专题六第2讲概率、随机变量及其分布列

Байду номын сангаас
第一部分 法
基 础 要 点 整 合
专题六
概率与统计、推理与证明、复数、算
解 题 规 范 流 程
(9)独立重复试验的概率计算公式
k k n－k C P (1 － P ) n Pn(k)＝_________________.
(10)条件概率公式 PAB PA P(B|A)＝__________.
菜 单
8 B.15
2 C.5
1 D.5
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(1)矩形的面积为 2×4＝8，圆的面积为 π π，所以由几何概型公式可得 P(A)＝ . 8
[自主解答]
考 点 核 心 突 破
解 题 规 范 流 程
【拓展归纳】古典概型与几何概型问题的求解方法
(1)有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本 事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数
原理与排列、组合的相关知识．
(2)在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的 构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件数的求
法与基本事件总数的求法的一致性．
考 点 核 心 突 破
(3)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果 构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变 量，在坐标系中表示所需要的区域．
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算机计算 x2＋y2 的值，记“(x，y)满足 x2＋y2＜1”为事件 A，则事件 A 发生的概率为________． (2)(2013· 衡水模拟)某艺校在一天的 6 节课中随机安 排语文、 数学、 外语三门文化课和其他三门艺术课各 1 节，
考 点 核 心 突 破
则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔 1 节艺术课 的概率为 3 A.5
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基础要点整合
一、构建知识网络
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二、梳理基础知识
牢记概率与统计的十个公式及相关结论 (1)古典概型的概率公式
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答案 C
菜 单
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2．(2013· 泰安一模 )从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数 为 a，从{2,3,4}中随机选取一个数 b，则 b＞a 的概率是 4 A. 5 3 B. 5 2 C. 5 1 D. 5
转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率
公式求解． (2) 一个复杂事件若正面情况比较多，反面情况较少，
考 点 核 心 突 破
则一般利用对立事件进行求解．对于“至少”“至多”等
问题往往也用这种方法求解．
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m 事件A中所含的基本事件数 n ＝ 试验的基本事件总数 P(A)__________________________________________.
(2)几何概型的概率公式
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构成事件A的区域长度面积或体积 试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积 P(A)＝________________________________________.
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【拓展归纳】求相互独立事件和独立重复试验的概率
的注意点
(1) 求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成， 看复杂事件能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能
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3 C. 4π
1 D. 2π
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π |x|≤ ， 2 解析 约束条件 的可行域为长方形， 其面 |y|≤1 －x－1， －1≤x＜0 积为 S＝2π，函数 f(x)＝ ，的 π cos x， 0≤x＜2 1 图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为 S1＝2×1×1 3 π 1 π 3 S1 2 | ＋∫20cos xdx＝2＋sin x 20＝2， 所以其概率为： P＝ S ＝2π 3 ＝4π，因此选 C.
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考点核心突破
考点一：古典概型与几何概型
[考情一点通] 题型 选择或填空 难度 中档或偏下
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(1)与定积分、平面几何、线性规划交汇命 考查 题，求几何概型的概率． 内容 (2)与排列组合交汇命题，考查古典概型概 率的求法.
np ； ②若X～B(n，p)，则E(X)＝_____
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③若X服从两点分布，则E(X)＝____. p
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(6)方差公式 D(X) ＝ (x1 － E(X))2· p1 ＋ (x2 － E(X))2· p2 ＋ „ ＋ (xn － E(X))2· pn，标准差 DX. (7)方差的性质 ①D(aX＋b)＝a2D(X)；
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考点二：相互独立事件与独立重复试验
分类讨论的思想方法 题型 选择、填空或解答 难度 [考情一点通] 中档
考 点 核 心 突 破
可单独命题，也可与统计等知识交汇命题， 解决时一般要根据随机事件的含义，把随机 考查 事件分成几个互斥事件的和，每个小事件再 内容 分成几个相互独立事件的积，然后根据相关 公式计算.
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考 点 核 心 突 破
3 2 1 3 1 1 3 － P(A)P(B)P(C)＋P(A)P( B )P(C)＝4×3×2＋4×3×2＝8.
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np(1－p) ； ②若 X～B(n，p)，则 D(X)＝__________ p(1－p) ． ③若 X 服从两点分布，则 D(X)＝_______
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(8)独立事件同时发生的概率计算公式 (A)P(B) P(AB)＝P _______ ．
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(2)设该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个 数为 X，则事件“该项新技术的三个指标中被检测合格 的指标不少于 2 个”即 X＝2 或 X＝3，所以 3 2 1 1 2 － － － P(X＝2)＝P(AB C ＋ A BC＋A B C)＝ × × ＋ × 4 3 2 4 3 1 3 1 1 11 × ＋ × × ＝ ， 2 4 3 2 24 3 2 1 1 P(X＝3)＝P(ABC)＝ × × ＝ ， 4 3 2 4 11 1 17 所以 P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝ ＋ ＝ . 24 4 24
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【例 1】 (1)(2013· 门头沟一模)用计算机产生随机二
－1＜x＜1 元数组成区域 －2＜y＜2
，对每个二元数组(x，y)，用计
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(2)6 节课共有
A6 6种排法．语文、数学、外语三门文
3 3 化课中间隔 1 节艺术课有 A3 A4种排法，三门文化课中， 3 3 2 都相邻有 A3 A4种排法，三门文化课中有两门相邻有 C2 A 3 2 1 3 3 3 2 2 1 1 3 C1 2C2A3，故所有的排法有 2A3A4＋C3A2C2C2A3，所以相邻
【考点集训】
1 ． (2013· 陕西五校模拟)已知实数 x，y 满足 π |x|≤ ， 2 则 点 (x ， y) 在 函 数 f(x) ＝ |y|≤1， －x－1， －1≤x＜0， π cos x， 0≤x＜ 2 封闭图形的内部的概率为 3 1 A. B. 2π 4π 的图象与坐标轴所围成的
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(3)离散型随机变量的分布列的两个性质
①pi≥0(i＝1,2，„，n)；②p1＋p2＋„＋pn＝___. 1 (4)数学期望公式 x1p1＋x2p2＋„＋xnpn E(X)＝______________________. (5)数学期望的性质 ①E(aξ＋b)＝________ aE(X)＋b；
两节文化课之间最多间隔 1 节艺术课的概率为
3 2 2 1 1 3 2A3 A ＋ C 3 3 4 3A2C2C2A3 ＝5，选 A. A6 6
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[答案]
π (1)8 (2)A
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第2讲
概率、随机变量及其分布列 寿县迎河中学 龙如山
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解析 从两个集合中各选 1 个数有 15 种， 满足 b＞a 的数有(1,2)，(1,3)，(2,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)共有 6 个，
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6 2 所以 b＞a 的概率是15＝5，选 C.
答案 C
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(1)该项新技术的三项不同指标甲、乙、
丙独立通过检测合格分别为事件 A、B、C，则事件“得 分不低于 8 分”表示为 ABC＋A－ B C. ∵ABC 与 A－ B C 为互斥事件，且 A、B、C 为彼此独 立， ∴ P(ABC ＋ A － B C) ＝ P(ABC) ＋ P(A － B C) ＝
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【例 2】中国航母“辽宁舰”是中国第一艘航母， “辽宁”号以 4 台蒸汽轮机为动力，为保证航母的动力 安全性，科学家对蒸汽轮机进行了 170 余项技术改进， 增加了某项新技术，该项新技术要进入试用阶段前必须 对其中的三项不同指标甲、 乙、 丙进行通过量化检测． 假 如该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概 3 2 1 率分别为 、 、 .指标甲、乙、丙合格分别记为 4 分、2 4 3 2 分、4 分；若某项指标不合格，则该项指标记 0 分，各 项指标检测结果互不影响． (1)求该项技术量化得分不低于 8 分的概率； (2)求该项新技术的三个指标中被检测合格的指标不 少于 2 个的概率．