2019最新高等数学(上册)期末考试试题(含答案)SP

2019最新高等数学期末考试试题（含答案）

一、解答题

1．一飞机沿抛物线路径2

10000

x y =( y 轴铅直向上，单位为m )做俯冲飞行，在坐标原点O 处飞机速度v =200 m ·s -1，飞行员体重G =70kg ，求飞机俯冲至最低点即原点O 处时，座椅对飞行员的反力. 解：0010,5000x x y y =='''== ，

23/2

(1)5000y R y '+==''

飞行员在飞机俯冲时受到的向心力

2

2

702005605000mv F R ⋅=== (牛顿)

故座椅对飞行员的反力

560709.81246F =+⨯= (牛顿).

2．将()21

32f x x x =++展开成(x +4)的幂级数． 解：2111

3212x x x x =-++++

而

()

()()

0101

1

13411

4

313

144

13334713n

n n

n n x x x x x x x ∞=∞

+==+-++=-⋅

+-+⎛

+⎫⎛⎫=-< ⎪

⎪⎝⎭⎝⎭

+=--<<∑∑

又

()

()()010********

212

14412224622n n n n n x x x x x x x ∞=∞+==+-++=-+-+⎛+⎫⎛⎫=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

+=--<<-∑∑

所以()()()()()

21100

1101

32

44321146223n n

n n n n n

n n n f x x x x x x x ∞∞++==∞++==++++=-+⎛⎫=-+-<<- ⎪⎝⎭∑∑∑

3．证明，若21n n U

∞=∑收敛，则1n n U n ∞

=∑绝对收敛． 证：∵

2222

11111222n n n n U U n U U n n n +=⋅≤=+⋅ 而由

21n n U ∞=∑收敛，211n n ∞=∑收敛，知 22111122n n U n ∞=⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭∑收敛，故1n n U n

∞=∑收敛， 因而1n n U n ∞

=∑绝对收敛．

4．写出下列级数的一般项： (1)1111357++++；

(2)2

2242462468

x x ++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅； (3)3579

3579

a a a a -+-+； 解：(1)121n U n =-；