高二数学培优课程第8讲-直线与圆锥曲线的位置关系

第八讲 直线与圆锥曲线的位置关系

【知识梳理】

1.直线与圆锥曲线C 的位置关系

将直线l 的方程代入曲线C 的方程，消去y 或者消去x ，得到一个关于x （或y ）的方程02

=++c bx ax 进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法.

（1）交点个数

①当 a =0或a ≠0，⊿=0时，曲线和直线只有一个交点；

②当 a ≠0，⊿>0时，曲线和直线有两个交点；

③ 当⊿<0 时，曲线和直线没有交点；

（2） 弦长公式：

斜率为k 的直线被曲线截得弦AB ，若A 、B 两点的坐标分别是A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则

21|| AB x x =-

一定要注意斜率不存在的情况的讨论和焦半径公式的使用.

2.求动点轨迹方程

①轨迹类型已确定的，一般用待定系数法

②动点满足的条件在题目中有明确的表述且轨迹类型未知的，一般用直接法

③一动点随另一动点的变化而变化，一般用代入转移法

【考点一：中点弦问题】

【例1】已知直线1+-=x y 与椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 相交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在直线02:=-y x l 上，求此椭圆的离心率.

【课堂练习】

（1）椭圆14

162

2=+y x 的弦被点)1,2(P 所平分，求此弦所在直线的方程.

【考点二：中点问题】

【例2】已知点A 、B 的坐标分别是()()0,1-0,1，

.直线BM AM ,相交于点M ，且它们的斜率之积为－2. （Ⅰ）求动点M 的轨迹方程； （Ⅱ）若过点⎪⎭

⎫

⎝⎛1,21N 的直线l 交动点M 的轨迹于C 、D 两点， 且N 为线段C D 的中点，求直线l 的方程.

【课堂练习】

（2）已知椭圆22

221x y a b

+=（a >b >0）的离心率e 4.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线l 与椭圆相交于不同的两点A 、B ，已知点A 的坐标为（-a ，0）.

（i ）若AB 5

||=，求直线l 的倾斜角； （ii ）若点Q y 0（0，）在线段AB 的垂直平分线上，且QA QB=4.求y 0的值.

【考点三：弦长问题】

【例3】已知椭圆14

:22

=+y x G .过点（m ，0）作圆122=+y x 的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点.

（Ⅰ）求椭圆G 的焦点坐标和离心率； （Ⅱ）将AB 表示为m 的函数，并求AB 的最大值.

【课堂练习】

3.已知椭圆1922=+y x ，过左焦点F 作倾斜角为6

π的直线交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长.

【考点四：对称问题】

曲线上存在两点关于已知直线对称的条件：①曲线上两点所在的直线与已知直线垂直（得出斜率）②曲线上两点所在的直线与曲线有两个公共点（⊿>0）③曲线上两点的中点在对称直线上

【例4】已知椭圆C 的方程x y 22

43

1+=，试确定m 的取值范围，使得对于直线y x m =+4，椭圆C 上有不同两点关于直线对称.

【课堂练习】

4.在抛物线x y 42=上恒有两点关于直线3+=kx y 对称，求k 的取值范围.

【考点五：垂直问题】

002211=+⇒⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧⊥=•y x y x AB OB

OA 为直径的圆过原点以 重心坐标公式：⎪⎭

⎫ ⎝⎛++++3,3321321y y y x x x 【例5】已知m ＞1，直线2:02m l x my --=，椭圆2

22:1x C y m

+=，1,2F F 分别为椭圆C 的左、右焦点. （Ⅰ）当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程；

（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，12AF F ，12BF F 的重心分别为,G H .若原点O 在以线段GH 为直径

的圆内，求实数m 的取值范围.

【课堂练习】

5.已知定点A （－1，0），F （2，0），定直线：12

x =，不在轴上的动点P 与点F 的距离是它到直线的距离的2倍.设点P 的轨迹为E ，过点F 的直线交E 于B 、两点，直线AB 、A 分别交于点M 、

（Ⅰ）求E 的方程； （Ⅱ）试判断以线段M 为直径的圆是否过点F ，并说明理由.

【考点六：面积问题】

点到直线的距离弦长⨯⨯=∆2

1AOB S

【例6】已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的离心率为3，直线:l y kx m =+交椭圆于不同的两点A ，B

（Ⅰ）求椭圆的方程 （Ⅱ）若坐标原点O 到直线l 的距离为

2

，求AOB ∆面积的最大值

【考点七：比例问题】

【例7】设1F ，2F 分别为椭圆22

22:1x y C a b

+=(0)a b >>的左、右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两

点，直线l 的倾斜角为60，1F 到直线l 的距离为（Ⅰ）求椭圆C 的焦距； （Ⅱ）如果222AF F B =，求椭圆C 的方程.

【课堂练习】

6.设0λ>，点A 的坐标为（1，1），点B 在抛物线2y x =上运动，点Q 满足QA BQ λ=，经过Q 点与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足λ=，求点P 的轨迹方程.

【考点八：范围、最值问题】

几何方法：充分利用图形的几何特征及意义，利用几何性质解决问题

代数方法：建立目标函数，再求目标函数的最值.

【例8】已知椭圆)0(1:22

221>>=+b a b

y a x C 与直线01=-+y x 相交于两点B A ,.当椭圆的离心率e 满足2

233≤≤e ，且0OA OB ⋅=（O 为坐标原点）时，求椭圆长轴长的取值范围.

【课堂练习】

7.已知P 是椭圆124:221=+y x C 的动点，点⎪⎭

⎫ ⎝⎛0,21A 关于原点O 的对称点是B ，若|PB |的最小值为23，求点P 的横坐标的取值范围.

【巩固练习】