四川省蓉城名校联盟高2021届高2018级高三10月第一次联考文科数学参考答案及评分标准
2021届四川省成都市蓉城名校联盟高三第一次联考试题 数学(文)
2021届四川省成都市蓉城名校联盟高三第一次联考试题 数学（文）注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡，上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”。
2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集为实数集R ，集合A ＝{x|0≤x ≤4}，B ＝{x|x 2－8x ＋15>0}，则A ∩(UB)＝A.[4，5]B.[0，3]C.[3，4]D.(3，4) 2.已知复数z ＝21i-，则|z|＝ A.1 B.2 C.3 D.23.命题p ：“∀x ∈(0，2π)，sinx<tanx ”的否定⌝p 为 A.∀x ∈(0，2π)，sinx ≥tanx B.∀x ∈(0，2π)，sinx>tanxC.∃x 0∈(0，2π)，sinx 0≥tanx 0D.∃x 0∉(0，2π)，sinx 0≥tanx 0"4.由于美国对华为实施禁令，华为手机的销售受到影响，现统计出今年x 月份(x ∈{6，7，8，9，10})的销售量y(单位：万台)的一组相关数据如下表若变量x ，y 具有线性相关性，x ，y 之间的线性回归方程为y ＝－20x ＋a ，则预计今年11月份的销量为( )万台。
A.580B.570C.560D.5505.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3，a 7是方程x 2－8x －13＝0的两根，则S 9＝ A.80 B.72 C.40 D.366.已知tan(a ＋2π)＝－12，则2sin cos cos sin αααα+-＝A.－4B.4C.5D.－57.已知x ，y 满足|x|＋|y|≤1，则事件“x 2＋y 2≤12”的概率为 A.8π B.4π C.1－8π D.1－4π 8.“m ∈(0，13)”是“函数f(x)＝()3m 1x 4m x 1mx x l-+<⎧⎪⎨-≥⎪⎩，，是定义在R 上的减函数”的 A.既不充分也不必要条件 B.充分必要条件 C.充分不必要条件 D.必要不充分条件 9.已知lga ＋lgb ＝0且a<b ，则不等式log a x ＋log b (2x －1)>0的解集为 A.(1，＋∞) B.(0，1) C.(12，＋∞) D.(12，1) 10.已知三棱锥P －ABC ，PA ⊥平面ABC ，且|PAABC 中，|AC|＝1，|BC|＝2，且满足sin2A ＝sin2B ，则三棱锥P －ABC 外接球的体积为A.3 B.323πC.3D.83π 11.已知函数f(x)＝x ＋cosx ，x ∈R ，设a ＝f(0.3－1)，b ＝f(2－0.3)，c ＝f(log 20.2)，则A.b<c<aB.c<a<bC.b<a<cD.c<b<a12.已知函数f(x)的定义域为R ，且对任意x ∈R 都满足f(1＋x)＝f(1－x)，当x ≤1时，f(x)＝xlnx 0x 1e x 0<≤⎧⎨≤⎩，，(其中e 为自然对数的底数)，若函数g(x)＝m|x|－2与y ＝f(x)的图像恰有两个交点，则实数m 的取值范围是 A.m ≤0或m ＝e B.0<m ≤32 C.32<m<e D.m>e 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
四川省2023-2024学年高三上学期10月月考数学(文)试题含解析
高2021级高三10月考试数学（文史类）（答案在最后）本试卷共4页，23小题，满分150分.考试用时120分钟.第I 卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合(){}{}210,A x x x B y y x =-<==，则A.A B =B.A B⊆ C.A B ⋃=RD.B A⊆【答案】B 【解析】【详解】由题意，集合(){}{}210{|01},{|0}A x x x x x B y y x y y =-<=<<===≥，所以A B ⊆，故选B.2.下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（）A.21y x =-B.11y x =+ C.1(2xy = D.lg y x=【答案】D 【解析】【分析】由二次函数，分式函数，指数函数，对数函数的函数特征分别讨论单调区间可求解．【详解】选项A 是开口向下，对称轴为x =0的二次函数，所以在()0,∞+是单调递减，不符．选项B 为分式函数，定义域为{|1}x x ≠-，所以只有两个减区间，也不符，选项C 是底数属于(0,1)的指数函数，所以在R 上单调递减，不符．选项D 是定义在()0,∞+上以10为底的对数函数，所以在()0,∞+上单调递增，符合，故选：D.3.下面四个条件中，使33a b >成立的充要的条件是（）A.1a b >+B.a b <C.22a b >D.a b>【答案】D 【解析】【分析】结合立方差公式以及充要条件的概念即可求出结果.【详解】因为()()3322a b a b a ab b-=-++()221324b a b a b ⎡⎤⎛⎫=-++⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦因为2213024b a b ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，所以a b >，可得33a b >；反之也成立，因为1a b >+，则a b >，但a b >不一定有1a b >+，故1a b >+是33a b >的充分不必要条件；而a b <是33a b >的既不充分也不必要条件；因为()()22a b a b a b -=+-所以22a b >是33a b >的既不充分也不必要条件；因此ABC 不符合题意，故选：D.4.古代人家修建大门时，贴近门墙放置两个石墩.石墩其实算是门墩，又称门枕石，在最初的时候起支撑固定院门的作用，为的是让门栓基础稳固，防止大门前后晃动.不过后来不断演变，一是起到装饰作用，二是寓意“方方圆圆”.如图所示，画出的是某门墩的三视图，则该门墩从上到下分别是（）A.半圆柱和四棱台B.球的14和四棱台C.半圆柱和四棱柱 D.球的14和四棱柱【答案】D 【解析】【分析】根据几何体的三视图直观想象出几何体的直观图，从而可得几何体的结构特征.【详解】由几何体的三视图可知：该几何体上面是球的14，下面是放倒的四棱柱.故选：D【点睛】本题考查了几何体的三视图还原直观图，考查了空间想象能力，属于基础题.5.已知π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1sin 3θ=，则πsin 22θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A.79B.79-C.9D.9-【答案】A 【解析】【分析】根据诱导公式及二倍角公式即得.【详解】π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，1sin 3θ=，2π27sin 2cos212sin 1299θθθ⎛⎫∴+==-=-= ⎪⎝⎭.故选：A.6.弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的距离()cm y 随时间()s x 的变化曲线是一个三角函数的图像（如图所示），则这条曲线对应的函数解析式是（）A.4sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B.4sin 6⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y x πC.4sin 23y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭D .4sin 26y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】由函数()f x 的部分图像得到4A =或4A =-，并分别讨论4A =或4A =-时()f x 的解析式【详解】解：设该曲线对应的函数解析式为())sin 02(,f x A x ωϕϕπ≤<＝+，由图可知，4A =或4A =-，722()1212T ππππω=-==，则2ω=，当4A =时，())4sin(2f x x ϕ＝+，由44si 1n 2()212f πϕπ⎛⎫⨯=⎪⎝⎭＝+，解得2,Z 3k k πϕπ=+∈，因为02ϕπ≤<，所以3πϕ=，所以()(4sin 23f x x π＝+；当4A =-时，())4sin 2(f x x ϕ=-+，由44s n()12212i f ϕππ⎛⎫=⎪⎝⎭⨯=-+，解得22Z 3k k ϕπ=-+π,∈，因为02ϕπ≤<，所以43πϕ=，所以()(44sin 23f x x π=-+；故选：A7.方程233102x ax a a +++=（＞）的两根为tan α，tan β，且(22ππαβ∈-，，，则αβ+=A.4π B.34π-C.54π D.4π或34π-【答案】B 【解析】【分析】利用韦达定理求出tan tan αβ+与•tan tan αβ的值，由两角和的正切公式求得αβ1tan+=（），从而可得结果.【详解】∵方程233102x ax a a +++=（＞）的两根为tan α，tan β，且,22ππαβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，∴360tan tan a αβ+=--＜＜，•3170tan tan a ＞αβ=+>，再结合()αβππ+∈-，，故0tan ＜α，0tan β＜，∴02παβ∈-、（，），故0αβπ+∈-（，）．又tan tan 11tan tan tanαβαβαβ++==-⋅（），∴34παβ+=-，故选B．【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．8.将函数()2sin f x x =的图象向右平移6π个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的1ω(0ω>)倍(纵坐标不变)，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间(,)63ππ上是增函数，则ω的取值范围是（）A.1(0,2B.(0,2]C.(2,3)D.[3,)+∞【答案】B 【解析】【分析】先根据图象变换求解出()g x 的解析式，然后结合正弦函数的单调增区间以及()g x 的周期T 的范围，列出关于ω的不等式组并求解出ω的取值范围.【详解】将函数()2sin f x x =的图象经过变化后得到()2sin()6g x x πω=-的图象，令22262k x k ππππωπ-+≤-≤+(Z k ∈)，即22233k x k πππωπ-+≤≤+(Z k ∈)，∵()g x 在(,63ππ上是增函数，∴(,)63x πωπωω∈，又22()363T ππππω=≥⨯-=，∴6ω≤，令0k =时63233πωππωπ⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得02ω<≤，当0k ≠且Z k ∈时，不符合题意，故选：B .【点睛】思路点睛：已知正、余弦型函数()sin y A ωx φ=+（或()cos y A x ωϕ=+）的单调区间求解参数范围的步骤：（1）根据函数以及单调性列出关于x ωϕ+的不等式；（2）将单调区间的端点值代入关于x ωϕ+的不等式中，同时注意到单调区间的长度不会超过半个周期2T πω=；（3）由（1）（2）列出关于参数的所有不等式，由此求解出参数范围.9.已知1a b >>，则以下四个数中最大的是（）A.log b aB.2log 2b aC.3log 3b aD.4log 4b a【答案】A 【解析】【分析】取特殊值分别计算各个选项判断即可.【详解】1a b >> ，令=4=2a b ，,2log =log 4=2b a ，232423log 2=log 8=log 2=2b a ，366613log 3=log 12=log 6+log 21log 122b a <+=+=,48814log 4=log 16=1+log 2=1+=.33b a 故最大的是log b a .故选:A.10.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()2f x x x =+，若2(2)()f a f a ->，则实数a 的取值范围是A.(2,1)- B.(1,2)-C.(,1)(2,)-∞-⋃+∞ D.(,2)(1,)-∞-⋃+∞【答案】A 【解析】【详解】0x ≥时，2()2f x x x =+所以0x ≥，()f x 单调递增，()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 在R 上单调递增．由2(2)()f a f a ->得22a a ->，即220a a +-<，解得21a -<<．11.设a =，b =2e 4ln 4c =-，则（）A.a b c<< B.c a b<< C.a c b<< D.c b a<<【答案】B 【解析】【分析】首先构造函数()ln xf x x=，利用导数判断函数的单调性，再利用()()24f f =，判断函数值的大小，即可判断选项.【详解】12a ==13b ==2224222e e e 2e e e ln ln ln 422c ===⎛⎫ ⎪⎝⎭，设()ln x f x x=，0x >且1x ≠，令()()2ln 10ln x f x x -'==，得e x =，当1e x <<时，()0f x '<，函数单调递减，当e x >时，()0f x ¢>，函数单调递增，因为()()4242ln 4ln 2f f ===，且2e 12e 42<<<<<<，所以()()2e 242ff f f f ⎛⎫>>=> ⎪⎝⎭，即.c a b<<故选：B12.在正三棱锥P -ABC 中，D ，E 分别为侧棱PB ，PC 的中点，若AD BE ⊥，且AD =，则三棱锥P -ABC外接球的表面积为（）A.354π B.725π C.1087π D.1529π【答案】C 【解析】【分析】结合题意，利用三角形相似得到AD BE ==，取线段PE 的中点F ，连接DF ，AF ，利用余弦定理和勾股定理求出外接球半径，代入外接球的表面积公式即可求解.【详解】如图，因为P -ABC 为正三棱锥，所以PAB PBC PAC △≌△≌△，AD BE ==．取线段PE 的中点F ，连接DF ，AF ，因为D 为PB 的中点，所以DF BE ∥，12DF BE =．因为AD ⊥BE ，所以AD DF ⊥．在Rt ADF中，2AD DF ==，由勾股定理，得352AF =．设APB θ∠=，PA =x ，在PAD 中，由余弦定理的推论，得22217574cos 1422x x x x x θ+-==-⋅①．同理，在PAF △中，由余弦定理的推论，得2221351735164cos 18224x x x x x θ+-==-⋅②．联立①②，解得x =2cos 3θ=．在PAB中，由余弦定理，得2222222cos 283AB PA PB PA PB APB =+-⋅∠=+-⨯=，所以AB =．取ABC 的中心1O ，连接1PO ，1AO ，则1PO ⊥平面ABC ，三棱锥P -ABC 的外接球球心O 在1PO 上，连接OA ，设外接球半径为R ．在1Rt PAO 中，OA =R，12233AO AB =⨯=，所以12213PO ===，所以11OO PO R R =-=-，所以22211AO OO AO =+，即2223R R ⎛=-+ ⎝⎭，解得3217R =，所以所求外接球的表面积为210847R ππ=．故选：C ．第II 卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知i是虚数单位，则复数1i1i+-的实部为______.【答案】0【解析】【分析】利用复数的除法计算即得解.【详解】解：21i(1i)2i==i 1i(1i)(1+i)2 ++=--，所以复数的实部为0.故答案为：014.若x，y满足1010x yx yx-+≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩，则2y x-的最小值是________．【答案】1【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，再利用目标函数的几何意义计算作答.【详解】作出不等式组1010x yx yx-+≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩表示的平面区域，如图中阴影区域，其中点(1,1)A，(1,2)B，令2y x z-=，即122zy x=+表示斜率为12，纵截距为2z的平行直线系，画直线0l：12y x=，平移直线0l到直线1l，当直线1l过点A时，直线1l的纵截距最小，z最小，min2111z=⨯-=，所以2y x-的最小值是1.故答案为：115.已知函数()2(0)f x ax a=+<，若[2,2]x∃∈-，使()0f x<成立，则实数a的取值范围是___________.【答案】(,1)-∞-【解析】【分析】不等式存在性问题，转化成求最值，解不等式即可.【详解】因为()2(0)f x ax a =+<在[2,2]-单调递减，所以当x =2时，f (x )取最小值2a +2若0[2,2]x ∃∈-，使0()0f x <成立，只需f (x )min <0即可，即220a +<，得1a <-，满足a<0.所以实数a 的取值范围(,1)-∞-.故答案为：(,1)-∞-.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <；（2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <；（4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集．16.关于函数32()f x x ax =-有如下四个结论：①对任意a ∈R ，()f x 都有极值；②曲线()y f x =的切线斜率不可能小于23a-；③对任意a ∈R ，曲线()y f x =都有两条切线与直线1y x =-平行；④存在a ∈R ，使得曲线()y f x =只有一条切线与直线1y x =-平行．其中所有正确结论的序号是______．【答案】②④【解析】【分析】举反例否定①；求得导函数()f x '的取值范围判断②；取特例否定③；取特例证明④.【详解】对①：当0a =时，3()f x x =，()f x 为增函数，无极值.所以①错误;对②：2222()323333a a a f x x ax x ⎛⎫'=-=--≥- ⎪⎝⎭，所以②正确．对③：当1a =时，32()f x x x =-，2()32f x x x ='-设切点32(,)M t t t -，由2321t t -=，可得1t =或13t =-则切点为(1,0)M 或14(,)327M --则所求切线方程为1:1l y x =-或25:+27l y x =这两条切线中25:+27l y x =与1y x =-平行，1:1l y x =-与1y x =-重合.即当1a =时，曲线()y f x =只有一条切线与直线1y x =-平行，且这条切线的切点的横坐标为13-，所以③错误；对④：由③可知，④正确．故答案为：②④三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.如图，在△ABC 中，∠ACB＝π2，BC＝2，P 是△ABC 内的一点，△BPC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形，△APC 的面积为32．（1）求PA 长；（2）求cos∠APB 的值．【答案】；（2）10-.【解析】【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质，求得,PC PCA ∠的值，利用面积公式求得AC 的长，再由余弦定理求得PA 的长；（2）在三角形APC 中，用正弦定理求得sin APC ∠的值，再利用诱导公式求得cos APB ∠的值.【详解】（1）由题设∠PCA＝π4，12AC·PC·sin π4＝32，得AC＝3．（或由题设12AC·12BC＝32，得AC＝3．）在△PAC 中，由余弦定理得．（2）在△APC 中，由正弦定理得sin sin AC PA APC PCA =∠∠，得sin∠APC＝10．于是cos∠APB＝cos(3π2－∠APC)＝－sin∠APC＝10-．【点睛】本小题主要考查解三角形，考查正弦定理和余弦定理的应用.题目的突破口在于三角形BPC 为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得出角度和边长，再结合正弦定理和余弦定理适用的条件，即可求得题目所求.属于中档题.18.已知函数22()m xf x x m=-，且0m ≠．（1）当1m =时，求曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）若函数()f x 有最值，写出m 的取值范围．（只需写出结论）【答案】（1）0x y +=（2）答案见解析（3）0m <【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，即可求出切线方程；（2）求出函数的导函数，分0m >和0m <两种情况讨论，讨论导函数的符号变换，进而得到函数的单调区间；（3）由（2）中的结论判断即可.【小问1详解】解：当1m =时，由题设知()21xf x x =-.因为()()22211x f x x +'=--，所以()01f '=-.所以()f x 在()0,0处的切线方程为0x y +=.【小问2详解】解：因为()22m xf x x m=-，所以()()2222x mf x m xm'+=--.当0m >时，定义域为((),-∞⋃⋃+∞.且()()2222x mf x mxm+-'=-<故()f x的单调递减区间为(,-∞，(，)+∞，当0m <时，定义域为R ，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：故()f x 的单调递减区间为,-∞，+∞，单调递增区间为．综上所述，当0m >时，()f x的单调递减区间为(,-∞，(，)+∞，当0m <时，故()f x的单调递减区间为(,-∞，)+∞，单调递增区间为(．【小问3详解】解：由（2）可知要使函数()f x 有最值，则0m <，使得函数在(,-∞上单调递减，在(上单调递增，在)+∞上单调递减，且当0x <时()0f x <，当0x >时()0f x >，所以()f x 在x =处取得极小值即最小值，在x =处取得极大值即最大值.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60DAB ∠= ，PA PD =，G 为AD 的中点．（1）求证：AD PB ⊥；（2）若E 为BC 边的中点，能否在棱PC 上找到一点F ，使DF AD ⊥？请证明你的结论．【答案】（1）证明见解析（2）当F 为PC 中点时，DF AD ⊥；证明见解析【解析】【分析】（1）根据等腰三角形三线合一性质可得,BG AD PG AD ⊥⊥，由线面垂直的判定与性质可证得结论；（2）利用面面平行的判定可证得平面//DEF 平面PBG ，由此可得AD ⊥平面DEF ，由线面垂直的性质可证得结论.【小问1详解】连接BD ，四边形ABCD 为菱形，AB AD ∴=，又60DAB ∠= ，ABD ∴ 为等边三角形，G 为AD 中点，BG AD ∴⊥；PA PD = ，G 为AD 中点，PG AD ∴⊥，又BG PG G = ，,BG PG ⊂平面PBG ，AD ∴⊥平面PBG ，PB ⊂ 平面PBG ，AD PB ∴⊥.【小问2详解】当F 为PC 中点时，DF AD ⊥，证明如下：,E F 分别为,BC PC 中点，//EF PB ∴，又EF ⊄平面PBG ，PB ⊂平面PBG ，//EF ∴平面PBG ；,E G 分别为,BC AD 中点，//BE DG ∴，BE DG =，∴四边形BEDG 为平行四边形，//DE BG ∴，又DE ⊄平面PBG ，BG ⊂平面PBG ，//DE ∴平面PBG ，又DE EF E = ，,DE EF ⊂平面DEF ，∴平面//DEF 平面PBG ，由（1）知：AD ⊥平面PBG ，AD ∴⊥平面DEF ，DF ⊂ 平面DEF ，DF AD ∴⊥.20.已知函数()()1sin sin cos 2f x x x x ωωω=+-（0ω>）图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π．（1）求()f x 的单调递增区间以及()f x 图象的对称中心坐标；（2）是否存在锐角α，β，使2π23αβ+=，3ππ2228f fαβ⎛⎫⎛⎫+⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭同时成立？若存在，求出角α，β的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）递增区间为π3π4,422k k ππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦（Z k ∈）；对称中心的坐标为π2,02k π⎛⎫+ ⎪⎝⎭（Z k ∈）（2）存在；3πα=，6πβ=【解析】【分析】（1）根据三角恒等变换化简解析式，再根据正弦型函数图象性质求解即可；（2）由诱导公式可得π3π12sin cos 22228f f ααββ⎛⎫⎛⎫+⋅+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又2π23αβ+=，代入化简可得π3α=，π6β=。
高2021届高2018级四川省成都七中高三10月阶段性测试文科数学试题解析
2021届四川省成都七中高三10月阶段性测试数学(文)试题一、单选题1.复数()21z i =+的虚部为( ) A.2-B.2C.2i -D.2i【参考答案】B【试题解析】利用复数代数形式的乘法运算化简,即可得出复数z 的虚部.解：因为()221122z i i i i =+=++=, 即2z i =,所以复数z 的虚部为2. 故选：B.本题考查复数代数形式的乘法运算,考查了复数的基本概念,是基础题. 2.{}2P y y x==,{Q x y ==,则P Q =( )A.⎡⎣B.(){}1,1C.{D.⎡⎣【参考答案】D【试题解析】利用二次函数的值域,以及根式的性质化简集合,P Q ,利用交集的定义计算可得答案.集合{}{}2|0P y y xy y ===≥,{{|Q x y x x ===≤≤则{|0P Q x x ⋂=≤≤故选：D本题考查集合的交集运算,考查函数的定义域,属于基础题.3.若变量x ,y 满足约束条件2,1,1y x x y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,则11y x -+的取值范围是( )A.11,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B.13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.13,,22⎛⎤⎡⎫-∞+∞⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【参考答案】C【试题解析】先根据已知中,变量x,y满足约束条件画出满足约束条件的可行域,进而分析11yx-+的几何意义,我们结合图象,利用角点法,即可求出答案.变量x,y满足约束条件211y xx yx⎧⎪+⎨⎪⎩的可行域如下图所示：根据题意,11yx-+可以看作是可行域中的点与点(1,1)P-连线的斜率,由图分析易得：当1x=,0y=时,其斜率最小,即11yx-+取最小值12-,当1x=,2y=时,其斜率最大,即11yx-+的取最大值12.故11yx-+的取值范围是11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：C.本题考查的知识点是简单线性规划,其中解答的关键是画出满足约束条件的可行域,“角点法”是解答此类问题的常用方法.4.“2a>”是“函数()()xf x x a e=-在()0,∞+上有极值”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【参考答案】A【试题解析】求出函数()()xf x x a e =-的极值点,利用该极值点在()0,∞+内求得实数a 取值范围,利用集合的包含关系可得出结论.()()x f x x a e =-,则()()1x f x x a e '=-+,令()0f x '=,可得1x a =-.当1x a <-时,()0f x '<;当1x a >-时,()0f x '>. 所以,函数()y f x =在1x a =-处取得极小值.若函数()y f x =在()0,∞+上有极值,则10a ->,1a ∴>.因此,“2a >”是“函数()()xf x x a e =-在()0,∞+上有极值”的充分不必要条件.故选：A.本题考查充分不必要条件的判断,同时也考查了利用导数求函数的极值点,考查计算能力与推理能力,属于中等题.5.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为126,则判断框内的条件可以为( )A.5n ≤B.6n ≤C.7n ≤D.8n ≤【参考答案】B【试题解析】根据框图,模拟程序运行即可求解.根据框图,执行程序,12,2S n ==; 1222,3S n =+=;⋯12222,1i S n i =++⋯+=+,令12222126i S =++⋯+=, 解得6i =,即7n =时结束程序, 所以6n ≤, 故选 ：B本题主要考查了程序框图,循环结构,条件分支结构,等比数列求和,属于中档题.genju 6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.32B.1C.13D.12【参考答案】C【试题解析】由三视图还原为原图,由此求得几何体的体积.由三视图可知,该几何体如下图所示四棱锥1D EFBC -,故体积为1111133⨯⨯⨯=. 故选：C本小题主要考查有三视图还原为原图,考查四棱锥体积的计算,属于基础题.7.在平面直角坐标系xOy 中,直线l ：40kx y k -+=与曲线29y x =-A ,B 两点,且2AB =,则k =( )A.3B.22C.1D.3【参考答案】C【试题解析】求出圆心到直线的距离,再由垂径定理列式求解k 值.解： 曲线29y x =-是圆心为原点,半径r ＝3的上半圆,如图：圆心到直线l 的距离241k d k =+,22221622921k AB r d k =-=-=+,解得：1k =±,当1k =-时,直线l 与曲线29y x =-,舍去. 故1k =. 故选：C .本题考查直线系方程的应用,考查直线与圆位置关系的应用,考查计算能力,是中档题. 8.关于函数()()πf x 4sin 2x x R 3⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭有如下命题,其中正确的个数有( ) ()y f x =①的表达式可改写为()()πf x 4cos 2x x R 6⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭()y f x =②是以2π为最小正周期的周期函数; ()y f x ③=的图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称;()y f x =④的图象关于直线πx 3=对称. A.0个 B.1个C.2个D.3个【参考答案】C【试题解析】利用诱导公式变形判断①;由正弦函数的周期公式判断②;求得πf 6⎛⎫-⎪⎝⎭的值可判断③;求得πf 3⎛⎫⎪⎝⎭的值可判断④.()ππππf x 4sin 2x 4cos 2x 4cos 2x 3236⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,①正确;()f x 的最小正周期2πT π2==,②错误; πππf 4sin 0633⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()y f x =的图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称,③正确; 由π2ππf 4sin 0333⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不为最值,④错误. 其中正确的个数为2.故选C .本题考查命题的真假判断与应用,考查诱导公式,()y Asin ωx φ=+型函数的图象和性质,属基础题.9.如图,四棱锥S ABCD -中,底面是边长为2的正方形ABCD ,AC 与BD 的交点为O ,SO ⊥平面ABCD 且2SO =,E 是边BC 的中点,动点P 在四棱锥表面上运动,并且总保持PE AC ⊥,则动点P 的轨迹的周长为( )A.2B.3C.12+D.13+【参考答案】D【试题解析】分别取CD 、SC 的中点F 、G ,连接EF 、FG 和EG ,证明平面EFG ∥平面BDS ,再由题意证明AC ⊥平面EFG ,得出点P 在△EFG 的三条边上,求出△EFG 的周长即可.解：分别取CD 、SC 的中点F 、G ,连接EF 、FG 和EG ,如图所示;则EF ∥BD ,EF ⊄平面BDS ,BD ⊂平面BDS ∴EF ∥平面BDS 同理FG ∥平面BDS又EF ∩FG ＝F ,EF ⊂平面EFG ,FG ⊂平面EFG ,, ∴平面EFG ∥平面BDS ,由AC ⊥BD ,AC ⊥SO ,且AC ∩SO ＝O , 则AC ⊥平面BDS , ∴AC ⊥平面EFG ,∴点P 在△EFG 的三条边上; 又EF ＝12BD ＝1222＝1, FG ＝EG ＝12SB ＝1222(2)1+32, ∴△EFG 的周长为EF +2FG ＝3故选：D.本题考查了四棱锥结构特征的应用问题,也考查了空间中线线、线面、面面间的位置关系应用问题,是中档题.10.已知定义域为R 的奇函数()f x 的周期为2,且(]0,1x ∈时,()12log f x x =.若函数()()πsin2F x f x x =-在区间[]3,m -(m Z ∈且3m >-)上至少有5个零点,则m 的最小值为( ) A.2B.3C.4D.6【试题解析】先根据条件分析函数()f x 的性质,然后将问题转化为函数()y f x =和πsin2y x =的图象交点问题,再根据图象求解出m 的最小值.因为()y f x =是奇函数,所以()00f =,又因为函数()f x 的周期为2, 所以()()()202f f f -==0=,在同一坐标系中作出函数()y f x =和πsin2y x =的图象(如图), 观察图象可知()y f x =和πsin2y x =的图象在3,2上有五个交点, 而函数()()πsin2F x f x x =-在区间[]3,m -(m Z ∈且3m >-)上有至少有5个零点, 所以2m ≥,所以m 的最小值为2. 故选：A.本题考查函数与方程的综合应用,着重考查函数性质以及数形结合思想,难度较难.数形结合思想的用处：(1)解决函数零点与方程根的个数问题;(2)解决函数图象问题;(3)求解参数范围与解不等式.11.过抛物线()2:20E x py p =>的焦点F 作两条互相垂直的弦AB ,CD ,设P 为抛物线上的一动点,(1,2)Q ,若111||||4AB CD +=,则||||PF PQ +的最小值是( ) A.1B.2C.3D.4【试题解析】设直线AB 的方程为2p y kx =+,代入22x py =得：2220x pkx p --=,由根与系数的关系得2A B x x pk +=,2A B x x p =-,从而得到()2||21AB p k =+,同理可得21||2(1)CD p k=+,再利用111||||4AB CD +=求得p 的值,当Q ,P ,M 三点共线时,即可得答案.根据题意,可知抛物线的焦点为(0,)2p,则直线AB 的斜率存在且不为0, 设直线AB 的方程为2p y kx =+,代入22x py =得：2220x pkx p --=. 由根与系数的关系得2A B x x pk +=,2A B x x p =-,所以()2||21AB p k=+.又直线CD 的方程为12p y x k =-+,同理21||2(1)CD p k=+, 所以221111111||||2(1)242(1)AB C p k p kD p +=+==++,所以24p =.故24x y =.过点P 作PM 垂直于准线,M 为垂足, 则由抛物线的定义可得||||PF PM =.所以||||||||||3PF PQ PM PQ MQ +=+≥=,当Q ,P ,M 三点共线时,等号成立. 故选：C.本题考查直线与抛物线的位置关系、焦半径公式的应用,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意取最值的条件.12.已知定义在R 上的函数()f x ,其导函数为()f x ',若()()2sin f x f x x =--,且当0x ≥时,()cos 0f x x '+<,则不等式()sin cos 2f x f x x x π⎛⎫+>+- ⎪⎝⎭的解集为( ) A.,2π⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B.,2π⎛⎫+∞⎪⎝⎭C.,4π⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D.,4π⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【参考答案】C【试题解析】令()()sin g x f x x =-,可根据已知等式验证出()g x 为偶函数,同时根据导数得到()g x 的单调性;将所求不等式转化为()2g x g x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭,根据单调性可得到2x x π+<,解不等式求得结果.令()()sin g x f x x =-,则()()sin g x f x x -=-+,()()2sin f x f x x =--,()()sin sin f x x f x x ∴+=--,()()g x g x ∴-=, ()g x ∴为定义在R 上的偶函数;当0x ≥时,()()cos 0g x f x x ''=+<,()g x ∴在[)0,+∞上单调递减, 又()g x 为偶函数,()g x ∴在(],0-∞上单调递增.由()sin cos 2f x f x x x π⎛⎫+>+- ⎪⎝⎭得：()cos sin sin 222f x x f x x f x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++>+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,即()2g x g x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭,2x x π∴+<,解得：4x π<-,即不等式的解集为,4π⎛⎫-∞-⎪⎝⎭. 故选：C .本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题,涉及到构造函数、利用导数确定函数的单调性等知识;解题关键是能够通过构造函数的方式将不等式转化为函数值的比较,再根据单调性转化为自变量之间的大小关系.二、填空题13.某个年级有男生780人,女生420人,用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为20的样本,则此样本中女生人数为______________. 【参考答案】7【试题解析】直接利用分层抽样的比例关系得到答案.样本中男女生人数为：420207780420⨯=+.故答案为：7.本题考查了分层抽样,意在考查学生的计算能力,属于基础题. 14.已知2=a ,1b =,a b -与b 垂直,则a 与b 的夹角为______. 【参考答案】π3【试题解析】利用两个向量垂直的性质,两个向量的夹角公式,求得a 与b 的夹角的余弦值,可得a 与b 的夹角.||2a =,||1b =,a b -与b 垂直,故有22()||||cos ,||2cos ,10a b b a b b a b a b b a b -⋅=⋅-=<>-=<>-=, 所以1cos ,2a b <>=, 因为0,a b π≤<>≤ 所以a 与b 的夹角为3π, 故答案为：3π.本题主要考查两个向量垂直的性质,两个向量的夹角公式,属于基础题.15.已知集合{}{}012a b c =,,,,,有下列三个关系①2a ≠;②2b =;③0c ≠,若三个关系中有且只有一个正确的,则23a b c ++=_______________. 【参考答案】5【试题解析】依次讨论①②③正确性,确定a b c 、、的值,得到答案.若①正确,②③错误,则0c,1b =,2a =,矛盾,不成立;若②正确,①③错误,则2b =,0c,1a =,矛盾,不成立;若③正确,①②错误,则2a =,1c =,0b =,成立,235a b c ++=; 综上所述：235a b c ++=. 故答案为：5.本题考查了逻辑推理,相等集合,意在考查学生的计算能力和逻辑推理能力. 16.设a ,b 是正实数,函数()ln f x x x =,()ln 3b g x x a =-+.若存在0,3a x b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,使()()00f x g x ≤成立,则ba的取值范围为_________.【参考答案】13,3e ⎛⎤⎥⎝⎦【试题解析】由区间的表示可知13b a >,令()()()h x f x g x =-,存在0,3a x b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,使()()00f x g x ≤成立等价于min ()0h x ≤,求导后判断导数的正负号,即可讨论出函数()h x 在区间,3a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性,即可求出b a 的取值范围.∵存在0,3ax b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,使()()00f x g x ≤成立,∴3a b <,0a >得13b a >;令()()()ln ln 3b h x f x g x x x x a =-=-+; ∴()ln 1ln ln 1x h x x a a ⎛⎫'=+-=+⎪⎝⎭; ∵0,3ax b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,03a x ≥,013x a ≥,令ln 10xa +>,即ax e >时,()h x 递增;3a ax e <<时,()h x 递减;①若a b e ,即()11,,3b h x a e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦在,3a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减; ∴()min ()ln 03b bh x h b b a ⎛⎫==+≤⎪⎝⎭,对11,3b a e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立; ②若3a a b e <<,即1,b a e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭,()h x 在,3a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上先递减后递增;∴min ()ln ln 03a a a a b h x h a e e e e ⎛⎫==-+⎪⎝⎭,∴03a b e -+≤,3b a e ≤,即13b e a e<, 综上b a 的取值范围为13,3e ⎛⎤ ⎥⎝⎦.故答案为：13,3e ⎛⎤⎥⎝⎦.本题结合函数考查不等式的存在性问题,属于难题.将存在0,3a xb ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,使()()00f x g x ≤成立转化为最值()min ()()0f x g x -≤是解本题的关键.三、解答题17.已知向量()sin ,sin m A B =,()cos ,cos n B A =,sin 2m n C ⋅=,且A 、B 、C 分别为ABC 的三边a 、b 、c 所对的角. (1)求角C 的大小;(2)若sin A ,sin C ,sin B 成等差数列,且18CA CB ⋅=,求c 边的长. 【参考答案】(1)π3C =;(2)6c =. 【试题解析】(1)利用向量的数量积可得,,A B C 的三角函数关系式,结合内角和为π可得关于C 的方程,解方程后可得C 的大小.(2)根据内角的正弦为等差数列可得2c a b =+,利用向量数量积的定义和余弦定理可得与三边相关的方程,从而可求c 的值.(1)()sin cos sin cos sin m n A B B A A B ⋅=⋅+⋅=+, 对于ABC ,πA B C +=-,0πC <<.∴()sin sin A B C +=,∴sin 2sin C C =,2sin cos sin C C C ⋅=, 因为sin 0C >,故1cos 2C =,而()0,C π∈,故π3C =.(2)由sin A ,sin C ,sin B 成等差数列,得2sin sin sin C A B =+, 由正弦定理得2c a b =+.∵18CA CB ⋅=,即cos 18ab C =,36ab =,由余弦定理()22222cos 3c a b ab C a b ab =+-=+-, ∴224336c c =-⨯,236c =,∴6c =.本题考查正弦定理、余弦定理、向量的数量积以及三角变换,一般地,在解三角形中,如果题设条件是边角的混合关系,那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.另外,解三角形时,注意对三角形中已知的几何量和未知的几何量进行分析,从而确定用合适定理解决问题,本题属于中档题.18.某企业的甲、乙两种产品在东部地区三个城市以及西部地区两个城市的销售量x ,y 的数据如下：(1)已知销售量x 和销售量y 大致满足线性相关关系,求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+;(2)根据上述数据计算是否有99%的把握认为东、西部的地区差异与甲、乙两种产品的销售量相关.参考公式：()()()121nii i nii xx y yb xx==--=-∑∑,a y bx =-;()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++.临界值表：【参考答案】(1) 4.768y x =-;(2)列联表见解析,有99%的把握认为东、西部的地区差异与甲、乙两种产品的销售量相关.【试题解析】(1)求出x 、y ,代入相应值求ˆb,再由公式ˆˆa y bx =-求出ˆa ,即可求得线性回归方程;(2)作出列联表,计算观测值,观测值与表中对应临界值比较即可得出结论.(1)4050602030405x++++==,11018021030701205y++++==,515221ˆ55i iiiix y x ybx x==-=-∑∑2287005401204.79000540-⨯⨯==-⨯,120 4.74068ˆˆa y bx=-=-⨯=-,得到线性回归方程为 4.768y x=-;(2)作出列联表如下：东部城市西部城市总计甲150 50 200乙500 100 600总计650 150 800计算得()22800150100505006.838 6.635200600650150K⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯,所以有99%的把握认为东、西部的地区差异与甲、乙两种产品的销售量相关.本题考查最小二乘法求线性回归方程、独立性检验,考查数据处理能力、计算能力,属于中档题.19.如图,在四棱锥P ABCD-中,四边形ABCD是直角梯形,AB AD⊥,//AB CD,PC⊥底面ABCD,224AB AD CD===,2PC a=,E是PB的中点.(1)求证：平面EAC⊥平面PBC;(2)求点P到平面AEC的距离.【参考答案】(1)证明见解析;(2)433. 【试题解析】(1)在直角梯形ABCD 中,求解三角形可得222AC BC AB +=,即得AC BC ⊥,再由PC ⊥平面ABCD ,得AC PC ⊥,进一步可得AC ⊥平面PBC ,由面面垂直的判定可得平面EAC ⊥平面PBC ;(2)将P 到平面AEC 的距离转化为B 到平面AEC 的距离,利用体积法E ABC B AEC V V --=可得答案.解析：(1)∵PC ⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD , ∴AC PC ⊥因为4AB =,2AD CD ==, 所以2AC BC ==,所以222AC BC AB +=,所以AC BC ⊥,又BC PC C ⋂=, 所以AC ⊥平面PBC . 因为AC ⊂平面EAC , 所以平面EAC ⊥平面PBC ;(2)∵E 为PB 中点,故P 到平面AEC 的距离等于B 到平面AEC 的距离,设为d ,118422323E ABC V -=⨯⨯⨯⨯=由(1)AC CE ⊥ ∴112262322ACE S AC CE =⋅=⨯=△,由E ABC B AEC V V --=可得8133=⨯,解得B 到平面AEC .故P 到平面AEC .本题考查平面与平面垂直的判定,考查体积法求点到面的距离,考查了学生的转化能力及空间想象能力,是中档题.20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的两个焦点为1F ,2F ,焦距为直线l ：1y x =-与椭圆C 相交于A ,B 两点,31,44P ⎛⎫- ⎪⎝⎭为弦AB 的中点.(1)求椭圆的标准方程;(2)若直线l ：y kx m =+与椭圆C 相交于不同的两点M ,N ,()0,Q m ,若3OM ON OQ λ+=(O 为坐标原点),求m 的取值范围.【参考答案】(1)2213x y +=;(2)113m <<或113m -<<-.【试题解析】(1)31,44P ⎛⎫- ⎪⎝⎭为弦AB 的中点, 设()11,A x y ,()22,B x y ,代入椭圆方程利用点差法可求解.(2)由M ,Q ,N 三点共线,133OQ OM ON λ=+,根据三点共线性质可得：1133λ+=,则2λ=,将直线l 的方程和椭圆C 方程联立,利用韦达定理即可求得答案.(1)∵焦距为则c =设()11,A x y ,()22,B x y ,∵31,44P ⎛⎫- ⎪⎝⎭为弦AB 的中点,根据中点坐标公式可得：1232x x +=,1212y y +=-,又∵将()11,A x y ,()22,B x y 代入椭圆C ：22221x y a b+=∴2222221122222222b x a y a b b x a y a b⎧+=⎨+=⎩ ∴将两式作差可得：()()()()22121212120b x x x x a y y y y +-++-=,所以()()22121222121231AB b x x y y b k x x a y y a +-==-==-+, 所以223a b ………①.∵222a c b -=………②由①②得：2231a b ⎧=⎨=⎩所以椭圆的标准方程为2213x y +=.(2)∵M ,Q ,N 三点共线,133OQ OM ON λ=+ ∴根据三点共线性质可得：1133λ+=,则2λ= 设()11,M x y ,()22,N x y ,则1212033x x +=,∴122x x =-.将直线l 和椭圆C 联立方程22,33y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消掉y . 可得：()222136330kxkmx m +++-=.220310k m ∆>⇒-+>………③,根据韦达定理：122613km x x k +=-+,21223313m x x k -=+,代入122x x =-,可得：22613km x k =+,222233213m x k--=+, ∴()222222363321313k m m kk --⨯=++,即()2229131m k m -⋅=-.∵2910m -≠,219m ≠, ∴22213091m k m -=≥-………④,代入③式得22211091m m m --+>-,即()22211091m m m -+->-, ∴()()2221910mmm --<,∴2119m <<满足④式,∴113m <<或113m -<<-.本题考查椭圆的中点弦问题,考查直线与椭圆的综合问题,联立方程,韦达定理的应用,属于中档题. 21.已知函数()()2311023f x x ax a =->,函数()()()1xg x f x e x =+-,函数()g x 的导函数为()g x '. (1)求函数()f x 的极值; (2)若a e =,①求函数()g x 的单调区间;②求证：0x >时,不等式()1ln g x x '≥+恒成立. 【参考答案】(1)极小值为()00f =,极大值为2116f a a ⎛⎫=⎪⎝⎭;(2)①单调递增区间是()0,∞+,单调递减区间是(),0-∞;②证明见解析.【试题解析】(1)求导并令21()()0f x x ax ax x a'=-=--=,结合导数的正负判断极值;(2)()(1)x g x x e ex '=-+,①记()1xh x e ex =-+,由导数可知,()h x h (1)10=>,则根据()(1)x g x x e ex '=-+的正负可确定函数的单调性;②化()(1)1x g x x e ex lnx '=-++为11xlnxe ex x+-+,令()()1ln 0x x x x φ=+->,利用导数求出1lnxx+的取值范围,从而证明(1)()21f x x ax ax x a ⎛⎫'=-=--⎪⎝⎭, ∴当()0f x '=时,0x =或1x a=,又0a >,∴当(),0x ∈-∞时,()0f x '<;当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x '>;当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时,()0f x '<,∴()f x 的极小值为()00f =,()f x 的极大值为2116f a a⎛⎫= ⎪⎝⎭. (2)∵a e =, ∴()()2311123xg x x ex e x =-+-,()()1x g x x e ex '=-+. ①记()1xh x e ex =-+,则()xh x e e '=-,当(),1x ∈-∞时,()0h x '<,()h x 是减函数; 当()1,x ∈+∞时,()0h x '>,()h x 是增函数, ∴()()110h x h ≥=>,则在()0,∞+上,()0g x '>;在(),0-∞上,()0g x '<,∴函数()g x 的单调递增区间是()0,∞+,单调递减区间是(),0-∞. ②证明：0x >时,()()1ln 1111x x xg x x e ex nx e ex x+'=-+≥+⇔-+≥, 由①知,()11xh x e ex =-+≥,记()()1ln 0x x x x φ=+->,则()1xx xφ-'=, 在区间()1,+∞上,()0x φ'<,()x φ是减函数, ∴()()10x φφ≤=,即1ln 0x x +-≤,1ln 1xx+≤, ∴1ln 11xxe ex x+-+≥≥,即()1ln g x x '≥+恒成立.本题考查了利用导数求函数的极值,考查了利用导数研究函数的单调性、证明不等式恒成立,考查计算能力,解题过程注意转化思想的应用,属于难题.22.在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数).在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为3sin()42πρθ-=. (Ⅰ)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程; (Ⅱ)设点(2,3)P -,若直线l 与曲线C 交于A ,B 两点,求||||PA PB ⋅的值.【参考答案】(Ⅰ)曲线C 的普通方程为2212x y +=;直线l 的直角坐标方程为10x y ++=;(Ⅱ)403. 【试题解析】(Ⅰ)消去参数α可得曲线C 的普通方程,利用极坐标与直角坐标互化的方法确定直线l 的直角坐标方程即可;(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,点()2,3P -在直线l 上,联立直线的参数方程与C 的直角坐标方程,结合直线的几何意义可得PA PB ⋅的值.(Ⅰ)由x y sin αα⎧=⎪⎨=⎪⎩,消去参数α可得2212x y +=,故曲线C 的普通方程为2212x y +=.由342sin πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,可得222sin cos ρθρθ--=,即10sin cos ρθρθ++=,将x cos ρθ=,y sin ρθ=代入上式,可得10x y ++=,故直线l 的直角坐标方程为10x y ++=.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,点()2,3P -在直线l 上,可设直线l的参数方程为2232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数),将22x =-,32y t =-+代入2212x y +=,化简可得23400t -+=, 设A ,B 两点对应的参数分别为1t ,2t ,则12403t t =, 所以1212403PA PB t t t t ⋅=⋅==.本题主要考查极坐标与直角坐标的互化,参数方程与普通方程的互化,直线参数方程中参数的几何意义等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23.(1)求函数()32123x x f x x +--=+的最大值M . (2)若实数a ,b ,c 满足22a b c M +≤≤,证明：()210a b c +++≥,并说明取等条件.【参考答案】(1)1M =;(2)证明见解析;当12a b ==-,12c =时取等. 【试题解析】(1)利用绝对值三角不等式可得()f x 的最大值;(2)利用已知条件结合不等式,可证明命题成立.(1)()32123212133x x x x f x x x +--++-=≤=++,等号成立, 当且仅当23x ≤-或12x ≥,所以1M =. (2)()()222()2121212a b a b c a b a b a b ⎛⎫++++≥++++≥+++ ⎪⎝⎭()210a b =++≥, 当且仅当12a b ==-,12c =时取等,所以存在实数12a b ==-,12c =满足条件.本题考查绝对值三角不等式的应用,考查重要不等式,属于中档题.。
四川省高中2021届高三”名校联盟“测试数学(文)试题 Word版含答案
文科数学一、选择题 本大题有10个小题，每小题5分，共50分，每个小题只有一个正确选项，请将正确选项涂在答题卷上 1. 设集合{}=1,M a +{}2|4.N x R x =∈≤若,M N N =则实数a 的取值范围为（ ）A.[]1,3- B. []3,1- C. []3,3- D. (][),33,-∞-+∞2. "1"x >是1""x x >的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件3.若lg 0()(1)10xx f x f x x >⎧=⎨++≤⎩，则(2)f -=（ ）A. 2-B. 1C. 2D. 34.执行如图所示的程序框图,当输入30n =时,则输出的结果是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 75.已知双曲线22:13y C x -=的离心率为e ,若p e =,则抛物线2:2E x py =的焦点F 到双曲线C 的渐近线的距离为（ ）A. 3B. 1C. 32D. 126.数列{}n x 对任意*n N ∈满足1(1)(1)2,n n x x ++-=且12,x =则2015x 的值为( )A. 3-B. 2-C. 2D.12-7.一个四周体的三视图如图所示,则该四周体的四个面中最大的面积是（ ）A. 32B. 22C. 34D. 128.已知定义在R 上的函数()2()log (1)0,1x f x a b a a =-+>≠的图像如图所示,则,a b 满足的关系是（ ）A. 1101ab --<<< B. 101b a -<<<C. 101b a-<<< D. 101a b -<<<9.若函数22()sin 6sin cos 3cos (0)f x x x x x ωωωωω=--+>的最小正周期为2π，若对任意x R ∈都有()1()1f x f α-≤-，则tan α的值为（ ）A. 32B. 23C. 32-D. 23-10.已知实数,,,a b c d 满足2,2,,ab a e dc e =-=-其中是自然对数的底数 则22()()a c b d -+-的最小值为（ ）A. 2B.22C. 23D. 8二、填空题 本大题有5个小题，每小题5分，共25分，请将正确答案写在答题卷上yx O11- 1111 正视图 侧(左)视图俯视图11.函数()f x 的定义域为(,),a b 若“000(,),()()0x a b f x f x ∃∈+-≠”是假命题，则()f a b +=.12.已知二元一次不等式组431234x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域为D .若圆222:(0)O x y r r +=>上存在点00(,),x y D ∈则r 的取值范围为 .13.已知ABC ∆中,(2,1),(3,4),AB CA ==-则ABC ∆的面积S = .14．甲、乙两个公司均可独立完成某项工程.若这项工程先由甲公司施工81天,则余下部分再由乙公司施工144天可完成,已知甲公司施工每天所需费用为6万元,乙公司施工每天所需费用为3万元,现按合同规定,甲公司完成这项工程总量的23,乙公司完成这项工程总量的13,那么完成这项工程所需总费用的最小值为 万元.15.直线:l y m =(m 为实常数)与曲线:|ln |E y x =的两个交点A 、B 的横坐标分别为1x 、2x ，且12x x <,曲线E 在点A 、B 处的切线P A 、PB 与y 轴分别交于点M 、N.有下面4个结论：①||2;MN =②三角形P AB 可能为等腰三角形;③若直线l 与y 轴的交点为,Q 则1;PQ =④当1x是函数2()ln g x x x =+的零点时,AO (O 为坐标原点)取得最小值.其中正确结论的序号为 .三、解答题 本大题有6个小题，共75分，请将解答过程和答案写在答题卷上 16. ,,A B C 是ABC ∆的三个内角,且2C B =, （Ⅰ）求证：3sin 3sin 4sin A B B =-;（Ⅱ）求AB BCAC +的取值范围.17. 空气质量依据空气质量指数大小分为六级，相对应空气质量的六个类别（见下表），指数越大，级别越高说明污染状况越严峻，对人体的危害也越大.为了调查某城市空气质量状况，对近300天空气中PM2.5浓度进行统计，得出这300天中PM2.5浓度的频率分布直方图.将PM2.5浓度落入各组的频率视为概率，并假设每天的PM2.5浓度相互独立.（Ⅰ）当空气质量指数为一级或二级时，人们可正常进行户外运动，依据样本数据频率分布直方图估算该市居民每天可正常进行运动的概率.（Ⅱ）当空气质量为“重度污染”和“严峻污染”时，消灭雾霾天气的概率为58.求在将来2天里，该市恰好有1天消灭雾霾天气的概率.级别 指数一 二 三 四 五 六当日PM2.5浓度（微克/立方米）范围 []0,50 (]50,100 (]100,150 (]150,200 (]200,300 (]300,500空气质量优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严峻污染18.已知四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是直角梯形, 平面PAB ⊥平面,ABCD R 、S 分别是棱AB 、PC 的中点,//,,AD BC AD AB ⊥,PA PB ⊥222,AB BC AD PA ==== （Ⅰ）求证：①平面PAD ⊥平面;PBC ②//RS 平面PAD（Ⅱ）若点Q 在线段AB 上,且CD ⊥平面,PDQ 求三棱锥Q PCD -的体积.19. 已知数列{}n a 是公差d 不为零的等差数列,{}n b 是等比数列,函数2123()f x b x b x b =++的图象在y 轴上的截距为4-,其最大值为672a -.（Ⅰ）求6a 的值;（Ⅱ）若28311()(),f a a f a a +=+求数列{}n b 的通项公式;（Ⅲ）若272a =-，设n T 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，若49nT =-，求正整数n 的值. 20.已知圆锥曲线()210,1E c c c =+>≠的离心率为e =过原点O 的直线与曲线E 交于P 、A 两点,其中P 在第一象限, B 是曲线E 上不同于,P A 的点,直线,PB AB 的斜率分别为1k 、2,k 且120.k k ≠（Ⅰ）求圆锥曲线E 的标准方程; （Ⅱ）求12k k ⋅的值;（Ⅲ）已知F 为圆锥曲线E 的右焦点，若PA PB ⊥，且存在R λ∈使,AF BF λ=求直线AB 的方程.21. 已知函数2()ln ,f x x ax =- （Ⅰ）求()f x 的单调区间;（Ⅱ）当18a =时,证明：存在[)02,,x ∈+∞使03()().2f x f =（Ⅲ）若存在属于区间[]1,3的,,αβ且1,βα-=使()().f f αβ=求实数a 的取值范围.文科数学(参考答案)一、选择题1~5 BADBD 6~10 DADCB二、填空题PCDB AQRS11. 0 12. 12[,5]5 13. 112 14. 900 15. ①③④三、解答题16. 解：（Ⅰ）由题设22223sin sin()sin 3sin 2cos cos 2sin 2sin cos (12sin )sin 2sin (1sin )(12sin )sin 3sin 4sin A B C B B B B B B B B B B B B B B B=+==+=+-=-+-=-（Ⅱ）10<30<,cos 132ABC B B B πππ∆-<<∴<<在中,得222sin sin sin 3sin 2sin sin 4sin 2cos 34cos 2cos 1154(cos )44(1,5)AB BC C A B BAC B BB B B B B +++===-++=+-=+-由正弦定理易得所求取值范围为17.解：（Ⅰ）当空气质量为一级时，对应的PM2.5浓度落在[]0,50中，其频率1=0.00350=0.15P ⨯，当空气质量为二级时，对应的PM2.5浓度落在(]50,100中，其频率2=0.00650=0.30P ⨯，故由样本数据频率分布直方图估算该市居民每天可正常进行运动的概率12+=0.45P P（Ⅱ）空气质量为“重度污染”和“严峻污染”即PM2.5浓度落在(]200,500的频率为0.00250+0.00150+40.0002550=0.20⨯⨯⨯⨯51=0.20=.88P ⨯∴在将来2天里恰有一天为雾霾天气的概率17717=+=.888832P ⨯⨯18.解：（Ⅰ）证明：①PAB ABCD AB ⊥平面平面且相交于直线，,,,,..AD ABCD AD AB AD PAB PB PAB PB AD PB PD AD PD D PB PAD PB PAD PBC⊂⊥∴⊥⊂∴⊥⊥=∴⊥⊂⊥而平面平面又平面又平面故平面平面②,,PB T RT ST 取中点连接、//,//.RT PA ST BC ,.,.PB PA PB BC PB RT PB ST ⊥⊥∴⊥⊥且=,.,.,//.RT ST T PB RST PB PAD RST PAD RS RST RS PAD ⊥⊥∴⊥⊂又则平面又平面平面平面且平面故平面（Ⅱ）,.CD PDQ PQ CD ⊥∴⊥平面,,.1,,,22,215.241-,324-PQ AD CD AD D PQ ABCD PQ AB AQ PQ DQ CD CD QD CQD S CD DQ P CDQ V S PQ Q PCD ⊥⋂=∴⊥⊥==∴==⊥∴∆=⋅==⋅⋅=又平面则由已知又是面积则三棱锥的体积为故三棱锥19.解： （Ⅰ）3{},4,n b q b =-设等比数列的公比为由题设12244,.b b q q ∴=-=-2266442()4(1)371()33,.22f x x x x q q qf x R a a =---=-+-∴--=-∴=则在上的最大值为，即6分（Ⅱ）283110()(),()d f a a f a a f x ≠+=+∴且图象的对称轴方程为()3112875631*3()()222 1.2221 2.{}(2)n n n n a a a a a a x a q q b b b q n N --++++=====-=-∴==--∈由此得，即等比数列的通项公式（Ⅲ）622671,, 1.2262a a a a d -=-=∴==-3212112231n nn n n a a a a a a T a a a a a a ++---=+++21321111111111122492999.n n n a a a a a a a a n n ++=-+-++-=-=--=--=解得 20. 解：（Ⅰ）12(,),(,0),(,0).R x y F c F c -设2212122122222222222+=1,01,2 1.1 2,.1214413 2,2449.119 1 4RF RF c c c F F c c R F F c c c c c c c E a b a a b b x x E y +>≠∴=<++⎧=⎪⎧=⎪⎪=⎨⎨++=⎪⎩⎪+=⎪⎩⎧=⎪⎧=⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩+=由题设且则由椭圆的定义可知点的轨迹是以、为焦点,为长轴的椭圆则或设椭圆的长轴长，短轴长分别为则或故圆锥曲线的标准方程为或24199y +=（Ⅱ）00(,),(,),, (,).P m n B x y A P A m n ∴--设两点关于原点对称，22222222222222200000222222222022000121222000() 11, 1.0,1,,4x y E a bx y x m y n y n m n b a b a b a b x m a y n y n y n k k k k x m x m x m +=---+=+=∴+==---+-==∴==--+-由知，椭圆的标准方程为且即.又Ⅰ（Ⅲ）(,),(,)P m n A P A m n ∴--、两点关于原点对称由已知可设22212221 4(3,0),(,4,(1,(81 ,4199(8)x E y mF k k n n PA PB m m n k AB y x x y E AB y x +===-⊥∴⋅=-==∴==+==当的方程为时，由得易得所在直线方程为当的方程为时同理可得，所在直线方程为Ⅱ知21. 解：（Ⅰ）()212()0.ax f x x x -'=>(1)0()0(0,)()(0,)(2)0,()00()0())a f x f x a f x x f x x f x '≤>+∞∴+∞'>>⇔<<'<⇔>∴+∞当时，在上恒成立在上递增.当时设设在上递增,在上递减.0()(0,),10()(0,)21()(,).2a f x a f x af x a ≤+∞>+∞综上，当时，的单调递增区间为当时，的单调递增区间为的单调递减区间为（Ⅱ）1(),()(0,2],[2,).8a f x =+∞由知当时在上递增在上递减Ⅰ()3()()()[2,)23()[2,)2[2,),[2,)233()()(0,2],2>,(2)().223(2)(2)()02g x f x f x g x e f x f f g f f =-∈+∞∴+∞∈+∞∈+∞∴>=->设.在上递减,由Ⅰ知在上递增则220000033331939()=()()ln ln 2222842324190,323()(2),23()=()()=023[2,),()=().2g e f e f e e e g x e x g x f x f x f x f -=-⋅-+-=<-∈+∞又由零点存在定理可知，在，上必有唯一零点记为即故存在使（Ⅲ）()0,()[1,3],,0.a f x a ≤∴>由知当时在上递增不合题意Ⅰ 22,()()ln ln ln ln ()0ln ln(1)(21)0()()ln ln(1)(21)[1,2]11()21120(1,2)(1)()[1,2]()()[1,2](1)0(f f a a a a h x x x a x x h x ax x x ax x x h x h x h h αβααββαβαβαααα=⇔--⇔-+=⇔-++=*=-+++∈'∴=-++=+>+∴*≤由题设=++设在上恒成立在上递增.由式知是函数在上的零点,其充要条件为ln 230131ln ln 22)0ln 2ln 350523131[ln ,ln 2].523a a a a -+≤⎧⎧⇔⇔≤≤⎨⎨≥-+≥⎩⎩故的取值范围为4分9分14分。
2018年四川省蓉城名校联盟高二上学期期中数学试卷与解析答案(文科)
2017-2018学年四川省蓉城名校联盟高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知直线l1：x+3y﹣1=0与直线l2：mx﹣y=0平行，则实数m的取值是（）A．B．C．3 D．﹣32．（5分）双曲线=﹣1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x3．（5分）下列选项中，说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．命题p：∃x∈R，x2﹣x≤0，则¬p：∀x∉R，x2﹣x＞0D．若p∨q为假命题，则p，q均为假命题4．（5分）圆（x﹣4）2+y2=9和圆x2+（y﹣3）2=25的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离5．（5分）已知双曲线的离心率为，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．6．（5分）到两定点F1（0，﹣3）和F2（0，3）的距离之和为6的点M的轨迹是（）A．椭圆B．圆C．线段D．双曲线7．（5分）己知命题“∃x∈R，使2x2+（a﹣1）x+2≤0”是假命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞）B．（﹣1，3）C．（﹣3，5）D．（﹣∞，﹣3]∪[5，+∞）8．（5分）已知双曲线方程为，过P（1，0）的直线L与双曲线只有一个公共点，则L的条数共有（）A．4条 B．3条 C．2条 D．1条9．（5分）若直线y=k（x﹣2）+3与曲线有两个公共点，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．10．（5分）椭圆上一点P到直线x+y+11=0的距离最大值为（）A．B．C．D．11．（5分）设P是椭圆上一动点，F是椭圆的左焦点，椭圆外一点M （6，4），则|PF|+|PM|的最大值为（）A．15 B．16 C． D．12．（5分）如图，已知双曲线C1：，椭圆C2以双曲线的焦点为顶点，以双曲线的顶点为焦点，双曲线C1的一条渐近线与以椭圆C2的长轴为直径的圆交于A，B两点，与椭圆C2交于C，D两点，且，则双曲线C1的离心率为（）A．B． C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）直线x﹣2y﹣1=0与x﹣2y+4=0之间的距离是．14．（5分）在圆x2+y2=16上任取一点P，过点P作x轴的垂线PD，垂足为D，点M满足．当点P在该圆上运动时，点M的轨迹方程是．15．（5分）若实数x，y满足则z=x﹣2y的最小值是．16．（5分）已知P是直线l：3x﹣4y+16=0上的动点，PA，PB是圆C：x2+y2﹣2x ﹣2y﹣2=0的两条切线，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）求过两直线x﹣2y+3=0和x+y﹣3=0的交点，且满足下列条件的直线l的方程．（Ⅰ）和直线x+3y﹣1=0垂直；（Ⅱ）在y轴的截距是在x轴上的截距的2倍．18．（12分）已知命题p：实数m满足（m﹣a）（m﹣4a）＜0，其中a＞0；命题q：方程表示双曲线．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数m的取值范围；（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19．（12分）已知圆C经过点A（5，2），B（3，2）且圆心在直线x﹣y+1=0上．（1）求圆C的方程；（2）过点P（3，1）作直线l与圆C相交于M，N两点，且|MN|=6，求直线l 的方程．20．（12分）已知椭圆C：过点（0，﹣3），且离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，当线段AB的中点为M（4，2）时，求直线l的方程．21．（12分）设圆的圆心为C，是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹为曲线W．（1）求曲线W的方程；（2）在曲线W上是否存在点P，使得∠CPA为钝角？若存在，求出点P横坐标的取值范围；若不存在，说明理由．22．（12分）已知椭圆C：与双曲线有共同的焦点，直线l：x=my+3（m≠0）交椭圆于M、N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）若点P的坐标是（4，0）且（O为坐标原点），求△PMN的面积．2017-2018学年四川省蓉城名校联盟高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知直线l1：x+3y﹣1=0与直线l2：mx﹣y=0平行，则实数m的取值是（）A．B．C．3 D．﹣3【解答】解：由﹣1﹣3m=0，解得m=﹣．经过验证两条直线平行．故选：B．2．（5分）双曲线=﹣1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【解答】解：化已知双曲线的方程为标准方程，可知焦点在y轴，且a=3，b=2，故渐近线方程为y==故选A3．（5分）下列选项中，说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．命题p：∃x∈R，x2﹣x≤0，则¬p：∀x∉R，x2﹣x＞0D．若p∨q为假命题，则p，q均为假命题【解答】解：命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，故A正确；“x2﹣3x+2=0”⇔“x=1，或x=2”，故“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件，故B 正确；命题p：∃x∈R，x2﹣x≤0，则¬p：∀x∈R，x2﹣x＞0，故C错误；若p∨q为假命题，则p，q均为假命题，故D正确；故选：C．4．（5分）圆（x﹣4）2+y2=9和圆x2+（y﹣3）2=25的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离【解答】解：根据题意，圆（x﹣4）2+y2=9的圆为（4，0），半径为3，而圆x2+（y﹣3）2=25的圆心为（0，3），半径为5，两圆的圆心距d==5，则有5﹣3＜d＜5+3，两圆相交；故选：B．5．（5分）已知双曲线的离心率为，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，双曲线的焦点是（﹣4，0），（4，0），则其焦点在x轴上且c=4，又由双曲线的离心率e=，则有=，则有a=，则b2=c2﹣a2=16﹣6=10，则双曲线的标准方程为：﹣=1；故选：D．6．（5分）到两定点F1（0，﹣3）和F2（0，3）的距离之和为6的点M的轨迹是（）A．椭圆B．圆C．线段D．双曲线【解答】解：根据题意，两定点F1（0，﹣3）和F2（0，3），则|F1F2|=6，而动点M到两定点F1（0，﹣3）和F2（0，3）的距离之和为6，则M的轨迹为线段F1F2，故选：C．7．（5分）己知命题“∃x∈R，使2x2+（a﹣1）x+2≤0”是假命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞）B．（﹣1，3）C．（﹣3，5）D．（﹣∞，﹣3]∪[5，+∞）【解答】解：命题“∃x∈R，使2x2+（a﹣1）x+2≤0”是假命题，那么：“∀x∈R，使2x2+（a﹣1）x+2＞0”是真命题，即（a﹣1）2﹣16＜0，解得：﹣3＜a＜5．故选：C8．（5分）已知双曲线方程为，过P（1，0）的直线L与双曲线只有一个公共点，则L的条数共有（）A．4条 B．3条 C．2条 D．1条【解答】由题意可得：双曲线x2﹣=1的渐近线方程为：y=±2x，点P（1，0）是双曲线的右顶点，故直线x=1 与双曲线只有一个公共点；过点P （1，0）平行于渐近线y=±2x时，直线L与双曲线只有一个公共点，有2条所以，过P（1，0）的直线L与双曲线只有一个公共点，这样的直线共有3条故选B9．（5分）若直线y=k（x﹣2）+3与曲线有两个公共点，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：直线l：y=k（x﹣2）+3，经过定点P（2，3），曲线表示半圆．如图所示，A（﹣2，0），D（2，0）．直线l经过点A时，直线l与半圆相交于两点A，B．k PA==．直线PD与半圆相切．设切线PC的方程为：y=k（x﹣2）+3，即kx﹣y+3﹣2k=0．圆心O到切线的距离==2，化简解得：k=．∴直线y=k（x﹣2）+3与曲线有两个公共点，则实数k的取值范围是．故选：D．10．（5分）椭圆上一点P到直线x+y+11=0的距离最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，椭圆上一点P，设P的坐标为（4cosθ，3sinθ），则P到直线x+y+11=0的距离d==，（tanα=），分析可得：当sin（θ+α）=1时，d=取得最大值8；故选：B．11．（5分）设P是椭圆上一动点，F是椭圆的左焦点，椭圆外一点M （6，4），则|PF|+|PM|的最大值为（）A．15 B．16 C． D．【解答】解：根据题意，椭圆的方程为：，其中a=5，b=4，则c2=a2﹣b2=9，即c=3，设椭圆的右焦点为F2，则F2（3，0），又由椭圆外一点M（6，4），|MF2|=5．∴|PM|+|PF1|=2a+|PM|﹣|PF2|≤2×5+|MF2|=15，当且仅当三点M、F2、P共线时取等号，故选：A．12．（5分）如图，已知双曲线C1：，椭圆C2以双曲线的焦点为顶点，以双曲线的顶点为焦点，双曲线C1的一条渐近线与以椭圆C2的长轴为直径的圆交于A，B两点，与椭圆C2交于C，D两点，且，则双曲线C1的离心率为（）A．B． C．D．【解答】解：C1：，椭圆C2以双曲线的焦点为顶点，以双曲线的顶点为焦点，则椭圆C2为+=1，圆的方程为为x2+y2=c2，双曲线的一条渐近线为y=x，∴|AB|=2c，联立方程组，解得x2=，∴x1+x2=0，x1x2=﹣，∴|CD|==，∵|CD|=|AB|，∴=×2c，∴=，∴e===，故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）直线x﹣2y﹣1=0与x﹣2y+4=0之间的距离是．【解答】解：直线x﹣2y﹣1=0与x﹣2y+4=0之间的距离==．故答案为：．14．（5分）在圆x2+y2=16上任取一点P，过点P作x轴的垂线PD，垂足为D，点M满足．当点P在该圆上运动时，点M的轨迹方程是．【解答】解：设M的坐标为（x，y），由，可得M为PD的中点，∴P的坐标为（x，2y），∵点P在圆x2+y2=16上，∴x2+4y2=16，即．故答案为：．15．（5分）若实数x，y满足则z=x﹣2y的最小值是﹣4．【解答】解：作实数x，y满足表示的平面区域如下，z=x﹣2y可化为y=x﹣，故当过点（0，2）时，z有最大值，z=x﹣2y有最小值﹣4；故答案为：﹣4．16．（5分）已知P是直线l：3x﹣4y+16=0上的动点，PA，PB是圆C：x2+y2﹣2x ﹣2y﹣2=0的两条切线，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是2．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0配方为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．可得圆心C（1，1），半径r=2．如图所示，四边形PACB面积S=2×|PA|•r=2，可知：要使四边形PACB面积取得最小值，必须要求PC取得最小值，可知：PC⊥直线l时满足要求．∴|PC|的最小值为圆心C到直线l的距离d==3，∴四边形PACB面积的最小值=2=2．故答案为：2．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）求过两直线x﹣2y+3=0和x+y﹣3=0的交点，且满足下列条件的直线l的方程．（Ⅰ）和直线x+3y﹣1=0垂直；（Ⅱ）在y轴的截距是在x轴上的截距的2倍．【解答】解：（Ⅰ）由可得两直线的交点为（1，2）∵直线l与直线x+3y﹣1=0垂直，∴直线l的斜率为3，则直线l的方程是：y﹣2=3（x﹣1），即：3x﹣y﹣1=0；（Ⅱ）当直线l过原点时，直线l的方程为2x﹣y=0，当直线l不过原点时，令l的方程为，∵直线l过（1，2），∴a=2，则直线l的方程为2x+y﹣4=0．18．（12分）已知命题p：实数m满足（m﹣a）（m﹣4a）＜0，其中a＞0；命题q：方程表示双曲线．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数m的取值范围；（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：解：命题p：实数m满足m2﹣5am+4a2＜0，其中a＞0，解得a＜m＜4a；命题q：方程=1表示双曲线则（m﹣3）（m﹣5）＜0，解得3＜m＜5．（1）若a=1，则p：1＜m＜4．由p∧q为真，∴，解得3＜m＜4．∴实数m的取值范围是（3，4）．（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件．∴，等号不能同时成立．解得3．∴实数a的取值范围是．19．（12分）已知圆C经过点A（5，2），B（3，2）且圆心在直线x﹣y+1=0上．（1）求圆C的方程；（2）过点P（3，1）作直线l与圆C相交于M，N两点，且|MN|=6，求直线l 的方程．【解答】解：（1）设圆心为C（a，b），∵圆C经过点A（5，2），B（3，2），圆心在直线x﹣y+1=0上，∴，解得a=4，b=5，∴圆心C（4，5），∴圆半径r=|AC|==，∴圆C的方程为（x﹣4）2+（y﹣5）2=10；（2）过点P（3，1）作直线l，当直线l的斜率不存在时，x=3，此时y1=2或y2=8，∴|MN|=8﹣2=6，满足题意；当直线l的斜率存在时，设为k，则直线方程为y﹣1=k（x﹣3），∴kx﹣y﹣3k+1=0，∴圆心到直线l的距离为d==；又d2+=r2，∴+9=10，解得k=，∴求直线l的方程为y﹣1=（x﹣3），化为一般形式为15x﹣8y﹣37=0；综上，所求的直线方程为：x=3或15x﹣8y﹣37=0．20．（12分）已知椭圆C：过点（0，﹣3），且离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，当线段AB的中点为M（4，2）时，求直线l的方程．【解答】解：（1）由题意可得b=3，又，∴，得a2=36．∴椭圆C的方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），∵点A，B在椭圆上，且AB的中点为M（4，2），∴，∴，则，即AB所在直线的斜率为，∴直线l的方程为y﹣2=（x﹣4），即x+2y﹣8=0．21．（12分）设圆的圆心为C，是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹为曲线W．（1）求曲线W的方程；（2）在曲线W上是否存在点P，使得∠CPA为钝角？若存在，求出点P横坐标的取值范围；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）由圆的方程可知，圆心C（﹣，0），半径等于4，设点M的坐标为（x，y ），∵AQ的垂直平分线交CQ于M，∴|MA|=|MQ|．又|MQ|+|MC|=4（半径），∴|MC|+|MA|=4＞|AC|=2．∴点M满足椭圆的定义，且2a=4，2c=2，∴a=2，c=，∴b=1，∴点M的轨迹方程为+y2=1；（2）设P的坐标为（x0，y0），∴=（x0+，y0），=（x0﹣，y0），∴•=x02﹣9+y02，∵∠CPA为钝角，∴x02﹣3+y02＜0，∴x02﹣3+1﹣x02＜0，即x02＜，解得﹣＜x0＜，若与共线时，不满足题意，即y0x0+y0=y0x0﹣y0时，即y0=0时，此时x0=±2，综上所述点P横坐标的取值范围为（﹣，）．22．（12分）已知椭圆C：与双曲线有共同的焦点，直线l：x=my+3（m≠0）交椭圆于M、N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）若点P的坐标是（4，0）且（O为坐标原点），求△PMN的面积．【解答】解：（1）∵椭圆C：与双曲线有共同的焦点，∴椭圆焦点在横轴上，可得a2﹣3=6+3，∴a2=12，∴椭圆C的方程为：．（2）设M（x1，y1），N（x2，y2）．联立化为（m2+4）y2+6my﹣3=0，，∴=，∵且∴x1x2+y1y2=0，∴，解得m2=．∵直线l过椭圆的右焦点F（3，0），|FP|=4﹣3=1．∴|y1﹣y2|===2=2=1．当且仅当m2+1=3，即m=时等号成立．故△PMN的面积存在最大值1．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P 2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
高三试卷数学(文)-四川容城名校联盟2024届高三第一次联考数学(文)试卷及参考答案
2024届高三第一次联考文科数学考试时间120分钟，满分150分注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号和考籍号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”.2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2230A x x x =-->，{}3log B x y x ==，全集U =R ，则()UB A ⋂=ð（）A .[]1,3- B.()3,+∞C.(]0,3 D.()(),10,-∞-⋃+∞2.已知幂函数()f x x α=的图象过点()3,9P ，则α=（）A.12B.1C.2D.33.已知i 为复数单位，3i2i 1ia +=+-，则1i z a =+的模为（）A.B.1C.2D.44.在ABC 中，“cos 0A >”是“ABC 为锐角三角形”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.在等比数列{}n a 中，2a ，6a 是方程280x x m -+=两根，若3543a a a =，则m 的值为（）A.3B.9C.9- D.3-6.已知()1,2a m =- ，(),1b n = ，0m >，0n >，若存在非零实数λ使得a b λ= ，则12m n+的最小值为（）A .8B.9C.10D.127.已知函数()2e exx xf x -=-，则函数()f x 的图象的能是（）A.B.C.D.8.已知平行四边形ABCD ，若点M 是边BC 的三等分点（靠近点B 处），点N 是边AB 的中点，直线BD 与MN 相交于点H ，则BHBD=（）A.23B.25C.15D.149.已知()0,πα∈，若2sin2cos 1αα+=，则3sin cos sin cos αααα+=-（）A.17B.57C.7- D.710.已知函数()()22ln 4ln 2y x a a x =--++，若[]0,2x ∈时，0y ≥恒成立，则实数a 的取值范围为（）A.(]0,e B.[)e,+∞ C.(]0,1 D.[)1,+∞11.若143a -=，1332b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，122log 5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b c>> B.b c a>> C.c a b>> D.c b a>>12.已知函数()2e ,1,2,1,x x x f x x x a x ⎧<=⎨-++≥⎩若()510f x +=有3个实数解，则实数a 的取值范围为（）A.1,e ⎡-+∞⎫⎪⎢⎣⎭B.6,5⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C.e 1e ,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.1,e 1e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数()πtan 1,0321,02xx x f x x ⎧⎛⎫-> ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，则()3f f -=⎡⎤⎣⎦______.14.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若24n S n n =-，则45a a +=______．15.设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()e xf x =，则不等式()()22f x f x ≥-的解集为______.16.已知函数()1ln 1f t m t t ⎛⎫=+⎪-⎝⎭，当(]1,2t ∈时，()2f t ≤恒成立，则实数m 的最大值为______.三、解答题：共70分.解答应㝍出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.某地区运动会上，有甲、乙两位田径运动员进入了男子100m 决赛，某同学决定运用高中所学的知识对该次决赛的情况进行预测，为此，他收集了这两位运动员近几年的大赛100m 成绩（单位：秒），若比赛成绩小于10秒则称为“破十”.甲：10.54，10.49，10.31，10.37，9.97，10.25，10.11，10.04，9.97，10.03；乙：10.32，10.06，9.99，9.83，9.91；（1）求甲成绩的中位数与平均数（平均数的结果保留3位小数）；（2）从乙的5次成绩中任选3次，求恰有2次成绩“破十”的概率.18.已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()()()c c a b a b a -=-+.（1）求角B ；（2）若边AC 上的中线BD 长为2，求ABC 面积的最大值.19.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是以AC 为底边的等腰直角三角形，12AA =，AC =（1）求证：平面1A BC ⊥平面11ABB A ；（2）求点A 到平面1A BC 的距离.20.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，短半轴b 长为1，点P 在椭圆E 上运动，且12PF F △（1）求椭圆E 的方程；（2）当点P 为椭圆E 的上顶点时，设过点()1,1H --的直线l 交椭圆E 于M ，N 两点，直线PM ，PN 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k +为定值.21.已知函数()2ln ln 2m f x x x x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，()32333242m g x x m x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭.（1）当0m =时，求()f x 在()()1,1f 处的切线方程；（2）当2m =时，设函数()()()23F x g x f x =+，求证：()0F x <有解.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（1）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交弦的中点坐标为()1,1-，求直线l 的极坐标方程.选修4-5：不等式选讲23.已知定义域为R 的函数()1f x x a x =-+-.（1）若3a =，求函数()f x 的最小值；（2）若0a >，不等式()2f x ≥恒成立，求实数a 的最小值.2024届高三第一次联考文科数学考试时间120分钟，满分150分注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号和考籍号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”.2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2230A x x x =-->，{}3log B x y x ==，全集U =R ，则()UB A ⋂=ð（）A.[]1,3- B.()3,+∞C.(]0,3 D.()(),10,-∞-⋃+∞【答案】C 【解析】【分析】求出集合A 、B ，利用补集和交集的定义可求得集合()U A B ⋂ð.【详解】因为{}{22301A x x x x x =-->=<-或}3x >，全集U =R ，则[]1,3U A =-ð，又因为集合{}()3log 0,B x y x ∞===+，因此，()(]0,3U B A = ð.故选：C.2.已知幂函数()f x x α=的图象过点()3,9P ，则α=（）A.12B.1C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】根据题意可得39α=，求解即可.【详解】因为幂函数()f x x α=的图象过点()3,9P ，所以39α=，解得2α=.故选：C.3.已知i 为复数单位，3i2i 1ia +=+-，则1i z a =+的模为（）A.B.1C.2D.4【答案】A 【解析】【分析】根据复数运算的乘除法则，结合复数相等的定义可求得1a =-，进而可求得1i z =-，再结合模长公式即可求解.【详解】由3i2i 1ia +=+-可得()()3i 2i 1i 3i a +=+-=-，所以1a =-，所以1i z =-，则z =.故选：A.4.在ABC 中，“cos 0A >”是“ABC 为锐角三角形”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】在ABC 中，找出cos 0A >的等价条件，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】因为0πA <<，则cos 0A A >⇔为锐角，所以，“cos 0A >”⇒“ABC 为锐角三角形”，“cos 0A >”⇐“ABC 为锐角三角形”，所以，“cos 0A >”是“ABC 为锐角三角形”必要不充分条件.故选：B.5.在等比数列{}n a 中，2a ，6a 是方程280x x m -+=两根，若3543a a a =，则m 的值为（）A.3B.9C.9- D.3-【答案】B 【解析】【分析】根据韦达定理可得26a a m =，结合等比数列的性质即可求解.【详解】因为2a ，6a 是方程280x x m -+=两根，所以26268,,6440a a a a m m +==∆=->，即16m <，在等比数列{}n a 中，226354a a a a a ==，又3543a a a =，所以4243a a =，因为40a ≠，所以43a =，所以249m a ==.故选：B.6.已知()1,2a m =- ，(),1b n = ，0m >，0n >，若存在非零实数λ使得a b λ= ，则12m n+的最小值为（）A.8B.9C.10D.12【答案】B 【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示可得21m n +=，再结合基本不等式中的巧用“1”即可求解.【详解】若存在非零实数λ使得a b λ= ，即//a b r r，又()1,2a m =- ，(),1b n = ，所以12m n -=，即21m n +=，所以()2225591212n m n m m n n m m n ⎛⎫+=+ +=++≥+⎪⎝⎭=，当且仅当22n m m n=，即13m n ==时，等号成立.所以12m n+的最小值为9.故选：B7.已知函数()2e exx xf x -=-，则函数()f x 的图象的能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】分析函数()f x 的定义域、奇偶性及其在0x >时，()f x 的符号，结合排除法可得出合适的选项.【详解】对于函数()2e exx xf x -=-，有e e 0x x --≠，解得0x ≠，所以，函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，因为()()22e e e e x xx x x xf x f x ----==-=---，即函数()f x 为奇函数，排除BD 选项，当0x >时，e e x x ->，则()20e exx xf x -=>-，排除C 选项.故选：A.8.已知平行四边形ABCD ，若点M 是边BC 的三等分点（靠近点B 处），点N 是边AB 的中点，直线BD 与MN 相交于点H ，则BHBD=（）A.23B.25C.15D.14【答案】C 【解析】【分析】设,BM a BN b == ，设BH BD λ= ，MH MN μ= ，利用向量的基本定理可得312λμλμ=-⎧⎨=⎩，求得15λ=，从而问题可解.【详解】设,BM a BN b == ，则32BD a b =+ ，MN b a =- ，设BH BD λ= ，MH MN μ=，则32BH a b λλ=+ ，MH b a μμ=- ，因为()1BH BM MH a b a a b μμμμ=+=+-=-+，所以312λμλμ=-⎧⎨=⎩，解得15λ=，所以15BH BD = ，即5||1||BH BH BD BD ==.故选：C.9.已知()0,πα∈，若2sin2cos 1αα+=，则3sin cos sin cos αααα+=-（）A.17B.57C.7- D.7【答案】D 【解析】【分析】利用二倍角的正弦公式可求得tan α的值，然后利用弦化切可得出所求代数式的值.【详解】因为()0,πα∈，则sin 0α>，且2sin2cos 1αα+=，则222sin cos 1cos sin αααα=-=，所以，sin 2cos 0αα=>，则tan 2α=，因此，3sin cos 3tan 13217sin cos tan 121αααααα++⨯+===---.故选：D.10.已知函数()()22ln 4ln 2y x a a x =--++，若[]0,2x ∈时，0y ≥恒成立，则实数a 的取值范围为（）A.(]0,e B.[)e,+∞ C.(]0,1 D.[)1,+∞【答案】A 【解析】【分析】当0x =时，222(ln )4ln 22(ln 1)0y a a a =-+=-≥，所以问题转化为4ln 40a -+≥，求解即可.【详解】由()()22ln 4ln 2y x a a x =--++可得()()221ln 2ln 4ln 2y a x a a ⎡⎤=-+-+⎣⎦，当e a =时，0y =符合题意；当e a ≠时，y 是关于x 的一次函数，此时只需区间端点的函数值不小于0即可，又当0x =时，222(ln )4ln 22(ln 1)0y a a a =-+=-≥，当2x =时，4ln 4y a =-+，所以4ln 40a -+≥，即ln 1a ≤，解得0e a <<，综上，0e a <≤.故选；A.11.若143a -=，1332b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，122log 5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b c >>B.b c a >>C.c a b>> D.c b a>>【答案】D 【解析】【分析】先根据指对函数的单调性可得01a <<，01b <<，1c >，再作商比较,a b 的大小，从而可求解.【详解】因为1043103a -=<<=，103330122b -⎛⎫⎛⎫<== ⎪⎪⎝⎝⎭<⎭，令1111114433312133323232a b -----==⨯=⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭，而121212111143312123323232116---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯=⨯=⨯=< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即11312321-⨯<，所以a b <，又因为1111222245121log log log log 152010c ==>>=，所以c b a >>.故选：D12.已知函数()2e ,1,2,1,x x x f x x x a x ⎧<=⎨-++≥⎩若()510f x +=有3个实数解，则实数a 的取值范围为（）A.1,e ⎡-+∞⎫⎪⎢⎣⎭ B.6,5⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C.e 1e ,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.1,e 1e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】1x <时，()e xf x x =，利用导数求函数单调区间，可证得此时()510f x +=有2个实数解，则1x ≥时，()22f x x x a =-++，()510f x +=在定义区间内有1个实数解，利用函数单调性和最值列不等式求实数a 的取值范围.【详解】1x <时，()e xf x x =，()()e 1x f x x '=+，()0f x '<解得1x <-，()0f x ¢>解得11x -<<，()f x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,1-上单调递增，()3313e 5f -=->-，()111e 5f -=-<-，()1005f =>-，所以方程()510f x +=在()3,1--和()1,0-上各有1个实数解，1x ≥时，()22f x x x a =-++，函数在[)1,+∞上单调递减，依题意，()510f x +=在[)1,+∞上有1个实数解，则()11125f a =-++≥-，解得65a ≥-.实数a 的取值范围为6,5⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.故选：B 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数()πtan 1,0321,02x x x f x x ⎧⎛⎫-> ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，则()3f f -=⎡⎤⎣⎦______.【答案】0【解析】【分析】先计算()3f -，从而可求解.【详解】()31382f -⎛⎫-== ⎪⎝⎭，所以()()038πtan 14f f f -==⎣⎦-⎡=⎤.故答案为：014.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若24n S n n =-，则45a a +=______．【答案】8【解析】【分析】根据题意，求得125n n n a S S n -=-=-，进而求得45a a +的值，即可求解.【详解】由题意，数列{}n a 满足24n S n n =-，当2n ≥时，()()221414125n n n a S S n n n n n -=-=---+-=-，所以45358a a +=+=.故答案为：8.15.设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()e xf x =，则不等式()()22f x f x ≥-的解集为______.【答案】2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】根据偶函数的性质可得()()22f x f x ≥-，再根据单调性可得22x x ≥-，求解即可.【详解】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()22f x f x ≥-等价于()()22fx f x ≥-，又()e xf x =在[)0,∞+上单调递增，所以22x x ≥-，即()2222x x ≥-，解得223x ≤≤.故答案为：2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦16.已知函数()1ln 1f t m t t ⎛⎫=+⎪-⎝⎭，当(]1,2t ∈时，()2f t ≤恒成立，则实数m 的最大值为______.【答案】21ln 2-【解析】【分析】参变分离后，令(]21(),1,2ln 1g t t t t =-∈-，求导后，借助ln 1t t ≤-放缩判断()g t 在(1,2]上单调递减，从而可求解.【详解】当(]1,2t ∈时，ln 0t >，则由()2f t ≤可得21ln 1m t t ≤--，令(]21(),1,2ln 1g t t t t =-∈-，则2221()(ln )(1)g t t t t '=-+-，令()ln (1)(0)h t t t t =-->，则()111t h t t t -'=-=，所以当01t <<时，()()0,h t h t '>单调递增，当1t >时，()()0,h t h t '<单调递减，所以当0t >时，()()10h t h ≤=，即ln 1t t ≤-，当且仅当1t =时，等号成立，所以当(]1,2t ∈时，2222221212()0(ln )(1)(1)(1)(1)t g t t t t t t t t t -'=-+<-+=≤----，所以()g t 在(1,2]上单调递减，所以2(2)1ln 2m g ≤=-.所以m 的最大值为21ln 2-.故答案为：21ln 2-【点睛】关键点睛：本题关键是能够借助ln 1t t ≤-放缩判断()g t 在(1,2]上单调递减，从而使问题顺利求解.三、解答题：共70分.解答应㝍出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.某地区运动会上，有甲、乙两位田径运动员进入了男子100m 决赛，某同学决定运用高中所学的知识对该次决赛的情况进行预测，为此，他收集了这两位运动员近几年的大赛100m 成绩（单位：秒），若比赛成绩小于10秒则称为“破十”.甲：10.54，10.49，10.31，10.37，9.97，10.25，10.11，10.04，9.97，10.03；乙：10.32，10.06，9.99，9.83，9.91；（1）求甲成绩的中位数与平均数（平均数的结果保留3位小数）；（2）从乙的5次成绩中任选3次，求恰有2次成绩“破十”的概率.【答案】（1）中位数为10.18，平均数为10.208（2）35【解析】【分析】（1）根据中位数和平均数的计算公式即可求解；（2）列举法求解即可.【小问1详解】甲成绩从小到大排列如下:9.97,9.97,10.03,10.04,10.11,10.25,10.31,10.37,10.49,10.54，∴甲成绩的中位数为10.1110.2510.182+=，平均数为1(9.979.9710.0310.0410⨯+++10.1110.2510.3110.3710.4910.54)10.208++++++=；【小问2详解】乙的5次成绩有3次“破十”，记为,,a b c ，有2次没“破十”，记为,d e ，记恰有2次成绩“破十”为事件A ，则从乙的5次成绩中任选3次的结果有：,,,,,,,,,abc abd abe acd ace ade bcd bce bde cde 共10种，其中满足事件A 的结果有,,,,,abd abe acd ace bcd bce 共6种，63()105P A ∴==，即恰有2次成绩“破十”的概率为35.18.已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()()()c c a b a b a -=-+.（1）求角B ；（2）若边AC 上的中线BD 长为2，求ABC 面积的最大值.【答案】（1）π3B =（2）433【解析】【分析】（1）先化简()()()c c a b a b a -=-+，再结合余弦定理即可求解；（2）利用中线向量公式，结合数量积的运算可得2216ac a c -=+，结合基本不等式与三角形的面积公式即可求解.【小问1详解】因为()()()c c a b a b a -=-+，所以222c ca b a -=-，即222c a b ca +-=，根据余弦定理可得2221cos 222c a b ca B ca ca +-===，又因为0πB <<，所以π3B =；【小问2详解】BD Q 是AC 上的中线，1()2BD BC BA ∴=+ ，即221()4BD BC BA =+ ，()222214,1624a ac c ac a c ac ∴=++∴-=+≥，即163ac ≤，当且仅当433a c ==时，等号成立，1343sin 243ABC S ac B ∴==≤ ，即ABC 面积的最大值为433.19.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是以AC 为底边的等腰直角三角形，12AA =，AC =（1）求证：平面1A BC ⊥平面11ABB A ；（2）求点A 到平面1A BC 的距离.【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）先证明BC ⊥平面11ABB A ，再利用面面垂直的判定定理即可证明；（2）利用等体积法即可求解.【小问1详解】在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，BC ⊂ 平面1,ABC AA BC ∴⊥，又11,,,BC AB AB AA A AB AA ⊂⊥⋂= 平面11ABB A ，BC ∴⊥平面11ABB A ，BC ⊂ 平面1A BC ，∴平面1A BC ⊥平面11ABB A ；【小问2详解】由（1）可知BC ⊥平面11ABB A ，又1A B ⊂平面111,ABB A BC A B ∴⊥，由题意可知，12,2AB BC AA ===，1A B ∴==，111222222A BC ABC S S ∴=⨯==⨯⨯= ，设点A 到平面1A BC 的距离为h ，由11A ABC A A BC V V --=可得，111133ABC A BC S AA S h ⋅=⋅△△，即112233h ⨯⨯=⨯，解得h =所以点A 到平面1A BC.20.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，短半轴b 长为1，点P 在椭圆E 上运动，且12PF F △（1）求椭圆E 的方程；（2）当点P 为椭圆E 的上顶点时，设过点()1,1H --的直线l 交椭圆E 于M ，N 两点，直线PM ，PN 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k +为定值.【答案】（1）2214x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意可得2221122b c b a b c =⎧⎪⎪⨯⨯=⎨⎪=+⎪⎩，求解即可；（2）分直线斜率存在和不存在两种情况，结合韦达定理即可证明.【小问1详解】设椭圆E 的半焦距为c ，由题意可知，当P 为椭圆E 的上顶点或下顶点时，12PF F △.所以2221122b c b a b c=⎧⎪⎪⨯⨯=⎨⎪=+⎪⎩，所以2a =，c =故椭圆E 的标准方程为2214x y +=；【小问2详解】由题意可知()0,1P ，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为=1x -，则不妨令1,,1,22M N ⎛⎫⎛--- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，1233112220101k k -+∴+=+=++；当直线l 的斜率存在时，设直线的方程为1(1)y k x +=+，记()()1122,,,M x y N x y ，由221(1)14y k x x y +=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得，()()22221488480k x k k x k k ++-+-=，此时16(32)0k k ∆=+>，即23k <-或0k >，221212228848,1414k k k k x x x x k k--∴+=-=++，()()()()12211221112112122212121111k x x k x x y x y x y y k k x x x x x x ⎡⎤⎡⎤+-++--+---⎣⎦⎣⎦∴+=+==()()()22212122212248(2)882(2)81624848k k k k k k kx x k x x k k x x k k k k----+-+-====--.综上所述，122k k +=，即12k k +为定值.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.21.已知函数()2ln ln 2m f x x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，()32333242m g x x m x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭.（1）当0m =时，求()f x 在()()1,1f 处的切线方程；（2）当2m =时，设函数()()()23F x g x f x =+，求证：()0F x <有解.【答案】（1）220x y --=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）当0m =时，求出()1f 、()1f '的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）化简得出函数()F x 的解析式，利用()10F <可证得结论成立.【小问1详解】解：当0m =时，()2ln ln f x x x x x =+，则()10f =，()2ln ln 1f x x x x x '=+++，则()12f '=，故当0m =时，()f x 在()()1,1f 处的切线方程为()21y x =-，即220x y --=.【小问2详解】证明：当2m =时，()2ln ln f x x x x x x =++，()33g x x x =-，()()()32322222ln ln ln ln 333F x g x f x x x x x x x x x x x x x x =+=-+++=-++，因为()21103F =-<，故不等式()0F x <有解.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（1）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交弦的中点坐标为()1,1-，求直线l 的极坐标方程.【答案】（1）:sin cos sin cos 0l x y αααα---=，22:149x y C +=（2）9cos 4sin 130ρθρθ--=【解析】【分析】（1）在直线l 与曲线C 中消去参数，可得出直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）利用点差法可求出直线l 的普通方程，再化为极坐标方程即可.【小问1详解】解：在直线l 的参数方程中消去参数t 可得sin cos sin cos 0x y αααα---=，在曲线C 的参数方程中消去参数θ可得2222cos sin 123x y θθ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，直线l 的直角坐标方程为sin cos sin cos 0x y αααα---=，曲线C 的直角坐标方程为22149x y +=.【小问2详解】解：设直线l 交曲线C 于点()11,A x y 、()22,B x y ，则122x x +=，122y y +=-，若直线l x ⊥轴，则线段AB 的中点在x 轴上，不合乎题意，所以，直线l 的斜率存在，由已知可得22112222149149x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两个等式作差可得22221212049x x y y --+=，即()()()()12121212049x x x x y y y y -+-++=，即()()121222049x x y y ---=，整理可得121294AB y y k x x -==-，所以，直线l 的方程为()9114y x +=-，即94130x y --=，所以，直线l 的极坐标方程为9cos 4sin 130ρθρθ--=.选修4-5：不等式选讲23.已知定义域为R 的函数()1f x x a x =-+-.（1）若3a =，求函数()f x 的最小值；（2）若0a >，不等式()2f x ≥恒成立，求实数a 的最小值.【答案】（1）2（2）3【解析】【分析】（1）当3a =时，利用绝对值三角不等式可求得函数()f x 的最小值；（2）利用绝对值三角不等式可得出关于实数a 的不等式，结合0a >，可解出a 的取值范围，即可得解.【小问1详解】解：当3a =时，()()()31312f x x x x x =-+-≥---=，当且仅当13x ≤≤时，等号成立，故函数()f x 的最小值为2.【小问2详解】解：若0a >，由绝对值三角不等式可得()()()111f x x a x x a x a =-+-≥---=-，当且仅当{}{}min ,1max ,1a x a ≤≤时，等号成立，因为不等式()2f x ≥恒成立，则12a -≥，即12a -≤-或12a -≥，解得1a ≤-或3a ≥，因为0a >，则3a ≥，故正实数a 的最小值为3.。
四川省蓉城名校联盟2018级高三10月第一次联考文科数学试题
蓉城名校联盟2018级高三第一次联考文科数学注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”。
2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集为实数集R ，集合2{04}{8150}A x xB x x x ==-+>，，则()R A B = A ．[4,5]B ．[0,3]C ．[3,4]D ．(3,4)2．已知复数21z i=-，则z = A ．1 B ．2 C ．3 D ．23．命题π:"(0,)sin tan "2p x x x ∀∈<，的否定p ¬为A ．π(0,)sin tan 2x x x ∀∈，B ．π(0,)sin tan 2x x x ∀∈>，C ．000π(0,)sin tan 2x x x ∃∈，D ．000π(0,)sin tan "2x x x ∃∉，4．由于美国对华为实施禁令，华为手机的销售受到影响，现统计出今年x 月份({6,7,8,9,10})x ∈的销售量（单位：万台）的一组相关数据如下表若变量,x y 具有线性相关性，y x ,之间的线性回归方程为a x y +-=20，则预计今年11月份的销量为（ ）万台. A ．580 B ．570 C ．560 D ．5505．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，37a a ，是方程01382=--x x 的两根，则=9SA ．80B ．72C ．40D ．366．已知π1tan()22+α=-，则2sin cos cos sin αααα+=-A ．4-B ．4C ．5D ．5-7．已知y x ,满足1x y +，则事件“2212x y +”的概率为 A ．π8B ．π4C ．π18-D ．π14-8．“1(0,)3m ∈”是“函数(31)4,1(),1m x m x f x mx x -+<⎧=⎨-⎩是定义在R 上的减函数”的A ．既不充分也不必要条件B ．充分必要条件C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件 9．已知lg lg 0a b +=且b a <，则不等式log log (21)0a b x x +->的解集为A ．(1,)+∞B ．(0,1)C ．1(,)2+∞D ．1(,1)210．已知三棱锥P ABC -，⊥PA 平面ABC ，且3=PA ，在ABC △中，2,1==BC AC ，且满足B A 2sin 2sin =，则三棱锥ABC P -外接球的体积为AB ．32π3 CD ．8π3 11．已知函数()cos f x x x =+，x ∈R ，设10.32(0.3)(2)(log 0.2)a f b f c f --===，，，则A ．a c b <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．a b c << 12．已知函数()f x 的定义域为R ，且对任意x ∈R 都满足(1)(1)f x f x +=-，当1x 时，ln 01()0x x x f x e x <⎧=⎨⎩，，（其中e 为自然对数的底数），若函数()2g x m x =-与()y f x =的图像恰有两个交点，则实数m 的取值范围是A ．0m或m e = B ．302m< C ．32m e <<D ．m e >二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
四川省成都市2021届高三一诊考试试卷文科数学Word版含答案
成都市2021级高中毕业班第一次诊断性检测数学（文科）本试卷分选择题和非选择题两部份。
第I卷（选择题）1至2页，第Ⅱ卷（非选择题）2至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)设集合U=R，A={x|(x+l) (x -2)<0}，则(A)（一∞，-1) (2,+∞) (B)[-l,2](C)(一∞，-1] [2，+∞) (D)（一1，2）(2)命题“若a>b，则a+c>b+c”的逆命题是(A)若a>b，则a+c≤b+c (B)若a+c≤b+c，则a≤b(C)若a+c>b+c，则a>b (D)若a≤b，则a+c≤b+c(3)双曲线22154x y-=的离心率为(A)4 (B) 355(C)52(D)32(4)已知α为锐角，且sinα=詈，则cos（π+α）=(A)一35(B)35(C) —45(D)45(5)执行如图所示的程序框图，若是输出的结果为0，那么输入的x为(A) 19(B) -1或1 (C) –l (D)l(6)已知x与y之间的一组数据：若y关于x的线性回归方程为=2.lx-1.25，则m的值为(A)l (B)0. 85 (C)0.7 (D)0.5(7)已知概念在R 上的奇函数f(x)知足f(x+3）=f(x)，且当x ∈[0，32）时，f(x)= 一x 3．则f （112）= (A) - 18 (B) 18 (C) -1258 (D) 1258 (8)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的所有棱中，最长的棱的长度为(A) 41 (B)34 (C)5 (D) 32(9)将函数f(x)=sin2x+3cos2x 图象上所有点向右平移6π个单位长度，取得函数g (x)的图象，则g(x)图象的一个对称中心是(A)（3π，0） (B)( 4π，0) (C)（一12π，0） (D)（2π，0） (10)在直三棱柱ABC-A 1B l C 1中，平面α与棱AB ，AC ，A 1C 1，A 1B 1别离交于点E ，F ，G ， H ，且直线AA 1∥平面α．有下列三个命题：①四边形EFGH 是平行四边形；②平面α∥平面BCC 1B 1；③平面α上平面BCFE ．其中正确的命题有(A)①② (B)②③ (C)①③ (D)①②③(11)已知A,B 是圆O:x 2+y 2=4上的两个动点，若M 是线段AB的中点，则的值为 (A)3 (B) 23 (C)2 (D) -3(12)已知曲线C 1:y 2 =tx (y>0，t>0)在点M(4t,2)处的切线与曲线C 2:y=e x+l +1也相切，则t 的值为(A) 4e 2 (B) 4e (C) 4x e (D) 4e 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．(13)复数z=21i i+（i 为虚数单位）的虚部为 ． (14)我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：若是两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封锁图形，图2是一个矩形，且当实数t 取[0，4]上的任意值时，直线y=t 被图1和图2所截得的线段长始终相 等，则图1的面积为 .(15)若实数x ，y 知足约束条件，则3x-y 的最大值为(16)已知△ABC 中，AC=2，BC=6，△ABC 的面积为32，若线段BA 的延长线上存在点D ，使∠BDC =4，则CD = .三、解答题：本大题共6小题，共70分．解承诺写出文字说明、证明进程或演算步骤．(17)（本小题满分12分）某省2021年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩利用品级制．各品级划分标准为：85分及以上，记为A 等；分数在[70，85)内，记为B 等；分数在[60，70）内，记为C 等；60分以下，记为D 等．同时认定A ，B ，C 为合格，D 为不合格．已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均散布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，别离抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计．依照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出甲校的样本频率散布直方图如图1所示，乙校的样本中品级为C ，D 的所有数据的茎叶图如图2所示．(I)求图中x 的值，并按照样本数据比较甲乙两校的合格率；(Ⅱ)在乙校的样本中，从成绩品级为C ，D 的学生中随机抽取两名学生进行调研，求抽出的两名学生中至少有一名学生成绩品级为D 的概率．(18)（本小题满分12分）在等比数列{a n }中，已知a 4=8a 1，且a 1，a 2 +1，a 3成等差数列．(I)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)求数列{|a n -4|}的前n 项和S n ．(19)（本小题满分12分）如图l ，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，BD 与EF 交于点H ，点G,R 别离在线段DH ,HB 上，且DG GH= BR RH．将△AED ，△CFD ，△BEF 别离沿 DE ，DF ，EF 折起，使点A ，B ，C 重合于点P ，如图2所示，（I ）求证：GR ⊥平面PEF ；(Ⅱ)若正方形ABCD 的边长为4，求三棱锥P- DEF 的内切球的半径．(20)（本小题满分12分） 已知椭圆22:154x y E +=的右核心为F ，设直线l ：x=5与x 轴的交点为E ，过点F 且斜率为k 的直线l 1与椭圆交于A ，B 两点，M 为线段EF 的中点．(I)若直线l 1的倾斜角为4π，|AB|的值； (Ⅱ)设直线AM 交直线l 于点N ，证明：直线BN ⊥l .(21)（本小题满分12分）已知函数f(x)=xlnx+(l-k)x+k ，k ∈R.(I)当k=l 时，求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)当x>1时，求使不等式f(x)>0恒成立的最大整数k 的值．请考生在第(22)、(23)题中任选一题作答，若是多做，则按所做的第一题计分．(22)（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α(α≠2π）的直线l 的参数方程为1cos ,sin ,x t y t αα=+⎧⎨=⎩ （t 为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，成立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρcosx θ - 4sin θ=0．(I)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)已知点P(1，0)．若点M 的极坐标为（1，2π），直线l 通过点M 且与曲线C 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为Q ，求|PQ|的值．(23)（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲已知函数f(x ）=x +1+ |3 -x|，x ≥-1．(I)求不等式f(x ）≤6的解集；(Ⅱ)若f(x ）的最小值为n ，正数a ，b 知足2nab =a+2b ，求2a+b 的最小值.。
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蓉城名校联盟2018级高三第一次联考 文科数学参考答案及评分标准一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
1～5 CBCAD 6～10 DBDAC 11～12 DA解析1.答案C,由5301582><⇒>+-x x x x 或,则[]3,5RB =,则[]()3,4R A B =2.答案B,解析:由()()()()22121211111i i z i i i i i++====+--+-,则2z = 3.答案C,:p ⌝0000,sin tan 2x x x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，4.答案A,由8640x y ==，,则80020=⇒+-=a a x y ,则当11=x 时,580=∧y 5.答案D,由873=+a a ,则()()36292973919=+=+=a a a a S6.答案D,由212tan -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πα,则2tan =α,由5tan 11tan 2sin cos cos sin 2-=-+=-+αααααα7.答案B,由图像可知4π==正方形圆S S P8.答案D,由()x f 是R 上的减函数,则()31011083314m m m m m m-<⎧⎪⎡⎫-<⇒∈⎨⎪⎢⎣⎭⎪-+-⎩，,由⎪⎭⎫ ⎝⎛⊂⎪⎭⎫⎢⎣⎡≠3103181，，,则是必要不充分条件 9.答案A,由lg lg 0a b +=且a b <,则1ab =011a b <<>，,由()()1log log 210log log (21)0log log 210a b a a a ax x x x x x +->⇒+->⇒-->,则()log log 21a a x x >-,由()1,0∈a ,则()+∞∈⇒⎪⎩⎪⎨⎧>->-<,1012012x x x x x10.答案C,由B A 2sin 2sin =且AC BC ≠,则2222πππ=⇒=+⇒=+C B A B A ,则BC AC ⊥,由()28222222=⇒=++==R PA BC AC R l ,则ππ328343==R V 球 11.答案D,由()1sin 0f x x '=-,则()x f y =在R x ∈上单调递增,由10.320.32log 0.2-->>,则a b c <<12.答案A,由()()11f x f x +=-,则()y f x =关于直线1x =对称,由题()y f x =与()y g x =的图像只有两个交点,设()ln ,0,1y x x =∈图像上的切点()00,ln x x ,1y x'=,则01k x =切,()0001:ln l y x x x x -=-切,把()0,2-代入可得01x e =,则01k e x ==切,如图所示: 结合图像可知,要有两个交点,则0m或m e =.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.2425 14.1 15.7 16.①③④13.答案2425,由已知可得43sin cos 55αα==，,则2524cos sin 22sin ==ααα 14.答案1,由()b a a +⊥,则()22200cos03a ab a a b a a b π⋅+=⇒+⋅=⇒+=,则1)(00===舍15.答案7,令1m =,则1111=-⇒+=++n n n n a a a a a ,则{}n a 是等差数列,n a n =,由212nn a a λ+对*∈N n 恒成立,则21212nn n n λλ+⇒+*∈Nn 恒成立,令nn y 12+=,由()4,312∈,当3=n 时,7=y ,当4=n 时,7=y ,则min 77y λ=⇒,则7max =λ16.答案①③④,由()()()2222f f x f x =+-=，,则()()00f y f x ==，关于()1,1点对称,则()11f =,故①正确；由当()()3,2212x f x x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，恒成立,令32x =,则312f ⎛⎫⎪⎝⎭,由()f x 为区间[]0,2上的“非减函数”,则()3112f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则3311122f f ⎛⎫⎛⎫⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故②错误；由()33,2122x f x f ⎡⎤⎛⎫∀∈= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，,故③正确；由()()()331,1122x f f x f f x ⎡⎤⎛⎫∀∈⇒= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，,同理可得()13,122x f x ⎡⎤∀∈=⎢⎥⎣⎦，,由12721414f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,9132513,,16221822⎡⎤⎡⎤∈∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，,则92511618f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则192527414161814f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故④正确.三、解答题:共70分。
17.(12分)(1)2()cos sin f x x x x =+1cos 2π12sin 22262xx x -=+=-+⎛⎫ ⎪⎝⎭,……3分 故()f x 的最小正周期为2ππ2T ==……4分 当ππ22π()62x k k Z -=+∈时,()f x 的最大值为32.……6分(2)由3()2f B =,得ππ22π()62B k k Z -=+∈ ππ()3B k k Z =+∈……7分 因为0πB <<,故π3B =……8分因为4b =,ABC △的周长为12,所以8a c +=.由余弦定理得:2216a c ac +-=,即()2316a c ac +-=,所以16ac =. ……10分故11sin 16222ABC S ac B =⋅=⨯⨯=△ ……12分18.(12分)(1)由题意,51510550m n +++++=且(515):(105)3:2m n ++++= 解得:10m =,5n =……3分(2)由以上统计数据填写下面22⨯列联表,如下；根据公式计算250(1027103)9.98 6.63537133020K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯,所以有99%的把握认为年龄45岁为分界点对发行成都消费券的态度有差异； ……7分（3）设年龄在[55,65)中不赞同“发行成都消费券”的人为A B C 、、,赞同“发行成都消费券”的人为a b 、,则从5人中随机选取2人 有AB ,AC ,Aa ,Ab ,BC ,Ba ,Bb ,Ca ,Cb ,ab ,10个结果；其中2人中至少有1人不赞同“发行成都消费券”的有AB ,AC ,Aa ,Ab ,BC ,Ba ,Bb ,Ca ,Cb ,9个结果,所以2人中至少有1人不赞同“发行成都消费券”的概率为910P =. ……12分(注:使用排列组合方法计算出正确结论的给满分)19.(12分)(1)由图知,AC AD ⊥,AB AD ⊥,∵平面ACD ⊥平面ABD ,平面ACD 平面ABD AD =,AB 平面ABD , ∴AB ⊥平面ACD ,又CD ⊂平面ACD , ∴AB CD ⊥；……5分(2)因为AB ,AC ,AD 两两垂直,且相交于A 点故AD ⊥平面ABC ,有AD 在平面ABD 内 故平面ABD ⊥平面ABCAE 在平面ABD 内,故AE 在平面ABC 内的射影就是AB 于是∠BAE 为AE 与平面ABC 所成的角, 1tan 2BAE ∠=……7分而由已知,AB ＝2AD ,且角A 为直角,故1tan 2ABE ∠= 于是tan tan 2ADE DAE ∠=∠=所以BE ＝AE ＝DE ,即E 是BD 中点……9分于是1111122232A CDE A BCD D ABC V V V AD AB AC ---===⨯⋅⋅＝11121126⨯⨯⨯= ……12分20.(12分)(1)在椭圆2222:1x y C a b+=中,∵11|A B ∴2220a b +=,又2c e a ==且222a b c =+ 解得4a =,2b =∴椭圆C 方程为:221164x y +=,……4分(2)设M (x 0,y 0),由题意可知22001164x y +=,且M 点在第一象限,于是2200164x y -=- ……①00120044y y k k x x ==+-， 故2122016y k k x =- 将①代入可得1214k k =- ……8分直线MP (即OP )的方程为y ＝k 3x ,则圆心(2,3)距直线MP 的距离不大于11,即2233(23)1k k -+解得312124366k -+ ……11分 故123k k k的取值范围是[.……12分21.(12分)(1)当1a =-时,2()2ln (0)f x x x x =->则222(1)()2x f x x x x-'=-=……2分当(0,1)x ∈时,()0f x '<,()f x 为减函数 当(1,)x ∈+∞时,()0f x '>,()f x 为增函数故()f x 的单调递增区间为(1,)+∞,单调递减区间为(0,1) ……4分(2)在[]1,e 上存在一点x,使得不等式22(1)()2a f x x x x+>++成立,等价于1ln 0ax a x x x+-+<00001ln 0a t a t t t +-+<在x ∈[]1,e 上有解,即函数()1ln ah x x a x x x=+-+在[]1,e 上的最小值小于零, ()()()2221111x x a a a h x x x x x+--'=---=, ……6分①当1a e +时,即1ae -时,()h x 在[]1,e 上单调递减,所以()h x 的最小值为()h e , 由()10ah e e a e+=+-<, 可得2211,111e e a e e e ++>>---,故211e a >e +-；……8分②当11a +时,即0a时,()h x 在[]1,e 上单调递增,所以()h x 的最小值为()1h , 由()1110h a =++<,可得2a <-；……9分③当11a e <+<,即01a e <<-时, 可得()h x 的最小值为()1h a +,(,)()0ln 11,0ln 1a a a a <+<∴<+<,()()()111ln 12ln 1211a h a a a a a a a a a +=++-++=+-+>++, 所以()10h a +<不成立,……11分 综上:实数a 的取值范围是21(,2)(,)1e e +-∞-+∞+.……12分（二）选考题:共10分。