(新)教案1：5.1角的概念的推广
5.1 角的概念的推广
5.1角的概念的推广
一、学习目标：
1、掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义
2、掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法
3、体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；
二、教学重点、难点
重点：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法.
难点：终边相同的角的表示.
三、教学方法：
讲授法、讨论法、媒体课件演示
四、内容分析：
本节主要介绍推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念以及终边相同的角的表示方法.树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念.教学方法可以选用讨论法，通过实际问题，教师抽象并通过用几何画板多媒体课件演示角的形成更加形象直观，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，明确“规定”的实际意义，突出角的概念的理解与掌握.通过具体问题，让学生从不同角度作答，理解终边相同的角的概念，并给以表示，从特殊到一般，归纳出终边相同的角的表示方法，达到突破难点之目的.
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5.1 角的概念推广(陈士芹)
“5.1角的概念推广(一)”教学设计【授课班级】09级数控1班【学生人数】30人【教材】中等职业教育国家规划新教材《数学》（基础模块）上册主编：李广全、李尚志高等教育出版社出版【教学内容】5.1《角的概念推广》这个单元授课时间为2个课时，为使学生能系统地掌握所有与角相关的概念，本人在授课中把5.1.1和5.1.2中的“新知识”部分划为第一课时，5.1.2中的“知识巩固”划为第二课时．本教学设计是角的概念推广的第一课时．【教学目标】知识目标：推广角的概念，引入正角、负角、零角、各象限的角、界限角的定义；会表示终边相同的角的集合．能力目标：通过布置课前任务来培养学生的自学能力；通过让学生讨论、讲解来训练学生的语言表达能力和逻辑推理能力；通过让学生解决生活或专业中与数学相关的问题来培养学生的分析问题、解决问题的能力．情感目标：通过解决一些生活或专业中的问题，让学生感悟数学的实用性；通过小组活动，培养学生的团队精神；通过让学生解决一系列层层深入的问题，培养学生积极探索勇于创新的精神．【教学重点】理解概念的含义，会表示终边相同的角的集合．【教学难点】把与角有关的所有概念系统归类；把终边相同的角用集合表示.【教学理念】中等职业教育是培养高素质、技能型劳动者的教育，中职学校的数学教学是注重全体学生可持续发展的低重心教学．在整个教学过程中教师应该作为组织者、帮助者、指导者和促进者引导学生独立地获取知识，同时，又要通过学生的互助活动，培养学生将来走向社会、就业从岗的团队合作意识和协作能力．【教学方法】探究式问题教学法：就是把学生的学习活动与问题相结合，教师引导学生发现问题、分析、解决问题，从而使学生独立地、创造性地完成学习任务．【学习方法】小组学习法：按照“组内强弱搭配，组间能力均衡”的原则把学生分为6个小组，各组相对集中而坐，方便小组成员间的交流与合作．让学生在相对自由的环境中大胆表达自己的观点，让不同层次的学生都参与到课堂活动中来，借用团体的力量历练个体．【教具】多媒体投影仪，微机，扳手，数铣车床中的压板，学生自制教具．【设计思路】本教学设计有两条主线：一条是教学程序，一条是教学活动．两条主线交织运行，将知识点的学习融入到一系列教学活动中．通过小组对抗赛引导学生解决由所有知识点编制成的问题链，一步步引导学生从认识概念、梳理概念、辨析概念、到巩固概念从而完成本节课的学习任务，让学生在活动中增长知识、提高能力．【教学设计框架】教学程序 教学活动并指出它们是第几象限角?y12012060-第一象限角第四象限角么关系？ 角分别是第几象限角．追问1：：你能不能说出限角？夯实学生对“象限角”概念的理解吗？让学生把新旧知识的区别与联系明确于心．也39030()360=+⨯75030()360=+⨯30()360=+⨯69030()360=+⨯90角是第三象限角小于90的角一定是锐角钝角一定是第二象限角.( )象限角.．北京时间6月4, 在2010跳水世之间有什么关系?”集合？问题导学提纲1．初中所学角是怎样定义的？2．请你用实物演示：现在所学角是怎样生成的？ 3．什么叫负角、正角、零角？并用实物演示说明．4．为了研究的方便，经常在平面直角坐标系中研究角，请你说出：把角放置在坐标系中有什么要求？5．什么叫象限角？象限角分为哪几类？分别是什么？举例说明． 6．什么是界限角?举例解释说明．7．分别在坐标系中画出30390330750690--、、、、角的终边，分析这些角之间有什么关系?8．请写出与30角终边相同的所有角组成的集合.9．请尝试给角进行分类？有几种方式给角分类?分类依据分别是什么?。
5.1角的概念的推广(1)
授 课 班 级 授 课 时 间 第 1 到 2
13 机电 1
课 题 序 号 使 用 教 具
授 课 课 时
授 课 形 式
启发式，探究式，讲练结合
教 学 目 的
（1）联系学生的生活实际，使学生感受到推广角的概念的必要性. （2）使学生理解任意角的概念和象限角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论 角，能在直角坐标系中熟练的作出一些简单的正负角. （3）通过量角、作角，培养学生的动手操作能力. （4）培养学生的发散思维能力.
（2）时钟的分针15min内转过的角度是900，1h内转过的角度 学 生 体 会 角 推 广 的 意 是3600，1.5h转过的角度是多少呢？ 二、新课讲解（35 分钟） 1． (投影)任意角定义： 平面内一条射线绕着端点从一个位置 旋转到另一个位置所成的图形叫做角. 教师在黑板上画出按照旋转形成的各种角。 正角：按逆时针方向旋转形成的角 角的分类 负角：按顺时针方向旋转形成的角 零角：射线不作旋转时形成的角 义。
教 学 重 点
任意角概念
教 学 难 点
直角坐标系中角的几何表示
更 新 、 补 充 、 删 减 内 容
课 外 作 业
学习指导用书。
5.1 角的概念的推广（1） 授课主要内 容或板书设 计 引例 概念 思考交流 问题解决 例题 练习 课堂小结
教 学 后 记
课 堂 教 学 安 排
主 要 教 学 内 容 及 步 骤 教学过程 师生活动 设计 意图等
一、复习引入（8 分钟） 1． （教师问）在初中角是如何定义的？ 学生答：有公共端点的两条射线组成的几何图形叫做角. 2． （教师问）我们学过哪些角?它们的大小是多少? 学生答：锐角:大于0度小于90度 钝角:大于90度小于180度 周角等于360度 教师总结：我们以前所学过的角都是大于0度小于或等于360 度的角. 3． （教师问）角是如何度量的? 教师在黑板上画几个不同范围的角， 让一名学生上来量一量。 目的：让学生动脑，动手，同时为下面度量任意角做准备 思考:生活中的角是不是都在范围[0 ,360 ]内 ？
《角的概念推广》 教学设计
《角的概念推广》教学设计一、教学目标1、知识与技能目标（1）理解角的概念推广的必要性，掌握正角、负角和零角的定义。
（2）掌握象限角的概念，能熟练判断给定角所在的象限。
（3）理解终边相同的角的集合表示。
2、过程与方法目标（1）通过实际问题的引入，经历角的概念推广的过程，培养学生观察、分析和解决问题的能力。
（2）通过角的表示和象限角的判断练习，提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
3、情感态度与价值观目标（1）让学生感受数学与实际生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。
（2）通过合作学习和探究活动，培养学生的团队合作精神和创新意识。
二、教学重难点1、教学重点（1）正角、负角和零角的概念。
（2）象限角的概念及终边相同的角的集合表示。
2、教学难点（1）对负角的理解以及终边相同的角的集合表示的应用。
（2）准确判断给定角所在的象限。
三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入新课通过展示日常生活中常见的与角有关的现象，如钟表指针的转动、车轮的旋转等，引导学生思考角的概念是否能够完全描述这些现象。
例如：钟表的指针从 12 点位置顺时针旋转到 3 点位置，又从 3 点位置逆时针旋转回 12 点位置，如何用角来准确描述指针的转动过程？2、讲解新课（1）角的概念推广①回顾初中所学角的定义：由公共端点的两条射线组成的图形叫做角。
②提出问题：如果角的顶点固定，角的终边绕顶点旋转，会形成什么样的角？③给出正角、负角和零角的定义：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。
通过动画演示，让学生直观地理解正角、负角和零角的形成过程。
（2）象限角①引导学生思考：在平面直角坐标系中，角的终边落在哪个象限？②给出象限角的定义：角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边落在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，称为轴线角。
例如：30°角的终边落在第一象限，所以 30°是第一象限角；120°角的终边落在第二象限，所以 120°是第二象限角。
角的概念推广教案
角的概念推广优秀教案第一章：角的引入1.1 教学目标让学生了解角的定义和基本性质。
能够识别和比较不同类型的角。
能够用角度来描述角的大小。
1.2 教学内容角的定义：从一点引出两条射线所组成的图形。
角的性质：角的内部是两条射线的公共部分，外部是不共线的两条射线的夹角。
角的分类：锐角、直角、钝角、平角、周角。
1.3 教学方法通过实物演示和图形展示，引导学生直观地理解角的概念。
利用几何模型和练习题，让学生亲手操作，加深对角的认识。
1.4 教学资源角的概念引入PPT演示文稿。
实物模型和图片，如剪刀、三角板等。
1.5 教学步骤1.5.1 导入：利用实物或图片，引导学生观察和描述角的存在。
1.5.2 新课引入：讲解角的定义和性质，通过PPT演示文稿和实物模型进行辅助说明。
1.5.3 实例分析：展示不同类型的角，让学生区分和比较它们的大小。
1.5.4 练习巩固：提供一些练习题，让学生运用角的概念进行解答。
1.6 教学评价通过课堂提问和练习题的正确与否，评估学生对角的概念的理解程度。
第二章：角的大小比较2.1 教学目标让学生能够比较不同角的大小。
学会使用量角器测量角的大小。
2.2 教学内容角的大小比较：通过观察角的内部或外部，比较角的大小。
量角器的使用：量角器的结构和如何测量角的大小。
2.3 教学方法通过实际操作量角器，让学生学会正确测量角的大小。
提供练习题，让学生运用比较角大小的方法。
2.4 教学资源量角器演示文稿和实物量角器。
练习题和答案。
2.5 教学步骤2.5.1 导入：复习上一章的内容，引导学生回顾角的概念。
2.5.2 新课引入：讲解如何比较角的大小，通过PPT演示文稿和实物量角器进行辅助说明。
2.5.3 实例分析：提供一些角的大小比较实例，让学生实践和理解比较方法。
2.5.4 练习巩固：提供一些练习题，让学生运用角的大小比较方法进行解答。
2.6 教学评价通过课堂提问和练习题的正确与否，评估学生对角的大小比较的理解程度。
角的概念的推广教案
角的概念的推广教案概要一、教学目标通过观察实例，使学生认识角的概念推广的可能性和必要性，树立运动变化的观点，并由此深刻理解任意角的概念。
理解正角、负角、零角、终边相同的角、象限角等概念，掌握角的加减运算和表示方法。
通过教学，使学生进一步体会数形结合的思想，培养抽象、推理、创新的能力。
二、教学重点和难点重点：任意角（正角、负角、零角）、终边相同的角、象限角的概念，角的加减运算和表示方法。
难点：终边相同的角的概念，其符号表示、集合表示。
三、教学方法和学法教学方法：讲解法、示范法、讨论法、探究法、评价法。
学法：观察法、练习法、合作探究法、反思法。
四、教学过程准备部分：学生按照指定的队列队形站好，教师检查人数、服装、器材，宣布本课的目标和内容，进行安全教育和准备活动。
基本部分：分为四个环节，分别是：环节一：复习初中学习过的角的定义和分类，提出新问题：运动员掷链球时，旋转方向可以是逆时针也可以是顺时针，旋转量也不止一个平角，那如何来度量角的大小呢？引导学生用运动变化的观点来扩充角的概念，即解决旋转中心、旋转方向和旋转量对角的概念有什么影响。
环节二：讲解任意角的概念，即用旋转的方式定义角，区分正角、负角、零角的概念和表示方法，示范正确的画图方法，学生模仿练习，教师个别指导和纠正错误。
环节三：讲解终边相同的角的概念，即当角与角的始边重合时，它们的终边也重合，区分终边相同的角的符号表示、集合表示和判定方法，示范标准的计算过程，学生分组练习，教师观察和评价，学生互相检查和反馈。
环节四：讲解象限角的概念，即在平面直角坐标系中，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角，区分象限角的表示方法和判定方法，示范典型的应用问题，学生参与解决，教师监督和评分，学生总结和分享。
结束部分：学生按照指定的队列队形站好，教师进行本课的小结和评价，表扬优秀的学生和小组，提出改进的建议，进行放松活动，下课。
角的概念的推广教案
角的概念的推广教案教案标题：角的概念的推广教案教学目标：1. 理解角的概念及其特征。
2. 能够识别不同类型的角。
3. 能够应用角的知识解决实际问题。
教学重点：1. 角的定义和特征。
2. 不同类型角的识别和分类。
教学准备：1. 教师准备：投影仪、电脑、白板、黑板笔、角的模型（如角尺）。
2. 学生准备：尺子、铅笔、橡皮擦。
教学过程：引入（5分钟）：1. 利用投影仪或黑板，展示一些日常生活中的角的图片，如门的角、书桌的角等。
2. 引导学生观察这些角，思考角的特征和共同点。
探究（15分钟）：1. 引导学生回顾线段的概念，提问：两条线段之间是否可以形成一个角？请举例说明。
2. 让学生在纸上画出不同的线段，并尝试用这些线段之间的交叉点形成角。
3. 引导学生观察和描述所形成的角的特征，如角的大小、两条边等。
讲解（15分钟）：1. 利用黑板或投影仪，展示角的定义和特征，包括顶点、两条边等。
2. 引导学生观察和讨论不同类型的角，如锐角、直角、钝角等。
练习（20分钟）：1. 给学生分发练习册或工作纸，让他们识别和标记不同类型的角。
2. 在黑板上出示一些角的图片，要求学生用适当的术语描述这些角。
巩固（10分钟）：1. 让学生自主分组，每组选择一个日常生活场景，找出其中的角，并描述其特征和类型。
2. 鼓励学生分享他们的发现和观察。
拓展（5分钟）：1. 引导学生思考角的应用，如在建筑设计、地图绘制等方面的应用。
2. 鼓励学生提出其他与角相关的问题，并引导他们进一步探索。
总结（5分钟）：1. 回顾本节课所学的内容，强调角的概念和特征。
2. 鼓励学生在日常生活中继续观察和应用角的知识。
教学反思：本节课通过引导学生观察和实际操作，帮助他们理解角的概念和特征。
通过练习和应用，学生能够识别不同类型的角，并能够应用角的知识解决实际问题。
在教学过程中，教师应注重学生的参与和互动，激发学生的学习兴趣和思维能力。
同时，教师还应根据学生的实际情况和理解程度，进行巩固和拓展教学内容，确保学生的学习效果。
角的概念的推广教案
5.1角的概念的推广一、内容分析这节课主要内容角的概念的推广，是把学生学习的角从不大于周角的非负角扩充到任意角，使角有正角、负角和零角．首先通过生产、生活的实际例子阐明了推广角的必要性和实际意义，然后又以“动”的观点给出了正、负、零角的概念，最后引入了几个与之相关的概念：象限角、终边相同的角等．本节内容是在学了集合和函数之后的又一重要章节，是对初中锐角三角函数的一个延伸和推广，主要是推广到任意角三角函数。
也是对集合与函数的知识的又一渗透。
所以本节课《角的概念的推广》就起到了一个铺垫和承上启下的作用。
为今后学习任意角的三角函数提供了有力的依据。
二、学习者特征分析学习对象为中职一年级学生，虽然有一定的观察能力，但带着对初中数学的恐惧和厌烦的他们，数学基础普遍较差。
但凡“数学”二字出现，就已经泄气，而不管所涉及内容的难易度和是否可接受，这种排斥心理很大程度上阻碍了数学教学的有效进行，这种抵触情绪也极大地打断了学习的可持续性。
学生课堂上更喜欢看而不喜欢写和说，遇到问题羞于提问。
学生思想有些偏激与极端，看待问题易存在片面性和表面性。
对待学科任由情感支配，喜欢数学学科的任课老师就对课程感兴趣，愿意付出努力和耐心；不喜欢任课老师，则表现为对其课程彻头彻底的厌学。
三、教学目标1. 通过实例，体会推广角的必要性和实际意义，理解正角、负角和零角的定义．2. 理解象限角的概念、意义及表示方法，掌握终边相同的角的表示方法．3. 通过对“由一点出发的两条射线形成的图形”到“射线绕着其端点旋转而形成角”的认识过程，使学生感受“动”与“静”的对立与统一．培养学生用运动变化的观点审视事物，用对立统一规律揭示生活中的空间形式和数量关系．教学重点：理解任意角、象限角、终边相同的角等概念。
教学难点：把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来。
理解任意角的概念，会在平面内建立适当的坐标系，通过数形结合来认识角的几何表示和终边相同的角的表示，是学好这节的关键．四、教学策略选择与设计针对技校数学特点，更多的学习活动设计将以观察、识别、分析、判断为主线，以掌握方法、步骤为目标，让学生更能体会到数学的实用性。
《角的概念的推广》教案1
《角的概念的推广》教案一、教学目标知识与技能1.认识角扩充的必要性，了解任意角的概念，与过去学习过的一些容易混淆的概念相区分.2.能用集合和数学符号表示终边相同的角，体会终边相同角的周期性.3.能用集合和数学符号表示象限角.4.能用集合和数学符号表示终边满足一定条件的角.过程与方法1.通过角的概念的扩充，让学生体会动态与静态数学观的差异，进一步理解旋转变换的作用.2.通过角合成的算法，终边相同角的表示方法及其推广让学生体会在数学学科中，将概念的形式化、数量化的过程与方法，借此进一步体会数形结合的思想、方法，这是本节课的重点内容.情感、态度和价值观通过掌握角合成的算法，终边相同角的表示方法及其推广的过程与方法，让学生体会数学的抽象化、形式化等学科特点.二、教学重、难点教学重点形成任意角（正角、负角、零角）、终边相同的角、象限角的概念，掌握终边相同的角的表示方法和判定方法.教学难点终边相同的角的概念、其符号表示、集合表示.三、教学方法本节教学方法采用教师引导下的讨论法，通过多媒体课件在教师的带领下，学生发现就概念、就方法的不足之处，进而探索新的方法，形成新的概念，突出数形结合思想与方法在概念形成与形式化、数量化过程中的作用，是一节体现数学的逻辑性、思想性比较强的课.四、课时1课时五、教学过程引入：复习静态数学观下，按图形组合方式定义角.师问：角是数学中最常见的基本图形之一，按图形组合的方式来看，角是由哪些基本的图形组成的呢？生答：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.师问：不加任何描述条件，两条共端点的射线组成几个角？这两个角之间有什么关系？它们的取值范围是多少？生答：两个和为360°，0°～360°（大于等于0°且小于360°）.师问：在图上我们如何区分这两个角？生答：标示、添加描述条件等.为了解决上述问题，我们看另一种定义方式.即，一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一位置所形成的图形叫做角.师问：两种定义方式有什么异同之处？解答：角组合式旋转式边两条射线一条射线，另一边是其经过旋转变换的结果顶点公共端点旋转中心个数两个范围0°～360°思考在旋转式定义方式下，我们会产生这样的质疑：1．一次旋转而得的角有几个？2．两条射线一次组合产生的两个角，如何用旋转的方式表示？3．当旋转超过一周时，如何描述旋转量？发现静态数学观下，按“图形组合”的方式定义角的概念有很大的局限性.比较两种角的定义，发现差异，为角的概念的推广做准备.概念形成：任意角的概念按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；当射线没有旋转时，叫做零角.在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量.旋转生成的角，又常叫做转角.任意角的图示方法如图，射线OA绕端点O旋转到OB的位置所成的角，记作∠AOB，其中OA叫做∠AOB的始边，OB叫做∠AOB的终边.以OB为始边，OA为终边的角记作∠BOA.显然，当我们用旋转的方式定义角时，原有的角的范围必须被扩充.一．任意角的概念我们用旋转变换的观点来扩充角的概念，即解决旋转变换的三个要素（旋转中心、旋转方向和旋转量）对角的概念有什么影响？（1）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针和顺时针两种，这是一对意义相反的量，根据以往的经验，我们可以把一对意义相反的量用正负数来表示，那么质疑一中提到的问题就可以解决了；（2）旋转量：当旋转超过一周时，旋转量即超过360°，角度的绝对值可大于360°.这样质疑二中的问题就可以解决了；（3）旋转中心：作为角的顶点.板书按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；当射线没有旋转时，叫做零角.在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量.旋转生成的角，又常叫做转角.如课本图1－1，射线OA绕端点O旋转到OB的位置所成的角，记作∠AOB，其中OA叫做∠AOB的始边，OB叫做∠AOB的终边.以OB为始边，OA为终边的角记作∠BOA.例：∠AOB＝120°，∠BOA＝－120°.以旋转变换的要素为线索，发现旋转式定义是如何扩充角的概念的.应用举例例题如图课本图1－2，射线’OA绕端点O旋转，旋转的绝对量超过了周角，按照图中箭头所指的方向和弧线表示的周数，可以表示角的度数.练习读角练习.教师讲解，学生练习，在实践中巩固所学概念.各角和的旋转量等于各角旋转量的和.二．角的合成与运算例题课本P4小结各角和的旋转量等于各角旋转量的和.根据已有的定义，我们可以发现：如果把度数相同的角看成是一个角，那么角和实数之间可以形成一一对应的关系.于是，角的合成可以用实数运算来表示.练习1．课本P7.练习A.5题2．课本P6练习A.2题（3）让学生体会数形结合思想的应用概念形成：如果当角与角的始边重合时，它们的终边也重合，那么我们称角与角是终边相同的角.一般地，如果是终边相同的角，那么我们记，当k＝0时，两个角相同.如果我们固定角的始边，因其终边可以任意旋转，故而可以构成任意度数的角，而通过观察我们可以发现，这些角中有很多角的边是重合的.因此我们定义：三．终边相同的角1．定义如果当角与角的始边重合时，它们的终边也重合，那么我们称角与角是终边相同的角. 2．表示方法思考终边相同的角度数相等么？反之，度数相等的角终边相同么？解答终边相同的角度数不一定相等；而度数相等的角终边一定相同？思考终边相同的两个角的度数有什么关系？解答终边相同的两个角的位置关系是——两边重合，数量关系是——差是360°的整数倍. 思考设是终边相同的两个角，如何用符号语言表示其数量关系？解答通过变形可以得到小结一般地，如果 是终边相同的角，那么我们记，当k ＝0时，两个角相同.说明我们来总结一下，如何把终边相同的角的图形变换特性转化为数量关系形式的. 从角的旋转式定义看，终边相同角的本质特征是：每旋转360°的整数倍后两角重合.3．终边相同的角的集合设 表示任意角，所有与 终边相同的角，包括 本身构成一个集合，这个集合可记为{}Z k k S ∈︒⋅+==,360|αββ.集合中的每一个元素都与 的终边相同，当k ＝0时，对应元素为{}Z k k S ∈︒⋅+==,360|αββ借助终边相同的角的表示方法，研究旋转变换的数量表示形式，体现数形结合的思想与方法 应用举例1.课本P6.例4教师讲解，学生练习 在实践中巩固所学概念概念推广：从终边相同的角的符号表示方法推出符号表示终边满足一定条件的角的方法 例如，Z k k ∈︒⋅+=,180αβ，表示角 每次旋转180°Z k k ∈︒⋅+=,90αβ 表示角 每次旋转90旋转次数，360°表示单位旋转量.改变这些常数，表示不同的旋转过程角α与角－α 的终边关于x 轴对称等.重点在于让学生建立起图形变换可以通过数量关系式加以描述的观念，并掌握具体方法 用探究所得的思想和方法解决新问题.应用举例 『例题』课本P5.例3五、象限角的概念今后我们通常在平面直角坐标系中讨论角.定义：平面内任意一个角都可以通过移动，使角的顶点和平面直角坐标系的原点重合，角的始边和x 轴的正半轴重合，这时，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角. 将任意角等概念与坐标系相结合，为三角函数做准备.应用举例1． 课本P7.练习A.42． 课本P7.练习B.43． 如果用数轴上的点表示角度，象限角所对应的点如何分布？总结1、任意角的概念2、角的合成与运算3、终边相同的角的表示方法4、终边满足一定条件的角的表示方法5、象限角的概念与表示方法教师带领学生回顾，简单绘制本节课的知识脉络图。
5.1.1 角的概念推广
《角的概念推广》教学设计方案引入起学生的兴趣。
讲授新知二、构建情景任务2：讨论以下两个实例：生活实例：情境1：游乐场的摩天轮，每一个轿厢挂在一个旋臂上，小明与小华两人同时登上摩天轮，旋臂转过一圈后，小明下了摩天轮，小华继续乘坐一圈．那么，小华走下来时，旋臂转过的角度是多少呢？情境2：用活络扳手旋松螺母，当扳手按逆时针方向由OA旋转到OB位置时，就形成一个角；在扳手由OA逆时针旋转一周的过程中，就形成了0°到360°之间的角；扳手继续旋转下去，就形成大于的角．如果用扳手旋紧螺母，就需将扳手按顺时针方向旋转，形成与上述方向的角。
归纳通过上面的两个实例，发现仅用锐角或0°360°范围的角，已经不能反映生产、生活中的一些实际问题，需要对角的概念进行推广。
学生交流讨论说明角的概念推广的必要性放教学动画，配合定义，加深对定义的理解说明了角的概念推广的必要性生活实例有助于学生理解角的推广的意义体现数学来源于生活，运用于生活引导学生得出结论会有用得多5分钟讲授新知巩固练习概念一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O，按逆时针（或顺时针）方向旋转到另一位置OB就形成角α．旋转开始位置的射线OA叫角α的始边，终止位置的射线OB叫做角α的终边，端点O叫做角α的顶点．提问：如何描述角的两种旋转方向呢？规定：按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角（如图（1）），按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角（如图（2））．（1）（2）正角负角任务3：完成课堂导学案上的相关练习2和练习3当射线没有作任何旋转时，也认为形成了一个角，这个角叫做零角．使用教学数学小软件，就在随带的光盘里。
经过这样的推广以后，角包含任意大小的正角、负角和零角．有了正角、负角和零角，我们可以更好的描述旋教师播放角的定义的动画，学生的兴趣很浓厚。
用视频来引出定义学生完成导学案上的练习；请学生代表上台演板，画出正负角没有旋转的是零角形象生动的呈现角的定义，降低了理解难度，学生更乐于接受12分钟培养学生独立分析问题、解决问题的能力；培养学生抽象思考的能力。
§5.1角的概念推广
例 1 写出与下列各角终边相同的角的集合：
（1） 75
（2） 200
分析
思考解答
例 2 找出 0 ～ 360 内与下列各角终边相同的角，并判断它们
是第几象限角。
（1） 120 （2） 640 （3） 950
分析
例 3 已知角 与 240 的终边相同，判断角 2 是第几象限角。
思考解答
教学过程与内容
3、 与角 终边相同的角的集合
﹛ k 360, k Z ﹜
例1 例2 例3
教学札记
教学过程与内容
教法、学法
一、引言：
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世界上的许多现象，如四季的更替，时钟分针的圆周运动，
潮汐的起起落落……都表现出一定的周期性。本章将要学习的三
角函数，就是刻画这种周期性的重要数学模型。
（3）终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。
终边相同的角有无数多个，它们相差 360 的整数倍。
观察 理解
2、新知：
一般地，所有与角 终边相同的角（连同角 在内），可组成一 个集合﹛ k 360, k Z ﹜，即任一与角 终边相
同的角，都可以表示成角 与周角整数倍的和的形式。
不足一周的角加上或减去若干个周角，就是它的大小。
如： 750 = 30 2360 750 = - 30 2360
角的概念推广教案
角的概念推广教案【篇一：角的概念的推广教学设计】角的概念的推广－教学设计哈尔滨市交界职业高中杜银霞课题：角的概念推广（第一课时）教学目的：1.掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
3.从“射线绕着其端点旋转而形成角”的过程，培养学生用运动变化观点审视事物，从而深刻理解推广后的角的概念。
教学重点：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法。
教学难点：终边相同的角的表示。
设计理念：本节主要介绍推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念，终边相同的角的表示方法。
树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念。
教学方法可以选为讨论法，通过实际问题，使角的推广变得更为必要，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，突出角的概念的理解与掌握。
通过具体问题，让学生从不同角度作答，理解终边相同的角的概念，并给以表示，从特殊到一般，归纳出终边相同的角的表示方法，达到突破难点之目的。
教学过程：一、复习引入：1．回忆：初中是如何定义角的？从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形。
如：体操运动员转体，跳水运动员向内、向外转体经过1小时时针、分针、秒针转了多少度？这些例子不仅不在范围，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，用运动的思想来研究角的概念。
二、讲解新课：1．角的概念的推广⑴“旋转”形成角突出“旋转” 注意：“顶点”“始边”“终边”⑵．“正角”与“负角”“零角” 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，“正角”与“负角”是由旋转的方向决定的。
特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角．⑶意义用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。
角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量。
教案1：5.1角的概念的推广
5.1 角的概念的推广【教学目标】1．理解正角、负角、终边相同的角、第几象限的角等概念，掌握角的加减运算．2．通过观察实例，使学生认识角的概念推广的可能性和必要性，树立运动变化的观点，并由此深刻理解任意角的概念．3．通过教学，使学生进一步体会数形结合的思想． 【教学重点】理解任意角（正角、负角、零角）、终边相同的角、第几象限的角的概念，掌握终边相同的角的表示方法和判定方法．【教学难点】任意角和终边相同的角的概念． 【教学方法】本节采用教师引导下的讨论法，结合多媒体课件，带领学生发现旧概念的不足之处，进而探索新的概念．讲课过程中，紧扣“旋转”两个字，让学生在动手画图的过程中深刻理解任意角的概念．环节 教学内容师生互动设计意图复 习 导 入1．复习初中学习过的角的定义． 2．提出新问题：运动员掷链球时，旋转方向可以是逆时针也可以是顺时针，旋转量也不止一个平角，那如何来度量角的大小呢？师：初中学过的角的定义是什么？生：在平面内，角可以看作一条射线绕着它的端点旋转而成的图形．师：如图：∠AOB=∠BOA=120 ，B初中时的角不考虑旋转方向，只考虑旋转的绝对量而且角的范围在0~360°．复习旧知，使学生发现旧知识的局限性，激发学习新知识的兴趣．新 课 新 课 新 课1．任意角的概念． （1）射线的旋转方向：逆时针方向——正角； 顺时针方向——负角； 没有旋转——零角．画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量．旋转生成的角，又常称为转角．例如，∠AOB ＝120°，∠BOA ＝－120°．（2）射线的旋转量：当射线绕端点旋转时，旋转量可以超过一个周角，形成任意大小的角.角的度数表示旋转量的大小．教师画图说明正角，负角，零角，以及角的始边、终边.教师小结：由旋转方向的不同定义正负角，由旋转量的不同得到任意范围内的角． 1．教师画图，学生说角的度数． 2．学生练习：画出下列各角： （1）0，360°，720°， 1 080°，－360°，－720°； （2）90°，450°，－270°， －630°．学生练习：求和并作图表示： 30°＋45°，60°－180°．师：观察我们刚画过的角， 学生通过自己练习画图，深刻体会“旋转”两个字的含义，加深对任意角的概念的理解．学生自己动手画图求和，加深对旋转变化的理解． 将例1分解为两个小题，边讲边练，小步子，低台阶，学生容易消化吸收．例2难度较大，教师应详细讲解两个集例如450°，－630°．2．角的加减运算．90°－30°＝90°＋（－30°）＝60°．各角和的旋转量等于各角旋转量的和．3．终边相同的角．所有与α终边相同的角构成的集合可记为S＝{x|x＝α ＋k·360°，k?Z}．例1（1）写出与下列各角终边相同的角的集合．(1) 45°；(2) 135°；(3) 240°；(4) 330°．解略．4．第几象限的角．在直角坐标系中讨论角时，通常使角的顶点和坐标原点重合，角的始边与x 轴的正半轴重合.这样角的大小和方向可确定终边在坐标系中的位置.这样放置的角，我们说它在坐标系中处于标准位置．处于标准位置的角的终边落在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角．如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．例1（2）指出下列各角分别是第几象限的角．(1) 45°；(2) 135°；(3) 240°；(4) 330°．例2写出终边在y轴上的角的集合．解终边在y轴正半轴上的一个角为90°，终边在y轴负半轴上的一个角为－90°，因此，终边在y轴正半轴和负半轴上的角的集合分别是S1＝{α|α＝90°＋k·360°，k?Z}S2＝{α|α＝－90°＋k·360°，k?Z}所以终边在y轴上的角的集合为S1∪S2＝{α|α＝90°＋k ·360°，k?Z}∪{α|α＝－90°＋k·360°，k?Z}＝{α|α＝90°＋k ·180°，k?Z}．模仿练习：写出终边在x轴上的角的集合．例3在0～360°之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别判定各是第几象限的角？（1）－120°；（2）640°；（3）－950°．例4写出第一象限的角的集合．解在0～360°之间，第一象限的角（1）0，360°，720°，1080°，－360°，－720°；（2）90°，450°，－270°，－630°．思考：始边、终边相同的两个角的度数有什么关系？学生讨论后回答：终边相同的两个角的度数相差360°的整数倍．师：与30°始边、终边都相同的角有哪些？有多少个？它们能不能统一用一个集合来表示？得出结论．例1（1）由学生口答，教师给出规范的书写格式．例1（2）学生口答．讲解例2时，教师结合教材图示的平面直角坐标系，带领学生分析题意．师：角的终边落在y轴上包含哪两种情况？生：终边落在y轴正半轴上或者落在y轴负半轴上．师：90°的角终边落在y轴的正半轴上吗？与它终边相同的角的集合是什么？－90°的角终边落在y轴的负半轴上吗？与它终边相同的角的集合是什么？这两个集合的并集怎么求？例3引导学生画图解决，或者用计算器解答．教师结合平面直角坐标系讲解例4．学生分组练习：（1）写出第二象限角的集合；（2）写出第三象限角的集合；（3）写出第四象限角的集合．可增加判断题：使学生准确区分0～90°的角，锐角，小于90°的角，第一象限角．合如何求并集．本模仿练习意在渗透B组练习的解题思路．的取值范围是0°＜α＜90°，所以第一象限角的集合是{α|k ·360°＜α＜90°＋k ·360°，k?Z}．小结1．任意角的概念．2．角的加减运算．3．终边相同的角的集合．4．象限角的概念．教师带领学生回顾本节课的知识脉络图．本节课概念众多，通过梳理脉络，帮助学生巩固知识．作业教材P100，习题．巩固拓展．。
数学(第一册)5.1角的概念的推广5.1 角的概念推广
§5.1 角的概念的推广【教学目的】理解任意角的概念，会判断象限角，能写出终边相同的角的集合.【教学重点】任意角的概念，终边相同的角的集合.【教学难点】终边相同的角的集合.【教学过程】新课：一、角的概念的推广1. 任意角在平面内，一个角可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的几何图形射线的端点O叫做角α的顶点．，射线旋转前的初始位置OA叫做角α的始边，射线旋转后的终止位置OB叫做角α的终边．在初中，我们学过锐角、钝角、直角、平角和周角．在日常生活、生产实践和科学实验中，我们还会经常遇到大于360°的角．如图5-1所示，汽车或自行车的轮子在地平面沿直线作无滑动的滚动时，轮缘上一点A在最初旋转的第一圈内，相对于轮心转过的角度在0°到360°之间，继续旋转至第二圈，相对于轮心便形成大于360°的角，若继续旋转至第三圈，便形成相对于轮心的大于720°的角……．请同学们思考：经过一个半小时，时钟的分针转过了多少角度？图5-1一条射线绕着它的端点在平面内旋转有两个相反的转向．习惯上，按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角；当射线没有旋转时，也把它看成一个角，称为零角．在图5-2中，射线自初始位置OA按逆时针方向旋转了90°在OB处终止，形成的角是正90°．而在图5-3中，射线从初始位置OC 处，按顺时针方向旋转了120°至OE 处，故而形成的角是-120°．A C图 5-2 图 5-3角的概念经这样推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角，统称为任意角．例1 时钟的分针经过下列时间所转成的角是多少度：(1) 10分钟；(2) 2小时25分．解 时钟的分针每经过1分钟所转成的角是 360660︒︒-=-． (1) 分针走10分钟所转的角是61060︒︒-⨯=-；(2) 分针走2小时25分所转的角是6145870︒︒-⨯=-．2. 象限角我们常在直角坐标系内研究角．使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的正半轴重合，角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，称为非象限角．例2 下列每两个都在第Ⅱ象限的是 ( )．(A) 120︒-、240︒- (B) 120︒-、180︒(C) 240︒-、180︒ (D) 240︒-、495︒解 240︒-和495︒是第Ⅱ象限的角，所以选(D)．3. 终边相同的角具有共同的始边和终边的角，称为终边相同的角．如果角α的终边绕其顶点按逆时针方向旋转n 圈时，就形成360n α︒⋅+的角，按顺时针方向旋转n 圈时，就形成360n α︒-⋅+的角，这些角与角α都有相同的终边．因此，所有与α角终边相同的角，连同α角在内，有无穷多个，它们可用下式来表示：360k α︒⋅+，k Z ∈．用集合可记作{|360,}k k Z ββα︒=⋅+∈．例如，所有与30︒角终边相同的角可以写成：{|36030,}k k Z ββ︒︒=⋅+∈．要想得到某个与30︒终边相同的角，只要选择合适的k 值就行．当1k =时， 390β︒=；当1k =-时，330β︒=-；当0k =时，30β︒=；而当2k =时，750β︒=．想一想，要想得到1050︒-，k 必须等于几？例3 在0360︒︒之间，找出与下列各角终边相同的角，并判定是哪个象限的角：(1) 150︒-； (2) 640︒； (3) 1650︒-．解 (1) ∵150360210︒︒︒-=-+，∴ 角150︒-与角210︒的终边相同，它是第Ⅲ象限的角．(2) ∵640360280︒︒︒=+，∴ 角640︒与角280︒的终边相同，它是第Ⅳ象限的角．(3) ∵1650(5)360150︒︒︒-=-⋅+，∴ 角1650︒-与角150︒的终边相同，它是第Ⅱ象限的角．例4 写出与下列各角终边相同的角的集合S ，以及S 中在360720︒︒-的角：(1) 25︒-； (2) 36314︒'．解 (1) {|36025,}S k k Z ββ︒︒==⋅-∈， S 中在360720︒︒-的角是03602525︒︒︒⋅-=-；136025335︒︒︒⋅-=；236025695︒︒︒⋅-=．(2) {|36036314,}S k k Z ββ︒︒'==⋅+∈， S 中在360720︒︒-的角是23603631435646︒︒︒''-⋅+=-；136036314314︒︒︒''-⋅+=； 03603631436314︒︒︒''⋅+=． 例5 把下列各角化成360k α︒⋅+的形式(k Z ∈，0360α︒︒≤<)，并判定它们是哪个象限的角．(1) 2006︒； (2) 19896︒'-； (3) 666︒-．解 (1) ∵20065360206︒︒︒=⋅+，∴2006︒与206︒的终边相同．由于206︒是第Ⅲ象限的角，从而2006︒也是第Ⅲ象限的角．(2) ∵19896636017054︒︒︒''-=-⋅+，∴19896︒'-与17054︒'的终边相同．由于17054︒'是第Ⅱ象限的角，从而19896︒'-也是第Ⅱ象限的角．(3) ∵666236054︒︒︒-=-⋅+，∴666︒-与54︒的终边相同．由于54︒是第Ⅰ象限的角，从而666︒-也是第Ⅰ象限的角．课堂练习练习1：见书P129．练习2：习题5.1．【小结与作业】课堂小结：本次课主要学习了任意角的概念、象限角及终边相同的角．理解任意角的概念，会判断象限角，能写出终边相同的角的集合.本课作业：习题5.1．。
角的概念推广优秀学习教案.docx
精品文档【课题】5．1 角的概念推广【教学目标】知识目标：⑴ 了解角的概念推广的实际背景意义；⑵ 理解任意角、象限角、界限角、终边相同的角的概念．能力目标：（1）会判断角所在的象限；（2）会求指定范围内与已知角终边相同的角；（3）培养观察能力和计算技能．情感目标：（1）经历推广角的概念及随之带来的新知识的认知过程，树立科学探究精神；（ 2）参与数学建模过程，感受生活中的数学模型，体会数学知识的应用.【教学重点】终边相同角的概念．【教学难点】终边相同角的表示和确定．【教学设计】（1）以丰富的生活实例为引例 , 引入学习新概念——角的推广；（2）在演示——观察——思维探究活动中，使学生认识、理解终边相同的角；（3）在练习——讨论中深化、巩固知识，培养能力；（4）在反思交流中，总结知识，品味学习方法．【教学备品】教学课件、学习演示用具（两个硬纸条一个扣钉）．【课时安排】2课时． (90 分钟)【教学过程】教学教师学生过程行为行为*揭示课题5.1 角的概念推广介绍了解* 创设情景兴趣导入教学时意图间利用实际问题过程行为行为问题 1质疑思考游乐场的摩天轮，每一个轿厢挂在一个旋臂上，小明与小华两人同时登上摩天轮，旋臂转过一圈后，小明下了摩天轮，小华继续乘坐一圈．那么，小华走下来时，旋臂转过的角度是提问求解多少呢？问题 2用活络扳手旋松螺母，当扳手按逆时针方向由OA 旋转到OB 位置时，就形成一个角；在扳手由OA 逆时针旋转一讨论周的过程中，就形成了 0°到 360°之间的角；扳手继续旋转下去，说明就形成大于的角．如果用扳手旋紧螺母，就需将扳手按顺时针方向旋转，形成与上述方向的角．交流归纳通过上面的三个实例，发现仅用锐角或0°360°范围的总结:理解角，已经不能反映生产、生活中的一些实际问题，需要对角的概念进行推广．*动脑思考探索新知概念一条射线由原来的位置 OA ，绕着它的端点 O ，按逆时针（或顺时针）方向旋转到另一位置OB 就形成角．旋转开始说明思考位置的射线 OA 叫角的始边，终止位置的射线OB 叫做角的终边，端点 O 叫做角的顶点．规定：按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角（如图（ 1）），按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角（如图（ 2））．当射线仔细理解没有作任何旋转时，也认为形成了一个角，这个角叫做零角．分析讲解关键点（1）（2）记忆类型引导经过这样的推广以后，角包含任意大小的正角、负角和零意图间引起学生的好奇心和求知欲生活实例有助于学生理10解角的推广的意义结合图形讲解角的图形可以加入学生的举例明确角的过程行为行为角．意图间类型表示除了使用角的顶点与边的字母表示角，将角记为“∠ AOB ”或“∠ O”外，本章中经常用小写希腊字母、、、L来表示角．概念数学中经常在平面直角坐标系中研究角．将角的顶点与坐标原点重合，角的始边在 x 轴的正半轴，此时，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角（或者说这个角在第几象限）．如图所示， 30°、 390°、 - 330°都是第一象限的角， 120°是第二象限的角，- 120°是第三象限的角，- 60°、300°都是第四象限的角．终边在坐标轴上的角叫做界限角，例如， 0°、 90°、180°、270 °、 360 °、 - 90°、- 270 °角等都是界限角．强调明确引导领会展示观察强调理解完成角的推广象限角可以引导学生一步步自然得出强调特殊情况30*运用知识强化练习教材练习 5.1.1提问思考2．在直角坐标系中分别作出下列各角，并指出它们是第几象巡视动手限的角：求解指导交流⑴ 60°；⑵ - 210°；⑶ 225°；⑷ - 300°．* 动手操作实验观察用图钉联结两根硬纸条，将其中一根固定在OA 的位置，演示动手将另一根先转动到 OB 的位置，然后再按照顺时针方向或逆时操作操作针方向转动，观察木条重复转到OB 的位置时所形成角的特征．* 问题引导实践探究问题质疑思考反馈学习状态巩固知识40由具体的问题过程行为行为在直角坐系中作出390°、- 330°和 30°角，些角的有何关系？提求解探究390 °=30 °+1×360 °；- 330 °=30 °+（ - 1）×360 °．即 390°、- 330°与 30°角之差都是 360°角的整数倍数，它引会是射坐原点旋到30°角的位置后，分按逆或方向再旋一周所形成的角．推广分析理解与 30°角相同的角有：750 °=30 °+2×360 °；- 690 °=30 °+（ - 2）×360 °；1110 °=30 °+3×360 °；- 1050 °=30 °+（ - 3）×360 °；⋯⋯⋯⋯解所有与 30°角相同的角的度数，与 30°角的度数之差都恰好360°的整数倍数．它（包括30°角）都可以表示明确30°+ k360 °(k Z )的形式．因此，与30°角相同的角的集合S ｛︱30o k 360o, k Z ｝．* 思考探索新知明理解一般地，与角相同的角（包括角在内），都可以表示k 360o (k Z ) 的形式．与角相同的角有无限多个，它所成的集合S｛︱k 360o, k Z ｝．* 巩固知典型例意图间操作引学生一步步的体会相同角的含自然得出50概念的关点55例 1 写出与下列各角相同的角的集合，并把其中在- 360 °～ 720 °内的角写出来：⑴ 60 °；⑵ - 114°．疑察安排分析首先要写出与已知角相同的角的集合S ，然后取与知整数 k 的，使得k360o在指定的范内．明思考点解⑴与 60°角相同的角的集合是的例｛︱60o k 360o, k Z ｝．巩过程行为当 k1时， 60o(1)360o300o；当 k0 时，讲解60o0 360o60o；当k 1 时，60o1360o420o．所以在- 360 °～ 720 °之间与 60°角终边相同的角为300o、 60o和 420o．⑵与- 114°角终边相同的角的集合是说明S｛︱114o k 360o, k Z ｝．当 k0 时，114o0360o114o；引领当 k1时，114o1360o246o；当 k2时，114o2360o606o．所以在 - 360°～ 720°之间与114o角终边相同的角为114o、 246o和 606o．例 2y 轴上的角的集合．分析写出终边在分析在 0°～ 360°范围内，终边在y 轴正半轴上的角为90°，终边在 y 轴负半轴上的角为270°，因此，终边在y 轴正半轴、总结负半轴上所有的角分别是k 360902k 18090，k 360270(2 k1) 18090 ，讲解其中 k Z ．⑴式等号右边表示180°的偶数倍再加上90°； (2)式等号右边表示180°的奇数倍再加上90°，可以将它们合并为180 °的整数倍再加上90°．引领解终边在 y 轴上的角的集合是S｛︱n 180o90o ,n Z ｝．当 n 取偶数时，角的终边在y 轴正半轴上；当n取奇数时，行为主动求解思考理解领会求解理解明确意图间固新知计算部分可以教给学生完成利用观察图像加强问题的理解强调规范写法角的终边在y 轴负半轴上．70教学教师学生过程行为行为*运用知识强化练习教材练习 5.1.2提问思考1．在 0°～ 360 °范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角：巡视动手⑴ 405 °；⑵165°；⑶ 1563 °；⑷ 5421°．求解2．写出与下列各角终边相同的角的集合，并把其中在- 360 °～ 360 °范围内的角写出来：指导交流⑴ 45°；⑵ - 55°；⑶ -220 °45；′⑷ 1330 °．3. 写出终边在 x 轴上的角的集合 .* 归纳小结强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？引导回忆* 自我反思目标检测本次课采用了怎样的学习方法？提问反思你是如何进行学习的？交流你的学习效果如何？*继续探索活动探究(1)读书部分：教材章节 5.1 ；(2)书面作业：学习与训练 5.1 ；说明记录(3)实践调查：生活中角的概念的推广实例．教学时意图间及时了解学生知识掌握情况80培养学生总结反思学习过程能力8590。
5.1.1角的概念的推广教学设计-2024-2025学年高一上学期数学湘教版(2019)必修第一册
教学资源
-观察学生参与度：教师在课堂上观察学生的参与情况，包括学生上课的注意力、积极参与讨论和回答问题的积极性等。了解学生在课堂上的学习态度和积极性。
-测试：教师可以设计一些课堂测试题目，测试学生对角的概念和计算方法的掌握程度。通过测试结果，了解学生的学习情况，及时发现问题并进行解决。
2.作业评价：
-认真批改作业：教师对学生提交的作业进行认真批改，关注学生的解题思路、答案的准确性以及解题方法的合理性。
本节课的核心素养目标包括数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算。学生将通过学习角的概念的推广，提高数学抽象能力，能够从具体的情境中抽象出角的本质特征。同时，学生将运用逻辑推理能力，理解并证明角的性质。在课程的实践环节，学生将运用数学建模能力，解决实际问题中的角的问题。通过角的计算和运算，学生将提高数学运算能力，熟练掌握角的运算方法。
在教学过程中，我也尝试了一些创新的教学资源和手段，如PPT、几何模型等。这些资源的运用使得课堂更加生动有趣，也提高了学生的学习效果。
针对这节课的教学，我认为还有一些地方可以改进。首先，在讲授新课时，我可以增加一些互动环节，让学生更加积极参与到课堂中来。比如，可以让学生自己尝试解释角的性质和分类，然后大家一起讨论和总结。这样既能提高学生的理解程度，也能培养他们的表达能力和合作精神。
六、教学反思
1.学生的学习兴趣和参与度是否充分激发，学生的学习积极性如何？
中职数学教案：0501角的概念的推广
零角：一条射线没有作任何旋转形成的角
终B
α =210°
边1
终
A
边B
2
2、象限角:
β=-150°
y B 2
1)置角的顶点于原点
o
2)始边重合于 x 轴的正半轴，终边
终边
B1
x 始边 A
落在第几象限就是第几象限角
3、终边相同的角:
300= 300+0×3600
3900=300+3600
y
－3300=300－3600
终边
B
顶点
o
始边 A
角：一条射线绕着它的端点在平面内旋转形成的图形
2、花样游泳中，运动员旋转的周数如何用角度计算来表示？
3、汽车在前进和倒车中，车轮转动的角度如何表示才比较合理？
4、工人在拧紧或拧松螺丝时，转动的角度如何表示才比较合适？
三、讲授新课
定义：
正角：按逆时针方向旋转形成的角
1、任意角
负角：按顺时针方向旋转形成的角
课 题 5.1 角的概念的推广
所需课时
2
（1）理解任意角的概念。
教学目的 （2）学会建立直角坐标系讨论任意角,判断象限角。
（3）掌握终边相同的集合的书写。
重 点 任意角的概念和终边相同角的集合。
难 点 终边相同角的集合的书写。
教学过程：
一、组织Байду номын сангаас学
点名、组织课堂纪律
二、复习引入
1、 角的范围
初中角的定义：从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形 “旋转”形成角
300
与α终边相同的角的一般形式为
o
α＋k3600，k ∈ Z
x
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5.1 角的概念的推广
【教学目标】
1．理解正角、负角、终边相同的角、第几象限的角等概念，掌握角的加减运算．
2．通过观察实例，使学生认识角的概念推广的可能性和必要性，树立运动变化的观点，并由此深刻理解任意角的概念．
3．通过教学，使学生进一步体会数形结合的思想．
【教学重点】
理解任意角（正角、负角、零角）、终边相同的角、第几象限的角的概念，掌握终边相同的角的表示方法和判定方法．
【教学难点】
任意角和终边相同的角的概念．
【教学方法】
本节采用教师引导下的讨论法，结合多媒体课件，带领学生发现旧概念的不足之处，进而探索新的概念．讲课过程中，紧扣“旋转”两个字，让学生在动手画图的过程中深刻理解任意角的概念．
环节教学内容师生互动设计意图
复习导入1．复习初中学习过的角的定义．
2．提出新问题：
运动员掷链球时，旋转方向可以
是逆时针也可以是顺时针，旋转量也不
止一个平角，那如何来度量角的大小
呢？
师：初中学过的角的定义是
什么？
生：在平面内，角可以看作
一条射线绕着它的端点旋转而
成的图形．
师：如图：
∠AOB=∠BOA=120 ，
B
初中时的角不考虑旋转方
向，只考虑旋转的绝对量
而且角的范围在0~360°．
复习旧知，使学生
发现旧知识的局限性，
激发学习新知识的兴
趣．
新课1．任意角的概念．
（1）射线的旋转方向：
逆时针方向——正角；
顺时针方向——负角；
没有旋转——零角．
画图时，常用带箭头的弧来表示旋
转的方向和旋转的绝对量．旋转生成的
角，又常称为转角．
教师画图说明正角，负角，
零角，以及角的始边、终边.
教师小结：由旋转方向的
不同定义正负角，由旋转量的不
同得到任意范围内的角．
新课
例如，
∠AOB＝120°，∠BOA＝－120°．
（2）射线的旋转量：
当射线绕端点旋转时，旋转量可以
超过一个周角，形成任意大小的角.角的
度数表示旋转量的大小．
例如450°，－630°．
2．角的加减运算．
90°－30°
＝90°＋（－30°）
＝60°．
各角和的旋转量等于各角旋转量
的和．
3．终边相同的角．
所有与α终边相同的角构成的集合
可记为
S＝{x|x＝α ＋k·360°，k?Z}．
例1（1）写出与下列各角终边相同的角
的集合．
(1) 45°；(2) 135°；
1．教师画图，学生说角的度数．
2．学生练习：画出下列各角：
（1）0，360°，720°，
1 080°，－360°，－720°；
（2）90°，450°，－270°，
－630°．
学生练习：求和并作图表示：
30°＋45°，60°－180°．
师：观察我们刚画过的角，
（1）0，360°，720°，1080°，－
360°，－720°；
（2）90°，450°，－270°，
－630°．
思考：始边、终边相同的
两个角的度数有什么关系？
学生讨论后回答：终边相同
的两个角的度数相差360°的整数
倍．
师：与30°始边、终边都相
同的角有哪些？有多少个？它们
能不能统一用一个集合来表示？
得出结论．
例1（1）由学生口答，教
师给出规范的书写格式．
学生通过自己练
习画图，深刻体会
“旋转”两个字的含
义，加深对任意角的
概念的理解．
学生自己动手画
图求和，加深对旋转
变化的理解．
将例1分解为两个小
题，边讲边练，小步
子，低台阶，学生容
新课
(3) 240°；(4) 330°．
解略．
4．第几象限的角．
在直角坐标系中讨论角时，通常使
角的顶点和坐标原点重合，角的始边与x
轴的正半轴重合.这样角的大小和方向可
确定终边在坐标系中的位置.这样放置的
角，我们说它在坐标系中处于标准位置．
处于标准位置的角的终边落在第
几象限，就把这个角叫做第几象限的
角．如果角的终边落在坐标轴上，就认
为这个角不属于任何象限．
例1（2）指出下列各角分别是第几象限
的角．
(1) 45°；(2) 135°；(3) 240°；(4) 330°．
例2写出终边在y轴上的角的集合．
解终边在y轴正半轴上的一个角
为90°，终边在y轴负半轴上的一个角
为－90°，因此，终边在y轴正半轴和负
半轴上的角的集合分别是
S1＝{α|α＝90°＋k·360°，k?Z}
S2＝{α|α＝－90°＋k·360°，k?Z}
所以终边在y轴上的角的集合为
S1∪S2＝{α|α＝90°＋k ·360°，k?Z}
∪{α|α＝－90°＋k·360°，k?Z}
＝{α|α＝90°＋k ·180°，k?Z}．
模仿练习：
写出终边在x轴上的角的集合．
例3在0～360°之间，找出与下列各角终
边相同的角，并分别判定各是第几象限
的角？
（1）－120°；（2）640°；（3）－950°．
例4写出第一象限的角的集合．
解在0～360°之间，第一象限的角
的取值范围是0°＜α＜90°，所以第一象
限角的集合是
{α|k ·360°＜α＜90°＋k ·360°，k?Z}．
例1（2）学生口答．
讲解例2时，教师结合教材
图示的平面直角坐标系，带领学
生分析题意．
师：角的终边落在y轴上
包含哪两种情况？
生：终边落在y轴正半轴
上或者落在y轴负半轴上．
师：90°的角终边落在y轴
的正半轴上吗？与它终边相同
的角的集合是什么？
－90°的角终边落在y轴的
负半轴上吗？与它终边相同的
角的集合是什么？
这两个集合的并集怎么求？
例3引导学生画图解决，或
者用计算器解答．
教师结合平面直角坐标系
讲解例4．
学生分组练习：
（1）写出第二象限角的集合；
（2）写出第三象限角的集合；
（3）写出第四象限角的集合．
易消化吸收．
例2难度较大，教
师应详细讲解两个集
合如何求并集．
本模仿练习意在
渗透B组练习的解题
思路．。