线性代数概念的几何意义共32页
线性代数核心概念与实际应用
线性代数核心概念与实际应用线性代数是数学中的一个重要分支，它研究向量空间、线性变换和线性方程组等相关概念和理论。
在现代科学和工程技术领域中，线性代数被广泛应用于向量分析、最优化问题、图像处理、机器学习等众多领域。
本文将介绍线性代数的核心概念，并探讨它们在实际应用中的作用和意义。
1. 向量和矩阵在线性代数中，向量是一个有方向和大小的量，在几何上可以用有向线段来表示。
矩阵则是一种二维数组，由一系列按照规则排列的数构成。
向量和矩阵是线性代数的基础，它们可以表示现实世界中的各种物理量和数据。
例如，在机器学习中，将各种数据转化为向量或矩阵的形式，便于进行统计和计算。
2. 线性变换线性变换是指将一个向量空间中的向量映射到另一个向量空间中的变换。
线性变换具有保持加法和数乘运算的性质，即对于向量空间V中的任意向量u和v，以及常数c，满足以下条件：（1）T(u+v) = T(u) + T(v)（2）T(cu) = cT(u)线性变换的矩阵表示是线性代数中的重要概念之一，通过矩阵表示，可以将线性变换转化为矩阵乘法运算，简化了计算过程。
在实际应用中，线性变换可以用于图像处理、信号处理等领域，比如对图像进行旋转、缩放、平移等操作。
3. 特征值和特征向量在线性代数中，一个n维矩阵A的特征向量是指非零向量x，使得Ax与x之间的关系满足Ax=λx，其中λ为该特征向量对应的特征值。
特征值和特征向量是矩阵的重要性质，它们可以描述矩阵变换的特点和性质。
在实际应用中，特征值和特征向量可以用于降维、图像处理、信号处理等领域，例如通过计算图像的主成分特征值和特征向量，可以实现图像的压缩和恢复。
4. 线性方程组线性方程组是指由一系列线性方程组成的方程集合，其中每个方程都可以表示为变量的线性组合。
解线性方程组是线性代数中的一个重要问题，通过矩阵运算的方法可以求解。
在实际应用中，线性方程组可以用于建立模型，解决实际问题。
例如，在工程中，通过建立线性方程组可以求解电路中的电流分布、热传导等问题。
线性代数导论
线性代数导论线性代数是数学中的一个重要分支，研究向量空间及其线性变换的理论基础。
它在许多领域中都有广泛的应用，如工程、物理、计算机科学等。
本文将介绍线性代数的基本概念和重要性，并探讨其在现实世界中的应用。
一、向量与线性方程组向量是线性代数的核心概念之一。
它是具有大小和方向的量，并可以用一个n维实数列来表示。
向量可以进行加法和数乘运算，从而形成一个向量空间。
线性方程组则是由多个线性方程组成的方程组，其中未知量的系数为常数。
解线性方程组的过程就是求解未知量的取值，从而使得方程组成立。
二、矩阵与行列式矩阵是线性代数中另一个重要的概念。
它是一个按照规则排列的数表，可以用来表示线性方程组的系数矩阵。
矩阵的运算包括加法、数乘和乘法，而行列式则是一个矩阵的一个标量值，它具有一些特殊的性质，如行列式的值为零表示矩阵不可逆等。
三、特征值与特征向量特征值与特征向量是矩阵的另一个重要概念。
特征值是一个标量，而特征向量是与之对应的非零向量。
特征值和特征向量可以帮助我们理解矩阵的性质，如矩阵的对角化和对称性等。
四、线性变换与矩阵表示线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，它保持向量空间的线性性质。
线性变换可以用一个矩阵来表示，这个矩阵称为线性变换的矩阵表示。
矩阵表示可以使得线性变换的运算更加方便，从而简化了许多计算过程。
五、应用领域线性代数在各个领域中都有广泛的应用。
在工程领域中，它可以用来解决电路分析、结构力学等问题。
在物理领域中，它可以用来分析物体的运动和力学性质。
在计算机科学领域中，它是计算机图形学和人工智能等领域的基础。
除此之外，线性代数还被应用在经济学、生物学和社会科学等领域。
六、总结线性代数是一门基础而重要的数学学科，它为我们解决现实世界中的许多问题提供了强大的工具。
通过理解线性代数的基本概念和方法，我们可以更好地理解和应用数学知识，推动科学技术的发展。
因此，掌握线性代数的基本知识对于每一个学习者来说都是至关重要的。
线性方程组解的几何意义
线性方程组解的几何意义解的几何意义是指线性方程组的解在几何空间中的表示和意义。
线性方程组是由一系列线性方程组成的方程组，而线性方程又可以看作是一条直线的方程。
因此，线性方程组的解可以理解为几何空间中的点、线或超平面。
一元一次方程的解的几何意义非常直观，即为直线上的一个点。
当方程为二元一次方程时，解的几何意义为平面上的一个点。
当方程为三元一次方程时，解的几何意义为三维空间中的一个点。
在一般情况下，线性方程组的解可以表示为几何空间中的一个线性子空间。
对于二维的线性方程组，解可以表示为平面上的一条直线；对于三维的线性方程组，解可以表示为三维空间中的一个平面；对于n维的线性方程组，解可以表示为n维空间中的一个超平面。
具体来说，当线性方程组的系数矩阵可逆时，也即不存在自由变量，解的几何意义为一个点或一个超平面。
如果方程组存在唯一解，则解的几何意义为一个点，表示几何空间中的一个特定位置。
如果方程组有无穷多个解，则解的几何意义为一个超平面，表示几何空间中的一个子空间。
当系数矩阵不可逆时，也即存在自由变量时，解的几何意义为一个超平面，表示几何空间中的一个子空间。
这是因为系数矩阵的秩小于变量的个数，导致方程组的维数被限制在一个低维的空间中。
除了几何空间中的表示外，线性方程组的解还有一些重要的几何意义。
首先，解空间的维数等于方程组的自由变量的个数，可以通过解空间的维数判断方程组的解的情况。
其次，解空间可以表示为系数矩阵的零空间，也即Ax=0的解集，其中A是线性方程组的系数矩阵。
零空间可以有助于理解方程组的解在几何空间中的分布和性质。
总而言之，线性方程组解的几何意义是几何空间中的点、线或超平面的表示，反映了方程组的解在几何空间中的分布和性质。
通过几何意义，我们可以更直观地理解和分析线性方程组的解及其相关性质，为解决实际问题提供帮助。
线性代数概念
第一讲 基本概念1．线性方程组的基本概念 线性方程组的一般形式为：其中未知数的个数n 和方程式的个数m 不必相等.线性方程组的解是一个n 维向量()n k k k ,,21 〔称为解向量〕,它满足：当每个方程中的未知数i x 都用i k 替代时都成为等式.线性方程组的解的情况有三种：无解,唯一解,无穷多解. 对线性方程组讨论的主要问题有两个：〔1〕判断解的情况.〔2〕求解,特别是在有无穷多解时求通解.021====m b b b 的线性方程组称为齐次线性方程组.n 维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种：唯一解〔即只要零解〕和无穷多解〔即有非零解〕.把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0,所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组,简称导出组. 2．矩阵和向量 〔1〕基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.由n m ⨯个数排列成的一个m 行n 列的表格,两边界以圆括号或方括号,就成为一个n m ⨯型矩阵.例如是一个54⨯矩阵,对于上面的线性方程组,称矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A212222111211 和()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=m mn m m n n b b b a a a a a a a a a A 21212222111211|β 为其系数矩阵和增广矩阵.增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息.一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i 行第j 列的数称为()j i ,位元素.元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0.两个矩阵A 和B 相等〔记作B A =〕,是指它的行数相等,列数也相等〔即它们的类型相同〕,并且对应的元素都相等.由n 个数构成的有序数组称为一个n 维向量,称这些数为它的分量.书写中可用矩阵的形式来表示向量,例如分量依次是n a a a ,,,21 的向量可表示成()n a a a ,,,21 或⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 21,请注意,作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样〔左边是n ⨯1矩阵,右边是1⨯n 矩阵〕.习惯上把它们分别称为行向量和列向量.〔请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别.〕一个n m ⨯的矩阵的每一行是一个n 维向量,称为它的行向量；每一列是一个m 维向量,称为它的列向量.常常用矩阵的列向量组来写出矩阵,例如当矩阵A 的列向量组为n ααα,,,21 时〔它们都是表示为列的形式！〕可记()n A ααα,,,21 =.矩阵的许多概念也可对向量来规定,如元素全为0的向量称为零向量,通常也记作0.两个向量α和β相等〔记作βα=〕,是指它的维数相等,并且对应的分量都相等. 〔2〕线性运算和转置线性运算是矩阵和向量所共有的,下面以矩阵为例来说明.加〔减〕法：两个n m ⨯的矩阵A 和B 可以相加〔减〕,得到的和〔差〕仍是n m ⨯矩阵,记作()B A B A -+,法则为对应元素相加〔减〕.数乘：一个n m ⨯的矩阵A 与一个数c 可以相乘,乘积仍为n m ⨯的矩阵,记作cA ,法则为A 的每个元素乘c .这两种运算统称为线性运算,它们满足以下规律：① 加法交换律：A B B A +=+. ② 加法结合律：()()C B A C B A ++=++. ③ 加乘分配律：()cB cA B A c +=+.()dA cA A d c +=+. ④ 数乘结合律：()()A cd A d c =. ⑤00=⇔=c cA 或0=A .转置：把一个n m ⨯的矩阵A 行和列互换,得到的m n ⨯的矩阵称为A 的转置,记作TA 〔或A '〕. 有以下规律：①()A A TT=. ②()T T TB A B A +=+. ③()T TcA cA =.转置是矩阵所特有的运算,如把转置的符号用在向量上,就意味着把这个向量看作矩阵了.当α是列向量时,Tα表示行向量,当α是行向量时,Tα表示列向量.向量组的线性组合：设s ααα,,,21 是一组n 维向量,s c c c ,,,21 是一组数,则称s s c c c ααα+++ 2211为s ααα,,,21 的〔以s c c c ,,,21 为系数的〕线性组合.n 维向量组的线性组合也是n 维向量. 〔3〕n 阶矩阵与几个特殊矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵,行列数都为n 的矩阵也常常叫做n 阶矩阵.把n 阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它对角线.〔其上的元素行号与列号相等.〕 下面列出几类常用的n 阶矩阵,它们都是考试大纲中要求掌握的. 对角矩阵：对角线外的元素都为0的n 阶矩阵.单位矩阵：对角线上的元素都为1的对角矩阵,记作E 〔或I 〕.数量矩阵：对角线上的元素都等于一个常数c 的对角矩阵,它就是cE . 上三角矩阵：对角线下的元素都为0的n 阶矩阵. 下三角矩阵：对角线上的元素都为0的n 阶矩阵.对称矩阵：满足A A T =矩阵.也就是对任何()j i j i ,,,位的元素和()i j ,位的元素总是相等的n 阶矩阵.〔反对称矩阵：满足A A T -=矩阵.也就是对任何()j i j i ,,,位的元素和()i j ,位的元素之和总等于0的n 阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.〕 3．矩阵的初等变换和阶梯形矩阵 矩阵有以下三种初等行变换： ①交换两行的位置.②用一个非0的常数乘某一行的各元素.③把某一行的倍数加到另一行上.<称这类变换为倍加变换>类似地,矩阵还有三种初等列变换,大家可以模仿着写出它们,这里省略了.初等行变换与初等列变换统称初等变换.阶梯形矩阵：一个矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足： ①如果它有零行,则都出现在下面.②如果它有非零行,则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调递增. 把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角. 简单阶梯形矩阵：是特殊的阶梯形矩阵,特点为： ③台角位置的元素为1.④并且其正上方的元素都为0.每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵.这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算,必须十分熟练.请注意：1．一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的,但是其非零行数和台角位置是确定的.2．一个矩阵用初等行变换化得的简单阶梯形矩阵是唯一的. 4．线性方程组的矩阵消元法线性方程组的基本方法即中学课程中的消元法：用同解变换把方程组化为阶梯形方程组〔即增广矩阵为阶梯形矩阵的方程组〕. 线性方程组的同解变换有三种： ①交换两个方程的上下位置. ②用一个非0的常数乘某个方程.③把某个方程的倍数加到另一个方程上.以上变换反映在增广矩阵上就是三种初等行变换.线性方程组求解的基本方法是消元法,用增广矩阵或系数矩阵来进行,称为矩阵消元法. 对非齐次线性方程组步骤如下：〔1〕写出方程组的增广矩阵()β|A ,用初等行变换把它化为阶梯形矩阵()γ|B . 〔2〕用()γ|B 判别解的情况：如果最下面的非零行为()d |0,,0,0 ,则无解,否则有解.有解时看非零行数r 〔r 不会大于未知数个数n 〕,n r =时唯一解；n r <时无穷多解. 〔推论：当方程的个数n m <时,不可能唯一解.〕 〔3〕有唯一解时求解的初等变换法：去掉()γ|B 的零行,得到一个()1+⨯n n 矩阵()00|γB ,并用初等行变换把它化为简单阶梯形矩阵()η|E ,则η就是解.对齐次线性方程组：〔1〕写出方程组的系数矩阵A ,用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B .〔2〕用B 判别解的情况：非零行数n r =时只有零解：n r <时有非零解〔求解方法在第五章讲〕.〔推论：当方程的个数n m <时,有非零解.〕 讨论题1．设A 是n 阶矩阵,则〔A 〕A 是上三角矩阵⇒A 是阶梯形矩阵. 〔B 〕A 是上三角矩阵⇐A 是阶梯形矩阵. 〔C 〕A 是上三角矩阵⇔A 是阶梯形矩阵.〔D 〕A 是上三角矩阵与A 是阶梯形矩阵没有直接的因果关系. 2．下列命题中哪几个成立？〔1〕如果A 是阶梯形矩阵,则A 去掉任何一行还是阶梯形矩阵. 〔2〕如果A 是阶梯形矩阵,则A 去掉任何一列还是阶梯形矩阵. 〔3〕如果()B A |是阶梯形矩阵,则A 也是阶梯形矩阵. 〔4〕如果()B A |是阶梯形矩阵,则B 也是阶梯形矩阵. 〔5〕如果⎪⎪⎭⎫⎝⎛B A 是阶梯形矩阵,则A 和B 都是阶梯形矩阵.第二讲 行列式一．概念复习 1．形式和意义形式：用2n 个数排列成的一个n 行n 列的表格,两边界以竖线,就成为一个n 阶行列式： 如果行列式的列向量组为n ααα,,,21 ,则此行列式可表示为n ααα,,,21 .意义：是一个算式,把这2n 个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值.请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别.当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号！〔不必形式一样,甚至阶数可不同.〕 每个n 阶矩阵A 对应一个n 阶行列式,记作A .行列式这一讲的核心问题是值的计算,以与判断一个行列式的值是否为0.2．定义〔完全展开式〕2阶和3阶行列式的计算公式： 2112221122211211a a a a a a a a -=.一般地,一个n 阶行列式的值是许多项的代数和,每一项都是取自不同行,不同列的n 个元素的乘积,其一般形式为：nnj j j ααα 2121,这里把相乘的n 个元素按照行标的大小顺序排列,它们的列标n j j j 21构成n ,,2,1 的一个全排列〔称为一个n 元排列〕,共有!n 个n 元排列,每个n 元排列对应一项,因此共有!n 个项. 所谓代数和是在求总和时每项先要乘1+或1-.规定()n j j j 21τ为全排列n j j j 21的逆序数〔意义见下面〕,则项n nj j j a 2121αα所乘的是()()n j j j 211τ-.全排列的逆序数即小数排列在大数右面的现象出现的个数.逆序数可如下计算：标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.例如求436512的逆序数：()10002323436512,215634002323=+++++=τ.至此我们可以写出n 阶行列式的值：()()∑-=nnn j j j nj j j j j j nnn n nna a a a a a a a a a a 212121212122221112111ατ.这里∑nj j j 21表示对所有n 元排列求和,称此式为n 阶行列式的完全展开式.用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不为0时,才可能用它作行列式的计算.例如对角行列式,上〔下〕三角行列式的值就等于主对角线上的元素的乘积,因为其它项都为0. 3．化零降阶法把n 阶行列式的第i 行和第j 列划去后所得到的1-n 阶行列式称为()j i ,位元素ij a 的余子式,记作ij M .称()ij ji ij M A +-=1为元素ij a 的代数余子式.定理〔对某一行或列的展开〕行列式的值等于该行〔列〕的各元素与其代数余子式乘积之和.命题第三类初等变换〔倍加变换〕不改变行列式的值.化零降阶法 用命题把行列式的某一行或列化到只有一个元素不为0,再用定理,于是化为计算一个低1阶的行列式.化零降阶法是实际计算行列式的主要方法,因此应该熟练掌握. 4．其它性质行列式还有以下性质：① 把行列式转置值不变,即A A T =.② 某一行〔列〕的公因子可提出.于是,A c cA n =. ③ 对一行或一列可分解,即如果某个行〔列〕向量γβα+=,则原行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别是把原行列式的该行〔列〕向量α换为β或γ所得到的行列式.例如γβαγβαγββα,,,,,,2121+=+.④ 把两个行〔列〕向量交换,行列式的值变号.⑤ 如果一个行〔列〕向量是另一个行〔列〕向量的倍数,则行列式的值为0. ⑥某一行〔列〕的各元素与另一行〔列〕的对应元素的代数余子式乘积之和0=. ⑦如果A 与B 都是方阵〔不必同阶〕,则B A A A B*0 B0* ==.X 德蒙行列式：形如 in ni n i n i n n na a a a a a a a a a a a ----32122322213211111 的行列式〔或其转置〕.它由n a a a a ,,,,321 所决定,它的值等于()∏-ji i jαα.因此X 德蒙行列式不等于n a a a a ,,,,0321 ⇔两两不同.对于元素有规律的行列式〔包括n 阶行列式〕,常常可利用性质简化计算,例如直接化为三角行列式等. 5．克莱姆法则克莱姆法则 应用在线性方程组的方程个数等于未知数个数n 〔即系数矩阵为n 阶矩阵〕的情形.此时,如果它的系数矩阵的行列式的值不等于0,则方程组有唯一解,这个解为()D D D D D D n / , ,/ ,/21 ,这里D 是系数行列式的值,i D 是把系数行列式的第i 个列向量换成常数列向量所得到的行列式的值.说明与改进：按法则给的公式求解计算量太大,没有实用价值.因此法则的主要意义在理论上,用在对解的唯一性的判断,而在这方面法则不够.法则的改进：系数行列式不等于0是唯一解的充分必要条件.实际上求解可用初等变换法：对增广矩阵()β|A 作初等行变换,使得A 变为单位矩阵：()()ηβ||E A →,η就是解.用在齐次方程组上：如果齐次方程组的系数矩阵A 是方阵,则它只有零解的充分必要条件是0≠A .第三讲 矩阵一．概念复习1．矩阵乘法的定义和性质定义2．1 当矩阵A 的列数和B 的行数相等时,和A 和B 可以相乘,乘积记作AB .AB 的行数和A 相等,列数和B 相等.AB 的()j i ,位元素等于A 的第i 个行向量和B 的第j 个列向量〔维数相同〕对应分量乘积之和. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ns n n s s b b b b b b b b b B 212222111211,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==ms m m s s c c c c c c c c c AB C 212222111211,则nj in j i j i ij b a b a b a c +++= 2211.矩阵的乘法在规则上与数的乘法有不同：① 矩阵乘法有条件. ② 矩阵乘法无交换律.③ 矩阵乘法无消去律,即一般地由0=AB 推不出0=A 或0=B .由AC AB =和0≠A 推不出C B =.〔无左消去律〕 由CA BA =和0≠A 推不出C B =.〔无右消去律〕请注意不要犯一种常见的错误：把数的乘法的性质简单地搬用到矩阵乘法中来. 矩阵乘法适合以下法则：① 加乘分配律 ()AC AB C B A +=+,()BC AC C B A +=+. ② 数乘性质()()AB c B cA =.③ 结合律 ()()BC A C AB =.④()TT TA B AB =.2．n 阶矩阵的方幂和多项式任何两个n 阶矩阵A 和B 都可以相乘,乘积AB 仍是n 阶矩阵.并且有行列式性质：B A AB =.如果BA AB =,则说A 和B 可交换.方幂 设k 是正整数,n 阶矩阵A 的k 次方幂kA 即k 个A 的连乘积.规定E A =0.显然A 的任何两个方幂都是可交换的,并且方幂运算符合指数法则：①h k h k A A A +=.②()kh hkA A =. 但是一般地()kAB 和k k B A 不一定相等！n 阶矩阵的多项式设()0111a x a xa x a x f m m m m ++++=-- ,对n 阶矩阵A 规定 ()E a A a A a A a A f m m m m 0111++++=-- .称为A 的一个多项式.请特别注意在常数项上加单位矩阵E .乘法公式 一般地,由于交换性的障碍,小代数中的数的因式分解和乘法公式对于n 阶矩阵的不再成立.但是如果公式中所出现的n 阶矩阵互相都是乘法交换的,则乘法公式成立.例如当A 和B 可交换时,有：()2222B AB A B A +±=±；()()()()B A B A B A B A B A -+=-+=-22.二项展开式成立：()∑=-=+mi i i m i mmB A CB A 1等等.前面两式成立还是A 和B 可交换的充分必要条件.同一个n 阶矩阵的两个多项式总是可交换的.一个n 阶矩阵的多项式可以因式分解. 3．分块法则矩阵乘法的分块法则是简化矩阵乘法的一种方法.对两个可以相乘的矩阵A 和B ,可以先用纵横线把它们切割成小矩阵〔一切A 的纵向切割和B 的横向切割一致！〕,再用它们来作乘法.〔1〕两种常见的矩阵乘法的分块法则〔2〕⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛222212212122112122121211211211112221121122211211B A B A B A B A B A B A B A B A B B B B A AA A要求ij A 的列数jk B 和的行数相等. 准对角矩阵的乘法：形如的矩阵称为准对角矩阵,其中k A A A ,,,21 都是方阵. 两个准对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=k A A A A00000021, ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=k B B B B00000021如果类型相同,即i A 和i B 阶数相等,则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=k k B A B A B A AB000002211. 〔2〕乘积矩阵的列向量组和行向量组设A 是n m ⨯矩阵B 是s n ⨯矩阵.A 的列向量组为n ααα,,,21 ,B 的列向量组为s βββ,,,21 ,AB 的列向量组为s γγγ,,,21 ,则根据矩阵乘法的定义容易看出〔也是分块法则的特殊情形〕：①AB 的每个列向量为：i i A βγ=,s i ,,2,1 =. 即()()s s A A A A ββββββ,,,,,,2121 =. ②()Tn b b b ,,,21 =β,则n n b b b A αααβ+++= 2211.应用这两个性质可以得到：如果()Tni i i i b b b ,,,21 =β,则n ni i i i b b b A αααβγ+++== 22111.类似地,乘积矩阵AB 的第i 个行向量是B 的行向量组的线性组合,组合系数就是A 的第i 个行向量的各分量.以上规律在一般教材都没有强调,但只要对矩阵乘法稍加分析就不难得出.它们无论在理论上和计算中都是很有用的. 〔1〕当两个矩阵中,有一个的数字很简单时,直接利用以上规律写出乘积矩阵的各个列向量或行向量,从而提高了计算的速度.〔2〕利用以上规律容易得到下面几个简单推论：用对角矩阵Λ从左侧乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各行向量；用对角矩阵Λ从右侧乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各列向量.数量矩阵kE 乘一个矩阵相当于用k 乘此矩阵；单位矩阵乘一个矩阵仍等于该矩阵. 两个同阶对角矩阵的相乘只用把对角线上的对应元素相乘. 求对角矩阵的方幂只需把对角线上的每个元素作同次方幂.〔3〕矩阵分解：当一个矩阵C 的每个列向量都是另一个A 的列向量组的线性组合时,可以构造一个矩阵B ,使得AB C =.例如设()γβα,,=A ,()γαγβαγβα2,3,2++--+=C ,令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=211012131B ,则AB C =.〔4〕初等矩阵与其在乘法中的作用对单位矩阵E 作一次初等〔行或列〕交换,所得到的矩阵称为初等矩阵. 有三类初等矩阵： ()j i E ,：交换E 的i ,j 两行〔或列〕所得到的矩阵.()()c i E ：用非0数c 乘E 的第i 行〔或列〕所得到的矩阵,也就是把E 的对角线上的第i 个元素改为c .()()c j i E ,()j i ≠：把E 的第j 行的c 倍加到第i 行上〔或把第i 列的c 倍加到第j 列上〕所得到的矩阵,也就是把E 的()j i ,位的元素改为c .命题 对矩阵作一次初等行〔列〕变换相当于用一个相应的初等矩阵从左〔右〕乘它. 4．矩阵方程和可逆矩阵〔伴随矩阵〕 〔1〕矩阵方程矩阵不能规定除法,乘法的逆运算是解下面两种基本形式的矩阵方程： 〔I 〕B AX =. 〔II 〕B XA =.这里假定A 是行列式不为0的n 阶矩阵,在此条件下,这两个方程的解都是存在并且唯一的.〔否则解的情况比较复杂.〕当B 只有一列时,〔I 〕就是一个线性方程组.由克莱姆法则知它有唯一解.如果B 有s 列,设()s B βββ,,,21 =,则X 也应该有s 列,记()s X X X X ,,,21 =,则有i i AX β=,s i ,,2,1 =,这是s 个线性方程组.由克莱姆法则,它们都有唯一解,从而BAX =有唯一解.这些方程组系数矩阵都是A ,可同时求解,即得 〔I 〕的解法：将A 和B 并列作矩阵)B A ,对它作初等行变换,使得A 变为单位矩阵,此时B 变为解X .〔II 〕的解法：对两边转置化为〔I 〕的形式：B X A =.再用解〔I 〕的方法求出T X ,转置得X .矩阵方程是历年考题中常见的题型,但是考试真题往往并不直接写成〔I 〕或〔II 〕的形式,要用恒等变形简化为以上基本形式再求解. 〔2〕可逆矩阵的定义与意义定义设A 是n 阶矩阵,如果存在n 阶矩阵B ,使得E AB =,E BA =,则称A 为可逆矩阵.此时B 是唯一的,称为A 的逆矩阵,通常记作1-A . 如果A 可逆,则A 在乘法中有消去律：00=⇒=B AB ；C B AC AB =⇒=.〔左消去律〕；00=⇒=B BA ；C B CA BA =⇒=.〔右消去律〕如果A 可逆,则A 在乘法中可移动〔化为逆矩阵移到等号另一边〕：C A B C AB 1-=⇔=.1-=⇔=CA B C BA .由此得到基本矩阵方程的逆矩阵解法：〔I 〕B AX =的解B A X 1-=. 〔II 〕B XA =的解1-=BA X .这种解法想法自然,好记忆,但是计算量比初等变换法大〔多了一次矩阵乘积运算〕.〔3〕矩阵可逆性的判别与性质定理 n 阶矩阵A 可逆0≠⇔A .证明 "⇒〞对E AA =-1两边取行列式,得11=-A A ,从而0≠A .〔并且11--=A A .〕"⇐〞因为0≠A ,矩阵方程E AX =和E XA =都有唯一解.设B ,C 分别是它们的解,即E AB =,E CA =.事实上()C CE CAB EB B C B =====,于是从定义得到A 可逆. 推论如果A 和B 都是n 阶矩阵,则E BA E AB =⇔=.于是只要E AB =〔或E BA =〕一式成立,则A 和B 都可逆并且互为逆矩阵. 可逆矩阵有以下性质：①如果A 可逆,则1-A 也可逆,并且()A A =--11.T A 也可逆,并且()()T T A A 11--=.0≠c 时,cA 也可逆,并且()111---=A c cA .对任何正整数k ,k A 也可逆,并且()()k k A A 11--=.〔规定可逆矩阵A 的负整数次方幂()()k k k A A A 11---==.〕②如果A 和B 可逆,则AB 也可逆,并且()111---=A B AB .〔请自己推广到多个可逆矩阵乘积的情形.〕初等矩阵都是可逆矩阵,并且()()j i E j i E ,,1=-,()()()()11--=c i E c i E ,()()()()c j i E c j i E -=-,,1. 〔4〕逆矩阵的计算和伴随矩阵①计算逆矩阵的初等变换法当A 可逆时,1-A 是矩阵方程E AX =的解,于是可用初等行变换求1-A ：这个方法称为求逆矩阵的初等变换法.它比下面介绍的伴随矩阵法简单得多. ②伴随矩阵若A 是n 阶矩阵,记ij A 是A 的()j i ,位元素的代数余子式,规定A 的伴随矩阵为()T ij mn n nn n A A A A A A A A A A A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 212221212111*. 请注意,规定n 阶矩阵A 的伴随矩阵并没有要求A 可逆,但是在A 可逆时,*A 和1-A 有密切关系. 基本公式：E A A A AA ==**.于是对于可逆矩阵A ,有A A A /*1=-,即1*-A A A .因此可通过求*A 来计算1-A .这就是求逆矩阵的伴随矩阵法.和初等变换法比较,伴随矩阵法的计算量要大得多,除非2=n ,一般不用它来求逆矩阵.对于2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a c b d d c b a *, 因此当0≠-bc ad 时,()bc ad a c b d d c b a -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1.伴随矩阵的其它性质：①如果A 是可逆矩阵,则*A 也可逆,并且()()*/*11--==A A A A . ②1*-=n A A .③()()T T A A **=. ④()**1A c cA n -=.⑤()***A B AB =；()()k k A A **=.⑥当2>n 时,()A A A n 2**-=；2=n 时,()A A =**.。
(优选)线性代数概念的几何意义
grid on
% 显示网格
绘制图形如图1所示：
从运行结果可以看出:
方程组（1）的解为
xx21
1 2
；
方程组（2）的通解为： k13 02 ；
方程组（3）和方程组（4）这两个方程组无解。
从图1中可以形象地看出:
方程组（1）的两条直线有一个交点，故有唯一解（适定）； 方程组（2）的两条直线重合，则有无穷组解（欠定）； 方程组（3）的两条直线相平行，永远没有交点，即无解； 方程组（4）的三条直线不共点，则也无解（超定），可求最小二乘解。
5 4
(2)
3xx11
3x2 9x2
2 6
(3)
2xx11
3x2 6x2
5 6
(4)
x1 2 x1
2 x2 x2
3 2
x1 3x2 5
以方程组（1）为例：在MATLAB的M文件编辑器中，输入
syms x1 x2
% 定义x1、x2为符号变量
U1=rref([1,2,5;2,-3,-4])
a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3
v
w u
O
平面上线性变换(y=Ax)的几何意义
例3 已知向量及矩阵
x
2 1
1 0
A1
0
1
1 0 A2 0 1
0.5 0
A3
0
2
cos sin A4 sin cos
3
请分析经过线性变换 yi Ai x i 1,2,3,4 后，向量 yi 与原向量 x 的几何关系 。
a1 b1 a2 b2
一般情况下也可以证明：过原点的两条直线(向量) ，
线性代数的几何意义
向量组中地秩指地是向量组（很多向量构成地集合）在空间中所占地维度，注意，用三维表示地向量组不一定秩是，也可能是（表示共面），（表示共线）资料个人收集整理，勿做商业用途
先讲明白向量空间地定义及几何意义，这虽然是最后一节学地，但却是
学习方法地思想来源.最基础地往往是最重要地.
向量空间：设为维向量地全体所构成地集合叫做维向量空间
设为向量空间，如果个向量，……∈，且满足：
（），……都线性无关
（）中任意向量都可由，……线性表示
那么，……就称为向量空间地一个基，称为向量空间地维数，若把看成向量组，那么地基就是就是向量组地最大无关组，地维数就是向量组地秩.联系高中学过地三维直角坐标系地知识，容易联想到若三个单位向量（），（），（）指地是定义中地向量，它们线性无关，即不能用λμ表示，而在高中知识中λμ表示三个向量共面（两个向量如λ表示，两向量共线）故线性无关在三维中指不公线.资料个人收集整理，勿做商业用途
《线性代数地几何意义——向量组地线性相关性》
学年，帮助学生更深层次地理解线性代数.很多学生都抱怨线性代数枯燥、抽象、难理解，引入几何方法能调动学生积极性.资料个人收集整理，勿做商业用途
.使学生了解线性代数用几何方法理解地思想，并学会将这种能力迁移来进行其他定理地学习
不同向量线性关系地几何意义
两个向量，线性相关指两向量平行（或者说共线），此时只是在线上地关系，仅仅是一维，线性无关指两向量相交，≠λ即能确定一个二维平面.线性无关提供了另一种维度，使得向量所在地空间增加了一维.资料个人收集整理，勿做商业用途
线性代数的起源发展及其意义
线性代数的起源发展及其意义线性代数是处理矩阵和向量空间的数学分支，在现代科学的各个领域都有应用。
由于费马和笛卡尔的工作，线性代数基本上出现于十七世纪。
直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间。
十九世纪上半叶才完成了到n维向量空间的过渡,矩阵论始于凯莱，在十九世纪下半叶，因当时对其充分的研究和探索而使其达到了它的顶点。
1888年，皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维向量空间。
托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体上的最一般的向量空间中。
线性映射的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而引导到固有的推理，即是说不依赖于基的选择。
不用交换体而用未必交换之体或环作为算子之定义域，这就引向模的概念，这一概念很显著地推广了向量空间的理论和重新整理了十九世纪所研究过的情况。
“代数”这一个词在中国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们译成“阿尔热巴拉”，直到1859年，清代著名的数学家、翻译家李善男才将它翻译成为“代数学”，之后一直沿用。
线性代数是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。
主要理论成熟于十九世纪，而第一块基石（二、三元线性方程组的解法）则早在两千年前出现。
．线性代数在数学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分；该学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。
线性（linear）指量与量之间按比例、成直线的关系，在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数，非线性（non-linear）则指不按比例、不成直线的关系，一阶导数不为常数。
线性代数ppt课件同济
05
向量空间及其性质
向量空间的定义与性质
向量空间的定义
向量空间是一个由向量构成的集合， 其中每个向量都可以表示为一组基向 量的线性组合。
向量空间的性质
向量空间具有一些重要的性质，例如 封闭性、加法和数量乘法封闭性、加 法和数量乘法的结合律和分配律等。
向量空间的基底与维数
向量空间的基底
一个向量空间可以由一组不相关的基向量构成，这些 基向量是线性无关的，并且可以生成整个空间。
行列式的计算方法
要点一
总结词
行列式的计算方法包括高斯消元法、拉普拉斯展开式和递 推法等。
要点二
详细描述
高斯消元法是一种常用的计算行列式的方法，它通过初等 行变换将矩阵化为阶梯形矩阵，然后求解出阶梯形矩阵的 行列式即可。拉普拉斯展开式是一种基于二阶子式和代数 余子式的展开式，它可以用来计算高阶行列式。递推法是 一种利用低阶行列式的值递推高阶行列式的方法，它适用 于计算n阶行列式。
线性代数的背景
线性代数起源于17世纪，随着科学技术的不断发展和进步，线性代数的应用领域越来越广泛。它不仅 在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用，还在计算机科学、经济学、生物医学等领域发挥着重要 的作用。
线性代数的应应用，例如求解线性方程组、 计算矩阵的秩和特征值等。
现代发展
随着科学技术的发展，线性代数的应用领域越来越广泛，同时它也得到了不断的发展和完善。现代线性代数已经 形成了一套完整的理论体系，为解决实际问题提供了更加有效的工具。
02
矩阵及其运算
矩阵的定义与性质
矩阵的定义
矩阵是一个由数值组成的矩形阵列，通 常表示为二维表格。矩阵的行数和列数 可以分别为m和n。每个元素用a(i,j)表示 ，其中i表示行号，j表示列号。
线性代数ppt课件
VS
线性代数的特点
线性代数具有抽象性、实用性、广泛性等 特点，是数学中重要的分支之一。
线性代数的历史背景
线性代数的起源
线性代数起源于17世纪，主要目的 是为了解决线性方程组的问题。
线性代数的发展
随着数学的发展，线性代数逐渐成为 一门独立的数学分支，并在20世纪得 到了广泛的应用和发展。
线性代数的应用领域
转置矩阵
一个矩阵A的转置矩阵是满足$A^T_{ij}=A_{ ji}$的矩阵
行列式与高斯消元
03
法
行列式的定义及性质
总结词
行列式是线性代数中重要的工具之一，它具有特殊的性质和计算规则。
详细描述
行列式是由一组方阵中的元素按照一定规则组成的，它是一个方阵是否可逆的判断标准，同时也有一 些重要的性质和计算规则，如交换两行或两列、对角线上的元素相乘等。了解行列式的定义和性质是 学习线性代数的基础。
矩阵的运算规则
加法
两个相同大小的矩阵，对应位置的元素相加
数乘
用一个数乘以矩阵的每一个元素
减法
两个相同大小的矩阵，对应位置的元素相减
乘法
要求两个矩阵满足乘法运算的规则，即第一 个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数
矩阵的逆与转置
逆矩阵
一个矩阵A的逆矩阵是满足$AA^{-1}=I$的矩阵，其中$I$是单位矩阵
高斯消元法的原理
总结词
高斯消元法是一种解线性方程组的直接方法 ，其原理是将方程组转化为阶梯形矩阵。
详细描述
高斯消元法的基本思想是通过一系列的行变 换将线性方程组转化为阶梯形矩阵，这样就 可以直接求解方程组。高斯消元法包括三种 基本的行变换：将两行互换、将一行乘以非 零常数、将一行加上另一行的若干倍。通过 这些行变换，我们可以将矩阵转化为阶梯形 矩阵，从而求解方程组。
线性代数基本概念介绍
线性代数基本概念介绍在数学领域中，线性代数是研究向量空间和线性映射的学科，它是现代数学中最基本、最广泛应用的一部分。
线性代数的概念和技术在许多科学和工程领域中有着广泛的应用，包括物理学、计算机科学、金融和经济学等。
一、基本概念1. 向量向量是线性代数中的基本概念之一。
它是由一系列有序排列的数构成的对象。
向量在数学中常以列向量或行向量的形式表示。
例如，一个二维向量可以表示为向量[1, 2]，其中1和2分别是向量的两个分量。
2. 向量空间向量空间是指由向量构成的集合，其中满足向量的加法和数乘运算的封闭性。
向量空间具有许多重要的性质，比如零向量的存在性、向量的加法交换律和结合律。
3. 线性映射线性映射是指一种将一个向量空间映射到另一个向量空间的函数。
它保持向量空间中的加法运算和数乘运算不变。
线性映射在许多领域中有着重要的应用，比如图像处理和信号处理等。
二、基本运算1. 向量加法向量加法是指将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。
例如，向量[1, 2]和向量[3, 4]的加法结果为向量[4, 6]。
2. 数乘数乘是指将一个向量的每个分量都乘以一个常数得到一个新的向量。
例如，向量[1, 2]乘以常数2的结果为向量[2, 4]。
3. 内积内积是指将两个向量的对应分量相乘再相加得到一个标量。
内积具有交换律和分配律等性质。
例如，向量[1, 2]和向量[3, 4]的内积结果为1 * 3 +2 * 4 = 11。
三、矩阵和行列式1. 矩阵矩阵是由一组数按照若干行和若干列排列而成的矩形阵列。
矩阵常用大写字母表示，例如矩阵A。
矩阵可以进行加法和数乘运算。
2. 行列式行列式是一个用来描述矩阵性质的函数。
它是由矩阵中元素的位置及其数值所确定的一种标量。
行列式具有一些重要的性质和计算方法，例如逆矩阵的存在与求解。
四、特殊矩阵和特征值特征向量1. 单位矩阵单位矩阵是指对角线上元素为1，其它元素为0的矩阵。
单位矩阵在线性代数中非常重要，它在矩阵乘法和矩阵求逆中起着重要的作用。
线性代数及其应用PPT课件
金融数据的线性模型分析
线性回归模型
利用线性代数中的矩阵运算和线性方 程组求解方法，对金融数据进行回归 分析，预测未来趋势。
主成分分析
通过线性代数中的特征值和特征向量 计算，将金融数据降维，提取主要影 响因素，便于分析和决策。
图像处理中的矩阵运算
图像变换
利用矩阵运算对图像进行缩放、旋转 、平移等几何变换，实现图像的精确 控制。
征值和Байду номын сангаас征向量。
特征值计算 的算法
特征值计算是矩阵分析中的重要内容，可以用于解决 许多实际问题，如振动分析、控制论、经济学等。
数据降维与可视化
数据降维的必要性
数据降维的方法
可视化的意义
可视化的工具和技术
在处理高维数据时，数据的维 度可能非常高，导致数据难以 分析和处理。数据降维可以将 高维数据降为低维数据，便于 分析和可视化。
矩阵分解与特征值计算
矩阵分解是将一个复杂的矩阵分解为几个简单的、易 于处理的矩阵，以便进行计算和分析。
输入 矩阵标分题解的
方法
常见的矩阵分解方法包括LU分解、QR分解、SVD分 解等。这些方法可以将一个矩阵分解为一个下三角矩 阵、一个上三角矩阵和一个正交矩阵等。
矩阵分解的 定义
特征值计算 的应用
特征值计算的常用算法有QR算法、Jacobi方法、 Power方法等。这些算法可以用于计算给定矩阵的特
数值计算稳定性
数值计算稳定性
在进行数值计算时，由于计算机的舍入误差，可能会导致 计算结果的误差。线性代数中的一些算法和技巧可以帮助 提高数值计算的稳定性，减少误差。
数值稳定性的评估
评估数值稳定性的方法包括观察计算结果的收敛性和稳定 性，以及比较不同算法的误差和稳定性。
《线性代数的几何意义》之三
《线性代数的几何意义》之三《线性代数的几何意义》之三行列式是线性代数中的一个重要概念，它在几何中有着重要的几何意义。
在本文中，我们将探讨行列式在几何中的三个主要应用。
1.行列式的绝对值表示平行体积行列式的绝对值表示由矩阵的列向量所构成的平行体的体积。
具体来说，对于一个n维空间内的矩阵A，其行列式det(A)的绝对值表示由A的n个列向量所构成的平行体的体积。
这意味着行列式可以用来计算空间中各种几何体的面积、体积等。
举个例子来说明，考虑一个三维空间中的平行四边形，它的两个边长分别由矩阵A的两个列向量表示。
那么这个平行四边形的面积就等于矩阵A的行列式的绝对值。
2.行列式为0表示线性相关行列式的值为0表示矩阵的列向量是线性相关的，也就是说它们在空间中可以表示为一条直线、一个平面或更高维度的超平面。
这是因为当矩阵的列向量线性相关时，它们的平行体会退化成为一个低维的几何体，其体积为0。
因此，行列式为0可以用来判断一个矩阵的列向量是否线性相关，从而确定它们在几何中的几何关系。
例如，考虑一个二维空间中的两个向量，它们可以表示为一个平面上的两条直线。
如果它们的行列式的值为0，那么这两个向量是线性相关的，它们在空间中可以表示为同一条直线。
3.行列式的正负表示方向行列式的正负表示了由矩阵列向量所构成的平行体的方向。
行列式为正表示平行体的方向与参考系的右手定则一致，行列式为负表示平行体的方向与参考系的右手定则相反。
这意味着行列式可以用来确定一个几何体的方向。
举个例子来说明，考虑一个二维空间中的两个向量，它们可以表示为平面上的两条线段。
如果这两个向量按照顺序排列时，它们构成的平行四边形的行列式为正，那么这个平行四边形的方向与参考系的右手定则一致；如果行列式为负，那么这个平行四边形的方向与参考系的右手定则相反。
综上所述，行列式在几何中有着重要的几何意义。
它可以表示平行体的体积，判断向量的线性相关性以及确定几何体的方向。
理解并应用行列式的几何意义，有助于我们更深入地理解线性代数的几何本质，推广到更高维度的几何空间中。
线性代数几何背景及应用
解：根据已知条件可以得到，四个节点的流 通方程为 节点A： 节点B： 节点C： 节点D： 将以上方程组进行整理，得
Matlab程序ea110为
>> A=[1,-1,0,0;0,1,-1,0;0,0,1,-1;-1,0,0,1] >> b=[160;-40;210;-330] >> U0=rref([A,b])
解：本题归结为求a,b,c三个系数，使它们满 足下列各方程
这是典型的三元线性方程组，用Matlab时， 键入：
>>B=[1,1,1,2;1,2,4,3;1,3,9,6]; x=rref(B)
得到x = 1 0 0 3 0 1 0 -2 0011
x矩阵的最后一列即为a，b，c的值，则待求
二次多项式为：
例2 下表给出函数 上4个点的值，试求
三次插值多项式
，并求
的近似值。
ti
0123
f(ti) 3 0 -1 6
解：令三次多项式函数 过表中已知的4点，可以得到四元线性方程组：
应该用计算机求解，键入：
>>A=[1,0,0,0;1,1,1,1;1,2,4,8;1,3,9,27], b=[3;0;-1;6], s=rref([A,b])
以找到一条二次曲线来近似地描述已知5点的变化情况。
• 对比插值和拟合的曲线如下图
刚体的平面运动
例7 用平面坐标系中的一个闭合图形来描述刚体，用一个 矩阵X来表示它。X的一列表示刚体一个顶点的坐标。为 了使图形闭合，X的最后一列和第一列相同；为了实现刚 体的平移运算，给矩阵X添加元素值都为1的一行，使矩阵 X的形状为3×n。 • 若有矩阵：
相交====〉有惟一解 平行====〉无解 重合====〉无穷多解
线性代数的几何意义
线性代数的几何意义注解线性代数是优雅和有趣的一门学科，应用也很多，只是目前多数线性代数教材似乎都偏重"代数"而较少涉及"线性"一词包含的几何意义，所以可能给人印象较抽象，不容易让同学产生兴趣，有幸在以前偶然一次看到一位工程师自编的一本小册子叫《线性代数的几何意义》，加上后来阅读matlab 作者的书籍，才发现原来线性代数的几何含义真的印证了“数学之美”，的确很美，所以想借鉴这些零散的阅读，加上自己后来的理解，把它的部分几何意义注解一下，希望以前对线代没有很多兴趣的同学能喜欢上它，同时我也会保持更新，不断完善，一起体会数学无与伦比的美丽矩阵的几何意义1、一个矩阵是由若干向量组成的，矩阵可以看作是这些向量的集合或由这些向量为基张成的空间（在力学分析，向量空间应用时常取此几何含义，后文把此类几何含义称作矩阵的向量空间）如矩阵5673⎛⎫⎪⎝⎭按照行向量可表示为如下形式2、一个矩阵是由若干向量组成的，矩阵可以看作是这些向量终点组成的图形（在计算机图形学中常取此几何表示，后文把此类几何含义称作矩阵的图形），如矩阵579 635⎛⎫ ⎪⎝⎭按照列向量可表示为如下图形如下图是在matlab 中将z=sin(x)*cos(y)算得的离散点组成的矩阵表示成几何图形注1：如果单独查看一个矩阵m n A ⨯，可以有两种解读：矩阵A 由m 个n 维向量组成，或者由n 个m 维向量组成；在使用时会根据实际情或约定选择其中一种，而在参与变换或其他运算时，这两种解读一般不能混淆，一定要确定注2：当我们把矩阵表示成图形时，其作图没有固定标准，并不一定是把所有向量终点连接起来构成一个多边形，规则是使用者制定的，可以是网格，可以是离散面片等行列式的几何意义一个方阵n n A ⨯的行列式的绝对值是其行向量或列向量所张成的平行几何体的空间积，对于二阶行列式，就是向量张成的平行四边形的面积，对于三阶行列式，就是对应平行六面体的体积；如方阵5673⎛⎫ ⎪⎝⎭的行列式绝对值为27，它就是下图平行四边形的面积注：行列式其实是带有符号的，实际上，正负号表征了这些向量作为线性空间基的手性，正号表示右手系，负号表示左手系，在二阶矩阵的向量空间里，其判别方法是，伸出右手和矩阵的第一个列向量或行向量平行，然后调整手的正反使得能从此向量转过小于180度的角到达第二个向量，这时大拇指如果朝上（从纸面指向自己）则为右手系，矩阵的行列式为正，反之则为左手系，对应行列式为负；如果是三阶矩阵，则从第一个向量转向第二个向量时，如果大拇指指向第三个向量方向（不必重合），则为右手系，其行列式为正，反之为左手系，行列式为负；其实这一点上更广义的表述应是向量空间的基相对自然坐标系的顺序性（代数上可用逆序数表达）克拉默法则的几何意义以二维形式为例来说明其几何意义:方程A x =b ，设A=11122122a a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，b =12b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，待求的x =12x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 将A 的两个列向量分别表示为a1,a2，那么原方程可表示为1x a1+2x a2=b ，这样可以把1x 与2x 看作是列向量a1,a2的伸缩因子，经过伸缩后再叠加即得到和向量b ，故原方程可以看作已知列向量被伸缩并叠加后的向量b ，求伸缩因子i x我们已经知道行列式的几何意义，显然矩阵A 对应的平行四边形的面积就是|A|（这里以带符号的有方向面积表示，因为伸缩因子也是有符号的），当某一个向量被伸缩后，如图将OB 边伸长至OE ，形成新的平行四边形OAFE ，记其面积为OAFE S ，这样a1的伸缩因子1x 可表示为||OAFE S A ，显然只要求出OAFE S 即可解出未知量；图中OG 即向量b ，因为它是1x a1，2x a2的线性叠加，所以G 点必在EF 的延长线上，这样OG 和OE 相对OA 边的高就是相同的，故OA 与OG 组成的平行四边形面积和OAFE 相同，即OAFE S =|b a2|，所以可求得1x =|b a2|/|A|，同理可得2x =|a1 b |/|A|，可以看出此表达式和克拉默法则等价矩阵乘法的几何意义我们知道矩阵是由若干向量组成的，因此可自然地把矩阵乘法看作是两个矩阵的同维向量之间做内积（或点乘），而内积的意义是两向量同向投影的乘积，但这只是一个表面的几何含义，比较抽象（也有应用之处，后面会提到）；实际上，对于矩阵乘法C=AB ，作用后得到的新矩阵C 可以看作是矩阵A 经过某种变换得到的，也可以看作是矩阵B 经过某种变换后得到的，而这种变换显然就是乘以另一个矩阵的过程，结合前面提到的矩阵的几何意义，故可以把矩阵乘法C=AB 看作是图形A （或B ）经过变换B （或A ）后得到新图形C ，或者是向量空间A （或B ）经过变换B （或A ）后得到新的向量空间C ，对于简单的变换矩阵这一点最容易感性体会到；例如变换矩阵100010000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭会把原3D 图形向x-y 面投影，变换矩阵100010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭会把原图形对x 轴镜像，变换矩阵cos30sin 30sin 30cos30-⎛⎫ ⎪⎝⎭会把原2D 图形相对原点逆时针旋转30度。