200X年上海市高中数学实验班理科班入学测试数学试卷

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普通高中理科实验班招生考试数学卷

普通高中理科实验班招生考试数学卷数学试题（满分150分，答题时间120分）一、选择题（本题共5小题，每小题10分，满分50．每小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在题后的括号内）1．若mx 11-=是方程022=+-m mx 的根，则m x -的值为 ………【】 A ．0 B ．1 C ．－1 D ．22．内角的度数为整数的正n 边形的个数是 ………………………………【】 A ．24 B ．22 C ．20 D ．183．某商场五一期间举行优惠销售活动，采取“满一百元送二十元，并且连环赠送”的酬宾方式，即顾客每消费满100元（100元可以是现金，也可以是购物券，或二者合计）就送20元购物券，满200元就送40元购物券，依次类推，现有一位顾客第一次就用了16000元购物，并用所得购物券继续购物，那么他购回的商品大约相当于它们原价的 ………………………………………………………………【】 A ．90% B ．85% C ．80% D ．75%4．设x 为正整数，若1+x 是完全平方数，则它前面的一个完全平方数是【】 A ．x B ．12+-x x C ．112++-x x D ．212++-xx 5．横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，函数1236-+=x x y 的图象上整点的个数是 ……………………………………………………………………………【】A ．3个B ．4个C ．6个D ．8个二、填空题（本题共5小题，每小题8分，共40分）6．计算：1＋2－3＋4＋5－6＋7＋8－9＋…＋97＋98－99＋100＝．7．已知实数x 满足012)(4)(222=----x x x x ，则代数式12+-x x 的值为．8．若方程组⎩⎨⎧+=--=+433235k y x k y x 的解为⎩⎨⎧==,,b y a x 且||k ＜3，则b a -的取值范围是．9．已知函数22)2(2a x a x y +++=的图象与x 轴有两个交点，且都在x 轴的负半轴上，则a 的取值范围是．10．如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠A ＝60°，AD ＝DC ＝10，点E ，F 分别在AD ，BC 上，且AE ＝4，BF ＝x ，设四边形DEFC 的面积为y ，则y 关于x 的函数关系式是（不必写自变量的取值范围）．三、（本题共4小题，满分60分）11．（本题满分15分）我们知道相交的两直线的交点个数是1，记两平行直线的交点个数是0；这样平面内的D CBAFE三条平行线它们的交点个数就是0，经过同一点的三直线它们的交点个数就是1；依次类推……（1）请你画图说明同一平面内的五条直线最多有几个交点？（2）平面内的五条直线可以有4个交点吗？如果有，请你画出符合条件的所有图形；如果没有，请说明理由．（3）在平面内画出10条直线，使交点数恰好是31．12．（本题满分15分）甲、乙两个粮库原来各存有整袋的粮食，如果从甲库调90袋到乙库，则乙库存粮是甲库的2倍；如果从乙库调若干袋到甲库，则甲库存粮是乙库的6倍．问甲库原来最少存粮多少袋？13．（本题满分15分）⊙O 1与⊙O 2相交于点A 、B ，动点P 在⊙O 2上，且在⊙O 1外，直线PA 、PB 分别交⊙O 1于点C 、D ．问：⊙O 1的弦CD 的长是否随点P 的运动而发生变化？如果发生变化，请你确定CD 最长或最短时点P 的位置；如果不发生变化，请给出你的证明．CB A··PDO O 2114．（本题满分15分）如图，函数221+-=x y 的图象交y轴于M ，交x 轴于N ，点P 是直线MN 上任意一点，PQ⊥x 轴，Q 是垂足，设点Q 的坐标为（t ，0），△POQ 的面积为S （当点P 与M 、N 重合时，其面积记为0）．（1）试求S 与t 之间的函数关系式；（2）在如图所示的直角坐标系内画出这个函数的图象，并利用图象求使得S ＝a （a ＞0）的点P 的个数．普通高中理科实验班招生考试数学试题参考答案及评分标准一、选择题（每小题10分，共50分）1．C 2．B 3．C 4．D 5．B 二、填空题（每小题8分，共40分）6．1684 7．7 8．－1＜b a -＜5 9．a ＞－1且a ≠010．35534+-=x y三、解答题（每小题15分，共60分）11．（本题满分15分）解（1）如图1，最多有10个交点； ……………………（4分）图1 图2（2）可以有4个交点，有3种不同的情形，如图2． ……（10分）⌒ ⌒ （3）如图3所示． …………………（15分）图312．（本题满分15分）解：设甲库原来存粮a 袋，乙库原来存粮b 袋，依题意可得 90)90(2+=-b a ．（1）再设乙库调c 袋到甲库，则甲库存粮是乙库的6倍，即)(6c b c a -=+．（2） ………………（5分）由（1）式得2702-=a b ．（3）将（3）代入（2），并整理得1620711=-c a ． ………………（10分）由于7)1(42327162011++-=-=a a a c ．又a 、c 是正整数，从而有7162011-a ≥1，即a ≥148；并且7整除)1(4+a ，又因为4与7互质，所以7整除1+a ．经检验，可知a 的最小值为152．答：甲库原来最少存粮153袋． …………………（15分） 13．当点P 运动时，CD 的长保持不变． …………………（4分）证法一：A 、B 是⊙O 1与⊙O 2的交点，弦AB 与点P 的位置无关．……（6分）连结AD ，∠ADP 在⊙O 1中所对的弦为AB ，所以∠ADP 为定值． ……………（10分） ∠P 在⊙O 2中所对的弦为AB ，所以∠P 为定值． ……………（12分）因为∠CAD ＝∠ADP ＋∠P ，所以∠CAD 为定值．在⊙O 1中∠CAD 所对弦是CD ，∴CD 的长与点P 的位置无关．………（15分）证法二：在⊙O 2上任取一点Q ，使点Q 在⊙O 1外，设直线QA 、QB 分别交⊙O 1 于C ＇、D ＇，连结C ＇D ＇．∵ ∠1＝∠3，∠2＝∠3，∠1＝∠2，∴ ∠3＝∠4． …………………（10分）∴ CC ＇＝DD ＇ ∴C ＇mD ＇＝CmD∴ CD ＝CD ． …………………（15分）14．（本题满分15分）解法1（1）① 当t ＜0时，OQ ＝t -，PQ ＝221+-t ． ∴ S ＝t t t t -=+--⋅241)221)((21； ② 当0＜t ＜4时，OQ ＝t ，PQ ＝221+-t ．∴ S ＝t t t t +-=+-⋅241)221(21；③ 当t ＞4时，OQ ＝t ，PQ ＝221)221(-=+--t t ．∴ S ＝t t t t -=-⋅241)221(21．④ 当t ＝0或4时，S ＝0．于是，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-><-=)40(41)40(,4122t t t k t t t S 或 …………………………………………6分（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+--=+-><--=-=)40(1)2(4141)40(,1)2(41412222t t t t k t t t t S 或下图中的实线部分就是所画的函数图象． ……………………………………12分CBA··PDO O 21′′C D Q1234maS =观察图象可知：当0＜a ＜1时，符合条件的点P 有四个；当a ＝1时，符合条件的点P 有三个；当a ＞1时，符合条件的点P 只有两个． ………………………………………15分解法2：（1）∵ OQ ＝||t ，PQ ＝|221||221|-=+-t t ， ∴ S ＝|4|41|221|||212t t t t -=-⋅． ……………………………………4分（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-><-=-=)40(41)40(,41|4|41222t t t k t t t t x S 或 ………………………6分以下同解法1．。

2022-2023学年上海市实验学校高二上学期开学考数学试题(解析版)

2022-2023学年上海市实验学校高二上学期开学考数学试题一、单选题 1．在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D【详解】分析：将复数化为最简形式，求其共轭复数，找到共轭复数在复平面的对应点，判断其所在象限.详解：11111(1)(1)22i i i i i +==+--+的共轭复数为1122i - 对应点为11(,)22-，在第四象限，故选D.点睛：此题考查复数的四则运算，属于送分题，解题时注意审清题意，切勿不可因简单导致马虎丢分.2．设n 为正整数，则“数列{}n a 为等比数列”是“数列{}n a 满足312n n n n a a a a +++⋅=⋅”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件【答案】A【分析】“数列{}n a 为等比数列”，则132n n n n a aq a a +++==，⇒数列{}n a 满足312n n n n a a a a +++=．反之不能推出，可以举出反例．【详解】解：“数列{}n a 为等比数列”，则132n n n n a aq a a +++==，⇒数列{}n a 满足312n n n n a a a a +++=．充分性成立；反之不能推出，例如0n a =，数列{}n a 满足312n n n n a a a a +++⋅=⋅，但数列不是等比数列，即必要性不成立；故“数列{}n a 为等比数列”是“数列{}n a 满足312n n n n a a a a +++⋅=⋅”的充分非必要条件故选：A ．3．已知{}n a 为等比数列，下面结论中正确的是 A ．1322a a a +≥ B ．2221322a a a +≥C ．若13a a =，则12a a =D ．若31a a >，则42a a >【答案】B【详解】设{an }的首项为a 1，公比为q ，当a 1<0，q <0时，可知a 1<0，a 3<0，a 2>0，所以A 不正确；当q ＝－1时，C 选项错误；当q <0时，a 3>a 1⇒a 3q <a 1q ⇒a 4<a 2，与D 选项矛盾．因此根据基本不等式可知B 选项正确．4．2021年第十届中国花卉博览会举办在即，其中，以“蝶恋花”为造型的世纪馆引人瞩目（如图①），而美妙的蝴蝶轮廓不仅带来生活中的赏心悦目，也展示了极致的数学美学世界.数学家曾借助三角函数得到了蝴蝶曲线的图像，探究如下：如图②，平面上有两定点O A ､，两动点B Q ､，且||||1,OA OB OA ==绕点O 逆时针旋转到OB 所形成的角记为θ，设函数()()()4sign cos sin5f θθθθπθπ=⋅⋅--≤≤，其中()10sign 00,10x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩令()f ρθ=，作OQ OB ρ=，随着θ的变化，就得到了点Q 的轨迹，其形似“蝴蝶”，则以下4幅图中，点Q 的轨迹（考虑蝴蝶的朝向）最有可能为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用排除法和向量的共线及向量的垂直的应用分析判断. 【详解】先考虑与OA 共线的蝴蝶身方向，令θπ=，则()()4sign cos sin54f ππππ=⋅⋅-=-，所以44OQ OB OA =-=，令θπ=-，则()()()()4sign cos sin 54f ππππ-=⋅-⋅---=，所以44OQ OB OA ==-，所以排除AC ，先考虑与OA 垂直的蝴蝶身方向，令2πθ=，则54sign cos sin12222f ππππ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以OQ OB =-，所以排除D ，故选：B二、填空题5．已知向量(5,3),(1,)a b x ==-，且//a b ，则实数x ＝________．【答案】35【分析】根据平面向量共线的坐标表示，列出方程，即可解决此题．【详解】解：向量(5,3)a =，(1,)b x =-，且//a b ，53(1)0x ∴-⨯-=，解得35x =-．故答案为：35． 6．若1i +是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则c =______. 【答案】2【分析】根据实系数方程的虚数根成对出现的性质得出另一根，然后由韦达定理得结论．【详解】因为1i +是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，所以1i -也是方程的根，所以(1i)(1i)2c =+-=．故答案为：2．7．已知向量(5,3),(1,2)a b ==-，则a 在b 上的投影向量的坐标为________．【答案】12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】利用向量的投影向量公式，代入坐标进行计算即可．【详解】解：向量(5,3)a =，(1,2)b =-， ∴a 在b 上的投影向量的坐标为：11(15||||5a b b b b b ⋅⋅=⋅=-，122)(,)55=-．故答案为：1(5-，2)5．8．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_____________．【答案】63-【分析】首先根据题中所给的21n n S a =+，类比着写出1121n n S a ++=+，两式相减，整理得到12n n a a +=，从而确定出数列{}n a 为等比数列，再令1n =，结合11,a S 的关系，求得11a =-，之后应用等比数列的求和公式求得6S 的值. 【详解】根据21n n S a =+，可得1121n n S a ++=+，两式相减得1122n n n a a a ++=-，即12n n a a +=，当1n =时，11121S a a ==+，解得11a =-，所以数列{}n a 是以-1为首项，以2为公比的等比数列，所以66(12)6312S --==--，故答案是63-. 点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令1n =，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.9．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且22225791116a a d a a ++=+，则{}n a 的前15项和15S =___________.【答案】15【分析】由已知，根据22225791116a a d a a ++=+，可通过化简得到951174a a a a +++=，借助等差数列的性质可以求解出1152a a +=，然后代入等差数列前n 项和公式即可完成求解.【详解】由已知，在等差数列{}n a 中，22225791116a a d a a ++=+，所以22229511716a a a a d -+-=，所以959511711795117()()()()4()4()16a a a a a a a a d a a d a a d -++-+=+++=，因为0d ≠，所以951174a a a a +++=，由等差数列的性质可知，97511115a a a a a a +=+=+，所以1152a a +=，所以1151515()1521522a a S +⨯===. 故答案为：15.10．设||2,||3,|3|6a b a b ==-=，则向量a 与b 的夹角为___________.【答案】1arccos 4【分析】利用向量的夹角公式直接求得. 【详解】因为||2,||3,|3|6a b a b ==-=，所以222|3|9636a b a a b b -=-⋅+=，即946936a b ⨯-⋅+=，所以32a b ⋅=，即323cos ,2a b ⨯⨯=，所以,1cos 4a b =.因为[],0,a b π∈，所以1,arccos 4a b =.故答案为：1arccos 4.11．复数sin1cos1i -的辐角主值是______．【答案】312π+【分析】根据题意，结合复数的三角形式即可求解. 【详解】由3cos 1sin12π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3sin 1cos12π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，得33sin1cos1cos 1isin 122i ππ⎛⎫⎛⎫-=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此复数sin1cos1i -的辐角主值为312π+. 故答案为：312π+. 12．在△ABC 中，0,0GA GB GC GA GB ++=⋅=.则(tan tan )tan tan tan A B CA B+⋅=____________ .【答案】12【详解】设△ABC 中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .由0,0GA GB GC GA GB ++=⋅=，知G 为△ABC 的重心. 又GA ⊥GB ，所以22222222211221122GA GB c GA GB a GB GA b ⎧⎪+=⎪⎪⎪⎛⎫⎛⎫+=⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩.得到2225a b c +=.故：(tan tan )tan (sin cos cos sin )sin tan tan sin sin cos A B C A B A B C A B A B C++=⋅2sin sin sin cos C A B C=()22222abc ab a b c =+-2222212c a b c ==+-. 故答案为：12．13．在矩形ABCD 中，1,AC AE BD =⊥，垂足为E ，则()()AD AE CB CA ⋅⋅的最大值是___________. 【答案】427【分析】设,0,)90(CAB θθ∠=∈︒︒,将()()AD AE CB CA ⋅⋅用θ表示,再利用基本不等式即可得到最大值. 【详解】如图：设,0,)90(CAB θθ∠=∈︒︒,则由1,AC AE BD =⊥,得：cos ,sin AB AD θθ==，cos sin AE θθ=.所以()()()32222222211sin 2cos sin 4sin cos sin sin 2cos sin 22327AD AE CB CA θθθθθθθθθ⎛⎫++⋅⋅==⨯⨯≤=⎪⎝⎭（当且仅当22sin 2cos θθ=,即tan θ=时,等号成立）.故答案为：427. 14．设()f x 是定义在Z 上的函数，且对于任意的整数n ，满足()()()421f n f n n +-≤+，()()()()1265,1505f n f n n f +-≥+-=-，则()2023289f 的值为.___________.【答案】3535【分析】根据(4)()2(1)f n f n n +-≤+，得出(12)()6(5)f n f n n +-≤+，从而求出(12)()f n f n +-和(4)()f n f n +-的值，再计算(2023)f 的值即可．【详解】解：因为(4)()2(1)f n f n n +-≤+，所以(12)()(12)(8)(8)(4)(4)()f n f n f n f n f n f n f n f n +-=+-+++-+++-2(9)2(5)2(1)6(5)n n n n ≤+++++=+，又因为(12)()6(5)f n f n n +-≥+，所以(12)()6(5)f n f n n +-=+，所以(4)()2(1)f n f n n +-=+，所以()(2023)[(2023)(2019)][(2019)(2015)]...[3(1)](1)f f f f f f f f =-+-++--+-505(20204)2202022016...20(1)250550520232f ⨯+=⨯+⨯++⨯+-=⨯-=⨯，所以(2023)50520233535289289f ⨯==．故答案为：3535．三、解答题15．已知向量()([]330a cosx sinx b x π==-∈，，，，，．（1）若a b ，求x 的值；（2）记()f x a b =⋅，求函数y ＝f （x ）的最大值和最小值及对应的x 的值．【答案】（1）5π6x =（2）0x =时，()f x 取到最大值3； 5π6x =时，()f x 取到最小值-【分析】（1）根据a b ，利用向量平行的充要条件建立等式，即可求x 的值．（2）根据()f x a b =⋅求解求函数y ＝f （x ）解析式，化简，结合三角函数的性质即可求解最大值和最小值及对应的x 的值．【详解】解：（1）∵向量()([]330a cosx sinx b x π==-∈，，，，，．由a b ，可得：3sinx =，即tanx = ∵x ∈[0，π] ∴56x π=．（2）由()233f x a b cosx x π⎛⎫=⋅==+ ⎪⎝⎭∵x ∈[0，π]， ∴225333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， ∴当2233x ππ+=时，即x ＝0时f （x ）max ＝3；当2332x ππ+=，即56x π=时()min f x =-【点睛】本题主要考查向量的坐标运用以及三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．16．设复数i z b a =+（其中a ，b R ∈），1i z z k =+，2i z z k =⋅（其中k ∈R ）．（1）设12a b ==，若12=z z ，求出实数k 的值；（2）若复数z 满足条件：存在实数k ，使得1z 与2z 是某个实系数一元二次方程的两个虚数根，求符合条件的复数z 的模的取值范围．【答案】（1）1-；（2）()0,1.【分析】(1)用k 表示出复数12,z z ，再根据给定条件列式计算即可； (2)利用实系数一元二次方程的两个虚根的关系列式分类讨论即可求解.【详解】（1）11i 22z =+，11111i i i 2222z k k ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，21111i i 2222z k i k k ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭因12=z z ，即22221111()()()()2222k k k ++=+，解得1k =-，所以实数k 的值为1-；(2)()1i z a b k =++，2i z bk ak =+，因1z 与2z 是某个实系数一元二次方程的两个虚数根，则1z ，2z 互为共轭复数，即a bkb k ak =⎧⎨+=-⎩，若0b =时，则有0a k ==，此时1z ，2z 为零，不合题意，若0b ≠时，则ak b =，a a b a b b+=-⋅，整理得22b a a =--，由20b >，得()1,0a ∈- 而222z a b a =+=-，即20||1z <<，0||1z <<，所以复数z 的模的取值范围是()0,1.17．n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且171,28a S ==，记[]lg n n b a =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如][0.90,lg991⎡⎤==⎣⎦. (1)求111101b b b ､､；(2)求数列{}n b 的前2022项和. 【答案】(1)1111010,1,2===b b b (2)4959【分析】（1）根据等差数列前n 项和公式，结合条件即可得到{}n a 的通项公式，再根据[]lg n n b a =即可得到结果.（2）由（1）中结果即可求得{}n b 中的各项，加起来即可求得结果. 【详解】(1)因为n S 为公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和，且171,28a S ==所以4728a =，解得44a =，则公差41141a a d -==-，所以n a n =，由于[]lg n n b a =，所以[][]111111lg 0,lg 1b a b a ====，[]101101lg 2b a ==(2)由于1290b b b ===， 101112991b b b b =====， 1001011029992b b b b ====10001001100299993b b b b ====，所以数列{}n b 的前2022项和，()()()()2022128101199100101999100010012022T b b b b b b b b b b b b =+++++++++++0909002102334959=++⨯+⨯=18．已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．{}n b 是公比大于0的等比数列，1324,48b b b =-=．（I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）记2*1,n n nc b b n N =+∈，（i ）证明{}22nn c c -是等比数列；（ii ）证明)*nk n N =∈ 【答案】（I ）21,n a n n N *=-∈，4,n n N b n *=∈；（II ）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析.【分析】（I ）由等差数列的求和公式运算可得{}n a 的通项，由等比数列的通项公式运算可得{}n b 的通项公式；（II ）（i ）运算可得2224nn n c c =⋅-，结合等比数列的定义即可得证；（ii ）放缩得21222422n n n n na n c a c +<-⋅，进而可得112n n k k k-==，结合错位相减法即可得证.【详解】（I ）因为{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．所以12818782642a a a a ⨯++⋅⋅⋅+=+⨯=，所以11a =，所以()12121,n n n n N a a *=+-=-∈；设等比数列{}n b 的公比为(),0q q >，所以()221321484q b b b q q b q ==-=--，解得4q =（负值舍去），所以114,n n n b q n N b -*==∈；（II ）（i ）由题意，221441n n nn n b c b =++=，所以22224211442444n n n n n nn c c ⎛⎫⎛⎫=+-+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，所以220nn c c ≠-，且212222124424n n n n nn c c c c +++⋅==⋅--，所以数列{}22nn c c -是等比数列；（ii ）由题意知，()()22122222121414242222n n n n n n n n n a n n c c a +-+-==<-⋅⋅⋅，12n n-，所以112nn k k k-==，设10121112322222nn k n k k n T --===+++⋅⋅⋅+∑，则123112322222n nn T =+++⋅⋅⋅+，两式相减得21111111122121222222212nn n n nn n n n T -⎛⎫⋅- ⎪+⎝⎭=+++⋅⋅⋅+-=-=--，所以1242n n n T -+=-，所以1112422nn k n k k n --==+⎫=-<⎪⎭【点睛】关键点点睛：最后一问考查数列不等式的证明，因为nk =再由错位相减法即可得证.19．设数列{}n a 的前n 项和为n S .若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，则称{}n a 是“H 数列”.（1）若数列{}n a 的前n 项和为*2()n n S n N =∈，证明：{}n a 是“H 数列”.（2）设{}n a 是等差数列，其首项11a =，公差0d <，若{}n a 是“H 数列”，求d 的值；（3）证明：对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“H 数列” {}n b 和{}n c ，使得n n n a b c =+*()n N ∈成立.【答案】（1）证明见解析；（2）1d =-；（3）证明见解析．【详解】（1）首先112a S ==，当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=，所以12,1,{2,2,n n n a n -==≥，所以对任意的*n N ∈，2n n S =是数列{}n a 中的1n +项，因此数列{}n a 是“H 数列”．（2）由题意1(1)n a n d =+-，(1)2n n n S n d -=+，数列{}n a 是“H 数列”，则存在*k N ∈，使(1)1(1)2n n n d k d -+=+-，1(1)12n n n k d --=++，由于(1)*2n n N -∈，又*k N ∈，则1n Z d-∈对一切正整数n 都成立，所以1d =-．（3）首先，若n d bn =（b 是常数），则数列{}n d 前n 项和为(1)2n n n S b -=是数列{}n d 中的第(1)2n n -项，因此{}n d 是“H 数列”，对任意的等差数列{}n a ，1(1)n a a n d =+-（d 是公差），设1n b na =，1()(1)n c d a n =--，则n n n a b c =+，而数列{}n b ，{}n c 都是“H 数列”，证毕．【解析】（1）新定义与数列的项，（2）数列的项与整数的整除；（3）构造法．20．称一个复数数列{zn }为“有趣的”，若|z 1|=1，且对任意正整数n ，均有2211420n n n n z z z z ++++=.求最大的常数C ，使得对一切有趣的数列{zn }及任意正整数m ，均有12mz z z C +++.【分析】根据有趣的复数数列的定义，对参数m 进行分类讨论，结合数列的极限，即可求得结果.【详解】考虑有趣的复数数列{zn }.归纳可知zn ≠0(n ∈N +).由条件得()2114210n n n n z z n z z +++⎛⎫⎛⎫++=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭N ，解得)1n n z n z ++=∈N .因此1112n n nn z z z z ++===，故()1111122n n n z z n +--=⋅=∈N ①进而有)11111N 2n n n n n n z z z z n z +++-+=⋅+==∈ ② 记()12m m T z z z m +=+++∈N .当m =2s (s ∈N +)时，利用②可得122122smk kk T z z z z -=+-+∑2122kk k z z ∞-=>+∑2k ∞===.当m =2s +1(s∈N +)时，由①、②可知2121221112s k k s k s k s z z z ∞∞+-=+=+===+∑∑，故12212212smk ks k Tz z z z z -+=⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭∑2122k k k z z ∞-=>-+∑当m =1时，111T z ==>以上表明C =满足要求. 另一方面，当)12211,k k z z z k ++===∈N 时，易验证知{zn }为有趣的数列.此时()2112211lim lim ss k k s s k T z z z ++→∞→∞==++∑1lim 1ss k →∞==+413==这表明C 综上，所求的C 【点睛】本题考查新定义问题，涉及数列的极限、数列的新定义，复数的运算，属综合困难题.。

高一数学(解析版)(上海专用)-2024年秋季高一入学分班考试模拟卷

2024年秋季高一年级入学分班考试模拟卷数学满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试内容：初中内容+初升高衔接内容4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．计算：62a a ÷（-）（-）＝．【答案】4a -【分析】先依据公式得出正确的符号，再利用幂的除法公式计算．【解析】62624a a a a a -÷--÷-（）（）＝（）＝．故答案为：4a -．【点睛】本题考查幂的运算，正确运用公式是解题的关键．2．计算：cos 60sin 60cot 30tan 45︒-︒=︒-︒【答案】12-/0.5-【分析】根据特殊角三角函数代入求解即可得到答案；【解析】解：原式1122===-，故答案为：12-．【点睛】本题考查特殊角三角函数混合运算，解题的关键是熟练掌握特殊角三角函数值．3．若一次函数(1)24y k x k =-+-的图象不过第一象限，则k 的取值范围是．【答案】12k <≤【分析】若函数y kx b =+的图象不过第一象限，则此函数的0k <，0b ≤，据此求解．【解析】函数(1)24y k x k =-+-的图象不过第一象限，10,240k k ∴-<-≤，12k ∴<≤，故答案为：12k <≤．【点睛】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，解题关键是掌握一次函数的图象经过第几象限，取决于x 的系数是大于0或是小于0．4．不等式11x >-的解集是．【答案】{|0x x >或1}x <-【分析】由已知结合分式不等式的求法即可求解．【解析】由11x>-,可得1110x x x ++=>，即(1)0x x +>，解得0x >或1x <-．故答案为：{|0x x >或1}x <-．5．函数()1f x x =-的定义域为.【答案】[)(]4,11,4- 【分析】根据解析式列出不等式求解.【解析】因为()f x =所以2160x -≥且10x -≠，解得44x -≤≤且1x ≠，故函数的定义域为[)(]4,11,4- .故答案为：[)(]4,11,4- 6．某班进行一次班级活动，要在2名男同学和3名女同学中，随机选出2名学生担任主持人，那么选出的2名学生恰好是一男一女的概率是．【答案】35/0.6【分析】本题考查的是画树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．先画出树状图得出所有等可能的情况数，再找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得到答案．【解析】解：根据题意画图如下：共有20种等可能的情况数，选出的2位同学恰好为一男一女的有12种，则主持人是一男一女的概率为123205=．故答案为：35．7．已知方程22240x ax a -+-=的一个实根小于2，另一个实根大于2，求实数a 的取值范围.【答案】()0,4【分析】设()2224f x x ax a =-+-，结合题意，得到()20f <，即可求解.【解析】设()2224f x x ax a =-+-，因为方程22240x ax a -+-=的一个实根小于2，另一个实根大于2，则满足()2240f a a =-<，解得04a <<，即实数a 的取值范围为()0,4.故答案为：()0,4.8．如图，点G 是ABC 的重心，DE 过点G 且平行于BC ，点D 、E 分别在AB 、AC 上，设AB a=，AC b = ，那么DE = ．（用a 、b 表示）【答案】2233b a- 【分析】先根据三角形重心的性质（重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1），求得DE 与BC 的数量关系，然后根据=BC AC AB - ，可得DE 与AC 、AB 的数量关系．【解析】解，连接AG ，并延长AG 交BC 于点F ，∵DE BC ∥，∴23AGAF =∶∶，∴23DEBC =∶∶，即2:3DE AF :=，∵BC AC AB =-，∴()222333DE AC AB b a -=- =，故答案为：2233b a - ．【点睛】本题考查了三角形的重心，平面向量，能够熟练掌握重心的性质是解决本题的关键．9．已知方程()21204x m x m +-+=有两个不相等的正根，则实数m 的取值范围是.【答案】()0,1【分析】利用判别式与韦达定理得到关于m 的不等式组，从而得解.【解析】因为()21204x m x m +-+=有两个不相等的正根，即()24240x m x m +-+=有两个不相等的正根，所以()()2Δ16244042040m m m m ⎧=--⨯>⎪-->⎨⎪>⎩，解得01m <<.故答案为：()0,1.10．如图，斜坡AB 的坡度13i =AH 的情况下将坡度变缓，调整后的斜坡AC 的坡度21:2.4i =，已知斜坡10AB =米，那么斜坡AC =米．【答案】13【分析】根据斜坡AB 的坡度1i =AB 的值先求出AH ，再根据斜坡AC 的坡度21:2.4i =，求得AC ，即可求解．【解析】解：∵1i =∴tan3ABH ∠==，∴30ABH ∠=︒，∴152AH AB ==,∵21:2.4i =，∴1tan 2.4AH ACB CH ∠==，∵5AH =，∴12=CH ，在Rt ACH 中，13AC ==,故答案为：13．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，坡度问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．11．在平面直角坐标系中给出以下定义：点(),A m n ，点(),B m n ''，3m m '=，6n n '=-，则我们称B 是A的“跳跃点”．若二次函数()2560y ax ax a x =--≥的图象上恰有两个点的“跳跃点”在直线236y x =-+上，则a 的取值范围为．【答案】01a <≤且17a ≠【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，涉及到新定义，一次函数的图象，解不等式，解题的关键是利用数形结合的思想．先求出点C 、D 所在的直线表达式为6y x =-，当0a >时，还出抛物线与直线CD 的大致图象，联立直线和抛物线的表达式，用a 的代数式表示出x ，根据x 的范围求出a 的范围，还需考虑根的判别式；当a<0时，不成立．【解析】解：设二次函数图象上的两点为点C 、D ，题意得点(),C m n 的“跳跃点”为()3,6m n -，将()3,6m n -代入236y x =-+，得：6n m =-，∴(),6C m m -，则点C 在直线6y x =-上，同理点D 也在直线6y x =-上，。

2022-2023年上海市实验学校高二上学期开学考试数学试卷及答案

2022-2023年上海市实验学校高二上开学考2022.08一. 填空题1.已知向量(5,3)a =，(1,)b x =−，且a ∥b ，则实数x =2.若1i +是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则c =3.已知向量(5,3)a =，(1,2)b =−，则a 在b 上的投影向量的坐标为4.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =5.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且22225791116a a d a a ++=+，则{}n a 的前15项和15S = 6.设||2a =，||3b =，|3|6a b −=，则向量a 与b 的夹角为7.复数sin1icos1−的辐角主值是8.在△ABC 中，0GA GB GC ++=，0GA GB ⋅=，则(tan tan )tan tan tan A B C A B+=⋅9.在矩形ABCD 中，1AC =，AE ⊥BD ，垂足为E ，则()()AD AE CB CA ⋅⋅的最大值是10.设()f x 是定义在Z 上的函数，且对于任意的整数n ，满足(4)()2(1)f n f n n +−≤+，(12)()6(5)f n f n n +−≥+，(1)505f −=−，则(2023)289f 的值为二.选择题11.在复平面内，复数11i −的共轭复数对应的点位于第（）象限 A .一B .二C .三D .四12.设n 为正整数，则“数列{}n a 为等比数列”是“数列{}n a 满足312n n n n a a a a +++⋅=⋅”的（）条件 A .充分不必要B .必要不充分C .充要D .既不充分也不必要13.已知{}n a 为等比数列，下面结论中正确的是（）A . 1322a a a +≥B . 2221322a a a +≥C .若13a a =，则12a a =D .若31a a >，则42a a >14.2021年第十届中国花卉博览会举办在即，其中，以“蝶恋花”为造型的世纪馆引人瞩目（如图①），而美妙的蝴蝶轮廓不仅带来生活中的赏心悦目，也展示了极致的数学美学世界.数学家曾借助三角函数得到了蝴蝶曲线的图像，探究如下：如图②，平面上有两定点O 、A ，两动点B 、Q ，且||||1OA OB ==，OA 绕点O 逆时针旋转到OB 所形成的角记为θ，设函数()4sign()cos sin5f θθθθ=⋅⋅−（πθπ−≤≤），其中10sign()0010x x x x >⎧⎪==⎨⎪−<⎩，令()f ρθ=，作OQ OB ρ=，随着θ的变化，就得到了点Q 的轨迹，其形似“蝴蝶”，则以下4幅图中，点Q 的轨迹（考虑蝴蝶的朝向）最有可能为（）A .B .C .D .三.解答题15.已知向量(cos ,sin )a x x =，(3,3)b =−，[0,]x π∈. （1）若a ∥b ，求x 的值；（2）记()f x a b =⋅，求函数()y f x =的最大值和最小值及对应的x 的值.16.设复数i z a b =+（其中a 、b ∈R ），1i z z k =+，2i z z k =⋅（其中k ∈R ）.（1）设12a b ==，若12||||z z =，求出实数k 的值；（2）若复数z 满足条件：存在实数k ，使得1z 与2z 是某个实系数一元二次方程的两个虚数根，求符合条件的复数z 的模的取值范围.17. n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =，记[lg ]n n b a =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]0=，[lg99]1=.（1）求1b 、11b 、101b ；（2）求数列{}n b 的前2022项和.18.已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64，{}n b 是公比大于0的等比数列，14b =，3248b b −=. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记21n n nc b b =+，*n ∈N . ①证明22{}n n c c −是等比数列；②证明n k =<.四.附加题19.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，则称{}n a 是“H 数列”.（1）若数列{}n a 的前n 项和为2n n S =（*n ∈N ），证明：{}n a 是“H 数列”；（2）设{}n a 是等差数列，其首项11a =，公差0d <. 若{}n a 是“H 数列”，求d 的值；（3）证明：对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“H 数列”{}n b 和{}n c ，使得n n n a b c =+（*n ∈N ）成立.20.称一个复数数列{}n z 为“有趣的”，若1||1z =，且对任意正整数n ，均有2211420n n n n z z z z ++++=. 求最大的常数C ，使得对一切有趣的数列{}n z 及任意正整数m ，均有12||m z z z C ++⋅⋅⋅+≥.参考答案一.填空题1. 35− 2. 2 3. 12(,)55− 4. 63− 5.15 6. 1arccos47. 312π+ 8. 129. 42710.3535二.选择题11.D12.A 13.B 14.B 三.解答题15.（1）56π；（2）max ()(0)3f x f ==，min 5()()6f x f π==−16.（1）1k =−；（2）(0,1)17.（1）10b =，111b =，1012b =；（2）091902900310234959⨯+⨯+⨯+⨯=18.（1）21n a n =−，4n n b =；（2）略四.附加题19.（1）略；（2）1d =−；（3）略20.（1）3。

2020年秋季高一新生入学分班考试数学试卷(上海专用)04(wd无答案)

2020年秋季高一新生入学分班考试数学试卷（上海专用）04一、填空题(★★) 1. 不等式的解集为_________.(★★) 2. 当时，_______________.(★★) 3. 分解因式：_________.(★★★) 4. 关于的不等式的解集为，则不等式的解集为__________．(★★) 5. 不等式的解集是 .二、单选题(★) 6. 下列运算正确的是（）A．B．C．D．(★★) 7. 实数､在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（）A．B．C．D．(★) 8. 函数的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(★) 9. 关于二次函数，下列说法正确的是（）A．图像与轴的交点坐标为B．图像的对称轴在轴的右侧C．当时，的值随值的增大而减小D．的最小值为(★★) 10. 若，则（）A．1B．2C．3D．4(★) 11. 已知的三边 a、 b、 c满足，判断的形状（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形D．直角三角形(★) 12. 若关于 x的一元二次方程 ax +2 x-1=0无解，则 a的取值范围是（）A．(-1， +)B．(-，-1)C．[-1，+)D．(-1，0)∪(0，+). (★★) 13. 不等式的解集是（）A．B．C．D．(★★) 14. 不等式的解集是（）A．B．C．D．(★★) 15. 函数的定义域是（）A．(-∞，-2)∪B．(-2，)C．(-∞，-2]∪D．(★★) 16. 在平面直角坐标系中，对于二次函数，下列说法中错误的是A．的最小值为1B．图象顶点坐标为，对称轴为直线C．当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小D．它的图象可以由的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到三、解答题(★) 17. 解不等式(★★★) 18. 已知关于的方程，取何值时，(1)方程有两个不相等的实数根；(2)方程有两个相等的实数根；(3)方程有实数根；(4)方程没有实数根？(★★) 19. 先化简再求值：，其中．(★★★) 20. 已知二次函数的图象过点，，且顶点到 x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．(★★★) 21. 求二次函数在区间上的最大值.(★★★) 22. 已知函数，设关于 x的方程的两实根为，方程 f( x)= x的两实根为.（1）若，求与的关系式；（2）若均为负整数，且，求 f( x)的解析式；。

普通高中理科实验班招生考试数学卷

普通高中理科实验班招生考试数学卷数学试题（满分150分，答题时间120分）一、选择题（本题共5小题，每小题10分，满分50．每小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在题后的括号内）1．若mx 11-=是方程022=+-m mx 的根，则m x -的值为 ………【】 A ．0 B ．1 C ．－1 D ．22．内角的度数为整数的正n 边形的个数是 ………………………………【】 A ．24 B ．22 C ．20 D ．183．某商场五一期间举行优惠销售活动，采取“满一百元送二十元，并且连环赠送”的酬宾方式，即顾客每消费满100元（100元可以是现金，也可以是购物券，或二者合计）就送20元购物券，满200元就送40元购物券，依次类推，现有一位顾客第一次就用了16000元购物，并用所得购物券继续购物，那么他购回的商品大约相当于它们原价的 ………………………………………………………………【】 A ．90% B ．85% C ．80% D ．75%4．设x 为正整数，若1+x 是完全平方数，则它前面的一个完全平方数是【】 A ．x B ．12+-x x C ．112++-x x D ．212++-x x 5．横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，函数1236-+=x x y 的图象上整点的个数是 ……………………………………………………………………………【】 A ．3个B ．4个C ．6个D ．8个二、填空题（本题共5小题，每小题8分，共40分）6．计算：1＋2－3＋4＋5－6＋7＋8－9＋…＋97＋98－99＋100＝．7．已知实数x 满足012)(4)(222=----x x x x ，则代数式12+-x x 的值为．8．若方程组⎩⎨⎧+=--=+433235k y x k y x 的解为⎩⎨⎧==,,b y a x 且||k ＜3，则b a -的取值范围是．9．已知函数22)2(2a x a x y +++=的图象与x 轴有两个交点，且都在x 轴的负半轴上，则a 的取值范围是．10．如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠A ＝60°，AD ＝DC ＝10，点E ，F 分别在AD ，BC 上，且AE ＝4，BF ＝x ，设四边形DEFC 的面积为y ，则y 关于x 的函数关系式是（不必写自变量的取值范围）．三、（本题共4小题，满分60分）11．（本题满分15分）D CBAFE我们知道相交的两直线的交点个数是1，记两平行直线的交点个数是0；这样平面内的三条平行线它们的交点个数就是0，经过同一点的三直线它们的交点个数就是1；依次类推……（1）请你画图说明同一平面内的五条直线最多有几个交点？（2）平面内的五条直线可以有4个交点吗？如果有，请你画出符合条件的所有图形；如果没有，请说明理由．（3）在平面内画出10条直线，使交点数恰好是31．12．（本题满分15分）甲、乙两个粮库原来各存有整袋的粮食，如果从甲库调90袋到乙库，则乙库存粮是甲库的2倍；如果从乙库调若干袋到甲库，则甲库存粮是乙库的6倍．问甲库原来最少存粮多少袋？13．（本题满分15分）⊙O 1与⊙O 2相交于点A 、B ，动点P 在⊙O 2上，且在⊙O 1外，直线PA 、PB 分别交⊙O 1于点C 、D ．问：⊙O 1的弦CD 的长是否随点P 的运动而发生变化？如果发生变化，请你确定CD 最长或最短时点P 的位置；如果不发生变化，请给出你的证明．CBA··PO O 2114．（本题满分15分）如图，函数221+-=x y 的图象交y轴于M ，交x 轴于N ，点P 是直线MN 上任意一点，PQ ⊥x 轴，Q 是垂足，设点Q 的坐标为（t ，0），△POQ 的面积为S （当点P 与M 、N 重合时，其面积记为0）．（1）试求S 与t 之间的函数关系式；（2）在如图所示的直角坐标系内画出这个函数的图象，并利用图象求使得S ＝a （a ＞0）的点P 的个数．普通高中理科实验班招生考试数学试题参考答案及评分标准一、选择题（每小题10分，共50分）1．C 2．B 3．C 4．D 5．B 二、填空题（每小题8分，共40分）6．1684 7．7 8．－1＜b a -＜5 9．a ＞－1且a ≠010．35534+-=x y三、解答题（每小题15分，共60分）11．（本题满分15分）解（1）如图1，最多有10个交点； ……………………（4分）图1 图2（2）可以有4个交点，有3种不同的情形，如图2． ……（10分）（3）如图3所示． …………………（15分）图312．（本题满分15分）解：设甲库原来存粮a 袋，乙库原来存粮b 袋，依题意可得 90)90(2+=-b a ．（1）再设乙库调c 袋到甲库，则甲库存粮是乙库的6倍，即)(6c b c a -=+．（2） ………………（5分）由（1）式得2702-=a b ．（3）将（3）代入（2），并整理得1620711=-c a ． ………………（10分）由于7)1(42327162011++-=-=a a a c ．又a 、c 是正整数，从而有7162011-a ≥1，即a ≥148；并且7整除)1(4+a ，又因为4与7互质，所以7整除1+a ．经检验，可知a 的最小值为152．答：甲库原来最少存粮153袋． …………………（15分） 13．当点P 运动时，CD 的长保持不变． …………………（4分）证法一：A 、B 是⊙O 1与⊙O 2的交点，弦AB 与点P 的位置无关．……（6分）连结AD ，∠ADP 在⊙O 1中所对的弦为AB ，所以∠ADP 为定值． ……………（10分） ∠P 在⊙O 2中所对的弦为AB ，所以∠P 为定值． ……………（12分）因为∠CAD ＝∠ADP ＋∠P ，所以∠CAD 为定值．在⊙O 1中∠CAD 所对弦是CD ，∴CD 的长与点P 的位置无关．………（15分）证法二：在⊙O 2上任取一点Q ，使点Q 在⊙O 1外，设直线QA 、QB 分别交⊙O 1 于C ＇、D ＇，连结C ＇D ＇．∵ ∠1＝∠3，∠2＝∠3，∠1＝∠2，⌒ ⌒ ∴ ∠3＝∠4． …………………（10分）∴ CC＇＝DD ＇ ∴ C ＇mD ＇＝CmD∴ CD ＝CD ． …………………（15分）14．（本题满分15分）解法1（1）① 当t ＜0时，OQ ＝t -，PQ ＝221+-t ． ∴ S ＝t t t t -=+--⋅241)221)((21； ② 当0＜t ＜4时，OQ ＝t ，PQ ＝221+-t ．∴ S ＝t t t t +-=+-⋅241)221(21；③ 当t ＞4时，OQ ＝t ，PQ ＝221)221(-=+--t t ．∴ S ＝t t t t -=-⋅241)221(21．④ 当t ＝0或4时，S ＝0．于是，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-><-=)40(41)40(,4122t t t k t t t S 或 …………………………………………6分CBA··PDO O 21′′C D Q1234m（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+--=+-><--=-=)40(1)2(4141)40(,1)2(41412222t t t t k t t t t S 或下图中的实线部分就是所画的函数图象． ……………………………………12分观察图象可知：当0＜a ＜1时，符合条件的点P 有四个；当a ＝1时，符合条件的点P 有三个；当a ＞1时，符合条件的点P 只有两个． ………………………………………15分解法2：（1）∵ OQ ＝||t ，PQ ＝|221||221|-=+-t t ， ∴ S ＝|4|41|221|||212t t t t -=-⋅． ……………………………………4分（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-><-=-=)40(41)40(,41|4|41222t t t k t t t t x S 或 ………………………6分以下同解法1．aS =。

上海市实验学校2022届高三下学期开学考试数学试题(解析版)

【答案】
【解析】
【分析】根据题意，得到，，利用余弦定理计算得到答案.
【详解】解：，，故，，
在中，利用余弦定理得到：，化简整理得到：，
又，故渐近线方程为： .
故答案为： .
10.若四边形是边长为的菱形，P为其所在平面上的任意点，则的取值范围是___________.
【答案】
（2）若，则．函数在上是增函数，此时的取值范围是；而函数在上是减函数，此时的取值范围是．由题意可得，解得，又，所以．
综上，所求实数的取值范围是．
故答案为：[-1,5).
【点睛】关键点点睛：数形结合将函数值问题转化为交点问题，值域范围问题，对参数分类讨论，借助单调性求解问题.
【答案】
【解析】
【分析】点集中有9个点，从而在中随机取出三个点的方式数为，当取出的三个点两两之间的距离不超过2时，有如下三种情况：三点在一横线或一纵线上，有6种情况，三点是1，1，的等腰直角三角形的顶点，有种情况，三点是边长为的等腰直角三角形的顶点，有8种情况，由此能求出这三个点两两之间距离均不超过2的概率．
则为直线与平面所成角，
因为，，
，
．
即直线与平面所成角的大小为．
18.已知函数．
（1）若，，求的值；
（2）在锐角△ 中，、、分别是角、、的对边，若，，△ 的面积，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）化简可得，由题意可知，进而可得，分析角可知，用两角差的正弦公式即可求得；
年薪（万元）
135
95
80
70
60

高三数学上学期入学考试试题理实验班试题

卜人入州八九几市潮王学校定远育才二零二零—二零二壹第一学期入学考试高三实验班〔理科〕数学〔总分值是150分，考试用时120分钟〕一、选择题〔此题有12小题，每一小题5分，一共60分。

〕1.:2p x >是2log 5x >:q 假设3sin 3x =，那么2cos2sin x x =〕 A.p q ∧ B.()p q ⌝∧ C.()p q ∧⌝ D.()()p q ⌝∧⌝2.a ，b 均为正实数，那么“3log 0ab <〞是“1b a<〞的〔〕 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.曲线()y f x =在点()00,x y 处切线为21y x =+，那么()()0002limx f x f x x x∆→--∆∆等于()A. B.C.4D.24.集合，，假设，那么实数的取值范围是〔〕A.B.C.D.5.假设集合{|14}Mx x =-≤＜，2{|70}N x x =-＜，那么M N ⋂等于〔〕 A.{|17}x x -＜＜ B.{|17}x x -＜＜C.{|04}x x ≤＜D.{|04}x x ≤<6.函数()2x f x x a =+-〔0a >〕的最小值为2，那么实数a =〔〕A.2B.4C.8D.167.函数f 〔x 〕是周期为π的偶函数，且当时，，那么的值是〔〕A.﹣4B.﹣28.设函数()1,0{ 2,0x x x f x x +≤=>，那么满足()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭的x 的取值范围是A.1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B.(),0-∞ C.1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D.1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭9.如图，点O 为坐标原点，点()1,1A ，假设函数x y a =〔0a >，且1a ≠〕及log b y x =〔0b >，且1b ≠〕的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，那么a ，b 满足〔〕． A.1a b << B.1b a << C.1b a >> D.1a b >>10.定义在R 上的函数()f x 满足()()()(),4f x f x f x f x x -=-=+∈，且当()1,0-时，()125x f x =+，那么()2log 20f =() A.1B.45C.1- D.45-11.函数sin y x x =⋅在[],ππ-的图像大致为〔〕A. B.C. D.12.假设()()21ln 22f x x a x =-++在()1,-+∞上是减函数，那么a 的取值范围是()A.[)1,-+∞ B.()1,-+∞ C.(],1-∞- D.()1,1-第II 卷〔非选择题90分〕二、填空题〔此题有4小题，每一小题5分，一共20分。

2020年秋季高一新生入学分班考试数学试卷(上海专用)01

一、填空题
1. 分解因式：
2020年秋季高一新生入学分班考试数学试卷（上海专用）01
__________.
2. 已知|a|<1，则与1－a的大小关系为________.
3. 不等式
的解集为 _________.
4. 若关于x的一元二次方程 x2﹣2kx+1﹣4k＝0有两个相等的实数根，则代数式（k﹣2）2+2k（1﹣k）的值为__________．
21. 已知函数
，设关于x的方程
（1）若
，求与的关系式；
（2）若均为负整数，且
，求f(x)的解析式；
的两实根为，方程f(x)=x的两实根为 .
22. 已知二次函数的图象过点
，，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．
23. 求二次函数
在区间
上的最大值.
5. 已知
，求
二、单选题
=_______.
6. 已知集合
，若
，则的取值范围为（）
A．
B．
C．Biblioteka D．7. 函数 A． C．
的定义域为（） B． D．
8. 下列分解因式错误的是（） A．a -5a+6=(a-2)(a-3) C．-4x +y =-(2x+y)(2x-y)
B．1-4m +4m=(1-2m) D．3ab+ a b +9=(3+ ab)
9. 已知 A．2
是一元二次方程
的一个根，则 B．1
（） C．0
10. 关于的方程 A．
有两个不等的实根，则的取值范围是（）
B．
C．
D．-1 D．
11. 下列说法中不正确的是（） A．函数y＝2x的图象经过原点

2022-2023学年上海市实验学校高一上学期开学考数学试题(解析版)

2022-2023学年上海市实验学校高一上学期开学考数学试题一、单选题1．若α是锐角，()2sin 152α+=那么锐角α等于（） A ．15 B ．30 C ．45 D ．60【答案】B【分析】由题可得1545α+=，即得. 【详解】因为()2sin 152α+=α是锐角，所以()1515,105α+∈，1545α+=，所以30α=. 故选：B .2．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：()3333211,2631=--=-.2和26均为“和谐数”.那么､不超过2016的正整数中，所有们“和谐数”之和为（） A ．6858 B ．6860 C ．9260 D ．9262【答案】B【分析】根据“和谐数”的概念找出公式：()()()32321212121k k k ==+-+-，（其中k 为非负整数)，然后再分析计算即可.【详解】()()()()()()()()33222121212121212121k k k k k k k k ⎡⎤⎡⎤+--=+--+++-+-⎣⎦⎣⎦()22121k =+（其中k 为非负整数)，由()221212016k +≤得k ≤所以0,1,,9k =，即得所有不超过2016的“和谐数”，它们的和为：()()()()()33333333333113153171519171916860⎡⎤--+-+-++-+-=+=⎣⎦.故选：B.3．100人共有2000元人民币，其中任意10人的钱数的和不超过380元.那么一个人最多有（）元. A ．216 B ．218C ．238D ．236【答案】B【分析】由题可得存在9人的钱数的和不少于162元，结合条件进而即得.【详解】因为任意10个人的钱数的和不超过380元，所以任意90个人的钱数的和不少于1620元，所以存在9人的钱数的和不少于162元，所以一个人最多能有380162218-=元. 故选：B.4．函数||y a x =与y x a =+的图象恰有两个公共点，则实数a 的取值范围是（） A ．1a > B ．11a -<< C ．1a ≥或1a ≤- D ．1a >或1a <-【答案】D【分析】||y a x =的图象为过原点的折线，关于y 轴对称，y x a =+的图象是直线，斜率为1，按a 的正负分类作出图象后，分析可得．【详解】||y a x =的图象为过原点的折线，关于y 轴对称，分两种情况讨论，①当a>0时，y a x =的图象过第一､二象限，直线y x a =+斜率为1，当a>0时，直线y x a =+过第一､二､三象限，若使其图象恰有两个公共点，如图1，必有a>1；②当a <0时，||y a x =过第三､四象限；而y =x +a 过第二､三､四象限，若使共图象恰有两个公共点，如图2，必有1a <-, 故选：D.图1图2二、填空题5．计算：()1cot3012sin60cos60tan30--++=___________. 3【分析】根据特殊角的三角函数值计算．【详解】原式331213131333=-. 3 6．若a b b c a ck c a b+++===，则k =___________. 【答案】2或1-【分析】依题意可得()()2a b c a b c k ++=++，再分0a b c ++≠和0a b c ++=两种情况讨论，即可得解. 【详解】解：因为a b b c a ck c a b+++===，所以a b ck +=①，b c ak +=②，a c bk +=③， ①+②+③得()()2a b c a b c k ++=++，当0a b c ++≠时，2k =；当0a b c ++=时，a b c +=-，代入①得c ck -=，解得1k =-，综上所述，2k =或1-. 故答案为：2或1-7．若抛物线2241y x px p =-++中不管p 取何值时都通过定点，则定点坐标为___________. 【答案】()4,33【分析】若抛物线2241y x px p =-++中不管p 取何值时都通过定点，则含p 的项的系数为0，由此求出x 的值，再求y 的值，得出定点坐标.【详解】2241y x px p =-++可化为()2241y x p x =--+，当4x =时，33y =，且与p 的取值无关，所以不管p 取何值时都通过定点()4,33. 故答案为：()4,338．已知抛物线2y ax bx c =++的部分图象如图，则下列说法：①对称轴是直线1x =；②当13x 时，0y <；③方程250ax bx c +++=无实数根．其中正确的说法是___________.（只填写序号）.【答案】①②③【分析】根据图像确定二次函数图像的对称轴，与x 轴交点的横坐标，函数的最小值然后判断．【详解】①由图像知对称轴是直线1x =，正确；②由对称性得3x =是方程20ax bx c ++=的另一根，因此当13x 时，函数图像对应的点在x 轴下方，因而0y <，正确；③函数的最小值是，因而函数值必须不小于4-，因而方程250ax bx c +++=无实数根，正确. 故答案为：①②③．9．如图.在ABC 中，90,ACB AC BC ∠==，P 为三角形内部一点，其3PC =，5,7PA PB ==.则APB △的面积为___________.【答案】14【分析】过P 作AC 与BC 的垂线，得到矩形CDPE ，设矩形CDPE 的长与宽，以及等腰Rt ABC △的直角边，根据3PC =，5,7PA PB ==，利用勾股定理构造方程，整理化简，然后利用面积差，整体代入求解APB △的面积. 【详解】过P 作PD AC ⊥于,D PE BC ⊥于E ，则四边形CDPE 是矩形，设,,PD x PE y AC BC a ====，所以,CD PE y CE PD x ====，因为3PC =，5,7PA PB ==根据勾股定理可得，()()22222292549x y x a y y a x ⎧+=⎪⎪+-=⎨⎪+-=⎪⎩，所以22216240a ay a ax ⎧-=⎨-=⎩，所以228a ay ax --=，所以221111()142222APB ABC APC BCP S S S S a ax ay a ax ay =--=--=--=△△△△.故答案为：14.10．把三张大小相同的正方形卡片A ､B ､C 叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示.若按图1摆放时，阴影部分的面积为1S ；若按图2摆放时，阴影部分的面积为2S ，则1S ___________2S ，（填“>”“<”或“=”）【答案】=【分析】根据正方形的性质，可以把两块阴影部分合并后计算面积，然后比较1S 和2S 的大小.【详解】设底面的正方形的边长为a ，正方形卡片A ､B ､C 的边长为b ，由图1得()()()21S a b a b a b =--=-，由图2得()()()22S a b a b a b =--=-，所以12S S . 故答案为：=11．若一元二次方程()2220x a x a -++=的两个实数根分別是3､b ，则a b +=___________.【答案】5【分析】把3x =代入方程求得a ，再由韦达定理求得另一根即得结论．【详解】把3x =代入一元二次方程()2220x a x a -++=，得93(2)20a a -++=，解得3a =，由根与系数的关系得()2351a b -++=-=，解得2b =，所以325a b +=+=.故答案为：5．12．有一个六位数1abcde ，它乘以3后得六位数1abcde ，则此六位数为___________. 【答案】142857【分析】设1后面的五位数为x ，列出方程，求出x ，写出此六位数.【详解】设1后面的五位数为x .则()11000003101x x ⨯+⨯=+，解得42857x =，所以这个六位数为110000042857142857⨯+=. 故答案为：14285713．若质数p q ､满足：340,111q p p q --=+<，则pq 的最大值为___________. 【答案】1007【分析】由340q p --=得34p q =-，43p q +=，代入不等式111p q +<求得,p q 的范围，pq 要最大，则q 也最大，由质数分析可得结论．【详解】因为340q p --=，所以34p q =-，因为111p q +<，所以34111q q +-<，解得28.75q <，因为340q p --=，所以34q p =+，则43p q +=，因为111p q +<，所以41113p p ++<，解得82.25p <，由于43p q +=，因此pq 最大时，q 也最大，所以当q 取最大质数23时，65p =不合题意舍去，则19q =时，53p =，此时符命题意，故pq 的最大值为19531007⨯=.故答案为：1007．14．在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点()()111222,,,P x y P x y 的“破晓距离”，给出如下定义：若1212x x y y -≥-，则点1P 与点2P 的“破晓距离”为12x x -；若1212x x y y -<-，则点1P 与点2P 的“破晓距离”为12y y -．例如：点1(1,2)P ，点2(3,5)P ，因为1325-<-，所以点1P 与点2P 的“破晓距离”为|25|3-=，也就是线段1PQ 与线段2P Q 长度的较大值（点Q 为垂直于y 轴的直线1PQ 与垂直于x 轴的直线2P Q 的交点）.已知(,)C x y 是直线334y x =+上的一个动点，点D 的坐标是(0,1)，则当点C 与点D 的“破晓距离”取最小值时相应的点C 的坐标为___________. 【答案】815,77⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】过点C 作x 轴的垂线，过点D 作y 的垂线，两条垂线交于点M ，连接CD ．当点C 在直线DM 上方且使CMD △为等腰直角三角形时，点C 与点D 的“破晓距离”最小，根据新定义证此结论成立，然后求出0x 即得．【详解】过点C 作x 轴的垂线，过点D 作y 的垂线，两条垂线交于点M ，连接CD . 当点C 在点D 的后上方且使CMD △为等腰直角三角形时，点C 与点D 的“破晓距离”最小.理由如下：记此时C 所在位置的坐标为003,34x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.当点C 的横坐标大于0x 时，线段CM 的长度变大，由于点C 与点D 的“破晓距离”是线段CM 与线段MD 长度的较大值，所以点C 与点D 的“破晓距离”变大：当点C 的横坐标小于0x 时，线段MD 的长度变大，点C 与点D 的“破晓距离”变大.所以当点C 的横坐标等于0x 时，点C 与点D 的“破晓距离”最小.因为00331,,4CM x MD x CM DM =+-=-=，所以003314x x +-=-，解得087x ，所以点C 的坐标是815,77⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：815,77⎛⎫- ⎪⎝⎭．三、解答题15．如图，已知平行四边形ABCD ，对角AC 与BD 交于点O ，以AD ､AB 边分别为边长作正方形ADEF 和正方形ABHG ，连接FG .(1)求证：2FG AO =：(2)若6,4,60AB AD BAD ∠===，请求出AGF 的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2)63【分析】（1）通过条件证明AFG DAC ≅即可；（2）根据条件求出ABCDS，然后得到DAC S △即可.【详解】(1)因为四边形ADEF 和四边形ABHG 都是正方形，所以,,90AD AF AB AG BAG DAF ∠∠====，所以180GAF BAD ∠∠+=，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以,AB CD AB CD =∥ 所以180BAD ADC ∠+∠=，所以GAF ADC ∠∠=，在AFG 和DAC △中，,AG CDADC GAF AF AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以(),AFG DAC SAS ≅所以GF AC =，在平行四边形ABCD 中，2AC AO =，所以2GF AO =； (2)过点D 作DM AB ⊥交AB 于点M ，因为4,60,90AD BAD AMD ∠∠===，所以34sin604232DM =⨯=⨯=，所以623123ABCDS AB DM =⋅=⨯=所以16231232A DA BCDCSS AB DM ==⋅=⨯=因为AFG DAC ≅，所以63DACAGFSS==，即AGF 的面积为63.16．一块三角形材料如图所示，30,90,12A C AB ∠=∠==用这块材料剪出一个矩形CDEF ，其中，点D ､E ､F 分别在,,BC AB AC .设AE 的长为x ，矩形CDEF 的面积为S .(1)写出S 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围； (2)当矩形CDEF 的面积为83AE 的长：(3)当AE 的长为多少时，矩形CDEF 的面积最大？最大面积是多少？【答案】(1)2333(012)S x x x =+<<； (2)4或8；(3)6AE =时，最大面积是93【分析】（1）易得012x <<，由直角三角形由AE 表示出,EF CF ，可得矩形面积；（2）解方程3=S AE 的长；（3）由二次函数的性质可得最大值．【详解】(1)因为AB =12，AE =x ，点E 与点A ､点B 均不重合，所以012x <<，因为四边形CDEF 是矩形，所以90AFE ∠=︒，因为30A ∠=︒，所以12EF AE =，AF =，在Rt ABC 中，90,30,12C A AB ∠=︒∠=︒=，所以162BC AB ==，由勾股定理得AC =CF AC AF =-=，所以21(012)2S CF EF x x x x ⎛⎫=⋅==+<< ⎪ ⎪⎝⎭； (2)由题意得26)x -+=解得124,8x x ==，所以AE 的长为4或8； (3)因为S=)26x -+ 所以当6x =时，矩形CDEF 的面积最大，即当点E 为AB 的中点时，矩形CDEF的面积最大，最大面积是17．已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根.(1)是否存在实数k ，使得()()12123222x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由； (2)求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值. 【答案】(1)不存在，理由见解析； (2)235k =---，，【分析】（1）利用反证法先假设存在实数k ，使得()()12123222x x x x --=-成立，根据一元二次方程有两个实数根可得95k =，因此原假设不成立，故不存在；（2）根据题意()22212121221121244224411x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-++，可得1k +能被4整除，即可求出k 的值.【详解】(1)假设存在实数k ，使得()()12123222x x x x --=-成立，一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根，()2400Δ(4)441160k k k k k k ≠⎧∴⇒<⎨=--⋅+=-⎩，(不要忽略判别式的要求)，由韦达定理得1212114x x k x x k +=⎧⎪+⎨=⎪⎩，()()()()2221212121212129322252942k x x x x x x x x x x x x k +∴--=+-=+-=-=-， 95k ⇒=但0k <，∴不存在实数k ，使得()()12123222x x x x --=-成立.(2)()22212121221121244224411x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-++， ∴要使其值是整数，只需要1k +能被4整除，故1124k +=±±±，，，即021335k =---，，，，，， 0k <，235k ∴=---，，.18．阅读理解：对于任意正实数a b ､，因为2(()0a b -，所以20a ab b -+，所以2a b ab +，只有当a b =时，等号成立.结论：在2a b ab +（a b ､均为正实数）中，若ab 为定值p ，则2a b p +，只有当a b =时，a b +有最小值2p .根据上述内容，回答下列问题：(1)若0m >，只有当m =___________时，1m m+有最小值___________； (2)思考验证：如图1，AB 为半圆O 的直径，C 为半圆上任意一点（与点A B ､不重合），过点C 作CD AB ⊥，垂足为,,D AD a DB b ==.试根据图形验证2a b ab +，并指出等号成立时的条件.(3)探索应用：如图2，已知()()3,0,0,4,A B P --为双曲线12(0)y x x=>上的任意一点，过点P 作PC x ⊥轴，垂足为,C PD y ⊥轴，垂足为D .求四边形ABCD 面积的最小值，并说明此时四边形ABCD 的形状.【答案】(1)1，2(2)验证答案见解析，CD 等于半径时取等号 (3)最小值24，四边形ABCD 是菱形【分析】（1）根据阅读材料，1=m m 时，1m m+取得最小值，由此计算可得；（2）利用直角三角形相似得CD ab =，由OC CD ≥（,D O 重合时取等号）可得不等式成立；（3）设12,P x x ⎛⎫⎪⎝⎭，求出,C D 坐标，求出,AC BD 后可计算出四边形的面积，然后由阅读材料的结论得出最小值及四边形形状．【详解】(1)由题意1=m m ，又0m >，因此1m =时，1m m+的最小值为2； (2)因为AB 是O 的直径.所以AC BC ⊥.又CD AB ⊥，所以90CAD BCD B ∠∠∠==-，所以Rt CAD ~Rt BCD △，所以CD ADBD CD=，即2CD AD DB =⋅，所以CD ab =，若点D 与O 不重合，连接OC ，在Rt OCD 中，有OC CD >，所以2a bab +> 若点D 与O 重合时，OC CD =.所以2a bab +=综上所述，2a bab +≥2a b ab +≥，当CD 等于半径时取等号； (3)设12,P x x ⎛⎫⎪⎝⎭，则()1212,0,0,,3,4C x D CA x DB x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，1112(3)422ABCD S CA DB x x ⎛⎫=⨯=+⨯+ ⎪⎝⎭化简得9212ABCD S x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为90,0x x >>，所以9926x x x x+≥⋅=，当且仅当9x x=，即3x =时取等号，所以261224S ≥⨯+=.ABCD S 由最小值24.此时()()()3,4,3,0,0,4,5P C D AB BC CD DA ====，所以四边形ABCD 是菱形.19．已知正实数x ，y ，z 满足：1xy yz zx ++≠，且()()()()()()2222221111114xy y z z x xyyzzx------++=.(1)求111xy yz zx++的值. (2)证明：9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++. 【答案】(1)1 (2)证明见解析【分析】（1）已知等式化简得xyz x y z =++，求值式通分后可得结论；（2）作差后，凑配成非负数的和，即证．【详解】(1)由等式()()()()()()2222221111114x y y z z x xyyzzx------++=，去分母得()()()()()()2222221111114z x y x y z y z x xyz --+--+--=，()()()2222222222223()0x y z xy z x yz x y z y z x z x y xyz x y z xyz ⎡⎤++-+++++++++-=⎣⎦，()()()()0xyz xy yz zx x y z xy yz zx x y z xyz ++-+++++++-=，∴[]()(1)0xyz x y z xy yz zx -++++-=，∵1xy yz zx ++≠，∴10xy yz zx ++-≠， ∴()0xyz x y z -++=，∴xyz x y z =++， ∴原式1x y zxyz++==. (2)由（1）知xyz x y z =++，又x ，y ，z 为正实数， 222222()()()2x y y z z x x y xy y z yz z x zx xyz +++=++++++()()()2222222x y z y z x z x y xyz =++++++，222222()()3x y z xy yz zx x y xy y z yz z x zx xyz ++++=++++++()()()2222223x y z y z x z x y xyz =++++++∴9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++-++ 9()()()8()()x y y z z x x y z xy yz zx =+++-++++()()()2222226x y z y z x z x y xyz =+++++-222()()()0x y z y z x z x y =-+-+-≥.所以9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.20．如图，在平面直角坐标系中，对称轴为直线12x =-的抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于A B 、两点，其中点A 的坐标为(4,0)-，与y 轴交于点()045C -,，作直线AC .（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点D 是直线AC 下方抛物线上的一个动点，连结DA DC 、.当DAC ∆面积最大时，求点D 的坐标；（3）如图，在（2）的条件下，过点D 作于DE AC ⊥点E ，交y 轴于点,F 将CEF ∆绕点E 旋转得到,C EF ''∆在旋转过程中，当点C '或点F '落在y 轴上(不与点C 、F 重合)时，将,C EF ''∆沿射线DE 平移得到C E F '''''∆，在平移过程中，平面内是否存在点,G 使得四边形OF GC ''''是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点G 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)2333y x =-23343y =+-(3) 所有符合条件的点G 坐标为(3,33-或(5,53-【分析】(1)分别根据对称轴方程,再代入点的坐标进行求解即可.(2) 过D 作//DH y 轴交AC 于H ,进而根据DAC DAH DCH S S S ∆∆∆=+表达出DAC S ∆关于D 的横坐标的表达式,再根据二次函数的最值求解即可.(3)分两种情况,设平移的距离为2t ,再根据菱形满足''''OC OF =即可求得t ,进而根据菱形的性质可求得G【详解】()1抛物线对称轴为12x =-.且点A 的坐标为(40)-，.点C 的坐标为(043,,-122164043b a a b c c ⎧-=-⎪⎪∴-+=⎨⎪=-⎪⎩.解得333343a b c ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎪⎩∴抛物线的解析式为2334333y x x =+- (2)过D 作//DH y 轴交AC 于H .设23343,33m m m D +-⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭, 设AC 的解析式为y kx b =+,则4043k b b -+=⎧⎪⎨=-⎪⎩,解得343k b ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩.故AC 的解析式为343y x =--.则()33,4H m m -- 则()2123423DAC DAH DCH A C S S S x x DH m m ∆∆∆=+=-⋅=-⋅+ ()22383233m =-⋅++. 故当2m =-时,DAC S ∆取最大值833.此时1032,3D ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭(3) 存在,所有符合条件的G 坐标为(3,33-,(5,53-. 提示：8333430,,2,F EC EF FC ⎛=== ⎝⎭①当'C 落在y 轴上时,如图,点('0,23C -,83'2,F ⎛- ⎝⎭,设平移距离是2t ,则()''3,23C t t -+,83''23,3F t t ⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭. 由''''OC OF =得()()222283323233t tt t ⎛⎫+-+=-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭,解得536t =. 此时573'',26C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,1113'',26M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,所以()3,33G -.②当'F 落在y 轴上时,如图,点103'0,F ⎛⎝⎭,('2,43C --, 设平移距离是2t ,则103''3,F t t ⎫⎪⎪⎭,()''23,43C t t --. 由''''OC OF =得()()222210332343t t tt ⎛⎫+=-++- ⎪ ⎪⎝⎭,解得73t =. 此时7133'',2F ⎛ ⎝⎭,3173'',2C ⎛ ⎝⎭,所以(5,53G -.综上所述,所有符合条件的点G 坐标为(3,33-或(5,53-【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求解,同时也考查了抛物线上的点构成的三角形的面积最值问题.也考查了三角形旋转以及是否存在点满足条件的问题.需要根据题意,利用二次函数与菱形的性质建立适当的等式进行求解.属于难题.。

上海市高中数学实验班理科实验班入学测试.doc

上海市2002年高中数学实验班理科实验班入学测试数学试卷（满分150分，考试时间90分钟）一、填空题（本大题满分80分，每小题8分）1、设x 为满足x 2002+20022001＝x 2001+20022002 的整数，则x ＝2、设m ＝162005200320011999+⨯⨯⨯，则m 的末两位数字为3、关于x 、y 的方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=++ 211a y x x a x y x 恰有一组实数解，则实数a 的值为 4、设f(x)为一次函数，满足：f(0)= -1，f(f(0))= -2，则f(2002)的值为5、依法纳税是每个公民的义务，依我国税法规定：月收入超过800元的部分需要交税（800元以内不交税），且根据超过部分的多少按不同的税率交税。

不超过500元部分税率为5％；超过500元至2000元部分税率为10％；…某职员在2002年3月的应交税款为105元，则该职员在该月的税后收入为元。

6、设n 为正整数，且n 3+2n 2是一个奇数的平方，则满足条件的n 中，最小的两个数之和为7、如图所示，一个半径为2的圆过一个半径为2的圆的圆心，则图中阴影部分的面积为8、如图所示，四边形ABCD 是某个圆的圆外切四边形，已知∠A ＝∠B ＝120°，∠D ＝90°,且BC ＝1，则AD 的长为9、设n 为不小于2的正整数，记n 的所有正约数（包括1和n ）的乘积为P(n),已知P(n)=n 12，则n 的最小值为10、已知从1，2，…，9中可以取出m 个数，使得这m 个数中任意两个数之和不相等，则m 的最大值为二、解答题（本大题满分70分，共4个小题）11、（本题14分）已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=-+=+14a x y x y x 恰有两组解，求实数a 的取值范围。

第8题图A12、（本题16分）在△ABC 中，∠A ＝120°，K 、L 分别是AB 、AC 上的点，向△ABC的形外作正三角形BKP 和CLQ 。

高中数学实验班理科实验班入学测试数学试题参考答案及评分标准

上海尚德实验学校杨晓编录 Email:qdyangxiao@上海市2003年高中数学实验班理科实验班入学测试数学试题参考答案及评分标准一、填空题1、-8；2、3447； 3、7841； 4、9.43； 5、8； 6、7； 7、65 8、144； 9、1； 10、32 二、解答题11、在p 1，p 2，p 3……中，当n 》2时，p n 和p n+1都是奇质数，则()121++n n p p 是正整数， (6分)由p n <p n+1可得()1121++<+<n n n n p p p p ，而p n 和p n+1是相继的两个质数，于是()121++n n p p 为合数，它可以表示为两个或两个以上不小于2的正整数的乘积，所以p n +p n+1=2⨯()121++n n p p 可以表示为三个或三个以上的不小于2的正整数的乘积。

(14分)12、解法一：如图所示，作∠ACB 的平分线交AB 于F ，由角平分线定理可得 AF ：FB=7：4，117477AB AF =+= (4分) 则AB 的中点D 在线段AF 上，过D 作DG ∥CF 交AC于G ，过G 作GH ∥BC 交ED 的延长线于H ，连接BH ，于是有∠DGA=∠FCA=21∠ACB ，∠DGH=∠FCB=21∠ACB ，则∠DGA=∠DGH ，又∠AED=∠EDG+∠DGA=∠EDG+21∠ACB ，而已知∠AED=90°+21∠ACB ，则∠EDG=90°，则有Rt △EDG ≌Rt △H DG则EG=HG ，ED=HD (8分)又D 为AB 的中点，则四边形AEBH 是平行四边形，于是BH ∥AC ，则四边形CBHG 是平行四边形，EG=HG=BC=4， (12分)()211EG -AG -AC AE -AC CE 211AG 1411AB AB AFADAC AG 11721===∴=∴===，，(16分)解法二：如图所示，过C 作CF ∥DE 交AB 于的延长线于F ，则CF 是∠ACB 的外角平分线 (4分)B上海尚德实验学校杨晓编录 Email:qdyangxiao@于是有AF2ABAF AD AC AE ==(8分)而由外角平分线定理可得;143AF 2AB 74AC BC AF BF ===，则 (14分) 所以，211AE -AC CE 23AC 143AE ====， (16分)13、如图所示，当正方形内的五个圆按图中的方式放置时，正方形的边长a=222+，它表明当正方形的边长为 222+时，放置正方形内部的五个半径为1的圆可以满足任意两个圆至多只有一个公共点。

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