2021届湖南长沙市一中新高考原创预测试卷(七)数学
2021年湖南省长沙市中考数学试卷(附答案详解)
2021年湖南省长沙市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.(2021·湖南省长沙市·历年真题)下列四个实数中，最大的数是()A. −3B. −1C. πD. 42.(2021·湖南省长沙市·历年真题)2021年5月11日，第七次全国人口普查结果发布，长沙市人口总数首次突破千万，约为10040000人，将数据10040000用科学记数法表示为()A. 1.004×106B. 1.004×107C. 0.1004×108D. 10.04×1063.(2021·湖南省长沙市·历年真题)下列几何图形中，是中心对称图形的是()A. B. C. D.4.(2021·湖南省长沙市·历年真题)下列计算正确的是()A. a3⋅a2=a5B. 2a+3a=6aC. a8÷a2=a4D. (a2)3=a55.(2021·湖南省长沙市·历年真题)如图，AB//CD，EF分别与AB，CD交于点G，H，∠AGE=100°，则∠DHF的度数为()A. 100°B. 80°C. 50°D. 40°6.(2021·湖南省长沙市·历年真题)如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC=54°，则∠BOC的度数为()A. 27°B. 108°C. 116°D. 128°7.(2021·湖南省长沙市·历年真题)下列函数图象中，表示直线y=2x+1的是()A. B. C. D.8.(2021·湖南省长沙市·历年真题)“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植.某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取9株水稻苗，测得苗高(单位：cm)分别是：22，23，24，23，24，25，26，23，25.则这组数据的众数和中位数分别是()A. 24，25B. 23，23C. 23，24D. 24，249.(2021·湖南省长沙市·历年真题)有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻有1到6的点数.将它投掷两次，则两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的概率是()A. 19B. 16C. 14D. 1310.(2021·湖南省长沙市·历年真题)在一次数学活动课上，某数学老师将1∼10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上(每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下).他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：16；丁：7；戊：17.根据以上信息，下列判断正确的是()A. 戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8和9B. 丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7C. 丁同学手里拿的两张卡片上的数字是3和4D. 甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和9二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.(2021·湖南省长沙市·历年真题)分解因式：x2−2021x=______ ．12.(2021·湖南省长沙市·历年真题)如图，在⊙O中，弦AB的长为4，圆心到弦AB的距离为2，则∠AOC的度数为______ ．13.(2021·湖南省长沙市·历年真题)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是边AB的中点，若OE=6，则BC的长为______ ．14.(2021·湖南省长沙市·历年真题)若关于x的方程x2−kx−12=0的一个根为3，则k的值为______ ．15.(2021·湖南省长沙市·历年真题)如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC=4，DE=1.6，则BD的长为______ ．16.(2021·湖南省长沙市·历年真题)某学校组织了主题为“保护湘江，爱护家园”的手抄报作品征集活动.先从中随机抽取了部分作品，按A，B，C，D四个等级进行评价，然后根据统计结果绘制了如图两幅不完整的统计图.那么，此次抽取的作品中，等级为B等的作品份数为______ ．三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）17.(2021·湖南省长沙市·历年真题)计算：|−√2|−2sin45°+(1−√3)0+√2×√8．18.(2021·湖南省长沙市·历年真题)先化简，再求值：(x−3)2+(x+3)(x−3)+2x(2−x)，其中x=−1．219. (2021·湖南省长沙市·历年真题)人教版初中数学教科书八年级上册第35−36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法： 已知：△ABC ．求作：△A′B′C′，使得△A′B′C′≌△ABC ．作法：如图．(1)画B′C′=BC ；(2)分别以点B′，C′为圆心，线段AB ，AC 长为半径画弧，两弧相交于点A′；(3)连接线段A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为所求作的三角形．请你根据以上材料完成下列问题：(1)完成下面证明过程(将正确答案填在相应的空上)：证明：由作图可知，在△A′B′C′和△ABC 中，{B′C′=BCA′B′=( )A′C′=( )∴△A′B′C′≌ ______ ．(2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______ .(填序号)①AAS②ASA③SAS④SSS20.(2021·湖南省长沙市·历年真题)“网红”长沙入选2021年“五一”假期热门旅游城市.本市某景点为吸引游客，设置了一种游戏，其规则如下：凡参与游戏的游客从一个装有12个红球和若干个白球(每个球除颜色外，其他都相同)的不透明纸箱中，随机摸出一个球，摸到红球就可免费得到一个景点吉祥物.据统计参与这种游戏的游客共有60000人，景点一共为参与该游戏的游客免费发放了景点吉祥物15000个．(1)求参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率；(2)请你估计纸箱中白球的数量接近多少？21.(2021·湖南省长沙市·历年真题)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，AB=4．(1)求证：▱ABCD是矩形；(2)求AD的长．22.(2021·湖南省长沙市·历年真题)为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，发扬红色传统，传承红色精神，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．(1)若某参赛同学只有一道题没有作答，最后他的总得分为86分，则该参赛同学一共答对了多少道题？(2)若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？23.(2021·湖南省长沙市·历年真题)如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD=CD，延长BC至E，使得CE=CA，连接AE．(1)求证：∠B=∠ACB；(2)若AB=5，AD=4，求△ABE的周长和面积．24.(2021·湖南省长沙市·历年真题)我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y轴对称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于y轴对称的不同两点叫做一对“T点”.根据该约定，完成下列各题．(1)若点A(1,r)与点B(s,4)是关于x的“T函数”y={−4x(x<0)tx2(x≥0,t≠0,t是常数)的图象上的一对“T点”，则r=______ ，s=______ ，t=______ (将正确答案填在相应的横线上)；(2)关于x的函数y=kx+p(k,p是常数)是“T函数”吗？如果是，指出它有多少对“T点”如果不是，请说明理由；(3)若关于x的“T函数”y=ax2+bx+c(a>0，且a，b，c是常数)经过坐标原点O，且与直线l：y=mx+n(m≠0,n>0，且m，n是常数)交于M(x1,y1)，N(x2,y2)两点，当x1，x2满足(1−x1)−1+x2=1时，直线l是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．25.(2021·湖南省长沙市·历年真题)如图，点O为以AB为直径的半圆的圆心，点M，N在直径AB上，点P，Q在AB⏜上，四边形MNPQ为正方形，点C在QP⏜上运动(点C与点P，Q不重合)，连接BC并延长交MQ的延长线于点D，连接AC交MQ于点E，连接OQ．(1)求sin∠AOQ的值；(2)求AMMN的值；(3)令ME=x，QD=y，直径AB=2R(R>0,R是常数)，求y关于x的函数解析式，并指明自变量x的取值范围．答案和解析1.【答案】D【知识点】实数大小比较【解析】解：∵−3<−1<π<4，∴最大的数是4，故选：D．先根据实数的大小比较法则比较数的大小，再求出最大的数即可．本题考查了实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键．2.【答案】B【知识点】科学记数法-绝对值较大的数【解析】解：10040000=1.004×107．故选：B．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，据此判断即可．此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，确定a与n的值是解题的关键．3.【答案】C【知识点】中心对称图形【解析】解：A.不是中心对称图形，故本选项不合题意；B.不是中心对称图形，故本选项不合题意；C.是中心对称图形，故本选项符合题意；D.不是中心对称图形，故本选项不合题意；故选：C．根据中心对称图形的概念求解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4.【答案】A【知识点】同底数幂的除法、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项【解析】解：A.a3⋅a2=a5，故此选项符合题意；B.2a+3a=5a，故此选项不合题意；C.a8÷a2=a6，故此选项不合题意；D.(a2)3=a6，故此选项不合题意；故选：A．直接利用同底数幂的乘除运算法则以及合并同类项法则、幂的乘方运算法则分别判断得出答案．此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及合并同类项、幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．5.【答案】A【知识点】平行线的性质【解析】解：∵AB//CD，∴∠CHG=∠AGE=100°，∴∠DHF=∠CHG=100°．故选：A．先根据平行线的性质，得出∠CHG的度数，再根据对顶角相等，即可得出∠DHF的度数．本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时关键是注意：两直线平行，同位角相等．6.【答案】B【知识点】圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系【解析】解：∵∠A=54°，∴∠BOC=2∠A=108°，故选：B．直接由圆周角定理求解即可．本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．7.【答案】B【知识点】一次函数的性质【解析】解：∵k=2>0，b=1>0时，∴直线经过一、二、三象限．故选：B．根据一次函数的性质判断即可．本题考查了一次函数的性质，当k>0，b>0时，函数y=kx+b的图象经过一、二、三象限．8.【答案】C【知识点】中位数、众数【解析】解：将这组数据从小到大重新排列为22，23，23，23，24，24，25，25，26，∴这组数据的众数为23cm，中位数为24cm，故选：C．将这组数据从小到大重新排列，再根据众数和中位数的定义求解即可．本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．9.【答案】A【知识点】用列举法求概率(列表法与树状图法)【解析】解：列表如下：由表可知共有36种等可能的情况，两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的情况有4种，∴两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的概率为436=19，故选：A．列表可知共有36种等可能的情况，两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的情况有4种，再由概率公式求解即可．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．10.【答案】A【知识点】有理数的加法【解析】解：由题意可知，一共十张卡片十个数，五个人每人两张卡片，∴每人手里的数字不重复．由甲：11，可知甲手中的数字可能是1和10，2和9，3和8，4和7，5和6；由乙：4，可知乙手中的数字只有1和3；由丙：16，可知丙手中的数字可能是6和10，7和9；由丁：7，可知丁手中的数字可能是1和6，2和5，3和4；由戊：17，可知戊手中的数字可能是7和10，8和9；∴丁只能是2和5，甲只能是4和7，丙只能是6和10，戊只能是8和9．∴各选项中，只有A是正确的，故选：A．根据两数之和结果确定，对两个加数的不同情况进行分类讨论，列举出所有可能的结果后，再逐一根据条件进行推理判断，最后确定出正确结果即可．本题考查的是有理数加法的应用，关键是把所有可能的结果列举出来，再进行推理．11.【答案】x(x−2021)【知识点】因式分解-提公因式法【解析】解：x2−2021x=x(x−2021)．故答案为：x(x−2021)．直接提取公因式x，即可分解因式．此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．12.【答案】45°【知识点】垂径定理、圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系【解析】解：∵OC⊥AB，∴AC=BC=12AB=12×4=2，∵OC=2，∴△AOC为等腰直角三角形，∴∠AOC=45°，故答案为：45°．利用垂径定理可得AC=BC=12AB=12×4=2，由OC=2可得△AOC为等腰直角三角形，易得结果．本题主要考查了垂径定理和等腰直角三角形的性质，熟练掌握垂径定理是解答此题的关键．13.【答案】12【知识点】菱形的性质、三角形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，且BD⊥AC，又∵点E是边AB的中点，∴OE=AE=EB=12AB，∴BC=AB=2OE=6×2=12，故答案为：12．根据四边形ABCD是菱形可知对角线相互垂直，得出OE=12AB，AB=BC，即可求出BC．本题主要考查菱形和直角三角形的性质，熟练应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．14.【答案】−1【知识点】一元二次方程的解【解析】解：把x=3代入方程x2−kx−12=0得：9−3k−12=0，解得：k=−1，故答案为：−1．把x=3代入方程得出9−3k−12=0，求出方程的解即可．本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，能理解方程的解的定义是解此题的关键．15.【答案】2.4【知识点】角平分线的性质【解析】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE，∵DE=1.6，∴CD=1.6，∴BD=BC−CD=4−1.6=2.4．故答案为：2.4由角平分线的性质可知CD=DE=1.6，得出BD=BC−CD=4−1.6=2.4．本题主要考查了角平分线的性质，熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．16.【答案】50【知识点】扇形统计图、条形统计图【解析】解：∵30÷25%=120(份)，∴一共抽取了120份作品，∴此次抽取的作品中，等级为B等的作品份数为：120−30−28−12=50(份)，故答案为：50．利用共抽取作品数=A等级数÷对应的百分比求解，即可一共抽取的作品份数，进而得到抽取的作品中等级为B的作品数．本题主要考查了条形统计图，扇形统计图及用样本估计总体，解题的关键是读懂统计图，能从统计图中获得准确的信息．17.【答案】解：原式=√2−2×√2+1+√162=√2−√2+1+4=5．【知识点】特殊角的三角函数值、二次根式的混合运算、零指数幂【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的混合运算法则、零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．此题主要考查了特殊角的三角函数值以及二次根式的混合运算、零指数幂的性质、绝对值的性质等知识，正确化简各数是解题关键．18.【答案】解：原式=x2−6x+9+x2−9+4x−2x2=−2x，当x=−12时，原式=−2×(−12)=1．【知识点】整式的混合运算【解析】直接利用乘法公式结合整式的混合运算法则化简，再把已知数据代入得出答案．此题主要考查了整式的混合运算—化简求值，正确运用乘法公式是解题关键．19.【答案】△ABC(SSS)④【知识点】尺规作图与一般作图、全等三角形的判定与性质【解析】解：(1)由作图可知，在△A′B′C′和△ABC中，{B′C′=BC A′B′=AB A′C′=AC，∴△A′B′C′≌△ABC(SSS)．故答案为：△ABC(SSS)．(2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是SSS，故答案为：④．(1)根据SSS证明三角形全等即可．(2)根据SSS证明三角形全等．本题考查作图−应用与设计作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是读懂图像信息，属于中考常考题型．20.【答案】解：(1)参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率为1500060000=0.25；(2)设袋子中白球的数量为x，则1212+x=0.25，解得x=36，经检验x=36是分式方程的解且符合实际，所以估计纸箱中白球的数量接近36．【知识点】利用频率估计概率、用样本估计总体【解析】(1)用发放景点吉祥物的数量除以游客的总数量即可；(2)设袋子中白球的数量为x，用袋子中红球的数量除以球的总个数=0.25列出方程求解即可．本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．21.【答案】(1)证明：∵△AOB为等边三角形，∴∠BAO=∠AOB=60°，OA=OB，∵四边形ABCD是平行四边形∴OB=OD=12BD，OA=OC=12AC，∴BD=AC，∴▱ABCD是矩形；(2)解：∵▱ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，∵∠ABO=60°，∴∠ADB=90°−60°=30°，∴AD=√3AB=4√3．【知识点】平行四边形的性质、等边三角形的性质、矩形的判定与性质【解析】(1)由等边三角形的性质得OA=OB，再由平行四边形的性质得OB=OD=1 2BD，OA=OC=12AC，则BD=AC，即可得出结论；(2)由矩形的性质得∠BAD=90°，则∠ADB=30°，再由含30°角的直角三角形的性质求解即可．本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质以及等边三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．22.【答案】解：(1)设该参赛同学一共答对了x道题，则答错了(25−1−x)道题，依题意得：4x−(25−1−x)=86，解得：x=22．答：该参赛同学一共答对了22道题．(2)设参赛者需答对y道题才能被评为“学党史小达人”，则答错了(25−y)道题，依题意得：4y−(25−y)≥90，解得：y≥23．答：参赛者至少需答对23道题才能被评为“学党史小达人”．【知识点】一元一次不等式的应用、一元一次方程的应用【解析】(1)设该参赛同学一共答对了x道题，则答错了(25−1−x)道题，根据总得分=4×答对题目数−1×答错题目数，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；(2)设参赛者需答对y道题才能被评为“学党史小达人”，则答错了(25−y)道题，根据总得分=4×答对题目数−1×答错题目数，结合总得分大于或等于90分，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元一次方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．23.【答案】解：(1)证明：在△ADB和△ADC中：{AD=AD∠ADB=∠ADC BD=CD，∴△ADB≌△ADC(SAS)，∴∠B=∠ACB；(2)在Rt△ADB中，BD=√AB2−AD2=√52−42=3，∴BD=CD=3，AC=AB=CE=5，∴BE=2BD+CE=2×3+5=11，在Rt△ADE中，AE=√AD2+DE2=√42+82=4√5，∴C△ABE=AB+BE+AE=5+11+4√5=16+4√5，S△ABE=12×BE×AD=12×11×4=22．【知识点】线段垂直平分线的概念及其性质、三角形的面积【解析】(1)通过SAS求证△ADB≌△ADC即可证明∠B=∠ACB；(2)利用勾股定理分别计算出BD和AE即可求出△ABE的周长和面积．本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形面积的计算等知识，熟练掌握全等三角形的判定和基本性质以及勾股定理的应用是解题的关键．24.【答案】4 −1 4【知识点】二次函数综合【解析】解：(1)∵A，B关于y轴对称，∴s=−1，r=4，∴A的坐标为(1,4)，把A(1,4)代入是关于x的“T函数”中，得：t=4，故答案为r=4，s=−1，t=4；(2)当k=0时，有y=p，此时存在关于y轴对称得点，∴y=kx+p是“T函数”，当k≠0时，不存在关于y轴对称的点，∴y=kx+p不是“T函数”；(3)∵y=ax2+bx+c过原点，∴c=0，∵y=ax2+bx+c是“T函数”，∴b=0，∴y=ax2，联立直线l和抛物线得：{y=ax 2y=mx+n，即：ax2−mx−n=0，x1+x2=ma ，x1x2=−na，又∵(1−x1)−1+x2=1，化简得：x1=x2，∴ma =−na，即m=−n，∴y=mx+n=mx−m，当x=1时，y=0，∴直线l必过定点(1,0)．(1)由A，B关于y轴对称求出r，s，由“T函数”的定义求出t；(2)分k=0和k≠0两种情况考虑即可；(3)先根据过原点得出c=0，再由“T函数”得出b的值，确定二次函数解析式后，和直线联立求出交点的横坐标，写出l的解析式，确定经过的定点即可．本题主要考查和二次函数有关的新定义题型，关键在于读明白新定义的函数的特点，要理解本题中存在关于y轴对称的点是什么意思，过定点问题一般要先写出解析式，然后取x的值得出y．25.【答案】解：(1)如图，连接OP．∵四边形MNPQ是正方形，∴∠OMN=∠ONP=90°，MQ=PN，∵OQ=OP，∴△OMQ≌△ONP(HL)，∴OM=ON，设OM=ON=m，则MQ=2m，OQ=√OM2+MQ2=√5m，∴sin∠AOQ=MQOQ =2m√5m=2√55．(2)由(1)可知OM=ON=m，OQ=OA=√5m，MN=2m，∴AM=OA−OM=√5m−m，∴AMMN =√5m−m2m=√5−12．(3)∵AB=2R，∴OA=OB=OQ=r，∵QM=2MO，∴OM=√5R5，MQ=2√5R5，∵AB是直径，∴∠ACB=∠DCE=90°，∵∠CED=∠AEM，∴∠A=∠D，∵∠AME=∠DMB=90°，∴△AME∽△DMB，∴AMDM =EMBM，∴R−√5R 5y+2√5R5=xR+√5R5，∴y=4R25x −2√5R5，当点C与P重合时，AMAN =EMPN，∴R−√5R 5R+√5R5=2√5R5，∴x=3√5−55R，∴3√5−55R<x<2√55R.【知识点】圆的综合【解析】(1)利用全等三角形的性质证明OM=ON，设OM=ON=m，则MQ=2m，求出OQ，可得结论．(2)利用(1)中结论，求出AM，MN(用m表示即可)．(3)证明△AME∽△DMB，可得AMDM =EMBM，由此构建关系式，可得结论．本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．。
2021届湖南长沙市一中新高考原创预测试卷(二)数学
2021届湖南长沙市一中新高考原创预测试卷（二）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、单选题：本大题共10个小题.每小题4分；共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数11i -的共轭复数为（ ） A. 1122i + B. 1122i -C. 1122i -- D. 1122i -+ 【答案】B 【解析】 试题分析：复数，共轭复数为，故答案为B ．考点：1、复数的四则运算；2、共轭复数的概念．2.已知全集U =R ，集合{|lg }A x y x ==, 集合{|1}B y y x ==，那么U A C B ⋂=（ ） A. φ B. (]0,1 C. ()0,1 D. ()1,+∞【答案】C 【解析】 【分析】先化简集合A 和B,再求U U C B A C B ⋂和.【详解】由题得A={x|x>0},B={y|y≥1}，所以{|1},(0,1)U U C B y y A C B =<∴⋂=. 故答案为C【点睛】(1)本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 集合的运算要注意灵活运用维恩图和数轴，一般情况下，有限集的运算用维恩图分析，无限集的运算用数轴，这实际上是数形结合的思想的具体运用. 3.已知等比数列{}n a 中，11a =，356a a +=，则57a a +=（ ） A. 12 B. 10C. 122D. 62【答案】A 【解析】由已知24356a a q q +=+=，∴22q =，∴25735()2612a a q a a +=+=⨯=，故选A.4.在ABC 中，AB c =，AC b =．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ） A.2133b c + B.5233c b - C.2133b c - D.1233b c + 【答案】A 【解析】详解】试题分析：，故选A ．5.已知函数()f x 满足：①对任意1x 、()20,x ∈+∞且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-；②对定义域内的任意x ，都有()()f x f x =-，则符合上述条件的函数是( ) A. ()21f x x x =++B. ()1f x x x=- C. ()ln 1f x x =+ D. ()cos f x x =【答案】A 【解析】 【分析】由题意得知，满足条件的函数()y f x =既是偶函数，又在()0,∞+上是增函数，根据这两条性质得出正确选项.【详解】依题意可知，函数()y f x =既是偶函数，又在()0,∞+上是增函数，A 选项中的函数()21f x x x =++为偶函数，当0x >时，()21f x x x =++为增函数；B 选项中的函数()1f x x x=-为奇函数； C 选项中的函数()ln 1f x x =+为非奇非偶函数；D 选项中的函数()cos f x x =为偶函数，但在()0,∞+上不单调. 故选A.【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的判断，解题的关键要从题中的抽象关系式得出函数的单调性与奇偶性，并结合初等函数的基本性质或定义进行判断，属于基础题. 6.已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若3572a a +=，则13S =（ ） A. 49 B. 91C. 98D. 182【答案】B 【解析】 ∵3572a a +=，∴11272(4)a d a d ++=+，即167a d +=，∴13711313(6)13791S a a d ==+=⨯=，故选B ．7.已知函数()sin()3f x x π=-，要得到()cos g x x =的图象，只需将函数()y f x =的图象（ ）A. 向左平移56π个单位 B. 向右平移3π个单位C. 向左平移3π个单位 D. 向右平移56π个单位 【答案】A 【解析】函数5()cos sin()sin ()236g x x x x πππ⎡⎤==+=-+⎢⎥⎣⎦，所以将函数()f x 的图象向左平移56π个单位时，可得到()cos g x x =的图象，选A.8.已知向量(1,2)a =，10a b ⋅=，||52a b +=，则||b =（ ） A.5 B. 10C. 5D. 25【答案】C 【解析】 【分析】先求出a ，再求出2||a b +，问题得以解决. 【详解】解：∵向量(1,2)a =， ∴5a =， ∵10a b ⋅=，2222||252050a b a b a b b ∴+=++⋅=++=， 225b ∴=，5b ∴=.故选：C.【点睛】本题考查向量的模的求法，向量数量积的应用，考查计算能力. 9.函数2sin 2xy x =-的图象大致是 A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数22xy sinx =-的解析式，根据定义在R 上的奇函数图像关于原点对称可以排除A ，再求出其导函数，根据函数的单调区间呈周期性变化，分析四个选项即可得到结果 【详解】当0x =时，0200y sin =-= 故函数图像过原点，排除A 又12cos 2y x =-'，令0y '= 则可以有无数解，所以函数的极值点有很多个，故排除B D ， 故函数在无穷域的单调区间呈周期性变化 结合四个选项，只有C 符合要求 故选C【点睛】本题主要考查了由函数的表达式判断函数图像的大体形状，解决此类问题，主要从函数的定义域，值域，单调性以及奇偶性，极值等方面考虑，有时也用特殊值代入验证．10.已知函数2()2||f x x x =-，()2xe g x x =+（其中e 为自然对数的底数），若函数()[()]h x f g x k =-有4个零点，则k 的取值范围为（ ）A. (0,1)B. 2210,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 221,1e e ⎛⎫-⎪⎝⎭D.221,1e e ⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】分别讨论函数(),()f x g x 的性质和画出图象，函数()[()]h x f g x k =-有4个零点，即为[()]f g x k =有四个解，可令(),()t g x k f t ==，通过图象观察，分析即可得到结论.【详解】解：函数2()2||f x x x =-为偶函数，且()f x 的最大值为1，由()2x e g x x =+的导数为2(1)g ()(2)x e x x x '+=+，可得1x >-时，()g x 递增，2x <-或21x -<<-，()g x 递减，1x =-取得极小值1e， 作出()f x ，()g x 的图象，函数()[()]h x f g x k =-有4个零点， 即为[()]f g x k =有四个解， 可令(),()t g x k f t ==， 若10k -<<，则122,2t t <->， 则()t x g =有3解，不符题意；若01k <<，则()k f t =有4解，两个负的，两个正的， 则()t x g =可能有4，6解，不符题意； 若221,1k e e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()k f t =有4解，两个负的，两个正的，（一个介于1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭，一个大于1），则()t x g =有6解，不符题意；若2210,e e k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()k f t =有4解，两个负的，两个正的（一个介于10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，一个大于1），则()t x g =有4解，符合题意. 故选：B.【点睛】本题考查复合函数的图象交点问题，以及函数的零点个数，考查数形结合思想方法，以及分类讨论思想方法，属于难度较大的题.二、多选题：本大题共3个小题.每小题4分，漏选得3分，错选不得分，共12分11.设{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和，且78S S <，8910S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A. 0d < B. 90a =C. 117S S >D. 8S 、9S 均为n S 的最大值 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用结论：2n ≥时，1n n n a s s -=-，结合题意易推出89100,0,0a a a >=<，然后逐一分析各选项.【详解】解：由78S S <得12377812a a a a a a a a +++⋯+<++⋯++，即80a >， 又∵89S S =，1229188a a a a a a a ∴++⋯+=++⋯++， 90a ∴=，故B 正确；同理由910S S >，得100a <，1090d a a =-<，故A 正确；对C ，117S S >，即8910110a a a a +++>，可得(9102)0a a +>， 由结论9100,0a a =<，显然C 是错误的；7898810,,S S S S S S <=>∴与9S 均为n S 的最大值，故D 正确；故选：ABD.【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和公式和n S 的最值问题，熟练应用公式是解题的关键. 12.下列命题正确的是：（ ） A. 函数1()f x x x=-的图像关于坐标原点对称， B. 若()1,1x e -∈，ln a x =，2ln b x =，3ln c x =，则b a c <<， C. 如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，那么||φ的最小值为6πD. 设a 、b ，c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则()()b c a c a b ⋅-⋅不与c 垂直 【答案】ABC 【解析】 【分析】A.通过函数的奇偶性来判断；B.利用对数函数的性质来判断；C.利用三角函数的对称性来判断；D.通过向量的运算法则来判断. 【详解】解：对A ：()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，11()()f x x x f x x x ⎛⎫-=+=--=- ⎪-⎝⎭，则()f x 为奇函数，故A 正确； 对B ：由()1,1x e -∈得()ln 1,0x ∈-，则3ln 2ln ,ln ln x x x x >>，故b a c <<，故B 正确；对C ：由题可得43cos(2)03πφ⨯+=，得232k ππφπ+=+，解得6k πφπ=-+，则当0k =时，||φ的最小值为6π，故C 正确； 对D ：()()()()0b c a c a b c b c a c c a b c ⎡⎤⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅=⎣⎦，则()()b c a c a b ⋅-⋅与c 垂直，故D错误. 故选：ABC.【点睛】本题考查函数的奇偶性，三角函数的性质，对数的性质，向量的运算法则，是基础题.13.对于函数2()16ln(1)10f x x x x =++-，下列正确的是（ ） A. 3x =是函数()f x 的一个极值点 B. ()f x 的单调增区间是(1,1)-，(2,)+∞ C. ()f x 在区间(1,2)上单调递减D. 直线16ln316y =-与函数()y f x =的图象有3个交点 【答案】ACD 【解析】 【分析】求导，求出()f x 的单调性，极值点，极值，进而可进行判断.【详解】解：由题得2'16286()210,111x x f x x x x x-+=+-=>-++，令22860x x -+=，可得1,3x x ==，则()f x 在()1,1-，()3,+∞上单调递增，在()1,3上单调递减，3x ∴=是函数()f x 的一个极值点，故AC 正确，B 错误；因为2(1)16ln(11)11016ln 29f =++-=-，2(3)16ln(13)310316ln 421f =++-⨯=-， 又()16ln3162y f =-=，根据()f x 在()1,3上单调递减得()()()123f f f >> 得16ln31616ln 29,16ln31616ln 421-<-->-， 所以直线16ln316y =-与函数()y f x =图象有3个交点，故D 正确.故选：ACD.【点睛】本题考查函数的单调性，极值的综合应用，是中档题.三、填空题：本大题共4个小题，每小题4分；共16分14.已知函数()()321,1log 1,1xx f x x x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩，则()2f f =⎡⎤⎣⎦__________． 【答案】3【解析】()()()()()132log 211,21213f f f f =+=∴==+=，故答案为3.【思路点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求函数值，属于简单题. 对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清出，思路清晰. 本题解答分两个层次：首先求出()2f 的值，进而得到((2))f f 的值. 15.设i 是虚数单位，复数()1a ia R i-∈+对应的点在直线y x =上，则a =_____ 【答案】0 【解析】 【分析】利用复数的除法运算，求出()1a ia R i-∈+对应的点，代入直线y x =，即可求出a . 【详解】解：()()()()11111122a i i a i a a i i i i ----+==-++-，其对应的点为11,22a a -+⎛⎫- ⎪⎝⎭， 代入直线y x =得1122a a -+=-，解得0a =. 故答案：0.【点睛】本题考查复数的除法运算及几何意义，是基础题. 16.已知θ是第四象限角，且sin （θ+π4）=35，则tan （θ–π4）= . 【答案】43- 【解析】 【分析】 由题求得θ4π+的范围，结合已知求得cos （θ4π+），再由诱导公式求得sin （4πθ-）及cos （4πθ-），进一步由诱导公式及同角三角函数基本关系式求得tan （θ4π-）的值． 【详解】解：∵θ是第四象限角， ∴222k k ππθπ-+＜＜，则22444k k k Z ππππθπ-+++∈＜＜，，又sin （θ4π+）35=，∴cos （θ4π+）45===． ∴cos （4πθ-）＝sin （θ4π+）35=，sin （4πθ-）＝cos （θ4π+）45=． 则tan （θ4π-）＝﹣tan （4πθ-）44453354sin cos πθπθ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-=-=-⎛⎫- ⎪⎝⎭． 故答案为43-． 【点睛】本题考查两角和与差的正切，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题． 17.设函数()()221sin 1x xf x x ++=+的最大值为M ，最小值为m ，则m M +=___________ .【答案】2 【解析】()()2221sin 2sin 111x xx x f x x x +++==+++，令22sin ()1x x g x x +=+，则()g x 为奇函数，所以()g x 的最大值和最小值和为0，又()()1g x f x =-. 有110M m -+-=，即2m M +=. 答案为：2.四、解答题：本大题共6个小题，共82分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.18.已知函数32()f x x ax b =++的图像在点(1,0)P 处的切线与直线320x y ++=平行. （1）求a b 、的值：（2）求函数()f x 的单调区间；【答案】（1）3a =-，2b =（2）()f x 分别在,0，2,上是增函数，在[]0,2上是减函数 【解析】 【分析】（1）先对函数进行求导，再根据其图象在1x =处的切线斜率为3-，列出方程即可求出a b、的值； （2）令()'0fx >，可求出函数的单调增区间，相反的即为单调减区间.【详解】解：（1）∵()1,0P 在()32f x x ax b =++的图像上， ∴01a b =++ 又()232f x x ax '=+， 当1x =时，2323x ax +=-， ∴332a -=+， ∴3a =-，2b =； （2）32()32f x x x =-+，若()2360f x x x '=->，则2x >或0x <，∴()f x 分别在(),0-∞，()2,+∞上是增函数，在[]0,2上是减函数.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调区间，属于基础题. 19.已知函数()2cos sin 6f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期；（2）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()1f C =，sin 2sin B A =，且ABC 的面积为c 的值.【答案】（1）T π=（2）c = 【解析】 【分析】（1）()f x 解析式利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理为一个角的正弦函数，找出ω的值，即可确定出()f x 的最小正周期；（2）由()1f C =确定出C 的度数，sin 2sin B A =利用正弦定理化简得到2b a =，利用三角形面积公式列出关系式，求出ab 的值，联立求出a 与b 的值，利用余弦定理求出c 的值即可.【详解】解：（1）()112cos cos sin 2262f x x x x x π⎫⎛⎫=+=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()f x ∴的最小正周期为T π=；（2）()1sin 2162f x C π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，∴1sin 262C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 0C π<<，则132666<+<πππC ， ∴5266C ππ+=，3C π∴= ∵sin 2sin B A =， ∴2b a =，又ABC 的面积为∴1sin 23ab π=， ∴8ab =， 则2a =，4b =，由余弦定理得c ===【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及三角函数的周期性，熟练掌握定理及公式是解本题的关键.20.已知数列{}n a 的前n 项和为11,1,0,1n n n n n S a a a a S λ+=≠=-，其中λ为常数． （1）证明：2n n a a λ+-=；（2）是否存在λ，使得{}n a 为等差数列？并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）4λ=. 【解析】试题分析：（I ）对于含,n n a S 递推式的处理，往往可转换为关于项n a 的递推式或关于n S 的递推式．结合结论，该题需要转换为项n a 的递推式．故由11n n n a a S λ+=-得1211n n n a a S λ+++=-．两式相减得结论；（II ）对于存在性问题，可先探求参数的值再证明．本题由11a =，21a λ=-，31a λ=+，列方程得2132a a a =+，从而求出4λ=．得24n n a a +-=，故数列{}n a 的奇数项和偶数项分别为公差为4的等差数列．分别求通项公式，进而求数列{}n a 的通项公式，再证明等差数列．试题解析：（I ）由题设，11n n n a a S λ+=-，1211n n n a a S λ+++=-．两式相减得，121()n n n n a a a a λ+++-=．由于10n a +≠，所以2n n a a λ+-=．（II ）由题设，11a =，1211a a S λ=-，可得21a λ=-，由（I ）知，31a λ=+．令2132a a a =+，解得4λ=．故24n n a a +-=，由此可得，{}21n a -是首项为1，公差为4的等差数列，211(1)443n a n n -=+-⋅=-；{}2n a 是首项为3，公差为4的等差数列，23(1)441n a n n =+-⋅=-．所以21n a n =-，12n n a a +-=． 因此存在4λ=，使得{}n a 为等差数列．【考点定位】1、递推公式；2、数列的通项公式；3、等差数列． 21.已知向量a ＝（3cos2x ，3sin 2x ），b ＝（cos 2x ，－sin 2x ），且[0,]2x π∈． （Ⅰ）用cosx 表示a ·b 及|a ＋b |；（Ⅱ）求函数f （x ）＝a ·b ＋2|a ＋b |的最小值． 【答案】（Ⅰ）a ·b ＝2cos 2x －1，|a ＋b |＝2cos x ． （Ⅱ）当cos x ＝0时，f （x ）取得最小值－1． 【解析】试题分析：（Ⅰ）a ·b ＝3cos2x cos 2x －3sin 2x sin 2x＝cos2x ＝2cos 2x －1，|a ＋b |＝2|cos x |，∵[0,]2x π∈，∴cos x ≥0，∴ |a ＋b |＝2cos x ．（Ⅱ）f （x ）＝a ·b ＋2|a ＋b |＝2cos 2x －1＋4cos x ＝2（cos x ＋1）2－3， ∵[0,]2x π∈，∴ 0≤cos x ≤1， ∴ 当cos x ＝0时，f （x ）取得最小值－1．考点：本题考查了三角变换与数量积的坐标运算点评：以向量为背景考查三角函数的化简及性质是近两年考试的热点，既考查了向量的坐标运算，又考查了三角函数的性质及最值．22.在数列{}n a 中，已知10a =，26a =，且对于任意正整数n 都有2156n n n a a a ++=-. （1）令12n n n b a a +=-，求数列{}n b 的通项公式. （2）求{}n a 的通项公式.【答案】（1）23n n b =⋅（2）2332n nn a =⋅-⋅【解析】 【分析】（1）由2156n n n a a a ++=-.化为21123(2)n n n n a a a a +++-=-，利用等比数列的通项公式即可求出；（2）由（1）可得1223nn n a a +-=⋅，可得11232(23)n n n n a a ++-⋅=-⋅，利用等比数列的通项公式即可求出.【详解】解：（1）由已知可得21123(2)n n n n a a a a +++-=-， 即13n n b b +=，则{}n b 是公比为3的等比数列， 又16b =，所以163n n b -=⋅，即23nn b =⋅； （2）由（1）知1223nn n a a +-=⋅，所以11232(23)n n n n a a ++-⋅=-⋅，令23nn n c a =-⋅，有12n n c c +=，则{}n c 是公比为2的等比数列， 又16c =-，所以16232n nn c -=-⋅=-⋅， 所以2332n nn a =⋅-⋅.【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.23.已知函数()22ln f x x x =-+．（1）求函数()f x 的最大值； （2）若函数()f x 与()ag x x x=+有相同极值点． ①求实数a 的值；②若对于121,,3x x e ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦（e 为自然对数的底数），不等式()()1211f xg x k -≤-恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（Ⅰ）()11f =-；（Ⅱ）（ⅰ）1； （ⅱ）()34 ,2ln31,3⎛⎤-∞-+⋃+∞ ⎥⎝⎦． 【解析】试题分析：（1）求导函数，确定函数的单调性，从而得函数()f x 的最大值；（2）（ⅰ）求导函数，利用函数()f x 与()ag x x x=+有相同极值点，可得1x =是函数()g x 的极值点，从而求解a 的值；（ⅱ）先求出1[,3]x e∀∈，min max ()(3)92ln 3,()(1)1f x f f x f ==-+==-，1[,3]x e ∀∈，min ()(1)2g x g ==，max 10()(3)3g x g ==，再将对于121,[,3]x x e ∈，不等式12()()11f xg x k -≤-恒成立，等价变形，分类讨论，即可求解实数k 的取值范围．试题解析：（1）22(1)(1)()2(0)x x f x x x x x+-'=-+=->， 由()0{f x x >>'得01x <<，由()0{f x x <>'得1x >，∴()f x 在(0,1)上为增函数，在(1,)+∞上为减函数，∴函数()f x 的最大值为(1)1f =-； （2）∵()a g x x x =+，∴2()1a g x x=-'， （Ⅰ）由（1）知，1x =是函数()f x 的极值点，又∵函数()f x 与()ag x x x=+有相同极值点，∴1x =是函数()g x 的极值点，∴(1)10g a =-='，解得1a =， 经检验，当1a =时，函数()g x 取到极小值，符合题意；（ⅱ）∵211()2f e e =--，(1)1f =-，(3)92ln 3f =-+， ∵2192ln 321e -+<--<-， 即1(3)()(1)f f f e <<，∴1[,3]x e∀∈，min max ()(3)92ln 3,()(1)1f x f f x f ==-+==-，由（ⅰ）知1()g x x x =+，∴21()1g x x =-'，当1[,1)x e∈时，()0g x '<，当(1,3]x ∈时，()0g x '>，故()g x 在1[,1)e为减函数，在(1,3]上为增函数，∵11110(),(1)2,(3)333g e g g e e =+==+=，而11023e e <+<，∴1(1)()(3)g g g e <<，∴1[,3]x e∀∈，min max 10()(1)2,()(3)3g x g g x g ====，①当10k ->，即1k >时，对于121,[,3]x x e ∀∈，不等式12()()11f xg x k -≤-恒成立 12max 1[()()]k f x g x ⇔-≥-12max [()()]1k f x g x ⇔≥-+，∵12()()(1)(1)123f x g x f g -≤-=--=-，∴312k ≥-+=-，又∵1k >，∴1k >， ②当10k -<，即1k <时，对于121,[,]x x e e ∀∈，不等式12()()11f xg x k -≤-，12min 1[()()]k f x g x ⇔-≤-12min [()()]1k f x g x ⇔≤-+，∵121037()()(3)(3)92ln 32ln 333f x g x f g -≥-=-+-=-+，∴342ln 33k ≤-+，又∵1k <， ∴342ln 33k ≤-+．综上，所求的实数k 的取值范围为34(,2ln 3](1,)3-∞-+⋃+∞． 考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的恒成问题的求解．【方法点晴】本题主要考查了导数在求解函数的最大值、最小值等问题中的应用积极函数的恒成立问题的求解，着重考查了分类讨论的数学思想方法，属于难度较大的试题，本题的第2解答中，求出1[,3]x e∀∈，min max ()92ln 3,()1f x f x =-+=-，min ()2g x =，max 10()3g x =，将对于121,[,3]x x e ∈，不等式12()()11f xg x k -≤-恒成立，转化为1k >时，12max [()()]1k f x g x ≥-+；1k <时，12min [()()]1k f x g x ≤-+，分别求解实数k 的取值范围．。
《精编》湖南省长沙一中高三第七次月考数学试题 文 人教A版.doc
湖南省长沙市一中2021届高三月考试卷(七)数 学(文科)一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.z ＝11＋2i (i 为虚数单位)所对应的点在( ) A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤12，m ＝sin20°，那么以下关系中正确的选项是( ) A.m ⊆A B.m ∉A C.{}m ∈A D. {}A m ⊂≠p ：∀x ∈R ，|x |≥x ；q ：∃x ∈R ，1x＝0.那么以下判断正确的选项是( ) A.p 假q 真 B.p 真q 假 C.p 真q 真 D.p 假q 假4.以下函数中，既是周期为π的周期函数又是偶函数的是( )A.y ＝10xB.y ＝tan xC.y ＝sin2xD.y ＝|cosx|5.某公司2021 ～的年利润x(单位：百万元)与年广告支出y(单位：百万元)的统计资料如下表所示：年份 2021 2021 2021 2021 2021 2021利润x 16 18支出y 1A.利润中位数是16，x 与y 有正线性相关关系B.利润中位数是18，x 与y 有负线性相关关系C.利润中位数是17，x 与y 有正线性相关关系D.利润中位数是17，x 与y 有负线性相关关系x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b>0)的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝3相切，那么双曲线的离心率为( ) A.62B.3 3 ()221log ()x f x a x+=-在区间()0，＋∞内有零点，那么实数a 的取值范围是( ) A.(0，＋∞) B.(－∞，1] C.[1，＋∞) D.[2，＋∞){},,min ,,.b a b a b a a b ≥⎧=⎨<⎩设实数x ，y 满足约束条件2211x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，那么{}min 2,-z x y x y =+的取值范围为( )A.[－2，12]B.[－52，－12]C.[－2,3]D.[－3，32]二、填空题：本大题共7小题，每题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9.在极坐标系中，A (1，π6)、B (2，π2)两点的距离为 .a ＝(1,2)，b ＝(－2，y )，假设a ∥b ，那么||3a ＋b 等于 .11.一空间几何体的三视图(单位：cm)如以下列图，那么此几何体的体积是 cm 3.12.假设{a n }为等差数列，S n 是其前nS 11＝22π3，那么tan a 6的值为 . l ：x －y ＝0与椭圆x 22＋y 2＝1相交A 、B 两点，点C 是椭圆上的动点，那么△ABC 面积最大值为 .l ：x －3y ＝0与曲线⎪⎩⎪⎨⎧ϕ=ϕ+=sin 2cos 2:y a x C (φ为参数，a >0)有两个公共点A ，B ，且||AB ＝2，那么实数a 的值为 ；在此条件下，以直角坐标系的原点为极点，x 轴正方向为极轴建立极坐标系，那么曲线C 的极坐标方程为 .f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，定义：设f ″(x )是函数y ＝f (x )的导数y ＝f ′(x )的导数，假设方程f ″(x )＝0有实数解x 0，那么称点()x 0，f (x 0)为函数y ＝f (x )的“拐点〞.有同学发现“任何一个三次函数都有“拐点〞；任何一个三次函数都有对称中心；且“拐点〞就是对称中心.〞请你根据这一发现，求：(1)函数f (x )＝x 3－3x 2＋3x 对称中心为 ；(2)假设函数g (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512＋1x －12，那么g (12021)＋g (22021)＋g (32021)＋g (42021)＋…＋g (20212021)＝ . 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.(本小题总分值12分)函数f (x )＝a sin x ＋b cos(x －π3)的图象经过点(π3，12)，(7π6，0). (1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )在[0，π]上的单调递增区间.17.(本小题总分值12分)如图：在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，沿对角线BD 把△ABD 折起，使A移到A 1点，过点A 1作A 1O ⊥平面BCD ，垂足O 恰好落在CD 上.(1)求证：BC ⊥A 1D ；(2)求直线A 1B 与平面BCD 所成角的正弦值.18.(本小题总分值12分)某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见局部如下，据此解答如下问题：(1)求分数在[50,60)的频率及全班人数；(2)求分数在[80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高；(3)假设要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90,100]之间的概率.19.(本小题总分值13分)工厂生产某种产品，次品率p 与日产量x (万件)间的关系为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<-=c x c x x p ,320,61，(c 为常数，且0<c <6).每生产1件合格产品盈利3元，每出现1件次品亏损1.5元.(1)将日盈利额y (万元)表示为日产量(万件)的函数；(2)为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？(注：次品率＝次品数产品总数×100%)20.(本小题总分值13分)f (x )＝m x (m 为常数，m >0且m ≠1).设f (a 1)，f (a 2)，…，f (a n )…(n ∈N )是首项为m 2，公比为m 的等比数列.(1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)假设b n ＝a n ·f (a n )，且数列{b n }的前n 项和为S n ，当m ＝2时，求S n ；(3)假设c n ＝f (a n )lg f (a n )，问是否存在m ，使得数列{c n }中每一项恒小于它后面的项？假设存在，求出m 的范围；假设不存在，请说明理由.21.(本小题总分值13分)动圆G 过点F (32，0)，且与直线l ：x ＝－32相切，动圆圆心G 的轨迹为曲线E .曲线E 上的两个动点A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2).(1)求曲线E 的方程；(2)OA ·OB ＝－9(O 为坐标原点)，探究直线AB 是否恒过定点，假设过定点，求出定点坐标；假设不过，请说明理由.(3)线段AB 的垂直平分线交x 轴于点C ，其中x 1≠x 2且x 1＋x 2△ABC 面积的最大值.数 学(文科)答案选择题答题卡题 号 1 2 3 4 5 6 7 8答 案 D D B D C A C D二、填空题：10.5. 11.4π cm 3.12... 14. 2 ； ρ2－4ρcos θ＋2＝0 . 15.(1) (1,1) ；(2) 2021 . 三、16.解：(1)∵函数f (x )＝a sin x ＋b cos (x －π3)的图象经过点(π3，12)，(7π6，0).∴12102b a +=⎨⎪-=⎪⎩，(4分) 解得：a ＝3，b ＝－1.(5分)(2)由(1)知：f (x )＝3sin x －cos(x －π3)＝32sin x －12cos x ＝sin(x －π6).(9分) 由2k π－π2≤x －π6≤2k π＋π2，解得2k π－π3≤x ≤2k π＋2π3k ∈Z . ∵x ∈[0，π]，∴x ∈[0，2π3]，∴函数f (x )在[0，π]上的单调递增区间为[0，2π3].(12分) 17.解：(1)因为A 1O ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ，∴BC ⊥A 1O ，因为BC ⊥CD ，A 1O ∩CD ＝O ，∴BC ⊥面A 1CD .因为A 1D ⊂面A 1CD ，∴BC ⊥A 1D .(6分)(2)连结BO ，那么∠A 1BO 是直线A 1B 与平面BCD 所成的角.因为A 1D ⊥BC ，A 1D ⊥A 1B ，A 1B ∩BC ＝B ，∴A 1D ⊥面A 1BC .A 1C ⊂面A 1BC ，∴A 1D ⊥A 1C . 在Rt △DA 1C 中，A 1D ＝3，CD ＝5，∴A 1C ＝4.根据S △A 1CD ＝12A 1D ·A 1C ＝12A 1O ·CD ，得到A 1O ＝125， 在Rt △A 1OB 中，sin ∠A 1BO ＝A 1O A 1B ＝1255＝1225. 所以直线A 1B 与平面BCD 所成角的正弦值为1225.(12分) 18.解：(1)分数在[50,60)的频率为0.008×10＝0.08，(2分)由茎叶图知：分数在[50,60)之间的频数为2，所以全班人数为20.08＝25，(4分) (2)分数在[80,90)之间的频数为25－2－7－10－2＝4；(6分)频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为425÷10＝0.016.(8分) (3)将[80,90)之间的4个分数编号为1,2,3,4，[90,100]之间的2个分数编号为5,6， 在[80,100]之间的试卷中任取两份的根本领件为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)共15个，(10分)其中，至少有一个在[90,100]之间的根本领件有9个，故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是915＝0.6.(12分)19.解：(1)当x >c 时，p ＝23，y ＝13·x ·3－23·x ·32＝0；(2分) 当0<x ≤c 时，p ＝16－x， ∴y ＝(1－16－x )·x ·3－16－x ·x ·32＝32·9x －2x 26－x.(4分) ∴日盈利额y (万元)与日产量x (万件)的函数关系为23(92) 02(6)0 x x x c y x x c ⎧-<≤⎪=-⎨⎪>⎩.(5分)(2)由(1)知，当x >c 时，日盈利额为0.当0<x ≤c 时，∵y ＝3(9x －2x 2)2(6－x )，∴y ′＝32·(9－4x )(6－x )＋(9x －2x 2)(6－x )2＝3(x －3)(x －9)(6－x )2， 令y ′＝0，得x ＝3或x ＝9(舍去).∴①当0<c <3时，∵y ′>0，∴y 在区间 (0，c ]上单调递增，∴y 最大值＝f (c )＝3(9c －2c 2)2(6－c )，此时x ＝c ； ②当3≤c <6时，在(0,3)上，y ′>0，在(3，c )上y ′<0，∴y 在(0,3)上单调递增，在(3，c )上单调递减.∴y 最大值＝f (3)＝92. 综上，假设0<c <3，那么当日产量为c 万件时，日盈利额最大； 假设3≤c <6，那么当日产量为3万件时，日盈利额最大.(13分)20.解：(1)由题意f (a n )＝m 2·m n ＋1，即ma n ，＝m n ＋1.∴a n ＝n ＋1，(2分)∴a n ＋1－a n ＝1，∴数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列.(4分)(2)由题意b n ＝a n f (a n )＝(n ＋1)·m n ＋1，当m ＝2时，b n ＝(n ＋1)·2n ＋1∴S n ＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋(n ＋1)·2n ＋1 ①(6分)①式两端同乘以2，得2S n ＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n ·2n ＋1＋(n ＋1)·2n ＋2 ②②－①并整理，得S n ＝－2·22－23－24－25－…－2n ＋1＋(n ＋1)·2n ＋2＝－22－(22＋23＋24＋…＋2n ＋1)＋(n ＋1)·2n ＋2＝－22－22(1－2n )1－2＋(n ＋1)·2n ＋2 ＝－22＋22(1－2n )＋(n ＋1)·2n ＋2＝2n ＋2·n .(9分)(3)由题意c n ＝f (a n )·lg f (a n )＝m n ＋1·lg m n ＋1＝(n ＋1)·m n ＋1·lg m ， 要使c n <c n ＋1对一切n ∈N *成立，即(n ＋1)·m n ＋1·lg m <(n ＋2)·m n ＋2·lg m ，对一切n ∈N *成立， ①当m >1时，lg m >0，所以n ＋1<m (n ＋2)对一切n ∈N *恒成立；(11分)②当0<m <1时，lg m <0，所以等价使得n ＋1n ＋2>m 对一切n ∈N *成立， 因为n ＋1n ＋2＝1－1n ＋2的最小值为23，所以0<m <23. 综上，当0<m <23或m >1时，数列{c n }中每一项恒小于它后面的项.(13分) 21.解：(1)依题意，圆心G 到定点F (32，0)的距离与到直线l ：x ＝－32的距离相等，∴曲线E 是以F (32，0)为焦点，直线l ：x ＝－32为准线的抛物线. ∴曲线E 的方程为y 2＝6x .(3分)(2)当直线AB 不垂直x 轴时，设直线AB 方程为y ＝kx ＋b (k ≠0). 由26y kx b y x=+⎧⎨=⎩消去x 得ky 2－6y ＋6b ＝0，Δ＝36－24kb >0. y 1y 2＝6b k ，x 1x 2＝y 216·y 226＝(y 1y 2)236＝b 2k 2. OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝b 2k 2＋6b k＝－9， ∴b 2＋6kb ＋9k 2＝0，(b ＋3k )2＝0，b ＝－3k ，满足Δ>0.∴直线AB 方程为y ＝kx －3k ，即y ＝k (x －3)，∴直线AB 恒过定点(3,0).(7分)当直线AB 垂直x 轴时，可推得直线AB 方程为x ＝3，也过点(3,0). 综上，直线AB 恒过定点(3,0).(8分)。
湖南省长沙市第一中学2021届高三月考试卷(三)数学试题
长沙市一中2021届高三月考试卷（三）数学时量：120分钟 满分：150分一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1.已知集合{}2450A x x x =--<，{}1,0,1,2,3,5B =-，则A B ⋂=（ ）A.{}1,0-B.{}1,0,1-C.{}0,1,2D.{}0,1,2,32.设复数z 满足()12z i +=，i 为虚数单位，则复数z 的虚部是（ ） A.1B.-1C.iD.i -3.四名同学各掷一枚骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据下面四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ）（注：一组数据1x ，2x ，…，n x 的平均数为x ，它的方差为()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦）A.平均数为2，方差为2.4B.中位数为3，众数为2C.平均数为3，中位数为2D.中位数为3，方差为2.84.我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，则函数()441x x f x =-的图象大致是（ ）A. B. C. D.5.某公司安排甲、乙、丙、丁4人去上海、北京、深圳出差，每人仅出差一个地方，每个地方都需要安排人出差.若不安排甲去北京，则不同的安排方法共有（ ） A.18种B.20种C.24种D.30种6.如图是由等边AIE △和等边KGC △构成的六角星，图中B ，D ，F ，H ，J ，L 均为三等分点，两个等边三角形的中心均为O ，若OA OL OC λμ=+，则λμ-的值为（ ）A.23D.17.已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，圆2222x y a b +=+与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为A ，B ，四边形21AF BF 的周长p 与面积p =离心率为（ ）C.2D.38.已知函数，()f x 满足()()f x f x =-，且当(],0x ∈-∞时，()()0f x xf x '+<成立，若()()0.60.622a f =⋅，()()ln2ln2b f =⋅，2211log log 88c f ⎛⎫⎛⎫=⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A.a b c >>B.c b a >>C.a c b >>D.c a b >>二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.） 9.下列说法正确的有（ ）A.两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对值越接近于0B.()()2121E X E X +=+，()()2141D X D X +=+C.设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，若()1P p ξ>=，则()1112P p ξ-<<=-D.甲、乙、丙、丁4个人到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A =“4个人去的景点各不相同”，事件B =“甲独自去一个景点”，则()29P A B = 10.已知函数()sin ,sin cos ,cos ,sin cos ,x x x f x x x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩则下列说法正确的是（ ）A.()f x 的值域是[]0,1B.()f x 是以π为最小正周期的周期函数C.()f x 在区间3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D.()f x 在[]0,2π上有2个零点 11.如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，点P 在线段1BC 上运动，则下列判断中正确的有（ ）A.平面1PB D ⊥平面1ACDB.1A P ∥平面1ACDC.异面直线1A P 与1AD 所成角的取值范围是0,3π⎛⎤⎥⎝⎦D.三棱锥1D APC -的体积不变12.将2n 个数排成n 行n 列的一个数阵，如下图：11a 12a 13a …1n a 21a 22a 23a …2n a 31a 32a 33a …3n a…1n a 2n a 3n a …nn a设数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中0m >）.已知112a =，13611a a =+，记这2n 个数的和为S .下列结论正确的有（ ） A.3m =B.767173a =⨯C.()1313j ij a i -=-⨯D.()()131314n S n n =+- 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.在6213x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为______.（用数字作答）14.已知{}n a 为等差数列，其公差为2，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 前n 项和，则10S 的值为______.15.已知7件产品中有5件合格品，2件次品.为找出这2件次品，每次任取一件检验，检验后不放回，则“恰好第一次检验出正品且第五次检验出最后一件次品”的概率为______. 16.函数()2sin32sin cos f x x x x =-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值为______. 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，()sin cos a b C C =+. （1）求角B 的大小； （2）若2A π=，D 为ABC △外一点（A 、D 在直线BC 两侧），2DB =，3DC =，求四边形ABDC 面积的最大值.18.已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =，其前n 项和为n S ，数列{}n b 前n 项和为n T ，从①1a ，2a ，5a 成等比数列，2n n T b =-，②53253S S -=，1122n n T -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，③数列{}n b 为等比数列，101111021n n n a a =+=∑，11a b =，3458a b =，这三个条件中任选一个作为已知条件并解答下列问题. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n M .19.如图，四边形ABCD 为平行四边形，4DAB π∠=，点E 在AB 上，22AE EB ==，且DE AB ⊥.以DE 为折痕把ADE △折起，使点A 到达点F 的位置，且60FEB ∠=︒.（1）求证：平面BFC ⊥平面BCDE ； （2）求二面角B EF C --的余弦值.20.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，过点,02p A ⎛⎫-⎪⎝⎭的直线与抛物线在第一象限相切于点B ，点B 到坐标原点O的距离为（1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点()8,0M 任作直线l 与抛物线C 相交于P ，Q 两点，请判断x 轴上是否存点T ，使得点M 到直线PT ，QT 的距离都相等.若存在，请求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由.21.甲、乙两人组成“虎队”代表班级参加学校体育节的篮球投篮比赛活动，每轮活动由甲、乙两人各投篮一次，在一轮活动中，如果两人都投中，则“虎队”得3分；如果只有一个人投中，则“虎队”得1分；如果两人都没投中，则“虎队”得0分.已知甲每轮投中的概率是34，乙每轮投中的概率是23；每轮活动中甲、乙投中与否互不影响.各轮结果亦互不影响.（1）假设“虎队”参加两轮活动，求：“虎队”至少投中3个的概率； （2）①设“虎队”两轮得分之和为X ，求X 的分布列； ②设“虎队”n 轮得分之和为n X ，求n X 的期望值. （参考公式()E X Y EX EY +=+） 22.已知函数()2xf x e ax b =-+（,a b ∈R ，其中e 为自然对数的底数）.若含糊()f x 有两个不同的零点1x ，2x .（1）当a b =时，求实数a 的取值范围； （2）设()f x 的导函数为()f x '，求证：1202x x f +⎛⎫'<⎪⎝⎭.长沙市一中2021届高三月考试卷（三）数学参考答案一、单项选择题1.D 【解析】∵{}15A x x =-<<，{}1,0,1,2,3,5B =-，∴{}0,1,2,3A B ⋂=.故选D. 2.B 【解析】由()1i 2z +=，得()()()21i 21i 1i 1i 1i z -===-++-，∴复数z 的虚部是-1.故选B. 3.A 【解析】若平均数为2，且出现6点，则方差()22162 3.25s >-=，因为2.4 3.2<，所以选项A 中一定没有出现点数；选项B ，C ，D 中涉及中位数，众数，不能确定是否出现点数6.故选A.4.D 【解析】因为函数()441x x f x =-，()()()444141x x x x f x f x ----==≠±--，所以函数()f x 不是偶函数，也不是奇函数，图象不关于y 轴对称，也不关于原点对称，故排除A 、B 选项；又因为()937f =，()2564255f =，所以()()34f f >，而选项C ，函数()441x x f x =-在()0,x ∈+∞上是递增的，故排除C.故选D.5.C 【解析】若安排一人去北京，共有123223C C A 18=种；若安排两人去北京，共有2223C A 6=种，总共24种，故选C.6.D 【解析】解法1：以点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，设等边三角形的边长为()0,2A，)C，L ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，因为OA OL OC λμ=+，所以0,2,μλ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩解得32λ=，12μ=，于是31122λμ-=-=.解法2：OA OL OC OL OI λμλμ=+=-，因为A ，L ，I 三点共线，所以1λμ-=.故选D. 7.C 【解析】由题知，122AF AF a -=，四边形21AF BF 是平行四边形，122pAF AF +=， 联立解得14p AF a =+，24pAF a =-，又线段12F F 为圆的直径，所以由双曲线的对称性可知四边形21AF BF 为矩形，所以221216p S AF AF a =⋅=-，因为p =232p S =，即2223216p p a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解得2232p a =，由2221212AF AF F F +=，得222248p a c +=，即2232a c =，即e =.故选C.8.B 【解析】根据题意，令()()h x xf x =，因为()()f x f x =-对x ∈R 成立，所以()()()()h x xf x xf x h x -=--=-=-，因此函数()h x 为R 上的奇函数.又因为当(],0x ∈-∞时，()()()0h x f x xf x ''=+<，所以函数()h x 在(],0-∞上为减函数，又因为函数()h x 为奇函数，所以函数()h x 在R 上为减函数， 因为0.621log 0ln 2128<<<<，所以()()0.621log ln 228h h h ⎛⎫>> ⎪⎝⎭，即c b a <<.故选B. 二、多项选择题9.CD 【解析】对于A ，根据相关系数的定义可得A 错误；对于B ，()()2121E X E X +=+，()()214D X D X +=，即B 错误；对于C ，设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，()()11P P p ξξ>=<-=，则()1112P p ξ-<<=-，故C 正确；对于D.甲、乙、丙、丁4个人到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A =“4个人去的景点各不相同”，事件B =“甲独自去一个景点”，则()()()()()44134A 2C 39P AB n AB P A B P B n B ⨯====，故D 正确，故选CD.10.AD 【解析】()()5sin ,22,44()3cos ,22,44x k x k k f x x k x k k ππππππππ⎧+≤≤+∈⎪⎪=⎨⎪-+≤≤+∈⎪⎩Z Z 作出函数()f x 的大致图象如图所示：由图可知()f x 的值域是[]0,1，故A 正确； 因为()sin 0fππ==，()2cos21f ππ==，所以()()2f f ππ≠，所以π不是()f x 的最小正周期，故B 错误；由图可知()f x 在区间5,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在53,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故C 不正确；由图可知，在[]0,2π上，()302f f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()f x 在[]0,2π上有2个零点，故D 正确；故选AD.11.ABD 【解析】对于A ，易知1DB ⊥平面1ACD ，1DB 在平面1PB D 内，从而平面1PB D ⊥平面1ACD ，A 正确；对于B ，易知平面11BAC ∥平面1ACD ，1A P 在平面11BAC 内，所以1A P ∥平面1ACD ，故B 正确；对于C ，1A P 与1AD 所成角即为1A P 与1BC 的所成角，1111A B BC AC ==，当P 与线段1BC 的两端点重合时，1A P 与1AD 所成角取最小值3π，当P 与线段1BC 的中点重合时，1A P 与1AD 所成角取最大值2π，故1A P 与1AD 所成角的范围是,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故C 不正确；对于D ，由选项B 得1BC ∥平面1ADC ，故1BC 上任意一点到平面1ADC 的距离均相等，所以以P 为顶点，三角形1ADC 为底面，则三棱锥1P AD C -的体积不变，又11D APC P AD C V V --=，所以三棱锥1D APC -的体积不变，故D 正确.故选ABD.12.ACD 【解析】选项A ：由题意，该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列，且112a =，13611a a =+， 可得2213112a a m m ==，6111525a a d m =+=+，所以22251m m =++， 解得3m =或12m =-（舍去），所以选项A 是正确的； 选项B ：又由()66667612533173a a m ==+⨯⨯=⨯，所以选项B 不正确；选项C ：又由()111111j j ij i a a m a i m m --==+-⨯⨯⎡⎤⎣⎦()()112133313j j i i --=+-⨯⨯=-⨯⎡⎤⎣⎦，所以选项C是正确的；选项D ：又由这2n 个数的和为S ，则()()()111212122212n n n n nn S a a a a a a a a a =++++++++++++()()()11211131313131313n n n n a a a ---=+++---()()()()23111313131224nn n n n n +-=-⋅=+-， 所以选项D 是正确的.故选ACD. 三、填空题13.135 【解析】6213x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()62361661C 3C 3kkk k k k k T x x x --+⎛⎫==⨯⨯ ⎪⎝⎭，由360k -=，得2k =，∴6213x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的常数项为226C 3135⨯=.故答案为135. 14.-110 【解析】{}n a 为等差数列，其公差为2，由7a 是3a 与9a 的等比中项，可得2739a a a =，即()()()211112416a a a +=++，解得120a =-，则()101102010921102S =⨯-+⨯⨯⨯=-.故答案为-110.15.17【解析】考查两件次品的位置，共有27C 21=种取法，因为恰好第五次取出最后一件次品，依题意另一件次品只能排2，3，4位，共有13C 3=种取法.故概率为17. 16.9【解析】∵()()2sin32sin cos sin 2sin2cos cos2sin f x x x x x x x x x x =-=+-= ()2312sin sin sin 2sin x x x x =-=-，令sin x t =，由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦知[]0,1t ∈， 令32yt t =-，216y t '=-，令0y '=，得6t =， 当0,6t ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭，0y '>，函数y 单调递增，当t⎤∈⎥⎝⎦时，0y '<，函数y 单调递减，所以当t =y 四、解答题17.【解析】（1）在ABC △中，∵()sin cos a b C C =+，∴()sin sin sin cos A B C C =+. ∴()()sin sin sin cos B C B C C π--=+，∴()()sin sin sin cos B C B C C +=+， ∴sin cos cos sin sin sin sin cos B C B C B C B C +=+，∴cos sin sin sin B C B C =， 又∵()0,C π∈，故sin 0C ≠，∴cos sin B B =，即tan 1B =.又∵()0,B π∈，∴4B π=.（2）在BCD △中，2DB =，3DC =，∴22232232cos 1312cos BC D D =+-⨯⨯⨯=-.又2A π=，由（1）可知4B π=，∴ABC △为等腰直角三角形，∴2111133cos 2244ABC S BC BC BC D =⨯⨯⨯==-△，又∵1sin 3sin 2BDC S BD DC D D =⨯⨯⨯=△.∴13133cos 3sin 444ABDC D D D S π⎛⎫-+=+- ⎪⎝=⎭四边形. ∴当34D π=时，四边形ABCD的面积有最大值，最大值为134+18.【解析】（1）选择条件①，设数列{}n a 的公差为d ，由1a ，2a ，5a 成等比数列，即2215a a a =，所以()2114d d +=+，解得0d =（舍）或2d =，所以21n a n =-，因为2n n T b =-，则112n n T b ++=-，所以11122n n n n n b T T b b +++=-=--+，则112n n b b +=， 又1112b T b ==-，解得11b =，所以112n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭.选择条件②，设数列{}n a 的公差为d ，所以53115103325353S S a d a d d ++-=-==，所以21n a n =-， 因为1122n n T -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令1n =，可得11b =，当2n ≥时，1112n n n n b T T --⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，且1n =时，11b =适合上式，所以112n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭.选择条件③，设数列{}n a 的公差为d ，所以111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 所以10111223101111111111n n n a a d a a a a a a =+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑111111111101021d a a a a ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭， 又11a =，则1121a =，所以2d =，所以21n a n =-，设数列{}n b 的公比为q ，因为35a =，3458a b =，可得418b =， 又111a b ==，可得12q =，所以112n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭.（2）()112121212n n n n a n n b ---==-⋅⎛⎫⎪⎝⎭，所以()()01221123252232212n n n M n n --=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅，()()12312123252232212n n n M n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅，以上两式相减得，()1211222222212n n n M n --=+⨯+⨯++⋅--⋅()2323n n =--⋅-，()2323n n M n =-⋅+.19.【解析】（1）证明：∵DE AB ⊥，∴DE EB ⊥，DE EF ⊥，∴DE ⊥平面BEF ，∴DE BF ⊥， ∵22AE EB ==，∴2EF =，1EB =，∵60FEB ∠=︒，∴由余弦定理得BF =222EF EB BF =+，∴FB EB ⊥，又DE BE E ⋂=，∴BF ⊥平面BCDE ，∴平面BFC ⊥平面BCDE .（2）以B 为原点，BA 为x 轴，在平面ABCD 中过点B 作AB 的垂线为y 轴，BF 为z 轴，建立空间直角坐标系，∵4DAB π∠=，DE AB ⊥.∴2DE =，∴()1,0,0E，(F ，()2,2,0C -，()3,2,0CE =-，(EF =-，设平面CEF 的法向量(),,m x y z =，则CE 320,0,m x y EF m x ⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅=-=⎩取2z =，得()23,3m =，平面BEF 的一个法向量()0,1,0p =，∴3129cos ,m p m p m p⋅==⋅， 由图可知二面角B EF C --的平面角为锐角，∴二面角B EF C --20.【解析】（1）设直线AB 的方程为()02p y k x k ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭， 联立方程组22,,2y px p y k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩消去x 得，2220ky py kp -+=， 由222440p k p ∆=-=，解得1k =（1k =-舍），B 点坐标为,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭，则OB ==，解得4p =， 故抛物线C 的标准方程为28y x =.（2）设直线:8l x ny =+，假设存在这样的点T ，设()11,P x y ，()22,Q x y ，点(),0T t ，联立方程28,8,y x x ny ⎧=⎨=+⎩消去x 整理得，28640y ny --=，可得128y y n +=，1264y y =-，若点M 到直线PT ，QT 的距离相等，则直线PT ，QT 的斜率互为相反数， 有12121212088PT QT y y y y k k x t x t ny t ny t+=+=+=--+-+-（先假设1x t ≠，2x t ≠）， 可得()()1221880y ny t y ny t +-++-=，整理得，()()1212280ny y t y y +-+=，得8t =-.显然18x ≠-且28x ≠-. 故存在这样的点T 的坐标为()8,0-.21.【解析】（1）设甲、乙在第n 轮投中分别记作事件n A ，n B ，“虎队”至少投中3个记作事件C ，则()()()()()()12121212121212121212P C P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B =++++2222112233232232C 1C 144343343⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-⋅+⋅⋅⋅-+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11126443++=.（2）①“虎队”两轮得分之和X 的可能取值为：0，1，2，3，4，6，则()2232101143144P X ⎛⎫⎛⎫==-⋅-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()2233232210121111443433144P X ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⋅-⋅-+-⋅⋅-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，()3232323232323232252111111114343434343434343144P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅-⋅⋅-+⋅-⋅-⋅+-⋅⋅⋅-+-⋅⋅-⋅=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()32321232114343144P X ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⨯⋅⋅-⋅-=⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ()22332223604211443334144P X ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⋅-⋅+⋅-⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，()223236643144P X ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故X 的分布列如下图所示：②10,1,3X =，()132********P X ⎛⎫⎛⎫==-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()132325111434312P X ⎛⎫⎛⎫==⋅-+-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()132634312P X ==⋅=，∴1562313121212EX =⨯+⨯=，12312n EX n EX n =⋅=. 22.【解析】（1）由题意知，()22xf x e a '=-，当0a ≤，()0f x '>，函数()f x 在R 上单调递增，()f x 最多有1个零点，不合题意. 当0a >时，函数()f x 在1,ln22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，函数()f x 在1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以()min 13ln ln 22222a a a f x f a ⎛⎫==-⎪⎝⎭，当302e a <<时，1ln 022a f ⎛⎫>⎪⎝⎭，函数()f x 没有零点； 当32a e =时，1ln 022a f ⎛⎫=⎪⎝⎭，函数()f x 有只1个零点； 当32a e >时，1ln 022a f ⎛⎫<⎪⎝⎭，13ln 222a >，又()210f e =>，此时存在111,ln22a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()10f x =， 令()xh x x e =-，()0,x ∈+∞，则()10xx e h '=->，所以()h x 在()0,+∞单调递增，所以()()00h x h >>，所以当()0,x ∈+∞时，xe x >，所以()()2ln 2ln ln ln ln ln ln 0aa a f a ea a a e a a a e a =-+>-=->， 所以存在21ln ,ln 22a x a ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()20f x =， 故此时函数()f x 有两个不同的零点1x ，2x .综上可得：当()32,a e ∈+∞时，函数()f x 有两个不同的零点1x ，2x .（2）证明：由题意得1221220,0,x x e ax b e ax b ⎧-+=⎨-+=⎩两式相减，得212221x x e e a x x -=-，设12x x <，()22e xf x a '=-，则()21211221212212212121222x x x x x x x x x x x x e e e f e x x e e x x x x ++--+-⎛⎫'⎡⎤=-=-+- ⎪⎣⎦--⎝⎭， 令210t x x =->，()2t th t t e e -=-+，∵()()220t t t te e e e h t ---=-+'-<=，∴()h t 在()0,+∞上单调递减，()()00h t h <=即1202x x f +⎛⎫'<⎪⎝⎭.。
湖南省长沙市一中2021年中考数学练习题及答案(含解析)
湖南省长沙市一中2021年中考数学练习题及答案（含解析）一、单选题1、如果温度上升2℃记作+2℃，那么温度下降3℃记作（）A．+2℃B．﹣2℃C．+3℃D．﹣3℃【分析】根据正数与负数的表示方法，可得解；【解答】解：上升2℃记作+2℃，下降3℃记作﹣3℃；故选：D．【点评】本题考查正数和负数；能够根据实际问题理解正数与负数的意义和表示方法是解题的关键．2、一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．【解答】解：几何体的俯视图是：故选：C．【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的正面看得到的视图．3、已知y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则y＝ax+b和y＝的图象为（）A．B．C．D．【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可以得到a＜0，b＞0，c＜0，由此可以判定y＝ax+b经过一、二、四象限，双曲线y＝在二、四象限．【解答】解：根据二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，可得a＜0，b＞0，c＜0，∴y＝ax+b过一、二、四象限，双曲线y＝在二、四象限，∴C是正确的．故选：C．【点评】此题考查一次函数，二次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系．4、不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（）A．3个球都是黑球B．3个球都是白球C．3个球中有黑球D．3个球中有白球【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型．【解答】解：A、3个球都是黑球是随机事件；B、3个球都是白球是不可能事件；C、3个球中有黑球是必然事件；D、3个球中有白球是随机事件；故选：B．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．5、实数2019的相反数是（）A．2019 B．﹣2019 C．D．【分析】直接利用相反数的定义进而得出答案．【解答】解：实数2019的相反数是：﹣2009．故选：B．【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．6、如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，该几何体的左视图是（）A．B．C．D．【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【解答】解：从左面看易得下面一层有2个正方形，上面一层左边有1个正方形，如图所示：．故选：A．【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．7、如图，▱ABCD中，AB＝2，AD＝4，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，则下列说法正确的是（）A．EH＝HGB．四边形EFGH是平行四边形C．AC⊥BDD．△ABO的面积是△EFO的面积的2倍【分析】根据题意和图形，可以判断各个选项中的结论是否成立，本题得以解决．【解答】解：∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，在▱ABCD中，AB＝2，AD＝4，∴EH＝AD＝2，HG＝AB＝1，∴EH≠HG，故选项A错误；∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，∴EH＝，∴四边形EFGH是平行四边形，故选项B正确；由题目中的条件，无法判断AC和BD是否垂直，故选项C错误；∵点E、F分别为OA和OB的中点，∴EF＝，EF∥AB，∴△OEF∽△OAB，∴，即△ABO的面积是△EFO的面积的4倍，故选项D错误，故选：B．【点评】本题考查平行四边形的面积、三角形的相似、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．8、下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容则回答正确的是（）A．◎代表∠FEC B．@代表同位角C．▲代表∠EFC D．※代表AB【分析】根据图形可知※代表CD，即可判断D；根据三角形外角的性质可得◎代表∠EFC，即可判断A；利用等量代换得出▲代表∠EFC，即可判断C；根据图形已经内错角定义可知@代表内错角．【解答】证明：延长BE交CD于点F，则∠BEC＝∠EFC+∠C（三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）．又∠BEC＝∠B+∠C，得∠B＝∠EFC．故AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．故选：C．9、下列图形为正多边形的是（）A．B．C．D．【分析】根据正多边形的定义；各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形可得答案．【解答】解：正五边形五个角相等，五条边都相等，故选：D．【点评】此题主要考查了正多边形，关键是掌握正多边形的定义．10、正十边形的外角和为（）A．180°B．360°C．720°D．1440°【分析】根据多边的外角和定理进行选择．【解答】解：因为任意多边形的外角和都等于360°，所以正十边形的外角和等于360°，．故选：B．【点评】本题考查了多边形外角和定理，关键是熟记：多边形的外角和等于360度．二、填空题1、现有8张同样的卡片，分别标有数字：1，1，2，2，2，3，4，5，将这些卡片放在一个不透明的盒子里，搅匀后从中随机地抽出一张，抽到标有数字2的卡片的概率是．【分析】直接利用概率公式计算进而得出答案．【解答】解：∵现有8张同样的卡片，分别标有数字：1，1，2，2，2，3，4，5，∴将这些卡片放在一个不透明的盒子里，搅匀后从中随机地抽出一张，抽到标有数字2的卡片的概率是：．故答案为：．【点评】此题主要考查了概率公式，正确掌握计算公式是解题关键．2、因式分解：ab﹣a＝a（b﹣1）．【分析】提公因式a即可．【解答】解：ab﹣a＝a（b﹣1）．故答案为：a（b﹣1）．【点评】本题考查了提取公因式法因式分解．关键是求出多项式里各项的公因式，提公因式．3、如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，E为BC上一点，把△CDE沿DE折叠，使点C落在AB边上的F处，则CE的长为．【分析】设CE＝x，则BE＝6﹣x由折叠性质可知，EF＝CE＝x，DF＝CD＝AB＝10，所以AF＝8，BF＝AB﹣AF＝10﹣8＝2，在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2，即（6﹣x）2+22＝x2，解得x＝．【解答】解：设CE＝x，则BE＝6﹣x由折叠性质可知，EF＝CE＝x，DF＝CD＝AB＝10，在Rt△DAF中，AD＝6，DF＝10，∴AF＝8，∴BF＝AB﹣AF＝10﹣8＝2，在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2，即（6﹣x）2+22＝x2，解得x＝，故答案为．【点评】本题考查了矩形，熟练掌握矩形的性质以及勾股定理是解题的关键．4、如图，直线AB∥CD，直线EC分别与AB，CD相交于点A、点C，AD平分∠BAC，已知∠ACD＝80°，则∠DAC的度数为50°．【分析】依据平行线的性质，即可得到∠BAC的度数，再根据角平分线的定义，即可得到∠DAC的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∠ACD＝80°，∴∠BAC＝100°，又∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠BAC＝50°，故答案为：50°．【点评】本题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的定义．解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．5、勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图（单位：km）．笔直铁路经过A，B两地．（1）A，B间的距离为20 km；（2）计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D 间的距离为13 km．【分析】（1）由垂线段最短以及根据两点的纵坐标相同即可求出AB的长度；（2）根据A、B、C三点的坐标可求出CE与AE的长度，设CD＝x，根据勾股定理即可求出x的值．【解答】解：（1）由A、B两点的纵坐标相同可知：AB∥x轴，∴AB＝12﹣（﹣8）＝20；（2）过点C作l⊥AB于点E，连接AC，作AC的垂直平分线交直线l于点D，由（1）可知：CE＝1﹣（﹣17）＝18，AE＝12，设CD＝x，∴AD＝CD＝x，由勾股定理可知：x2＝（18﹣x）2+122，∴解得：x＝13，∴CD＝13，故答案为：（1）20；（2）13；【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是根据A、B、C三点的坐标求出相关线段的长度，本题属于中等题型．三、解答题(难度：中等)1、已知抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣4和C2：y＝x2（1）如何将抛物线C1平移得到抛物线C2？（2）如图1，抛物线C1与x轴正半轴交于点A，直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线C1于另一点B．请你在线段AB上取点P，过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q，连接AQ．①若AP＝AQ，求点P的横坐标；②若PA＝PQ，直接写出点P的横坐标．（3）如图2，△MNE的顶点M、N在抛物线C2上，点M在点N右边，两条直线ME、NE与抛物线C2均有唯一公共点，ME、NE均与y轴不平行．若△MNE的面积为2，设M、N两点的横坐标分别为m、n，求m与n的数量关系．【分析】（1）y＝（x﹣1）2﹣4向左评移1个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到y＝x2；（2）易求点A（3，0），b＝4，联立方程﹣x+4＝（x﹣1）2﹣4，可得B（﹣，）；设P（t，﹣t+4），Q（t，t2﹣2t﹣3），①当AP＝AQ时，则有﹣4+t＝t2﹣2t﹣3，求得t＝；②当AP＝PQ时，PQ＝t2+t+7，PA＝（3﹣t），则有t2+t+7＝（3﹣t），求得t＝﹣；（3）设经过M与N的直线解析式为y＝k（x﹣m）+m2，∴，则可知△＝k2﹣4km+4m2＝（k﹣2m）2＝0，求得k＝2m，求出直线ME的解析式为y＝2mx﹣m2，直线NE的解析式为y＝2nx﹣n2，则可求E（，mn），再由面积[（n2﹣mn）+（m2﹣mn）]×（m﹣n）﹣（n2﹣mn）×（﹣n）﹣（m2﹣mn）×（m﹣）＝2，可得（m﹣n）3＝8，即可求解；【解答】解：（1）y＝（x﹣1）2﹣4向左评移1个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到y＝x2；（2）y＝（x﹣1）2﹣4与x轴正半轴的交点A（3，0），∵直线y＝﹣x+b经过点A，∴b＝4，∴y＝﹣x+4，y＝﹣x+4与y＝（x﹣1）2﹣4的交点为﹣x+4＝（x﹣1）2﹣4的解，∴x＝3或x＝﹣，∴B（﹣，），设P（t，﹣t+4），且﹣＜t＜3，∵PQ∥y轴，∴Q（t，t2﹣2t﹣3），①当AP＝AQ时，|4﹣t|＝|t2﹣2t﹣3|，则有﹣4+t＝t2﹣2t﹣3，∴t＝，∴P点横坐标为；②当AP＝PQ时，PQ＝﹣t2+t+7，PA＝（3﹣t），∴﹣t2+t+7＝（3﹣t），∴t＝﹣；∴P点横坐标为﹣；（3）设经过M与N的直线解析式为y＝k（x﹣m）+m2，∴，则有x2﹣kx+km﹣m2＝0，△＝k2﹣4km+4m2＝（k﹣2m）2＝0，∴k＝2m，直线ME的解析式为y＝2mx﹣m2，直线NE的解析式为y＝2nx﹣n2，∴E（，mn），∴[（n2﹣mn）+（m2﹣mn）]×（m﹣n）﹣（n2﹣mn）×（﹣n）﹣（m2﹣mn）×（m﹣）＝2，∴（m﹣n）3﹣＝4，∴（m﹣n）3＝8，∴m﹣n＝2；【点评】本题考查二次函数的图象及性质；是二次函数的综合题，熟练掌握直线与二次函数的交点求法，借助三角形面积列出等量关系是解决m与n的关系的关键．2、在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+1（k≠0）与直线x＝k，直线y＝﹣k分别交于点A，B，直线x＝k与直线y＝﹣k交于点C．（1）求直线l与y轴的交点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段AB，BC，CA围成的区域（不含边界）为W．①当k＝2时，结合函数图象，求区域W内的整点个数；②若区域W内没有整点，直接写出k的取值范围．【分析】（1）令x＝0，y＝1，直线l与y轴的交点坐标（0，1）；（2）①当k＝2时，A（2，5），B（﹣，﹣2），C（2，﹣2），在W区域内有6个整数点；②当x＝k+1时，y ＝﹣k+1，则有k2+2k＝0，k＝﹣2，当0＞k≥﹣1时，W内没有整数点；【解答】解：（1）令x＝0，y＝1，∴直线l与y轴的交点坐标（0，1）；（2）由题意，A（k，k2+1），B（，﹣k），C（k，﹣k），①当k＝2时，A（2，5），B（﹣，﹣2），C（2，﹣2），在W区域内有6个整数点：（0，0），（0，﹣1），（1，0），（1，﹣1），（1，1），（1，2）；②直线AB的解析式为y＝kx+1，当x＝k+1时，y＝﹣k+1，则有k2+2k＝0，∴k＝﹣2，当0＞k≥﹣1时，W内没有整数点，∴当0＞k≥﹣1或k＝﹣2时W内没有整数点；【点评】本题考查一次函数图象上点的特征；能够数形结合解题，根据k变化分析W区域内整数点的情况是解题的关键．3、时下正是海南百香果丰收的季节，张阿姨到“海南爱心扶贫网”上选购百香果，若购买2千克“红土”百香果和1千克“黄金”百香果需付80元，若购买1千克“红土”百香果和3千克“黄金”百香果需付115元．请问这两种百香果每千克各是多少元？【分析】设“红土”百香果每千克x元，“黄金”百香果每千克y元，由题意列出方程组，解方程组即可．【解答】解：设“红土”百香果每千克x元，“黄金”百香果每千克y元，由题意得：，解得：；答：“红土”百香果每千克25元，“黄金”百香果每千克30元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程组的解法；根据题意列出方程组是解题的关键．4、计算：（2x2）3﹣x2•x4．【分析】先算乘方与乘法，再合并同类项即可．【解答】解：（2x2）3﹣x2•x4＝8x6﹣x6＝7x6．【点评】本题考查了整式的混合运算，掌握运算性质和法则是解题的关键．5、如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．【分析】（1）用交点式函数表达式，即可求解；（2）分当AB为平行四边形一条边、对角线，两种情况，分别求解即可；（3）利用S四边形AEBD＝AB（y D﹣y E），即可求解．【解答】解：（1）用交点式函数表达式得：y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3；故二次函数表达式为：y＝x2﹣4x+3；（2）①当AB为平行四边形一条边时，如图1，则AB＝PE＝2，则点P坐标为（4，3），当点P在对称轴左侧时，即点C的位置，点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，故：点P（4，3）或（0，3）；②当AB是四边形的对角线时，如图2，AB中点坐标为（2，0）设点P的横坐标为m，点F的横坐标为2，其中点坐标为：，即：＝2，解得：m＝2，故点P（2，﹣1）；故：点P（4，3）或（0，3）或（2，﹣1）；（3）直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，设点E坐标为（x，x2﹣4x+3），则点D（x，﹣x+3），S四边形AEBD＝AB（y D﹣y E）＝﹣x+3﹣x2+4x﹣3＝﹣x2+3x，∵﹣1＜0，故四边形AEBD面积有最大值，当x＝，其最大值为，此时点E（，﹣）．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．6、在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+1（k≠0）与直线x＝k，直线y＝﹣k分别交于点A，B，直线x＝k与直线y＝﹣k交于点C．（1）求直线l与y轴的交点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段AB，BC，CA围成的区域（不含边界）为W．①当k＝2时，结合函数图象，求区域W内的整点个数；②若区域W内没有整点，直接写出k的取值范围．【分析】（1）令x＝0，y＝1，直线l与y轴的交点坐标（0，1）；（2）①当k＝2时，A（2，5），B（﹣，﹣2），C（2，﹣2），在W区域内有6个整数点；②当x＝k+1时，y ＝﹣k+1，则有k2+2k＝0，k＝﹣2，当0＞k≥﹣1时，W内没有整数点；【解答】解：（1）令x＝0，y＝1，∴直线l与y轴的交点坐标（0，1）；（2）由题意，A（k，k2+1），B（，﹣k），C（k，﹣k），①当k＝2时，A（2，5），B（﹣，﹣2），C（2，﹣2），在W区域内有6个整数点：（0，0），（0，﹣1），（1，0），（1，﹣1），（1，1），（1，2）；②直线AB的解析式为y＝kx+1，当x＝k+1时，y＝﹣k+1，则有k2+2k＝0，∴k＝﹣2，当0＞k≥﹣1时，W内没有整数点，∴当0＞k≥﹣1或k＝﹣2时W内没有整数点；【点评】本题考查一次函数图象上点的特征；能够数形结合解题，根据k变化分析W区域内整数点的情况是解题的关键．7、如果抛物线C1的顶点在拋物线C2上，抛物线C2的顶点也在拋物线C1上时，那么我们称抛物线C1与C2“互为关联”的抛物线．如图1，已知抛物线C1：y1＝x2+x与C2：y2＝ax2+x+c是“互为关联”的拋物线，点A，B分别是抛物线C1，C2的顶点，抛物线C2经过点D（6，﹣1）．（1）直接写出A，B的坐标和抛物线C2的解析式；（2）抛物线C2上是否存在点E，使得△ABE是直角三角形？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）如图2，点F（﹣6，3）在抛物线C1上，点M，N分别是抛物线C1，C2上的动点，且点M，N的横坐标相同，记△AFM面积为S1（当点M与点A，F重合时S1＝0），△ABN的面积为S2（当点N与点A，B重合时，S2＝0），令S＝S1+S2，观察图象，当y1≤y2时，写出x的取值范围，并求出在此范围内S的最大值．【分析】（1）由抛物线C1：y1＝x2+x可得A（﹣2，﹣1），将A（﹣2，﹣1），D（6，﹣1）代入y2＝ax2+x+c，求得y2＝﹣+x+2，B（2，3）；（2）易得直线AB的解析式：y＝x+1，①若B为直角顶点，BE⊥AB，E（6，﹣1）；②若A为直角顶点，AE⊥AB，E（10，﹣13）；③若E为直角顶点，设E（m，﹣m2+m+2）不符合题意；（3）由y1≤y2，得﹣2≤x≤2，设M（t，），N（t，），且﹣2≤t≤2，易求直线AF的解析式：y＝﹣x﹣3，过M作x轴的平行线MQ交AF于Q，S1＝，设AB交MN于点P，易知P（t，t+1），S2＝2﹣，所以S＝S1+S2＝4t+8，当t＝2时，S的最大值为16．【解答】解：由抛物线C1：y1＝x2+x可得A（﹣2，﹣1），将A（﹣2，﹣1），D（6，﹣1）代入y2＝ax2+x+c得，解得，∴y2＝﹣+x+2，∴B（2，3）；（2）易得直线AB的解析式：y＝x+1，①若B为直角顶点，BE⊥AB，k BE•k AB＝﹣1，∴k BE＝﹣1，直线BE解析式为y＝﹣x+5联立，解得x＝2，y＝3或x＝6，y＝﹣1，∴E（6，﹣1）；②若A为直角顶点，AE⊥AB，同理得AE解析式：y＝﹣x﹣3，联立，解得x＝﹣2，y＝﹣1或x＝10，y＝﹣13，∴E（10，﹣13）；③若E为直角顶点，设E（m，﹣m2+m+2）由AE⊥BE得k BE•k AE＝﹣1，即，解得m＝2或﹣2（不符合题意舍去），∴点E的坐标∴E（6，﹣1）或E（10，﹣13）；（3）∵y1≤y2，∴﹣2≤x≤2，设M（t，），N（t，），且﹣2≤t≤2，易求直线AF的解析式：y＝﹣x﹣3，过M作x轴的平行线MQ交AF于Q，则Q（），S1＝QM•|y F﹣y A|＝设AB交MN于点P，易知P（t，t+1），S2＝PN•|x A﹣x B|＝2﹣S＝S1+S2＝4t+8，当t＝2时，S的最大值为16．【点评】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的性质、直角三角形的性质以及一次函数的性质是解题的关键．8、如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD．（1）求该抛物线的表达式；（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t．①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值；②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）①S△PBC＝PG（x C﹣x B），即可求解；②分点P在直线BC下方、上方两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝x2+6x+5…①，令y＝0，则x＝﹣1或﹣5，即点C（﹣1，0）；（2）①如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点G，将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝x+1…②，设点G（t，t+1），则点P（t，t2+6t+5），S△PBC＝PG（x C﹣x B）＝（t+1﹣t2﹣6t﹣5）＝﹣t2﹣t﹣6，∵＜0，∴S△PBC有最大值，当t＝﹣时，其最大值为；②设直线BP与CD交于点H，当点P在直线BC下方时，∵∠PBC＝∠BCD，∴点H在BC的中垂线上，线段BC的中点坐标为（﹣，﹣），过该点与BC垂直的直线的k值为﹣1，设BC中垂线的表达式为：y＝﹣x+m，将点（﹣，﹣）代入上式并解得：直线BC中垂线的表达式为：y＝﹣x﹣4…③，同理直线CD的表达式为：y＝2x+2…④，联立③④并解得：x＝﹣2，即点H（﹣2，﹣2），同理可得直线BH的表达式为：y＝x﹣1…⑤，联立①⑤并解得：x＝﹣或﹣4（舍去﹣4），故点P（﹣，﹣）；当点P（P′）在直线BC上方时，∵∠PBC＝∠BCD，∴BP′∥CD，则直线BP′的表达式为：y＝2x+s，将点B坐标代入上式并解得：s＝5，即直线BP′的表达式为：y＝2x+5…⑥，联立①⑥并解得：x＝0或﹣4（舍去﹣4），故点P（0，5）；故点P的坐标为P（﹣，﹣）或（0，5）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等，其中（2），要主要分类求解，避免遗漏．。
2021届湖南长沙市一中新高三原创预测试卷(一)数学
2021届湖南长沙市一中新高三原创预测试卷（一）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U =R ，集合(){}50A x x x =-≥，{}3B x y x ==-，则()U C A B ⋂等于（ ） A. ()0,3 B. ()0,5C. ∅D. (]0,3【答案】D 【解析】 【分析】求出A 中不等式的解集确定出A ，求出B 中x 的范围确定B ，找出A 的补集与B 的交集即可.【详解】由A 中不等式解得：0x ≤或5x ≥，即(][),05,A =-∞⋃+∞， ()0,5U C A ∴=，由B中y =30x -≥，解得3x ≤，即(],3B =-∞，则()(]0,3U C A B ⋂=. 故选：D.【点睛】本题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 2.已知复数32a iz i-=+（a R ∈，i 是虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值等于（ ） A.23B. 32C. 23-D. 32-【答案】A 【解析】()()()()3232321313a i i a a i z ---+--==，因为是纯虚数，所以320a -=，23a =。
2021年湖南省长沙市长郡中学高考数学考前冲刺试卷(附答案详解)
2021年湖南省长沙市长郡中学高考数学考前冲刺试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.设集合A={x|y=√x−2}，B={y|y=√x−2}，C={(x,y)|y=√x−2}，则下列集合不为空集的是()A. A∩BB. A∩CC. B∩CD. A∩B∩C2.已知一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不同的实数根x1，x2，则“x1⋅x2>4且x1+x2>4”的_____________是“x1>2且x2>2”.()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知数列{a n}，a n=1f(n)，其中f(n)为最接近√n的整数，若{a n}的前m项和为20，则m=()A. 15B. 30C. 60D. 1104.《九章算术》是我国古代的数学巨著，书中有这样一道题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠亦日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问何日相逢？”题意为：有一堵墙厚五尺，有两只老鼠从墙的正对面打洞穿墙.大老鼠第一天打进一尺，以后每天打进的长度是前一天的2倍；小老鼠第一天也打进一尺，以后每天打进的长度是前一天的一半.若这一堵墙厚16尺，则几日后两鼠相逢()A. 3B. 4C. 5D. 65.如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线(也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线)，它对应的方程为|y|=(2−12[2xπ])|sinωx|(0≤x≤2π，其中记[x]为不超过x的最大整数)，且过点P(π4,2)，若葫芦曲线上一点M到y轴的距离为5π3，则点M到x轴的距离为()A. 14B. √34C. 12D. √326.某地举办“迎建党100周年”乒乓球团体赛，比赛采用新斯韦思林杯赛制(5场单打3胜制，即先胜3场者获胜，比赛结束).现有两支球队进行比赛，前3场依次分别由甲、乙、丙和A、B、C出场比赛.若经过3场比赛未分出胜负，则第4场由甲和B进行比赛；若经过4场比赛仍未分出胜负，则第5场由乙和A进行比赛，假设甲与A或B比赛，甲每场获胜的概率均为0.6；乙与A或B比赛，乙每场获胜的概率均为0.5；丙与C比赛，丙每场获胜的概率均为0.5；各场比赛的结果互不影响，那么，恰好经过4场比赛分出胜负的概率为()A. 0.24B. 0.25C. 0.38D. 0.57.如表所示是采取一项单独防疫措施感染COVID−19的概率统计表：单独防疫措施戴口罩勤洗手接种COVID−19疫苗感染COVID−19的概率p 145(1−p)p100一次核酸检测的准确率为1−10p.某家有3人，他们每个人只戴口罩，没有做到勤洗手也没有接种COVID−19疫苗，感染COVID−19的概率都为0.01.这3人不同人的核酸检测结果，以及其中任何一个人的不同次核酸检测结果都是互相独立的.他们3人都落实了表中的三项防疫措施，而且共做了10次核酸检测.以这家人的每个人每次核酸检测被确诊感染COVID−19的概率为依据，这10次核酸检测中，有X 次结果为确诊，X的数学期望为()A. 1.98×10−6B. 1.98×10−7C. 1.8×10−7D. 2.2×10−78.如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面CDD1C1上有一个小孔E，E点到CD的距离为3，若该正方体水槽绕CD倾斜(CD始终在桌面上)，则当水恰好流出时，侧面CDD1C1与桌面所成角的正切值为()A. √55B. 12C. 2√55D. 2二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是()A. i +i 2+i 3+i 4=0B. 复数z =3−i 的虚部为−iC. 若z =(1+2i)2，则复平面内z −对应的点位于第二象限D. 已知复数z 满足|z −1|=|z +1|，则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线10. 函数f(x)的定义域为I.若∃M >0使得∀x ∈I 均有|f(x)|<M ，且函数f(x +1)是偶函数，则f(x)可以是( )A. f(x)=|ln x2−x | B. f(x)=sin(π2x)+cos(2πx) C. f(x)=12x +2−14D. f(x)={0,∁R Q1,x ∈Q11. 已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，C 的一条渐近线l 的方程为y =√3x ，且F 1到l 的距离为3√3，点P 为C 在第一象限上的点，点Q 的坐标为(2,0)，PQ 为∠F 1PF 2的平分线，则下列正确的是( )A. 双曲线的方程为x 29−y 227=1 B. |PF 1||PF 2|=2 C. |PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√6D. 点P 到x 轴的距离为3√15212. 将平面向量a ⃗ =(x 1,x 2)称为二维向量，由此可推广至n 维向量a⃗ =(x 1,x 2,⋯,x n ).对于n 维向量a ⃗ ，b ⃗ ，其运算与平面向量类似，如数量积a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |cosθ=∑x i n i=1y i (θ为向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角)，其向量a ⃗ 的模|a ⃗ |=√∑x i 2n i=1，则下列说法正确的有( )A. 不等式(∑x i 2n i=1)(∑y i 2n i=1)≤(∑x i n i=1y i )2可能成立 B. 不等式(∑x i 2n i=1)(∑y i 2n i=1)≥(∑x i n i=1y i )2一定成立 C. 不等式n ∑x i 2n i=1<(∑x i n i=1)2可能成立D. 若x i >0(i =1,2，⋯，n)，则不等式∑1x in i=1∑x i n i=1≥n 2一定成立 三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设(x −√x )6的展开式中x 3的系数为a ，则a 的值为______ ．14. 锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2+c 2=a 2+bc ，b =2，则△ABC 的面积的取值范围是______ ．15. 如果数列{a n }满足a 1=2，a 2=1，且a n−1−ana n−1a n =a n −a n+1a n a n+1(n ≥2)，则这个数列的第2021项等于______ ．16. 函数f(x)=(x 2−10x +26)e x ，若∀x 1，x 2∈I ，x 1≠x 2，都有f(x 1+x 22)>f(x 1)+f(x 2)2成立，则满足条件的一个区间I 可以是______ (填写一个符合题意的区间即可)．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 如图，在梯形ABCD 中，AB//CD ，AB =2，CD =5，∠ABC =2π3．(1)若AC =2√7，求梯形ABCD 的面积； (2)若AC ⊥BD ，求tan∠ABD ．18. 已知数列{a n }中，a 1=1，a 2=2，且a n+2=2a n+1+3a n ，设数列b n =a n+1+a n ．(1)求证：数列{b n }是等比数列，并求数列{b n }的通项公式； (2)若数列{b n }的前n 项和为S n ，数列{94b nS n ⋅S n+1}的前n 项和为T n ，求证：T n <14．19. 某商城玩具柜台元旦期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送元旦礼品.而每个甲系列盲盒可以开出玩偶A 1，A 2，A 3中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶B 1，B 2中的一个．(1)记事件E n ：一次性购买n 个甲系列盲盒后集齐A 1，A 2，A 3玩偶；事件F n ：一次性购买n 个乙系列盲盒后集齐B 1，B 2玩偶；求概率P(E 6)及P(F 5)；(2)礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒.通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为15，购买乙系列的概率为45；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为14，购买乙系列的概率为34；前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为12，购买乙系列的概率为12；如此往复，记某人第n 次购买甲系列的概率为Q n ． ①Q n ；②若每天购买盲盒的人数约为100，且这100人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个．20. 如图所示的几何体是由等高的半个圆柱和14个圆柱拼接而成，点G 为弧CD⏜的中点，且C 、E 、D 、G 四点共面． (1)证明：平面BFD ⊥平面BCG ；(2)若平面BDF 与平面ABG 所成锐二面角的余弦值为√155，求直线DF 与平面ABF 所成角的大小．21. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，O 为坐标原点，直线l ：x =1与C 的两个交点和O ，B 构成一个面积为√6的菱形． (1)求C 的方程；(2)圆E 过O ，B ，交l 于点M ，N ，直线AM ，AN 分别交C 于另一点P ，Q ，点S ，T 满足AS⃗⃗⃗⃗⃗ =13SP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AT ⃗⃗⃗⃗⃗ =13TQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求O 到直线ST 和直线PQ 的距离之和的最大值．22. 已知函数f(x)=12e 2x +be x +ax 在x =0处取得极值f′(x)为f(x)的导数．(1)若a >0，讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)<f′(x)−x ，a 的取值集合是A ，求A 中的最大整数值与最小整数值． 参考数据：ln16∈(2.77,2.78)，ln17∈(2.83,2.84)，ln18∈(2.89,2.90)答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵集合A={x|y=√x−2}={x|x≥2}，B={y|y=√x−2}={y|y≥0}，C={(x,y)|y=√x−2}，∴A∩B=[2,+∞)，A∩C=⌀，B∩C=⌀，A∩B∩C=⌀，故选：A．求出集合A，B，利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．2.【答案】A【解析】解：已知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个不同的实数根，①当x1>2且x2>2时，可得x1⋅x2>4，x1+x2>4，②当x1=10，x2=0.5时，满足x1⋅x2>4且x1+x2>4，此时不满足x1>2且x2>2，∴x1⋅x2>4且x1+x2>4的充分不必要条件为x1>2且x2>2，故选：A．利用不等式的性质和充分条件和必要条件的应用求出结果．本题考查不等式的性质，充分条件和必要条件，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：由题意可得f(1)=1，f(2)=1，f(3)=2，f(4)=2，f(5)=2，f(6)=2，f(7)=3，f(8)=3，f(9)=3，f(10)=3，f(11)=3，f(12)=3，...，可得依次为2个1，4个2，6个3，8个4，10个5，...，因此a1+a2=2×1=2，a3+a4+a5+a6=4×12=2，a7+a8+...+a12=6×13=2，a13+a14+...+a20=8×14=2，...，由20=10×2，可得m=2+4+6+8+...+20=12×10×(2+20)=110．故选：D．写出f(n)的前几项，求出一些项的和，由等差数列的求和公式，可得所求值．本题考查数列的求和，注意总结规律，考查归纳推理能力，属于中档题．4.【答案】B【解析】解：根据题意，大老鼠每天打进的长度是首项为1，公比为2的等比数列，设该数列为{a n}，前n项和为S n，小老鼠每天打进的长度是首项为1，公比为12的等比数列，设该数列为{b n}，前n项和为T n，则S n=1×(1−2n)1−2=2n−1，T n=1×(1−12n)1−12=2−12n−1，若S n+T n=(2n−1)+(2−12n−1)≥16，即2n−12n−1)≥15，又由n≥1且n∈Z，必有n≥4，故选：B．根据题意，分析可得大老鼠每天打进的长度是首项为1，公比为2的等比数列，小老鼠每天打进的长度是首项为1，公比为12的等比数列，由等比数列的前n项和公式可得S n+T n=(2n−1)+(2−12n−1)≥16，分析可得n的取值范围，即可得答案．本题考查等比数列的应用，涉及等比数列的求和，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：∵|y|=(2−12[2xπ])|sinωx|(0≤x≤2π)，过点P(π4,2)，∴2=(2−12[2π×π4])|sinπ4ω|，∴2=(2−12[12])|sinπ4ω|，∴|sinπ4ω|=1，即sinπ4ω=±1，∴π4ω=π2+kπ(k∈Z)，∴ω=2+4k(k∈Z)，由图像|y|上下对称可知：T=π4×4=π，∴k=0，ω=2，∴|y|=(2−12[2xπ])|sin2x|(0≤x≤2π)，∵点M到y轴的距离为5π3，∴x=5π3，当x=5π3时，|y|=(2−12[2π×5π3])|sin2×5π3|=(2−12×3)|sin10π3|=12×√32=√34，∴点M到x轴的距离为√34．故选：B．由|y|=(2−12[2xπ])|sinωx|(0≤x≤2π)，过点P(π4,2)，可求出ω的值，从而得到|y|的解析式，再令x=5π3求出|y|的值即可求出结果．本题主要考查了三角函数的图像和性质，考查了学生的运算能力，是基础题．6.【答案】C【解析】解：记“恰好经过4场比赛分出胜负”、“恰好经过4场比赛甲所在球队获胜”、“恰好经过4场比赛A所在球队获胜”的事件分别为D、E、F，由E，F互斥，且P(D)=P(E)+P(F)，若事件E发生，则第四场比赛甲获胜，且前3场比赛甲所在球队恰有一场比赛失利，由于甲对A，B比赛每场获胜的概率均为0.6，乙与A或B比赛，乙每场获胜的概率均为0.5，丙与C比赛，丙每场获胜的概率均为0.5，各场比赛的结果互不影响，∴甲所在球队恰好经过4场比赛获得胜利的概率为：P(E)=0.6×(0.4×0.5×0.5+0.6×C21×0.5×0.5)=0.24，若事件F发生，则第四场比赛B获胜，且前3场比赛A所在球队恰有一场比赛失利，由于甲对A，B比赛每场获胜的概率均为0.6，乙与A或B比赛，乙每场获胜的概率均为0.5，丙与C比赛，丙每场获胜的概率均为0.5，各场比赛的结果互不影响，∴A所在球队恰好经过4场比赛获利胜利的概率为：P(F)=0.4×(0.6×0.5×0.5+0.4×C21×0.5×0.5)=0.14，∴恰好经过4场比赛分出胜负的概率为：P(D)=P(E)+P(F)=0.38．故选：C．记“恰好经过4场比赛分出胜负”、“恰好经过4场比赛甲所在球队获胜”、“恰好经过4场比赛A所在球队获胜”的事件分别为D、E、F，由E，F互斥，且P(D)=P(E)+P(F)，若事件E发生，则第四场比赛甲获胜，且前3场比赛甲所在球队恰有一场比赛失利，求出甲所在球队恰好经过4场比赛获得胜利的概率；若事件F发生，则第四场比赛B获胜，且前3场比赛A所在球队恰有一场比赛失利，求出A所在球队恰好经过4场比赛获利胜利的概率．由此能求出恰好经过4场比赛分出胜负的概率．本题考查概率的运算，涉及到相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．7.【答案】B【解析】解：由题意可知p=0.01，3人都落实了表中的三项防疫措施，也被感染的概率为：0.01×145(1−0.01)×0.01100=2.2×10−8，又因一次核酸检测的准确率为1−10×0.01=0.9，所以这3人一次检测能确诊的概率为：2.2×10−8×0.9=1.98×10−8，∴10次检测中确诊的期望为：10×1.98×10−8=1.98×10−7，故选：B．利用题中的条件确定3人落实三项防疫措施任然被感染的概率，进而确定数学期望．本题考查了统计与概率，二项分布的数学期望，学生的数学运算能力，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：由题意知，水的体积为4×4×2=32，如图所示，设正方体水槽倾斜后，水面分别与棱AA1，BB1，CC1，DD1交于M，N，P，Q，则PC=3，水的体积为S BCPN⋅CD=32，∴BN+CP2⋅BC⋅CD=32，即BN+32×4×4=32，∴BN=1．在平面BCC1B1内，过点C1作C1H//NP，交BB1于H，则四边形NPC1H是平行四边形，NH=C1P=1，∴B1H=BB1−NH−BN=4−1−1=2，∵侧面CDD1C1与桌面所成的角即侧面CDD1C1与水面MNPQ所成的角，即侧面CDD1C1与平面HC1D1所成的角，∴∠HC1C即为所求，而∠HC1C=∠B1HC1，在Rt△B1HC1中，tan∠B1HC1=B1C1B1H =42=2，∴侧面CDD1C1与桌面所成角的正切值为2．故选：D．由题意知，水的体积为32，设正方体水槽倾斜后，水面分别与棱AA1，BB1，CC1，DD1交于M，N，P，Q，则PC=3，此时水的体积为S BCPN⋅CD，从而求得BN=1；在平面BCC1B1内，过点C1作C1H//NP，交BB1于H，侧面CDD1C1与桌面所成的角即侧面CDD1C1与水面MNPQ所成的角，即侧面CDD1C1与平面HC1D1所成的角，故∠HC1C即为所求，再在Rt△B1HC1中，由tan∠HC1C=tan∠B1HC1=B1C1B1H即可得解．本题考查二面角的求法，将所求的角逐步转化为边长已知的直角三角形中的角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．9.【答案】AD【解析】解：对于A：i+i2+i3+i4=i−1−i+1=0，故A正确；对于B：复数z=3−i的虚部为−1，故B错误；对于C：若z=(1+2i)2=1+4i−4=−3+4i，所以z−=−3−4i，则复平面内z−对应的点位于第三象限，故C错误；对于D：复数z满足|z−1|=|z+1|，表示z到A(1,0)和B(−1,0)两点的距离相等，即z 的轨迹为线段AB的垂直平分线，故D正确．故选：AD．直接利用复数的定义，复数的运算和几何意义判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：复数的定义，复数的运算和几何意义，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．10.【答案】BD【解析】解：当x →0时，x2−x →0，则ln x2−x →−∞，f(x)→+∞，f(x)无界，A 错误； f(x +1)=sin(π2x +π2)+cos(2πx +2π)=cos π2x +cos2πx 为偶函数，且|f(x +1)|≤2，B 正确；因为2x >0，2+2x >2， 所以−14<12+2x <14，所以|f(x)|<14，存在符合题意的M ， 因为f(x +1)=12x+1+2−14， f(−x +1)=12−x+1+2−14=2x 2+2x+1−14， 所以f(−x +1)+f(x +1)=12x+1+2−14+2x2+2x+1−14=1+2x2+2x+1−12=0， 故f(x +1)为奇函数，不符合题意； f(x)={0,∁R Q1,x ∈Q，则|f(x)|≤1，因为−x +1与x +1要么都是有理数，要么都是无理数， 所以f(x +1)=f(−x +1)， 故f(x +1)为偶函数，符合题意． 故选：BD ．结合选项分析各函数的取值范围，然后检验f(x +1)与f(−x +1)的关系进行判断即可． 本题以新定义为载体，主要考查了函数的值域的求解及函数奇偶性的判断，属于中档题．11.【答案】ABD【解析】解：∵渐近线l 的方程为y =√3x ，∴ba =√3， ∵F 1(−c,0)到l 的距离为3√3，∴3√3=|b a⋅(−c)|√1+(ba )2=b ，∴a =3，∴双曲线的标准方程为x 29−y 227=1，即选项A 正确；∵c =√a 2+b 2=√9+27=6， ∴F 1(−6,0)，F 2(6,0)，由角分线定理知，|PF 1||PF 2|=|F 1Q||QF 2|=84=2，即选项B 正确；由双曲线的定义知，|PF 1|−|PF 2|=2a =6， ∴|PF 1|=12=|F 1F 2|，|PF 2|=6， 在等腰△PF 1F 2中，cos∠PF 2F 1=12|PF 2||F 1F 2|=312=14， ∴sin∠PF 2F 1=√1−cos 2∠PF 2F 1=√154， ∴x P =|OF 2|−|PF 2|⋅cos∠PF 2F 1=6−6×14=92， y P =|PF 2|⋅sin∠PF 2F 1=6×√154=3√152，即选项D 正确；∴|OP|=(92)(3√152)=3√6，∴|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|OP|=6√6，即选项C 错误． 故选：ABD ．选项A ，易知b =3√3，a =3，从而写出双曲线的标准方程； 选项B ，由角分线定理知，|PF 1||PF 2|=|F 1Q||QF 2|；选项D ，结合选项B 中结论和双曲线的定义，可得|PF 1|=12，|PF 2|=6，再利用三角函数，求得点P 的坐标；选项C ，由|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |，得解．本题考查双曲线的定义与几何性质，角分线定理，三角函数的简单计算，考查数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．12.【答案】ABD【解析】解：对于A ，构造a ⃗ =(x 1,x 2,⋯,x n )，b ⃗ =(y 1,y 2,⋯,y n )， 所以|a ⃗ ⋅b ⃗ |≤|a ⃗ ||b⃗ |⇒|x 1y 1+x 2y 2+⋯+x n y n |≤√x 12+x 22+⋯+x n n √y 12+y 22+⋯+y n n ⇒(∑x i n i=1y i )²≤∑x i n i=1²∑y i n i=1²，当且仅当x 1y 1=x 2y 2=⋯=xny n 时取“=”，例如(a²+1)(b²+1)≥(ab +1)²，当a =b =1时取“=”，故A 正确； 对于B ，由A 的分析过程知，B 正确；对于C ，构造a ⃗ =(x 1,x 2,⋯,x n )，b ⃗ =(1,1，⋯，1)，知|a ⃗ ⋅b ⃗ |≤|a ⃗ ||b ⃗ |⇒|x 1+x 2+⋯+x n |≤√x 12+x 22+⋯+x n n ⋅√n ， 所以n ∑x i n i=1²≥(∑x i ni=1)²，故C 错误；对于D ，构造a ⃗ =(√1x 1,√1x 2,⋯,√1x n)，b ⃗ =(√x 1,√x 2,…,√x n )，所以|a ⃗ ⋅b ⃗ |≤|a ⃗ ||b ⃗ |⇒√1x 1+1x 2+⋯+1x n√x 1+x 2+⋯+x n ≥n ⇒∑1x in i=1⋅∑x i ni=1≥n²，D 正确． 故选：ABD ．构造a ⃗ =(x 1,x 2,⋯,x n )，b ⃗ =(y 1,y 2,⋯,y n )，利用平面向量的推广运算即可判断选项A ，B ；构造a ⃗ =(x 1,x 2,⋯,x n )，b ⃗ =(1,1，⋯，1)，利用平面向量的推广运算即可判断选项C ；构造a ⃗ =(√1x 1,√1x 2,⋯,√1x n)，b ⃗ =(√x 1,√x 2,…,√x n )，利用平面向量的推广运算即可判断选项D ．本题主要考查类比推理，向量的数量积公式以及向量模的公式，考查逻辑推理与运算求解能力，属于中档题．13.【答案】60【解析】解：二项式(x −√x )6的展开式为：T r+1=C 6r x 6−r ⋅(−2)r ⋅(x)−r2=C 6r ⋅(−2)r ⋅x6−32r ，所以6−32r =3，解得r =2， 故x 3的系数为a =15×4=60。
2021届湖南长沙市一中新高三原创预测试卷(七)物理
2021届湖南长沙市一中新高三原创预测试卷（七）物理★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
二、选择题1.某质点沿一直线运动，其速度的二次方（v 2）与位移（x ）的关系图线如图所示，则该质点在0~12m 的运动过程中（ ）A. 加速度越来越大B. 所用的时间为3sC. 经过x =6m 时的速度大小为4m/sD. 0~6m 和6~12m 所用的时间之比为1：1 【答案】B 【解析】【详解】A ．根据速度位移关系2202v v ax -=代入图中数据可得22m/s a =，01m/s v =，故质点的加速度不变，故A 错误；B ．根据速度位移关系2202v v ax -=解得末速度为7m/s v = 所用的时间为071s=3s 2v v t a --== 故B 正确； C ．将x =6m 带入2202v v ax -=解得65m/s x v ==，故C 错误；D ．经过x =6m 时的速度大小为5m/s ，根据速度时间关系 0~6m 所用的时间1151s=2s 2v t a ∆-== 6~12m 所用的时间2275s=1s 2v t a ∆-== 0~6m 和6~12m 所用的时间之比为2：1，故D 错误。
2021届湖南长沙市一中新高三原创预测试卷(十四)数学
2021届湖南长沙市一中新高三原创预测试卷（十四）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
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5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
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6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
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8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题 60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{}2,3,5A =，集合{1,3,4,6}B =，则集合UA B =A ．{3}B ．{1,4,6}C ．{2,5}D ．{2,3,5} 2. 命题“000(0,),ln 1x x x ∃∈+∞=-”的否定是A ．(0,),ln 1x x x ∀∈+∞≠-B ．(0,),ln 1x x x ∀∉+∞=-C ．000(0,),ln 1x x x ∃∈+∞≠-D ．000(0,),ln 1x x x ∃∉+∞=-3．设1i2i 1iz -=++，则||z = A ．0 B ．12C ．2 D ．14．二项式(1)()nx n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =A ．7B ．6C ．5D ．45．已知ABC ∆是边长为1的等边三角形，点,D E 分别是边,AB BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC ⋅的值为 A ．58-B ．18C ．14D ．1186．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是A ．[2,6]B ．[4,8]C．D．7．已知函数0()ln 0x e x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[1,0)-B ．[1,)-+∞C ．[0,)+∞D ．[1,)+∞8．已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC ∆是边长为2的正三角形，,E F 分别,PA PB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为 A．B．C．D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论正确的是A ．年接待游客量逐年增加B ．各年的月接待游客量高峰期大致在8月C ．2017年1月至12月月接待游客量的中位数为30D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 10. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E 、F ，且12EF =，则下列结论中正确的是 A ．AC BE ⊥ B ．//EF ABCD 平面C ．AEF BEF ∆∆的面积与的面积相等D ．三棱锥A BEF -的体积为定值11.已知椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为F E 、，直线x m =）（11<<-m 与椭圆相交于点A 、B ，则A. 当0=m 时，FAB ∆的面积为3B. 不存在m 使FAB ∆为直角三角形C. 存在m 使四边形FBEA 面积最大D. 存在m ，使FAB ∆的周长最大12. 函数()f x 在[,]a b 上有定义，若对任意12,[,]x x a b ∈，有[]12121()()()22x x f f x f x +≤+则称()f x 在[,]a b 上具有性质P 。
2021届湖南长沙市一中新高三原创预测试卷(一)物理
2021届湖南长沙市一中新高三原创预测试卷（一）物理★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题1.据伊朗新闻电视台2019年9月7日消息，伊朗原子能组织发言人卡迈勒万迪当天宣布，作为第三阶段中止履行伊核协议的措施，伊朗已启动了“先进离心机”，以增加浓缩铀储量。
关于铀核的裂变，下列叙述正确的是（）A. 核反应堆中铀核俘获一个中子后分裂为两个或几个中等质量的原子核，并吸收大量能量B. 核反应堆中铀核自发分裂为两个或几个中等质量的原子核，同时释放大量的核能C. 要使核反应堆中铀核发生链式反应，必须要有慢中子的轰击D. 要使核反应堆中铀核发生链式反应，必须要有快中子轰击【答案】C【解析】【详解】AB．核反应堆中铀核俘获一个中子后分裂为两个或几个中等质量的原子核，并释放大量能量，AB错误；CD．链式反应的条件有三个，一是足够浓度的铀，二是铀的体积需要大于等于临界体积，三是需要慢中子轰击，C正确，D错误。
2021-2022学年湖南省长沙市湘一实验中学高三数学文模拟试卷含解析
2021-2022学年湖南省长沙市湘一实验中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的值域为A. [1, ]B. [1,2]C. [ ,2]D. [参考答案：D【分析】因为函数，平方求出的取值范围，再根据函数的性质求出的值域.【详解】函数定义域为：，因为，又，所以的值域为.故选D.【点睛】本题考查函数的值域，此题也可用三角换元求解.求函数值域常用方法：单调性法，换元法，判别式法，反函数法，几何法，平方法等.2. “割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据.如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269，那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为：（参考数据：）A．3.1419 B．3.1417 C．3.1415 D．3.1413参考答案：A3. 复数的共轭复数为A. B. C. D.参考答案：B,所以其共轭复数为，选B.4. 已知点F为双曲线：的右焦点，点P是双曲线右支上的一点，O为坐标原点，若，，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．参考答案：B设左焦点为由题意可得=||=2c，=120°，即有|P|2=|P|2+||2﹣2|P|?||cos=4c2+4c2﹣2?4c2?（﹣）=12c2，即有|P|=2c，由双曲线的定义可得|P|﹣|PF|=2a，即为2c﹣2c=2a，即有c=a，可得e==．故答案为：．5. 已知定义在R上的函数满足下列三个条件：(1）对于任意的都有；(2）对于任意的都有；(3）函数的图象关于轴对称.则下列结论正确的是（）A． B．C． D．参考答案：A6. 如图，在中，，，为的中点.将沿着翻折至，使得，则的取值不可能为（）A．B．C．D．参考答案：A7. 满足，且的集合的个数是（）A．1B．2 C．3 D．4参考答案：B略8.给出下列四个命题：①若；②“a<2”是函数“无零点”的充分不必要条件；③若向量p=e1+e2，其中e1，e2是两个单位向量，则|p|的取值范围是[0，2]；④命题“若lg x>lgy，则x>y”的逆命题.其中正确的命题是（）A．①② B．①③ C．③④D．①②③参考答案：答案:B9. 已知集合，若，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：C考点：集合的运算.10. 设函数f(x)在处可导，则等于（）A ．B ．C ．-D ．-参考答案：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 有下列四个命题：（1）一定存在直线，使函数的图像与函数的图像关于直线对称；（2）在复数范围内，（3）已知数列的前项和为，，则数列一定是等比数列；（4）过抛物线上的任意一点的切线方程一定可以表示为．则正确命题的序号为_________________ 参考答案： （3）（4） 略12. i 是虚数单位，计算的结果为．参考答案：﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算． 【专题】数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数的除法运算法则化简求解即可． 【解答】解：i 是虚数单位，===﹣i ．故答案为：﹣i ．【点评】本题考查复数的乘除运算，基本知识的考查．13. 已知复数，，且是实数，则实数= .参考答案：14. 已知点满足，则的取值范围是________________．参考答案：略15. 已知△ABC 的三边长成公比为的等比数列，则△ABC 最大的余弦值为 ．参考答案：由题设三边长分别为:a,,2a,且2a 为最大边,所对的角为,由余弦定理得:16. 复数____________。
2021年湖南省长沙一中高考数学模拟试卷(一模)
2021年湖南省长沙一中高考数学模拟试卷（一模）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.若复数z=(1+ai)⋅(1−i)的模等于2，其中i为虚数单位，则实数a的值为()A. −1B. 0C. 1D. ±12.已知向量a⃗=(1,x)，b⃗ =(0,2)，则a⃗ ⋅b⃗|a⃗ |2的最大值为()A. 2√2B. 2C. √2D. 13.设m∈R，则“1≤m≤2”是“直线l：x+y−m=0和圆C：(x−1)2+(y−2)2=3−m有公共点”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.2020年，我国脱贫攻坚已取得决定性胜利.如图是2015−2019年年末全国农村贫困人口和贫困发生率(贫困人口占目标调查人口的比重)的变化情况(数据来源：国家统计局2019年统计年报).根据图表可得出的正确统计结论是()A. 五年来贫困发生率下降了5.2个百分点B. 五年来农村贫困人口减少超过九成C. 五年来农村贫困人口减少得越来越快D. 五年来目标调查人口逐年减少5.若数列{a n}满足1a n+1−2a n=0，则称{a n}为梦想数列，已知正项数列{1b n}，为梦想数列，且b1+b2+b3=1，则b6+b7+b8=()A. 4B. 16C. 32D. 646.著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，我们经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如某体育品牌的LOGO为，可抽象为如图所示的轴对称的优美曲线，下列函数中，其图象大致可“完美”局部表达这条曲线的函数是()A. f(x)=sin5x2−x −2x B. f(x)=cosx2x −2−x C. f(x)=cos5x|2x −2−x |D. f(x)=sin5x|2−2|7. 已知抛物线y 2=2px(p >0)上有两个动点M ，N ，F 为该抛物线的焦点.已知FM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，以MN 为直径的圆的周长为8π，且过该圆的圆心P 作该抛物线准线l 的垂线PQ ，垂足为Q ，则线段|PQ|的最大值为( )A. 4√2B. 2√2C. 4D. 88. 四面体ABCD 的四个顶点都在球O 上，且AB =AC =BC =BD =CD =4，AD =2√6，则球O 的表面积为( )A.70π3B.80π3C. 30πD. 40π二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9. 设正实数a 、b 满足a +b =1，则( )A. √ab 有最大值12 B. 1a+2b +12a+b 有最小值3 C. a 2+b 2有最小值12D. √a +√b 有最大值√210. 已知将函数f(x)=sin(ωx +π3)(ω>0)图象向左平移π6个单位长度得到函数g(x)的图象，且g(x)的图象关于y 轴对称，函数y =f(x)在x ∈[0,2π]上至多存在两个极大值点，则下列说法正确的是( )A. ω=1B. f(x)在[π2,π]上单调递增 C. ω=2D. f(x)的图象关于直线x =π6对称11. 已知棱长为a 的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的所有顶点均在体积为32√3π的球O 上，动点P 在正方形A 1B 1C 1D 1内运动(包含边界)，若直线CC 1与直线AP 所成角的正弦值为13，则( )A. a =2B. 点P 运动轨迹的长度为√2π2C. 三棱锥P −AC 1D 1体积的取值范围为[32−8√23,323]D. 线段OP 长度的最小值为√512. 曲率半经是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量，已知对于曲线x 2a 2+y 2b 2=1(a >0,b >0)上点P(x 0,y 0)处的曲率半径公式为R =a 2b 2(x 02a 4+y 02b 4)32，则下列说法正确的是( )A. 对于半径为R 的圆，其圆上任一点的曲率半径均为RB. 椭圆x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)上一点处的曲率半径的最大值为a C. 椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上一点处的曲率半径的最小值为b 2aD. 对于椭圆x 2a 2+y 2=1(a >1)上一点(12,y 0)处的曲率半径随着a 的增大而减小 三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知(1+x)10=a 0+a 1(1−x)+a 2(1−x)2+⋯+a 10(1−x)10，则a 8=______．14. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤，问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金12，第2关收税金为剩余金的13，第3关收税金为剩余金的14，第4关收税金为剩余金的15，第5关收税金为剩余金的16，5关所收税金之和，恰好重1斤，问原来持金多少？”若将题中“5关所收税金之和，恰好重1斤，问原来持金多少？”改成假设这个原来持金为x ，按此规律通过第8关，则第8关需收税金为______x. 15. 设椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)与双曲线C 2：x 2m2−y 2n 2=1(m >0,n >0)的公共焦点为F 1，F 2，将C 1，C 2的离心率记为e 1，e 2，点A 是C 1，C 2在第一象限的公共点，若点A 关于C 2的一条渐近线的对称点为F 1，则1e 12+1e 22= ．16. 将5个不同的小球全部放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，若每个盒子中所放的球的个数不大于其编号数，则共有______种不同的放法． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且√3c −2bsinC =0．(1)求角B 的大小；(2)从条件①b =3√3，a =4；条件②a =2，A =π4这两个条件中选择一个作为已知，求△ABC 的面积．18.如图，七面体ABCDEF的底面是凸四边形ABCD，其中AB=AD=2，∠BAD=120°，AC，BD垂直相交于点O，OC=2OA，棱AE，CF均垂直于底面ABCD．(Ⅰ)求证：直线DE与平面BCF不平行；(Ⅱ)若CF=1，求直线BC与平面BFD所成的角的正弦值．19.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的准线为l，过抛物线上一点B向x轴作垂线，垂足恰好为抛物线C的焦点F，且|BF|=4．(Ⅰ)求抛物线C的方程；(Ⅱ)设l与x轴的交点为A，过x轴上的一个定点(1,0)的直线m与抛物线C交于D，E两点.记直线AD，AE的斜率分别为k1，k1，若k1+k2=1，求直线m的方程．320.设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S2=4a1，且a1+2，2a2，a3成等差数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{b n}满足b n=S n−na n+1S n S n+1，求数列{b n}的前n项和T n．21.已知函数f(x)=xlnx−12kx2−x，g(x)=lnx−kx．(1)当k=1时，求g(x)的最大值；(2)当0<k<1e时，(ⅰ)判断函数g(x)的零点个数；(ⅰ)求证：f(x)有两个极值点x1，x2，且f(x1)x1+f(x2)x2>−1．22.“博弈”原指下棋，出自我国《论语⋅阳货》篇，现在多指一种决策行为，即一些个人、团队或组织，在一定规则约束下，同时或先后，一次或多次，在各自允许选择的策略下进行选择和实施，并从中各自取得相应结果或收益的过程.生活中有很多游戏都蕴含着博弈，比如现在有两个人玩“亮”硬币的游戏，甲、乙约定若同时亮出正面，则甲付给乙3元，若同时亮出反面，则甲付给乙1元，若亮出结果是一正一反，则乙付给甲2元．(Ⅰ)若两人各自随机“亮”出正反面，求乙收益的期望．(Ⅱ)因为各自“亮”出正反面，而不是抛出正反面，所以可以控制“亮”出正面或反面的频率(假设进行多次游戏，频率可以代替概率)，因此双方就面临竞争策略的博弈.甲、乙可以根据对手出正面的概率调整自己出正面的概率，进而增加自己赢得收益的期望，以收益的期望为决策依据，甲、乙各自应该如何选择“亮”出正面的概率，才能让结果对自己最有利？并分析游戏规则是否公平．答案和解析1.【答案】D【解析】解：因为z =(1+ai)⋅(1−i)=1−i +ai −ai 2=(1+a)+(a −1)i ， 则|z|=√(12+(a −1)2=√2a 2+2=2，解得：a =±1． 故选：D ．先对已知复数进行化简，然后结合复数的模长公式进行求解． 本题主要考查了复数的四则运算及复数的模长求解，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：向量a⃗ =(1,x)，b ⃗ =(0,2)， 则a⃗ ⋅b ⃗ |a⃗ |2=2x 1+x 2=21x+x ，当x ≤0时，2x1+x2≤0， 当x >0时，21x+x ≤2√1x⋅x =1，当且仅当x =1时，取等号，所以a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |2的最大值为：1．故选：D ．利用已知条件推出所求表达式，然后求解最大值即可． 本题考查向量的数量积的求法，函数的最值的求法，是中档题．3.【答案】A【解析】解：圆C ：(x −1)2+(y −2)2=3−m ，圆心(1,2)，半径r =√3−m(m <3)， 若直线l 与圆C 有公共点， 则圆(1,2)到直线的距离d =√2≤√3−m ，解得：1≤m <3，∵{m|1≤m ≤2}⫋{m|1≤m <3}，∴1≤m ≤2是直线l ：x +y −m =0和圆C ：(x −1)2+(y −2)2=3−m 有公共点的充分不必要条件． 故选：A ．由直线与圆的位置关系可得d ≤r ，可解得1≤m <3，再利用集合的包含关系即可得到结论．本题考查充要条件的判断，涉及直线与圆的位置关系，属于基础题．4.【答案】B【解析】【分析】结合题中给出的条形图和折线图对选项进行逐一的分析判断即可．本题考查了条形图和折线图的应用，读懂统计图并能从不同的统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题．【解答】解：对于A，五年来贫困发生率下降了5.7−0.6=5.1个百分点，故选项A错误；对于B，(5575−551)÷5575≈90.1%>90%，所以五年来农村贫困人口减少超过九成，故选项B正确；对于C，农村贫困人口减少的速度应看直线斜率的绝对值的大小，由图中可知，2018−2019年的斜率绝对值比2017−2018年的绝对值小，故选项C错误；对于D，题中给出的图形中没有反映五年来目标调查人口是否逐年减少，故选项D错误．故选：B．5.【答案】C【解析】解：因为1a n+1−2a n=0，所以1a n+1=2⋅1a n，故若数列{a n}为理想数列，则该数列的倒数1an构成公比为2的等比数列．故{1bn}为理想数列，则{b n}构成2为公比的等比数列，结合等比数列的性质可知：因为b1+b2+b3=1，且25=b6b1=b7b2=b8b3，所以b6+b7+b8=(b1+b2+b3)×25=32．故选：C．易知由1a n+1−2a n=0可得a n+1=12a n，a n≠0，即理想数列的倒数构成等比数列．由此即可解决问题．本题考查等比数列的性质、递推式的应用，同时考查学生的运算能力．属于中档题．6.【答案】C【解析】 【分析】由函数的对称性及特殊点的函数值，利用排除法得解．本题考查函数的图象及其性质，考查运算求解能力，属于一般题． 【解答】解：观察图象可知，函数的图象关于y 轴对称，而选项B ，D 为奇函数，其图象关于原点对称，不合题意； 对选项A 而言，当x ∈(0,π5)时，5x ∈(0,π)，f(x)<0，不合题意； 故选：C ．7.【答案】A【解析】解：设|FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=a,|FN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=b ， 则根据抛物线性质和梯形中位线定理可知，|PQ|=12(a +b)，而由FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可知，F 在以MN 为直径的圆上，|MN|=8，则a 2+b 2=64， 则a+b 2≤√a2+b 22=4√2，当且仅当a =b 时等号成立，故选：A ．设|FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=a,|FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=b ，根据抛物线性质和梯形中位线定理，推出|PQ|=12(a +b)，推出a 2+b 2=64，利用基本不等式求解最值即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．8.【答案】B【解析】 【分析】取BC ，AD 的中点M ，N ，连接AM ，MD ，MN ，利用长度关系可得△AMD 为等腰直角三角形，取MN 上一点O ，连接OC ，OB ，OA ，OD ，只需使得OC =OD ，则点O 为三棱锥外接球的球心，设OM =x ，列出关于x 的等式关系，求出x ，即可得到外接球的半径，由球的表面积公式求解即可．本题考查了球的表面积的求解，解题的关键是确定球心O的位置，求解球的半径，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于较难题．【解答】解：如图，取BC，AD的中点M，N，连接AM，MD，MN，因为AB=AC=BC=BD=CD=4，所以AM=MD=2√3，又AD=2√6，故A M2+MD2=AD2，则∠AMD=90°，所以△AMD为等腰直角三角形，所以MN=AN=ND=√6，MN⊥AD，取MN上一点O，连接OC，OB，OA，OD，因为所以，又，所以MN⊥BC，三角形OMC是直角三角形，所以OB=OC，OA=OD，只需使得OC=OD，则点O为三棱锥外接球的球心，设OM=x，则ON=√6−x，所以OC2=x2+22=OD2=(√6−x)2+(√6)2，解得x=2√63，所以OC2=x2+22=203，故球O的表面积为4π⋅(OC)2=4π⋅203=80π3．故选：B．9.【答案】ACD【解析】解：因为正实数a、b满足a+b=1．对于A选项，由基本不等式可得√ab≤a+b2=12，当且仅当a=b=12时，等号成立，A选项正确；对于B选项，由基本不等式可得1a+2b +12a+b=13(3a+3b)(1a+2b+12a+b)，=13[(a+2b)+(2a+b)](1a+2b+12a+b)=13(2+2a+ba+2b+a+2b2a+b)≥13(2+2√a+2b2a+b⋅2a+ba+2b)=43，当且仅当a=b=12时，等号成立，B选项错误；对于C选项，a2+b2=(a+b)2−2ab≥(a+b)2−2×(a+b2)2=(a+b)22=12，当且仅当a=b=12时，等号成立，C选项正确；对于D选项，∵(√a+√b)2=a+b+2√ab≤2(a+b)=2，则√a+√b≤√2，当且仅当a=b=12时，等号成立，D选项正确．故选：ACD．由已知结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断．本题主要考查了基本不等式及不等式的性质的应用，解题的关键是公式的灵活应用，属于中档题．10.【答案】AD【解析】解：函数f(x)=sin(ωx+π3)的图象向左平移π6个单位长度后得到函数g(x)=sin(ωx+π6ω+π3)的图象，因为g(x)的图象关于y轴对称，所以π6ω+π3=kπ+π2(k∈Z)，解得ω=6k+1(k∈Z)．又ω>0，所以ω≥1．当ω=1时，f(x)=sin(x+π3),y=f(x)在x∈[0,2π]上只有一个极大值点，满足题意．当ω=7时，f(x)=sin(7x+π3),y=f(x)在x∈[0,2π]上极大值点的个数大于2，不满足题意．所以当ω≥7时，f(x)在x∈[0,2π]上极大值点的个数大于2，所以ω=1，故A正确，C错误；综上，f(x)=sin(x+π3)．当x=π6时，x+π3=π2，因此，f(x)的图象关于直线x=π6对称，故D正确．当π2≤x≤π时，5π6≤x+π3≤4π3，此时f(x)是单调递减的，故B错误，故选：AD．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．11.【答案】BC【解析】解：由正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为a，得球O的半径为√32a，所以V O=43π(√32a)3=32√3π，解得a=4，故A错误；因为CC1//AA1，所以∠A1AP即直线CC1与直线AP所成的角，所以sin∠A1AP=13，所以tan∠A1AP=√24，连接A1P，因为AA1=4，所以A1P=AA1⋅tan∠A1AP=√2，所以点P的运动轨迹是以A1为圆心，√2为半径的圆的四分之一，所以点P运动轨的长度为14×2π×√2=√2π2，故B正确；由等体积法可知V P−AC1D1=V A−PC1D1，由点P的运动轨迹可知，P到线段C1D1的距离d满足4−√2≤d≤4，所以△PC1D1的面积S∈[8−2√2,8]，易知AA1⊥平面PC1D1，所以V P−AC1D1=V A−PC1D1=13AA1⋅S△PC1D1∈[32−8√23,323]，故C正确；设正方形A1B1C1D1的中心为O1，连接O1P，OO1，则OP min=√OO12+O1P min2，易知当A1，P，O1三点共线时，O1P取得最小值，所以OP min=√22+(2√2−√2)2=√6，故D错误．故选：BC．由正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为a，求出球O的半径为√32a，利用体积求解a判断A；说明∠A1AP即直线CC1与直线AP所成的角，连接A1P，转化求解点P运动轨的长度判断B；由等体积法可知V P−AC1D1=V A−PC1D1，求解体积的范围判断C；设正方形A1B1C1D1的中心为O1，连接O1P，OO1，当A1，P，O1三点共线时，O1P取得最小值，求出最小值判断D．本题考查命题的真假的判断，几何体的体积的求法，点线面距离的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．12.【答案】AC【解析】【分析】圆的方程为：x2R2+y2R2=1(a2=b2=R2)，结合已知条件可判断A；由椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)在(±a,0)处曲线弯曲变化程度最大，在(0,±b)处曲线弯曲变化程度最小，代入曲率半径公式可得曲率半径的范围，可判断BC；利用导数研究曲率半径R在a∈(1,+∞)上随a的变化趋势，可判断D．本题考查了新概念，曲线任意点的曲率，应用导数研究变化趋势，属于难题．【解答】解：选项A：圆的方程为：x2R2+y2R2=1(a2=b2=R2)，所以圆上任意一点曲率半径为R4(x2+y2R4)32=R4⋅R−3=R，故A正确；选项B，C：由已知曲率半经是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量，则椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)在(±a,0)处曲线弯曲变化程度最大，在(0,±b)处曲线弯曲变化程度最小，所以在(±a,0)处有R=a2b2(a2a4+0b4)32=a2b2⋅a−3=b2a，在(0,±b)处有R=a2b2(0a4+b2b4)32=a2b2⋅b−3=a2b，即R∈[b2a ,a2b]，故B错误，C正确；选项D：R=a2(14a4+y02)32=a2(14a4+1−14a2)32=[a43(14a4+1−14a2)]32=(14a−83+a43−14a−23)32，令f(a)=14a−83+a43−14a−23，a>1，f′(a)=16a−113(8a4+a2−4)>0，∴R在a∈(1,+∞)上随a增大而增大，D错误．故选：AC．13.【答案】180【解析】【分析】本题考查利用二次展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．关键是将底数改写成右边的底数形式．将1+x写成2−(1−x)；利用二项展开式的通项公式求出通项，令1−x的指数为8，求出a8．【解答】解：∵(1+x)10=[2−(1−x)]10∴其展开式的通项为T r+1=C10r210−r[−(1−x)]r=(−1)r·210−r·C10r(1−x)r，令r=8得a8=4C108=180故答案为180．14.【答案】172【解析】解：第1关收税金：12x；第2关收税金：13(1−12)x=12×3x；第3关收税金：14(1−12−16)x=13×4x；…，可得第8关收税金：18×9x，即172x.故答案为：172．第1关收税金：12x；第2关收税金：13(1−12)x=12×3x；第3关收税金：14(1−12−16)x=13×4x；…，可得第8关收税金．本题考查了数列的通项公式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.【答案】2【解析】【分析】连接AF2，由题意可得焦距为2c，椭圆的长轴长为2a，双曲线的实轴长为2m，由双曲线的定义可得|AF1|−|AF2|=2m，由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=2a，推出|AF1|2+|AF2|2=2m2+2a2，|AF1|2+|AF2|2=4c2，然后转化求解1e12+1e22即可．本题考查椭圆的简单性质，双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．【解答】解：连接AF2，由题意可得焦距为2c，椭圆的长轴长为2a，双曲线的实轴长为2m，由双曲线的定义可得|AF1|−|AF2|=2m，由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=2a，所以|AF1|2+|AF2|2=2m2+2a2，因为点A关于C2的一条渐近线的对称点为F1，所以双曲线的一条渐近线是线段AF1的中垂线，所以可得∠F1AF2=90°，所以|AF1|2+|AF2|2=4c2，所以2m2+2a2=4c2，即m2+a2=2c2，所以m2c2+a2c2=2，所以1e12+1e22=2．故答案为：2．16.【答案】535【解析】解：根据题意，分3种情况讨论：①四个盒子中都放入小球，需要将5个小球分为4组，即2、1、1、1的四组，2个小球的一组只能放在编号为2，3，4的三个盒子，剩下的三组可以放进任意的盒子中，则有C52C31A33=180种放法；②有3个盒子中放入小球，先将5个小球分为3组，若分为3、1、1的三组，3个小球的一组只能放在编号为3，4的两个盒子，剩下的2组可以放进任意的盒子中，有C53C21A32=120种放法，若分为2、2、1的三组，2个小球的一组只能放在编号为2，3，4的三个盒子，剩下的1组可以放进任意的盒子中，有12C52C32A32C21=180种放法，此时有120+180=300种放法；③有2个盒子中放入小球，先将5个小球分为2组，若分为3、2的两组，3个小球的一组只能放在编号为3，4的两个盒子，剩下的1组有2种放法，有C52×4=40种放法，若分为1、4的两组，4个小球的一组只能放在编号为4的盒子，剩下的1组可以放进任意的盒子中，有C54×3=15种放法，此时有40+15=55种放法；则有180+300+55=535种放法；故答案为：535根据题意，按放入小球的盒子的数目进行分类讨论，求出每种情况下的放法数目，由加法原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分类分步计数原理的应用，属于基础题．17.【答案】解：(1)∵√3c−2bsinC=0，由正弦定理√3sinC−2sinBsinC=0．∵C∈(0,π2),sinC≠0，∴sinB=√32．∵B∈(0,π2)，∴B=π3；(2)条件①：b=3√3,a=4；∵b=3√3,a=4，由(1)B=π3，∴根据余弦定理得b2=c2+a2−2cacosB，即27=c2+16−4c，化简整理为c2−4c−11=0，解得c=2+√15，(负根舍去)，∴△ABC的面积S=12c⋅asinB=2√3+3√5；条件②：a=2,A=π4；由(1)B=π3,A=π4，根据正弦定理得bsinB =asinA，∴b=asinBsinA=2×√32√22=√6，∵C=π−A−B=5π12，∴sinC=sin5π12=sin(π4+π6)=√6+√24，∴△ABC 的面积S =12b ⋅asinC =3+√32．【解析】(1)根据正弦定理即可求出sinB =√32，从而得出B =π3；(2)选择条件①：根据余弦定理即可求出c =2+√15，然后即可求出△ABC 的面积；选择条件②：根据正弦定理可求出b 的值，并求出sinC =√6+√24，然后即可求出△ABC 的面积．本题考查了正余弦定理，三角形的面积公式，两角和的正弦公式，考查了计算能力，属于基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)证明：以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y轴，过O 作垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系， 设CF =a ，AE =b ，则D(0,√3,0)，E(−1,0，b)，B(0,−√3,0)，C(2,0，0)，F(2,0，a)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−√3,0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,√3,0)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,√3,a)， 设平面BCF 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +√3y =0n ⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +√3y +az =0，取x =√3，得n ⃗ =(√3,−2,0)， ∵DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−√3+2√3=√3≠0， ∴直线DE 与平面BCF 不平行． (Ⅱ)解：∵CF =1，∴F(2,0，1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,√3,0)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,√3,1)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√3,0)， 设平面BFD 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +√3y +z =0m ⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2√3y =0，取x =1，得m⃗⃗⃗ =(1,0，−2)， 设直线BC 与平面BFD 所成的角为θ， 则直线BC 与平面BFD 所成的角的正弦值为： sinθ=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=2√7⋅√5=2√3535．【解析】(Ⅰ)以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，过O 作垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明直线DE 与平面BCF 不平行．(Ⅱ)求出平面BFD 的法向量，利用向量法能求出直线BC 与平面BFD 所成的角的正弦值．本题考查两直线不平行证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为(p2,0)，准线为l：x=−p2，由题意可得B(p2,4)，代入抛物线方程可得p2=16，解得p=4，所以抛物线的方程为y2=8x；(Ⅱ)当直线m的斜率不存在时，k1+k2=0与题意不符，所以直线m的斜率一定存在，设直线m的方程为y=k(x−1)，代入抛物线的方程可得k2x2−(2k2+8)x+k2=0，设D(x1,y1)，E(x2,y2)，则x1+x2=2+8k2，x1x2=1，△=(2k2+8)2−4k4>0成立，k1+k2=y1x+2+y2x2+2=k(x1−1)x1+2+k(x2−1)x2+2=k[2x1x2+(x1+x2)−4] x1x2+2(x1+x2)+4=8k9k2+16=13，解得k=43，所以直线m的方程为4x−3y−4=0．【解析】(Ⅰ)求得抛物线的焦点和准线方程，可得B的坐标，代入抛物线的方程，解得p，可得抛物线的方程；(Ⅱ)判断直线m的斜率存在，设直线m的方程为y=k(x−1)，代入抛物线的方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，可得k，进而得到所求直线方程．本题考查抛物线的方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)设等比数列{a n}的公比是q，由S2=4a1得q=3．∵a1+2，2a2，a3成等差数列，∴4a1q=a1+2+a1q2，解得a1=1．∴a n=3n−1(n∈N∗).(4分)(2)∵数列{a n}是以1为首项，以3为公比的等比数列，∴S n=12(3n−1)．∵b n=S n−na n+1S n S n+1=(n+1)S n−nS n+1S n S n+1=n+1S n+1−nS n，∴T n=(2S2+3S3+⋯+nS n+n+1S n+1)−(1S1+2S2+⋯+n−1S n−1+nS n)=n+1S n+1−1S1=2(n+1)3n+1−1−1=2n+3−3n+13n+1−1.(12分)【解析】(1)设等比数列{a n}的公比是q，由S2=4a1得q.由a1+2，2a2，a3成等差数列，可得4a1q=a1+ 2+a1q2，解得a1，即可得出a n．(2)由数列{a n}是以1为首项，以3为公比的等比数列，利用求和公式可得S n，通过裂项求和即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)当k=1时，g(x)=lnx−x(x>0)，g′(x)=1x −1=1−xx，令g′(x)>0，可得0<x<1，令g′(x)<0，可得x>1，所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，所以在x=1处，g(x)取得极值大值，也是最大值，故g(x)的最大值为g(1)=−1．(2)(ⅰ)g′(x)=1x −k=1−kxx，令g′(x)=0，可得x=1k，可得g(x)在(0,1k )上单调递增，在(1k,+∞)上单调递减，所以g(x)≤g(1k )=−lnk−1，因为0<k<1e，所以lnk<−1，所以g(1k)=−lnk−1>0，因为g(1)=−k<0，g(1k2)=−2lnk−1k<0，由零点存在性定理可知g(x)在(1,1k )和(1k,1k2)上各有一个零点，所以g(x)有2个零点．(ⅰ)证明：f′(x)=lnx−kx=g(x)，由(ⅰ)可知，f′(x)有两个变号零点，所以f(x)有两个极值点x1，x2，所以lnx1=kx1，lnx2=kx2，所以lnx1+lnx2=k(x1+x2)，所以f(x1)x1+f(x2)x2=lnx1+lnx2−k2(x1+x2)−2=12(x1+x2)−2，要证f(x1)x1+f(x2)x2>−1，即证12(x1+x2)−2>−1，即证x1+x2>2，由(ⅰ)可知，x1+x2>1+1k ，又0<k<1e，所以1k>e，所以x1+x2>1+e>2，所以f(x1)x1+f(x2)x2>−1，成立．【解析】(1)对g(x)求导，利用导数求得g(x)的单调性，进而可求得最大值；(2)(ⅰ)对g(x)求导，利用导数求得g(x)的单调性与最值，利用零点存在定理即可判断零点个数；(ⅰ)由(ⅰ)可知f′(x)有两个变号零点，则f(x)有两个极值点x1，x2，由lnx1=kx1，lnx2=kx2，可得f(x1)x1+f(x2) x2=12(x1+x2)−2，分析可得要证f(x1)x1+f(x2)x2>−1，只需证x1+x2>2，由(ⅰ)可知，x1+x2>1+1k，结合0<k<1e，即可得证．本题主要考查利用导数研究函数的极值与最值，以及不等式的证明，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．22.【答案】解：(Ⅰ)因为是各自随机“亮”出正反面，所以甲、乙“亮”出正面的概率均可认为是12，设乙在此游戏中的收益为随机变量X，则X的可能取值为−2，1，3，所以可得乙的收益的分布列为：故乙收益的期望E(X)=−2×12+1×14+3×14=0；(Ⅱ)假设甲以p(0≤p≤1)的概率“亮”出正面，乙以q(0≤q≤1)的概率“亮”出正面，甲收益的随机变量为Y，乙收益的随机变量为Z，则此时甲的收益的分布列为：所以甲的收益期望为E(Y)=2[p(1−q)+q(1−p)]−(1−p)(1−q)−3pq=(3−8q)+3q−1，同理可得乙的收益的分布列为：所以乙的收益期望为E(Z)=−2[p(1−q)+q(1−p)]+(1−p)(1−q)+3pq=(8p−3)q−3p+1，根据甲的收益期望高，可知乙的最优策略师“亮”出正面的概率为38，第21页，共21页 否则若38<q ≤1，则甲的收益期望E(Y)=(3−8q)p +3q −1，甲利益选项都“亮”反面的策略，即p =0，达到预期收益最大，此时E(Y)=3q −1>18，若0≤q <38，则甲选择都“亮”出正面的策略，即p =1，达到预期收益最大，E(Y)=2−5q >18， 同理，可知甲的最优策略是“亮”出正面的概率为38，所以最终两人的决策为保持“亮”出正面的概率都为38，而当p =q =38时，E(Y)=18，E(Z)=−18，所以此时游戏结果对两人都是最有利，但是规则不公平．【解析】(Ⅰ)根据题意，甲、乙“亮”出正面的概率均可认为是12，确定乙在此游戏中的收益为随机变量X 的可能取值，列出分布列，由期望的求解公式计算即可；(Ⅱ)假设甲以p(0≤p ≤1)的概率“亮”出正面，乙以q(0≤q ≤1)的概率“亮”出正面，甲收益的随机变量为Y ，乙收益的随机变量为Z ，分别列出甲、乙收益的分布列以及数学期望，通过计算结果，按照38<q ≤1，0≤q <38两种情况分别分析即可．本题考查了离散型随机变量及其分布列以及离散型随机变量的期望的理解和应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．。
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2021届湖南长沙市一中新高考原创预测试卷（七）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
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第I 卷(选择题 共60分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共，40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．已知集合{}{}25,3,2,1,2,4A x x B A B =<=--⋂=，则 A. {}22-，B. {}22-，1，C. {}21,3,2-，D.5,5⎡⎣2．i 为虚数单位，复数2112iz i i+=++-，复数z 的共轭复数为z ，则z 的虚部为 A.iB. 2i -C. 2-D.13．设,a b 是非零向量，“0a b ⋅=”是“a b ⊥”的 A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．在()6132x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为A ．152-B.152C ．52-D ．525．函数()1cos sin 1x x e f x x e ⎛⎫-=⋅ ⎪+⎝⎭的图象大致为6．设0.32111log ,432a b ⎛⎫== ⎪⎝⎭则有A ．a b ab +>B ．a b ab +<C ．a b ab +=D ．a b ab -=7．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径。
“开立圆术”相当给出了一个已知球的体积V ，求这个球的直径d 的近似公式，即3169d V ≈．随着人们对圆周率π值的认知越来越精确，还总结出了其他类似的近似公式．若取 3.14π=，试判断下列近似公式中最精确的一个是 A. 32d V ≈B. 3169d V ≈C. 32011d V ≈D. 32111d V ≈8．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线C 的两个交点分别为A ，B ，且满足2,AF FB E =为AB 的中点，则点E 到抛物线准线的距离为 A ．114B ．94C ．52D ．54二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是A ．在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差B ．某地气象局预报：6月9日本地降水概率为90％，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学C ．回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好D ．在回归直线方程0.110y x =+中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量多增加0.1个单位10．线段AB 为圆O 的直径，点E ，F 在圆O 上，AB ∥EF ，矩形ABCD 所在平面和圆O 所在平面垂直，且2,1AB AD EF ===．则A ．DF ∥平面BCEB ．异面直线BF 与DC 所成的角为30° C ．△EFC 为直角三角形D ．1:4C BEF F ABCD V V --=：11．已知函数()[][]sin cos cos sin f x x x =+，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，下列关于()f x 结论正确的是 A ．cos12f π⎛⎫=⎪⎝⎭B ．()f x 的一个周期是2πC ．()f x 在()0,π上单调递减D ．()f x 的最大值大于212．已知直线2y x =-+分别与函数ln xy e y x =和=的图象交于点()()1122,,,A x y B x y ，则下列结论正确的是 A ．122x x +=B. 122xxe e e +>C ．1221ln ln 0x x x x +<D ．122ex x >第Ⅱ卷(非选择题 共90分)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知()sin cos tan 2sin cos ααπααα+-==-，则__________．14．在平行四边形ABCD 中，6,3,.AD AB ==1160,,22DAB DE EC BF FC ∠===2FG GE =若，则=AG BD __________. 15．5人并排站成一行，如果甲乙两人不相邻，那么不同的排法种数是__________．(用数字作答)；5人并排站成一行，甲乙两人之间恰好有一人的概率是__________(用数字作答)(本题第一空2分，第二空3分)16．设双曲线()222210x y C a b a b-=>0,>：的左、右焦点分别为12122,,2,F F FF c F =过作x 轴的垂线，与双曲线在第一象限的交点为A ，点Q 坐标为3,2a c ⎛⎫⎪⎝⎭且满足22F Q F A >，若在双曲线C 的右支上存在点P 使得11276PF PQ F F +<成立，则双曲线的离心率的取值范围是___________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(10分)如图，在四边形ABCD 中，AB AD ⊥，___________，DC=2在下面给出的三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并加以解答．(选出一种可行的方案解答，若选出多个方案分别解答，则按第一个解答记分) ①234,sin 3AB BC ACB =∠=；②tan 36BAC π⎛⎫∠+= ⎪⎝⎭；③2cos 23BC ACB AC AB ∠=-(I)求DAC ∠的大小；(Ⅱ)求△ADC 面积的最大值．18．(12分)如图1，四边形ABCD 为矩形，BC=2AB ，E 为AD 的中点，将△ABE 、△DCE 分别沿BE 、CE 折起得图2，使得平面ABE ⊥平面BCE ，平面DCE ⊥平面BCE ． (I)求证：平面ABE ⊥平面DCE ；(II)若F 为线段BC 的中点，求直线FA 与平面ADE 所成角的正弦值．19．(12分)已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和()1,2n n n a a S n N *+=∈． (I)求数列{}n a 的通项公式a n ； (Ⅱ)设22log 1n n n a b a +=+；若称使数列{}n b 的前n 项和为整数的正整数n 为“优化数”，试求区间(0，2020)内所有“优化数”的和S ．20．(12分)过去五年，我国的扶贫工作进入了“精准扶贫”阶段．目前“精准扶贫”覆盖了全部贫困人口，东部帮西部，全国一盘棋的扶贫格局逐渐形成．到2020年底全国830个贫困县都将脱贫摘帽，最后4335万贫困人口将全部脱贫，这将超过全球其他国家过去30年脱贫人口总和．2020年是我国打赢脱贫攻坚战收官之年，越是到关键时刻，更应该强调“精准”．为落实“精准扶贫”政策，某扶贫小组，为一“对点帮扶”农户引种了一种新的经济农作物，并指导该农户于2020年初开始种植．已知该经济农作物每年每亩的种植成本为1000元，根据前期各方面调查发现，该经济农作物的市场价格和亩产量均具有随机性，且两者互不影响，其具体情况如下表：(I)设2020年该农户种植该经济农作物一亩的纯收入为X 元，求X 的分布列；(Ⅱ)若该农户从2020年开始，连续三年种植该经济农作物，假设三年内各方面条件基本不变，求这三年中该农户种植该经济农作物一亩至少有两年的纯收入不少于16000元的概率；(Ⅲ)2020年全国脱贫标准约为人均纯收入4000元．假设该农户是一个四口之家，且该农户在2020年的家庭所有支出与其他收入正好相抵，能否凭这一亩经济农作物的纯收入，预测该农户在2020年底可以脱贫?并说明理由．21．(12分)已知点F 为椭圆22198x y +=的右焦点，点A 为椭圆的右顶点． (I)求过点F 、A 且和直线9x =相切的圆C 的方程；(Ⅱ)过点F 任作一条不与x 轴重合的直线l ，直线l 与椭圆交于P ，Q 两点，直线PA ，QA 分别与直线9x =相交于点M ，N ．试证明：以线段MN 为直径的圆恒过点F ．22．(12分)已知函数()ln f x x a x =-．(I)若曲线()(),1y f x b a b R x =+∈=在处的切线方程为30x y +-=，求,a b 的值；(Ⅱ)求函数()()()1a g x f x a R x+=+∈的极值点； (Ⅲ)设()()()1ln 0x xh x f x ae a a a a=+-+>，若当x a >时，不等式()0h x ≥恒成立，求a的最小值．数学参考答案一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1—4：BCCA 5—8：CADB二、多项选择题（每小题5分，共20分） 9.CD 10.BD 11.ABD 12ABC 三、填空题（每小题5分，共20分）13.1314.21 15.7231016. 3,22⎛⎝⎭（注：15题第一个空2分，第二个空3分）.四、解答题17.（10分）（I ）解：若选①在ABC ∆，由正弦定理可得：sin sin AB BCACB BAC=∠∠ ………………………………………………………………………………………………1分 又234,sin 3AB BC ACB =∠=可得：1sin ,26BAC BAC π∠=∴∠=………………3分 又23AB AD BAD DAC ππ⊥∠=∠=所以，所以；…………………………………4分（II ）在=2ACD DC ∆中，，由余弦定理可得：2224DC AC AD AC AD AC AD ==+-≥…………………………………………6分11sin 4222ADC S AC AD DAC ∆∴=∠≤⨯⨯=10分 当且仅当AC AD =时取“=”若选择②（I ）由tan 6BAC π⎛⎫∠+= ⎪⎝⎭6BAC π∴∠=，………………………………2分 又AB AD ⊥所以23BAD DAC ππ∠=∠=，所以；…………………………………4分（II ）在2ACD DC ∆=中，，由余弦定理可得：2224DC AC AD AC AD AC AD ==+-≥…………………………………………6分即4AC AD ≤……………………………………………………………………………8分11sin 4222ADC S AC AD DAC ∆∴=∠≤⨯⨯=10分 当且仅当AC AD =时取“=”.若选③（I ）2cos 2BC ACB AC ∠=，由正弦定理得：2sin cos 2sin BAC ACB ABC ACB ∠∠=∠∠………………………………1分()2sin cos 2sin BAC ACB ABC BAC ACB ∠∠=∠+∠∠可得：cos 26BAC BAC π∠=∠=，………………………………………3分 又AB AD ⊥所以23BAD DAC ππ∠=∠=，所以；………………………………4分（II ）在2ACD DC ∆=中，，由余弦定理可得：2224DC AC AD AC AD AC AD ==+-≥………………………………………6分即4AC AD ≤…………………………………………………………………………8分11sin 4222ADC S AC AD DAC ∆∴=∠≤⨯⨯=10分 当且仅当AC AD =时取“=”18.（12分）解：（I ）证明：在图1中，BC=2AB ，且E 为AB 的中点，,AE AB AEB ∴=∴∠45︒=，同理45DEC ∠=所以90CEB BE CE ∠=∴⊥，又平面ABE ⊥平面BCE ，平面ABE ⋂平面BCE BE =，所以CE ⊥平面ABE ，……………………………………………………………………4分 又CE DCE ⊂平面，所以平面ABE ⊥平面DCE ……………………………………5分 （II ）由题意可知以E 为坐标原点，EB,EC 所在的直线分别为,x y 轴轴建立空间直角坐标系，设1AB = 则()()()2222220,0,0,2,0,0,0,2,0,,0,,0,,0222222E BC AD F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，， ………………………………………………………………………………………………6分向量2222,0,,0,,2222EA ED ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面ADE 的法向量为(),,n x y z =由00100n EA x z z y z n ED ⎧=+=⎧⎪=⎨⎨+==⎩⎪⎩得，令， 得平面ADE 的一个法向量为()1,1,1n =--，…………8分 又220,,22FA ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭…………………………………10分 设直线FA 与平面ADE 所成角为θ， 则26sin 313FA n FA nθ===⨯ 直线FA 与平面ADE 所成角的正弦值为63……………………………………………12分 19.（12分）解：（I ）由数列{}n a 的前()12n n n a a n S +=和知 当()1111111=,2a a n S a S +==时， ()111100a a a ∴-=>，又，所以11a =…………………………………………………2分当()()111111,22n n n n n n n a a a a n a S S ---++>=-=-时 整理得：()()1110n n n n a a a a --+--=因为10n n a a -+>，所以有11n n a a --=…………………………………………………4分所以数列{}n a 是首项11a =，公差1d =的等差数列数列{}n a 的通项公式为()11n a a n d n =+-=…………………………………………6分 （II ）由n a n =知：22+22log log 11n n n a n b a n +==++ 数列{}n b 的前n 项和为12322223452log log log log 2341n n b b b b n ++++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++ ()223452log log 212341n n n +⎛⎫=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯=+- ⎪+⎝⎭………………………………………8分令()123n b b b b k k Z +++⋅⋅⋅=∈ 则有()12log 21,22k n k n ++-==-由()0,2020,10n k Z k k N *∈∈<∈知，且……………………………………………10分 所以区间()0,2020内所有“优化数”的和为()()()()2341022222222S -=-+-+-+⋅⋅⋅+-()()29234101121222221818222202612-=+++⋅⋅⋅+-=-=-=-………………12分20.（12分）解：（I ）由题意知：120020100023000,120015100017000⨯-=⨯-=， 90020100017000,90015100012500⨯-=⨯-=，所以X 的所有可能取值为：23000，17000，12500……………………………………1分 设A 表示事件“作物产量为900kg ”，则()0.5P A =； B 表示事件“作物市场价格为15元/kg ”，则()0.4P B =.则：()()()()2300010.510.40.3P X P A B ===--=……………………………6分()()()()()1700010.50.40.510.40.5P X P A B P A B ===+=-+-=………3分()()125000.50.40.2P X P A B ===⨯=，…………………………………………4分所以X 的分布列为：………………………………………………………………………………………………5分 （II ）设C 表示事件“种植该农作物一亩一年的纯收入不少于16000元”， 则()()()()1600023000170000.30.50.8P C P X P X P X =>==+==+=，…6分 设这三年中有Y 年的纯收入不少于16000元，则有：()~3,0.8Y B ………………………………………………………………………7分 所以这三年中至少有两年的纯收入不少于16000元的概率为()33223320.80.80.20.896P P Y C C =≥=⨯+⨯⨯=.…………………………………9分（III ）由（I ）知，2020年该农户种植该经济农作物一亩的预计纯收入为()230000.3170000.5125000.217900E X =⨯+⨯+⨯=（元）…………………10分1790040004>……………………………………………………………………………11分 凭这一亩经济农作物的纯收入，该农户的人均纯收入超过了国家脱贫标准，所以，能预测该农户在2020年底可以脱贫。