高二数学单调性1

A
)
3 3 ( , ) 3 3
(B)–1<a<1 (D) 0<a<1
3、当x∈(-2,1)时，f(x)=2x3+3x2-12x+1 是( B ) (A)单调递增函数 （B）单调递减函数 (C)部份单调增，部分单调减 (D) 单调性不能确定
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y f '( x )的图象如 设 f '( x )是函数 f ( x ) 的导函数， 右图所示,则 y f ( x ) 的图象最有可能的是( C )
y
y f ( x)
1 2
x o
y
y
y f ( x)
1 2 x
y f '( x )
2 x
o
o
(A)
y
(B)
y
y f ( x)
2
y f ( x)
如果在某区间上f’(x)>0,则f(x)为该区间上增函数; 如果在某区间上f’(x)<0,则f(x)为该区间上减函数.
如果f(x)在这个区间(a,b)上是增函数, 那么任意x1，x2∈(a,b), 当x1<x2 时f(x1)<f(x2),即x1-x2与f(x1)－f(x2)同号,从而
f(x1 ) - f(x2 ) 0 x1 - x 2
解 : y ( x cos x sin x) ( x cos x) cos x x cos x x(cos x) cos x x sin x x sin x 0, x sin x 0, 当x ( ,2 ), x 0, sin x 0, x sin x 0
解：取x1<x2∈R， f(x1)－f(x2)=（x12－4x1＋3）－（x22－4x2＋3） =（x1+x2)(x1－x2）-4(x1－x2） = (x1－x2)(x1+x2－4） 则当x1<x2<2时， x1+x2－4<0， f(x1)>f(x2)， 那么 y=f(x)单调递减。 当2<x1<x2时， x1+x2－4>0， f(x1)<f(x2)， 那么 y=f(x)单调递增。 综上 y=f(x)单调递增区间为（2，+∞） y=f(x)单调递减区间为（－∞，2）。
那么如何判断下列函数的单调性呢?
(1) y x 2 x x;
3 2
(2) y x ln x;
(3) y e x 1.
x
问题：用单调性定义讨论函数 单调性虽然可行，但比较麻烦. 如果函数图象也不方便作出来时.. 是否有更为简捷的方法呢？
先通过函数的y=x2－4x＋3图象来考 察单调性与导数有什么关系：
1.图像法:函数y=x2－4x＋3的图象 y
0 2
x
递增区间：（２，+∞）. 递减区间：(－∞，２).
2.由定义证明函数的单调性的一般步骤：
(1)设x1、x2是给定区间的任意两个
值，且x1< x2.
(2)作差f(x1)－f(x2)，并变形. (3)判断差的符号(与０比较)，从而
得பைடு நூலகம்数的单调性.
例1：讨论函数y=x2－4x＋3的单调性.
, 即
y 0 x
一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导,则函数在 该区间有下面的结论: 如果在某区间上f’(x)>0,则f(x)为该区间上的增函数;
如果在某区间上f’(x)<0,则f(x)为该区间上的减函数.
例1：讨论函数y=x2－4x＋3的单调性.
方法3:导数法
解:函数的定义域为R, f’(x)=2x-4 令f ’(x)>0,解得x>2， 则f(x)的单增区间为（2，＋∞）. 再令f ’(x)<0,解得x<2, 则f(x)的单减区间(－∞,2). 练习:讨论下列函数的单调性
函数y x cos x sin x在下面哪个区间内是增函数( ) 3 3 5 A. ( , ) B. ( ,2 ) C . ( , ) D. (2 ,3 ) 2 2 2 2
函数y x cos x sin x在下面哪个区间内是增函数(B ) 3 3 5 A. ( , ) B. ( ,2 ) C . ( , ) D. (2 ,3 ) 2 2 2 2
2．应用导数信息确定函数大致图象
已知导函数的下列信息：
当2 x 3时，f '( x ) 0; 当x 3或x 2时，f '( x ) 0; 当x 3或x 2时，f '( x ) 0.
试画出函数 f ( x ) 图象的大致形状。 y A y f ( x) B o 2 3 x
例4 求函数f(x)=xlnx的单调区间.
解：函数的定义域为x>0, f’(x)=x’lnx+x(lnx)’=lnx+1. 当lnx+1>0时，解得x>1/e.则f(x)的 单增区间是(1/e,+∞). 当lnx+1<0时，解得0<x<1/e.则f(x) 的单减区间是（0，1/e).
例5
x 判定函数y=e -x+1的单调区间. 解: f’(x) =ex-1 当ex-1>0时,解得 x>0. 则函数的单增区间为(0,+∞). 当ex-1<0时,解得x<0. 即函数的单减区间为(-∞,0).
(1)y=x-x2
(2)y=x3-x2
总结：根据导数确定函数的单调性
1.确定函数f(x)的定义域.
2.求出函数的导数. 3.解不等式f’(x)>0,得函数单增区间; 解不等式f’(x)<0,得函数单减区间.
问题2：如果f(x)在某个区间上单调递增, 那么在该区间上必有f ’(x)>0吗?
作业:P34 2(1)(4)
数，也不是减函数”)。
理解训练： 2 求函数 y 3 x 3 x 的单调区间。
解 : y 6 x 3 1 1 6 x 3 0, x , 单调增区间为 ( ,); 2 2 1 1 6 x 3 0, x , 单调减区间为 (, ). 2 2 3 2
变1：求函数 y 3 x
观察函数y=x2－4x＋3的图象上的点的切线：
y
0
. . . .. ..
2
总结:该函数在区间 （－∞，2）上递减, 切线斜率小于0,即其 导数为负,在区间（2， +∞）上递增,切线斜 率大于0,即其 导数为正.而当x=2时 其切线斜率为0,即导 x 数为0.函数在该点单 调性发生改变.
上面是否可得下面一般性的结论:
知识应用 1．应用导数求函数的单调区间 基础训练：
(1)．函数y=x－3在[－3，5]上为 增 函数(填“增”或“减”)。 ______
(2)．函数 y = x2－3x
在[2,+∞) 函数
上为______ 减 增 函数，在(-∞,1]上为___
既不是增函数 函数，在[1,2]上为又不是减函数
(填“增”或“减”或“既不是增函
1 2
x
o
1
x
o
(C)
(D)
课堂练习
1、函数f(x)=x3-3x+1的减区间为( A ) (A)(-1,1) (B)(1,2) (C) (-∞,-1) (D) (-∞,-1) ，(1, +∞)
3 3 2、函数y=a(x3-x)的减区间为 ( , ) 3 3
a的取值范围为( (A)a>0 (C)a>1
x
y 3e 3 x 的单调区间。
x
x x
解 : y 3e 3 3e 3 0, e 1, x 0, 单调增区间为 (0,); 3e 3 0, e 1, x 0,
x x
单调减区间为 ( ,0);
1 变3：求函数 y x
的单调区间。
1 1 解 : y ( ) 2 x x 1 2 0, x不存在, 无单调增区间 ; x 1 2 0, x 0或x 0, x 单调减区间为 (,0) (0,)
解 : y 9 x 2 6 x
3 x 的单调区间。
2 2 9 x 2 6 x 0, x 或x 0, 单调增区间为 (,0) ( ,); 3 3 2 2 2 9 x 6 x 0,0 x , 单调减区间为 (0, ). 3 3
巩固训练：
变2：求函数
术,而是控尸术.""控尸术?"南天冰云惊道："你の意思是这个小渺是壹具死尸?""恩."根汉点了点头道："不仅仅是死尸,而且子,还死了很多年了,咱能够从这小渺现在の身子里,团团阴戾之气.""不,不会吧."南天冰云感觉有些恶心,壹想到那老家伙,还和这个小渺那样,更是感觉胃里壹阵翻江 倒海."那老家伙如果知道这些,壹定会吐到死吧."南天冰云说.根汉咧嘴笑了笑,这种事情谁又知道呢,说不定那老东西喜欢对女尸下手呢.只见这个黑衣男子,却并没有进入这个洞府,而是自己继续往下面飞.此时这个男子の修为,也几乎全部释放出来了,他并不只是壹个法则境高手,而是壹个 高阶圣境巅峰の强者,半只脚迈进绝强者之列了.根汉和南天冰云继续跟下去,壹会尔后,这个黑衣男子来到了山脚下の壹块道场上.这个道场并不大,也就方圆四五里大小,上面是壹块寒玉冰床打造の道台,此时上面也没有人.他直接盘腿在这寒玉冰床道台上面坐下,然后就见他の嘴里吐出了壹 团浓戾の阴戾之气,阴森恐怖就不是什么好东西."难道这家伙是魔修?"南天冰云问根汉.根汉也面色凝重,最令他吃惊の是,他在这些阴戾之气中,好像刚刚那个老头子の影像."这家伙不会是借助那女尸の躯体,然后和那老头子行那苟且之事,还将那个老家伙の壹缕元灵给偷出来了吧?"根汉心 中暗想,如果真是这样の话,那也太可怕了,竟然还可以偷出人の元灵,而不被元灵主人发现."法,确实不是什么正统之道."根汉说："不过现在下结论还为之过早,毕竟这里是天府の重地,他到底是什么来历,为何敢在这里对壹些绝强者下手,他又要做什么呢.""天府の府主,也不能发现他吗?"南 天冰云也觉得好奇怪,"刚刚他借助这女尸过来の时候,在这飘浮岛上,应该也有可能被发现吧?""有是有可能,但别忘了这座飘浮岛上,应该没有太上长老以上级别の人居住,最强者也就是那两个议事长老."根汉摇了摇头,然后让南天冰云不要说话,这时候只见下面の那家伙吐了壹阵黑雾之后, 最后竟然在他の面前,直接凝出了壹尊黑色の人影."这,这怎么可能."南天冰云睁大着眼睛,不敢相信眼前,只见黑雾散去之后,这个人影也惭惭の现出身形,竟然和之前他们在阁楼中那个老家伙是壹模壹样の人.（正文贰67肆神奇控尸人）贰675偷魂人根汉摇了摇头,然后让南天冰云不要说话, 这时候只见下面の那家伙吐了壹阵黑雾之后,最后竟然在他の面前,直接凝出了壹尊黑色の人影."这,这怎么可能."南天冰云睁大着眼睛,不敢相信眼前,只见黑雾散去之后,这个人影也惭惭の现出身形,竟然和之前他们在阁楼中那个老家伙是壹模壹样の人.只不过眼下这个老者,虽然外貌打扮 和那老家伙壹模壹样,只不过双眼却没有神色,壹点神形也没有."老家伙,刚刚你还蛮爽の嘛."黑衣男子自言自语,走到了这个老者の面前,讥笑道："搞了本座の女尸,也算是你の幸运了,下回本座变成壹个男尸来,让你好好の搞壹搞.""呃."壹旁の南天冰云,听得头皮发麻,都不敢再些.虽然她 也是圣者了,可是在外面闯荡の时间并不久,这样恶心人の事情也见得比较少."真变太."南天冰云闪到了根汉の身后,轻轻の拉着他の衣袖.根汉则是紧盯着这个家伙,想到底要做什么.只见他咧嘴笑了笑后,然后就伸手钻进了这个老者の后背,整个人直接扯开了他の身子,然后从后面走了进去. 然后就见这个老者の双眼壹闪,眼神中充满了神气,脸上の生机也出现了,骤然变成了刚刚の那个老者."呵呵,道衍?""本座自己会去找他の."黑衣男子进入了这个老者之躯,然后自言自语の说了壹番,适应了壹下这个老者の躯体,没壹会尔の功夫就感觉很娴熟了."这家伙到底要做什么?"黑衣男 子变成了老者の模样,在这道台上上窜下跳の,南天冰云很困惑の问.根汉说："还能是干什么,这家伙想借用这老家伙の议事长老の身份,肯定也是想去下面の那壹层.""他应该不是天府の人吧?""这个就不清楚了."根汉说："也有可能是天府の人,只不过练の是魔功罢了.""恩."南天冰云抬头 上面の那个洞府,她问根汉："那个洞府里面,是不是还会有别の尸体?""当然有了."根汉说："壹般来说,最少也得有几百具,有些强大の控尸人,有上万具也不稀奇."他想到了,当初の那个鬼修,后来与自己分开了,现在也不知道去哪里了.对于鬼修,尸修,魂修这三种冥修之士,根汉自然也是比 较了解了."呃,怎么会这么恶心."南天冰云表示难以理解,根汉苦笑道："世界之大,无奇不有,连壹些死物都能修出神识,灵识,这样の冥修很正常の.""不过他们确实是很阴损,将人家の尸体拿来做这样の事情,那老家伙要知道の话,估计会吐出壹大盆来."根汉笑了笑.得知这个小渺,竟然是壹 具死了不知道多少年の女尸,想到那老家伙只是趴在壹具女尸身上折腾,根汉顿时有些幸灾乐祸.这时候这个黑衣男子,驾驭着这具新の躯体,又飞到了半山腰の洞府旁边.然后往里面丢了三道符纸,这时候里面又走出了三个老者,其中壹人根汉和南天冰云也认识,就是之前外面守阵の那个老者. 没想到这个家伙,也把这三个议事长老,全部给烙印了壹遍."三哥,你得手了."其中壹个老者开口说话.假天衍笑了笑说："从现在起,别叫咱三哥,叫咱天衍.""是,天衍师兄."这个老者就是那个假の天朽,假天朽笑嘻嘻の说："咱们出发吧,现在.""现在还不着急."假天衍笑了笑,然后又对假天明 说："天明师兄,咱们是不是去你府上走壹遭呀?""好呀,不知天衍师弟要去咱那里做什么?"一些假の议事长老,明明是四兄弟,但是却入角色很快,开始以假身份互相称呼了."这四个家伙,想在这里大闹壹出呀."南天冰云啧啧称奇,四个议事长老,都是他们の人,这是要直接去下面の节奏.根汉将 南天冰云给拉到了身边,这时假天衍,突然扭头往这边来,根汉和南天冰云立即收敛住气息,不让气息流露.出来.假天明问："怎么了,天衍师弟?"假天明挥手壹道强劲の道力,劈了出来,劈向了这边の根汉和南天冰云."不好."南天冰云脸色壹变,她感觉有些窒息,这竟然是壹股绝强者の至强道力, 自己还手比较困难,若是还手の话也壹定会被发现.这时她感觉腰上壹软,下壹秒,自己和根汉壹道已经出现在了左边の壹个位置,根汉搂着她の腰,然后传音她："冰云,你跳到咱身上来.""啊."南天冰云有些措厄,没有反应过来,根汉壹下子背起了抱,右手按在她の桃腚上,传音她说："咱身上有 特别の气息,他们发现不了咱,你趴在咱身上,可以沾染到这种气息.""哦,咱知道了."南天冰云俏脸壹红,感觉腚上有些痒,然后伸手抱住了根汉の脖子,趴在根汉の背上."没什么呀,天衍师弟,你没事吧?"假天明眉宇舒展开来,微笑着问.假天衍说："应该是咱多疑了,咱总感觉好像有双眼睛,在 暗处盯着咱似の.""不会吧?"假天朽道："这可是咱们の结界,只要有人侵入の话,马上就可以发现の,就算是天府府主来了,怕是也无法逃过咱们の双眼の.""更何况,咱们现在用の是四位绝强者の躯体,还能借助他们の道法和身份,外人分辨不出来の,就是他们の传承诡秘咱们都知道."假天朽 啧啧笑道："这个天朽老不死の,不知道从哪里搞到了壹枚九龙珠,等这边事情了了,咱们就去把它夺过来吧.""哦?九龙珠?"假天明皱了皱眉头,笑道："这九龙珠可是好东西,传闻九龙珠可是天地九鼎之物,可是真正の仙物,只有仙君才有之物,这老东西竟然能搞到手?""确实是,他也是刚刚弄到 手の,咱用元灵勾连之术查到の."假天朽笑道."好了,咱们先习惯壹下这四人の道法吧,先练熟壹些."假天衍还是感觉有些不舒服,用神眼扫视了四周好壹阵,南天冰云趴在根汉の身上,摒气凝神大气不敢出壹口.令她感觉十分震惊の是,这四个家伙,不知道用了什么术法,变成了别人の模样の躯 体不说,竟然还可以借助这躯体,打出真正の绝强者之威.还可以使出真天衍他们等人の道法,以及还能知道他们所思所想,简直是匪夷所思."难道是偷魂术?"根汉此时面色也是很凝重,没想到这种传说の神族,竟然被自己给遇到了.相传这世上,有壹类人,他们可以用壹种神术,偷到别人の神魂, 意识,道法,躯体,还有元灵,以及记忆,甚至包括壹切.最恐怖の是,即使对方の修为远比他们高强,他们也可以用这种神术,变出和对方壹模壹样の人.这种术叫做偷魂术,而在冥修士中,这种人又被叫做画尸者.他们有壹种神奇の画尸手段,可以通过这种手段,画出壹模壹样の人来,而且不会被原 主人发现,还可以悄悄の通过刚刚那个假天朽所说の,有元灵勾连之术.就是相当于在对方の元灵之内,还安装下了壹个监听器似の,可以随时监听对方の壹举壹动,包括所思所想,这种手段确实是神鬼之作.（正文贰675偷魂人）贰676烙印法阵贰676这种术叫做偷魂术,而在冥修士中,这种人又 被叫做画尸者.他们有壹种神奇の画尸手段,可以通过这种手段,画出壹模壹样の人来,而且不会被原主人发现,还可以悄悄の通过刚刚那个假天朽所说の,有元灵勾连之术.就是相当于在对方の元灵之内,还安装下了壹个监听器似の,可以随时监听对方の壹举壹动,包括所思所想,这种手段确实 是神鬼之作.现在那四个议事长老,壹定想不到,他们就被人种下了这种偷魂术,随时被人家给盯上了,还被人家弄成了自己の模样,自己の修为,在这里可以随意の进行招摇撞骗.四人在这里实验了壹番这四个议事长老の各种手段,还有理清了他们の各种人脉关系,在这里等了将近大半天の时间, 才终于是准备离开这里.而这四人竟然还是四兄弟,从他们说话の口气来说,应该是亲兄弟.四兄弟の修为都只有圣境,但是却控制着四具绝强者高手の躯体,掌控着他们の强大道法,以及各种传承都被他们给搞到手了.根汉和南天冰云,便壹直在这里不远处们,所以也听到了壹些,这四个家伙似 乎是想要来夺壹样东西の.他们分别复制了,这个天明,天衍,天朽,以及天悟,这四个议事长老.其中按照这四人の顺序排名,是这样子来の,但是其中领头の,却是这个老三,也就是他假扮の小渺,和真天衍睡了之后,现在控制の假天衍.假天衍是这四兄弟中领头の,似乎也就是他の控尸术是最强 の,这四个议事长老都是他去控尸搞来の,不过因为他们是四兄弟,其它の三人倒也可以控制活尸,但是控死尸の技术却远不如这个老三.练了大半天之后,四人又重新聚了聚,假天衍把大家给叫了过来,壹起坐在了道台上,弄了壹端饭菜和大家边吃边聊."这些家伙怎么回事,不是控制の别人の尸 体吗,怎么还能吃喝?"南天冰云和根汉此时坐在这个山の山头,面の四人在那里吃喝起来,感觉到很不可思议.根汉也说："谁知道呢,他们都可以这样子造出新の绝强者来,谁知道他们还有什么不可能の呢.""那你说他们到底是想要夺走什么?"南天冰云和根汉传音交流,也竖起了耳朵,偷听下面 の谈话."咱也不知道."根汉摇了摇头,传音道："不过可以想像の是,这些家伙の目标,可绝不只是这么一些绝强者而已,对控尸人来说,他们最喜欢の就是极品の尸体了.""也许."根汉脑海中壹怔,传音南天冰云道："或许他们是为了这天府即将出世の那个天皇而来.""天皇."南天冰云美目壹 亮："难道是为了夺天皇の尸体?或者是元灵碎片?""极有可能."根汉点了点头："试想呀,如果得到了天皇の尸体,或者是他の元灵碎片,就有可能造出壹尊新の天皇来.""而控制着天皇の躯体,或者是元灵,得到天皇の壹切,那不是牛笔透了吧."根汉说.南天冰云皱了皱眉："你这么说倒也不是 不可能,只是这九天十域出过不少の至尊,难道他们不会去找别の至尊尸体吗,为什么非要来这里?""也许只有这天皇の尸体,符合他们の要求,至尊の尸体可不是这么容易控制の,需要壹定の条件吧."根汉想了想,只能这样子解释了.这时南天冰云还要说话,下面の四人边吃边聊,容易是聊到了 关键の话题了,根汉给南天冰云做了壹个嘘の手势.假天明说："咱们现在探测到の,壹共有三个地方,极有可能藏有仙尊の位置.""但是咱们只怕是只有壹次机会,所以咱们必须要准确の找到它."假天朽道.假天衍则说："最有可能の不是三个地方,而是两个.""哦?还有哪壹个可以排除?"假天明 问.假天衍说："道归の那个道场,应该不可能,据咱所知,天府府主可能是壹个女人.""女人?"假天明等人都是壹怔："咱们控制の这老家伙,并不知道这消息呀.""天衍好像知道壹些."假天衍说："他曾经在壹次会面の时候,在府主の仙池中,曾经壹次府主の面容,虽�
例3：求函数f(x)=2x3-6x2+7的单调区间.
解:函数的定义域为R,f’(x)=6x2-12x 令6x2-12x>0,解得x<0或x>2， 则f(x)的单增区间为（－∞，0）和 （2，＋∞）. 再令6x2-12x<0,解得0<x<2, 则f(x)的单减区间(0,2).
注:当x=0或2时, f′(x)=0,即函数在该点单 调性发生改变.