北师大版九年级数学上册-第一章-特殊的平行四边形-单元测试题(有答案)

九年级数学上册

第一章特殊的平行四边形单元测试题

班级：姓名：成绩：

一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．下列属于菱形性质的是（）

A．对角线相等 B．对角线互相垂直C．对角互补 D．四个角都是直角2．如图，AC＝AD，BC＝BD，则正确的结论是（）

A．AB 垂直平分CD B．CD垂直平分AB

C．AB与CD互相垂直平分D．四边形ABCD是菱形

3．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为（）

A．40 B．24 C．20 D．15

4．如图，O为矩形ABCD的对角线AC的中点，过点O作AC的垂线EF分别交AD、BC于点E、F，连结CE．若该矩形的周长为20，则△CDE的周长为（）

A．10 B．9 C．8 D．5

5．如图，在?ABCD中，对角线AC与BD 交于点O，添加下列条件不能判定?ABCD为矩形的只有（）

A．AC＝BD B．AB＝6，BC＝8，AC＝10 C．AC⊥BD D．∠1＝∠2

6．如图，在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OD，∠OAD＝55°，则∠OAB的度数为（）

A．35°B．40°C．45°D．50°

7．如图，在正方形ABCD中，分别以点B，C为圆心，BC长为半径画弧，两弧相交于点E，连接AE，BE得到△ABE，则△ABE与正方形ABCD的面积比为（）

A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．

8．已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如添加一个条件，使得该四边形成为正方形，那么所添加的这个条件可以是（）

A．∠D＝90°B．AB＝CD C．AB＝BC D．AC＝BD

9．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边长为6，它的一边AB在x轴上，且AB的中点是坐标原点，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标为（）

A．（3，3）B．（3，3）C．（6，3）D．（6，3）二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）

10．矩形（非正方形）四个内角的平分线围成的四边形是形．（填特殊四边形）

11．如图，E是菱形ABCD的对角线BD上一点，过点E作EF⊥BC于点F．若EF ＝4，则点E到边AB的距离为．

12．在菱形ABCD中，AC＝12cm，若菱形ABCD的面积是96cm2，则AB＝．13．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，∠AOB＝60°，AB＝10，E、F 分别为AO、AD的中点，则EF的长是．

14．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是．15．如图，菱形ABCD的周长是20，对角线AC、BD相交于点O．若BO＝3，则菱形ABCD的面积为．

16．已知：如图，在长方形ABCD中，AB＝2，AD＝3．延长BC到点E，使CE＝1，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为时，△ABP和△DCE全等．

17．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝1，CE＝3，点D是CG边上一点，H是AF 的中点，那么CH的长是．

三．解答题（共7小题，共66分）

18．已知：如图所示，菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，且E为AB的中点，已知BD＝4，求菱形ABCD的周长和面积．

19．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，AF⊥DC，垂足分别是E，F，并且BE ＝DF．

求证；四边形ABCD是菱形．

20．如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，∠DAE＝2∠BAE，求∠EAC的度数．

21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，E为边BC上一点，且EC＝AD，

连结AC．

（1）求证：四边形AECD是矩形；

（2）若AC平分∠DAB，AB＝5，EC＝2，求AE的长，

22．如图，在边长12的正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F在边AD上，且AF＝3DF，连接BE，BF，EF，请判断△BEF的形状，并说明理由．

23．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC．（1）求证：四边形OCED是正方形．

（2）若AC ＝，则点E到边AB 的距离为．

24．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝4，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFC，连接CG．

（1）求证：矩形DEFG是正方形；

（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

参考答案

一．选择题

1．解：A、菱形的对角线互相垂直，但不一定相等，故原命题错误，不符合题意；

B、菱形的对角线互相垂直，故原命题正确，符合题意；

C、菱形的对角相等，故原命题错误，不符合题意；

D、矩形的四个角都是直角，菱形不一定是，故原命题错误，不符合题意，

故选：B．

2．解：∵AC＝AD，BC＝BD，

∴AB垂直平分CD，

故选：A．

3．解：∵AB＝AD，点O是BD的中点，

∴AC⊥BD，∠BAO＝∠DAO，

∵∠ABD＝∠CDB，

∴AB∥CD，

∴∠BAC＝∠ACD，

∴∠DAC＝∠ACD，

∴AD＝CD，

∴AB＝CD，

∴四边形ABCD是菱形，

∵AB＝5，BO ＝BD＝4，

∴AO＝3，

∴AC＝2AO＝6，

∴四边形ABCD 的面积＝×6×8＝24，

故选：B．

4．解：∵O为矩形ABCD的对角线AC的中点，

∴AO＝OC，

∵过点O作AC的垂线EF分别交AD、BC于点E、F，

∴AE＝CE，

∵矩形的周长为20，

∴AD+DC＝AB+BC＝10，

∴△CDE的周长为CD+DE+CE＝CD+DE+AE＝CD+AD＝10，故选：A．

5．解：A、正确．对角线相等的平行四边形是矩形．

B、正确．∵AB＝6，BC＝8，AC＝10，

∴AB2+BC2＝62+82＝102，

∴∠ABC＝90°，

∴平行四边形ABCD为矩形．

C、错误．对角线垂直的平行四边形是菱形，

D、正确，∵∠1＝∠2，

∴AO＝BO，

∴AC＝BD，

∴平行四边形ABCD是矩形．

故选：C．

6．解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，OB＝OD，

∵OA＝OD，

∴AC＝BD，

∴四边形ABCD是矩形，

∴∠DAB＝90°，

∵∠OAD＝55°，

∴∠OAB＝∠DAB﹣∠OAD＝35°

故选：A．

7．解：过E作EF⊥AB于F，

由题意得，△BCE是等边三角形，

∴∠EBC＝60°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC＝90°，

∴∠ABE＝30°，

∴EF ＝BE，

设正方形的边长为a，则AB＝BE＝BC＝a，

∴EF ＝a，

∴S△ABE ＝AB?EF ＝?a a ＝a，S正方形ABCD＝a2，

∴△ABE与正方形ABCD的面积比为1：4，

故选：C．

8．解：由∠A＝∠B＝∠C＝90°可判定四边形ABCD为矩形，因此再添加条件：一组邻边相等，即可判定四边形ABCD为正方形，故选：C．

9．解：过点D作BC的垂线，交BC的延长线于F，

∵∠ADC＝∠ABC＝90°，

∴∠A+∠BCD＝180°，

∵∠FCD+∠BCD＝180°，

∴∠A＝∠FCD，

又∠AED＝∠F＝90°，AD＝DC，

∴△ADE≌△CDF，

∴DE＝DF，

S四边形ABCD＝S正方形DEBF＝16，

∴DE＝4．

故选：C．

10．解：∵四边形ABCD是菱形

∴AB＝AD＝CD＝6，AB∥CD

∵AB的中点是坐标原点，

∴AO＝BO＝3，

∴DO ＝＝3

∴点C坐标（6，3）

故选：D．

二．填空题

11．解：∵AF，BE是矩形的内角平分线．

∴∠ABF＝∠BAF﹣90°．

故∠1＝∠2＝90°．

同理可证四边形GMON四个内角都是90°，则四边形GMON为矩形．又∵有矩形ABCD且AF、BE、DK、CJ为矩形ABCD四角的平分线，∴有等腰直角△DOC，等腰直角△AMD，等腰直角△BNC，AD＝BC．∴OD＝OC，△AMD≌△BNC，

∴NC＝DM，

∴NC﹣OC＝DM﹣OD，

即OM＝ON，

∴矩形GMON为正方形，

故答案为：正方．

12．解：∵四边形ABCD为菱形，

∴BD平分∠ABC，

∵E为BD上的一点，EF＝4，

∴点E到AB的距离＝EF＝4，

故答案为：4．

13．解：如图，

∵四边形ABCD是菱形

∴AO＝CO＝6cm，BO＝DO，AC⊥BD ∵S菱形ABCD ＝×AC×BD＝96

∴BD＝16cm

∴BO＝DO＝8cm

∴AB ＝＝10cm

故答案为：10cm

14．解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AO＝OC，DO＝BO，AC＝BD，

∴DO＝CO＝AO＝BO，

∵∠AOB＝60°，

∴△AOB是等边三角形，

∵AB＝10，

∴AO＝OB＝DO＝10，

∵E、F分别为AO、AD的中点，

∴EF ＝DO ＝＝5，

故答案为：5．

15．解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠CAE＝45°＝∠ACB．

∵AE＝AC，

∴∠ACE＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°．

∴∠BCE＝∠ACE﹣∠ACB＝67.5°﹣45°＝22.5°．

故答案为22.5°．

16．解：∵菱形ABCD的周长是20，

∴AB＝5，AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝3，

∴AO ＝＝4

∴AC＝8，BD＝6

∴菱形ABCD 的面积＝AC×BD＝24，

故答案为：24

17．解：因为AB＝CD，若∠ABP＝∠DCE＝90°，BP＝CE＝1，根据SAS证得△ABP≌△DCE，由题意得：BP＝2t＝1，

所以t＝0.5，

因为AB＝CD，若∠BAP＝∠DCE＝90°，AP＝CE＝1，根据SAS证得△BAP≌△DCE，由题意得：AP＝8﹣2t＝1，

解得t＝3.5．

所以，当t的值为0.5或3.5秒时．△ABP和△DCE全等．

故答案为：0.5秒或3.5秒．

18．解：∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，

∴∠ACD＝45°，∠FCG＝45°，AC ＝BC ＝，CF ＝CE＝3，

∴∠ACF＝45°+45°＝90°，

在Rt△ACF中，由勾股定理得：AF ＝＝＝2，∵H是AF的中点，

∴CH ＝AF ＝．

故答案为：．

三．解答题

19．解：∵DE⊥AB于E，且E为AB的中点，

∴AD＝BD，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD＝BA，

∴AB＝AD＝BD，

∴△ABD是等边三角形，

∴∠DAB＝60°；

∵BD＝4，

∴DO＝2，AD＝4，

∴AO ＝＝2，

∴AC＝4；

∴AB ＝＝＝4，

∴菱形ABCD的周长为4×4＝16；

菱形ABCD 的面积为：BD?AC ＝×4×4＝8．

20．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠B＝∠D，

∵AE⊥BC，AF⊥DC

∴∠AEB＝∠AFD＝90°．

又∵BE＝DF，

∴△ABE≌△ADF（AAS）

∴DA＝AB，

∴平行四边形ABCD是菱形．

21．解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AC＝BD，AO＝OC，OD＝OB，∠BAD＝90°，∴OA＝OB，

∵∠BAD＝90°，∠DAE＝2∠BAE，

∴∠BAE＝30°，

∵AE⊥BD，

∴∠AEB＝90°，

∴∠ABO＝90°﹣30°＝60°，

∵OA＝OB，

∴△OAB是等边三角形，

∴∠BAO＝60°，

∴∠EAC＝∠BAO﹣∠BAE＝60°﹣30°＝30°．22．解：（1）证明：∵AD∥BC，EC＝AD，∴四边形AECD是平行四边形．

又∵∠D＝90°，

∴四边形AECD是矩形．

（2）∵AC平分∠DAB．

∴∠BAC＝∠DAC．

∵AD∥BC，

∴∠DAC＝∠ACB．

∴∠BAC＝∠ACB．

∴BA＝BC＝5．

∵EC＝2，

∴BE＝3．

∴在Rt△ABE中，AE ＝＝＝4．23．解：△BEF是直角三角形，理由如下：

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠A＝∠C＝∠D＝90°．

∵点E是CD的中点，

∴DE＝CE ＝CD＝6．

∵AF＝3DF，

∴DF ＝AD＝3．

∴AF＝3DF＝9．

在Rt△ABF中，由勾股定理可得BF2＝AB2+AF2＝144+81＝225，在Rt△BCE中，由勾股定理可得BE2＝CB2+CE2＝144+36＝180，在Rt△DEF中，由勾股定理可得EF2＝DF2+DE2＝9+36＝45，

∵BE2+EF2＝180+45＝225，BF2＝225，

∴BE2+EF2＝BF2．

∴△BEF是直角三角形．

24．（1）证明：∵CE∥BD，DE∥AC，

∴四边形OCED是平行四边形，

在正方形ABCD中，AC⊥BD，OD＝OC，

∴∠COD＝90°，

∴四边形OCED是正方形．

（2）解：如图，连接EO并延长，交AB于G，交CD于H，

由（1）知：四边形OCED是正方形，

∴CD⊥OE，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB∥CD，

∴EG⊥AB，

∵AC ＝，

∴AB＝BC＝1＝GH，

Rt△DCE中，∵DE＝CE，EH⊥CD，

∴DH＝CH，

∴EH ＝CD＝0.5，

∴EG＝1+0.5＝1.5，

∴点E到边AB的距离为1.5；

故答案为：1.5．

25．解：（1）如图所示，过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，∵正方形ABCD，

∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，

∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，

∴四边形EMCN为正方形，

∵四边形DEFG是矩形，

∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，

∴∠DEN＝∠MEF，

又∠DNE＝∠FME＝90°，

在△DEN和△FEM中，，

∴△DEN≌△FEM（ASA），

∴ED＝EF，

∴矩形DEFG为正方形，

（2）CE+CG的值为定值，理由如下：

∵矩形DEFG为正方形，

∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，

∴∠ADE＝∠CDG，

在△ADE和△CDG中，，

∴△ADE≌△CDG（SAS），

∴AE＝CG，

∴AC＝AE+CE＝AB＝×4＝8，∴CE+CG＝8是定值．