111角的概念的推广
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今天我与一中共同奋斗， 明天一中以我为骄傲！
课程结束 感谢指导！
例1. 在0o到360o范围内，找出－950o12′. 角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角.
解： ∵－950o12′=－2×360o+230o12′， ∴230o12′ 的角与－ 950o12′ 的角终边相同， 它是第二象限角．
变式训练： 在0o到360o范围内，找出2017o角 终边相同的角，并判断它是哪个象限的角.
角的记法：角α或可以简记成∠α.
⑶角的概念扩展的意义：
用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大 了 ① 角有正负之分; ② 角可以任意大; ③ 还有零角, 一条射线，没有旋转.
用旋转来描述角，需要注意三个要素（旋 转中心、旋转方向和旋转量） （1）旋转中心：作为角的顶点.
（2）旋转方向：旋转变换的方向分为 逆时针 和顺时针两种，这是一对意义相反的量，
人教版必修四第一章
1.1.1 任意角的概念
湖北省来凤县第一中学 主讲：张东林
Байду номын сангаас2017.11
学习目标：
1.理解并掌握任意角、象限角、终边相同的 角的定义。 2.会写终边相同的角的集合并且会利用终边 相同的角的集合判断任意角所在的象限。
1、角的概念
初中是如何定义角的？ 从一个点出发引出的两条射线构成的几
何图形. 这种概念的优点是形象、直观、容易理
解，它是从图形形状来定义角，因此角的范
围是[0o, 360o)，
这种定义称为静态定义，其弊端在于 “狭隘”.
生活中很多实例会不在该范围。 课本思考：钟表校对问题？ 体操运动员转体1080o，跳水运动员向内、 向外转体720o；
如何画出720o，1080o角？两个角有什么 区别？如何刻画钟表顺时针和逆时针旋转方 向？
?课堂小结：
正角：射线按逆时针方向旋
1.任意角
转形成的角 负角：射线按顺时针方向
的概念 旋转形成的角
零角：射线不作旋转形成的角
2.象限角
1)置角的顶点于原点 2)始边重合于X轴的非负半轴
终边落在第几象限就是第几象限角
3 . 终边与 角ａ相同的角
? ＋K·3600，K∈Z
今天你对学习的态度， 决定未来人生的高度；
（3）旋转量： 当旋转超过一周时，旋转量即超过360o，角度的绝对
值可大于360o .于是就会出现720o ，－ 540o等角度.
3．“象限角”
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标 系中来讨论角。
角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合 于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几
象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的 终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象 限）
⑶ 终边相同的角： 所有与? 终边相同的角连同? 在内可以构
成一个集合：{β| β=α+k·360o}(k∈Z)
即：任何一个与角? 终边相同的角，都可 以表示成角? 与整数个周角的和
⑷注意以下四点： ① k∈Z； ② ? 是任意角； ③ k·360o与? 之间是“+”号，如k·360o－30o,应 看成k·360o+(－30o)； ④ 终边相同的角不一定相等，但相等的角，终 边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们 相差360o的整数倍.
例如：30?、390?、? 330?是第Ⅰ象限角， 300?、 ? 60?是第Ⅳ象限角，
你能说说在直角坐标系内讨论角的好处吗？
? 1.始边固定，只考虑终边； ? 2.在同一参照系中，讨论更加简化； ? 3.能表现角的终边“周而复始”的现象； ? 4.有利于以后研究三角函数，建立角与实数
的一一对应关系。
这些例子不仅不在范围[0o, 360o) ，而且方向不
有必要将角的概念推广到任意角， 想想用什么办法才能推广到任意角？
关键是用运动的观点来看待角的变化。
2．角的概念的推广
⑴“旋转”形成角
一条射线由原来的位置OA，
绕着它的端点O按逆时针方向
旋转到另一位置OB，就形成角B
α．
旋转开始时的射线OA叫做
角α的始边，旋转终止的射线
O
A
OB叫做角α的终边，射线的端
点O叫做角α的顶点．
正角：把按逆时针方向旋转所形成的角叫 做正角，
负角：把按顺时针方向旋转所形成的角叫 做负角
如图，以OA为始边的角α=210°，β=－ 150°，γ=660°，
2100
-1500
6600
特别地，当一条射线没有作任何旋转时， 我们也认为这时形成了一个角，并把这个角 叫做零度角（0o）．
4．终边相同的角
⑴ 探究：328?，?392?角，它们的终边都
与-32?角的终边有关系吗？ 观察得出：328?=-32?+360?(k=1),
? 392?=-32??360? (k=－1) -32?=-32?+0×360? (k=0), ⑵结论：与-32?终边相同的角都可以表示成： -32?+k×360?(k∈Z)
课程结束 感谢指导！
例1. 在0o到360o范围内，找出－950o12′. 角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角.
解： ∵－950o12′=－2×360o+230o12′， ∴230o12′ 的角与－ 950o12′ 的角终边相同， 它是第二象限角．
变式训练： 在0o到360o范围内，找出2017o角 终边相同的角，并判断它是哪个象限的角.
角的记法：角α或可以简记成∠α.
⑶角的概念扩展的意义：
用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大 了 ① 角有正负之分; ② 角可以任意大; ③ 还有零角, 一条射线，没有旋转.
用旋转来描述角，需要注意三个要素（旋 转中心、旋转方向和旋转量） （1）旋转中心：作为角的顶点.
（2）旋转方向：旋转变换的方向分为 逆时针 和顺时针两种，这是一对意义相反的量，
人教版必修四第一章
1.1.1 任意角的概念
湖北省来凤县第一中学 主讲：张东林
Байду номын сангаас2017.11
学习目标：
1.理解并掌握任意角、象限角、终边相同的 角的定义。 2.会写终边相同的角的集合并且会利用终边 相同的角的集合判断任意角所在的象限。
1、角的概念
初中是如何定义角的？ 从一个点出发引出的两条射线构成的几
何图形. 这种概念的优点是形象、直观、容易理
解，它是从图形形状来定义角，因此角的范
围是[0o, 360o)，
这种定义称为静态定义，其弊端在于 “狭隘”.
生活中很多实例会不在该范围。 课本思考：钟表校对问题？ 体操运动员转体1080o，跳水运动员向内、 向外转体720o；
如何画出720o，1080o角？两个角有什么 区别？如何刻画钟表顺时针和逆时针旋转方 向？
?课堂小结：
正角：射线按逆时针方向旋
1.任意角
转形成的角 负角：射线按顺时针方向
的概念 旋转形成的角
零角：射线不作旋转形成的角
2.象限角
1)置角的顶点于原点 2)始边重合于X轴的非负半轴
终边落在第几象限就是第几象限角
3 . 终边与 角ａ相同的角
? ＋K·3600，K∈Z
今天你对学习的态度， 决定未来人生的高度；
（3）旋转量： 当旋转超过一周时，旋转量即超过360o，角度的绝对
值可大于360o .于是就会出现720o ，－ 540o等角度.
3．“象限角”
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标 系中来讨论角。
角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合 于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几
象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的 终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象 限）
⑶ 终边相同的角： 所有与? 终边相同的角连同? 在内可以构
成一个集合：{β| β=α+k·360o}(k∈Z)
即：任何一个与角? 终边相同的角，都可 以表示成角? 与整数个周角的和
⑷注意以下四点： ① k∈Z； ② ? 是任意角； ③ k·360o与? 之间是“+”号，如k·360o－30o,应 看成k·360o+(－30o)； ④ 终边相同的角不一定相等，但相等的角，终 边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们 相差360o的整数倍.
例如：30?、390?、? 330?是第Ⅰ象限角， 300?、 ? 60?是第Ⅳ象限角，
你能说说在直角坐标系内讨论角的好处吗？
? 1.始边固定，只考虑终边； ? 2.在同一参照系中，讨论更加简化； ? 3.能表现角的终边“周而复始”的现象； ? 4.有利于以后研究三角函数，建立角与实数
的一一对应关系。
这些例子不仅不在范围[0o, 360o) ，而且方向不
有必要将角的概念推广到任意角， 想想用什么办法才能推广到任意角？
关键是用运动的观点来看待角的变化。
2．角的概念的推广
⑴“旋转”形成角
一条射线由原来的位置OA，
绕着它的端点O按逆时针方向
旋转到另一位置OB，就形成角B
α．
旋转开始时的射线OA叫做
角α的始边，旋转终止的射线
O
A
OB叫做角α的终边，射线的端
点O叫做角α的顶点．
正角：把按逆时针方向旋转所形成的角叫 做正角，
负角：把按顺时针方向旋转所形成的角叫 做负角
如图，以OA为始边的角α=210°，β=－ 150°，γ=660°，
2100
-1500
6600
特别地，当一条射线没有作任何旋转时， 我们也认为这时形成了一个角，并把这个角 叫做零度角（0o）．
4．终边相同的角
⑴ 探究：328?，?392?角，它们的终边都
与-32?角的终边有关系吗？ 观察得出：328?=-32?+360?(k=1),
? 392?=-32??360? (k=－1) -32?=-32?+0×360? (k=0), ⑵结论：与-32?终边相同的角都可以表示成： -32?+k×360?(k∈Z)