重点中学实验班招生数学试题及答案
中学初三理科实验班提前招生考试试卷习题数学部分.doc
初三理科实验班提前招生考试试卷（数学部分）一、选择题（每小题4，共 24 分）1、用去分母方法解分式方程 2 x m 1 x 1，产生增根，则 m 的值为（）x 1 x2 x xA 、 --1 或— 2B 、 --1 或 2 C、 1 或 2 D 、 1 或— 22、关于 x 的方程x2 2(1 k ) x k 2 0 有实数根α、β，则α+β的取值范围为（）A 、α +β≤ 1 B、α +β≥ 11 1C、α +β≥ D 、α +β≤2 23、已知 PT 切⊙ O 于 T ，PB 为经过圆心的割线交⊙O 于点 A ，（ PB>PA ），若 PT=4，PA=2 ，则 cos∠ BPT= （）4 1 3 2A 、B 、C、D、5 2 4 34、矩形 ABCD 中， AB=3 ，AD=4 ，P 为 AD 上的动点， PE⊥ AC 垂足为 E，PF⊥ BD 垂足为F，则 PE+PF 的值为（）12B、 2 5 13A 、C、D、5 2 5 5、如图 P 为 x 轴正半轴上一动点，过P 作 x 轴的垂线 PQ 交双曲线1于点 Q，连接 OQ ，yx当 P 沿 x 轴正方向运动时，Rt△ QOP 的面积（）A 、逐渐增大B、逐渐减小C、保持不变D、无法确定6、如图小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线标明的数字表示该段网线单位时间内通过的最大信息量，现从结点 A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的线路同时传第 5 题图35递，则单位时间内传递的最大信息量为（）A 、 26B、 24 C、 20 D 、19 A4667 612128 B第 6 题图二、填空题（每小题 4 分，共 36 分）、若、、c 满足等式 a 2c 2 2 4b 3c 41a 4b 1 0 ，则2b3 4=7 a b 2 a c8、若a b 2 3 ， b c 2 3 ，则代数式 a 2 b 2 c 2ab bc ac 的值为4 3 x9、方程x的解为x x10、若点 M （1--x ， 1--y ）在第二象限，那么点N（ 1— x? y—1）关于原点对称点 P 在第象限。
(小升初分班)2024年小升初数学自主招生重点中学实验班分班素养测评卷二(考试版)
保密★启用前2024年小升初数学自主招生重点中学实验班分班素养测评卷二考试分数：100分；考试时间：90分钟注意事项：1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在答题卡规定的位置上。
2．选择题、判断题必须使用2B铅笔填涂答案，非选择、判断题必须使用黑色墨迹签字笔或钢笔答题，请将答案填写在答题卡规定的位置上。
3．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上作答无效。
4．考试结束后将试卷和答题卡一并交回。
一、填空题（满分20分，每小题2分）1．（2分）如图，一个底面直径6厘米的圆柱体木头，沿底面虚线处垂直切成一个最大的正方体，这个正方体的表面积是平方厘米。
2．（2分）小刚和小强两人早晨跑步，小刚比小强多跑了14的路程，且小刚的速度比小强快19，则小刚和小强两人跑步的时间比是。
3．（2分）把一个长、宽、高分别是6厘米、4厘米、5厘米的长方体削成一个最大的圆柱，圆柱的体积是立方厘米。
4．（27个，维尼熊只能摘4个。
维尼熊摘了80分钟，跳跳虎摘了50分钟就累了，不摘了。
他们回来后数了一下，共摘2010个苹果，那么其中维尼熊摘的有个。
5．（2分）有一个敞口的立方体水箱，在其侧面一条高线的三等分处开两个排水孔A和B，已知两孔的排水速度相同且保持不变，现在从水箱上面匀速注水，如果打开A孔，关闭B孔，那么经过20分钟可将水箱注满，如果关闭A孔，打开B孔，则需要22分钟才能将水箱注满，那么两孔都打开，经过分钟才能将水箱注满。
6．（2分）下图是用棱长为5cm的正方体搭成的几何体，把几何体所有的表面都涂上红色。
则4个面涂上红色的有个正方体；这个几何体的体积是3cm。
试卷第2页，共5页7．（2分）某小学五、六年级参加数学竞赛的人数比是8∶7，六年级获奖人数是五年级获奖人数的37，两个年级各有50名同学未获奖，六年级有 名同学获奖。
8．（2分）一个装满水的圆柱形容器，第一次将一个圆锥形金属块浸没在水中，然后取出这个圆锥形金属块，第二次将一个圆柱形金属块浸没在水中，第一次溢出的水的体积是第二次的13，这个圆锥形金属块与这个圆柱形金属块的体积比是 。
7年实验班选拔考试数学试题(附答案)
全真考试卷（三）浙江省镇海中学高一实验班选拔考试试卷数 学满分120分，考试时间：120分钟一．选择题（本题有6小题，每小题5分，共30分）1．在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在（ ）A ．直线y =﹣x 上B ．抛物线y =x 2上C ．直线y =x 上D ．双曲线xy =1上2．以等速度行驶的城际列车，若将速度提高25%，则相同距离的行车时间可节省k %，那么k 的值是（ ）A ．35B ．30C ．25D ．203．若﹣1＜a ＜0，则a ，a ³1a 一定是（ ）A ．1a 最小，a 3最大 B a 最大C ．1a 最小，a 最大D ．1a 4．如图，将△ADE 绕正方形ABCD 的顶点A 顺时针旋转90°，得△ABF ，连接EF 交AB 于H ，则下列结论错误的是（ ）A ．AE ⊥AFB ．EF ：AF 1C ．AF 2=FH •FED ．FB ：FC =HB ：EC5．在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，且CD 与BE 相交于点F ，已知△BDF 的面积为10，△BCF 的面积为20，△CEF 的面积为16，则四边形区域ADFE 的面积等于（ ）A ．22B ．24C ．36D ．446．某医院内科病房有护士15人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是（ ）A ．30B ．35C ．56D ．448二．填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）7．已知∠A为锐角且4sin2A﹣4sinAcosA+cos2A=0，则tanA=．8．在某海防观测站的正东方向12海浬处有A、B两艘船相会之后，A船以每小时12海浬的速度往南航行，B船则以每小时3海浬的速度向北漂流．则经过小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形．9．如图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，则通过A，B，C三点的拋物线对应的函数关系式是．10．桌面上有大小两颗球，相互靠在一起．已知大球的半径为20cm，小球半径5cm，则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于cm．11．物质A与物质B分别由点A（2，0）同时出发，沿正方形BCDE的周界做环绕运动，物质A按逆时针方向以1单位/秒等速运动，物质B按顺时针方向，以2单位/秒等速运动，则两个物质运动后的第11次相遇地点的坐标是．12．设C1，C2，C3，…为一群圆，其作法如下：C1是半径为a的圆，在C1的圆内作四个相等的圆C2（如图），每个圆C2和圆C1都内切，且相邻的两个圆C2均外切，再在每一个圆C2中，用同样的方法作四个相等的圆C3，依此类推作出C4，C5，C6，…，则（1）圆C2的半径长等于（用a表示）；（2）圆C k的半径为（k为正整数，用a表示，不必证明）三．解答题（本题有4个小题，共60分）13．（14分）如图，四边形ABCD内接于圆O，且AD是圆O的直径，DC与AB的延长线相交于E点，OC∥AB．（1）求证：AD=AE；（2）若OC=AB=4，求△BCE的面积．14．（14分）已知抛物线y=x2+2px+2p﹣2的顶点为M，（1）求证抛物线与x轴必有两个不同交点；（2）设抛物线与x轴的交点分别为A，B，求实数p的值使△ABM面积达到最小．15．（16分）某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表：当比赛进行到12轮结束（每队均要比赛12场）时，A队共积19分．（1）试判断A队胜、平、负各几场？（2）若每一场每名参赛队员均得出场费500元，设A队中一位参赛队员所得的奖金与出场费的和为W（元），试求W的最大值．16．（16分）已知：矩形ABCD（字母顺序如图）的边长AB=3，AD=2，将此矩形放在平面直角坐标系xOy中，使AB在x轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线y=3 2 x﹣1经过这两个顶点中的一个．（1）求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标；（2）以AB为直径作⊙M，经过A、B两点的抛物线，y=ax2+bx+c的顶点是P点．①若点P位于⊙M外侧且在矩形ABCD内部，求a的取值范围；②过点C作⊙M的切线交AD于F点，当PF∥AB时，试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直线y=32x﹣1的上方？还是下方？还是正好落在此直线上？并说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在（）A．直线y=﹣x上B．抛物线y=x2上C．直线y=x上D．双曲线xy=1上【分析】根据相反数的概念及各函数图象上点的坐标特点解答即可．【解答】解：A、y=﹣x即表示x与y互为相反数，故本选项正确；B、例如（﹣1，1），就符合抛物线的解析式y=x2，故本选项正确；C、当该点坐标为（0，0）时，该点就在直线y=x上，故本选项正确；D、因为xy=1，所以x和y同号，该点不在双曲线xy=1上，故本选项错误．故选D．【点评】本题考查一定经过某点的函数应适合这个点的横纵坐标．根据函数不同特点，都对符号作出判断即可．2．以等速度行驶的城际列车，若将速度提高25%，则相同距离的行车时间可节省k%，那么k的值是（）A．35 B．30 C．25 D．20【分析】设距离为S，原来速度为v．分别表示现在速度、时间、原来的时间，根据“时间可节省k%”列方程求解．【解答】解：设距离为S，原来速度为v．则原来行车时间为；现在速度为（1+25%）v，时间为．根据题意得=k%．解得k=20．故选D．【点评】此题考查列分式方程解应用题，难度在设参数，解字母系数的方程．3．若﹣1＜a＜0，则一定是（）A．最小，a3最大B．最小，a最大C．最小，a最大D．最小，最大【分析】在所给范围内选择一个具体的数，代入后比较即可．【解答】解：∵若﹣1＜a＜0，∴a可取﹣0.001，那么a3=﹣0.000 000 001，=﹣0.1，=﹣1000，∴最小，a3最大，故选A．【点评】考查实数的大小比较；选择一个合适的具体的数，代入所给代数式比较，可以简化比较的步骤．4．如图，将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连接EF交AB于H，则下列结论错误的是（）A．AE⊥AF B．EF：AF=：1 C．AF2=FH•FE D．FB：FC=HB：EC【分析】由旋转得到△AFB≌△AED，根据相似三角对应边的比等于相似比，即可求得．【解答】解：由题意知，△AFB≌△AED∴AF=AE，∠F AB=∠EAD，∠F AB+∠BAE=∠EAD+∠BAE=∠BAD=90°．∴AE⊥AF，所以A正确；∴△AEF是等腰直角三角形，有EF：AF=：1，所以B正确；∵HB∥EC，∴△FBH∽△FCE，∴FB：FC=HB：EC，所以D正确．∵△AEF与△AHF不相似，∴AF2=FH•FE不正确．故选：C．【点评】本题利用了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质求解．5．在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且CD与BE相交于点F，已知△BDF的面积为10，△BCF的面积为20，△CEF的面积为16，则四边形区域ADFE的面积等于（）A．22 B．24 C．36 D．44【分析】可设S△ADF=m，根据题中条件可得出三角形的面积与边长之间的关系，进而用m 表示出△AEF，求出m的值，进而可得四边形的面积．【解答】解：如图，连AF，设S△ADF=m，∵S△BDF：S△BCF=10：20=1：2=DF：CF，则有2m=S△AEF+S△EFC，S△AEF=2m﹣16，而S△BFC：S△EFC=20：16=5：4=BF：EF，又∵S△ABF：S△AEF=BF：EF=5：4，而S△ABF=m+S△BDF=m+10，∴S△ABF：S△AEF=BF：EF=5：4=（m+10）：（2m﹣16），解得m=20．S△AEF=2×20﹣16=24，S ADEF=S△AEF+S△ADF=24+20=44．故选D．【点评】本题主要考查了三角形的面积计算问题，能够利用三角形的性质进行一些简单的计算．6．某医院内科病房有护士15人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是（）A．30 B．35 C．56 D．448【分析】此题可运用排列组合解答，15人，每2人一班，轮流值班，则有C152=105种组合，一天是24小时，8小时1班，24除以3=每天3个班再用105除以3=35天．【解答】解：由已知护士15人，每2人一班，轮流值班，得：有C152=105种组合，又已知每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，所以最长需要的天数是105÷（24÷8）=35（天）．故选：B．【点评】此题考查的知识点是整数问题的综合运用，关键是先求出15人，每2人一班有多少种组合，再由每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班求出最长需要的天数．二．填空题（共6小题）7．已知∠A为锐角且4sin2A﹣4sinAcosA+cos2A=0，则tanA=0.5．【分析】先根据解一元二次方程的配方法，得出2sinA﹣cosA=0，再根据tanA的定义即可求出其值．【解答】解：由题意得：（2sinA﹣cosA）2=0，解得：2sinA﹣cosA=0，2sinA=cosA，∴tanA===0.5．故答案为：0.5．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义及利用配方法解一元二次方程的知识，比较简单，注意锐角三角函数定义的掌握．8．在某海防观测站的正东方向12海浬处有A、B两艘船相会之后，A船以每小时12海浬的速度往南航行，B船则以每小时3海浬的速度向北漂流．则经过2小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形．【分析】根据题意画出图形，设经过x小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形，在Rt△OBC、Rt△OCA和Rt△ABO中分别应用勾股定理，即可求出x的值．【解答】解：如下图所示，设经过x小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形，则BC=3x，AC=12x，在Rt△OBC中，根据勾股定理得：122+（3x）2=OB2；在Rt△OCA中，根据勾股定理得：122+（12x）2=AO2；在Rt△ABO中，根据勾股定理得：OB2+AO2=AB2=（15x）2；∴122+（3x）2+122+（12x）2=（15x）2，解得：x=2或﹣2（舍去）．即经过2小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形．故答案为：2．【点评】本题考查勾股定理的实际应用，难度适中，先根据题意画出图形是解题关键．9．如图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，则通过A，B，C三点的拋物线对应的函数关系式是y=﹣x2﹣x+．【分析】根据矩形的性质，利用矩形边长得出A，B，C三点的坐标，再利用待定系数法求出二次函数解析式即可．【解答】解：∵沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，∴A点的坐标为：（﹣4，2），B点的坐标为：（﹣2，6），C点的坐标为：（2，4），将A，B，C代入y=ax2+bx+c，，解得：，∴二次函数解析式为：y=﹣x2﹣x+．故答案为：y=﹣x2﹣x+．【点评】此题主要考查了矩形的性质以及待定系数法求二次函数解析式，根据矩形边长得出A，B，C三点坐标是解决问题的关键．10．桌面上有大小两颗球，相互靠在一起．已知大球的半径为20cm，小球半径5cm，则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于20cm．【分析】首先根据题意作图，可得：⊙A与⊙B外切，⊙A，⊙B与CD分别相切于C，D，AC=20cm，BD=5cm，然后过点B作BE⊥AC，又由切线的性质，即可得四边形ECDB是矩形，则在Rt△AEB中，即可求得BE的长，即可求得这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离CD的长．【解答】解：如图，根据题意得：⊙A与⊙B外切，⊙A，⊙B与CD分别相切于C，D，AC=20cm，BD=5cm，∴AB=25cm，AC⊥CD，BD⊥CD，∴∠ACD=∠BDC=90°，过点B作BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∴四边形ECDB是矩形，∴BE=CD，EC=BD=5cm，∴AE=AC﹣EC=15cm，在Rt△AEB中，BE===20（cm），∴CD=20cm．故答案为：20．【点评】此题考查了外切两圆的性质，切线的性质，以及矩形的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法．11．物质A与物质B分别由点A（2，0）同时出发，沿正方形BCDE的周界做环绕运动，物质A按逆时针方向以1单位/秒等速运动，物质B按顺时针方向，以2单位/秒等速运动，则两个物质运动后的第11次相遇地点的坐标是（﹣，﹣2）．【分析】此题利用行程问题中的相遇问题，由于正方形的边长为4，物质B是物质A的速度的2倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．【解答】解：正方形的边长为4，因为物质B是物质A的速度的2倍，时间相同，物质A 与物质B的路程比为1：2，由题意知：①第一次相遇物质A与物质B行的路程和为16×1，物质A行的路程为16×=，物质B行的路程为16×=，在BC边相遇；②第二次相遇物质A与物质B行的路程和为16×2，物质A行的路程为16×2×=，物质B行的路程为16×2×=，在DE边相遇；③第三次相遇物质A与物质B行的路程和为16×3，物质A行的路程为16×3×=16，物质B行的路程为16×3×=32，在A点相遇；④第四次相遇物质A与物质B行的路程和为16×4，物质A行的路程为16×4×=，物质B行的路程为16×4×=，在BC边相遇；⑤第五次相遇物质A与物质B行的路程和为16×5，物质A行的路程为16×5×=，物质B行的路程为16×5×=，在DE边相遇；…综上可得相遇三次一个循环，因为11=3×3+2，即第11次相遇和第二次相遇的地点相同，所以它们第11次相遇在边DE 上，点的坐标是（﹣，﹣2）．故答案为：（﹣，﹣2）．【点评】此题属于应用类问题，主要考查行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，通过计算发现规律就可以解决问题，难度较大．12．设C1，C2，C3，…为一群圆，其作法如下：C1是半径为a的圆，在C1的圆内作四个相等的圆C2（如图），每个圆C2和圆C1都内切，且相邻的两个圆C2均外切，再在每一个圆C2中，用同样的方法作四个相等的圆C3，依此类推作出C4，C5，C6，…，则（1）圆C2的半径长等于（用a表示）；（2）圆C k的半径为（﹣1 ）k﹣1 a（k为正整数，用a表示，不必证明）【分析】（1）连接AB、BC、CD、AD，AC，设小圆的半径是r，根据圆与圆相切，得到AC=2a ﹣2r，根据正方形的性质和勾股定理得到AC=2r，推出方程2a﹣2r=2r，求出即可；（2）求出r=（﹣1）a，r3=（﹣1）r=a，r4=，得出圆C k的半径为r k=（﹣1 ）k﹣1 a即可．【解答】（1）解：连接AB、BC、CD、AD，AC，设小圆的半径是r，根据圆与圆相切，∴AC=2a﹣2r，∴四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠B=90°，由勾股定理得：AC=2r，∴2a﹣2r=2r，解得：r=（﹣1）a，故答案为：（﹣1）a．（2）解：由（1）得：r=（﹣1）a，同理圆C3的半径是r3=（﹣1）r=a，C4的半径是r4=，…圆C k的半径为r k=（﹣1 ）k﹣1 a，故答案为：r k=（﹣1 ）k﹣1 a．【点评】本题主要考查对正方形的性质和判定，勾股定理，相切两圆的性质等知识点的理解和掌握，能根据计算结果得出规律是解此题的关键．三．解答题（共4小题）13．如图，四边形ABCD内接于圆O，且AD是圆O的直径，DC与AB的延长线相交于E 点，OC∥AB．（1）求证：AD=AE；（2）若OC=AB=4，求△BCE的面积．【分析】（1）根据O为AD中点，OC∥AE，得到2OC=AE，再根据AD是圆O的直径，得到2OC=AD，从而得到AD=AE；（2）根据平行四边形的性质得到BC∥AD，再根据C为中点，得到AB=BE=4，从而求得BC=BE=4，然后连接BD，得到∠DBE=90°，进而得到BE=BC=CE=4，然后求面积即可．【解答】（本小题满分12分）解：（1）∵O为AD中点，OC∥AE，∴2OC=AE，又∵AD是圆O的直径，∴2OC=AD，∴AD=AE．（2）由条件得ABCO是平行四边形，∴BC∥AD，又C为中点，∴AB=BE=4，∵AD=AE，∴BC=BE=4，连接BD，∵点B在圆O上，∴∠DBE=90°，∴CE=BC=4，即BE=BC=CE=4，∴所求面积为4．【点评】本题考查了圆周角定理及平行四边形的性质及判定，解题的关键正确的应用圆周角定理．14．已知抛物线y=x2+2px+2p﹣2的顶点为M，（1）求证抛物线与x轴必有两个不同交点；（2）设抛物线与x轴的交点分别为A，B，求实数p的值使△ABM面积达到最小．【分析】（1）先判断出△的符号即可得出结论；（2）设A（x1，0），B（x2，0），利用两点间的距离公式即可得出|AB|的表达式，设顶点M （a，b），再把原式化为顶点式的形式，即可得到b=﹣（p﹣1）2﹣1，根据二次函数的最值及三角形的面积公式即可解答．【解答】解：（1）∵△=4p2﹣8p+8=4（p﹣1）2+4＞0，∴抛物线与x轴必有两个不同交点．（2）设A（x1，0），B（x2，0），则|AB|2=|x2﹣x1|2=（x1+x2）2﹣4x1x2=4p2﹣8p+8=4（p﹣1）2+4，∴|AB|=2．又设顶点M（a，b），由y=（x+p）2﹣（p﹣1）2﹣1．得b=﹣（p﹣1）2﹣1．当p=1时，|b|及|AB|均取最小，此时S△ABM=|AB||b|取最小值1．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，涉及到的知识点为：根的判别式、两点间的距离公式、二次函数的顶点式及三角形的面积，熟知以上知识是解答此题的关键．15．某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表：当比赛进行到12轮结束（每队均要比赛12场）时，A队共积19分．（1）试判断A队胜、平、负各几场？（2）若每一场每名参赛队员均得出场费500元，设A队中一位参赛队员所得的奖金与出场费的和为W（元），试求W的最大值．【分析】（1）首先假设A队胜x场，平y场，负z场，得出x+y+z=12，3x+y=19，即可得出y，z与x的关系，再利用x≥0，y≥0，z≥0，得出即可；（2）根据图表奖金与出场费得出W=（1500+500）x+（700+500）y+500z，进而得出即可．【解答】解：（1）设A队胜x场，平y场，负z场，得，可得：依题意，知x≥0，y≥0，z≥0，且x、y、z均为整数，∴解得：≤x≤，∴x可取4、5、6∴A队胜、平、负的场数有三种情况：当x=4时，y=7，z=1；当x=5时，y=4，z=3；当x=6时，y=1，z=5．（2）∵W=（1500+500）x+（700+500）y+500z=﹣600x+19300当x=4时，W最大，W最大值=﹣600×4+19300=16900（元）答：W的最大值为16900元．【点评】此题主要考查了一次函数的应用以及不等式组的应用等知识，利用已知得出x+y+z=12，3x+y=19，进而得出y，z与x的关系是解题关键．16．已知：矩形ABCD（字母顺序如图）的边长AB=3，AD=2，将此矩形放在平面直角坐标系xOy中，使AB在x轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线y=x﹣1经过这两个顶点中的一个．（1）求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标；（2）以AB为直径作⊙M，经过A、B两点的抛物线，y=ax2+bx+c的顶点是P点．①若点P位于⊙M外侧且在矩形ABCD内部，求a的取值范围；②过点C作⊙M的切线交AD于F点，当PF∥AB时，试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直线y=x﹣1的上方？还是下方？还是正好落在此直线上？并说明理由．【分析】（1）首先建立平面直角坐标系，由矩形ABCD中，AB=3，AD=2，设A（m，0）（m ＞0），则有B（m+3，0）；C（m+3，2），D（m，2）；然后若C点过y=x﹣1与C点不过y=x﹣1分析，即可求得矩形的顶点A、B、C、D的坐标；（2）⊙M以AB为直径，即可求得M点的坐标，又由y=ax2+bx+c过A（2，0）和B（5，0）两点，利用待定系数法即可求得二次函数的图象，然后顶点同时在⊙M外侧和在矩形ABCD 内部，即可求得a的取值范围；②首先设切线CF与⊙M相切于Q，交AD于F，设AF=n，n＞0；由AD、BC、CF均为⊙M切线，求得CF与DF的长；在Rt△DCF中，由勾股定理求得n的值，可得F的坐标，然后由当PF∥AB时，求得抛物线的解析式与抛物线与y轴的交点Q的坐标，则可得Q在直线y=x﹣1下方．【解答】解：（1）如图，建立平面直角坐标系，∵矩形ABCD中，AB=3，AD=2，设A（m，0）（m＞0），则有B（m+3，0）；C（m+3，2），D（m，2）；若C点过y=x﹣1；则2=（m+3）﹣1，m=﹣1与m＞0不合；∴C点不过y=x﹣1；若点D过y=x﹣1，则2=m﹣1，m=2，∴A（2，0），B（5，0），C（5，2），D（2，2）；（2）①∵⊙M以AB为直径，∴M（，0），由于y=ax2+bx+c过A（2，0）和B（5，0）两点，∴，∴，∴y=ax2﹣7ax+10a（也可得：y=a（x﹣2）（x﹣5）=a（x2﹣7x+10）=ax2﹣7ax+10a）∴y=a（x﹣）2﹣a；∴抛物线顶点P（，﹣a）∵顶点同时在⊙M外侧和在矩形ABCD内部，∴＜﹣a＜2，∴﹣＜a＜﹣．②设切线CF与⊙M相切于Q，交AD于F，设AF=n，n＞0；∵AD、BC、CF均为⊙M切线，∴AF=QF，CQ=BC=2，∴CF=n+2，DF=2﹣n；在Rt△DCF中，∵DF2+DC2=CF2；∴32+（2﹣n）2=（n+2）2，∴n=，∴F（2，）∴当PF∥AB时，P点纵坐标为；∴﹣a=，∴a=﹣；∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x﹣5，抛物线与y轴的交点为Q（0，﹣5），又直线y=x﹣1与y轴交点（0，﹣1）；∴Q在直线y=x﹣1下方．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，矩形的性质，勾股定理的应用以及点与函数的关系等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．。
2025年重点高中自主招生考试数学模拟试卷试题(含答案)
2025重点高中自主招生数学针对性模拟试卷（本试卷满分150分，时间2小时）一、选择题（每小题6分，共60分）1.若“14人中至少有2人在同一个月过生日”这一事件发生的概率为P ，则（）A.P=0B.0<P<1C.P=1P>12.下列命题中，真命题的个数是（）①一组对边平行且对角线相等的四边形是矩形②对角线互相垂直且相等的四边形是菱形③两组对角分别相等的四边形是平行四边形④一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形A.0个 B.1个 C.2个 D.3个3.方程()1112=--x x 的根共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个4.设{}d c b a ,,,max 表示d c b a ,,,中最大的数，则⎭⎫⎩⎨⎧-210,2,260tan 2,45cos 2max 0π=（）A.045cos 2 B.260tan 20- C.2π D.2105.若关于x 的方程012)14(2=-+++m x m x 的两根分别为1x 、2x ，且321=+x x ，则m =（）A.-1或21 B.-1或1C.21-或21 D.21-或16.如图，在△ABC 中，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 延长线上，BF=5CF,且四边形CDEF 是平行四边形，△BDE 与△ADE 的面积之和为7，则△ABC 面积为（）A.28 B.29 C.30 D.327.用数字0,1,2,3,4可以组成没有重复数字的四位数共有（）A.64个 B.72个 C.96个 D.不同于以上答案8.已知y x ,是整数，则满足方程03432=---y x xy 的数对),(y x 共有（）A.4对B.6对C.8对D.12对9.如图，在△ABC 中，AC=BC=4，D 是BC 的中点，过A,C,D 三点的圆O 与AB 边相切于点A,则圆O 的半径为（）A.2B.5C.214D.714410.若关于x 的方程x k x =-23有三个不同解321,,x x x ，设,321x x x m ++=则m 的取值范围为（）A.2<m B.23->m C.20<<m D.223<<-m 二、填空题（每小题6分共36分）11.已知△ABC 中，BC=1，AC=2，AB=3,则△ABC 的内切圆半径为.12.若y x 、满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+2454545yx xy y x xy ，则=+y x .13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线22--=x x y 与x 轴交于A、B 两点（点A 在点B 左边），点E 在对称轴MN 上，点F 在以点C（-1,-4）为圆心，21为半径的圆上，则AE+EF 的最小值为.14.已知直线)0(1>+=k kx y 与双曲线xy 2=交于A、B 两点，设A、B 两点的坐标分别为),(11y x A 、),(22y x B ，则=-+-)1()1(1221y x y x .15.若21≤---a x x 对任意实数x 都成立，则实数a 的取值范围是.16.已知互不相等的正整数20321,,,,a a a a 满足202420321=+++a a a a ，设d 是20321,,,,a a a a 的最大公约数，则d 的最大值为.三、解答题（共54分）17.(12分）已知实数215-=a .（1）求a a +2的值；（2）求3223111aa a a a a +++++的值.18.(12分）已知一次函数)0(1)2(<+-=k x k y 的图象与y x 、轴分别交于点A、B.（1）若2-=k ，试在第一象限内直接写出点),(y x M 的坐标，使得A、B、M 三点构成一个等腰直角三角形；（2）设O 为坐标原点，求△OAB 的面积的最小值.19.(14分）如图，已知0120=∠AOB ,PT 切圆O 于T,A、B、P 三点共线，∠APT 的平分线依次交AT、BT 于C、D，连接BC、AD.(1)求证：△CDT 为等边三角形；(2)若AC=8，BD=2，求PC 的长.20.(16分）已知函数a x a x y -+-+=3)4(2.(1)若此函数的图象与x 轴交于点)0,()0,(21x B x A 、，且2021≤<≤x x ，求a 的取值范围；(2)若20≤≤x ，求y 的最大值；(3)记a x a x x f -+-+=3)4()(2，若对于任意的40<<a ，都能找到200≤≤x ，使t x f ≥)(0，求t 的取值范围参考答案：一、选择题：1-5CBBDC6-10ACBDD 二、填空题：11、2321-+12、913、2914、-415、31≤≤-a 16、817.（1）∵215-=a ，512=+∴a ，5)12(2=+∴a .4442=+∴a a ，12=+∴a a .(3)a a -=12，12)1()1(23-=--=-=-=∴a a a a a a a a .∴原式==++++-3321112aa a a a 122222112333-+=+=++a a a a a a a .当215-=a 时，原式=353)25(2152521511522152+=++-=-+-=--+-⨯.18.(1)当2-=k 时，52+-=x y ，满足题意的M 点有3个，分别为415,415(),215,5(),25,215(321M M M .(2)易求得)21,0(),0,12(k B kA --.k kk k OB OA S OAB 2212)2112(2121--=--=⋅=∴∆，0<k ，021>-∴k ，02>-k .有均值不等式得4)2(2122=-⋅-+≥∆k kS OAB ，当且仅当k k 221-=-，即21-=k 时，等号成立.∴△ABC 的面积的最小值为4.19.(1)证明：0120=∠AOB ，06021=∠=∠∴AOB ATB .∵PT 切⊙O 于T，∴∠BTP=∠TAP.∵PC 平分∠APT，∴∠APC=∠CPT.∵∠TCD=∠TAP+∠APC，∠CDT=∠BTP+∠CPT.∴∠TCD=∠CDT=00060260180=-.∴△CDT 为等边三角形.(3)解：设CT=DT=x ，∵∠TCD=∠CDT=∠BDP，∠BPD=∠CPT，∴△PCT∽△PDB.∴BDCTPD PC =①,∵∠DTP=∠PAC，∠APC=DPT,∴△ACP∽△TDP.∴PD PC TD AC =，∴TD AC BD CT =.∴xx 82=.∴4=x （负值舍去）.∴CD=DT=CT=4.由①得244=-PC PC ,解得PC=8.20.解：（1）∵0)2()3(4)4(22>-=---=∆a a a ，2≠∴a .①当a x x -==3,121时，则231≤-<a ，∴21<≤a ；②当1,321=-=x a x 时，则130<-≤a .32≤<∴a .综上所述，a 的取值范围为31≤≤a 且2≠a .(2)对称轴为直线24a x -=.分三种情况讨论：①当024<-a，即4>a 时，当2=x 时，1-=a y 为最大值.②当2240≤-≤a，即40≤≤a 时，此时y 最大值在0=x 或2=x 处取得.（ⅰ）当242024a a --≥--时，则20≤≤a .此时，当0=x 时，a y -=3为最大值；（ⅱ）当242024aa --<--时，则42≤<a ，此时，当2=x 时，1-=a y 为最大值.③当224>-a，即0<a 时，当0=x 时，a y -=3为最大值.综上所述，当2<a 时，y 的最大值为a -3；当2>a 时，y 的最大值为1-a .(3)对称轴为直线24a x -=.∵40<<a ,∴2240<-<a.∴函数a x a x x f -+-+=3)4()(21在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-24,0a 上是减函数，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,24a 上是增函数.∴对任意的)4,0(∈a ，存在]2,0[0∈x 使得t x f ≥|)(|0可化为对任意的)4,0(∈a ，t f ≥|)0(|或t f ≥|)2(|或t af ≥-)24(有一个成立即可.即t a f f f ≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧-max 24(||,)2(||,)0(|即可.①当242024a a --≥--时，则20≤≤a ，|)2(||)0(|f f ≥.∴a a a a f f t -=⎭⎬⎫⎩⎨⎧---=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤3|2)2(||,3||24(||,)0(|max2max ，∴1)3(min =-≤a t .②当242024aa --<--时，则42≤<a ，此时，|)0(||)2(|f f >.1|4)2(||,1||24(),2(|max2-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧---=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤∴a a a a f f t .∴1)1(min =-≤a t .综上所述，t 的取值范围为1≤t .。
初中实验班招生数学试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √2B. πC. -1/3D. 0.1010010001…2. 已知a、b是实数，且a + b = 0，则a、b互为（）A. 相等B. 相反数C. 同号D. 异号3. 下列各式中，正确的是（）A. (a + b)^2 = a^2 + b^2B. (a - b)^2 = a^2 - b^2C. (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2D. (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^24. 若一个数的平方是16，则这个数是（）A. ±4B. ±2C. ±8D. ±15. 已知x^2 - 5x + 6 = 0，则x的值是（）A. 2B. 3C. 2或3D. 无法确定6. 在△ABC中，若∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数是（）A. 75°B. 105°C. 135°D. 150°7. 下列各式中，绝对值最小的是（）A. |-3|B. |2|C. |-1|D. |-5|8. 已知x = 2，则代数式3x - 4的值是（）A. 2B. 6C. 10D. 149. 下列函数中，y = kx（k≠0）是正比例函数的是（）A. y = 2x + 3B. y = 3x - 2C. y = 2xD. y = 3x + 510. 若a、b是方程x^2 - 4x + 3 = 0的两根，则a + b的值是（）A. 4B. 3C. 1D. -1二、填空题（每题5分，共50分）11. （1）若a、b是相反数，则a + b = _______，a - b = _______。
12. （2）若x^2 = 9，则x = _______。
13. （3）已知∠A = 30°，则∠BAC的度数是 _______。
14. （4）若一个数的平方是36，则这个数是 _______。
名校理科实验班招生考试数学测试卷1祥细解析
名校高中理科实验班招生考试复习提高训练数学卷1一、选择题（本题6个小题，每小题6分，共36分） 1.已知b a ,为正实数，若0111=+--b a b a ，则=+33)()(ba ab （ ）【答案】B A.253 B.52 C.33 D.335 【解析】由0111=+--b a b a ，得b a b a +=-111，即1=-baa b .于是54)(2=+-=+baa b b a a b ，则52]3))[(()()(233=-++=+b a a b b a a b b a a b .2.如图，在ABC ∆中，AC AB =，MBC ABN ∠=∠，MN MB =，设a BN =，则点N 到边BC 的距离等于（ ）【答案】DA.a 45 B.a 36 C.a 552 D.a 23【解析】令y BMN x MBN MBC ABN =∠=∠=∠=∠,,α， 则ABC C y ∠+=∠+=ααx x +=++=ααα3)2(.于是由 180=∠+∠+∠BMN MNB MBN ，得1803=+++x x x α，即18033=+αx .所以 60=+αx ，即60=∠NBC ，所以N 到边BC 的距离为a 23.3.已知关于x 的方程0)1(=--k x x 有3个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）【答案】A A.041<<-k B.410<<k C.41->k D.41<k 【解析】由0)1(=--k x x ，得k x x =-)1(.即曲线⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-=)0()0(22x xx x x x y 与直线k y =有3个不同的交点，由图象知041<<-k .4.如图，以ABC Rt ∆的斜边BC 为边在ABC ∆的同侧作正方形BCEF ，已知正方形的中心为O ，且26=OA ，4=AB ，则AC 的长为（ ）【答案】D A.12 B.34 C.28 D.16【解析】在AC 上取一点G 使CG=AB=4，连接OG.∵∠ABO=90°-∠AHB ，∠OCG=90°-∠OHC ，而∠OHC=∠AHB ，∴∠ABO=∠OCG . ∵OB=OC ，CG=AB ，∴△OGC ≌△OAB ，∴26==OA OG ，∠BOA=∠GOC. ∵∠GOC+∠GOH=90°，∴∠GOH+∠BOA=90°，即∠AOG=90°. ∴△AOG 是等腰直角三角形，122==OA AG AG=12，则AC=16.又因为53+=，所以原式126)(253221=++=++++-=.6.若x 为实数，记][x 表示不超过x 的最大整数，设{}][x x x -=，则方程{}201912018=+x x 的实根个数为（ ）【答案】AA.2B.1C.0D.大于2的整数【解析】由{}][x x x -=，得x=[x]+{x}，所以{}{}{}20191)]([2018201912018=++⇔=+x x x x x ，即2018[x]+2 019{x}=20191. 又0≤2 019{x}<2 019，所以[x]=-1或[x]=0.（1）若[x]=1-则{x}=2019 21019 2018 2+⨯=2201921019 2-019 2+=11019 201822<-， 于是{}22201920182019201811][-=-+-=+=x x x .（2）若[x]=0，则{}220191=x ，于是{}2220191201910][=+=+=x x x .综上得220192019-=x or220191，共有两个实根.二、填空题（本题4个小题，每小题6分，共24分） 7.使得不等式981715n n k <<+对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为________.【答案】144 【解析】由条件得7889k n <<，即72647263<<n k . 由于k 为整数，而63与64之间没有整数，所以化为144128144126<<n k . 则由k 的唯一性知144,127max ==n k .8.在一次棋赛中，有n 名女选手和n 9名男选手参赛，每位选手都与其余110-n 名选手各对局一次，计分方式为：胜者得2分，负者得0分，平局各得1分，比赛结束后统计发现，所有男选手的得分总和是所有女选手得分总和的4倍，则n 的所有可能值是________.【答案】1【解析】因为n 10名选手共对局2)110(10210-=n n C n 局，每局产生2分，所以共产生)110(10-n n 分.男选手得分总和的最小值为)19(9-n n ，则女选手得分总和的最大值为)110(10-n n n n n n -=--219)19(9.又因为所有男选手的得分总和是所有女选手得分总和的4倍，所以)19(4)19(92n n n n -≤-，即0)1(5≤-n n ，解之得10≤≤n ，而*∈N n ，所以1=n .9.如图，已知直线x y l 34:-=与点1A )0,3(-，过点1A 作x 轴的垂线交直线l 于点1B ，以原点O 为圆心，1OB 的长为半径作弧交x 轴的负半轴于点2A ；再过点2A 作x 轴的垂线交直线l 于点2B ，以原点O 为圆心，2OB 的长为半径作弧交x 轴的负半轴于点 ,3A 按此做法进行下去，则点2016A 的坐标为________.【答案】)0,35(20142015-【解析】10.如图，PA ，PB 是圆O 的两条切线，D 为AB 上一点，PD 交圆O 于E ，C 两点，且PE=2，CD=1，则DE 的长为________.【答案】2317-【解析】连PO 交AB 于H.令x DE =，则)3(22+=⋅=x PC PE PA .又因为222AH PH PA +=，所以)3(222+=+x AH PH . 由222PD DHPH =+，得222)2(+=+x DH PH .两式作差得222)2()3(2+-+=-x x DH AH ，即2)2()3(2))((+-+=-+x x DH AH DH AH ， 即2)2()3(2+-+=⋅x x AD BD .而1⋅=⋅=⋅x CD ED AD BD ，所以2)2()3(2+-+=x x x ，解得2317-=x ，即2317-=DE .三、解答题（本题3个小题，满分40分） 11.（本题满分12分）如图，已知ABC ∆是边长为3的等边三角形，BDC ∆是等腰三角形，且︒=∠120BDC ，以D 为顶点做一个︒60角，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，求AMN ∆的周长.【解析】延长NC 至M '，使得BM M C ='，连结M D '.∵BDC ∆是等腰三角形，且︒=∠120BDC ，∴︒=∠=∠30DBC BCD .∵ABC ∆是边长为3的等边三角形，∴︒=∠=∠=∠60BCA BAC ABC ，则︒=∠=∠90DCN DBM . 由BD=CD ，︒='∠=∠90M DC DBM ，M C BM '=，得M CD BDM '∆≅∆. 则M D DM '=，M CD BDM '∠=∠.又因为60=∠+∠CDN BDM ，所以60=∠+'∠CDN M CD ，即60=∠='∠MDN DN M . 在DMN ∆和N M D '∆中，⎪⎩⎪⎨⎧=︒='∠=∠'=DN DN M ND MDN M D DM 60，∴M DN DNM '∆≅∆，则BM CN M C NC N M MN +='+='=. 于是CN AN BM AM MN AN AM +++=++6=+=AC AB ，即AMN ∆的周长为6.′ANMDC B12.（本题满分12分）如图，点C 为ABD ∆外接圆上的一动点(点C 不在弧BAD 上，且不与点B ，D 重合)，∠ACB=∠ABD=45°. （1）连结CD ，求证：CD BC AC +=2；（3）若ABC ∆关于直线AB 的对称图形为ABM ∆，连接DM ，试探究线段BM AM DM ,,三者之间所满足的数量关系，并证明你的结论.【解析】 （1）由∠ADB=∠ACB ，∠ACB=∠ABD=45°，得∠ABD=∠ADB=45°. 则∠BAD ＝90°，于是BD 是ABD ∆的外接圆的直径. 如图，作AE ⊥AC ，交CB 的延长线于E.∵∠ACB ＝45°，AC ⊥AE ，∴△ACE 为等腰直角三角形，即AC ＝AE.由CE 2=AC 2＋AE 2=2AC 2，得AC CE 2=.又因为∠BAD ＝∠EAC=90°，所以∠EAB ＋∠BAC ＝∠DAC ＋∠BAC ，则∠EAB ＝∠DAC.在△ABE 和△ADC 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AC AE DAC EAB ADAB ，∴△ABE ≌△ADC ，∴BE=DC.于是CE=CB+BE=BC+CD ，即CD BC AC +=2 （2）BM AM DM ,,三者之间满足2222MA BM DM+=.证：延长MB 交圆于点F ，连结AF ，DF.∵∠BFA=∠BCA=∠BMA=45°，∴AM=AF ，∠MAF=90°，则22222MF MA AF MA ==+. 又∵AC=MA=AF ，∴弧AC=弧AF.F又∵=，∴弧AC-弧AD=弧AF-弧AB ，即弧BC=弧BF.则弧DF=弧BC ，于是DF=BC=MB. ∵BD 为直径，∴∠BFD=90°.从而在Rt △MFD 中，有222MD DF MF =+，即2222MD MB MA =+.13.（本题满分16分）如图1，抛物线2(0)y ax bx c a =++>的顶点为M ，直线m y =与x 轴平行，且与抛物线交于点A ，B ，若AMB ∆为等腰直角三角形，我们把抛物线上A ，B 两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB 称为碟宽，顶点M 称为碟顶，点M 到线段AB 的距离称为碟高.（1）抛物线212y x =对应的碟宽为________，抛物线24y x =对应的碟宽为________，抛物线2y ax =)0(>a 对应的碟宽为________，抛物线3)2(2+-=x a y )0(>a 对应的碟宽________；（2）若抛物线3542--=ax ax y )0(>a 对应的碟宽为6，且在x 轴上，求a 的值； （3）将抛物线2(0)n n n nn y a x b x c a =++>的对应准蝶形记为n F ),3,2,1( =n ，定义n F F F ,,,21 为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比，若n F 与1-n F 的相似比为12，且n F 的碟顶是1-n F 的碟宽的中点，现在将（2）中求得的抛物线记为1y ，其对应的准蝶形记为1F .①求抛物线2y 的表达式；② 若1F 的碟高为1h ，2F 的碟高为2h ，…，n F 的碟高为n h ，则=n h ________，n F 的碟宽右端点的横坐标为________；n F F F ,,,21 的碟宽右端点是否在一条直线上？若是，写出该直线的表达式；若不是，请说明理由.【解析】（1）4，12 ，2a ，2a.∵a ＞0，∴y=ax 2的图象大致如图1，其必经过原点O.记线段AB 为其准蝶形的碟宽，AB 与y 轴的交点为C ，连接OA ，OB.∵△OAB 为等腰直角三角形，AB ∥x 轴，∴OC ⊥AB.于是∠AOC=∠BOC ＝12 ∠AOB ＝12 ×90°=45°，即△AOC=△BOC 亦为等腰直角三角形.∴AC=OC=BC ，则A A B B x y x y ==，，即A ，B 两点的x 轴和y 轴坐标的绝对值相同， 代入2y ax =，得2x ax =，解得1x a=. ∴由图像知A （－1a ，1a ），B （1a ，1a ），C （0，1a ），即AC=OC=BC ＝1a. ∴AB=1a ·2＝2a ，即2y ax =的碟宽为AB ＝2a. ∴①抛物线y=12 x 2对应的1a 2=，得碟宽2a=4；②抛物线y=4x 2对应的a=4，得碟宽2a =12； ③抛物线2y ax =(a ＞0)的碟宽为2a； ④抛物线y=a(x-2)2+3(a ＞0)是由y=ax 2向右平移2个单位，再向上平移3个单位后所得. ∵平移不改变形状、大小、方向，∴抛物线y=a(x-2)2+3(a ＞0)的准碟形≌抛物线y=ax 2的准碟形. ∵抛物线y=ax 2(a ＞0)的碟宽为2a ，∴抛物线y=a(x-2)2+3(a ＞0)的碟宽为2a. （2）解法一：由y=ax 2―4ax －53 ＝a(x －2)2－(4a ＋53 )，得其碟宽为2a .∵y=ax 2―4ax －53 的碟宽为6，∴2a =6，解得a=13 ，∴y ＝13(x-2)2-3.解法二：由254(0)3y ax ax a =-->，得25(2)43y a x a =---. 由碟宽在x 轴上，得碟高＝543a --＝62=3，解得a ＝±13 .又∵a ＞0，a ＝－ 13 错误！未定义书签。
高一实验班招生面试数学试卷(解析版) (2)
高一试验班招生面试试题数学试卷说明：1．本试卷分选择题和非选择题，满分100分。
考试用时90分钟。
2．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号、试室号、座位号填写在答题卡上。
3．答题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1．已知113a b=+,则2523a ab bb ab a --=+-( )A ．116-B ．138-C ．156D ．1372．如图，在△ABC 中，CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，AB ＝2，点D 为AB 的中点，以点D 为圆心作圆心角为90°的扇形DEF ，点C 恰在弧EF 上，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．3．关于x 的一元二次方程x 2﹣mx +5（m ﹣5）＝0的两个正实数根分别为x 1，x 2，且2x 1+x 2＝7，则m 的值是（ ）A ．2B ．6C ．2或6D ．74． 甲乙丙丁四名同学参加某次过关考试，甲乙丙三个人分别去老师处问询成绩，老师给每个人只提供了其他三人的成绩．然后，甲说：我们四个人中至少两人不过关；乙说：我们四人中至多两人不过关；丙说：甲乙丁恰好有一人过关．假设他们说的都是真的，则下列结论正确的是（ ） A ．甲没过关B ．乙过关C ．丙过关D ．丁过关5．已知m,n 是正整数，并且2223,120mn m n m n mn ++=+=，则22m n +=（ ） A ．209B ．49C ．93D ．346．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝8，AD 平分∠BAC ，点PQ 分别是AB 、AD 边上的动点，则PQ +BQ 的最小值是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．77．已知非零实数a,b,c 满足a 21+4a 2=b 4，b 21+10b 2=c 10,c 21+16c 2=a 2则a b c ++=( ) A ．1312B ．1912C ．1710D ．19108．如图，在x 轴正半轴上依次截取OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A n ﹣1A n ＝1（n 为正整数），过点A 1、A 2、A 3、…、A n 分别作x 轴的垂线，与反比例函数y ＝（x ＞0）交于点P 1、P 2、P 3、…、P n ，连接P 1P 2、P 2P 3、…、P n ﹣1P n ，过点P 2、P 3、…、P n 分别向P 1A 1、P 2A 2、…、P n ﹣1A n ﹣1作垂线段，构成的一系列直角三角形（见图中阴影部分）的面积和是（ ）A ．B ．C ．D ．第3页（/共4页） 第4页/（共34页）知人善教 培养品质 引发成长动力二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）9．已知x 、y 都是正实数，且满足x 2+2xy +y 2+x +y ﹣12＝0，则x （1﹣y ）的最小值为 ．10． 将正整数对作如下分组，第1组为{（1，2），（2，1）}，第2组为{（1，3），（3，1）}，第3组为{（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）}，第4组为{（1，5），（2，4），（4，2），（5，1）}…则第30组第16个数对为 ．11．因式分解:2()4()()c a b c a b ----= ．12．若实数a 满足a 3＜a ＜a 2，则不等式x +a ＞1﹣ax 的解集为 ．13．设有正数11a =，12n n a a +=+（n 是正整数），60a +++=+ ．14．一枚均匀的普通骰子被掷三次，若前两次所掷点数之和等于第三次的点数，则掷得的点数至少有一次是2的概率是 ．15．若0x y z ++=,0xyz ≠,则111111()()()3x y z y z z x x y++++++= ．16．规定运算*a b 满足：*1(0),*(*)(*)a a a a b c a b c =≠=,其中,0b c ≠,,,a b c 为实数，则方程2*250x x =的解x= ．三．解答题（共5小题，17~18题9分，19题10分，20~21题12分）17．如图，AB 是⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线BM ，弦CD ∥BM ，交AB 于点F ，且＝，连接AC ，AD ，延长AD 交BM 于点E ． （1）求证：△ACD 是等边三角形；（2）连接OE ，若⊙O 的半径为2，求OE 的值．18．在直角坐标系中，有以A （﹣1，﹣1），B （1，﹣1），C （1，1），D （﹣1，1）为顶点的正方形，设它在折线y＝|x ﹣a |+a 上侧部分的面积为S ，试求S 关于的函数关系式，并画出它们的图象．19．已知平面直角坐标系中，B（﹣3，0），A为y轴正半轴上一动点，半径为的⊙A交y轴于点G、H（点G在点H的上方），连接BG交⊙A于点C．（1）如图①，当⊙A与x轴相切时，求直线BG的解析式；（2）如图②，若CG＝2BC，求OA的长；（3）如图③，D为半径AH上一点，且AD＝1，过点D作⊙A的弦CE，连接GE并延长交x轴于点F，当⊙A与x轴相离时，2OGOF的值不是否改变？请说明理由．20．如图，已知点A的坐标为（﹣2，0），直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B和点C，连接AC，顶点为D的抛物线y＝ax2+bx+c过A、B、C三点．（1）请直接写出B、C两点的坐标，抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E，P是第一象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点F，若四边形DEFP为平行四边形，求点P的坐标；（3）设点M是线段BC上的一动点，过点M作MN∥AB，交AC于点N，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BA向点A运动，运动时间为t（秒），当t（秒）为何值时，存在△QMN为等腰直角三角形？21．已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝x有两个实数根x1，x2，且满足x1＞0，x2﹣x1＞1．（1）试证明c＞0；（2）证明b2＞2（b+2c）；（3）对于二次函数y＝x2+bx+c，若自变量取值为x0，其对应的函数值为y0，则当0＜x0＜x1时，试比较y0与x1的大小．第7页（/共4页）第8页/（共34页）知人善教培养品质引发成长动力2018年湛江第一中学高一试验班招生面试试题数学试卷参考答案说明：1．本试卷分选择题和非选择题，满分100分。
重点高中高一提前招生选拔考试数学试卷及答案(共5份)
重点高中提前招生选拔考试数学试卷（本卷满分100分，时间120分钟）一、选择题（每题4分，共40分） 1．下列运算正确的是（ ）A.a 5.a 6= a 30B. (a 5)6= a 30C.a 5+a 6= a 11D.a 5÷a 6=65 2．抛物线2)8x (y 2+--=的顶点坐标是（ ）A ．（2，8）B ．（8，2）C ．（—8，2）D ．（—8，—2）3．在平面内有线段AB 和直线L,点A 、B 到直线L 的距离分别是4㎝、6㎝.则线段AB 的中点C到直线l 的距离是 （ )A ．1或5B ．3或5C ．4D ．54．已知:3223222⨯=+; 8338332⨯=+;154415442⨯=+;245524552⨯=+,……；809980992⨯=+，若ab10a b 102⨯=+（a,b 为正整数）则a+b 的值不可能是（ ） A ．109 B ．218 C ．326 D ．4365.无论m 为何实数，直线y=2x+3m 与y=－x+5的交点不可能在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.已知a 、b 、c 为△ABC 的三条边，且满足a 2+ab －ac －bc=0，b 2+bc －ba －ca=0,则 △ABC 是（ ）A ．等边三角形 B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形7.若关于x 的不等式组 x ≥3a －2 无解，则函数y=(a －3)x 2－x －41的图象与 x<a+4 x 轴的交点个数为（ ）A.0B.1C.2D.1或28.将任意一张凸四边形的纸片对折，使它的两个不相邻的顶点重合，然后剪去纸片 的不重合部分，展开纸片，再一次对折，使另外的两个顶点重合，再剪去不重合 的部分后展开，此时纸片的形状是（ ）A.正方形B.长方形C.菱形D.等腰梯形9.如图，点M 是正方形ABCD 的CD 边上的中点， 点P 按A →B →C →M 的顺序在正方形的边上运动， 设AB=1，点P 经过的路程为x ，△APM 的面积为y ，则y 关于x 的函数是（ ）CP10.为了迎接2010年亚运会的到来，某足球协会举办了一次足球联赛，其记分规则及奖励方案如下表：当比赛进行到12轮结束（每队均需比赛12场）时，A 队共积19分，若每 赛一场每名参赛队员均得出场费500元，设A 队其中一名参赛队员所得的奖金与 出场费的和为W （元），试求W 的最大值是（ ） .16300 B. 16900 C. 15700 D. 17500二、填空题（每题5分，共30分）11．一盒子内放有3个红球、6个白球和5个黑球，它们除颜色外都相同，搅匀后任意摸出1个球是白球的概率为 ．12．某校七年级2班的男生人数是女生人数的1.8倍，在一次数学测试中，全班成绩 的平均分是75分，其中女生的平均分比男生的平均分高20%，则女生的平均分是 ___________分。
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马鞍山市第二中学2010年实验班招生数学素质测试题一、选择题 (每小题6分，满分36分。
以下每小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填得0分) 1、计算11111335579799+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯= （ ） A 9998 B 9749 C 94 D 99492、 已知y x ,是互不相等的实数，且使等式03,0322=-+=-+y y x x 成立， 则2222xy y x +=（ ） A 3B 4C 6D 6-3、如图，圆内两条弦互相垂直，其中一条被分成2和6两段，另一条被分成3和4两段，此圆的直径为 ( )A BC 9D 104、将一颗质地均匀的骰子（一种各面分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是 （ ）A 41B 81C 121D 161CA B D.O5、如图，在直角梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，,90AB BC ABC =∠=，3DE cm =4,5EC cm DC cm ==，那么这个梯形ABCD 的面积是 （ ）A152172cm B 195202cm C 12 2cm D 13 2cm6、已知实数,,x y z 满足5x y z ++=，3xy yz zx ++=，则z 的最大值是 （ ）A 3B 4C 619D 313二、填空题（每小题6分，满分36分）7、设0,0a b c abc ++=>，则||||||a b ca b c ++的值是 8、若531-的整数部分为a ,小数部分为b ，则2(21)a b b -+=9、如图, 已知：1,2AD AB ==，DC BC =，60DAC CAB DCB ∠=∠=∠=︒， 则AC =10、计算32322010220102008201020102011-⨯-=+-_____________11、对于每个x ，函数y 是642,6221++-=+-=x x y x y 这两个函数的较小值，则函数y 的最大值是_______________12、某人沿着向上移动的自动扶梯从顶朝下走到底用了90秒，而他沿同一扶梯从底朝上走到顶只用了10秒，那么此人不走动，乘该扶梯从底到顶所需的时间是_________ 秒。
（该人上、下的速度不变,电梯向上移动的速度也不变）。
AD BCEBADC三、解答题（共6小题，满分78分）13、（满分12分）解方程 ()()()()084321=-++++x x x x .14、（满分14分）已知关于x 的方程0222=+++m mx x . （1）方程两根都是正数时，求m 的取值范围；（2）方程一个根大于1，另一个根小于1，求m 的取值范围。
15、（满分12分）求满足下列条件的最小正整数n ：对于n ，存在正整数k ，使137158<+<k n n 成立。
16、(满分14分) 如图，直角梯形OABC 直角顶点为O 是坐标原点，BD=14OA =， 03,45AB OAB =∠=， E 、F 分别是线段OA 、AB 上的两动点，且始终保持045=∠DEF .（1） 写出D 点的坐标；（2） 设OE x =，AF y =，确定y 和x 的函数关系；（3） 当EF AF =时，将AEF ∆沿EF 折叠得到EF A '∆，求EF A '∆和五边形OEFBC重叠部分面积。
n 一定能被5整除。
17、（满分12分）已知自然数n不能被5整除，求证：4118、（满分14分）如图，已知⊙O 是四边形ABCD 的外接圆，直线,AD BC 相交于点E ，F是弦CD 的中点，直线EF 交弦AB 于点G ，求证：（1） ED EA EC EB ⋅=⋅； （2） 22::AG GB AE BE = .B2010年马鞍山二中实验班招生数学素质测试题参考答案一、选择题1、D2、C3、B4、C5、A6、D二、填空题7 、 -1 8、 0 9、 3 10、2011200811、 6 12、 25三、解答题13、解：()()())85)(25(016)5(1050865452222222=++++=++++=-++++x x x x x x x xx x x x。
3分 0252=++∴x x （1）或0852=++x x （2）。
6分由（1）得2175224255±-=⨯-±-=x 。
9分由（2）得078425<-=⨯-=∆，方程无解。
11分综合得原方程的解为2175±-=x 。
12分 14、解：（1）根据题意，m 应当满足条件⎪⎩⎪⎨⎧>+=>-=+>+-=∆02020)2(4421212m x x m x x m m 。
3分即⎪⎩⎪⎨⎧-><-≤≥2012m m m m 或 12-≤<-∴m 。
7分（2）根据题意，m 应当满足条件⎩⎨⎧<-->+-=∆0)1)(1(0)2(44212x x m m 。
10分，即 ⎩⎨⎧-<-<>112m m m 或 1-<∴m 。
14分15、 由已知得1513,87n k n +>> 1513671,8778k k n n >+>∴<<即 。
3分 因为n , k 为正整数显然n>8， 取n = 9 , 则863754<<k ，没有这样的整数K 值， 。
6分 依次取n = 10, n = 11, n = 12, n = 14时， 分别得870760<<k ，877766<<k ，884772<<k ，891778<<k ，898784<<k ， k 都取不到整数 。
10分 当n = 15时，8105790<<k ，k 取13即可满足， 所以n 的最小值是15. 。
12分16、（1）)223,223(D 。
3分 （2）连OD ，由（1）D 在COA ∠的平分线上，则045=∠=∠COD DOE3,450==∴=∠AB OD BAO ，0451-∠=∠DEA ，0452-∠=∠DEA∠=∠12，ODE ∆∴～AEF ∆AE OD AF OE =∴即x y x -=243，x x y 324312+-=∴ 。
8分（3）当EF=AF 时，045=∠=∠=∠DEF FEA FAEAEF ∆∴为等腰Rt ∆D 在E A '上（E A 'OA ⊥），B 在F A '上（)EF F A ⊥'EF A '∆∴和五边形OEFBC 重叠部分面积为四边形EFBD 的面积22522324=-=-=-=CD OA OE OA AE252222545sin 0===∴AE AF825)25(21212==∙=∆AF EF S AEF 42122322522121=+=+=∴）（）（梯形DE AE BD SSS S AED B BD EF -=梯形四边形AEF ∆=817825421=- 。
14分17、证明：∵ 自然数n 不能被5整除，故n 的个位数字不为0和5. 。
2分 若n 的各位数字为1，3，7，9，则4n 的个位数字总是1，故41n -的个位数字为0。
若n 的各位数字为2，4，6，8，则4n 的个位数字总是6，故41n -的个位数字为5。
∴ 41n -总能被5整除。
。
12分18、证明:(1) ∵ 四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形∴ ∠DCE=∠A, ∠EDC=∠B ∴EDC ∆∽EAB ∆ ∴ED ECEB EA= 故ED EA EC EB ⋅=⋅ 。
5分(2) 方法（一）过点F,G 分别作AE,BE 的垂线， 垂足分别为K,M,H,N (如图) ∵AGE BGE S AG AE GHBG S BE GN∆∆⋅==⋅ ,FK HG MF GNFK EF FM GH EG GN ∴== F 是CD 的中点BS EDF ECFS DE FK EC FM ∆∆∴=∴⋅=⋅DE FMEC FK∴= 22AG AE GH AE FK AE CE AE BG BE GN BE FM BE ED BE⋅∴==⋅=⋅=⋅ 。
14分 方法（二） 由梅涅劳斯定理可知221CD 11AG BE CF DEBG EC FD EA F CF FD AG BE DEBG EC EA AG BE BE BG EC EC AG BE BG EC ⋅⋅⋅=∴=∴⋅⋅=∴⋅⋅=∴=是的中点。