 3 m 3n ，故选 A．
2．这个度数对应的角该如何
画出来？
任意角概念的学习
3．角有旋转方向不同，之前 3．类比校准钟表，能否尝试
的学习过程中有没有类似的给角做一个分类？
学习情境帮助咱们研究角的 4．那没有角的终边没有发生
分类？
旋转的角又该如何定义呢？
4．如何将角的研究范围进行
推广？
任意角概念的意义
5．有了任意角的概念，能否 5．可以试着画出一些角如
B． x2 3x 2
C． x2 x 2
5．【答案】C．解析：运用辗转相除法可得选 C．
D． x2 4

全国教师资格证考试高中数学(高级中学)模拟卷(一)-答案版

2020年上半年中小学教师资格考试数学学科知识与教学能力试题（高级中学）模拟卷（一）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1．【答案】A ．解析：因为分母2(1)0x -→，要是函数极限存在，则分子也要趋于零．函数属于00型，采用洛必达法则，211112lim lim 11241x x x a b x a x x a→→+++===-+，所以1516a =-，再将1516a =-代入分子x a b ++且分子趋于零，算出14b =-，故答案选A ． 2．【答案】C ．解析：因为罗尔定理的条件是在[1,1]-上连续，在(1,1)-内可导且(1)(1)f f -=，A ，D 选项不满足(1)(1)f f -=，B 选项在0处不可导，故选C ．3．【答案】A ．解析：根据定积分的概念可知，该曲线及x 轴所围成的曲边梯形的面积即为该函数在[]0,2上的定积分，故选A ．4．【答案】A ．解析：级数∑∞=1n n u 收敛，则0lim =∞→n n u ，B 、D 为既不充分也不必要条件，C 为充分条件，故本题选择A 选项． 5．【答案】C ．解析：运用辗转相除法可得选C ．6．【答案】A ．解析：对行列式231123αααββ+进行拆分、提公因式、交换换列变换符号， 231122311231213213212333αααββαααβαααβαααβαααβ+=+=--1231123212311223333m n αααβαααβαααβααβα=+=-=-，故选A ． 7．【答案】C ．解析：教材编写注重突出核心内容，注重内容之间的相互联系，注重体现学生学习的整体性，故选C ．8．【答案】B ．解析：教学设计的一般的结构包括概况、教学过程、板书设计和教学反思，故选B ．二、简答题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）9．【答案】23a π，235a π，336a π．解析：与x 轴所围成的面积：222220001cos2()dx (1cos )(1cos )(12cos )32at A y x a t a t dt a t dt a ππππ+==-⋅-=-+=⎰⎰⎰，绕x 轴旋转的体积：22222232323000()dx (1cos )(1cos )(13cos 3cos cos )5ax V y x a t a t dt a t t t dt a πππππππ==-⋅-=-+-=⎰⎰⎰，绕y 轴旋转的体积：22222222210020(y)dy (y)dy (t sint)sin (t sint)sin aay V x x a a tdt a a tdt πππππππ=-=-⋅--⋅⎰⎰⎰⎰232330(sin )sin 6a t t tdt a πππ=--=⎰．10．【答案】见解析．解析：证明：设n y x =，考虑多项式()f y ，于是(1)(1)0n f f ==，因此1y -能整除()f y ，即(1)|()n n x f x -．11．【答案】方程组的秩为3，123,,ααα是方程组的一个极大线性无关组．解析：令()1234,,,A αααα=，则114311431143=21560330033031350215400134A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴()()1234,,,3r A r αααα==，令()123411430330=,,,00134ββββ⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭，由123,,βββ线性无关知123,,ααα线性无关是方程组的极大线性无关组．12．【参考答案】教学有法，但教无定法，我们应明确教学过程的复杂性，根据学生情况、教学内容、教师素质等来选择教学方法．（1）根据教学目标进行选择，每一节课都有特定的教学目标，教学方法的选择首先要为实现教学目标服务，选择与教学目标相适应的、能够实现教学目标的教学方法．（2）依据教学内容，教学目标是通过学生在教学过程中掌握特定的知识和方法来实现的．由于各个教学阶段的教学内容不同，不同的学习内容也都有各自的特点，难易程度也不尽相同，有的是概念教学，有的是命题教学，有的是解题教学，因而就要求选取与完成某种教材内容传授任务相适应的教学方法．（3）依据学生的情况，在教学活动中，学生是学习的主体，教师的“教”，是为了学生的“学”，教学方法要适应学生的基础条件和个性特征．（4）依据教师本身的素养条件和教学条件进行选择，任何教学方法都要由教师来运用，都是在特定条件下才能运用．每一个老师有自己不同的特长、数学素养和教学风格，同时也受到教学条件(教材、教学设备、教学时间和空间等)的制约．这也是选择教学方法的条件之一．教学方法的选用，只有适应教师的素养条件、为教师所掌握，才能发挥作用．13．【参考答案】第一、推理能力的发展应贯穿在整个数学的学习过程中．其一，它应贯穿于整个数学课程的各个学习内容，即应包括数与代数、图形与几何、统计与概率及综合与实践等所有领域内容．其二，它应贯穿于数学课堂教学的各种活动过程．如在概念教学中，让学生经历从特定对象的本质属性入手，抽象、概括形成概念的过程，并引导学生有条理地表述概念定义；在命题教学中，引导学生分清条件、结论，把握条件、结论间的逻辑关系；在证明教学中，更要让学生遵循证明，通过数学推理、证明数学结论．其三，它贯穿于整个数学学习环节，如预习、复习、课堂教学、自我练习、测验考试等，在所有的这些学习环节中，逐步要求学生做到言必有据，合乎逻辑．第二、通过多样化的活动，培养学生的推理能力．第三、使学生多经历“猜想---证明”的问题探索途径．三、解答题（本大题1小题，10分）14．【答案】见解析．解析：证明：)(x f y =在区间[a ，b]上应用拉格朗日中值定理知，在(a ，b)内至少存在一点),(b a <<ξξ使得()()()f b f a f b aξ-'=-，又()f x ，1x 在[],a b 上满足柯西中值定理的条件，故在(),a b 内至少存在一点η，使2()()()111f b f a f b a ηη'-=--整理得2()()()f b f a f b a ab ηη'-=-因此得到，在(),a b 内至少存在,ξη使得2()()f f ab ηηξ''=，证毕．四、论述题（本大题1小题，15分）15．【参考答案】数学思想方法是数学思想与数学方法的合称．所谓数学思想是指从具体的数学内容中提炼出来的对数学知识的本质认识，它在数学认识活动中被普遍使用，是建立数学理论和解决数学问题的指导思想．所谓数学方法是指在研究数学问题的过程中所采用的各种方式、手段、途径、步骤、程序等，它通过一些可操作的规则或模式达到某种预期的目的．在中学数学中应在知识的形成过程中渗透数学思想方法，数学知识的发生过程实际上也是数学思想方法的发生过程．任何一个概念，都经历着由感性到理性的抽象概括过程；任何一个规律，都经历着由特殊到一般的归纳过程．在概念的形成、结论的推导、规律的揭示等过程中，都体现了某种数学思想方法，并受某种数学思想方法的指导，这些过程是渗透数学思想方法的极好机会，因此，教师要重视这些知识发生过程的设计，引导学生以探索者的姿态去参与概念的形成和规律的揭示过程．这样，学生获得的就不仅是数学概念、定理、法则，更重要的是发展了抽象概括思维和归纳思维，还可以养成良好的思维品质．学生像“数学家”一样自主探索、亲身经历知识的发生、发展过程，自然会加深对其中思想方法的理解和领悟．五、案例分析题（本大题1小题，20分）16．【参考答案】见解析．解析：（1）教师A 的提问侧重引导学生结合已有知识，对新知识进行猜想，符合合情推理中类比推理的逻辑要求，在调动学生已有知识的同时，也在一定程度上帮助学生将新知和旧知建立联系，从而完善知识体系，形成更为完整的知识网络．在角的定义提问中，目的在于将学生之前的对角的认识进行深化，从“同一端点出发的两条射线组成的图形”到“一条射线绕着端点旋转，形成的图形”，这样就完成了从静态到动态的转化，再结合本节课给角重新下定义，能帮助学生更好地理解角．在对角的分类的提问中，学生在描述具有相反意义的量时，接触过用正负数来表示，这里借助学生的经验，完成对正角、负角、零角的讲解，也在一定程度上降低了知识难度；结合旋转去谈角度，也能反映出正角、负角的规定并没有规定大小，而只是旋转方向造成的表述上有所区别．教师B的提问设计更偏向于借助具体实例，来引导学生发现规律，进行总结，符合合情推理中归纳推理的要求，从实际例子出发，更具直观，帮助学生更好地理解本节知识，再联想、思考、归纳一般形式的特点，有助于培养科学的研究方法．（2）任意角的概念并不算一个难以理解的问题，学生在小学、初中的学习过程中都已经接触了很多角的相关知识，但对于角的分类、计量和计算中，还仅仅局限于0°到360°之间，在实际生活中也见过超过此范围的角，但缺少数学上的认识，因此在任意角的课堂引入中，可设计一些生活中的典型例子，如跳水运动员、体操运动员的竞技动作：转体3周半等，以此提问该动作是多少度？能否画出对应的角？学生军训时的向后转时以哪个角为轴，向哪个方向旋转？和之前的角有哪些区别？六、教学设计题（本大题1小题，30分）17．【参考答案】（1）教学目标【知识与技能】正确理解分层抽样的概念；掌握分层抽样的一般步骤；区分简单随机抽样、系统抽样和分层抽样，并选择适当正确的方法进行抽样．【过程与方法】通过对现实生活中实际问题进行分层抽样，感知应用数学知识解决实际问题的方法．【情感态度价值观】通过对统计学知识的研究，感知数学知识中“估计”与“精确”性的矛盾统一，培养辩证唯物主义的世界观与价值观．（2）教学重点：正确理解分层抽样的定义，灵活应用分层抽样抽取样本．教学难点：理解分层抽样与简单随机抽样和系统抽样的区别与联系．（3）课程导入教师引导学生回顾什么是简单随机抽样和系统抽样，他们的优缺点分别是什么？创设问题情境：假设某地区有高中生2400人，初中生10900人，小学生11000人，此地教育部门为了了解本地区中小学的近视情况及其形成原因，要从本地区的小学生中抽取1%的学生进行调查，你认为应当怎样抽取样本，让其接近真实情况呢？预设：学生们会用前面学过的简单随机抽样（抽签法，随机数表法）、系统抽样法等去尝试．设疑引导：用之前的抽样方法合理么？还有什么方法？。

高中数学教材教法练习题范文

高中数学教材教法练习题一．选择题1. 函数 ()y f x = 的图像按向量 (,2)4a π= 平移后, 得到的图像的解析式为sin()24y x π=++. 那么 ()y f x = 的解析式为A. sin y x =B. cos y x =C. sin 2y x =+D. cos 4y x =+2. 如果二次方程 20(,x px q p q --=∈N*) 的正根小于3, 那么这样的二次方程有A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个 3. 设 0a b >>, 那么 21()a b a b +- 的最小值是A. 2B. 3C. 4D. 54. 设四棱锥 P ABCD - 的底面不是平行四边形, 用平面 α 去截此四棱锥, 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 αA. 不存在B. 只有1个C. 恰有4个D. 有无数多个5. 设数列 {}n a : 01212,16,1663n n n a a a a a ++===-, n ∈N*, 则 2005a 被 64 除的余数为A. 0B. 2C. 16D. 486. 一条走廊宽 2 m, 长 8 m, 用 6 种颜色的 1⨯1 m 2的整块地砖来铺设(每块地砖都是单色的, 每种颜色的地砖都足够多), 要求相邻的两块地砖颜色不同, 那么所有的不同拼色方法有A. 830个B. 73025⨯个C. 73020⨯个D. 73021⨯个7、发散式思维方式的展开形式是（）A 穷举式发散B 演绎式发散C 逆向式发散D 以上三种均是 8、数学思想方法的序是（）A 反复孕育，初步形成，应用发展B 由小模块到大模块C 组建，形成，发展D 以上三种均不是9、由平面几何到立体几何的学习，学生原有认知结构与学习新内容发生交互作用的方式是（） A 同化 B 顺应 C 同化与顺应 D 以上均不是 10、凡是能被2整除的整数叫作偶数。

其定义方式是（）2A 发生式B 关系式C 外延式D 约定式二．填空题1. 设向量 OA 绕点 O 逆时针旋转 2π得向量 OB , 且 2(7,9)OA OB +=, 则向量 OB = .2. 设无穷数列 {}n a 的各项都是正数, n S 是它的前 n 项之和, 对于任意正整数 n , n a 与 2 的等差中项等于 n S 与 2 的等比中项, 则该数列的通项公式为3. 函数 ∈+=x x x y (|2cos ||cos |R) 的最小值是 .4. 在长方体 1111ABCD A B C D - 中, 12,1AB AA AD ===, 点 E 、F 、G 分别是棱 1AA 、11C D 与 BC 的中点, 那么四面体 1B EFG - 的体积是5. 由三个数字 1、2、3 组成的 5 位数中, 1、2、3 都至少出现 1 次, 这样的 5 位数共有 .6. 已知平面上两个点集{(,)||1|,M x y x y x y =++≥∈R},{(,)||||1|1,,N x y x a y x y =-+-≤∈R}. 若 MN ≠∅, 则 a 的取值范围是．7、因为分解的教学主要培养中学生运算能力的（）变形能力。

(完整版)高中数学教材教法试卷4

《数学教材教法》模拟试题04（答题时间120分钟）一、判断题（判断正确与错误,每小题1分,共10分.请将答案填在下面的表格内）1.尝试教学法的教学理论由邱学华提出的;张奠宙先生是我国著名的数学教育专家.2.1901年培利(John Perry),德国数学家F.克莱因(F.Klein )发起了培利---克莱因运动,主张数学教育应该面向大众,数学教育必须重视应用.3.数学教育的目的主要包括数学教育的思想性目的;知识性目的;能力性目的.4.普通高中《数学课程标准》在课程中设置了数学探究、数学建模、数学文化内容.5.尝试指导·效果回授法是由顾泠元经过了调查研究(3年),筛选经验(1年)实验研究(3年)推广运用(3年)提出的.6.当代美国著名数学家哈尔莫斯(P.R.Halmos)指出：“问题是数学的心脏”.7.普通高中《数学课程标准》规定数学选修系列4对于理工类考生来说不属于普通高考范围.8.国际数学教育委员会于1908年成立,简称ICMI;著名的数学教育权威弗赖登塔尔(Hans Freudenthal 荷兰)于1967---1970担任国际数学教育委员会的主席,他认为数学教学方法的核心是学生的“再创造”.9.数学概念的引入,命题的提出,新知识的归纳总结,教学时一般采用谈话法.10.我国学者关于数学问题解决的一般模式为:问题识别与定义;问题表征;策略选择与应用;资源分配;监控与评估.二、填空题（每题 2 分，共 14分）1.乔治.波利亚(George Polya)在《怎样解题》中所表述的怎样解题表的解题过程分为: ____________________.2.在加涅(R.M.Gagne)的数学学习理论中的数学学习的阶段: _____________.3.教师传授知识的过程: _______________________.4.皮亚杰(J.Piaget)关于智力发展的四个阶段: _______________________.5.现在数学教学过程的环节为: __________________________________.6.数学思维的基本成分:______________________________________.7.20世纪60年代我国的《全日制中学数学教学大纲》中,教学目的所包含的“三大”能力为__ __ ___ __.三、解释概念（每题 4分，共16分）1.数学能力:2.数学认知结构:3.数学化:4.数学教育实验:四、简答题（每题 5分，共 40分）1.从符号到概念的数学化,也就是在数学范畴之内对已经符号化了的问题作进一步抽象化处理,其基本流程是什么?2.21世纪基础教育需要什么样的数学教师?3.弗赖登塔尔所认识的数学教育的主要特征是什么?4.普通高中《数学课程标准》提出的教学评价的建议是什么?5.我国制定数学教学目的的依据是什么?6.普通高中数学课程标准提出的教学建议是什么?7.常规数学思维能力包括那些内容?.8.探究式教学模式的主要操作步骤是什么?五、论述题（每题 10分，共 20 分）1.讲解法及其基本要求是什么?自选一个中学的数学概念作讲解设计.2.如何理解数学学习的认知过程?《数学教材教法》04答案一.1.√；2. √；3. √；4. √；5. √；6. √；7.×；8.√9.×;10.√二.1.弄清问题---拟订计划---实现计划----回顾2.理解阶段;习得阶段;存储阶段;提取阶段.3.备课----讲课----辅导----批改作业----总结.4.感觉运动,前运算,具体运算,形式运算.5.复习思考;创设情景;探究新课;巩固反思;小结练习6.具体形象思维,抽象逻辑思维,直觉思维7.运算能力;逻辑思维能力;空间想象能力.三.1.数学能力是顺利完成数学活动所具备的,而且直接影响其活动效率的一种个性心理特征,它是在数学活动过程中形成和发展起来的,并且在这类活动中表现出来的比较稳定的心理特征.是系统化了的,概括化了的哪些个体经验,是一种网络化的经验结构.2. 数学认知结构:是学习者通过教师所激发起来的心理结构作用与外界数学知识而形成的一种内在的知识结构.----内化了的数学理论;内化了的数学技能;数学活动经验的积累(对具体数学理论或数学技能的应用背景和条件的概括).3.什么是数学化? 弗赖登塔尔认为,人们在观察认识和改造客观世界的过程更中,运用数学的思想和方法来分析和研究客观世界的种种现象并加以整理和组织的过程,就叫数学化,数学地组织现实世界的过程就是数学化.4.数学教育实验是实验者依据一定的理论假说和实验设计,主动操作自变量,对除自变量以外的影响因变量的各种无关变量予以自觉,明确和适度控制,观测其结果,用数学方法进行分析,从而验证理论假说,解释和认识数学教育客观规律的一种方法.四 1.①用数学公式表示关系;②对有关规则作出证明;③尝试建立和使用不同的数学模型;④对做出的数学模型进行调整和加工;⑤综合不同数学模型的共性,形成功能更强的新模型;⑥用已知数学公式和语言尽量准确的描述得到新概念和新方法;⑦作一般化的处理和推广.2.①敏锐的改革创新意识;②丰富的专业数学知识;③丰厚的教育理论知识;④扎实的教师专业技能;⑤娴熟的信息科学技术.3.①情景问题是教学的平台;②数学化是数学教育的目标;③学生通过自己努力得到的结论和创造是教育内容的一部分;④互动是主要的学习方式;⑤学科交织是数学内容的呈现方式.4.①重视对学生数学学习过程的评价;②正确评价学生的数学基础知识和基本技能;③重视对学生能力的评价;④实施促进学生发展的多元化评价重视⑤根据学生的不同选择进行评价.5.①国家的教育方针; ②经济社会发展的需求;③学生的心理和智力发展水平;④数学的特点及其现实水平;⑤教师的素质状况.6.①以学生发展为本,指导学生合理选择课程、制定学习计划;②帮助学生打好基础,发展能力;③注重联系,提高对数学整体的认识;④注重数学知识与实际的联系,发展学生的应用意识和能力;⑤关注数学的文化价值,促进学生科学观的形成;⑥改善教与学的方式,使学生主动地学习;⑦恰当运用现代信息技术,提高教学质量.7.①.数形感觉与判断能力;②.数据收集与分析;③.几何直观和空间想象;④.数学表示与数学建模;⑤.数形运算和数形变换;⑥.归纳猜想与合情推理；⑦.逻辑思考与演绎证明;⑧.数学联结与数学洞察;⑨.数学计算和算法设计;⑩.理性思维与建构体系.8.教师精心设计问题链;学生基于对问题的分析,提出假设;在教师的引导下,学生对问题进行论证,形成确切概念;学生通过实例来证明或辨认所获得的概念;教师引导学生分析思维过程,形成新的认知结构.五1.讲解法:是由教师对所授教材作系统的讲述与分析,学生集中注意力倾听的一种教学方法.优点:能够保持教师讲授知识的流畅性和连贯性,有利于重点内容的把握和难点的突破,节约时间,教师易于控制课堂教学,帮助学生抓住问题的关键.①保证讲解内容的科学性,讲解概念要清楚准确,使学生明确概念的本质,掌握概念的内涵,正确认识概念的外延,讲解命题推理要合乎逻辑,要侧重解决问题的思路和方法.②遵循学生的认知规律,体现循序渐进,具有系统性.突出重点,分散难点,祥略得当③讲解的过程要善于运用启发式教学思想,善于运用分析、综合、归纳、演绎、类比等思维方法,通过设疑和释疑来达到传授知识的目的.④根据学生的思维水平,随时关注学生,及时调整讲解的策略,照顾每一个学生.⑤讲解要有针对性,通俗易懂----时间25分钟左右.⑥讲清数学知识的发生发展过程,知识的来龙去脉,渗透数学思想方法.2.数学学习的一般过程:新的学习内容与学生原有的数学认知结构相互作用,形成新的认知结构的过程.输入阶段----新旧知识相互作用阶段----操作阶段----输出阶段.输入阶段:给学生提供新的学习内容,创设有利于学生观察、思考、辨别分析、抽象、概括的情境.外界新的信息,新的知识经感知输入学生的大脑,与原有的认知结构发生冲突,使学生产生学习的需要.新旧知识相互作用阶段:同化与顺应同化:把新知识纳入原知识或行为结构模式的过程.新的数学内容输入以后,学习者利用大脑中原有的数学认知结构,对新知识进行加工和处理.若原有的认知结构中的某些观念与新知识有实质的非人为的联系,那么根据新旧知识的从属因果关系,把新知识适当加工改造,新知识就被纳入到原有认知结构中,从而扩大了它的内容.通过分析、辨别、比较等心理活动,获得新知识,并以旧知识为固着点,把新知识归属到原数学认知结构中,从而原数学认知结构被分化,得以扩充.顺应:在原有的认知结构或行为不能使知识同化时,调整原有的认知结构或行为结构,使之适应新的知识.改造原有认知结构以能接纳新知识的方式:①改变原有认知结构的组织形式,或赋予原认知结构中某些观念以新的意义,使之与新知识相适应,并以此为固着点来接纳新知识----调整;例如有理数的学习②把新知识与原认知结构中的某些观念赋予一定的外在联系,并把新的数学认知结构与旧的知识平行的连接形成一定的结构----并列.操作阶段运用在相互作用阶段形成的新的数学认知结构去完成“问题”解决的过程.操作是指智力活动(数学思维活动),主要方式数学练习,使新的数学认知结构趋于完善稳定.输出阶段通过问题解决,形成新的良好的数学认知结构,数学能力得到发展,达到预期目标.。

教师资格数学学科知识与教学能力模拟试题及答案(高级中学)

教师资格数学学科知识与教学能力模拟试题及答案（高级中学）（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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教师资格数学学科知识与教学能力模拟试题及答案(高级中学)

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六、教学设计题(共1题，共30分)
17.弧度制作为三角函数的第二课时，该课的知识是后继学习任意角的三角函数等知识的理论准备，因此本节课还起着启下的作用.通过本节弧度制的学习，我们很容易找出与角对应的实数而且在弧度制下的弧长公式与扇形面积公式有了更为简单形式，因此学习弧度制有很重要的作用，回答下列问题：
(1)在本内容学习之前，学生已具备了哪些相关的数学学习条件?
(2)请写出弧度与角度二者的换算公式.
(3)请写出本内容的教学难题.
(4)请写出本内容的教学过程简案(500字左右).
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高中数学新教师考试题

新教师教材考试高中数学试题一、选择题（每题只有一个正确答案，每小题3分，共30分）1、112-+⎛⎝ ⎫⎭⎪i i 的值等于（）A 、1B 、－1C 、iD 、－i 2、已知集合{}{}M x x y y N M ∈==-=,cos ,1,0,1，则N M ⋂是A 、{}1,0,1-B 、{}1,0C 、{}0D 、{}1 3、双曲线x y 22491-=的渐近线方程是（） A. y x =±32B. y x =±23C. y x =±94D. y x =±494、在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，恰有1件次品的不同取法的种数（）A. C C 61942 B. C C 61992C. P P 61942D. C C 1003943-5、若函数 ()log (01)a f x x a =<<在区间[],2a a 上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为（）. A ．24 B ．22C ．14D ．126、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，1O 为底面的中心，则1O A 与上底面1111D C B A 所成角的正切值是（）A.1B. 22C.2D.227、不等式211>-x的解集是（A ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-311x x （B ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<311x x x 或（C ）{}1->x x （D ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<<<-31001x x x 或8、已知a 、b 、c 为ABC ∆三内角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆的面积为53,4,5a b ==，则c的值为（）（A ）21 （B ）61 （C ）21或61 （D ）419、数列{}n a 满足122,1,a a ==并且1111(2)n n n n n n n n a a a a n a a a a -+-+--=≥⋅⋅。

教师资格认定考试高级中学数学模拟题14

教师资格认定考试高级中学数学模拟题14一、单项选择题1. 设常数α＞0，β＞0，则级数敛散性______A.与α，β的值有关B.仅与α的值有关C.仅与β的值有关D.与α，β的值都无关正确答案：A[解析] ，根据正项级数的比式判别法可知，当0＜β＜1时，级数收敛，当β＞1时，级数发散，当β=1且α＞1时级数收敛，当β=1且α≤1时级数发散。

故级数的敛散性与α，β的值都有关。

2. “数列{x n}有界”是“存在”的______A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件正确答案：A[解析] 当存在时，数列{x n}收敛，则该数列必有界；反之，不成立，如数列{(-1)n-1}有界，但不收敛，即数列极限不存在。

因此“数列{x n}有界”是“存在”的必要不充分条件。

3. 设a，b是两个非零向量，则下面说法正确的是______A.若|a+b|=|a|-|b|，则a⊥bB.若a⊥b，则|a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数λ，使得a=λbD.若存在实数λ，使得a=λb，则|a+b|=|a|-|b|正确答案：C[解析] 利用排除法可得选项C是正确的，∵|a+b|=|a|-|b|，则a，b共线，即存在实数λ，使得a=λb。

选项A：|a+b|=|a|-|b|时，a，b可为异向的共线向量；选项B：若a⊥b，比如在正方形里，|a+b|=|a|-|b|不成立；选项D：若存在实数λ，使得a=λb，a，b可为同向的共线向量，此时显然|a+b|=|a|-|b|不成立。

4. 若f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)可导，且f(a)=f(b)，则______A.至少存在一点ξ∈(a，b)，使得f'(ξ)=0B.一定不存在一点ξ∈(a，b)，使得f'(ξ)=0C.恰存在一点ξ∈(a，b)，使得f'(ξ)=0D.对任意的ξ∈(a，b)，都有f'(ξ)=0正确答案：A[考点] 本题考查罗尔定理。

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