(完整版)角的概念的推广教学设计
角的概念推广优秀教学案
【课题】5．1 角的概念推广【教学目标】知识目标：⑴了解角的概念推广的实际背景意义；⑵理解任意角、象限角、界限角、终边相同的角的概念．能力目标：（1）会判断角所在的象限；（2）会求指定范围内与已知角终边相同的角；（3）培养观察能力和计算技能．情感目标：（1）经历推广角的概念及随之带来的新知识的认知过程，树立科学探究精神；（2）参与数学建模过程，感受生活中的数学模型，体会数学知识的应用. 【教学重点】终边相同角的概念．【教学难点】终边相同角的表示和确定．【教学设计】（1）以丰富的生活实例为引例,引入学习新概念——角的推广；（2）在演示——观察——思维探究活动中，使学生认识、理解终边相同的角；（3）在练习——讨论中深化、巩固知识，培养能力；（4）在反思交流中，总结知识，品味学习方法．【教学备品】教学课件、学习演示用具（两个硬纸条一个扣钉）．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】（1）（2）经过这样的推广以后，角包含任意大小的正角、负角和零终边在坐标轴上的角叫做界限角，例如，0°、90°、180°、270°、360°、−90°、−270°角等都是界限角．运用知识强化练习教材练习5.1.1．在直角坐标系中分别作出下列各角，并指出它们是第几象限的角：⑴ 60°；⑵−210°；⑶225°；⑷−300°．动手操作实验观察用图钉联结两根硬纸条，将其中一根固定在OA的位置，将另一根先转动到OB的位置，然后再按照顺时针方向或逆时终边相同的角有无限多个，它们所组成的集合为2 写出终边在y轴上的角的集合．轴正半轴上；当。
角的概念推广--参考教案
第五单元5.1《角的概念推广》教案创设情境在东京奥运会女子单人10米台跳水决赛中，来自中国的跳水选手全红婵以优异成绩获得金牌！在跳水比赛中，有“向前翻腾一周半”和“向后翻腾两周半”的动作，你知道这两个动作分别表示的旋转的角度是多少吗? 生活中随处可见超出0°〜360°范围的角，请你尝试着举一些例子。
一、探索新知 我们规定，一条射线绕其端点按逆时 针方向旋转形成的角叫作正角，如图1所示.按顺时针方向旋转形成的角叫作负角，如图2所示.如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角，如图3所示.通过以上的定义，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角. 为了简便起见，我们把“角α”或“α∠”简记为 “α”.今后我们可以用小写希腊字母α，β，γ，…来表示角. 在前面关于跳水的问题中，若“向前翻腾一周半”记为540α=︒，那么“向后翻腾两周半”则记为900α=-︒.理解记忆相关正角、负角、零角、任意角的概念和性质了解和区分相关角度的特征让学生在理解的基础上加深概念的记忆，为后面能够正确运用知识点解题做铺垫图1图2 O AB 图3为了便于研究，我们将角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合. 这样，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角.例如，从图4中可以看出，690︒为第四象限角.从图5中可以看出，210-︒为第二象限角.如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限（也称界限角），例如，0︒，90︒，180︒，270︒，360︒等一些角.二、例题讲解例1 在平面直角坐标系中，分别画出下列各角，并指出它们是第几象限角.（1）225︒；（2）300-︒.解（1）以x轴的非负半轴为始边，逆时认真观察角度数值与图像的联系加深对知识的理解图5图4针方向旋转225︒即形成225︒角，如图6.因为225︒角的终边在第三象限内，所以225︒角是第三象限角.⑵以x轴的非负半轴为始边，顺时针方向旋转300︒即形成300-︒角，如图7所示. 因为300-︒角的终边在第一象限内，所以300-︒角是第一象限角.三、巩固练习1.判断下列说法是否正确：(1) 锐角是第一象限的角，钝角是第二象限的角;(2) 小于90°的角一定是锐角;(3) 直角是第一象限或第二象限的角;(4) 第一象限的角不可能是负角，并且一定是锐角.2.如图所示，已知锐角45AOB∠=︒，写出认真读题，积极思考，掌握解题的基本思路及时有效巩固所学内容，加深对定义的理解展示问题解决的基本方法，培养学生分析解决问题的能力培养与提升学生独立思考、探究问题的能力图6图7下图中箭头所示角的度数.（1）：（2）：3.在平面直角坐标系中，分别画出下列各角，并指出它们各是第几象限角.（1）210︒（2）330︒（3）310-︒（4）420-︒第2课时教学过程教学活动学生活动设计思路创设情境 同学们分小组分别绘制在平面直角坐标系中，分别画出了330-︒，30︒，390︒角，如图8所示，观察其终边有何联系？并分析330-︒，390︒与30︒在数值上有什么关系？二、探索新知一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可以组成一个集合{}|+360,S k k ββα==⋅︒∈Z任意的与α终边相同的角都可以表示成α与整数个周角（360°的整数倍)的和. 二、例题讲解例1. 与100︒角终边相同的角组成的集合. 解 {}|100+360,S k k ββ==︒⋅︒∈Z .例2. 在0︒～360︒之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们各是第几象限的角.（1）600︒； （2）230-︒.解 （1）因为600240360︒=︒+︒，所以结合老师给出的问题，积极主动的思考，得出初步结论.在理解的基础上熟记相关概念和结论认真读题，积极思考，掌握解题的基本思路激发学生好奇心，增强学习热情，更主动参与到课堂学习过程中.直观展示新知和结论，突出本节教学重点展示问题解决的基本方法，培养学生分析解决问图8S2|β=︒+90三、巩固练习角终边相同的角的集合为：。
角的概念推广教案
角的概念推广优秀教案第一章：角的引入1.1 教学目标让学生了解角的定义和基本性质。
能够识别和比较不同类型的角。
能够用角度来描述角的大小。
1.2 教学内容角的定义：从一点引出两条射线所组成的图形。
角的性质：角的内部是两条射线的公共部分，外部是不共线的两条射线的夹角。
角的分类：锐角、直角、钝角、平角、周角。
1.3 教学方法通过实物演示和图形展示，引导学生直观地理解角的概念。
利用几何模型和练习题，让学生亲手操作，加深对角的认识。
1.4 教学资源角的概念引入PPT演示文稿。
实物模型和图片，如剪刀、三角板等。
1.5 教学步骤1.5.1 导入：利用实物或图片，引导学生观察和描述角的存在。
1.5.2 新课引入：讲解角的定义和性质，通过PPT演示文稿和实物模型进行辅助说明。
1.5.3 实例分析：展示不同类型的角，让学生区分和比较它们的大小。
1.5.4 练习巩固：提供一些练习题，让学生运用角的概念进行解答。
1.6 教学评价通过课堂提问和练习题的正确与否，评估学生对角的概念的理解程度。
第二章：角的大小比较2.1 教学目标让学生能够比较不同角的大小。
学会使用量角器测量角的大小。
2.2 教学内容角的大小比较：通过观察角的内部或外部，比较角的大小。
量角器的使用：量角器的结构和如何测量角的大小。
2.3 教学方法通过实际操作量角器，让学生学会正确测量角的大小。
提供练习题，让学生运用比较角大小的方法。
2.4 教学资源量角器演示文稿和实物量角器。
练习题和答案。
2.5 教学步骤2.5.1 导入：复习上一章的内容，引导学生回顾角的概念。
2.5.2 新课引入：讲解如何比较角的大小，通过PPT演示文稿和实物量角器进行辅助说明。
2.5.3 实例分析：提供一些角的大小比较实例，让学生实践和理解比较方法。
2.5.4 练习巩固：提供一些练习题，让学生运用角的大小比较方法进行解答。
2.6 教学评价通过课堂提问和练习题的正确与否，评估学生对角的大小比较的理解程度。
教学设计5：7.1.1 角的推广
7.1.1 角的推广教学目标1.了解角的概念.2.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义.3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角.教学知识梳理知识点一角的相关概念(1)角的概念角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)角的分类按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角按照逆时针方向旋转而成的角负角按照顺时针方向旋转而成的角零角当射线没有旋转，称它形成了一个零角(3)角的运算：各角和的旋转量等于各角旋转量的和.知识点二终边相同的角终边相同角的表示：设α表示任意角，所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为S ＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，集合S的每一个元素都与α的终边相同，当k＝0时，对应元素为α.知识点三象限角在平面直角坐标系内，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合.象限角：角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角.轴线角：终边落在坐标轴上的角.题型探究题型一任意角概念的理解例1(1)给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③第二象限角是钝角；④小于180°的角是钝角、直角或锐角.其中正确说法的序号为________.(2)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是________.【答案】(1)①(2)－120°【解析】(1)锐角指大于0°且小于90°的角，都是第一象限角，所以①对；由任意角的概念知，第一象限角也可为负角，第二象限角不一定是钝角，小于180°的角还有负角、零角，所以②③④错误.(2)分针每分钟转6°，由于顺时针旋转，所以20分钟转了－120°.反思感悟解决此类问题要正确理解锐角、钝角、0°～90°角、象限角等概念.角的概念推广后，确定角的关键是确定旋转的方向和旋转量的大小.跟踪训练1写出下列说法所表示的角.(1)顺时针拧螺丝2圈；(2)将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角.解(1)顺时针拧螺丝2圈，螺丝顺时针旋转了2周，因此所表示的角为－720°.(2)拨慢时钟需将分针按逆时针方向旋转，因此将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角为900°.题型二终边相同的角命题角度1求与已知角终边相同的角例2在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角.(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)360°～720°范围内的角.解与10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10 030°(k∈Z)，(1)由－360°＜k·360°＋10 030°＜0°，得－10 390°＜k·360°＜－10 030°，解得k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.(2)由0°＜k·360°＋10 030°＜360°，得－10 030°＜k·360°＜－9 670°，解得k＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.(3)由360°≤k·360°＋10 030°＜720°，得－9 670°≤k·360°＜－9 310°，解得k＝－26，故所求的角为β＝670°.反思感悟求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值.跟踪训练2写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来.解由终边相同的角的表示知，与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－1 910°，k∈Z}.∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k·360°－1 910°＜360°(k∈Z)，∴31136≤k＜61136(k∈Z)，故取k＝4,5,6.当k＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°；当k＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°；当k＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°.命题角度2求终边在给定直线上的角的集合例3写出终边在直线y＝－3x上的角的集合.解终边在y＝－3x(x<0)上的角的集合是S1＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}；终边在y＝－3x(x≥0)上的角的集合是S2＝{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}.因此，终边落在直线y＝－3x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}，即S＝{α|α＝120°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝120°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}.故终边在直线y＝－3x上的角的集合是S＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}.反思感悟求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x≥0和x<0两种情况讨论，最后再进行合并.跟踪训练3终边在直线y＝－x上的角α的取值集合是()A.{α|α＝n·360°＋135°，n∈Z}B.{α|α＝n·360°－45°，n∈Z}C.{α|α＝n·180°＋225°，n∈Z}D.{α|α＝n·180°－45°，n∈Z}【答案】D【解析】角α的取值集合为{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°－45°，k∈Z}＝{α|α＝(2k＋1)·180°－45°，k∈Z}∪{α|α＝2k·180°－45°，k∈Z}＝{α|α＝n·180°－45°，n∈Z}，故选D.题型三象限角的判定例4在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角. (1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角.(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角.(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角.反思感悟 判断象限角的步骤(1)当0°≤α<360°时，直接写出结果.(2)当α<0°或α≥360°时，将α化为k ·360°＋β(k ∈Z ，0°≤β<360°)，转化为判断角β所属的象限.跟踪训练4 下列各角分别是第几象限角？请写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并把S 中适合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来.(1)60°；(2)－21°.解 (1)60°角是第一象限角，所有与60°角终边相同的角的集合S ＝{β|β＝60°＋k ·360°，k ∈Z }，S 中适合－360°≤β<720°的元素是60°＋(－1)×360°＝－300°，60°＋0×360°＝60°，60°＋1×360°＝420°.(2)－21°角是第四象限角，所有与－21°角终边相同的角的集合S ＝{β|β＝－21°＋k ·360°，k ∈Z }，S 中适合－360°≤β<720°的元素是－21°＋0×360°＝－21°，－21°＋1×360°＝339°，－21°＋2×360°＝699°.终边相同的角的应用典例 一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆(半径为1的圆)上爬动，两只蚂蚁均从点A (1,0)同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°)，如果两只蚂蚁都在第14 s 时回到A 点，并且在第2 s 时均位于第二象限，求α，β的值.解 根据题意，可知14α，14β均为360°的整数倍，故可设14α＝m ·360°，m ∈Z,14β＝n ·360°，n ∈Z ，则α＝m 7·180°，m ∈Z ，β＝n 7·180°，n ∈Z . 由两只蚂蚁在第2 s 时均位于第二象限，知2α，2β均为第二象限角.因为0°<α<β<180°，所以0°<2α<2β<360°，所以2α，2β均为钝角，即90°<2α<2β<180°，于是45°<α<90°，45°<β<90°.所以45°<m 7·180°<90°，45°<n 7·180°<90°， 即74<m <72，74<n <72， 又α<β，所以m <n ，从而可得m ＝2，n ＝3，即α＝360°7，β＝540°7. [素养评析] 通过对实际问题进行分析，建立终边相同角的模型解决问题，这就是数学核心素养数学建模的具体体现.达标检测1.下列说法正确的是( )A.第一象限的角一定是正角B.三角形的内角不是锐角就是钝角C.锐角小于90°D.终边相同的角相等【答案】C【解析】－355°是第一象限的角，但不是正角，所以A 错误；三角形的内角可能是90°，所以B 错误；锐角小于90°，C 正确；45°与405°角的终边相同，但不相等，所以D 错误.故选C.2.与－457°角终边相同的角的集合是( )A.{α|α＝k ·360°＋457°，k ∈Z }B.{α|α＝k ·360°＋97°，k ∈Z }C.{α|α＝k ·360°＋263°，k ∈Z }D.{α|α＝k ·360°－263°，k ∈Z }【答案】C【解析】－457°＝－2×360°＋263°，故选C.3.2 019°是第________象限角.【答案】三【解析】因为2 019°＝5×360°＋219°，故2 019°是第三象限角.4.与－1 692°终边相同的最大负角是________.【答案】－252°【解析】∵－1 692°＝－4×360°－252°，∴与－1 692°终边相同的最大负角为－252°.5.写出终边落在坐标轴上的角的集合S.解终边落在x轴上的角的集合S1＝{β|β＝k·180°，k∈Z}；终边落在y轴上的角的集合S2＝{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}.∴终边落在坐标轴上的角的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}∪{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}＝{β|β＝2k·90°或β＝(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{β|β＝n·90°，n∈Z}.。
角的概念的推广教案
角的概念的推广教案概要一、教学目标通过观察实例，使学生认识角的概念推广的可能性和必要性，树立运动变化的观点，并由此深刻理解任意角的概念。
理解正角、负角、零角、终边相同的角、象限角等概念，掌握角的加减运算和表示方法。
通过教学，使学生进一步体会数形结合的思想，培养抽象、推理、创新的能力。
二、教学重点和难点重点：任意角（正角、负角、零角）、终边相同的角、象限角的概念，角的加减运算和表示方法。
难点：终边相同的角的概念，其符号表示、集合表示。
三、教学方法和学法教学方法：讲解法、示范法、讨论法、探究法、评价法。
学法：观察法、练习法、合作探究法、反思法。
四、教学过程准备部分：学生按照指定的队列队形站好，教师检查人数、服装、器材，宣布本课的目标和内容，进行安全教育和准备活动。
基本部分：分为四个环节，分别是：环节一：复习初中学习过的角的定义和分类，提出新问题：运动员掷链球时，旋转方向可以是逆时针也可以是顺时针，旋转量也不止一个平角，那如何来度量角的大小呢？引导学生用运动变化的观点来扩充角的概念，即解决旋转中心、旋转方向和旋转量对角的概念有什么影响。
环节二：讲解任意角的概念，即用旋转的方式定义角，区分正角、负角、零角的概念和表示方法，示范正确的画图方法，学生模仿练习，教师个别指导和纠正错误。
环节三：讲解终边相同的角的概念，即当角与角的始边重合时，它们的终边也重合，区分终边相同的角的符号表示、集合表示和判定方法，示范标准的计算过程，学生分组练习，教师观察和评价，学生互相检查和反馈。
环节四：讲解象限角的概念，即在平面直角坐标系中，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角，区分象限角的表示方法和判定方法，示范典型的应用问题，学生参与解决，教师监督和评分，学生总结和分享。
结束部分：学生按照指定的队列队形站好，教师进行本课的小结和评价，表扬优秀的学生和小组，提出改进的建议，进行放松活动，下课。
《角的概念的推广》教案1
《角的概念的推广》教案一、教学目标知识与技能1.认识角扩充的必要性，了解任意角的概念，与过去学习过的一些容易混淆的概念相区分.2.能用集合和数学符号表示终边相同的角，体会终边相同角的周期性.3.能用集合和数学符号表示象限角.4.能用集合和数学符号表示终边满足一定条件的角.过程与方法1.通过角的概念的扩充，让学生体会动态与静态数学观的差异，进一步理解旋转变换的作用.2.通过角合成的算法，终边相同角的表示方法及其推广让学生体会在数学学科中，将概念的形式化、数量化的过程与方法，借此进一步体会数形结合的思想、方法，这是本节课的重点内容.情感、态度和价值观通过掌握角合成的算法，终边相同角的表示方法及其推广的过程与方法，让学生体会数学的抽象化、形式化等学科特点.二、教学重、难点教学重点形成任意角（正角、负角、零角）、终边相同的角、象限角的概念，掌握终边相同的角的表示方法和判定方法.教学难点终边相同的角的概念、其符号表示、集合表示.三、教学方法本节教学方法采用教师引导下的讨论法，通过多媒体课件在教师的带领下，学生发现就概念、就方法的不足之处，进而探索新的方法，形成新的概念，突出数形结合思想与方法在概念形成与形式化、数量化过程中的作用，是一节体现数学的逻辑性、思想性比较强的课.四、课时1课时五、教学过程引入：复习静态数学观下，按图形组合方式定义角.师问：角是数学中最常见的基本图形之一，按图形组合的方式来看，角是由哪些基本的图形组成的呢？生答：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.师问：不加任何描述条件，两条共端点的射线组成几个角？这两个角之间有什么关系？它们的取值范围是多少？生答：两个和为360°，0°～360°（大于等于0°且小于360°）.师问：在图上我们如何区分这两个角？生答：标示、添加描述条件等.为了解决上述问题，我们看另一种定义方式.即，一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一位置所形成的图形叫做角.师问：两种定义方式有什么异同之处？解答：角组合式旋转式边两条射线一条射线，另一边是其经过旋转变换的结果顶点公共端点旋转中心个数两个范围0°～360°思考在旋转式定义方式下，我们会产生这样的质疑：1．一次旋转而得的角有几个？2．两条射线一次组合产生的两个角，如何用旋转的方式表示？3．当旋转超过一周时，如何描述旋转量？发现静态数学观下，按“图形组合”的方式定义角的概念有很大的局限性.比较两种角的定义，发现差异，为角的概念的推广做准备.概念形成：任意角的概念按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；当射线没有旋转时，叫做零角.在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量.旋转生成的角，又常叫做转角.任意角的图示方法如图，射线OA绕端点O旋转到OB的位置所成的角，记作∠AOB，其中OA叫做∠AOB的始边，OB叫做∠AOB的终边.以OB为始边，OA为终边的角记作∠BOA.显然，当我们用旋转的方式定义角时，原有的角的范围必须被扩充.一．任意角的概念我们用旋转变换的观点来扩充角的概念，即解决旋转变换的三个要素（旋转中心、旋转方向和旋转量）对角的概念有什么影响？（1）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针和顺时针两种，这是一对意义相反的量，根据以往的经验，我们可以把一对意义相反的量用正负数来表示，那么质疑一中提到的问题就可以解决了；（2）旋转量：当旋转超过一周时，旋转量即超过360°，角度的绝对值可大于360°.这样质疑二中的问题就可以解决了；（3）旋转中心：作为角的顶点.板书按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；当射线没有旋转时，叫做零角.在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量.旋转生成的角，又常叫做转角.如课本图1－1，射线OA绕端点O旋转到OB的位置所成的角，记作∠AOB，其中OA叫做∠AOB的始边，OB叫做∠AOB的终边.以OB为始边，OA为终边的角记作∠BOA.例：∠AOB＝120°，∠BOA＝－120°.以旋转变换的要素为线索，发现旋转式定义是如何扩充角的概念的.应用举例例题如图课本图1－2，射线’OA绕端点O旋转，旋转的绝对量超过了周角，按照图中箭头所指的方向和弧线表示的周数，可以表示角的度数.练习读角练习.教师讲解，学生练习，在实践中巩固所学概念.各角和的旋转量等于各角旋转量的和.二．角的合成与运算例题课本P4小结各角和的旋转量等于各角旋转量的和.根据已有的定义，我们可以发现：如果把度数相同的角看成是一个角，那么角和实数之间可以形成一一对应的关系.于是，角的合成可以用实数运算来表示.练习1．课本P7.练习A.5题2．课本P6练习A.2题（3）让学生体会数形结合思想的应用概念形成：如果当角与角的始边重合时，它们的终边也重合，那么我们称角与角是终边相同的角.一般地，如果是终边相同的角，那么我们记，当k＝0时，两个角相同.如果我们固定角的始边，因其终边可以任意旋转，故而可以构成任意度数的角，而通过观察我们可以发现，这些角中有很多角的边是重合的.因此我们定义：三．终边相同的角1．定义如果当角与角的始边重合时，它们的终边也重合，那么我们称角与角是终边相同的角. 2．表示方法思考终边相同的角度数相等么？反之，度数相等的角终边相同么？解答终边相同的角度数不一定相等；而度数相等的角终边一定相同？思考终边相同的两个角的度数有什么关系？解答终边相同的两个角的位置关系是——两边重合，数量关系是——差是360°的整数倍. 思考设是终边相同的两个角，如何用符号语言表示其数量关系？解答通过变形可以得到小结一般地，如果 是终边相同的角，那么我们记，当k ＝0时，两个角相同.说明我们来总结一下，如何把终边相同的角的图形变换特性转化为数量关系形式的. 从角的旋转式定义看，终边相同角的本质特征是：每旋转360°的整数倍后两角重合.3．终边相同的角的集合设 表示任意角，所有与 终边相同的角，包括 本身构成一个集合，这个集合可记为{}Z k k S ∈︒⋅+==,360|αββ.集合中的每一个元素都与 的终边相同，当k ＝0时，对应元素为{}Z k k S ∈︒⋅+==,360|αββ借助终边相同的角的表示方法，研究旋转变换的数量表示形式，体现数形结合的思想与方法 应用举例1.课本P6.例4教师讲解，学生练习 在实践中巩固所学概念概念推广：从终边相同的角的符号表示方法推出符号表示终边满足一定条件的角的方法 例如，Z k k ∈︒⋅+=,180αβ，表示角 每次旋转180°Z k k ∈︒⋅+=,90αβ 表示角 每次旋转90旋转次数，360°表示单位旋转量.改变这些常数，表示不同的旋转过程角α与角－α 的终边关于x 轴对称等.重点在于让学生建立起图形变换可以通过数量关系式加以描述的观念，并掌握具体方法 用探究所得的思想和方法解决新问题.应用举例 『例题』课本P5.例3五、象限角的概念今后我们通常在平面直角坐标系中讨论角.定义：平面内任意一个角都可以通过移动，使角的顶点和平面直角坐标系的原点重合，角的始边和x 轴的正半轴重合，这时，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角. 将任意角等概念与坐标系相结合，为三角函数做准备.应用举例1． 课本P7.练习A.42． 课本P7.练习B.43． 如果用数轴上的点表示角度，象限角所对应的点如何分布？总结1、任意角的概念2、角的合成与运算3、终边相同的角的表示方法4、终边满足一定条件的角的表示方法5、象限角的概念与表示方法教师带领学生回顾，简单绘制本节课的知识脉络图。
角的概念的推广(教学设计)
§2 角的概念的推广【教学目标】1.通过实例，理解角的概念推广的必要性，了解任意角的概念，根据角的旋转方向，能判断正角、负角和零角；2.学会建立直角坐标系来讨论任意角，理解象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法；3.通过观察、联想得出相应的数学规律的学习过程，体会由特殊到一般的数学思维方法. 【教学重点】1.了解任意角的概念，初步理解正角、负角、零角、象限角、终边相同的角的概念；2.初步学会终边相同的角的表示方法.【教学难点】终边相同的角的集合的表示方法.【教学方法】六环节分层导学法【课前准备】（学案导学）教师编印导学案，提前两天下发，指导学生完成并检查.学生预习教材P6-8相关内容，完成优化设计基础知识梳理部分和导学案自主学习部分内容，形成对角的概念的推广的初步认识；学有余力的同学尝试完成优化设计典型例题领悟部分和导学案合作探究部分，至少明确本节课的研究主线.（小组交流）学生分组交流讨论，分享自己的学习心得，解决个别同学存在的困惑，共同梳理出自己小组存在的问题，以便在课堂上得到及时解决。
（检查反馈）学生自主学习能力比较差，主要存在以下问题：1)书写不够规范，角的单位“°”容易漏写；2)思维不够严谨，审题不仔细，做题往往不注意条件；3)终边相同的角的表示方法掌握不熟练；4)概念辨析缺乏方法.完成较好的学生有：白焕焕、杨宇、杨强、何楠.【教学过程】一、导入新课初中阶段我们学习了“角的概念”，请大家思考一下问题：（1）初中学过的角是如何定义的，角的范围又是怎样的？（2）跳水运动员在空中身体的旋转周数如何用角度来表示？（3）汽车在前进和后退中，车轮转动的角度如何表示才合理？（4）工人师傅在拧紧或拧松螺丝时，扳手转动的角度如何表示比较合适？学生围绕以上问题进行讨论，从而得出正角、负角和任意角的有关概念.教师对学生的回答进行总结，并强调：在日常生活中，我们经常要遇到大于360°的角及按不同方向旋转而成的角，这些都说明了我们研究推广角的概念的必要性. 之后提出本节课的主要问题，即在初中学习的基础上，将角的概念推广到任意角.【板书】角的概念的推广二、展示评价学生以组推荐代表展示导学案的完成情况，并回答问题：本节课中学习了哪些新概念，这些概念分别是如何定义的？其他同学补充完善，不同组别之间展开交流点评，教师根据学生的回答情况进行板书，并点拨、激励、评价.展示形式：实物投影展示导学案的完成情况，口头表述回答教师所提问题.三、导引探究教师引导学生重点探究象限角的判定与终边相同角的表示方法，学会建立直角坐标系来讨论任意角，理解象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法.探究1：判断角所在象限例1在0°~360°之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别指出它们是第几象限角：（1）480°；（2）-760°；（3）932°；归纳小结：判断角α所在象限的方法：先在0°~360°之间，找出与所求角终边相同的角β，因为α与β终边相同，因此只需判断角β所在象限，即为角α所在象限.跟踪训练1：象限角的概念：第一象限角的集合可表示为____________ ______；第二象限角的集合可表示为_________ ________ _；第三象限角的集合可表示为；第四象限角的集合可表示为.跟踪训练2：锐角是第几象限角？第一象限的角都是锐角吗？探究2：终边相同的角的表示方法例2写出与60°终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式-360°≤β<720°的元素写出来.归纳小结：一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+k×360°，k∈Z}.跟踪训练3：在直角坐标系中，写出终边在y轴上的角的集合（用0°~360°表示）四、当堂检测学生独立完成导学案巩固提高部分，教师巡视学生完成情况，检测学生学习效果.五、课堂小结师生共同回顾本节课的相关概念，总结解题方法1.正角、负角、零角2.象限角和终边相同的角3.角所在象限的判定和终边相同的角的表示方法六、作业布置习题1-2 第2，3题【教学反思】本节课是北师大版必修4第一章第二节的内容，是在初中的基础上进一步学习角的概念，是学好三角函数的基础. 本节课使用的方法是六环节分层导学法，由学生先课前预习，完成导学案，小组进行交流学习，课堂由学生展示和教师引导的课堂探究以及当堂检测组成. 由于学生课前预习的过程中存在较大的问题，自主学习能力较差，学习的主动性不够，获取信息的能力较弱，导致学生课前完成的导学案问题较多，影响了课堂展示评价环节的进行，再加上教师对六环节分层导学模式的应用不够熟练，导致课堂评价展示环节流于形式，变成教师的“满堂解释”，导引探究部分，教师引导学生对角所在象限的判断和终边相同的角的表示方法进行探究，学生基本能掌握两种方法，但理解不够，动手能力还不好. 最后由于时间把握不好，当堂检测部分未能按时完成. 这节课基本上完成了教学任务，但是没能很好的体现六环节分层导学模式，今后在教学中将会对这种教学模式进行进一步的探究，以期能熟练应用这种教学模式进行教学，提升教学效率.。
角的概念的推广教案
角的概念的推广教案一、教学目标1.理解角的概念，能够准确描述角的定义和性质；2.能够通过实际操作和观察，感受角的大小和角度的变化；3.能够运用角的概念，解决与角相关的问题。
二、教学重点1.角的定义和性质；2.角的度量和表示方法；3.角的分类和特点。
三、教学难点1.角的度量和表示方法；2.角的分类和特点。
四、教学过程1. 导入教师可以通过展示一些日常生活中的角的例子，如门的开合角、书桌的角、电视机的角等，引导学生思考角的概念和作用。
2. 角的定义和性质教师通过讲解和示范，向学生介绍角的定义和性质，包括：•角是由两条射线共同确定的图形部分；•角的两条射线称为角的边，它们的公共端点称为角的顶点；•角的度量单位是度或弧度；•角的度数等于它所对应的弧长在圆周上所对应的圆心角的度数；•同一圆周上的圆心角相等；•顶角相等的两个角互为对顶角；•相邻角互不重叠，且它们的公共边是它们的公共顶点的唯一一条边。
3. 角的度量和表示方法教师可以通过实际操作和观察，让学生感受角的大小和角度的变化，进而介绍角的度量和表示方法，包括：•度数制：以圆周的360∘为单位，表示角的大小；•弧度制：以圆周的半径为单位，表示角的大小；•角度表示法：用∠ABC表示角ABC；•弧度表示法：用∠ABC表示角ABC的弧度数。
4. 角的分类和特点教师可以通过讲解和示范，向学生介绍角的分类和特点，包括：•零角：度数为0∘的角；•直角：度数为90∘的角；•锐角：度数小于90∘的角；•钝角：度数大于90∘且小于180∘的角；•平角：度数为180∘的角；•对顶角：公共顶点相同，公共边相反的两个角；•相邻角：公共顶点和公共边相同的两个角；•互补角：两个角的度数之和为90∘；•余角：一个角的补角。
5. 练习教师可以通过练习题，让学生巩固所学知识，提高解决问题的能力。
五、教学评价教师可以通过课堂练习、小组讨论、个人作业等方式，对学生的学习情况进行评价。
六、教学反思教师可以根据学生的反馈和自己的教学经验，对本次教学进行反思和总结，不断提高教学质量。
角的概念的推广——教学设计
角的概念的推广——教学设计教学设计：角的概念的推广教学目标：1.学生能够理解角的概念，并能够准确地描述和命名角；2.学生能够辨别和比较不同角的大小，并能用恰当的符号表示；3.学生能够运用角的概念解决问题，并能够将其应用于实际生活中。
教学重点：1.角的概念、特征及其命名；2.角的比较和大小；3.角的应用。
教学准备：1.教师准备一些图形卡片，上面画有不同角度的图形；2.教师准备一些实际生活中的例子，以便能够运用角的概念进行解决。
教学过程：第一步：导入新知识（15分钟）1.教师将一些图形卡片发给学生，让学生观察卡片上的图形，并思考里面有哪些角；2.学生观察完毕后，教师进行小组讨论，让学生与同组的同学分享自己的观察结果；3.教师搜集学生的观察结果，让不同小组的学生来分享他们观察到的角。
第二步：角的概念及其命名（20分钟）1.教师向学生介绍角的概念，即由两条射线共同端点所形成的图形；2.教师向学生展示不同类型的角，如锐角、直角、钝角和平角，并让学生辨别不同类型的角；3.教师解释每一种角的特征，并给学生演示如何正确地命名角；4.学生进行练习，辨别不同类型的角，并准确地命名它们。
第三步：角的比较和大小（25分钟）1.教师向学生介绍角的大小的比较，并说明使用符号进行表示；2.教师演示如何比较和表示不同角的大小，例如通过测量两个角的度数进行比较；3.学生进行练习，比较不同角的大小，并用符号表示；4.教师与学生进行讨论，确保学生理解了角的大小的比较和表示方式的正确方法。
第四步：角的应用（25分钟）1.教师向学生介绍角的应用，并提供一些实际生活中的例子；2.学生通过实际生活中的例子，运用角的概念进行解决，如角的测量、角的绘制等；3.学生进行小组讨论，分享他们的解决方法和结果；4.教师与学生进行总结和复习，确保学生掌握了角的概念的推广。
第五步：课堂小结（15分钟）1.教师对本节课的内容进行小结，复习角的概念、特征及其命名；2.学生向教师提问，澄清疑惑；3.教师布置角的概念的推广的作业。
角的概念推广教案
角的概念推广教案【篇一：角的概念的推广教学设计】角的概念的推广－教学设计哈尔滨市交界职业高中杜银霞课题：角的概念推广（第一课时）教学目的：1.掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
3.从“射线绕着其端点旋转而形成角”的过程，培养学生用运动变化观点审视事物，从而深刻理解推广后的角的概念。
教学重点：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法。
教学难点：终边相同的角的表示。
设计理念：本节主要介绍推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念，终边相同的角的表示方法。
树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念。
教学方法可以选为讨论法，通过实际问题，使角的推广变得更为必要，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，突出角的概念的理解与掌握。
通过具体问题，让学生从不同角度作答，理解终边相同的角的概念，并给以表示，从特殊到一般，归纳出终边相同的角的表示方法，达到突破难点之目的。
教学过程：一、复习引入：1．回忆：初中是如何定义角的？从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形。
如：体操运动员转体，跳水运动员向内、向外转体经过1小时时针、分针、秒针转了多少度？这些例子不仅不在范围，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，用运动的思想来研究角的概念。
二、讲解新课：1．角的概念的推广⑴“旋转”形成角突出“旋转” 注意：“顶点”“始边”“终边”⑵．“正角”与“负角”“零角” 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，“正角”与“负角”是由旋转的方向决定的。
特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角．⑶意义用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。
角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量。
《角的概念的推广》——教学设计方案_
《角的概念的推广》——教学设计
双滦职教中心：徐云
教学目标设计：
知识与技能
1.理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的定义
2.掌握所有与α角终边相同的角的表示方法
3.体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；
过程与方法
1.借助图片、视频、实物演示、动手绘制角等手段，让学生充分体会到多媒体等手段对数学教学的作用。
2.在老师的引导、及时评价下，同学之间的互相评价下，学生积极探究知识的形成过程。
情感、态度与价值观
1.通过本节的学习，让学生意识到数学来源于生活，服务于生活，激发学习数学的兴趣。
2.体会数形结合思想，学会运用运动变化的观点认识事物.
3.通过课堂上的学生自评、互评，教师评价，培养学生竞争意识和团队合作意识，锻炼学生的语言表达能力，提高分析问题和解决问题的能力。
教学重点研判：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法.
教学难点体会：终边相同的角的概念、其符号表示、集合表示
教学思想方法：本节教学方法采用任务驱动法、情景导入法、问题探究法、教师引导下的讨论法，通过课前预习展示、实例教具展示、观看视频等方式，在教师的带领下，学生轻松地接受新知识，真正做到了让学生成为课堂的主体。
（ ）钝角一定是第二象限（ ）（五）课后巩固
一、若将时钟拨慢5分钟，则分针转了_______度；秒针转了_______度 二、大齿轮的齿数是24个，小齿轮的齿数是12个，大齿轮逆时针旋转一周，小齿轮旋转 度？
三、扳手拧紧螺丝转了两周半，则扳手转过了 度；若拧松螺丝
终边相同
与 42060。
角的概念的推广教案
角的概念的推广教案教学目标：1. 了解角的基本概念，包括顶点、边、内角和外角。
2. 掌握角的度量方法，包括度和弧度。
3. 能够应用角的概念解决实际问题。
教学准备：教师准备：黑板、白板、彩色粉笔或白板笔、投影仪。
学生准备：课本、练习册、铅笔、直尺、量角器。
教学过程：Step 1：引入教师可开始一张图，并在黑板或白板上绘制一个角，然后鼓励学生依据图片的描述角的概念。
Step 2：角的定义与特征1. 教师解释角的定义：两条射线共享一个端点，形成一个角。
2. 教师解释角的特征：- 角的测量单位是度和弧度。
- 一个角由其顶点和外侧的两条射线来定义。
- 两条射线的端点为角的顶点。
- 角的两条射线被称为角的边。
- 角的内部是两条边之间的空间，称为角的内部。
- 角的外部是两条边之外的空间，称为角的外部。
Step 3：角的度量方法1. 教师解释角的度量方法：- 度：一个角的度量定义为该角围绕它的顶点旋转的弧长上圆心角的度数。
- 弧度：一个角的弧度定义为该角所对应的单位圆弧的长度与半径之比。
2. 教师给予学生范例，让学生练习角的度量方法。
Step 4：实际问题解决教师使用一些实际问题展示如何应用角的概念解决问题，鼓励学生参与讨论和解决问题。
Step 5：练习与巩固学生使用课本或练习册上的相关练习巩固所学知识。
教师可为学生提供辅导和解答疑惑。
Step 6：评估教师使用一份练习或小测验评估学生对角的概念的理解和掌握程度。
Step 7：归纳总结教师与学生一起总结课堂上学习到的内容，并针对学生的问题和困惑进行解答和澄清。
Step 8：拓展延伸对于掌握较好的学生，教师可以引导他们进一步学习角的性质、角的平分线等拓展知识。
Step 9：反思与复习教师与学生一起回顾课堂上的学习内容，帮助学生巩固所学知识，并指导学生将所学知识与实际生活中的问题相联系。
(完整word版)角的概念推广优秀教案
【课题】5．1 角的概念推广
【教学目标】
知识目标：
⑴了解角的概念推广的实际背景意义；
⑵理解任意角、象限角、界限角、终边相同的角的概念．
能力目标：
（1）会判断角所在的象限；
（2）会求指定范围内与已知角终边相同的角；
（3）培养观察能力和计算技能．
情感目标：
（1）经历推广角的概念及随之带来的新知识的认知过程，树立科学探究精神；
（2）参与数学建模过程，感受生活中的数学模型，体会数学知识的应用.
【教学重点】
终边相同角的概念．
【教学难点】
终边相同角的表示和确定．
【教学设计】
（1）以丰富的生活实例为引例,引入学习新概念——角的推广；
（2）在演示——观察——思维探究活动中，使学生认识、理解终边相同的角；
（3）在练习——讨论中深化、巩固知识，培养能力；
（4）在反思交流中，总结知识，品味学习方法．
【教学备品】
教学课件、学习演示用具（两个硬纸条一个扣钉）．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
360°范围的角，已经不能反映生产、生活中
（如图（2））．当射线没有作任何旋转时，也认为形成了一个角，这个角叫做零角．
（1）（2
经过这样的推广以后，角包含任意大小的正角、负角和零角．
终边相同的角有无限多个，
取偶数时，角的终边在y轴正半轴上；当。
角的概念推广优秀学习教案.docx
精品文档【课题】5．1 角的概念推广【教学目标】知识目标：⑴ 了解角的概念推广的实际背景意义；⑵ 理解任意角、象限角、界限角、终边相同的角的概念．能力目标：（1）会判断角所在的象限；（2）会求指定范围内与已知角终边相同的角；（3）培养观察能力和计算技能．情感目标：（1）经历推广角的概念及随之带来的新知识的认知过程，树立科学探究精神；（ 2）参与数学建模过程，感受生活中的数学模型，体会数学知识的应用.【教学重点】终边相同角的概念．【教学难点】终边相同角的表示和确定．【教学设计】（1）以丰富的生活实例为引例 , 引入学习新概念——角的推广；（2）在演示——观察——思维探究活动中，使学生认识、理解终边相同的角；（3）在练习——讨论中深化、巩固知识，培养能力；（4）在反思交流中，总结知识，品味学习方法．【教学备品】教学课件、学习演示用具（两个硬纸条一个扣钉）．【课时安排】2课时． (90 分钟)【教学过程】教学教师学生过程行为行为*揭示课题5.1 角的概念推广介绍了解* 创设情景兴趣导入教学时意图间利用实际问题过程行为行为问题 1质疑思考游乐场的摩天轮，每一个轿厢挂在一个旋臂上，小明与小华两人同时登上摩天轮，旋臂转过一圈后，小明下了摩天轮，小华继续乘坐一圈．那么，小华走下来时，旋臂转过的角度是提问求解多少呢？问题 2用活络扳手旋松螺母，当扳手按逆时针方向由OA 旋转到OB 位置时，就形成一个角；在扳手由OA 逆时针旋转一讨论周的过程中，就形成了 0°到 360°之间的角；扳手继续旋转下去，说明就形成大于的角．如果用扳手旋紧螺母，就需将扳手按顺时针方向旋转，形成与上述方向的角．交流归纳通过上面的三个实例，发现仅用锐角或0°360°范围的总结:理解角，已经不能反映生产、生活中的一些实际问题，需要对角的概念进行推广．*动脑思考探索新知概念一条射线由原来的位置 OA ，绕着它的端点 O ，按逆时针（或顺时针）方向旋转到另一位置OB 就形成角．旋转开始说明思考位置的射线 OA 叫角的始边，终止位置的射线OB 叫做角的终边，端点 O 叫做角的顶点．规定：按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角（如图（ 1）），按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角（如图（ 2））．当射线仔细理解没有作任何旋转时，也认为形成了一个角，这个角叫做零角．分析讲解关键点（1）（2）记忆类型引导经过这样的推广以后，角包含任意大小的正角、负角和零意图间引起学生的好奇心和求知欲生活实例有助于学生理10解角的推广的意义结合图形讲解角的图形可以加入学生的举例明确角的过程行为行为角．意图间类型表示除了使用角的顶点与边的字母表示角，将角记为“∠ AOB ”或“∠ O”外，本章中经常用小写希腊字母、、、L来表示角．概念数学中经常在平面直角坐标系中研究角．将角的顶点与坐标原点重合，角的始边在 x 轴的正半轴，此时，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角（或者说这个角在第几象限）．如图所示， 30°、 390°、 - 330°都是第一象限的角， 120°是第二象限的角，- 120°是第三象限的角，- 60°、300°都是第四象限的角．终边在坐标轴上的角叫做界限角，例如， 0°、 90°、180°、270 °、 360 °、 - 90°、- 270 °角等都是界限角．强调明确引导领会展示观察强调理解完成角的推广象限角可以引导学生一步步自然得出强调特殊情况30*运用知识强化练习教材练习 5.1.1提问思考2．在直角坐标系中分别作出下列各角，并指出它们是第几象巡视动手限的角：求解指导交流⑴ 60°；⑵ - 210°；⑶ 225°；⑷ - 300°．* 动手操作实验观察用图钉联结两根硬纸条，将其中一根固定在OA 的位置，演示动手将另一根先转动到 OB 的位置，然后再按照顺时针方向或逆时操作操作针方向转动，观察木条重复转到OB 的位置时所形成角的特征．* 问题引导实践探究问题质疑思考反馈学习状态巩固知识40由具体的问题过程行为行为在直角坐系中作出390°、- 330°和 30°角，些角的有何关系？提求解探究390 °=30 °+1×360 °；- 330 °=30 °+（ - 1）×360 °．即 390°、- 330°与 30°角之差都是 360°角的整数倍数，它引会是射坐原点旋到30°角的位置后，分按逆或方向再旋一周所形成的角．推广分析理解与 30°角相同的角有：750 °=30 °+2×360 °；- 690 °=30 °+（ - 2）×360 °；1110 °=30 °+3×360 °；- 1050 °=30 °+（ - 3）×360 °；⋯⋯⋯⋯解所有与 30°角相同的角的度数，与 30°角的度数之差都恰好360°的整数倍数．它（包括30°角）都可以表示明确30°+ k360 °(k Z )的形式．因此，与30°角相同的角的集合S ｛︱30o k 360o, k Z ｝．* 思考探索新知明理解一般地，与角相同的角（包括角在内），都可以表示k 360o (k Z ) 的形式．与角相同的角有无限多个，它所成的集合S｛︱k 360o, k Z ｝．* 巩固知典型例意图间操作引学生一步步的体会相同角的含自然得出50概念的关点55例 1 写出与下列各角相同的角的集合，并把其中在- 360 °～ 720 °内的角写出来：⑴ 60 °；⑵ - 114°．疑察安排分析首先要写出与已知角相同的角的集合S ，然后取与知整数 k 的，使得k360o在指定的范内．明思考点解⑴与 60°角相同的角的集合是的例｛︱60o k 360o, k Z ｝．巩过程行为当 k1时， 60o(1)360o300o；当 k0 时，讲解60o0 360o60o；当k 1 时，60o1360o420o．所以在- 360 °～ 720 °之间与 60°角终边相同的角为300o、 60o和 420o．⑵与- 114°角终边相同的角的集合是说明S｛︱114o k 360o, k Z ｝．当 k0 时，114o0360o114o；引领当 k1时，114o1360o246o；当 k2时，114o2360o606o．所以在 - 360°～ 720°之间与114o角终边相同的角为114o、 246o和 606o．例 2y 轴上的角的集合．分析写出终边在分析在 0°～ 360°范围内，终边在y 轴正半轴上的角为90°，终边在 y 轴负半轴上的角为270°，因此，终边在y 轴正半轴、总结负半轴上所有的角分别是k 360902k 18090，k 360270(2 k1) 18090 ，讲解其中 k Z ．⑴式等号右边表示180°的偶数倍再加上90°； (2)式等号右边表示180°的奇数倍再加上90°，可以将它们合并为180 °的整数倍再加上90°．引领解终边在 y 轴上的角的集合是S｛︱n 180o90o ,n Z ｝．当 n 取偶数时，角的终边在y 轴正半轴上；当n取奇数时，行为主动求解思考理解领会求解理解明确意图间固新知计算部分可以教给学生完成利用观察图像加强问题的理解强调规范写法角的终边在y 轴负半轴上．70教学教师学生过程行为行为*运用知识强化练习教材练习 5.1.2提问思考1．在 0°～ 360 °范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角：巡视动手⑴ 405 °；⑵165°；⑶ 1563 °；⑷ 5421°．求解2．写出与下列各角终边相同的角的集合，并把其中在- 360 °～ 360 °范围内的角写出来：指导交流⑴ 45°；⑵ - 55°；⑶ -220 °45；′⑷ 1330 °．3. 写出终边在 x 轴上的角的集合 .* 归纳小结强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？引导回忆* 自我反思目标检测本次课采用了怎样的学习方法？提问反思你是如何进行学习的？交流你的学习效果如何？*继续探索活动探究(1)读书部分：教材章节 5.1 ；(2)书面作业：学习与训练 5.1 ；说明记录(3)实践调查：生活中角的概念的推广实例．教学时意图间及时了解学生知识掌握情况80培养学生总结反思学习过程能力8590。
角的概念的推广-教学设计
《角的概念的推广》——教学设计一、教材分析1、地位与作用我校使用的是高等教育出版社由李广全、李尚志编写的基础模块《数学》教材。
角的概念的推广来自本教材的第五章的第一节。
这节课主要内容是角的概念的推广，首先通过生产、生活的实际例子阐明了推广角的必要性和实际意义，然后又以“动”的观点给出了正、负、零角的概念，最后引入了象限角的概念。
本节课的学习具有以下必要性：1、在实际生活中应用广泛。
2、是前面所学函数类型的延伸。
3、是描述旋转运动和周期性现象的重要特征量。
4、是专业的重要学习工具。
2、课时安排5.1.1节：任意角的概念的推广，45分钟。
3、教学目标知识目标：掌握用旋转定义角的概念；理解并掌握“正角”、“负角”、“象限角”的含义，培养学生用运动变化观点审视事物。
能力目标：通过布置课前任务——培养学生的自学能力；通过让学生讨论、讲解——锻炼学生的语言表达能力；通过让学生解决生活中与数学相关的问题——提高学生分析问题、解决问题的能力。
情感目标：通过解决生活中的数学问题——让学生感悟数学的实用性；通过小组活动——培养学生的团队协作意识。
4、教学重点难点教学重点：理解并掌握正角、负角、零角的定义，掌握象限角的判断方法。
教学难点：旋转方向的观察、象限角的判断。
二、学情分析学习对象为中职一年级学生，虽然有一定的观察能力，他们普遍对初中数学有恐惧感，数学基础普遍较差；学生重视专业课，忽视基础课的学习；学生对新内容的学习有一定的兴趣和积极性，但缺乏耐心和恒心。
三、教学策略选择与设计针对职业学校学生、学科特点，更多的学习活动设计将以观察、识别、分析、判断、讨论为主线，以掌握方法、步骤为目标，让学生更能体会到数学的实用性。
引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念。
树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念。
教学过程是教师和学生共同参与的过程，启发学生自主性学习,充分调动学生的积极性、主动性；有效地渗透数学思想方法，提高学生素质。
角的概念的推广 教学设计
课题：角的概念的推广姓名班级时间学习目标：1.使学生初步理解用“旋转”定义角的概念。
2.理解正角、负角、零角、象限角、终边相同的角的含义。
3.掌握所有与。
角终边相同的角（包括。
角）。
重点：理解并掌握正角、负角、零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法及判定。
难点：把终边相同的角用集合和符号语言表示出来。
一、自主学习1、平面内一条射线绕着所成的图形叫做角。
2、角的分类①正角：按而成的角②负角：按而成的角③零角：如果一条射线，我们称它形成了一个零角。
④旋转生成的角，常叫做，各角之和的等于3、求和并作图表示：① 30° +90°②-60° +270°4、象限角：在直角坐标系中，使角的定点于坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，那么角的终边,我们就说这个角是第几象限角，如果，就认为这个角不属于任何象限，叫 o二、合作探究1、如果。
是第一象限角，那么a的取值范围可以表示为怎样的不等式？2、如果a分别是第一、第二、第三和第四象限的角’那么2a,5分别是第几象限的角？三、典型例题例1射线0A绕端点。
顺时针旋转80°到OB位置，接着逆时针旋转250°到0C位置，然后再顺时针旋转270°到0D位置，求NA0D的大小变式训练：课本鸟A 5方法总结：例2在0。
〜360。
范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角：(1) -150°(2) 650°(3) -950° 15'变式训练：课本舄A 4方法总结：例3写出终边在x轴上的角的集合变式训练：课本RB 1、2、4方法总结：例4分别写出与下列各角终边相同的角的集合S,并把S中满足不等式-360。
<^<720°的元素夕写出来：(1) 60°(2) -21°(3) 363° 14,变式训练：课本R A 6方法总结：当堂检测1在直角坐标系中，判断下列各语句的真、假：(1)第一象限的角一定是锐角(2)终边相同的角一定相等(3)相等的角，终边一定相同 (4)小于90°的角一定是锐角(5)象限角为钝角的终边在第二象限(6)终边在直线y =上的象限角表示为k-360° +60° , keZ2、在直角坐标系中作下列各角:(2) -750°3、已知-990° <«< -630°，且a与120。
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角的概念的推广一教学设计
哈尔滨市交界职业高中杜银霞
课题：角的概念推广（第一课时）
教学目的：
1•掌握用旋转”定义角的概念，理解并掌握正角”负角”象限角”终边相同的角”的含义。
2. 掌握所有与a角终边相同的角（包括a角）的表示方法。
3•从射线绕着其端点旋转而形成角”的过程，培养学生用运动变化观点审视事物，从而深刻理解推广后的角的概念。
教学重点：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法。
教学难点：终边相同的角的表示。
设计理念：
本节主要介绍推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念，终边相同的角的表示方法。
树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念。
教学方法可以选为讨论法，通过实际问题，使角的推广变得更为必要，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，突出角的概念的理解与掌握。
通过具体问题，让学生从不同角度作答，理解终边相同的角的概念，并给以表示，从特殊到一般，归纳出终边相同的角的表示方法，达到突破难点之目的。
教学过程：
一、复习引入：
1. 回忆：初中是如何定义角的？
从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形。
这种概念的优点是形象、直观、容易理解，角的范围是O°WaW 360°,但其仅从图形的形状来定义角，弊端在于狭隘”
2. 生活中很多实例会不在范围0°<a< 360°内。
如：体操运动员转体，跳水运动员向内、向外转体
经过1小时时针、分针、秒针转了多少度？
这些例子不仅不在范围，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，用运动的思想来研究角的概念。
二、讲解新课：
1. 角的概念的推广
⑴旋转”形成角
一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角a旋转开始时的射线OA叫做角a的始边，旋转终止的射线OB叫做角a的终边，射线的端点O叫做角a的顶点.
突出旋转”注意：顶点”始边”终边”
⑵.正角”与负角”零角”
我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角J巴按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，___ 正角”与负角”是由旋转的方向决定的。
特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零
角.
⑶意义
用旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。
1 ° 角有正负之分女口：a=210°b=-150 °g=660°
2°角可以任意大
实例：体操动作：旋转2周(360° >2=720°3周(360° >3=1080°
3°还有零角一条射线，没有旋转
角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量。
2．“象限角”
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角
角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的正半轴重合，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角(角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限,我们称其为界限角)
下面由学生自己分别举出终边在一、二、三、四象限的角以及界限角(各举两例)
例如：30 ° 、390 ° 、-330 °是第一象限角，-195°、120°是第二象限角, 585°、1180°是第三象限角，300°、-60°是第四象限角。
90 °、0 ° 、- 1 8 0 °都是界限角。
3．终边相同的角
⑴观察：390°，-330°角，它们的终边都与30°角的终边相同
⑵探究：终边相同的角都可以表示成一个0°到360°的角与个周角的和：
390°=30°+ 360°
-330 °=30°-360 °
30°=30°+0>360°
对于任意一个角，若其终边与相同，那么它们之间都相差360°的整数倍。
⑶结论：所有与角a终边相同的角连同a在内可以构成一个集合：{ B I B = a +k • 360°, k € Z} (即：任何一个与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和。
) ⑷注意以下四点：
(1)k€ Z；
(2)a 是任意角；
⑶k • 360°与a之间是“ +号,
如-30°，应看成+(-30 °)；(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．
三、讲解范例：
例1：写出与下列各角终边相同的角的集合，并指出它们是哪个象限的角
( 1 ) 30°( 2) 135°( 3) 225°( 4)300°
解：(1)与30 °终边相同的角的集合是A={ B | B =30° +k • 360°, k€ Z}
因为30° 是第一象限角，所以集合 A 中的角都是第一象限的角。
(2)与135° 终边相同的角的集合是A= { B I B =135° +k • 360° , k€ Z}
因为135°是第二象限角,所以集合 A 中的角都是第二象限的角。
(3)与225°终边相同的角的集合是A={ B I B =225° +k • 360°, k€ Z}
因为225°是第三象限角,所以集合 A 中的角都是第三象限的角。
(4)300°与终边相同的角的集合是A={ B I B =300° +k • 360°, k € Z}
因为300°是第四象限角,所以集合 A 中的角都是第四象限的角。
四、课堂练习：
1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于90°的角是锐角吗？(答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定是锐角；小于90°的角可能是零角或负角故它不
一定是锐角)
2•已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们
是哪个象限的角？
（1）420 :⑵-75，⑶855 ；⑷-510 . °
（答：（1）第一象限角，（2）第四象限角，（3）第二象限角，（4）第三象限角）作图时应注意：顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上（图略）
五、小结：
本节课我们学习了正角、负角和零角的概念，象限角的概念，要注意如果角的终边在坐标轴
上，就认为这个角不属于任何象限•本节课重点是学习终边相同的角的表示法•严格区分终边相同”和角相等”；界限角”象限角”；小于90°的角”第一象限角”和锐角”的不同意义.
六、课后作业：
1. 下列命题中正确的是（）
A. 第一象限的角一定不是负角
B. 第二象限角一定是钝角
C. 第四象限角一定是负角
D. 若A a+ k 360°（ k € Z），贝U a与B终边相同
2. 下列角中，与终边相同的角是（）
A. B. C. D.
3. 如果，那么角是（）
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
4. 若角a与B终边相同，则一定有（）
A. a+ 180°
B. a+ 0°
C. a— A k 360° k € Z
D. a+ k 360° k € Z
5. ____________________________________ 钟表经过4小时，时针与分针各转了（填度）.
6. 在直角坐标系中，作出下列各角，并判断各为第几象限角（或界限角）.
（1）360 °。