第二章农业生产函数

4．综合分析和评价结论
（1）上述结果表明，长江农场土地资 源弹性值和边际生产力都较高，因而 在当时生产条件下应尽量扩大种植 面积，而农场只有耕地33 762．5亩， 仅占土地面积56．27％，机耕路、沟 渠等竟占总土地面积的14．82％，占 耕地面积的26．33％（见表4－1），
表4－1 长江农场土地占用情况一览表
3．边际生产力的分析
对生产函数模型
分别求各自变量的偏导数，则
求得各种资源的边际生产力水平如下：
上面的结果表示，在农场当时生产条件下，当其 他生产要素不变时： 每增加1亩耕地，种植业总收入就增加89元； 每增加1个劳力，总收入就减少45．7元； 每增加1元化肥，总收入仅增加0．444元； 每增加1元农药，总收入会增加2．509元； 每增加100元机械作业费，总收入仅增加 21．39元； 每增加100元企业管理费，总收入减少83．24元； 每增加100元共同生产费，总收入减少0．10元。
五、生产函数建模中应注意的问题
建立合理的生产函数模型必须正确 考虑四个因素，即数据的科学性、 变量的选择、模型的选择、估计方 法以及模型的检验，最终可归结为 变量及模型两类因素。
第三节 柯布—道格拉斯生产函数
一、柯布—道格拉斯生产函数模型
美国经济学家道格拉斯（P．H．Douglas）与数学 家柯布（ C．W．Cobb）合作，根据美国1899－1922 年的历史资料，研究了劳动投入与资本投入和产出 之间的相关关系，得出这一方程。
表2－4 计算表
第三步：代入公式求解。 6a＋28b＋210c＝19．0 28a＋210b＋1756c＝111．3 210a＋1756b＋15 474c＝859．9 通过行列式求解，得： a = 1．304 788，b = 0．772 744， c = －0．049 836。 因此，得回归方程： Ŷ = 1．304 788＋0．772 744X－ 0．049 836X2
第二节 农业生产函数模型的建立
一、农业生产函数建模程序
农业生产函数的回归建模程序，主要分如 下步骤： 第一步：首先确定是否需要用生产函数。 第二步：搜集资料。即由问题性质的需要 来选取样本数据（实验资料或调查资料）。 第三步：将取得的样本数据作散点图，并 观察散点分布规律，初步确定回归模型， 如一元回归模型等。
表2－1 棉花施肥量与亩产量的产量资料
表2－2 参数计算表
把表2－2中的计算结果代入公式，即 可求出： a＝120．99 b＝0．829 因此，棉花生产过程中，施肥量与亩 产量的函数式为： Y = 120．99＋0．829X r = 0．937
三、多元线性回归模型的建立
现以二元回归分析为例，说明建立多 元线性回归方程的基本过程。 设投入因素有X1和X2两个，共有n组 数据，根据数据分布可拟合为一直线。 即：
最小时，则a、b所确定的直线才最 接近已知的数据散点。
再由数学分析中求极值原理可知，当 一阶导数等于0时，有极值。因此， 要使误差平方和Q极小，只有分别对a、 b求偏导数，并令它们等于0。把上面 的分析列成方程，则有：
当：
即 Q达到最小。 整理上式得：
（二）相关分析
将有关系数代入下列公式，求出r 系数，判定其相关显著程度。其公 式为：
式中：X1、X2、X3分别为土地、劳力和资金的 投入量。 通式
二、柯布—道格拉斯函数模型的经 济意义和特点
（一）柯布—道格拉斯生产函数的经济意 义 通过柯布—道格拉斯函数式，分别对X1 和X2求Y的编导数。 则
从公式可知，b1与b2分别表示劳动投入与 资本投入的生产弹性。 b1是劳动投入的生产弹性，它表示一定 比率的劳动投入所引起的一定比率的产出 变化，即劳动投入所引起的边际产出除以 劳动投入的平均产出。 b2是资本投入的生产弹性，它表示一定 比率的资本投入所引起的一定比率的产出 变化，即资本投入所引起的边际产出除以 资本投入的平均产出。 a是转换系数，它表示除生产要素X1，X2， X3，…，Xn以外，其他要素对产出量的影响。
四、非线性回归模型的建立
（一）抛物线回归模型的建立
根据给出的资料，作散点图，观察散点分 布呈抛物线，故选用抛物线回归模型。 Y＝a＋bX＋cX2 为了计算方便，可令X／= X2，这样抛 物线回归模型转化为二元回归模型， 即Y=a＋bX＋CX／，其求解原理同二元回 归模型。
表2－3 投入产出资料
第一步：画出散点图，列出回归模 型。初步判断为抛物线，可确立抛 物线的回归模型。如： Y＝a＋bX＋cX2 第二步：列出计算表，见表2－4。
第一节 农业生产函数的一般概念
一、农业生产函数的概念及分类
二、农业生产函数的三个阶段
一、农业生产函数的概念及分类
农业生产函数是指把产品的产量随着投入 物数量的变化而变化的关系用数学函数的 形式表达出来，即产品产出的数量为投入 物数量的函数。 （一）农业生产函数的基本性质 1．客观性 2．时空性 3．纯质性 （二）农业生产函数的表达方式 1．列表法 2．图示法
式中：b0是常数项；b1、b2分别为Y 对X1、X2的回归系数。
要求确定b0、b1、b2值，使得总误差 （或误差平方和）达到极小。即：
达到极小。 此时，根据最小二乘法，必须满足：
整理上式得；
多元线性回归相关系数的计算公 式为：
1 1 b1 X1Y ( X1 )( Y) b2 X 2 Y X 2 Y n n r 2 1 2 Y n Y
图 2－1 农业生产函数
3．数学式表达法
它是根据投入X与产出Y的一一对应关 系，采用回归方法建立起一个方程式，即 类似经验公式的表达方法。 农业生产函数最一般的数学表达式为： Q = F（X1，X2，…，Xn） 式中：Q代表某种农产品；X1，X2，…， Xn代表n种用于生产产品Q的可变投入， 它们可以是生产资源，可以是经济资源， 也可以是技术；F表示资源投入与产品产 出间的函数关系。
三、柯布—道格拉斯函数建模和分 析的主要步骤
（一）明确农业技术经济问题的性质，确定 选用道格拉斯函数模型是否适宜 函数模型为： （二）搜集整理数据资料
根据模型要求，研究者收集了如上八个方面 2000年各农业小组的资料，并进行了整理。
（三）建立生产函数模型如下
（四）对计测结果和模型 进行检验和经济分析
（二）柯布—道格拉斯函数模型的特点
第一，可以线性化，建模计算比较容易。对 农业生产上的柯布—道格拉斯函数两边同 取对数，为： lnY= ln a＋b1ln X1＋b2ln X2＋b3ln X3 令 Y= ln Y A=lna X1 = ln X1 X2 = ln X2 X3 = ln X3 则上式就成了 Y＝a＋b1X1＋b2 X2＋b3 X3
第四步：结果分析。 由曲线回归方程计算的理论值Ŷ与实际 值Y相当接近，说明此方程符合实际。 再对上述方程求一阶导数，并令其等于0。
X = 7．75
（二）对数回归模型的建立
对数回归是反映产量Y和变量X的对 数成相关关系，其一般模型为： Y = a＋blnX 式中：X代表投入量；a、b代表待定 系数。 为了计算方便，可令lnX = X/，这样 对数回归模型就转化为一元线性回 归模型，即Y = a＋bX/，其求解原理 与一元线性回归模型完全一样。
二、一元线性回归函数模型的建立
（一）建立回归方程 一元线性回归是用来将一种生产 要素投入量与一种产品产出量的线 性相关关系转化为直线确定型的函 数模型。 因为两个变量间是直线关系，故 用一元一次方程表示： Y = a＋bX
由最小二乘法原理，当X = X i（i = 1，2，3，…，n）时，样本离差或 称误差Q i（即实际产量Y i－理论产 量Ŷ i）的平方和
第二，与变量的量纲无关，计算方便。 第三，所有的投入都必须大于0。 第四，弹性值（即效益系数）的解释明确 而且容易。 函数系数等于各项投入的b值之和，即 B=b1+b2+……+bn。 当函数系数大于1，产出值以递增的速度 增加；当函数系数等于1，产出值以固定 的速度增加；当函数系数小于1，产出值 以递减的速度增加；
生产函数方程式的经济含义是：在 既定技术水平条件下，在某一时间 内为生产出Q数量的产品，需要相应 投入的X1，X2，…，Xn等生产要素 的数量及其组合比例。
（三）农业生产函数的分类
比例函数：是不改变各种生产要素的配合比 例，使各种生产要素的投入量按某一比例增 加，产量也相应地按该比例增加。 递增函数：是各种生产要素的投入量都按某 一比例增加，会使产量增加的比例大于要素 投入量增加的比例，那么，收益就会随生产 规模的扩大而递增。 递减函数：是各种生产要素的投入量都按某 一比例增加，会使产量增加的比例小于要素 投入量增加的比例，那么，收益就会随生产 规模的扩大而递减。
1．R2=0．8728，表示总收入变化的87．28 ％，可用模型中的7个变量要素来说明，模 型是合理的。 2．生产弹性值分析 模型中，a1—a7，分别为要素X1—X7的生 产弹性值。a1为X1（土地）的生产弹性值， 表示在其他条件保持不变的情况下，如果 X1增加1％，则农业总收入就会增加 0．5202％，意即农场在当时条件下，若耕 地面积增加312亩则种植业总收入就会增 加2．77万元。其余类推。
（2）农场生产费用中商品肥增加较快，2000年 占生产费用的10．3％，出现了过量施肥现象。 对农场亩化肥量和粮食产量进行回归分析得 出如下经验公式： Y=－1048．74＋838．63lgX 式中：Y为粮食亩产量（千克）；X为施化肥量 （千克） R2=0．9617，极显著。 对上述回归公式进行边际分析，得化肥施 用最佳量为135千克。因此应控制化肥施用量， 不宜超过135千克，否则会增产不增收。
Y＝ KLαC(1－α) 或 Y＝KLαCβ （α+ β =1）
式中：Y代表产出量；K代表常数；L代表劳动投入量； C代表资本投入量； α 、（1－ α ）代表效益系数。 上式中，劳动投放量和资本投入量的效益系数之和 为1，称之为收益守恒。
一般模型：
( Y＝ALαKβeδt)
式中：Y表示产出； X1表示劳动投入量；X2表 示资本投入量；a、b1、b2为参数。 在农业中，主要的投入要素为土地、劳力 和资金三项，因而农业上的柯布—道格拉斯 函数模型一般为：
当资源用量增加1％，而产量增加幅度大 于1％时，生产弹性大于1。因此，当生产 弹性大于1时，只要资源条件允许，就应 该增加资源用量以增加收益。当资源用量 增加1％，而产量增加幅度小于1％时，生 产弹性小于1，这时资源投入量就要适可 而止。
（三）农业生产函数三阶段
从原点起到平均产量最高点止，即生 产弹性等于1时为第一阶段；第一阶段 为相对不合理阶段。 以平均产量最高点到总产量最高点之 间，即生产弹性大于0小于1时为第二 阶段；第二阶段为合理阶段。 总产量曲线最高点之后，即生产弹性 等于0时为第三阶段。第三阶段为不合 理阶段。
二、农业生产函数的三个阶段
（一）农业生产量的三种形式 1．总产量（TP） 它是指一种可变资源的投入同其他生 产要素投入的特定数量相结合所产生 的产品数量总和。常用TP或Y表示。 2．平均产量（AP） 它是指每一单位可变资源平均提 供的产品量。
3．边际产量（MP）
它是指在其他生产要素的投入量既 定不变的条件下，每增加1单位某种 可变资源的投入量所引起的总产量 的增加量。
第四步：建立问题的回归经验方程，确定 模型中的待定系数，求解。 第五步：相关分析，检验回归方程的回归 效果。 第六步：判定或明确生产函数式。如果在 相关分析中，相关系数达不到既定的要求 （精度），则需检查原因，或考察样本， 或重新判定回归类型，直至相关性检验达 到显著要求，方可完成函数形式的最后判 定。 第七步：应用。
图2－Baidu Nhomakorabea 总产量、边际产量 和平均产量曲线图
三条产量曲线的关系（如图2－2所 示）是：当总产量曲线达到最高点A 时，边际产量为0；平均产量达到最 高点B时，边际产量曲线与平均产量 曲线相交；边际产量曲线达到最高 点C时，总产量曲线从以递增比率转 为以递减比率增长。
（二）生产弹性
它是用于反映产量增长对于投入资源的敏 感程度，即反映产量增加幅度与资源增加 幅度的比例关系。