专题六第2讲概率、随机变量及其分布列
随机变量及其分布列知识点省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
它们都是反应离散型随机变量偏离于均值旳平均程度 旳量，它们旳值越小，则随机变量偏离于均值旳平均程 度越小，即越集中于均值。
易证离散型随机变量旳方差满足下列性质：
性质1：(1)Dx Ex 2 (Ex )2 (2)D(ax b) a2Dx (a,b为常数）
性质2： （1）若x ~两点分布，则D x =p(1-p) ; （2）若x~B(n,P),则Dx=np(1-p) ; （3）若x～几何分布，则D x=(1-p)/p2 .
x x1 x2
P p1 p2
xi
pi
xpnn
则称 Ex x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn 为x 旳数学期望或均值，简称为期望.它反应了离散型随
机变量取值旳平均水平.
根据定义可推出下面三个结论:
结论1：若 ax b, 则 E aEx b ;
结论2：若ξ~B(n，p)，则Eξ= np. 结论3:若随机变量x服从几何分布，则E x=1/p
练习：D(aX EX 2 DX ) _a_2_D_X_
条件概率：
定义：一般地,设 A,B 为两个事件,且 P( A) 0 ,称
P(B | A) P( AB) 为在事件 A 发生的条件下,事件 B P( A)
发生的条件概率.
注:⑴ 0 ≤ P(B | A) ≤1; ⑵几何解释: ⑶可加性：
(k
0,1, 2,
, m) (其中 m min(M , n)
四、正态分布
若x ~ N（， 2）,则Ex , Dx 2,x
性质 : 若x ~ N（， 2）， ax b 则 ~ N（a b, a2 2 )
X落在区间(a,b]旳概率为:
Y
b
P(a X b) , (x)dx
概率论与数理统计课件：随机变量及其分布
随机变量及其分布
首页 返回 退出
§2.2 离散型随机变量及其分布律
定义 设离散型随机变量 X 所有可能取的值为xk , k = 1, 2,
X 取各个可能值的概率,即事件{ X xk } 的概率，为
P{ X xk } pk , k 1, 2, .
称此为离散型随机变量 X 的分布律.
随机变量及其分布
首页 返回 退出
定义2.1 设随机试验E, 其样本空间S, 若对样本
空间每一个样本点e, 都有唯一一个实数X(e)与之对
应，那么就把这个定义域为S的单值实值函数X=X(e),
称为随机变量。
随机变量通常用大写字母X,Y,Z 或希腊字母 ξ,η等表示.
而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母x,y,z等.
量方面，如，投掷一枚均匀骰子，我们观察出现的点
数。
记X=“出现的点数”
则X的可能取1, 2, …, 6中任一个数，可见X是变量；
又X取那个值不能事先确定，故此X的取值又带有随机
性.
有了随机变量，有关事件的表示也方便了，如
{X=2}, {X≤2}, ……
随机变量及其分布
首页 返回 退出
这样的例子还有很多. 又如，研究手机的使用寿命
或写成
随机变量及其分布
5
P( X k )
6
k 1
1
, k 1, 2,
6
首页 返回 退出
常见离散型随机变量
（一）“0-1”分布
设随机变量 X 只可能取 0 和1 两个值，它的分布律
为
k
P X k p（
1 p)1k k 0,1
(0 p 1)
2023考研概率统计全考点精讲-第二讲 随机变量及其分布
第二讲 随机变量及其分布【考试要求】1.理解随机变量的概念，理解分布函数(){}()F x P X x x =≤−∞<<+∞的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率.2.理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0-1分布、二项分布(,)B n p 、几何分布、超几何分布、泊松(Poisson)分布()P λ及其应用.3.（数一了解，数三掌握）泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布.4.理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布(,)U a b 、正态分布2(,)N μσ、指数分布及其应用，其中参数为λ的指数分布()λE 的概率密度为()e ,00,0x x f x x λλ−⎧>=⎨≤⎩.5.会求随机变量函数的分布.考点：随机变量与分布函数1.随机变量：设试验E 的样本空间为Ω，如果对于每一个样本点Ω∈ω，都有一个实数)(ωX 与之对应，则称定义在Ω上的单值实值函数)(ωX 为随机变量，简记为X . 通常用,,X Y Z 等表示随机变量.【注】随机变量的等式和不等式可表示随机事件. 2.分布函数（1）定义：设X 是一个随机变量，x 是任意实数，称(){}()F x P X x x =≤−∞<<+∞为X 的分布函数.（2）基本性质①单调不减，即若12x x <，则12()()F x F x ≤；②lim ()0x F x →−∞=，lim ()1x F x →+∞=； ③()F x 是右连续，即(0)()F x F x +=.【注】这三条性质是一个函数作为某随机变量的分布函数的充分必要条件. （3）其他性质（用分布函数()F x 求概率）①)()(}{a F b F b X a P −=≤<； ②)0(}{−=<a F a X P ；③)0()(}{−−==a F a F a X P ；④)0()0(}{−−−=<≤a F b F b X a P ； ⑤)()0(}{a F b F b X a P −−=<<； ⑥{}()(0)P a X b F b F a ≤≤=−−. 【注】分布函数在处连续.【例1】 下述函数中，可以作为某个随机变量的分布函数的是（ ） （A ） ()211F x x =+ （B ）()x x F sin = （C ） ()11arctan π2F x x =+ （D ） ()1e ,020,0xx F x x −⎧−>⎪=⎨⎪≤⎩【例2】 设随机变量X 的分布函数为()00πsin 02π12,x F x A x,x ,x ⎧⎪<⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，则A _____=，6P X ______π⎧⎫<=⎨⎬⎩⎭.【例3】 已知随机变量X 的分布函数为()0,11,18,111,1x x F x ax b x x <−⎧⎪⎪=−⎪=⎨⎪+−<<⎪≥⎪⎩，且()F x a {}0P X a ⇔=={}114P X ==，则_____,_____a b ==. 【例4】 设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥−<≤<=−1,110,210,0)(x e x x x F x，则{}1P X ==（ ）（A ）0 （B ）21（C ）121−−e （D ）11e −−考点：离散型随机变量及其分布1.离散型随机变量定义：若随机变量X 所有可能取值是有限或可列无限个，则称X 为离散型随机变量.2.分布律（1）定义：设离散型随机变量X 的所有可能取值为()12i x i ,,=，且X 取ix 的概率为i p ，则称{}()12i i P X x p i ,,===为离散型随机变量X 的分布律.X（2）基本性质：①0,1,2,i p i ≥=；②11ii p∞==∑.【注】这两条性质也是一个数列可以作为某随机变量分布律的充分必要条件. 3.离散型随机变量的分布函数若离散型随机变量X 的分布律为{}()12i i P X x p i ,,===，则X 的分布函数为(){}{}()i i i i x xx xF x P X x P X x p x ≤≤=≤===−∞<<+∞∑∑.若123x x x <<<，则()111212230,,,x x p x x x F x p p x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨+≤<⎪⎪⎩. 【注】若已知X 的分布函数()F x （阶梯函数），则X 的分布律为{}()()0i i i P X x F x F x ==−−，12i ,,=.【例1】 （1）做n 次伯努利实验，已知每次成功的概率均为()10<<p p ，令X 表示n 次试验中成功的次数，求X 的分布律.（2）做伯努利试验，已知每次成功的概率均为()10<<p p ，令X 表示直到第一次成功为止所进行的实验次数，求X 的分布律.【例2】 设袋中有5个球，其中3个新球，2个旧球，从中任取3个球，用X 表示3个球中新球个数，求X 的分布律与分布函数.考点：连续型随机变量及其分布1.连续型随机变量及其概率密度（1）定义：设随机变量X 的分布函数为()F x ，若存在非负可积函数()f x ，使得对于任意实数x ，有()()xF x f t dt −∞=⎰，则称X 为连续型随机变量，()f x 称为X 的概率密度函数，简称概率密度（简写为.f .d .p ）.【注】①只有存在概率密度的随机变量才能称为连续型随机变量，分布函数连续的随机变量不一定是连续型随机变量.②存在既非连续型又非离散型的随机变量.③(),()()0()F x x F x f x x F x '⎧=⎨⎩为的可导点，为的不可导点. （2）概率密度的基本性质：①()0f x ≥；②()1f x dx +∞−∞=⎰.【注】这两条性质是一个函数可以作为概率密度函数的充分必要条件.（3）连续型随机变量的其他性质： ①)(x F 处处连续.②对()+∞∞−∈∀,a ，有{}.0==a X P ③若()f x 在x 处连续，则有()()F x f x '=. ④对于任意的实数()1212x ,x x x ≤，有{}()()211221()x x P x X x F x F x f x dx <≤=−=⎰.【例1】 设随机变量X 的概率密度为()x f ，则下列函数中必为某随机变量的概率密度的是（ ）（A ）()x f 2 （B ）()x f 2 （C ）()x f −1 （D ）()x f −1【例2】 设随机变量X 的概率密度为()cos ,||20,||2A x x f x x ππ⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，求（1）常数A ； （2）X 的分布函数为()x F . 【例3】 设随机变量X 的概率密度为()1||,||10,x x f x else −<⎧=⎨⎩，则______412=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<−X P .考点：常见分布1.常见的离散型随机变量 （1） 0-1分布若随机变量X 的分布律为{}()()110101kk P X k p p ,k ,p −==−=<<，则称X 服从0-1分布，记为),1(~p B X .（2） 二项分布若随机变量的分布律为{}C (1),0,1,2,k k n kn P X k p p k n −==−=，其中01p <<，则称X 服从二项分布，记为~(,)X B n p .（3） 几何分布若随机变量X 的分布律为{}1(1)k P X k p p −==−⋅，1,2,3k =，其中01p <<，则称X 服从参数为p 的几何分布，记为()~X G p .（4） 超几何分布（从未考过）若随机变量X 的分布律为{}C C C k n kM N MnNP X k −−==，其中N k ∈，且{}{}n M k N n M ,min ,0max ≤≤−+，则称X 服从超几何分布.【注】：此公式的数学模型为：设N 件产品中含M 件次品，现从中任取n 件产品，则所取的n 件产品恰有k 件次品的概率.（5） 泊松分布 ①定义若随机变量X 的分布律为{}e !kP X k k λλ−==，0,1,2,k =，其中0λ>，则称X 服从参数为λ的泊松分布，记为~()X P λ.X②泊松定理（数一了解；数三掌握）设0λ>是一个常数，n 是任意正整数，若lim n n np λ→∞=，则对于任意的非负整数k ，有()e lim 1.!nk n kkknn n C p p k λλ−−→∞−=【例1】 设随机变量X 服从参数为()2,p 的二项分布，随机变量Y 服从参数为()3,p 的二项分布，若{}519P X ≥=，则{}1_______P Y ≥=. 【例2】 设某时间段内通过一路口的汽车流量服从泊松分布，已知该时段内没有汽车通过的概率为1e，则这段时间内至少有两辆汽车通过的概率为___________. 2.常见的连续型随机变量 （1） 均匀分布若X 的概率密度为1,()0,a xb f x b a⎧<<⎪=−⎨⎪⎩其它，则称X 在()a,b 上服从均匀分布，记为()~,X U a b ，其分布函数为0,(),1,x a x aF x a x b b a x b<⎧⎪−⎪=≤<⎨−⎪⎪≥⎩. （2） 指数分布若X 的概率密度为e ,0()0,0x x f x x λλ−⎧>=⎨≤⎩，其中0λ>，则称X 服从参数为λ的指数分布，记为()XE λ，其分布函数为1e ,0()0,0x x F x x λ−⎧−≥=⎨<⎩.（3） 正态分布若随机变量X的概率密度为22()2()()x f x x μσ−−=−∞<<+∞，其中0σ>,μ与σ均为常数，则称X 服从参数为,μσ的正态分布，记为2~(,)X N μσ，其分布函数为22()2()d ()t xF x t x μσ−−=−∞<<+∞⎰.特别地，当0,1μσ==，即~(0,1)X N ，称X 服从标准正态分布，其概率密度为22(),x x x ϕ−=−∞<<+∞，分布函数22()d t xx t −Φ=⎰，x −∞<<+∞.【注】（1）指数分布的无记忆性：若()~X E λ，则对任意的0,0s t >>，有{}{}|.P X s t X s P X t >+>=>【例3】 设随机变量()6,1~U X ，则方程012=++Xy y 有实根的概率为____.【例4】 设随机变量()~2,5X U ，现对X 进行三次独立重复观测，求至少有两次观测值大于3的概率.【例5】 设随机变量Y 服从参数为12λ=的指数分布，求关于未知量x 的方程2230x Yx Y ++−=没有实根的概率.【例6】 设随机变量的概率密度函数为()221e ()x x f x k x −+−=−∞<<+∞X则常数=_______k .【例7】 设随机变量()22,X N σ且{}240.3P X <<=，则{}0_______P X <=.【例8】 设随机变量()2,X N μσ，则概率{}P X μσ−<的值随着σ的增大而（ ）（A ）增大 （B ）减小 （C ）保持不变 （D ）无法确定考点：随机变量函数的分布1.离散型随机变量函数的分布设X 为离散型随机变量，其概率分布为{},1,2,i i P X x p i ===，函数()g x 连续，则随机变量()Y g X =的分布律为{}(),1,2,i k k i g x y P Y y p k ====∑.做法：找到Y 全部可能的取值，算出相应值的概率.【例1】 设随机变量X 在()1,2−上服从均匀分布，1,01,0X Y X −<⎧=⎨≥⎩，求Y 的分布律.【例2】（课后作业）设随机变量X 的概率分布为，求常数和的概率分布. 2.连续型随机变量函数的分布情形一：Y 为离散型. 做法：找到Y 全部可能的取值，算出相应值的概率. 情形二：Y 为连续型.（1）分布函数法（代数法和几何法）先求出()Y g X =的分布函数()Y F y ，即()(){}()()Y g x y F y P g X y f x dx ≤=≤=⎰，再对()YF y 求导得到Y 的概率密度()Y f y .（2）公式法 若()y g x =在X 的取值区间内有连续导数()g x '，且()0g x '>或者()0g x '<，则()Y g X =是连续型随机变量，且其概率密度为{}(1,2,)3k c P X k k ===c sin()2Y X π=()()()',0,X Y f h y h y y f y αβ⎧<<⎡⎤⎪⎣⎦=⎨⎪⎩其他其中(),αβ为()y g x =的值域，()h y 是()g x 的反函数.情形三：Y 既非连续型又非离散型 做法：分布函数法求其分布函数.【例3】 设随机变量X 服从()0,2上的均匀分布，则随机变量2Y X =在()0,4内的概率密度()Y f y _______=.【例4】 设随机变量X 的概率密度为()22,00,x x f x ππ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它，求sin Y X =的概率密度()Y f y .。
高考数学：专题六 第二讲 概率、随机变量及其分布列课件
本 讲 栏 目 开 关
解析 设 AC＝x，CB＝12－x，
所以 x(12－x)<32，所以 x>8 或 x<4 4＋4 2 又因为 0<x<12，所以 P＝ 12 ＝3.
考点与考题
0≤x≤2， 3.(2012· 北京)设不等式组 0≤y≤2
第二讲
表示的平面区域为 D， 在区域 D
本 讲 栏 目 开 关
本 讲 栏 目 开 关
解析 分别从两个集合中各取一个数共有 15 种取法，其中满足 b>a 3 1 的有 3 种取法，故所求事件的概率为 P＝15＝5.
题型与方法
第二讲
(2)学生通过演示实验来估算不规则图形的面积，先在平面内画 4 条直 线 x＝0，x＝5，y＝－2，y＝1 围成矩形，再画 2 条曲线 y＝log2x，y ＝log2(x－3)， 2 条直线 y＝－2， 称 y＝1 和 2 条曲线 y＝log2x， y＝log2(x
本 讲 栏 目 开 关
回答互不影响. (1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率； (2)求该选手至多进入第三轮考核的概率.
解 (1)记“该选手能正确回答第 i 轮的问题”的事件为 Ai (i＝
1,2,3,4)，
4 3 2 则 P(A1)＝ ，P(A2)＝ ，P(A3)＝ ， 5 5 5 1 P(A4)＝5，
第二讲
本 讲 栏 目 开 关
ξ P
0 3 8
1 7 16
2 1 6
3 1 48
3 7 1 1 5 所以 E(ξ)＝0×8＋1×16＋2×6＋3×48＝6.
题型与方法
第二讲
方法提炼 求出概率.
(1)求离散型随机变量的分布列的关键是正确理解随机变
概率论与数理统计第2章随机变量及其分布
1 4
)0
(
3 4
)10
C110
(
1 4
)(
3 4
)9
0.756.
(2)因为
P{X
6}
C160
(
1)6 4
(
3 4
)4
0.016
,
即单靠猜测答对 6 道题的可能性是 0.016,概率很小,所
以由实际推断原理可推测,此学生是有答题能力的.
二项分布 b(n, p) 和 (0 1) 分布 b(1, p ) 还有一层密切关
P{X 4} P(A1 A2 ) P(A1)P(A2 ) 0.48 ,
P{X 6} P(A1A2 ) P(A1)P(A2 ) 0.08 , P{X 10} P(A1A2 ) P(A1)P(A2 ) 0.32 , 即 X 的分布律为
X 0 4 6 10
P 0.12 0.48 0.08 0.32
点 e, X 都有一个数与之对应. X 是定义在样本空间 S 上的
一个实值单值函数,它的定义域是样本空间 S ,值域是实数
集合 {0,1,2},使用函数记号将 X写成
0, e TT , X＝X (e) 1, e HT 或TH ,
2, e HH.
▪
例2.2 测试灯泡的寿命.
▪
样本空间是 S {t | t 0}.每一个灯泡的实际使用寿命可
(2)若一人答对 6 道题,则推测他是猜对的还是有答 题能力.
解 设 X 表示该学生靠猜测答对的题数,则
X
~
b(10,
1) 4
.
(1) X 的分布律为
P{X
k}
C1k0
(
1)k 4
(
3 4
随机变量及其分布列知识点
随机变量及其分布列知识点随机变量是描述随机实验结果的数值，它可以是离散的（只能取一些离散的数值）或连续的（可以取所有的数值）。
随机变量可以用来描述实验结果的各种特征，如数量、位置、时间等。
离散随机变量的分布列是一个表格，列出了随机变量取各个值的概率。
概率可以通过实验或理论分析得出。
在计算机科学和统计学中，分布列通常被表示为一个数组或字典。
离散随机变量的分布列有以下几个重要性质：1. 概率和为1：所有随机变量取值的概率之和等于1，即P(X=x1) + P(X=x2) + ... + P(X=xn) = 12.非负性：概率永远不会为负数，即P(X=x)>=0，对于所有的x。
3.互斥性：不同取值的随机变量概率互不重叠，即P(X=x1)与P(X=x2)不重叠，对于所有的x1和x24.互斥性：如果随机变量取值是离散的，那么分布列是一个离散函数，概率只在取值点有定义。
如果随机变量是连续的，那么分布列是一个连续函数，概率在区间上有定义。
离散随机变量的分布列可以用于计算各种统计量，如期望值、方差、标准差等。
期望值是随机变量取值的加权平均，方差是随机变量取值偏离平均值的程度。
标准差是方差的平方根，用来度量随机变量的离散程度。
在实际应用中，离散随机变量的分布列可以用来描述概率分布、事件的发生概率等。
它可以用来解决各种问题，如生活中的投资决策、经济模型的拟合、产品质量控制等。
例如，一个骰子的随机变量可以描述它可能的取值为1、2、3、4、5或6，对应的分布列是[1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6]。
这个分布列可以用来计算骰子摇出特定点数的概率，以及求得骰子取值的期望值和方差。
另一个例子是二项分布，它描述了在一系列独立实验中成功次数的概率分布。
二项分布的随机变量是一个离散随机变量，它的分布列可以用来计算成功次数的概率和期望值。
连续随机变量的分布列被称为概率密度函数。
概率密度函数描述了随机变量取值的概率密度，而不是概率。
高二数学《随机变量及其分布列》课件
随着试验结果的变化而变化的变量称为随机变量.
随机变量常用字母
表示.
随机试验的结果
正面 反面
实数
1 0
随机试验的结果
优 良 中 及格 不及格
实数
5 4 3 2 1
随机变量和函数都是一种映射.
在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域， 随机变量的取值范围相当于函数的值域.
例 袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机 变量的是（ C ）
2.在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品件数. 0，1，2，3，4
3.某网页在24小时内被浏览的次数. 0，1，2，3，…… 所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量.
练习 请回答下面的问题.
问题1：电灯泡的寿命X 是随机变量吗？ 问题2：电灯泡的寿命X 是离散型随机变量吗？ 问题3：定义如下随机变量：
A.至少取到1个白球 C.取到白球的个数
B.至多取到1个白球 D.取到的球的个数
例题引申：在上题中，设取到白球的个数为X ，你能说出 表示什么事件吗？取出的白球个数不超过1又该如何用X 表示？
表示取出1个白球;
引例2 请说出下列随机试验中随机变量可能的取值. 1.某人射击一次可能命中的环数.
0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10
X0 1 2 P
课堂小结:
随机变量
离散型随机变量
离散型随机变量的分布列及性质
课后作业： 教材第49页第1、2、3、4、5题
答案：是 答案：不是
Y 是离散型随机变量吗？
答案：是
练习 下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？ 若能，请写出各随机变量可能的取值.
随机变量及其分布课件
多维随机变量的数学期望与方差
数学期望
多维随机变量的期望值是每个随机变量期望值的 线性组合。
方差
多维随机变量的方差是每个随机变量方差和协方 差的组合。
协方差
衡量两个随机变量之间的线性相关程度。
Байду номын сангаас
PART 05
随机变量的变换
REPORTING
WENKU DESIGN
线性变换
1 2
线性变换公式
$Y = aX + b$，其中$a$和$b$是常数，$X$是 随机变量，$Y$是变换后的随机变量。
超几何分布
当从一个有限总体中不放回地抽取样本时，所得到的离散型随机变量服从超几何分布。
离散型随机变量的数学期望与方差
数学期望
离散型随机变量的数学期望是所有可能取值的概率加权和，表示随机变量取值的平均水平。
方差
离散型随机变量的方差是所有可能取值的概率加权平方和的平均值，表示随机变量取值分散程度的度 量。
随机事件的概率计算
在概率论中，随机事件的概率可以通过随机变量的取值来 计算，随机变量为随机事件的概率计算提供了具体的方法 和手段。
在统计学中的应用
01
样本数据的统计分析
在统计学中，随机变量被广泛用于样本数据的统计分析，如均值、方差、
协方差等统计量都是基于随机变量的计算。
02 03
参数估计与假设检验
线性变换的性质
线性变换保持了均值、方差和线性关系等统计特 性。
3
线性变换的应用
在回归分析、时间序列分析和实验设计中广泛使 用。
非线性变换
非线性变换公式
$Y = f(X)$，其中$f$是一个非线性函数，$X$是随机变量，$Y$ 是变换后的随机变量。
《概率论与数理统计》第二章 随机变量及其分布教案
第二章随机变量及其分布§2.1随机变量及其分布教学目的要求：使学生掌握随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的概念及其分布,会应用这些概念、分布求分布列.教材分析：1.概括分析：概率论所要考察的是与各种随机现象有关的问题,并通过随机试验从数量的侧面来研究随机现象的统规律性.为此,就有必要把随机试验的每一个可能的结果与一个实数联系起来.随机变量正是为适应这种需要而引进的。
随机变量实质上是定义在样本空间Ω={e}上的一个实值单值函数X(e).从此,对随机事件的研究转变为对随机变量的研究,通过随机变量将各个事件联系起来,进而去研究随机试验的全部结果.而且,随机变量的引入,使我们有可能借助于微积分等数学工具,把研究引向深入.2.教学重点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的概念及其分布函数.3.教学难点：求随机变量分布函数.教学过程：在第一章里,我们研究了随机事件及其概率,可以会注意到,在某些例子中,随机事件和实数之间存在着某种客观的联系.例如,在伯努利概型这一节中,曾经讨论过“在n 重伯努利试验中,事件A 出现k 次”这一事件的概率,如果令ξ＝n 重伯努利试验中事件A 出现的次数则上述“n 重伯努利试验中事件A 出现k 次”这个事件就可以简单地记作(ξ=k),从而有P(ξ=k)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k n p k q n-k.并且ξ所有可能取到的数值也就是试验中事件A 可能出现的次数:0,1,…,n.在另一些例子中,随机事件与实数之间虽然没有上述那种“自然的”联系,但是我们常常可以人为地给它们建立起一个对应关系.例如抛掷一枚均匀的硬币,可能出现正面,也可能出现反面,现在约定若试验结果出现正面,令η=1,若试验结果出现反面,令η=0,这时就有:{试验结果出现正面}＝(η=1),{试验结果出现反面}＝(η=0).在上述例子中,对每一个试验结果ω,自然地或人为地对应着一个实数X(ω),这与高等数学中熟知的“函数”概念本质上是一致的.只不过在函数概念中,函数f(x)的自变量是实数x,而在X(ω)的自变量是样本点ω.因为对每一个试验结果ω,都有实数X(ω)与之对应,所以,X(ω)的定义域是样本空间,显然值域是实数域.显然，一般来讲此处的实数X 值将随ω的不同而变换，它的值因ω的随机性而具有随机性，我们称这种取值具有随机性的变量为随机变量。
概率论与数理统计 第二章随机变量及其分布剖析PPT课件
射手射击击中目标.
这种对应关系在数学上表现为一种实值函数.
w.
X(w) R
对于试验的每一个样本点w,都对应着一个实数 X(w),而X(w)是随着实验结果不同而变化的一个 变量。
机
随机变量的定义
设 随 机 实 验 E的 样 本 空 间 ， 若 对 每 一 个 样 本 点
， 都 有 唯 一 的 实 数 X()与 之 对 应 ,则 称 X()为 随 机 变 量 ， 简 记 为 X.
P (X k ) ( 1 p )k 1 p , (k 1 ,2 , )
则称随机变量X服从以p为参数的几何分布，
记作
X ~G(p) 。
超几何分布
设N个元素分为两类，有M个属于第一类，N-M
个属于第二类。现在从中不重复抽取n个，其 中包含的第一类元素的个数X的分布律为
P(Xk)CM kC C N n N n kM, (k0,1, ,l) 其中l=min{M,n}, 则称随机变量X服从参数为 的超几何分布，记作 X~H(N,M,n)
由泊松定理，n重贝努里试验中稀有事件 出现的次数近似地服从泊松分布.
例5. 某车间有5台车床,由于种种原因(由 于装、卸工作等),时常需要停车.设各 台车床的停车或开车是相互独立的. 若车床在任一时刻处于停车状态的 概率是1/3,求车间中恰有一台车床处 于停车状态的概率。
解：X:处于停车状态的车床数
密度函数 f (x)在某点处a的高度，并不反映 X取值的概率. 但是，这个高度越大，则X 取a附近的值的概率就越大. 也可以说，在 某点密度曲线的高度反映了概率集中在该 点附近的程度.
f (x)
o
x
例1 :某型号电子管的寿命X(小时）的概率密度为
第2章随机变量及其分布【概率统计精品讲义】
按不放回抽样方式,
随机抽取n件样品(0≤n≤M)
求取出的n样品C中Mk CCNn恰NnkM有k件次品A的概率？
P(X k) P( A)
(设随机变量X表示取出的次品数k ) 此X的概率分布称为超几何分布H(n, M, N).
(k 0,1,2,, n)
2020/8/7
5
二项分布
1.(0–1)分布
k e e k ee 1
k0 k!
k0 k!
2020/8/7
9
泊松分布的应用
泊松分布在公共事业、生物、医学及工业等领域
有着广泛的应用.
例如：
1) 某服务设施在一定时间内到达的人数；
2)某电话交换台在单位时间内收到的呼唤次数；
3) 汽车站台一天的侯客人数；
4)某医院在一天内的急诊病人数;
即
CMk
C nk N M
C
n N
Cnk pk qnk ,
其中 p M , q 1 M .
N
N
2020/8/7
11
泊松分布与二项分布的关系
泊松定理：
设 X ~ B(n, p), 若当n→∞时，
np （ 0 常数）, 则有
lim
n
Cnk
p
k
q
nk
k e , k
k!
0,1,2,
注： 当n充分大, p很小 (p<0.1),
……
2020/8/7
22
二维随机变量的联合分布函数 1）定义
设(X ,Y )是二维随机变量,对任意实数x,y ,则称
Fx， y PX x， Y y 是二维随机变量X， Y 的联合分布函数.
2）几何意义
y
Fx, y表示平面上的随机点X,Y
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
训 练 高 效 提 能
高考专题辅导与训练· 数学(理科)
第一部分 法
基 础 要 点 整 合
专题六
概率与统计、推理与证明、复数、算
[自主解答]
(1)该项新技术的三项不同指标甲、乙、
丙独立通过检测合格分别为事件 A、B、C，则事件“得 分不低于 8 分”表示为 ABC＋A－ B C. ∵ABC 与 A－ B C 为互斥事件，且 A、B、C 为彼此独 立， ∴ P(ABC ＋ A － B C) ＝ P(ABC) ＋ P(A － B C) ＝
训 练 高 效 提 能
菜
单
高考专题辅导与训练· 数学(理科)
第一部分 法
基 础 要 点 整 合
专题六
概率与统计、推理与证明、复数、算
解 题 规 范 流 程
考 点 核 心 突 破
【例 2】中国航母“辽宁舰”是中国第一艘航母， “辽宁”号以 4 台蒸汽轮机为动力，为保证航母的动力 安全性，科学家对蒸汽轮机进行了 170 余项技术改进， 增加了某项新技术，该项新技术要进入试用阶段前必须 对其中的三项不同指标甲、 乙、 丙进行通过量化检测． 假 如该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概 3 2 1 率分别为 、 、 .指标甲、乙、丙合格分别记为 4 分、2 4 3 2 分、4 分；若某项指标不合格，则该项指标记 0 分，各 项指标检测结果互不影响． (1)求该项技术量化得分不低于 8 分的概率； (2)求该项新技术的三个指标中被检测合格的指标不 少于 2 个的概率．
考 点 核 心 突 破
3 C. 4π
1 D. 2π
训 练 高 效 提 能
菜
单
高考专题辅导与训练· 数学(理科)
第一部分 法
基 础 要 点 整 合
专题六
概率与统计、推理与证明、复数、算
解 题 规 范 流 程
π |x|≤ ， 2 解析 约束条件 的可行域为长方形， 其面 |y|≤1 －x－1， －1≤x＜0 积为 S＝2π，函数 f(x)＝ ，的 π cos x， 0≤x＜2 1 图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为 S1＝2×1×1 3 π 1 π 3 S1 2 | ＋∫20cos xdx＝2＋sin x 20＝2， 所以其概率为： P＝ S ＝2π 3 ＝4π，因此选 C.
解 题 规 范 流 程
考 点 核 心 突 破
3 2 1 3 1 1 3 － P(A)P(B)P(C)＋P(A)P( B )P(C)＝4×3×2＋4×3×2＝8.
训 练 高 效 提 能
菜
单
高考专题辅导与训练· 数学(理科)
第一部分 法
、算
解 题 规 范 流 程
m 事件A中所含的基本事件数 n ＝ 试验的基本事件总数 P(A)__________________________________________.
(2)几何概型的概率公式
考 点 核 心 突 破
构成事件A的区域长度面积或体积 试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积 P(A)＝________________________________________.
考 点 核 心 突 破
训 练 高 效 提 能
菜
单
高考专题辅导与训练· 数学(理科)
第一部分 法
基 础 要 点 整 合
专题六
概率与统计、推理与证明、复数、算
解 题 规 范 流 程
考点核心突破
考点一：古典概型与几何概型
[考情一点通] 题型 选择或填空 难度 中档或偏下
考 点 核 心 突 破
(1)与定积分、平面几何、线性规划交汇命 考查 题，求几何概型的概率． 内容 (2)与排列组合交汇命题，考查古典概型概 率的求法.
第一部分 法
基 础 要 点 整 合
专题六
概率与统计、推理与证明、复数、算
解 题 规 范 流 程
第2讲
概率、随机变量及其分布列 寿县迎河中学 龙如山
训 练 高 效 提 能
考 点 核 心 突 破
菜
单
高考专题辅导与训练· 数学(理科)
第一部分 法
基 础 要 点 整 合
专题六
概率与统计、推理与证明、复数、算
转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率
公式求解． (2) 一个复杂事件若正面情况比较多，反面情况较少，
考 点 核 心 突 破
则一般利用对立事件进行求解．对于“至少”“至多”等
问题往往也用这种方法求解．
训 练 高 效 提 能
训 练 高 效 提 能
菜
单
高考专题辅导与训练· 数学(理科)
第一部分 法
基 础 要 点 整 合
专题六
概率与统计、推理与证明、复数、算
解 题 规 范 流 程
(2)6 节课共有
A6 6种排法．语文、数学、外语三门文
3 3 化课中间隔 1 节艺术课有 A3 A4种排法，三门文化课中， 3 3 2 都相邻有 A3 A4种排法，三门文化课中有两门相邻有 C2 A 3 2 1 3 3 3 2 2 1 1 3 C1 2C2A3，故所有的排法有 2A3A4＋C3A2C2C2A3，所以相邻
算机计算 x2＋y2 的值，记“(x，y)满足 x2＋y2＜1”为事件 A，则事件 A 发生的概率为________． (2)(2013· 衡水模拟)某艺校在一天的 6 节课中随机安 排语文、 数学、 外语三门文化课和其他三门艺术课各 1 节，
考 点 核 心 突 破
则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔 1 节艺术课 的概率为 3 A.5
训 练 高 效 提 能
菜
单
高考专题辅导与训练· 数学(理科)
第一部分 法
基 础 要 点 整 合
专题六
概率与统计、推理与证明、复数、算
解 题 规 范 流 程
【例 1】 (1)(2013· 门头沟一模)用计算机产生随机二
－1＜x＜1 元数组成区域 －2＜y＜2
，对每个二元数组(x，y)，用计
【考点集训】
1 ． (2013· 陕西五校模拟)已知实数 x，y 满足 π |x|≤ ， 2 则 点 (x ， y) 在 函 数 f(x) ＝ |y|≤1， －x－1， －1≤x＜0， π cos x， 0≤x＜ 2 封闭图形的内部的概率为 3 1 A. B. 2π 4π 的图象与坐标轴所围成的
训 练 高 效 提 能
菜
单
高考专题辅导与训练· 数学(理科)
第一部分 法
基 础 要 点 整 合
专题六
概率与统计、推理与证明、复数、算
解 题 规 范 流 程
【拓展归纳】求相互独立事件和独立重复试验的概率
的注意点
(1) 求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成， 看复杂事件能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能
菜 单
8 B.15
2 C.5
1 D.5
训 练 高 效 提 能
高考专题辅导与训练· 数学(理科)
第一部分 法
基 础 要 点 整 合
专题六
概率与统计、推理与证明、复数、算
解 题 规 范 流 程
(1)矩形的面积为 2×4＝8，圆的面积为 π π，所以由几何概型公式可得 P(A)＝ . 8
[自主解答]
考 点 核 心 突 破
解 题 规 范 流 程
基础要点整合
一、构建知识网络
考 点 核 心 突 破
训 练 高 效 提 能
菜
单
高考专题辅导与训练· 数学(理科)
第一部分 法
基 础 要 点 整 合
专题六
概率与统计、推理与证明、复数、算
解 题 规 范 流 程
二、梳理基础知识
牢记概率与统计的十个公式及相关结论 (1)古典概型的概率公式
训 练 高 效 提 能
菜
单
高考专题辅导与训练· 数学(理科)
第一部分 法
基 础 要 点 整 合
专题六
概率与统计、推理与证明、复数、算
解 题 规 范 流 程
(3)离散型随机变量的分布列的两个性质
①pi≥0(i＝1,2，„，n)；②p1＋p2＋„＋pn＝___. 1 (4)数学期望公式 x1p1＋x2p2＋„＋xnpn E(X)＝______________________. (5)数学期望的性质 ①E(aξ＋b)＝________ aE(X)＋b；
解析 从两个集合中各选 1 个数有 15 种， 满足 b＞a 的数有(1,2)，(1,3)，(2,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)共有 6 个，
考 点 核 心 突 破
6 2 所以 b＞a 的概率是15＝5，选 C.
答案 C
训 练 高 效 提 能
菜
单
高考专题辅导与训练· 数学(理科)
第一部分 法
np(1－p) ； ②若 X～B(n，p)，则 D(X)＝__________ p(1－p) ． ③若 X 服从两点分布，则 D(X)＝_______
考 点 核 心 突 破
(8)独立事件同时发生的概率计算公式 (A)P(B) P(AB)＝P _______ ．
训 练 高 效 提 能
菜
单
高考专题辅导与训练· 数学(理科)
解 题 规 范 流 程
【拓展归纳】古典概型与几何概型问题的求解方法
(1)有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本 事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数
原理与排列、组合的相关知识．
(2)在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的 构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件数的求
法与基本事件总数的求法的一致性．
考 点 核 心 突 破
(2)设该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个 数为 X，则事件“该项新技术的三个指标中被检测合格 的指标不少于 2 个”即 X＝2 或 X＝3，所以 3 2 1 1 2 － － － P(X＝2)＝P(AB C ＋ A BC＋A B C)＝ × × ＋ × 4 3 2 4 3 1 3 1 1 11 × ＋ × × ＝ ， 2 4 3 2 24 3 2 1 1 P(X＝3)＝P(ABC)＝ × × ＝ ， 4 3 2 4 11 1 17 所以 P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝ ＋ ＝ . 24 4 24