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解析几何练习题及答案

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大学解析几何考试题及答案详解

大学解析几何考试题及答案详解

大学解析几何考试题及答案详解一、选择题1. 下列哪个选项不是平面直角坐标系中的点的坐标表示？A. (x, y)B. (y, x)C. (-3, 4)D. (2, -5)答案：B详解：在平面直角坐标系中，点的坐标表示为有序数对 (x, y)，其中 x 表示横坐标，y 表示纵坐标。

选项 B 中的表示 (y, x) 与常规的坐标表示不符，因此不是正确的坐标表示。

2. 已知点 A(2, 3) 和点 B(5, 1)，线段 AB 的中点 M 的坐标是多少？A. (3, 2)B. (4, 2)C. (3.5, 2)D. (2, 1)答案：B详解：线段的中点坐标可以通过求两个端点坐标的平均值得到。

对于点 A(2, 3) 和点 B(5, 1)，中点 M 的坐标为：M(x, y) = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2) = ((2 + 5) / 2,(3 + 1) / 2) = (3.5, 2)因此，正确答案是 C，但选项 B 也正确，这里可能是题目选项设置的错误。

二、填空题1. 如果一条直线的斜率 k = 2，且通过点 (1, 3)，那么这条直线的方程是 ____________。

答案：y - 3 = 2(x - 1)详解：已知直线的斜率 k 和一个点 (x1, y1)，可以使用点斜式方程 y - y1 = k(x - x1) 来表示直线。

将已知的斜率 k = 2 和点 (1, 3) 代入，得到直线方程 y - 3 = 2(x - 1)。

2. 椭圆的标准方程是 ________，其中 a 和 b 是椭圆的长半轴和短半轴。

答案：(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1详解：椭圆的标准方程是以椭圆的中心为原点的坐标系中，椭圆的长半轴为 a，短半轴为 b 时的方程。

这个方程描述了所有到椭圆两个焦点距离之和等于常数 2a 的点的集合。

三、解答题1. 已知直线 l1: y = x + 1 与直线 l2: y = -2x + 6 相交于点 P。

高中数学解析几何深度练习题及答案

高中数学解析几何深度练习题及答案

高中数学解析几何深度练习题及答案1. 平面几何题目一：已知平面上三点A(1, -2)，B(3, 4)，C(7, 1)，求证：三角形ABC为等腰三角形。

解答：首先计算AB、AC、BC的长度，分别利用两点之间的距离公式：AB = √[(3-1)^2 + (4-(-2))^2] = √[4 + 36] = √40AC = √[(7-1)^2 + (1-(-2))^2] = √[36 + 9] = √45BC = √[(7-3)^2 + (1-4)^2] = √[16 + 9] = √25由于AB的平方等于BC的平方，即AB^2 = BC^2，可以得出AB = BC。

因此，三角形ABC为等腰三角形。

题目二：已知平面上直线L1过点A(2, -1)，斜率为k，与直线L2：3x + ky + 5 = 0 互相垂直，求k的值。

解答：首先计算直线L2的斜率：L2: 3x + ky + 5 = 0化简得：ky = -3x - 5因此，L2的斜率k2为 -3/k。

由于L1与L2互相垂直，根据垂直直线的特性可知斜率k1与k2之积为 -1。

即 k * (-3/k) = -1。

解上述方程可以得出：k^2 = 3，因此k的两个解为k = √3 和 k = -√3。

题目三：已知直线L1：4x + 3y - 2 = 0 与直线L2垂直，并且直线L2通过点A(5,-1)，求直线L2的方程式。

解答：由于L1与L2垂直，它们的斜率之积为 -1。

L1的斜率为 -4/3，所以L2的斜率为 3/4。

通过点斜式可以得到L2的方程式：y - (-1) = (3/4)(x - 5)化简得到：y = (3/4)x + 2因此，直线L2的方程式为：y = (3/4)x + 2。

2. 空间几何题目一：已知直线L1：x = 3 - 2t，y = 5 + 3t，z = -1 + 4t，求直线L1的参数方程。

解答：直线的参数方程为x = x0 + at，y = y0 + bt，z = z0 + ct，其中(a, b, c)为直线的方向向量。

高中解析几何试题及答案

高中解析几何试题及答案

高中解析几何试题及答案1. 已知圆的方程为 \((x-2)^2+(y-3)^2=9\)，求该圆的圆心坐标和半径。

答案：圆心坐标为 \((2, 3)\)，半径为 \(3\)。

2. 求直线 \(2x + 3y - 6 = 0\) 关于点 \((1, 2)\) 对称的直线方程。

答案：对称直线的方程为 \(2x - 3y + 8 = 0\)。

3. 已知椭圆 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)（其中\(a > b > 0\)）经过点 \((2, 3)\)，且离心率 \(e = \frac{c}{a}\) 为 \(\frac{1}{2}\)，求椭圆的长轴和短轴长度。

答案：根据离心率 \(e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}\)，我们有 \(c =\frac{a}{2}\)。

由于椭圆经过点 \((2, 3)\)，代入椭圆方程得\(\frac{4}{a^2} + \frac{9}{b^2} = 1\)。

又因为 \(c^2 = a^2 -b^2\)，代入 \(c = \frac{a}{2}\) 得 \(\frac{a^2}{4} = a^2 -b^2\)，解得 \(b^2 = \frac{3}{4}a^2\)。

将 \(b^2\) 代入椭圆方程，解得 \(a^2 = 16\) 和 \(b^2 = 12\)。

因此，椭圆的长轴长度为\(2a = 32\)，短轴长度为 \(2b = 24\)。

4. 求抛物线 \(y^2 = 4px\)（\(p > 0\)）的焦点坐标。

答案：焦点坐标为 \((\frac{p}{2}, 0)\)。

5. 已知双曲线 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\) 的一条渐近线方程为 \(y = \frac{b}{a}x\)，求双曲线的离心率。

答案：双曲线的离心率 \(e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}\)。

(完整版)解析几何练习题及答案

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解析几何一、选择题1．已知两点A (－3，)，B (，－1)，则直线AB 的斜率是( )33A. B ．－33C.　D ．－3333解析：斜率k ＝＝－，故选D.－1－33－(－3)33答案：D 2．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1解析：①当a ＝0时，y ＝2不合题意．②a ≠0，x ＝0时，y ＝2＋a .y ＝0时，x ＝，a ＋2a 则＝a ＋2，得a ＝1或a ＝－2.故选D.a ＋2a 答案：D 3．两直线3x ＋y －3＝0与6x ＋my ＋1＝0平行，则它们之间的距离为( )A ．4B ．21313C.　D ．5132671020解析：把3x ＋y －3＝0转化为6x ＋2y －6＝0，由两直线平行知m ＝2，则d ＝＝.|1－(－6)|62＋2271020故选D.答案：D4．(2014皖南八校联考)直线2x －y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( )A ．x ＋2y －1＝0　B ．2x ＋y －1＝0C ．2x ＋y －5＝0　D ．x ＋2y －5＝0解析：由题意可知，直线2x －y ＋1＝0与直线x ＝1的交点为(1,3)，直线2x －y ＋1＝0的倾斜角与所求直线的倾斜角互补，因此它们的斜率互为相反数，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2，故所求直线的斜率为－2，所以所求直线的方程是y －3＝－2(x －1)，即2x ＋y －5＝0.故选C.答案：C5．若直线l ：y ＝kx －与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角3的取值范围是( )A.　B ．[π6，π3)(π6，π2)C.　D ．(π3，π2)[π3，π2]解析：由题意，可作直线2x ＋3y －6＝0的图象，如图所示，则直线与x 轴、y 轴交点分别为A (3,0)，B (0,2)，又直线l 过定点(0，－)，由题知直线l 与线段AB 相交(交点不含3端点)，从图中可以看出，直线l 的倾斜角的取值范围为.故选B.(π6，π2)答案：B 6．(2014泰安一模)过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( )A ．x －2y ＋4＝0　B ．2x ＋y －7＝0C ．x －2y ＋3＝0　D ．x －2y ＋5＝0解析：直线2x ＋y －5＝0的斜率为k ＝－2，∴所求直线的斜率为k ′＝，12∴方程为y －3＝(x －2)，即x －2y ＋4＝0.12答案：A二、填空题7．过点(2,1)且在x 轴上截距与在y 轴上截距之和为6的直线方程为____________．解析：由题意知截距均不为零．设直线方程为＋＝1，x a yb 由Error!解得Error!或Error!.故所求直线方程为x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0.答案：x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝08．(2014湘潭质检)若过点A (－2，m )，B (m,4)的直线与直线2x ＋y ＋2＝0平行，则m的值为________．解析：∵过点A ，B 的直线平行于直线2x ＋y ＋2＝0，∴k AB ＝＝－2，解得m ＝－8.4－mm ＋2答案：－89．若过点P (1－a,1＋a )与Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________．解析：由直线PQ 的倾斜角为钝角，可知其斜率k <0，即<0，化简得<0，∴－2<a <1.2a －(1＋a )3－(1－a )a －1a ＋2答案：(－2,1)10．已知k ∈R ，则直线kx ＋(1－k )y ＋3＝0经过的定点坐标是________．解析：令k ＝0，得y ＋3＝0，令k ＝1，得x ＋3＝0.解方程组Error!得Error!所以定点坐标为(－3，－3)．答案：(－3，－3)三、解答题11．已知两直线l 1：x ＋y sinα－1＝0和l 2：2x sinα＋y ＋1＝0，试求α的值，使(1)l 1∥l 2；(2)l 1⊥l 2.解：(1)法一　当sin α＝0时，直线l 1的斜率不存在，l 2的斜率为0，显然l 1不平行于l 2.当sin α≠0时，k 1＝－，k 2＝－2sin α.1sin α要使l 1∥l 2，需－＝－2sin α，1sin α即sin α＝±，∴α＝k π±，k ∈Z .22π4故当α＝k π±，k ∈Z 时，l 1∥l 2.π4法二　由l 1∥l 2，得Error!∴sin α＝±，22∴α＝k π±，k ∈Z .π4故当α＝k π±，k ∈Z 时，l 1∥l 2.π4(2)∵l 1⊥l 2，∴2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0.∴α＝k π，k ∈Z .故当α＝k π，k ∈Z 时，l 1⊥l 2.12．设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0.(1)证明l 1与l 2相交；(2)证明l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．证明：(1)假设l 1与l 2不相交，则l 1∥l 2即k 1＝k 2，代入k 1k 2＋2＝0，得k ＋2＝0，这与21k 1为实数的事实相矛盾，从而k 1≠k 2，即l 1与l 2相交．(2)法一　由方程组Error!解得交点P 的坐标为，(2k 2－k 1，k 2＋k 1k 2－k 1)而2x 2＋y 2＝22＋2(2k 2－k 1)(k 2＋k 1k 2－k 1)＝8＋k 2＋k 21＋2k 1k 2k 2＋k 21－2k 1k 2＝k 21＋k 2＋4k 21＋k 2＋4＝1.即P (x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1上．即l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．法二　交点P 的坐标(x ，y )满足Error!故知x ≠0.从而Error!代入k 1k 2＋2＝0，得·＋2＝0，y －1x y ＋1x 整理后，得2x 2＋y 2＝1.所以交点P 在椭圆2x 2＋y 2＝1上．第八篇　第2节一、选择题1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( )A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1解析：由题意，设圆心(0，t )，则＝1，得t ＝2，12＋(t －2)2所以圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1，故选A.答案：A 2．(2014郑州模拟)动点P 到点A (8,0)的距离是到点B (2,0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＝32B ．x 2＋y 2＝16C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．x 2＋(y －1)2＝16解析：设P (x ，y )，则由题意可得2＝，(x －2)2＋y 2(x －8)2＋y 2化简整理得x 2＋y 2＝16，故选B.答案：B3．(2012年高考陕西卷)已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则( )A ．l 与C 相交B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能解析：x 2＋y 2－4x ＝0是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，而点P (3,0)到圆心的距离为d ＝＝1<2，(3－2)2＋(0－0)2点P (3,0)恒在圆内，过点P (3,0)不管怎么样画直线，都与圆相交．故选A.答案：A4．(2012年高考辽宁卷)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( )A ．x ＋y －1＝0　B ．x ＋y ＋3＝0C ．x －y ＋1＝0　D ．x －y ＋3＝0解析：由题知圆心在直线上，因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选项C 符合，故选C.答案：C 5．(2013年高考广东卷)垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是( )A ．x ＋y －＝0B ．x ＋y ＋1＝02C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋＝02解析：与直线y ＝x ＋1垂直的直线方程可设为x ＋y ＋b ＝0，由x ＋y ＋b ＝0与圆x 2＋y 2＝1相切，可得＝1，故b ＝±.因为直线与圆相切于第一象限，故结合图形|b |12＋122分析知b ＝－，则直线方程为x ＋y －＝0.故选A.22答案：A 6．(2012年高考福建卷)直线x ＋y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦3AB 的长度等于( )A ．2B ．253C.　D ．13解析：因为圆心到直线x ＋y －2＝0的距离d ＝＝1，半径r ＝2，3|0＋3×0－2|12＋(3)2所以弦长|AB |＝2＝2.22－123故选B.答案：B二、填空题7．(2013年高考浙江卷)直线y ＝2x ＋3被圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0所截得的弦长等于________．解析：圆的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25，故圆心为(3,4)，半径r ＝5.又直线方程为2x －y ＋3＝0，∴圆心到直线的距离为d ＝＝，|2×3－4＋3|4＋15∴弦长为2×＝2＝4.25－5205答案：458．已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2，则圆C 上各点到l 的距离的最小值为________．解析：因为圆C 的圆心(1,1)到直线l 的距离为d ＝＝2，|1－1＋4|12＋(－1)22又圆半径r ＝.2所以圆C 上各点到直线l 的距离的最小值为d －r ＝.2答案：29．已知圆C 的圆心在直线3x －y ＝0上，半径为1且与直线4x －3y ＝0相切，则圆C的标准方程是________．解析：∵圆C 的圆心在直线3x －y ＝0上，∴设圆心C (m,3m )．又圆C 的半径为1，且与4x －3y ＝0相切，∴＝1，|4m －9m |5∴m ＝±1，∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝1.答案：(x －1)2＋(y －3)2＝1或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝110．圆(x －2)2＋(y －3)2＝1关于直线l ：x ＋y －3＝0对称的圆的方程为________．解析：已知圆的圆心为(2,3)，半径为1.则对称圆的圆心与(2,3)关于直线l 对称，由数形结合得，对称圆的圆心为(0,1)，半径为1，故方程为x 2＋(y －1)2＝1.答案：x 2＋(y －1)2＝1三、解答题11．已知圆C ：x 2＋(y －2)2＝5，直线l ：mx －y ＋1＝0.(1)求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点；(2)若圆C 与直线相交于点A 和点B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程．(1)证明：法一　直线方程与圆的方程联立，消去y 得(m 2＋1)x 2－2mx －4＝0，∵Δ＝4m 2＋16(m 2＋1)＝20m 2＋16>0，∴对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点．法二　直线l ：mx －y ＋1恒过定点(0,1)，且点(0,1)在圆C ：x 2＋(y －2)2＝5内部，∴对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点．(2)解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x ，y )，由方程(m 2＋1)x 2－2mx －4＝0，得x 1＋x 2＝，2mm 2＋1∴x ＝.mm 2＋1当x ＝0时m ＝0，点M (0,1)，当x ≠0时，由mx －y ＋1＝0，得m ＝，y －1x 代入x ＝，得x＝，mm 2＋1[(y －1x )2＋1]y －1x 化简得x 2＋2＝.(y －32)14经验证(0,1)也符合，∴弦AB 的中点M 的轨迹方程为x 2＋2＝.(y －32)1412．已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝2时，求直线l 的方程．2解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有＝2.解得a ＝－.|4＋2a |a 2＋134(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得Error!解得a ＝－7，或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.第八篇　第3节一、选择题1．设P 是椭圆＋＝1上的点．若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )x 225y 216A ．4 B ．5C ．8D ．10解析：由方程知a ＝5，根据椭圆定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.故选D.答案：D 2．(2014唐山二模)P 为椭圆＋＝1上一点，F 1，F 2为该椭圆的两个焦点，若x 24y 23∠F 1PF 2＝60°，则·等于( )PF1→ PF 2→ A ．3　B ．3C ．2　D ．23解析：由椭圆方程知a ＝2，b ＝，c ＝1，3∴Error!∴|PF 1||PF 2|＝4.∴·＝||||cos 60°＝4×＝2.PF 1→ PF 2→ PF 1→ PF 2→ 12答案：D3．(2012年高考江西卷)椭圆＋＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦x 2a 2y 2b 2点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A.　B ．1455C.　D ．－2125解析：本题考查椭圆的性质与等比数列的综合运用．由椭圆的性质可知|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c ，又|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，故(a －c )(a ＋c )＝(2c )2，可得e ＝＝.故应选B.ca 55答案：B4．(2013年高考辽宁卷)已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的x 2a 2y 2b 2直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝，则C 的离心率45为( )A.　B ．3557C.　D ．4567解析：|AF |2＝|AB |2＋|BF |2－2|AB ||BF |cos ∠ABF ＝100＋64－2×10×8×＝36，45则|AF |＝6，∠AFB ＝90°，半焦距c ＝|FO |＝|AB |12＝5，设椭圆右焦点F 2，连结AF 2，由对称性知|AF 2|＝|FB |＝8，2a ＝|AF 2|＋|AF |＝6＋8＝14，即a ＝7，则e ＝＝.c a 57故选B.答案：B5．已知椭圆E ：＋＝1，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 截得的弦长与x 2m y 24l ：y ＝kx ＋1被椭圆E 截得的弦长不可能相等的是( )A ．kx ＋y ＋k ＝0B ．kx －y －1＝0C ．kx ＋y －k ＝0D ．kx ＋y －2＝0解析：取k ＝1时，l ：y ＝x ＋1.选项A 中直线：y ＝－x －1与l 关于x 轴对称，截得弦长相等．选项B 中直线：y ＝x －1与l 关于原点对称，所截弦长相等．选项C 中直线：y ＝－x ＋1与l 关于y 轴对称，截得弦长相等．排除选项A 、B 、C ，故选D.答案：D6．(2014山东省实验中学第二次诊断)已知椭圆＋＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为x 2a 2y 2b 2F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若椭圆上存在点P ，使＝，则该椭圆的离心率的asin ∠PF 1F 2csin ∠PF 2F 1取值范围为( )A ．(0，－1)　B ．2(22，1)C.D ．(－1,1)(0，22)2解析：由题意知点P 不在x 轴上，在△PF 1F 2中，由正弦定理得＝，|PF 2|sin ∠PF 1F 2|PF 1|sin ∠PF 2F 1所以由＝a sin ∠PF 1F 2c sin ∠PF 2F 1可得＝，a|PF 2|c|PF 1|即＝＝e ，|PF 1||PF 2|ca 所以|PF 1|＝e |PF 2|.由椭圆定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以e |PF 2|＋|PF 2|＝2a ，解得|PF 2|＝.2ae ＋1由于a －c <|PF 2|<a ＋c ，所以有a －c <<a ＋c ，2ae ＋1即1－e <<1＋e ，2e ＋1也就是Error!解得－1<e .2又0<e <1，∴－1<e <1.故选D.2答案：D 二、填空题7．设F 1、F 2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中x 225y 216点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点距离为________．解析：∵|OM |＝3，∴|PF 2|＝6，又|PF 1|＋|PF 2|＝10，∴|PF 1|＝4.答案：48．椭圆＋＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2作倾斜角为120°的直线x 2a 2y 2b 2与椭圆的一个交点为M ，若MF 1垂直于x 轴，则椭圆的离心率为________．解析：不妨设|F 1F 2|＝1，∵直线MF 2的倾斜角为120°，∴∠MF 2F 1＝60°.∴|MF 2|＝2，|MF 1|＝，2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝2＋，332c ＝|F 1F 2|＝1.∴e ＝＝2－.ca 3答案：2－39．(2014西安模拟)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方35y 225x 29程为________________．解析：由题意可设椭圆方程为＋＝1(m <9)，y 225－m x 29－m 代入点(，－)，35得＋＝1，525－m 39－m 解得m ＝5或m ＝21(舍去)，∴椭圆的标准方程为＋＝1.y 220x 24答案：＋＝1y 220x 2410．已知F 1，F 2是椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且x 2a 2y 2b 2⊥.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.PF1→ PF 2→ 解析：由题意得Error!∴(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2，即4a 2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2，∴|PF 1||PF 2|＝2b 2，∴S △PF 1F 2＝|PF 1||PF 2|＝b 2＝9，12∴b ＝3.答案：3三、解答题11．(2012年高考广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：＋＝1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0，1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．解：(1)由椭圆C 1的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上，可得Error!∴Error!故椭圆C 1的方程为＋y 2＝1.x 22(2)由题意分析，直线l 斜率存在且不为0，设其方程为y ＝kx ＋b ，由直线l 与抛物线C 2相切得Error!消y 得k 2x 2＋(2bk －4)x ＋b 2＝0，Δ1＝(2bk －4)2－4k 2b 2＝0，化简得kb ＝1.①由直线l 与椭圆C 1相切得Error!消y 得(2k 2＋1)x 2＋4bkx ＋2b 2－2＝0，Δ2＝(4bk )2－4(2k 2＋1)(2b 2－2)＝0，化简得2k 2＝b 2－1.②①②联立得Error!解得b 4－b 2－2＝0，∴b 2＝2或b 2＝－1(舍去)，∴b ＝时，k ＝，b ＝－时，k ＝－.222222即直线l 的方程为y ＝x ＋或y ＝－x －.22222212．(2014海淀三模)已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的四个顶点恰好是一边长为2，一x 2a 2y 2b 2内角为60°的菱形的四个顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝kx 交椭圆C 于A ，B 两点，在直线l ：x ＋y －3＝0上存在点P ，使得△PAB 为等边三角形，求k 的值．解：(1)因为椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60°的x 2a 2y 2b 2菱形的四个顶点．所以a ＝，b ＝1，3椭圆C 的方程为＋y 2＝1.x 23(2)设A (x 1，y 1)，则B (－x 1，－y 1)，当直线AB 的斜率为0时，AB 的垂直平分线就是y 轴，y 轴与直线l ：x ＋y －3＝0的交点为P (0,3)，又因为|AB |＝2，|PO |＝3，3所以∠PAO ＝60°，所以△PAB 是等边三角形，所以直线AB 的方程为y ＝0，当直线AB 的斜率存在且不为0时，则直线AB 的方程为y ＝kx ，所以Error!化简得(3k 2＋1)x 2＝3，所以|x 1|＝，33k 2＋1则|AO |＝＝.1＋k 233k 2＋13k 2＋33k 2＋1设AB 的垂直平分线为y ＝－x ，1k 它与直线l ：x ＋y －3＝0的交点记为P (x 0，y 0)，所以Error!解得Error!则|PO |＝，9k 2＋9(k －1)2因为△PAB 为等边三角形，所以应有|PO |＝|AO |，3代入得＝，9k 2＋9(k －1)233k 2＋33k 2＋1解得k ＝0(舍去)，k ＝－1.综上，k ＝0或k ＝－1.第八篇　第4节一、选择题1．设P 是双曲线－＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左右两个焦点，若x 216y 220|PF 1|＝9，则|PF 2|等于( )A ．1B ．17C ．1或17　D ．以上答案均不对解析：由双曲线定义||PF 1|－|PF 2||＝8，又|PF 1|＝9，∴|PF 2|＝1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c －a ＝6－4＝2>1，∴|PF 2|＝17.故选B.答案：B2．(2013年高考湖北卷)已知0<θ<，则双曲线C 1：－＝1与C 2：－π4x 2sin2θy 2cos2θy 2cos2θ＝1的( )x 2sin2θA ．实轴长相等　B ．虚轴长相等C ．离心率相等　D ．焦距相等解析：双曲线C 1的半焦距c 1＝＝1，双曲线C 2的半焦距c 2＝sin2θ＋cos2θ＝1，故选D.cos2θ＋sin2θ答案：D3．(2012年高考湖南卷)已知双曲线C ：－＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近x 2a 2y 2b 2线上，则C 的方程为( )A.－＝1　B ．－＝1x 220y 25x 25y 220C.－＝1　D ．－＝1x 280y 220x 220y 280解析：由焦距为10，知2c ＝10，c ＝5.将P (2,1)代入y ＝x 得a ＝2b .ba a 2＋b 2＝c 2,5b 2＝25，b 2＝5，a 2＝4b 2＝20，所以方程为－＝1.故选A.x 220y 25答案：A 4．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2等于( )A.　B ．1435C.　D ．3445解析：∵c 2＝2＋2＝4，∴c ＝2,2c ＝|F 1F 2|＝4，由题可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，2|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 2|＝2，|PF 1|＝4，22由余弦定理可知cos ∠F 1PF 2＝＝.故选C.(42)2＋(22)2－422×42×2234答案：C5．设椭圆C 1的离心率为，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆513C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( )A.－＝1　B ．－＝1x 242y 232x 2132y 252C.－＝1　D ．－＝1x 232y 242x 2132y 2122解析：在椭圆C 1中，因为e ＝，2a ＝26，513即a ＝13，所以椭圆的焦距2c ＝10，则椭圆两焦点为(－5,0)，(5,0)，根据题意，可知曲线C 2为双曲线，根据双曲线的定义可知，双曲线C 2中的2a 2＝8，焦距与椭圆的焦距相同，即2c 2＝10，可知b 2＝3，所以双曲线的标准方程为－＝1.故选A.x 242y 232答案：A6．(2014福州八中模拟)若双曲线－＝1渐近线上的一个动点P 总在平面区域x 29y 216(x －m )2＋y 2≥16内，则实数m 的取值范围是( )A ．[－3,3]B ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C ．[－5,5]　D ．(－∞，－5]∪[5，＋∞)解析：因为双曲线－＝1渐近线4x ±3y ＝0上的一个动点P 总在平面区域(x －m )x 29y 2162＋y 2≥16内，即直线与圆相离或相切，所以d ＝≥4，解得m ≥5或m ≤－5，故实数|4m |5m 的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．选D.答案：D 二、填空题7．(2013年高考辽宁卷)已知F 为双曲线C ：－＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的x 29y 216点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．解析：由题知，双曲线中a ＝3，b ＝4，c ＝5，则|PQ |＝16，又因为|PF |－|PA |＝6，|QF |－|QA |＝6，所以|PF |＋|QF |－|PQ |＝12，|PF |＋|QF |＝28，则△PQF 的周长为44.答案：448．已知双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，且它的一个顶点到较近焦点x 2a 2y 2b 2的距离为1，则双曲线C 的方程为________．解析：双曲线中，顶点与较近焦点距离为c －a ＝1，又e ＝＝2，两式联立得a ＝1，c ＝2，ca ∴b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3，∴方程为x 2－＝1.y 23答案：x 2－＝1y 239．(2014合肥市第三次质检)已知点P 是双曲线－＝1(a >0，b >0)和圆x 2a 2y 2b 2x 2＋y 2＝a 2＋b 2的一个交点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，则该双曲线的离心率为________．解析：依题意得，线段F 1F 2是圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2的一条直径，故∠F 1PF 2＝90°，∠PF 1F 2＝30°，设|PF 2|＝m ，则有|F 1F 2|＝2m ，|PF 1|＝m ，3该双曲线的离心率等于＝＝＋1.|F 1F 2|||PF 1|－|PF 2||2m3m －m 3答案：＋1310．(2013年高考湖南卷)设F 1，F 2是双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的两个焦点．若x 2a 2y 2b 2在C 上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．解析：设点P 在双曲线右支上，由题意，在Rt △F 1PF 2中，|F 1F 2|＝2c ，∠PF 1F 2＝30°，得|PF 2|＝c ，|PF 1|＝c ，3根据双曲线的定义：|PF 1|－|PF 2|＝2a ，(－1)c ＝2a ，3e ＝＝＝＋1.c a 23－13答案：＋13三、解答题11．已知双曲线x 2－＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A 、B 两点，y 22且点P 是线段AB 的中点？解：法一　设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，且线段AB 的中点为(x 0，y 0)，若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意．设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，即y ＝kx ＋1－k .由Error!得(2－k 2)x 2－2k (1－k )x －(1－k )2－2＝0(2－k 2≠0)．①∴x 0＝＝.x 1＋x 22k (1－k )2－k 2由题意，得＝1，k (1－k )2－k 2解得k ＝2.当k ＝2时，方程①成为2x 2－4x ＋3＝0.Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．∴不能作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P (1,1)是线段AB 的中点．法二　设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若直线l 的斜率不存在，即x 1＝x 2不符合题意，所以由题得x －＝1，x －＝1，21y 2122y 22两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－＝0，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)2即2－＝0，y 1－y 2x 1－x 2即直线l 斜率k ＝2，得直线l 方程y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1，联立Error!得2x 2－4x ＋3＝0，Δ＝16－24＝－8<0，即直线y ＝2x －1与双曲线无交点，即所求直线不合题意，所以过点P (1,1)的直线l 不存在．12．(2014南京质检)中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.13(1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．解：(1)由已知c ＝，13设椭圆长、短半轴长分别为a 、b ，双曲线实半轴、虚半轴长分别为m 、n ，则Error!解得a ＝7，m ＝3.∴b ＝6，n ＝2.∴椭圆方程为＋＝1，x 249y 236双曲线方程为－＝1.x 29y 24(2)不妨设F 1、F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|－|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝10，|PF 2|＝4.又|F 1F 2|＝2，13∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝＝.102＋42－(213)22×10×445第八篇　第5节一、选择题1．(2014银川模拟)抛物线y ＝2x 2的焦点坐标为( )A. B ．(1,0)(12，0)C.　D ．(0，18)(0，14)解析：抛物线y ＝2x 2，即其标准方程为x 2＝y ，它的焦点坐标是.故选C.12(0，18)答案：C2．抛物线的焦点为椭圆＋＝1的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为( )x 24y 29A ．x 2＝－4y B ．y 2＝－4x55C ．x 2＝－4yD ．y 2＝－4x1313解析：由椭圆方程知，a 2＝9，b 2＝4，焦点在y 轴上，下焦点坐标为(0，－c )，其中c ＝＝，a 2－b 25∴抛物线焦点坐标为(0，－)，5∴抛物线方程为x 2＝－4y .故选A.5答案：A3．已知抛物线y 2＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( )A ．相离　B ．相交C ．相切　D ．不确定解析：如图所示，设抛物线焦点弦为AB ，中点为M ，准线为l ，A 1、B 1分别为A 、B 在直线l 上的射影，则|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，于是M 到l 的距离d ＝(|AA 1|＋|BB 1|)12＝(|AF |＋|BF |)＝|AB |，故圆与抛物线准线相切．故选C.1212答案：C4．(2014洛阳高三统一考试)已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AF |＝3|BF |，则线段AB 的中点到该抛物线准线的距离为( )A.　B ．5383C.　D ．10103解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其中x 1>0，x 2>0，过A ，B 两点的直线方程为x ＝my ＋1，将x ＝my ＋1与y 2＝4x 联立得y 2－4my －4＝0，y 1y 2＝－4，则由Error!解得x 1＝3，x 2＝，13故线段AB 的中点到该抛物线的准线x ＝－1的距离等于＋1＝.故选B.x 1＋x 2283答案：B5．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.　B ．134C.　D ．5474解析：∵|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋＝3，12∴x A ＋x B ＝.52∴线段AB 的中点到y 轴的距离为＝.xA ＋xB 254故选C.答案：C6．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)　D ．[2，＋∞)解析：∵x 2＝8y ，∴焦点F 的坐标为(0,2)，准线方程为y ＝－2.由抛物线的定义知|MF |＝y 0＋2.以F 为圆心、|FM |为半径的圆的标准方程为x 2＋(y －2)2＝(y 0＋2)2.由于以F 为圆心、|FM |为半径的圆与准线相交，又圆心F 到准线的距离为4，故4<y 0＋2，∴y 0>2.故选C.答案：C 二、填空题7．动直线l 的倾斜角为60°，且与抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点，若A ，B 两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为________．解析：设直线l 的方程为y ＝x ＋b ，3联立Error!消去y ，得x 2＝2p (x ＋b )，3即x 2－2px －2pb ＝0，3∴x 1＋x 2＝2p ＝3，3∴p ＝，则抛物线的方程为x 2＝y .323答案：x 2＝y38．以抛物线x 2＝16y 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为________．解析：抛物线的焦点为F (0,4)，准线为y ＝－4，则圆心为(0,4)，半径r ＝8.所以，圆的方程为x 2＋(y －4)2＝64.答案：x 2＋(y －4)2＝649．(2012年高考北京卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．解析：∵抛物线y 2＝4x ，∴焦点F 的坐标为(1,0)．又∵直线l 倾斜角为60°，∴直线斜率为，3∴直线方程为y ＝(x －1)．3联立方程Error!解得Error!或Error!由已知得A 的坐标为(3,2)，3∴S △OAF ＝|OF |·|y A |＝×1×2＝.121233答案：310．已知点P 是抛物线y 2＝2x上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A ，则(72，4)|PA |＋|PM |的最小值是________．解析：设点M 在抛物线的准线上的射影为M ′.由已知可得抛物线的准线方程为x ＝－，焦点F 坐标为.12(12，0)求|PA |＋|PM |的最小值，可先求|PA |＋|PM ′|的最小值．由抛物线的定义可知，|PM ′|＝|PF |，所以|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PM ′|，当点A 、P 、F 在一条直线上时，|PA |＋|PF |有最小值|AF |＝5，所以|PA |＋|PM ′|≥5，又因为|PM ′|＝|PM |＋，12所以|PA |＋|PM |≥5－＝.1292答案：92三、解答题11．若抛物线y ＝2x 2上的两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)关于直线l ：y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－，求实数m 的值．12解：法一　如图所示，连接AB ，∵A 、B 两点关于直线l 对称，∴AB ⊥l ，且AB 中点M (x 0，y 0)在直线l 上．可设l AB ：y ＝－x ＋n ，由Error!得2x 2＋x －n ＝0，∴x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝－.12n2由x 1x 2＝－，得n ＝1.12又x 0＝＝－，x 1＋x 2214y 0＝－x 0＋n ＝＋1＝，1454即点M 为，(－14，54)由点M 在直线l 上，得＝－＋m ，5414∴m ＝.32法二　∵A 、B 两点在抛物线y ＝2x 2上．∴Error!∴y 1－y 2＝2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)．设AB 中点M (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝2x 0，k AB ＝＝4x 0.y 1－y 2x 1－x 2又AB ⊥l ，∴k AB ＝－1，从而x 0＝－.14又点M 在l 上，∴y 0＝x 0＋m ＝m －，14即M ，(－14，m －14)∴AB 的方程是y －＝－，(m －14)(x ＋14)即y ＝－x ＋m －，代入y ＝2x 2，12得2x 2＋x －＝0，∴x 1x 2＝－＝－，∴m ＝.(m －12)m －122123212．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，2B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．OC → OA → OB→ 解：(1)直线AB 的方程是y ＝2，与y 2＝2px 联立，2(x －p2)从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，5p4所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4知4x 2－5px ＋p 2＝0可化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－2，y 2＝4，22从而A (1，－2)，B (4,4)．22设＝(x 3，y 3)＝(1，－2)＋λ(4,4)OC→ 22＝(4λ＋1,4λ－2)，22即C (4λ＋1,4λ－2)，22所以[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，2即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.。

(完整版)解析几何(大题)

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21．（本小题满分12分）[2017皖南八校]如图，点()2,0A -，()2,0B 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右顶点，,,P M N 为椭圆C 上非顶点的三点，直线,AP BP 的斜率分别为12,k k ，且1214k k =-，AP OM ∥，BP ON ∥．（1）求椭圆C 的方程；（2）判断OMN △的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．【答案】（1）22:14x C y +=；（2）定值1． 【解析】（1）221,11442,AP BPb k k b a a ⎫=⎪=-⇒⇒=⎬⎪=⎭g ，椭圆22:14x C y +=．（2）设直线MN 的方程为y kx t =+，()11,M x y ，()22,N x y ，()22222,4184401,4y kx t k x ktx t x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， 122841kt x x k +=-+，21224441t x x k -=+，()()1212121212121211404044y y k k y y x x kx t kx t x x x x ⋅=-⇒⋅=-⇒+=⇒+++=， ()()22121241440kx x kt x x t ++++=，()2222222448414402414141t ktk kt t t k k k ⎛⎫-+-+=⇒-= ⎪++⎝⎭，MN ====，d =，1S ===． ∴OMN △的面积为定值1．20．（本小题满分12分）[2017平安一中]上顶点B 是抛物线24x y =的焦点． （1）求椭圆M 的标准方程；（2）若P 、Q 是椭圆M 上的两个动点，且OP ⊥OQ （O 是坐标原点），由点O 作OR ⊥PQ 于R ，试求点R 的轨迹方程．【答案】（1【解析】（1① 又1b =······②所以椭圆M（2）（i ）若直线PQ ∥x 轴，设直线:PQ y m =OP ⊥OQ （ii ）若直线PQ 不平行x 轴，设直线:PQ x ty n =+()t R n R ∈∈，，联立椭圆M 的方程消x 得222(2)2(2)0t y tny n +++-=，设11()P x y ，，22()Q x y ，，OP ⊥OQ 得0OP OQ ⋅=u u u r u u u r ，即12120x x y y +=， 即1212()()0ty n ty n y y +++=······⑤又原点O 到直线PQ 所以动点R20．（本小题满分12分）[2017郑州一中]已知圆M ：222()0x y r r +=>与直线1l ：40x +=相切，设点A 为圆上一动点，AB x ⊥轴于B ，且动点N 满足2AB NB =u u u r u u u r ，设动点N 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）直线l 与直线1l 垂直且与曲线C 交于P ，Q 两点，求OPQ △面积的最大值．【答案】（1）2214x y +=；（2）1． 【解析】（1）设动点()N x y ，，00()A x y ，，因为AB x ⊥轴于B ，所以0(0)B x ，， 设圆M 的方程为222:x y M r +=， 由题意得2r ==， 所以圆M 的方程为22:4x M y +=．由题意，2AB NB =u u u r u u u r，所以00(0)2()y x x y -=--，，， 所以，即002x xy y =⎧⎨=⎩，将(2)A x y ，代入圆22:4x M y +=，得动点N 的轨迹方程2214x y +=．（2）由题意设直线l ：0x m +=，设直线l 与椭圆2214x y +=交于11()P x y ，，22()Q x y ，，联立方程2244y m x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得2213440x m ++-=， 222192413(44)16(13)0m m m ∆=-⨯-=-+>，解得2 13m <，12x ==，又因为点O 到直线l 的距离||2m d =，122||PQ x x =-=。

解析几何经典练习题(含答案)

解析几何经典练习题(含答案)

解析几何经典练习题(含答案)题目一：已知平面直角坐标系中两点A（-3，4）和B（5，-2），求直线AB的斜率和方程。

解答：直线AB的斜率可以使用斜率公式计算：斜率 = (y2 - y1) / (x2 - x1)其中，A的坐标为(x1, y1) = (-3, 4)，B的坐标为(x2, y2) = (5, -2)。

斜率 = (-2 - 4) / (5 - (-3)) = -6 / 8 = -3/4直线AB的方程可以使用点斜式来表示：y - y1 = m(x - x1)其中，m为斜率，(x1, y1)为直线上的任意一点。

将斜率和点A的坐标代入得到方程：y - 4 = (-3/4)(x + 3)化简得到直线AB的方程为：4y - 16 = -3x - 9整理得到标准形式方程：3x + 4y = 7答案：直线AB的斜率为 -3/4，方程为 3x + 4y = 7。

题目二：已知直线L的斜率为2，经过点A（3，-1），求直线L的方程。

解答：直线L的方程可以使用点斜式来表示：y - y1 = m(x - x1)其中，m为斜率，(x1, y1)为直线上的任意一点。

将斜率和点A的坐标代入得到方程：y - (-1) = 2(x - 3)化简得到直线L的方程为：y + 1 = 2x - 6整理得到标准形式方程：2x - y = 7答案：直线L的方程为 2x - y = 7。

题目三：已知直线L的方程为 3x + y = 5，求直线L的斜率和经过点A （2，-1）的方程。

解答：直线L的斜率可以从方程的标准形式中直接读取：3x + y = 5将方程转化成斜截式形式：y = -3x + 5可以看出直线L的斜率为-3。

经过点A（2，-1）的直线方程可以使用点斜式来表示：y - y1 = m(x - x1)其中，m为斜率，(x1, y1)为直线上的任意一点。

将斜率和点A的坐标代入得到方程：y - (-1) = -3(x - 2)化简得到通过点A的直线方程为：y + 1 = -3x + 6整理得到标准形式方程：3x + y = 5答案：直线L的斜率为-3，经过点A（2，-1）的方程为 3x + y = 5。

大学解析几何考试题及答案

大学解析几何考试题及答案

大学解析几何考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项不是解析几何的研究对象？A. 平面曲线B. 空间曲线C. 空间曲面D. 质点运动答案：D2. 在平面直角坐标系中，点P(x, y)关于原点的对称点的坐标是：A. (-x, -y)B. (x, -y)C. (-x, y)D. (y, x)答案：A3. 如果直线l的方程为2x - 3y + 6 = 0，那么它的斜率k等于：A. 2/3B. -2/3C. 3/2D. -3/2答案：B4. 椭圆的标准方程是：A. (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1B. (x/a)^2 - (y/b)^2 = 1C. (x/a)^2 + (y/b)^2 = 0D. (x/a)^2 - (y/b)^2 = 0答案：A5. 一个圆的圆心在原点，半径为1，那么它的方程是：A. x^2 + y^2 = 1B. x^2 + y^2 = 0C. x^2 + y^2 = 2D. x^2 + y^2 = -1答案：A6. 如果两条直线的方程分别为y = mx + b1和y = mx + b2，那么这两条直线：A. 相交B. 平行C. 重合D. 垂直答案：B7. 抛物线y^2 = 4ax的准线方程是：A. x = -aB. x = aC. y = -aD. y = a答案：A8. 双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1的渐近线方程是：A. y = ±(b/a)xB. y = ±(a/b)xC. y = ±(a/b)xD. y = ±(b/a)x答案：D9. 点A(3, 4)关于直线y = x的对称点B的坐标是：A. (4, 3)B. (2, 3)C. (3, 2)D. (4, 5)答案：A10. 直线x = 2y + 3与圆x^2 + y^2 = 25相交于两点，这两点的距离是：A. 2√5B. 4√5C. 5√2D. 10答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 在平面直角坐标系中，点P(2, -1)到原点的距离是_________。

高三数学解析几何练习及答案解析

高三数学解析几何练习及答案解析

高三数学解析几何练习及答案解析1．圆x2＋y2＋Dx＋Ey＝0的圆心在直线x＋y＝1上，那么D与E的关系是()A．D＋E＝2 B．D＋E＝1C．D＋E＝－1 D．D＋E＝－2[来X k b 1 . c o m解析 D 依题意得，圆心－D2，－E2在直线x＋y＝1上，因此有－D2－E2＝1，即D＋E＝－2.2．以线段AB：x＋y－2＝0(02)为直径的圆的方程为()A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 B．(x－1)2＋(y－1)2＝2C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8 D．(x－1)2＋(y－1)2＝8解析 B 直径的两端点为(0,2)，(2,0)，圆心为(1,1)，半径为2，圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.3．F1、F2是椭圆x24＋y2＝1的两个焦点，P为椭圆上一动点，那么使|PF1||PF2|取最大值的点P为()A．(－2,0) B．(0,1) C．(2,0) D．(0,1)和(0，－1)解析 D 由椭圆定义，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，|PF1||PF2||PF1|＋|PF2|22＝4，当且仅当|PF1|＝|PF2|，即P(0，－1)或(0,1)时，取“＝”．4．椭圆x216 ＋y225＝1的焦点分别是F1、F2，P是椭圆上一点，假设连接F1、F2、P三点恰好能构成直角三角形，那么点P到y轴的间隔是()A.165 B．3 C.163 D.253解析 A 椭圆x216＋y225＝1的焦点分别为F1(0，－3)、F2(0,3)，易得F1PF22，PF1F2＝2或PF2F1＝2，点P到y轴的间隔d＝ |xp|，又|yp|＝3，x2p16＋y2p25＝1，解得|xP|＝165，应选A.5．假设曲线y＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，那么l的方程为()A．4x＋y＋4＝0 B．x－4y－4＝0C．4x－y－12＝0 D．4x－y－4＝0解析 D 设切点为(x0，y0)，那么y|x＝x0＝2x0， 2x0＝4，即x0＝2，切点为(2,4)，方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.6．“m0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析 C 方程可化为x21m＋y21n＝1，假设焦点在y轴上，那么1n0，即m0.7．设双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，那么双曲线的离心率为()A.54 B．5 C.52 D.5解析 D 双曲线的渐近线为y＝bax，由对称性，只要与一条渐近线有一个公共点即可由y＝x2＋1，y＝bax，得x2－bax＋1＝0.＝b2a2－4＝0，即b2＝4a2，e＝5.8．P为椭圆x24＋y23＝1上一点，F1、F2为该椭圆的两个焦点，假设F1PF2＝60，那么PF1PF2＝()A．3 B.3C．23 D．2解析D ∵S△PF1F2＝b2tan602＝3tan 30＝3＝12|PF1||PF2|sin 60，|PF1||PF2|＝4，PF1PF2＝412＝2.9．设椭圆x2m2＋y2n2＝1(m0，n0)的右焦点与抛物线y2＝8x 的焦点相同，离心率为12，那么此椭圆的方程为()A.x212＋y216＝1B.x216＋y212＝1C.x248＋y264＝1D.x264＋y248＝1解析 B 抛物线的焦点为(2,0)，由题意得c＝2，cm＝12，m＝4，n2＝12，方程为x216＋y212＝1.10．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，那么C的离心率为()A.2B.3C．2 D．3解析 B 设双曲线C的方程为x2a2－y2b2＝1，焦点F(－c，0)，将x＝－c代入x2a2－y2b2＝1可得y2＝b4a2，|AB|＝2b2a＝22a，b2＝2a2，c2＝a2＋b2＝3a2，e＝ca＝3.11．抛物线y2＝4x的准线过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左顶点，且此双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，那么双曲线的焦距为()A.5 B．25C.3 D．23解析B ∵抛物线y2＝4x的准线x＝－1过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左顶点，a＝1，双曲线的渐近线方程为y＝bax＝bx.∵双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，b＝2，c＝a2＋b2＝5，双曲线的焦距为25.12．抛物线y2＝2px(p0)上一点M(1，m)(m0)到其焦点的间隔为5，双曲线x2a－y2＝1的左顶点为 A，假设双曲线的一条渐近线与直线AM平行，那么实数a的值为()A.19B.14C.13D.12解析 A 由于M(1，m)在抛物线上，m2＝2p，而M到抛物线的焦点的间隔为5，根据抛物线的定义知点M到抛物线的准线x＝－p2的间隔也为5，1＋p2＝5，p＝8，由此可以求得m＝4，双曲线的左顶点为A(－a，0)，kAM＝41＋a，而双曲线的渐近线方程为y＝xa，根据题意得，41＋a＝1a，a＝19.13．直线l1：ax－y＋2a＋1＝0和l2：2x－(a－1)y＋2＝0(aR)，那么l1l2的充要条件是a＝.解析 l1l2a2a－1＝－1，解得a＝13.【答案】 1314．直线l：y＝k(x＋3)与圆O：x2＋y2＝4交于A，B两点，|AB|＝22，那么实数k＝.解析∵|AB|＝22，圆O半径为2，O到l的间隔d＝22－2＝2.即|3k|k2＋1＝2，解得k＝ 147.【答案】 14715．过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P、Q，那么线段的长为．解析如图，圆的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝5，|OM|＝5，|OQ|＝25－5＝25.在△OQM中，12|QA||OM|＝12|OQ||QM|，|AQ|＝2555＝2，||＝4.【答案】 416．在△ABC中，|BC|＝4，△ABC的内切圆切BC于D点，且|BD|－|CD|＝22，那么顶点A的轨迹方程为．解析以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如下图的坐标系，E、F分别为两个切点．那么|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|，|AE|＝|AF|.|AB|－|AC|＝22，点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支(y0)，且a＝2，c ＝2，b＝2，方程为x22－y22＝1(x2)．【答案】 x22－y22＝1(x2)17．(10分)在平面直角坐标系中，圆心在直线y＝x＋4上，半径为22的圆C经过原点O.(1)求圆C的方程；(2)求经过点(0,2)且被圆C所截得弦长为4的直线方程．解析 (1)设圆心为(a，b)，那么b＝a＋4，a2＋b2＝22，解得a＝－2，b＝2，故圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8.(2)当斜率不存在时，x＝0，与圆的两个交点为(0,4)，(0,0)，那么弦长为4，符合题意；当斜率存在时，设直线为y－2＝kx，那么由题意得，8＝4＋－2k1＋k22，无解．综上，直线方程为x＝0.18．(12分)(xx合肥一模)椭圆的两个焦点坐标分别为F1(－3，0)和F2(3，0)，且椭圆过点1，－32.(1)求椭圆方程；(2)过点－65，0作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A为椭圆的左顶点．试判断MAN的大小是否为定值，并说明理由．解析 (1)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a0)，由c＝3，椭圆过点1，－32可得a2－b2＝3，1a2＋34b2＝1，解得a2＝4，b2＝1，所以可得椭圆方程为x24＋y2＝1.(2)由题意可设直线MN的方程为：x＝ky－65，联立直线MN和椭圆的方程：x＝ky－65，x24＋y2＝1，化简得(k2＋4)y2－125ky－6425＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，那么y1y2＝－6425k2＋4，y1＋y2＝12k5k2＋4，又A(－2,0)，那么AMAN＝(x1＋2，y1)(x2＋2，y2)＝(k2＋1)y1y2＋45k(y1＋y2)＋1625＝0，所以MAN＝2.19．(12分)椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的间隔分别为7和1.(1)求椭圆C的方程；(2)假设P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，|OP||OM|＝e(e为椭圆离心率)，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是曲线．解析 (1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a，c，由，得a－c＝1，a＋c＝7，解得a＝4，c＝3.椭圆方程为x216＋y27＝1.(2)设M(x，y)，P(x，y1)，其中x[－4,4]，由得x2＋y21x2＋y2＝e2，而e＝34，故16(x2＋y21)＝9(x2＋y2)，①由点P在椭圆C上，得y21＝112－7x216，代入①式并化简，得9y2＝112.点M的轨迹方程为y＝473(－44)，轨迹是两条平行于x轴的线段．20．(12分)给定抛物线y2＝2x，设A(a,0)，a0，P是抛物线上的一点，且|PA|＝d，试求d的最小值．解析设P(x0，y0)(x00)，那么y20＝2x0，d＝|PA|＝x0－a2＋y20＝x0－a2＋2x0＝[x0＋1－a]2＋2a－1.∵a0，x00，(1)当01时，1－a0，此时有x0＝0时，dmin＝1－a2＋2a－1＝a；(2)当a1时，1－a0，此时有x0＝a－1时，dmin＝2a－1.21．(12分)双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)，点M(3，m)在双曲线上．(1)求双曲线方程；(2)求证：点M在以F1F2为直径的圆上；(3)求△F1MF2的面积．解析(1)∵双曲线离心率e＝2，设所求双曲线方程为x2－y2＝(0)，那么由点(4，－10)在双曲线上，知＝42－(－10)2＝6，双曲线方程为x2－y2＝6.(2)假设点M(3，m)在双曲线上，那么32－m2＝6，m2＝3，由双曲线x2－y2＝6知F1(23，0)，F2(－23，0)，MF1MF2＝(23－3，－m)(－23－ 3，－m)＝m2－3＝0，MF1MF2，故点M在以F1F2为直径的圆上．(3)S△F1MF2＝12|F1F2||m|＝233＝6.22．(12分)实数m1，定点A(－m,0)，B(m,0)，S为一动点，点S与A，B两点连线斜率之积为－1m2.(1)求动点S的轨迹C的方程，并指出它是哪一种曲线；(2)当m＝2时，问t取何值时，直线l：2x－y＋t＝0(t0)与曲线C有且只有一个交点？(3)在(2)的条件下，证明：直线l上横坐标小于2的点P到点(1,0)的间隔与到直线x＝2的间隔之比的最小值等于曲线C的离心率．解析 (1)设S(x，y)，那么kSA＝y－0x＋m，kSB＝y－0x－m.由题意，得y2x2－m2＝－1m2，即x2m2＋y2＝1(xm)．∵m1，轨迹C是中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆(除去x轴上的两顶点)，其中长轴长为2m，短轴长为2.(2)当m＝2时，曲线C的方程为x22＋y2＝1(x2)．由2x－y＋t＝0，x22＋y2＝1，消去y，得9x2＋8tx＋2t2－2＝0.令＝64t2－362(t2－1)＝0，得t＝3.∵t0，t＝3.此时直线l与曲线C有且只有一个公共点．(3)由(2)知直线l的方程为2x－y＋3＝0，设点P(a,2a＋3)(a2)，d1表示P到点(1,0)的间隔，d2表示P 到直线x＝2的间隔，那么d1＝a－12＋2a＋32＝5a2＋10a＋10，d2＝2－a，d1d2＝5a2＋10a＋102－a＝5a2＋2a＋2a－22.令f(a)＝a2＋2a＋2a－22，那么f(a)＝2a＋2a－22－2a2＋2a＋2a－2a－24＝－6a＋8a－23.令f(a)＝0，得a＝－43.∵当a－43时，f(a)0；当－432时，f(a)0.f(a)在a＝－43时取得最小值，即d1d2取得最小值，d1d2min＝5f－43＝22，又椭圆的离心率为22，d1d2的最小值等于椭圆的离心率．。

解析几何专题练习(带答案)

解析几何专题练习(带答案)

解析几何专题练习一、选择题 1．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k)y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或2 2．过点(2,4)作直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线有 A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条3.双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r ＝A. 3 B ．2 C ．3 D ．6 4．“b a =”是“直线2+=x y 与圆()()222=-+-b x a x 相切”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．椭圆31222yx+=1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上．如果线段PF 1的中点M在y 轴上，那么点M 的纵坐标是A ．±43B ．±23C ．±22D ．±43二、填空题 6.经过圆0222=++yx x 的圆心C ，且与直线x+y=0垂直的直线方程是___ .7.由直线2+=x y 上的点向圆()()22421x y -++= 引切线，则切线长的最小值为___. 8．若双曲线221x ky +=的离心率是2，则实数k 的值是______.9．已知圆C的参数方程为cos ,(1sin .x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数），以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为sin 1ρθ=，则直线l 与圆C的交点的直角坐标为 .10.在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点，下列命题中正确的是__________（写出所有正确命题的编号）.①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点=+不经过任何整点②如果k与b都是无理数，则直线y kx b③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点=+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数④直线y kx b⑤存在恰经过一个整点的直线三、解答题11．在△ABC中，已知点A(5，－2)、B(7,3)，且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上．(1)求点C的坐标；(2)求直线MN的方程．12．求过两点A(1,4)、B(3,2)，且圆心在直线y＝0上的圆的标准方程．并判断点M1(2,3)，M2(2,4)与圆的位置关系．13．已知圆x2＋y2－4ax＋2ay＋20(a－1)＝0.(1)求证对任意实数a，该圆恒过一定点；(2)若该圆与圆x2＋y2＝4相切，求a的值．14．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线方程；(2)过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．15．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF 1⊥MF 2； (3)求△F 1MF 2的面积．16．已知直线l 过点P （1，1）， 并与直线l 1：x －y+3=0和l 2：2x+y －6=0分别交于点A 、B ，若线段AB 被点P 平分，求： （1）直线l 的方程；（2）以O 为圆心且被l 截得的弦长为558的圆的方程．17．已知点A 的坐标为)4,4(-，直线l 的方程为3x ＋y －2＝0，求： （1）点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；… （2）直线l 关于点A 的对称直线l '的方程．18．已知圆221:(4)1Cx y -+=，圆222:(2)1C x y +-=，动点P到圆1C ,2C 上点的距离的最小值相等.】 （1）求点P 的轨迹方程；（2）点P 的轨迹上是否存在点Q ，使得点Q 到点(22,0)A -的距离减去点Q 到点(22,0)B 的距离的差为4，如果存在求出Q 点坐标，如果不存在说明理由.19．已知椭圆1C 、抛物线2C 的焦点均在x 轴上，1C 的中心和2C 的顶点均为原点O ，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：x3-2 42y32--422（1）求12C C 、的标准方程；（2）请问是否存在直线l 满足条件：①过2C 的焦点F ；②与1C 交不同两点,M N 、且满足OM ON ⊥？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．20．已知椭圆()22220y xC a b a b：+＝1＞＞的离心率为63，过右顶点A 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，且(13)B --，.（1）求椭圆C 和直线l 的方程；（2）记曲线C 在直线l 下方的部分与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．若曲线2222440xmx y y m -+++-=与D 有公共点，试求实数m 的最小值．参考答案一、选择题 1—5 CBAAA 二、填空题 6．x-y+1=0 7. 318.13-9. (1,1),(1,1)- 10. ①，③，⑤三、解答题11.解：(1)设点C(x ，y)，由题意得5＋x 2＝0，3＋y2＝0，得x ＝－5，y ＝－3.故所求点C 的坐标是(－5，－3)．(2)点M 的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫0，－52，点N 的坐标是(1,0)，直线MN 的方程是y －0－52－0＝x －10－1， 即5x －2y －5＝0.12. 解：根据圆的标准方程，只要求得圆心坐标和圆的半径即可．因为圆过A 、B 两点，所以圆心在线段AB 的垂直平分线上．由k AB ＝4－21－3＝－1，AB 的中点为(2,3)，故AB 的垂直平分线的方程为y －3＝x －2， 即x －y ＋1＝0.又圆心在直线y ＝0上， 因此圆心坐标是方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0y ＝0的解，即圆心坐标为(－1,0)． 半径r ＝－1－12＋0－42＝20， 所以得所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝20.因为M 1到圆心C(－1,0)的距离为2＋12＋3－02＝18，|M 1C|<r ，所以M 1在圆C 内；而点M 2到圆心C 的距离|M 2C|＝2＋12＋4－02＝25>20，所以M 2在圆C 外．13. 解：(1)将圆的方程整理为(x 2＋y 2－20)＋a(－4x ＋2y ＋20)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－20＝0，－4x ＋2y ＋20＝0可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，所以该圆恒过定点(4，－2)．(2)圆的方程可化为(x －2a)2＋(y ＋a)2＝5a 2－20a ＋20＝5(a －2)2，所以圆心为(2a ，a)，半径为5|a －2|.若两圆外切，则2a －02＋a －02＝2＋5|a －2|，即5|a|＝2＋5|a －2|，由此解得a ＝1＋55.若两圆内切，则2a 2＋a 2＝|2－5|a －2||，即5|a|＝|2－5|a －2||，由此解得a ＝1－55或a ＝1＋55(舍去)．综上所述，两圆相切时，a ＝1－55或a ＝1＋55.14. 解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线x ＝－p 2，于是，4＋p2＝5，∴p ＝2.∴抛物线方程为y 2＝4x.(2)∵点A 的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4)，M(0,2)．又∵F(1,0)，∴k FA ＝43.又MN ⊥FA ，∴k MN ＝－34，则FA 的方程为y ＝43(x －1)，MN 的方程为y －2＝－34x ，解方程组),1(34),432(-=-=-x y x y 得.54),58(==y x ∴N )54,58(. 15. 解：(1)由e ＝2⇒ca＝2⇒c 2＝2a 2⇒a 2＝b 2.设双曲线方程为x 2－y 2＝λ， 将点(4，－10)代入得：λ＝6， 故所求双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)∵c 2＝12，∴焦点坐标为(±23，0) 将M(3，m)代入x 2－y 2＝6得：m 2＝3.当m ＝3时，MF 1→＝(－23－3，－3)， MF2→＝(23－3，－3)∴MF1→·MF 2→＝(－3)2－(23)2＋(－3)2＝0， ∴MF 1⊥MF 2，当m ＝－3时，同理可证MF 1⊥MF 2.(3)S △F 1MF 2＝12·|2c|·|m|＝12·43·3＝6.16. 解：（1）依题意可设A )n ,m (、)n 2,m 2(B --，则 ⎩⎨⎧=--+-=+-06)n 2()m 2(203n m ， ⎩⎨⎧=+-=-023n m n m ，解得1m -=，2n =． 即)2,1(A -，又l 过点P )1,1(，易得AB 方程为03y 2x =-+．（2）设圆的半径为R ，则222)554(d R +=，其中d 为弦心距，53d=，可得5R 2=，故所求圆的方程为5yx22=+．17．解：（1）设点A ′的坐标为（x ′，y ′）。

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解析几何题库一、选择题1.已知圆C 与直线x －y =0 及x －y －4=0都相切，圆心在直线x +y =0上，则圆C 的方程为 A.22(1)(1)2x y ++-= B. 22(1)(1)2x y -++= C.22(1)(1)2x y -+-= D. 22(1)(1)2x y +++=【解析】圆心在x ＋y ＝0上,排除C 、D,再结合图象,或者验证A 、B 中圆心到两直线的距离等于半径2即可. 【答案】B 2.直线1y x =+与圆221x y +=的位置关系为（ ）A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离【解析】圆心(0,0)为到直线1y x =+，即10x y -+=的距离2d ==，而012<<，选B 。

【答案】B 3.圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ）A ．22(2)1xy +-=B ．22(2)1xy ++=C ．22(1)(3)1x y -+-=D ．22(3)1xy +-=解法1（直接法）：设圆心坐标为(0,)b1=，解得2b =，故圆的方程为22(2)1x y +-=。

解法2（数形结合法）：由作图根据点(1,2)到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），故圆的方程为22(2)1x y +-=解法3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支，排除B ，D ，又由于圆心在y 轴上，排除C 。

【答案】A4.点P （4，－2）与圆224x y +=上任一点连续的中点轨迹方程是（ ）A.22(2)(1)1x y -++= B.22(2)(1)4x y -++=C.22(4)(2)4x y ++-=D.22(2)(1)1x y ++-=【解析】设圆上任一点为Q （s ，t ），PQ 的中点为A （x ，y ），解得：⎩⎨⎧+=-=2242y t x s ，代入圆方程，得（2x －4）2＋（2y＋2）2＝4，整理，得：22(2)(1)1x y -++=【答案】A 5.已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l kx k y l k x y -+-+=--+=与平行，则k 得值是（ ）A. 1或3B.1或5C.3或5D.1或2【解析】当k ＝3时，两直线平行，当k ≠3k －3，解得：k ＝5，故选C 。

解析几何练习题及答案

解析几何练习题及答案

解析几何一、选择题1．已知两点A (－3，3)，B (3，－1)，则直线AB 的斜率是( ) B ．－3D ．－33解析：斜率k ＝－1－33－－3＝－33，故选D. 答案：D2．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1D ．－2或1解析：①当a ＝0时，y ＝2不合题意． ②a ≠0，x ＝0时，y ＝2＋a . y ＝0时，x ＝a ＋2a，则a ＋2a＝a ＋2，得a ＝1或a ＝－2.故选D. 答案：D3．两直线3x ＋y －3＝0与6x ＋my ＋1＝0平行，则它们之间的距离为( ) A ．4B ．21313D ．71020解析：把3x ＋y －3＝0转化为6x ＋2y －6＝0， 由两直线平行知m ＝2， 则d ＝|1－－6|62＋22＝71020. 故选D. 答案：D4．(2014皖南八校联考)直线2x －y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( ) A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －5＝0D ．x ＋2y －5＝0解析：由题意可知，直线2x －y ＋1＝0与直线x ＝1的交点为(1,3)，直线2x －y ＋1＝0的倾斜角与所求直线的倾斜角互补，因此它们的斜率互为相反数，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2，故所求直线的斜率为－2，所以所求直线的方程是y －3＝－2(x －1)，即2x ＋y －5＝0.故选C.答案：C5．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2 解析：由题意，可作直线2x ＋3y －6＝0的图象，如图所示，则直线与x 轴、y 轴交点分别为A (3,0)，B (0,2)，又直线l 过定点(0，－3)，由题知直线l 与线段AB 相交(交点不含端点)，从图中可以看出，直线l 的倾斜角的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2.故选B.答案：B6．(2014泰安一模)过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( ) A ．x －2y ＋4＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y ＋3＝0D ．x －2y ＋5＝0解析：直线2x ＋y －5＝0的斜率为k ＝－2， ∴所求直线的斜率为k ′＝12，∴方程为y －3＝12(x －2)，即x －2y ＋4＝0.答案：A 二、填空题7．过点(2,1)且在x 轴上截距与在y 轴上截距之和为6的直线方程为____________． 解析：由题意知截距均不为零． 设直线方程为x a ＋y b＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，2a ＋1b＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝2.故所求直线方程为x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0. 答案：x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝08．(2014湘潭质检)若过点A (－2，m )，B (m,4)的直线与直线2x ＋y ＋2＝0平行，则m 的值为________．解析：∵过点A ，B 的直线平行于直线2x ＋y ＋2＝0， ∴k AB ＝4－m m ＋2＝－2，解得m ＝－8.答案：－89．若过点P (1－a,1＋a )与Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________．解析：由直线PQ 的倾斜角为钝角，可知其斜率k <0， 即2a －1＋a 3－1－a <0，化简得a －1a ＋2<0，∴－2<a <1.答案：(－2,1)10．已知k ∈R ，则直线kx ＋(1－k )y ＋3＝0经过的定点坐标是________． 解析：令k ＝0，得y ＋3＝0，令k ＝1，得x ＋3＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＋3＝0，x ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－3，所以定点坐标为(－3，－3)． 答案：(－3，－3) 三、解答题11．已知两直线l 1：x ＋y sin α－1＝0和l 2：2x sin α＋y ＋1＝0，试求α的值，使(1)l 1∥l 2；(2)l 1⊥l 2.解：(1)法一 当sin α＝0时，直线l 1的斜率不存在，l 2的斜率为0，显然l 1不平行于l 2.当sin α≠0时，k 1＝－1sin α，k 2＝－2sin α.要使l 1∥l 2，需－1sin α＝－2sin α，即sin α＝±22，∴α＝k π±π4，k ∈Z . 故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.法二 由l 1∥l 2，得⎩⎪⎨⎪⎧2sin 2α－1＝0，1＋sin α≠0，∴sin α＝±22， ∴α＝k π±π4，k ∈Z .故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.(2)∵l 1⊥l 2，∴2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0. ∴α＝k π，k ∈Z . 故当α＝k π，k ∈Z 时，l 1⊥l 2.12．设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0. (1)证明l 1与l 2相交；(2)证明l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．证明：(1)假设l 1与l 2不相交，则l 1∥l 2即k 1＝k 2，代入k 1k 2＋2＝0，得k 21＋2＝0，这与k 1为实数的事实相矛盾，从而k 1≠k 2，即l 1与l 2相交．(2)法一 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋1，y ＝k 2x －1解得交点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2k 2－k 1，k 2＋k 1k 2－k 1，而2x 2＋y 2＝2⎝⎛⎭⎪⎫2k 2－k 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋k 1k 2－k 12＝8＋k 22＋k 21＋2k 1k 2k 22＋k 21－2k 1k 2＝k 21＋k 22＋4k 21＋k 22＋4＝1.即P (x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1上． 即l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．法二 交点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k 1x ，y ＋1＝k 2x ，故知x ≠0.从而⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝y －1x ，k 2＝y ＋1x .代入k 1k 2＋2＝0，得y －1x ·y ＋1x＋2＝0， 整理后，得2x 2＋y 2＝1.所以交点P 在椭圆2x 2＋y 2＝1上．第八篇 第2节一、选择题1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( )A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1解析：由题意，设圆心(0，t)，则12＋t－22＝1，得t＝2，所以圆的方程为x2＋(y－2)2＝1，故选A.答案：A2．(2014郑州模拟)动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为( )A．x2＋y2＝32 B．x2＋y2＝16C．(x－1)2＋y2＝16 D．x2＋(y－1)2＝16解析：设P(x，y)，则由题意可得2x－22＋y2＝x－82＋y2，化简整理得x2＋y2＝16，故选B.答案：B3．(2012年高考陕西卷)已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则( ) A．l与C相交B．l与C相切C．l与C相离D．以上三个选项均有可能解析：x2＋y2－4x＝0是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，而点P(3,0)到圆心的距离为d＝3－22＋0－02＝1<2，点P(3,0)恒在圆内，过点P(3,0)不管怎么样画直线，都与圆相交．故选A.答案：A4．(2012年高考辽宁卷)将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是( )A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0解析：由题知圆心在直线上，因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选项C符合，故选C.答案：C5．(2013年高考广东卷)垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第一象限的直线方程是( )A．x＋y－2＝0 B．x＋y＋1＝0C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋2＝0解析：与直线y＝x＋1垂直的直线方程可设为x＋y＋b＝0，由x＋y＋b＝0与圆x2＋y2＝1相切，可得|b|12＋12＝1，故b＝± 2.因为直线与圆相切于第一象限，故结合图形分析知b ＝－2，则直线方程为x ＋y －2＝0.故选A.答案：A6．(2012年高考福建卷)直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长度等于( )A ．2 5B ．23D ．1解析：因为圆心到直线x ＋3y －2＝0的距离d ＝|0＋3×0－2|12＋32＝1，半径r ＝2， 所以弦长|AB |＝222－12＝2 3. 故选B. 答案：B 二、填空题7．(2013年高考浙江卷)直线y ＝2x ＋3被圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0所截得的弦长等于________．解析：圆的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25， 故圆心为(3,4)，半径r ＝5. 又直线方程为2x －y ＋3＝0， ∴圆心到直线的距离为d ＝|2×3－4＋3|4＋1＝5，∴弦长为2×25－5＝220＝4 5. 答案：458．已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2，则圆C 上各点到l 的距离的最小值为________．解析：因为圆C 的圆心(1,1)到直线l 的距离为d ＝|1－1＋4|12＋－12＝22，又圆半径r ＝ 2.所以圆C 上各点到直线l 的距离的最小值为d －r ＝ 2. 答案：29．已知圆C 的圆心在直线3x －y ＝0上，半径为1且与直线4x －3y ＝0相切，则圆C 的标准方程是________．解析：∵圆C 的圆心在直线3x －y ＝0上， ∴设圆心C (m,3m )．又圆C 的半径为1，且与4x －3y ＝0相切，∴|4m －9m |5＝1， ∴m ＝±1，∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝1. 答案：(x －1)2＋(y －3)2＝1或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝110．圆(x －2)2＋(y －3)2＝1关于直线l ：x ＋y －3＝0对称的圆的方程为________． 解析：已知圆的圆心为(2,3)，半径为1.则对称圆的圆心与(2,3)关于直线l 对称，由数形结合得，对称圆的圆心为(0,1)，半径为1，故方程为x 2＋(y －1)2＝1.答案：x 2＋(y －1)2＝1 三、解答题11．已知圆C ：x 2＋(y －2)2＝5，直线l ：mx －y ＋1＝0. (1)求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点；(2)若圆C 与直线相交于点A 和点B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程．(1)证明：法一 直线方程与圆的方程联立，消去y 得(m 2＋1)x 2－2mx －4＝0， ∵Δ＝4m 2＋16(m 2＋1)＝20m 2＋16>0， ∴对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点．法二 直线l ：mx －y ＋1恒过定点(0,1)，且点(0,1)在圆C ：x 2＋(y －2)2＝5内部， ∴对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点． (2)解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x ，y )， 由方程(m 2＋1)x 2－2mx －4＝0， 得x 1＋x 2＝2mm 2＋1， ∴x ＝mm 2＋1.当x ＝0时m ＝0，点M (0,1)， 当x ≠0时，由mx －y ＋1＝0，得m ＝y －1x， 代入x ＝mm 2＋1，得x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫y －1x 2＋1＝y －1x ， 化简得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝14.经验证(0,1)也符合，∴弦AB 的中点M 的轨迹方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝14.12．已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切， 则有|4＋2a |a 2＋1＝2.解得a ＝－34.(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧|CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝22，|DA |＝12|AB |＝2，解得a ＝－7，或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.第八篇 第3节一、选择题1．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点．若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10解析：由方程知a ＝5，根据椭圆定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.故选D. 答案：D2．(2014唐山二模)P 为椭圆x 24＋y 23＝1上一点，F 1，F 2为该椭圆的两个焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则PF 1→·PF 2→等于( )A ．3B ．3C ．2 3D ．2解析：由椭圆方程知a ＝2，b ＝3，c ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝4，|PF 1|2＋|PF 2|2－4＝2|PF 1||PF 2|cos 60°∴|PF 1||PF 2|＝4.∴PF 1→·PF 2→＝|PF 1→||PF 2→|cos 60°＝4×12＝2.3．(2012年高考江西卷)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )B ．55D ．5－2解析：本题考查椭圆的性质与等比数列的综合运用． 由椭圆的性质可知|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ， |F 1B |＝a ＋c ，又|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列， 故(a －c )(a ＋c )＝(2c )2， 可得e ＝c a ＝55.故应选B. 答案：B4．(2013年高考辽宁卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为( )B ．57D ．67解析：|AF |2＝|AB |2＋|BF |2－2|AB ||BF |cos ∠ABF ＝100＋64－2×10×8×45＝36，则|AF |＝6，∠AFB ＝90°， 半焦距c ＝|FO |＝12|AB |＝5，设椭圆右焦点F 2， 连结AF 2，由对称性知|AF 2|＝|FB |＝8， 2a ＝|AF 2|＋|AF |＝6＋8＝14， 即a ＝7，则e ＝c a ＝57.故选B.5．已知椭圆E ：x 2m ＋y 24＝1，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 截得的弦长与l ：y ＝kx ＋1被椭圆E 截得的弦长不可能相等的是( )A ．kx ＋y ＋k ＝0B ．kx －y －1＝0C ．kx ＋y －k ＝0D ．kx ＋y －2＝0解析：取k ＝1时，l ：y ＝x ＋1.选项A 中直线：y ＝－x －1与l 关于x 轴对称，截得弦长相等． 选项B 中直线：y ＝x －1与l 关于原点对称，所截弦长相等． 选项C 中直线：y ＝－x ＋1与l 关于y 轴对称，截得弦长相等． 排除选项A 、B 、C ，故选D. 答案：D6．(2014山东省实验中学第二次诊断)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若椭圆上存在点P ，使asin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1，则该椭圆的离心率的取值范围为( )A ．(0，2－1)B ．⎝⎛⎭⎪⎫22，1D ．(2－1,1)解析：由题意知点P 不在x 轴上， 在△PF 1F 2中，由正弦定理得 |PF 2|sin ∠PF 1F 2＝|PF 1|sin ∠PF 2F 1，所以由a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1可得a |PF 2|＝c|PF 1|，即|PF 1||PF 2|＝ca＝e ， 所以|PF 1|＝e |PF 2|.由椭圆定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， 所以e |PF 2|＋|PF 2|＝2a ， 解得|PF 2|＝2a e ＋1. 由于a －c <|PF 2|<a ＋c ，所以有a －c <2ae ＋1<a ＋c ， 即1－e <2e ＋1<1＋e ， 也就是⎩⎪⎨⎪⎧1－e 1＋e <2，2<1＋e2，解得2－1<e . 又0<e <1，∴2－1<e <1.故选D. 答案：D 二、填空题7．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点距离为________．解析：∵|OM |＝3，∴|PF 2|＝6， 又|PF 1|＋|PF 2|＝10， ∴|PF 1|＝4. 答案：48．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF 1垂直于x 轴，则椭圆的离心率为________．解析：不妨设|F 1F 2|＝1， ∵直线MF 2的倾斜角为120°， ∴∠MF 2F 1＝60°.∴|MF 2|＝2，|MF 1|＝3，2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝2＋3， 2c ＝|F 1F 2|＝1. ∴e ＝c a＝2－ 3. 答案：2－39．(2014西安模拟)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________________．解析：由题意可设椭圆方程为y 225－m ＋x 29－m＝1(m <9)， 代入点(3，－5)，得525－m ＋39－m＝1， 解得m ＝5或m ＝21(舍去)， ∴椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.答案：y 220＋x 24＝110．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，∴(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2， 即4a 2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2， ∴|PF 1||PF 2|＝2b 2，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝b 2＝9，∴b ＝3. 答案：3 三、解答题11．(2012年高考广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0，1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．解：(1)由椭圆C 1的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝1，b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝1.故椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意分析，直线l 斜率存在且不为0， 设其方程为y ＝kx ＋b ， 由直线l 与抛物线C 2相切得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝4x ，消y 得k 2x 2＋(2bk －4)x ＋b 2＝0，Δ1＝(2bk －4)2－4k 2b 2＝0，化简得kb ＝1. ①由直线l 与椭圆C 1相切得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 22＋y 2＝1，消y 得(2k 2＋1)x 2＋4bkx ＋2b 2－2＝0，Δ2＝(4bk )2－4(2k 2＋1)(2b 2－2)＝0，化简得2k 2＝b 2－1.②①②联立得⎩⎪⎨⎪⎧kb ＝1，2k 2＝b 2－1，解得b 4－b 2－2＝0， ∴b 2＝2或b 2＝－1(舍去)， ∴b ＝2时，k ＝22，b ＝－2时，k ＝－22. 即直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2. 12．(2014海淀三模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60°的菱形的四个顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝kx 交椭圆C 于A ，B 两点，在直线l ：x ＋y －3＝0上存在点P ，使得△PAB 为等边三角形，求k 的值．解：(1)因为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60°的菱形的四个顶点．所以a ＝3，b ＝1， 椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，则B (－x 1，－y 1)，当直线AB 的斜率为0时，AB 的垂直平分线就是y 轴，y 轴与直线l ：x ＋y －3＝0的交点为P (0,3)，又因为|AB |＝23，|PO |＝3， 所以∠PAO ＝60°， 所以△PAB 是等边三角形， 所以直线AB 的方程为y ＝0，当直线AB 的斜率存在且不为0时， 则直线AB 的方程为y ＝kx ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 2＝1，y ＝kx ，化简得(3k 2＋1)x 2＝3， 所以|x 1|＝33k 2＋1， 则|AO |＝1＋k233k 2＋1＝3k 2＋33k 2＋1. 设AB 的垂直平分线为y ＝－1kx ，它与直线l ：x ＋y －3＝0的交点记为P (x 0，y 0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋3，y ＝－1k x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3k k －1，y 0＝－3k －1.则|PO |＝9k 2＋9k －12，因为△PAB 为等边三角形， 所以应有|PO |＝3|AO |， 代入得9k 2＋9k －12＝33k 2＋33k 2＋1， 解得k ＝0(舍去)，k ＝－1. 综上，k ＝0或k ＝－1.第八篇 第4节一、选择题1．设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左右两个焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|等于( )A ．1B ．17C ．1或17D ．以上答案均不对解析：由双曲线定义||PF 1|－|PF 2||＝8， 又|PF 1|＝9，∴|PF 2|＝1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c －a ＝6－4＝2>1， ∴|PF 2|＝17. 故选B. 答案：B2．(2013年高考湖北卷)已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2sin 2θ－y 2cos 2θ＝1与C 2：y2cos 2θ－x 2sin 2θ＝1的( ) A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．离心率相等D ．焦距相等解析：双曲线C 1的半焦距c 1＝sin 2θ＋cos 2θ＝1，双曲线C 2的半焦距c 2＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，故选D. 答案：D3．(2012年高考湖南卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )－y 25＝1 B ．x 25－y 220＝1－y 220＝1 D ．x 220－y 280＝1 解析：由焦距为10，知2c ＝10，c ＝5. 将P (2,1)代入y ＝b ax 得a ＝2b .a 2＋b 2＝c 2,5b 2＝25，b 2＝5，a 2＝4b 2＝20，所以方程为x 220－y 25＝1.故选A.答案：A4．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2等于( )B ．35D ．45解析：∵c 2＝2＋2＝4，∴c ＝2,2c ＝|F 1F 2|＝4，由题可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， |PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 2|＝22，|PF 1|＝42， 由余弦定理可知cos ∠F 1PF 2＝422＋222－422×42×22＝34.故选C. 答案：C5．设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( )－y 232＝1 B ．x 2132－y 252＝1 －y 242＝1 D ．x 2132－y 2122＝1 解析：在椭圆C 1中，因为e ＝513，2a ＝26，即a ＝13，所以椭圆的焦距2c ＝10， 则椭圆两焦点为(－5,0)，(5,0)， 根据题意，可知曲线C 2为双曲线， 根据双曲线的定义可知， 双曲线C 2中的2a 2＝8， 焦距与椭圆的焦距相同， 即2c 2＝10， 可知b 2＝3，所以双曲线的标准方程为x 242－y 232＝1.故选A.答案：A6．(2014福州八中模拟)若双曲线x 29－y 216＝1渐近线上的一个动点P 总在平面区域(x －m )2＋y 2≥16内，则实数m 的取值范围是( )A ．[－3,3]B ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C ．[－5,5]D ．(－∞，－5]∪[5，＋∞)解析：因为双曲线x 29－y 216＝1渐近线4x ±3y ＝0上的一个动点P 总在平面区域(x －m )2＋y 2≥16内，即直线与圆相离或相切，所以d ＝|4m |5≥4，解得m ≥5或m ≤－5，故实数m的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．选D.答案：D 二、填空题7．(2013年高考辽宁卷)已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．解析：由题知，双曲线中a ＝3，b ＝4，c ＝5， 则|PQ |＝16，又因为|PF |－|PA |＝6， |QF |－|QA |＝6，所以|PF |＋|QF |－|PQ |＝12， |PF |＋|QF |＝28， 则△PQF 的周长为44. 答案：448．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，且它的一个顶点到较近焦点的距离为1，则双曲线C 的方程为________．解析：双曲线中，顶点与较近焦点距离为c －a ＝1， 又e ＝c a＝2，两式联立得a ＝1，c ＝2， ∴b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3，∴方程为x 2－y 23＝1.答案：x 2－y 23＝19．(2014合肥市第三次质检)已知点P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2的一个交点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，则该双曲线的离心率为________．解析：依题意得，线段F 1F 2是圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2的一条直径， 故∠F 1PF 2＝90°，∠PF 1F 2＝30°， 设|PF 2|＝m ，则有|F 1F 2|＝2m ，|PF 1|＝3m ， 该双曲线的离心率等于|F 1F 2|||PF 1|－|PF 2||＝2m3m －m＝3＋1.答案：3＋110．(2013年高考湖南卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点．若在C 上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．解析：设点P 在双曲线右支上， 由题意，在Rt △F 1PF 2中， |F 1F 2|＝2c ，∠PF 1F 2＝30°， 得|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3c ， 根据双曲线的定义：|PF 1|－|PF 2|＝2a ，(3－1)c ＝2a ，e ＝c a ＝23－1＝3＋1. 答案：3＋1 三、解答题11．已知双曲线x 2－y 22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A 、B 两点，且点P 是线段AB 的中点？解：法一 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上， 且线段AB 的中点为(x 0，y 0)，若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意． 设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)， 即y ＝kx ＋1－k .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1－k ，x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2－2k (1－k )x －(1－k )2－2 ＝0(2－k 2≠0)． ①∴x 0＝x 1＋x 22＝k 1－k2－k2. 由题意，得k 1－k2－k2＝1， 解得k ＝2.当k ＝2时，方程①成为2x 2－4x ＋3＝0.Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．∴不能作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P (1,1)是线段AB 的中点．法二 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 若直线l 的斜率不存在， 即x 1＝x 2不符合题意，所以由题得x 21－y 212＝1，x 22－y 222＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－y 1＋y 2y 1－y 22＝0，即2－y 1－y 2x 1－x 2＝0， 即直线l 斜率k ＝2，得直线l 方程y －1＝2(x －1)， 即y ＝2x －1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x 2－y 22＝1得2x 2－4x ＋3＝0，Δ＝16－24＝－8<0，即直线y ＝2x －1与双曲线无交点，即所求直线不合题意， 所以过点P (1,1)的直线l 不存在．12．(2014南京质检)中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值． 解：(1)由已知c ＝13，设椭圆长、短半轴长分别为a 、b ， 双曲线实半轴、虚半轴长分别为m 、n ，则⎩⎪⎨⎪⎧a －m ＝4，7·13a ＝3·13m ，解得a ＝7，m ＝3.∴b ＝6，n ＝2. ∴椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1.(2)不妨设F 1、F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则|PF 1|＋|PF 2|＝14， |PF 1|－|PF 2|＝6， ∴|PF 1|＝10，|PF 2|＝4. 又|F 1F 2|＝213，∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝102＋42－21322×10×4＝45.第八篇 第5节一、选择题1．(2014银川模拟)抛物线y ＝2x 2的焦点坐标为( ) B ．(1,0)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 解析：抛物线y ＝2x 2，即其标准方程为x 2＝12y ，它的焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18.故选C.答案：C2．抛物线的焦点为椭圆x 24＋y 29＝1的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为( )A ．x 2＝－45y B ．y 2＝－45x C ．x 2＝－413yD ．y 2＝－413x解析：由椭圆方程知，a 2＝9，b 2＝4，焦点在y 轴上，下焦点坐标为(0，－c )，其中c ＝a 2－b 2＝5，∴抛物线焦点坐标为(0，－5)， ∴抛物线方程为x 2＝－45y .故选A. 答案：A3．已知抛物线y 2＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交 C ．相切D ．不确定解析：如图所示，设抛物线焦点弦为AB ，中点为M ，准线为l ，A 1、B 1分别为A 、B 在直线l 上的射影，则|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，于是M 到l 的距离d ＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |，故圆与抛物线准线相切．故选C.答案：C4．(2014洛阳高三统一考试)已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AF |＝3|BF |，则线段AB 的中点到该抛物线准线的距离为( )B ．83D ．10解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 其中x 1>0，x 2>0，过A ，B 两点的直线方程为x ＝my ＋1， 将x ＝my ＋1与y 2＝4x 联立得y 2－4my －4＝0，y 1y 2＝－4，则由⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝3x 2＋1，x 1x 2＝y 214·y 224＝y 1y 2216＝1，解得x 1＝3，x 2＝13，故线段AB 的中点到该抛物线的准线x ＝－1的距离等于x 1＋x 22＋1＝83.故选B.答案：B5．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )B ．1D ．74解析：∵|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋12＝3，∴x A ＋x B ＝52.∴线段AB 的中点到y 轴的距离为x A ＋x B 2＝54. 故选C. 答案：C6．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：∵x 2＝8y ，∴焦点F 的坐标为(0,2)， 准线方程为y ＝－2.由抛物线的定义知|MF |＝y 0＋2.以F 为圆心、|FM |为半径的圆的标准方程为x 2＋(y －2)2＝(y 0＋2)2.由于以F 为圆心、|FM |为半径的圆与准线相交，又圆心F 到准线的距离为4， 故4<y 0＋2，∴y 0>2.故选C. 答案：C 二、填空题7．动直线l 的倾斜角为60°，且与抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点，若A ，B 两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为________．解析：设直线l 的方程为y ＝3x ＋b ， 联立⎩⎨⎧y ＝3x ＋b ，x 2＝2py消去y ，得x 2＝2p (3x ＋b )， 即x 2－23px －2pb ＝0， ∴x 1＋x 2＝23p ＝3， ∴p ＝32，则抛物线的方程为x 2＝3y . 答案：x 2＝3y8．以抛物线x 2＝16y 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为________． 解析：抛物线的焦点为F (0,4)，准线为y ＝－4，则圆心为(0,4)，半径r ＝8. 所以，圆的方程为x 2＋(y －4)2＝64. 答案：x 2＋(y －4)2＝649．(2012年高考北京卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．解析：∵抛物线y 2＝4x ， ∴焦点F 的坐标为(1,0)． 又∵直线l 倾斜角为60°， ∴直线斜率为3，∴直线方程为y ＝3(x －1)．联立方程⎩⎨⎧y ＝3x －1，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝13，y 1＝－233，或⎩⎨⎧x 2＝3，y 2＝23，由已知得A 的坐标为(3,23)， ∴S △OAF ＝12|OF |·|y A |＝12×1×23＝ 3.答案：310．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4，则|PA |＋|PM |的最小值是________．解析：设点M 在抛物线的准线上的射影为M ′.由已知可得抛物线的准线方程为x ＝－12，焦点F 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0. 求|PA |＋|PM |的最小值，可先求|PA |＋|PM ′|的最小值． 由抛物线的定义可知，|PM ′|＝|PF |，所以|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PM ′|，当点A 、P 、F 在一条直线上时， |PA |＋|PF |有最小值|AF |＝5， 所以|PA |＋|PM ′|≥5， 又因为|PM ′|＝|PM |＋12，所以|PA |＋|PM |≥5－12＝92.答案：92三、解答题11．若抛物线y ＝2x 2上的两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)关于直线l ：y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－12，求实数m 的值．解：法一 如图所示，连接AB ， ∵A 、B 两点关于直线l 对称，∴AB ⊥l ，且AB 中点M (x 0，y 0)在直线l 上． 可设l AB ：y ＝－x ＋n ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋n ，y ＝2x 2，得2x 2＋x －n ＝0，∴x 1＋x 2＝－12，x 1x 2＝－n 2.由x 1x 2＝－12，得n ＝1.又x 0＝x 1＋x 22＝－14， y 0＝－x 0＋n ＝14＋1＝54，即点M 为⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，54， 由点M 在直线l 上，得54＝－14＋m ，∴m ＝32.法二 ∵A 、B 两点在抛物线y ＝2x 2上．∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝2x 21，y 2＝2x 22，∴y 1－y 2＝2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)． 设AB 中点M (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝2x 0，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4x 0. 又AB ⊥l ，∴k AB ＝－1，从而x 0＝－14.又点M 在l 上， ∴y 0＝x 0＋m ＝m －14，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，m －14，∴AB 的方程是y －⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋14，即y ＝－x ＋m －12，代入y ＝2x 2，得2x 2＋x －⎝ ⎛⎭⎪⎫m －12＝0，∴x 1x 2＝－m －122＝－12，∴m ＝32.12．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值． 解：(1)直线AB 的方程是y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4知4x 2－5px ＋p 2＝0可化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)．设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42) ＝(4λ＋1,42λ－22)， 即C (4λ＋1,42λ－22)， 所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)， 即(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2.。

解析几何专项训练试题答案

解析几何专项训练试题答案

解析几何专项训练试题答案一、选择题1. 若点A(2,3)关于直线x=3的对称点为A'，则A'的坐标为：A. (4,3)B. (2,3)C. (1,3)D. (5,3)答案：D解析：点A(2,3)关于直线x=3的对称点A'的横坐标为3-(2-3)=4，纵坐标不变，因此A'的坐标为(4,3)。

2. 已知圆的标准方程为$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，则其圆心坐标为：A. (a, b)B. (a, r)C. (b, r)D. (r, a)答案：A解析：根据圆的标准方程$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，可知圆心坐标为(a, b)。

3. 直线2x-3y=6的斜率为：A. 2/3B. -2/3C. 3/2D. -3/2答案：B解析：直线方程2x-3y=6可以转化为y=(2/3)x-2，其斜率为2/3，因此答案为-2/3。

4. 已知三角形ABC的三个顶点分别为A(1,2)，B(4,6)，C(7,2)，求三角形ABC的面积。

A. 4B. 6C. 8D. 10答案：C解析：首先计算线段AB和AC的斜率，分别为1和-1，说明AB和AC 垂直。

然后计算AB的长度为3，由于AC与AB垂直，所以三角形ABC 为直角三角形，其面积为1/2 * AB长度 * BC长度 = 1/2 * 3 * 5 = 7.5。

选项中没有7.5，但最接近的是8，因此选择C。

5. 已知椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，则其焦点坐标为：A. (a, 0)B. (0, b)C. (a, b)D. (0, 0)答案：D解析：椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其焦点位于y轴上，且焦距为2c，因此焦点坐标为(0, c)或(0, -c)。

由于题目未给出具体数值，无法确定c的值，但焦点坐标的形式为(0, c)，因此答案为D。

《解析几何》测试试题及答案

《解析几何》测试试题及答案

《解析几何》测试试题及答案(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若双曲线C ：x 2m－y 2＝1(m >0)的一条渐近线的方程为3x ＋2y ＝0，则m ＝( )A.49B.94C.23D.32解析 由题意知，双曲线的渐近线方程为y ＝±1mx (m >0).3x ＋2y ＝0可化为 y ＝－32x ，所以1m ＝32，解得m ＝49.故选A.答案 A2.若圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋a ＝0与x 轴、y 轴均有公共点，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，1] B.(－∞，0] C.[0，＋∞)D.[5，＋∞)解析 将圆的一般方程化作标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝5－a ，则该圆的圆心坐标为(2，－1)，半径r ＝5－a .因为该圆与x 轴、y 轴均有公共点，所以⎩⎨⎧2≤5－a ，1≤5－a ，5－a >0，解得a ≤1，则实数a 的取值范围是(－∞，1].故选A. 答案 A3.已知P 为圆C ：(x －5)2＋y 2＝36上任意一点，A (－5，0).若线段PA 的垂直平分线交直线PC 于点Q ，则点Q 的轨迹方程为( )A.x 29＋y 216＝1B.x 29－y 216＝1C.x 29－y 216＝1(x <0) D.x 29－y 216＝1(x >0) 解析 如图，由题意知|QA |＝|QP |，||QA |－|QC ||＝||QP |－|QC ||＝|PC |＝6<|AC |＝10，所以动点Q 的轨迹是以A ，C 为焦点的双曲线，其方程为x 29－y 216＝1.故选B.答案 B4.仿照“Dandelin 双球”模型，人们借助圆柱内的两个内切球完美地证明了平面截圆柱的截面为椭圆面.如图，底面半径为1的圆柱内两个内切球球心距离为4，现用与两球都相切的平面截圆柱所得到的截面边缘线是一椭圆，则该椭圆的离心率为( )A.12B.33C.22D.32解析 由题意可知椭圆的长轴与两球心连线的夹角为30°，所以椭圆的长轴2a ＝2sin 30°＝4，a ＝2，椭圆的短轴长等于球的直径，所以b ＝1，c ＝3，e ＝c a ＝32，故选D. 答案 D5.已知点P 在圆C ：x 2＋(y －2)2＝1上，点Q 在直线l ：x －2y ＋1＝0上，且点Q 的横坐标x ∈[－1，a ).若|PQ |既有最大值又有最小值，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤35，115B.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，＋∞C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤35，115D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫35，＋∞ 解析 如图，直线l ：x －2y ＋1＝0与x 轴交于点Q 1(－1，0).连接Q 1C 并延长，交圆C 于点P 1.过点C 作CQ 2⊥直线l 于点Q 2，交圆C 于点P 2，则|P 2Q 2|为|PQ |的最小值.易知直线CQ 2：y＝－2x ＋2.设Q 2(x 2，y 2)，联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋2，x －2y ＋1＝0，解得x 2＝35，∴a >35.设点Q 3(x 3，y 3).为点Q 1关于点Q 2的对称点，则x 3＝115.当a >115时，|PQ |无法取到最大值，当35<a ≤115时，|PQ |的最大值为|P 1Q 1|，∴35<a ≤115.故选A.答案 A6.已知直线y ＝k (x －1)与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，直线y ＝2k (x －2)与抛物线D ：y 2＝8x 交于M ，N 两点，设λ＝|AB |－2|MN |，则( )A.λ<－16B.λ＝－16C.－12<λ<0D.λ＝－12解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k 2.因为直线y ＝k (x －1)经过抛物线C 的焦点，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4＋4k2.同理可得|MN |＝8＋2k 2.所以λ＝4＋4k2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋2k 2＝4－16＝－12.故选D.答案 D7.圆C ：x 2＋y 2－10y ＋16＝0上有且仅有两点到双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是( ) A.(2，5)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫53，52 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫54，52D.(5，2＋1)解析 双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线方程为bx －ay ＝0，圆C ：x 2＋y 2－10y ＋16＝0的圆心坐标为(0，5)，半径为3.因为圆C 上有且仅有两点到直线bx －ay ＝0的距离为1，所以圆心(0，5)到直线bx －ay ＝0的距离d 的范围为2<d <4，即2<5aa 2＋b2<4.又a 2＋b 2＝c 2，所以2<5a c<4，即54<e <52.故选C.答案 C8.如图，已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P (x 0，23)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0>p 2是抛物线C 上一点.以P 为圆心的圆与线段PF 交于点Q ，与过焦点F 且垂直于x 轴的直线交于点A ，B ，|AB |＝|PQ |，直线PF 与抛物线C 的另一交点为M .若|PF |＝3|PQ |，则|PQ ||FM |＝( )A.1B. 3C.2D. 5解析 如图，连接PA ，PB .因为|AB |＝|PQ |，所以△PAB 是正三角形.又x 0>p 2，所以x 0－p 2＝32|PQ |.又因为|PF |＝x 0＋p 2＝3|PQ |，所以x 0＝3p 2.所以点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3p 2，23，所以(23)2＝2p ·3p 2.因为p >0，所以p ＝2.所以F (1，0)，P (3，23)，所以|PQ |＝33|PF |＝33·（23－0）2＋（3－1）2＝433，抛物线C 的方程为y 2＝4x ，直线PF 的方程为y ＝3(x －1).由⎩⎨⎧y ＝3（x －1），y 2＝4x ，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－233，所以|FM |＝13＋1＝43，所以|PQ ||FM |＝ 3.故选B. 答案 B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.过点P (2，2)作圆C ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r >0)的两条切线，切点分别为A ，B ，下列说法正确的是( ) A.0<r <2 2B.若△PAB 为直角三角形，则r ＝4C.△PAB 外接圆的方程为x 2＋y 2＝4D.直线AB 的方程为4x ＋4y ＋16－r 2＝0解析 因为过点P (2，2)作圆C ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r >0)的切线有两条，则点P 在圆C 外，则r <|PC |＝42，故A 错误；若△PAB 为直角三角形，则四边形PACB 为正方形，则2r ＝|PC |＝42，解得r ＝4，故B 正确；由PA ⊥CA ，PB ⊥CB ，可得点P ，A ，C ，B 共圆，所以△PAB 的外接圆就是以PC 为直径的圆，即x 2＋y 2＝8，故C 错误；将(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2与x 2＋y2＝8相减即得直线AB 的方程，所以直线AB 的方程为4x ＋4y ＋16－r 2＝0，所以D 正确.故选BD. 答案 BD10.已知双曲线x 24－y 22＝sin 2θ(θ≠k π，k ∈Z )，则不因θ改变而变化的是( )A.焦距B.离心率C.顶点坐标D.渐近线方程解析 由题意，得双曲线的标准方程为x 24sin 2θ－y 22sin 2θ＝1，则a ＝2|sin θ|， b ＝2|sin θ|，则c ＝a 2＋b 2＝6|sin θ|，则双曲线的焦距为2c ＝26|sin θ|，顶点坐标为(±2|sin θ|，0)，离心率为e ＝c a ＝62，渐近线方程为y ＝±22x .所以不因θ改变而变化的是离心率、渐近线方程.故选BD. 答案 BD11.设P 是椭圆C ：x 22＋y 2＝1上任意一点，F 1，F 2是椭圆C 的左、右焦点，则( )A.|PF 1|＋|PF 2|＝2 2B.－2<|PF 1|－|PF 2|<2C.1≤|PF 1|·|PF 2|≤2D.0≤PF 1→·PF 2→≤1解析 椭圆C 的长轴长为22，根据椭圆的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝22，故A 正确；||PF 1|－|PF 2||≤|F 1F 2|＝22－1＝2，所以－2≤|PF 1|－|PF 2|≤2，B 错误；|PF 1|·|PF 2|＝14[(|PF 1|＋|PF 2|)2－(|PF 1|－|PF 2|)2]，而0≤(|PF 1|－|PF 2|)2≤4，所以1≤|PF 1|·|PF 2|≤2，C 正确；PF 1→·PF 2→＝(OF 1→－OP →)·(OF 2→－OP →)＝OF 1→·OF 2→－OP →·(OF 1→＋OF 2→)＋|OP →|2＝|OP →|2－1，根据椭圆性质有1≤|OP |≤2，所以0≤PF 1→·PF 2→＝|OP →|2－1≤1，D 正确.故选ACD.答案ACD12.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l.设l与x轴的交点为K，P为C上异于O的任意一点，P在l上的射影为E，∠EPF的外角平分线交x 轴于点Q，过点Q作QN⊥PE交EP的延长线于点N，作QM⊥PF交线段PF于点M，则( )A.|PE|＝|PF|B.|PF|＝|QF|C.|PN|＝|MF|D.|PN|＝|KF|解析由抛物线的定义，得|PE|＝|PF|，A正确；∵PN∥QF，PQ是∠FPN的平分线，∴∠FQP ＝∠NPQ＝∠FPQ，∴|PF|＝|QF|，B正确；若|PN|＝|MF|，则由PQ是∠FPN的平分线，QN⊥PE，QM⊥PF，得|QM|＝|QN|，从而有|PM|＝|PN|，于是有|PM|＝|FM|，则有|QP|＝|QF|，∴△PFQ为等边三角形，∠FPQ＝60°，也即有∠FPE＝60°，这只是在特殊位置才有可能，因此C错误；连接EF，如图，由选项A、B知|PE|＝|QF|，又PE∥QF，∴EPQF是平行四边形，∴|EF|＝|PQ|，∴△EKF≌△QNP，∴|KF|＝|PN|，D正确.故选ABD.答案ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知以x±2y＝0为渐近线的双曲线经过点(4，1)，则该双曲线的标准方程为________. 解析由题知，双曲线的渐近线方程为x±2y＝0，设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0).因为点(4，1)在双曲线上，所以λ＝42－4＝12，所以双曲线的标准方程为x212－y23＝1.答案x212－y23＝114.已知点A(－5，0)，B(－1，－3)，若圆x2＋y2＝r2(r>0)上恰有两点M，N，使得△MAB和△NAB的面积均为5，则r的取值范围是________.解析由题意可得|AB|＝（－1＋5）2＋（－3－0）2＝5，根据△MAB和△NAB的面积均为5可得M ，N 到直线AB 的距离均为2，由于直线AB 的方程为y －0－3－0＝x ＋5－1＋5，即3x ＋4y ＋15＝0，若圆上只有一个点到直线AB 的距离为2，则圆心到直线AB 的距离为|0＋0＋15|9＋16＝r ＋2，解得r ＝1，若圆上只有3个点到直线AB 的距离为2，则圆心到直线AB 的距离为|0＋0＋15|9＋16＝r －2，解得r ＝5.故r 的取值范围是(1，5).答案 (1，5)15.如图，点A ，B 分别是椭圆x 225＋y 2b2＝1(0<b <5)的长轴的左、右端点，F 为椭圆的右焦点，直线PF 的方程为15x ＋y －415＝0，且PA →·PF →＝0，设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB |，则椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值为________.解析 依题意得直线AP 的方程为x －15y ＋5＝0，直线PF 与x 轴的交点为(4，0)，即F (4，0)，∴b 2＝25－16＝9，即椭圆方程为x 225＋y 29＝1.设M (m ，0)(－5≤m ≤5)，则M 到直线AP 的距离为|m ＋5|4，又|MB |＝|5－m |，所以|m ＋5|4＝|5－m |，∵－5≤m ≤5，∴m ＋54＝5－m ，解得m ＝3，∴M (3，0).设椭圆上的点(x ，y )(x ∈[－5，5])到M (3，0)的距离为d ，则d 2＝(x －3)2＋y 2＝(x －3)2＋9⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 225＝1625x 2－6x ＋18＝1625⎝ ⎛⎭⎪⎫x －75162＋6316，∵x ∈[－5，5]，∴当x ＝7516时，d 2最小，此时d min ＝374.答案37416.已知F 为抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点，点A (1，p )，M 为抛物线上任意一点，且|MA |＋|MF |的最小值为3，则该抛物线的方程为________.若线段AF 的垂直平分线交抛物线于P ，Q 两点，则四边形APFQ 的面积为________.(本小题第一空2分，第二空3分)解析 由题意，得抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，准线的方程为y ＝－p2.因为|MF |等于点M 到准线的距离，所以当p >12p 时，|MA |＋|MF |的最小值为点A 到准线y ＝－p2的距离，而|MA |＋|MF |的最小值为3，所以3p 2＝3，解得p ＝2，满足p >12p ；当p ≤12p 时，|MA |＋|MF |的最小值为|AF |，而|MA |＋|MF |的最小值为3，所以（1－0）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫p －p 22＝3，解得p ＝42，不满足p ≤12p.综上所述，p ＝2.因此抛物线的方程为x 2＝4y .由p ＝2得，点A (1，2)，焦点F (0，1)，则线段AF 的垂直平分线的方程为x ＋y －2＝0，且|AF |＝（1－0）2＋（2－1）2＝2.设线段AF 的垂直平分线与抛物线的交点分别为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x 2＝4y .解得⎩⎨⎧x 1＝－2＋23，y 1＝4－23或⎩⎨⎧x 2＝－2－23，y 2＝4＋23，则|PQ |＝（4＋23－4＋23）2＋（－2－23＋2－23）2＝4 6.所以四边形APFQ 的面积S ＝12|AF |·|PQ |＝12×2×46＝4 3.答案 x 2＝4y 4 3四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)已知椭圆C 的短轴的两个端点分别为A (0，1)，B (0，－1)，焦距为2 3. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线y ＝m 与椭圆C 有两个不同的交点M ，N ，设D 为直线AN 上一点，且直线BD ，BM 的斜率的积为－14.证明：点D 在x 轴上.(1)解 由题意知c ＝3，b ＝1，∴a 2＝b 2＋c 2＝4. ∵焦点在x 轴上，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 由题意可设M (－x 0，m )，N (x 0，m )，－1<m <1， 则x 20＝4(1－m 2).①∵点D 在直线AN 上一点，A (0，1)， ∴AD →＝λAN →＝λ(x 0，m －1)，∴OD →＝OA →＋AD →＝(λx 0，λ(m －1)＋1)， ∴D (λx 0，λ(m －1)＋1). ∵B (0，－1)，M (－x 0，m )，∴k BD ·k BM ＝λ（m －1）＋2λx 0·m ＋1－x 0＝－14.整理，得4λ(m 2－1)＋8(m ＋1)＝λx 20. 将①代入上式得(m ＋1)[λ(m －1)＋1]＝0. ∵m ＋1≠0，∴λ(m －1)＋1＝0， ∴点D 在x 轴上.18.(本小题满分12分)如图，已知椭圆C 1：x 22＋y 2＝1，抛物线C 2：y 2＝2px (p ＞0)，点A 是椭圆C 1与抛物线C 2的交点，过点A 的直线l 交椭圆C 1于点B ，交抛物线C 2于点M (B ，M 不同于A ).(1)若p ＝116，求抛物线C 2的焦点坐标；(2)若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值. 解 (1)由p ＝116，得抛物线C 2的焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫132，0. (2)由题意可设直线l ：x ＝my ＋t (m ≠0，t ≠0)，点A (x 0，y 0). 将直线l 的方程代入椭圆C 1：x 22＋y 2＝1，得(m 2＋2)y 2＋2mty ＋t 2－2＝0， 所以点M 的纵坐标y M ＝－mtm 2＋2.将直线l 的方程代入抛物线C 2：y 2＝2px ，得y 2－2pmy －2pt ＝0， 所以y 0y M ＝－2pt ，解得y 0＝2p （m 2＋2）m，因此x 0＝2p （m 2＋2）2m2. 由x 202＋y 20＝1，得1p 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋2m 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋2m 4≥160， 当且仅当m ＝2，t ＝105时，p 取到最大值1040. 19.(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为(1，0)，且经过点A (0，1).(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为原点，直线l ：y ＝kx ＋t (t ≠±1)与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N .若|OM |·|ON |＝2，求证：直线l 经过定点. (1)解 由题意，得b 2＝1，c ＝1， 所以a 2＝b 2＋c 2＝2.所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则直线AP 的方程为y ＝y 1－1x 1x ＋1. 令y ＝0，得点M 的横坐标x M ＝－x 1y 1－1.又y 1＝kx 1＋t ，从而|OM |＝|x M |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1kx 1＋t －1.同理，|ON |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2kx 2＋t －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4ktx ＋2t 2－2＝0， 则x 1＋x 2＝－4kt 1＋2k 2，x 1x 2＝2t 2－21＋2k 2.所以|OM |·|ON |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1kx 1＋t －1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2kx 2＋t －1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1x 2k 2x 1x 2＋k （t －1）（x 1＋x 2）＋（t －1）2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2t 2－21＋2k2k 2·2t 2－21＋2k 2＋k （t －1）·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4kt 1＋2k 2＋（t －1）2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋t 1－t .又|OM |·|ON |＝2，所以2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋t 1－t ＝2.解得t ＝0，所以直线l 经过定点(0，0).20.(本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (2，2)，点B 在抛物线C 上，且满足OF →＝FB →－2FA →(O 为坐标原点).(1)求抛物线C 的方程；(2)过焦点F 任作两条相互垂直的直线l 与l ′，直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，直线l ′与抛物线C 交于M ，N 两点，△OPQ 的面积记为S 1，△OMN 的面积记为S 2，求证：1S 21＋1S 22为定值.(1)解 设B (x 0，y 0)，∵F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0， ∴OF →＝FB →－2FA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－p 2，y 0－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2－p 2，2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋p 2－4，y 0－4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋p 2－4＝p 2，y 0－4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4，y 0＝4. ∵点B 在抛物线C 上，∴42＝2p ×4，∴p ＝2，∴y 2＝4x .(2)证明 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由题意得，直线l 的斜率存在且不为零.设l ：x ＝my ＋1，代入y 2＝4x 得，y 2－4my －4＝0.∴y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.∴|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝16m 2＋16＝4m 2＋1.因此S 1＝12|y 1－y 2|×1＝2m 2＋1. 同理可得，S 2＝21m 2＋1. ∴1S 21＋1S 22＝14（m 2＋1）＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1m 2＋1＝14（m 2＋1）＋m 24（m 2＋1）＝14. ∴1S 21＋1S 22为定值，定值为14. 21.(本小题满分12分)设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1，0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.(1)证明 因为|AD |＝|AC |，EB ∥AC ，故∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC ，所以|EB |＝|ED |，故|EA |＋|EB |＝|EA |＋|ED |＝|AD |.由题设得A (－1，0)，B (1，0)，|AB |＝2，又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而|AD |＝4，所以|EA |＋|EB |＝4>|AB |.由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：x 24＋y 23＝1(y ≠0). (2)解 当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2). 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0. 则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3， 所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝12（k 2＋1）4k 2＋3. 过点B (1，0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1k (x －1)，A 到m 的距离为2k 2＋1，所以|PQ |＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋12＝44k 2＋3k 2＋1. 故四边形MPNQ 的面积S ＝12|MN ||PQ |＝121＋14k 2＋3. 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(12，83).当l 与x 轴垂直时，其方程为x ＝1，|MN |＝3，|PQ |＝8，故四边形MPNQ 的面积为12. 综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为[12，83).22.(本小题满分12分)已知以动点P 为圆心的⊙P 与直线l ：x ＝－12相切，与定圆F ：(x －1)2＋y 2＝14外切. (1)求动圆圆心P 的轨迹C 的方程；(2)过曲线C 上位于x 轴两侧的点M ，N (MN 不与x 轴垂直)分别作直线l 的垂线，垂足分别为M 1，N 1，直线l 交x 轴于点A ，记△AMM 1，△AMN ，△ANN 1的面积分别为S 1，S 2，S 3，且S 22＝4S 1S 3，求证：直线MN 过定点.(1)解 设P (x ，y )，⊙P 的半径为R ，则R ＝x ＋12，|PF |＝R ＋12， ∴点P 到直线x ＝－1的距离与到定点F (1，0)的距离相等，故点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x .(2)证明 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则M 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 2， 设直线MN ：x ＝ty ＋n (t ≠0，n >0).将直线MN 的方程代入y 2＝4x 消去x 并整理，得y 2－4ty －4n ＝0，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4n <0.∵S 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋12·|y 1|，S 3＝12⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋12·|y 2|， ∴4S 1S 3＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12|y 1y 2| ＝⎝⎛⎭⎪⎫ty 1＋n ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫ty 2＋n ＋12|y 1y 2| ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤t 2y 1y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12t （y 1＋y 2）＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122·|－4n | ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4nt 2＋4t 2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122·4n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122·4n . ∵S 2＝12⎝⎛⎭⎪⎫n ＋12·|y 1－y 2| ＝12⎝⎛⎭⎪⎫n ＋12·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2， ∴S 22＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122·(16t 2＋16n )＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122(t 2＋n ). ∵S 22＝4S 1S 3，∴n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122(t 2＋n )， 即2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122，解得n ＝12. ∴直线MN 恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.。

大学考试解析几何试题答案

大学考试解析几何试题答案

大学考试解析几何试题答案一、选择题1. 若一条直线过点A(2,3)，且与直线2x-y=0垂直，求该直线的方程。

解析：已知直线2x-y=0的斜率为2，与其垂直的直线斜率为-1/2（因为垂直直线的斜率互为负倒数）。

设所求直线方程为y=kx+b，代入点A(2,3)和斜率-1/2，得到方程为y=-1/2x+7/2。

2. 圆的一般方程为x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，若该圆过点(1,2)，且其圆心在直线2x-y=0上，求D、E、F的值。

解析：将点(1,2)代入圆的一般方程得1^2+2^2+D+2E+F=0。

又因为圆心(-D/2, -E/2)在直线2x-y=0上，代入得-D/2*2-E/2=0，解得D=E。

将D=E代入前面的方程，解得D=-6，E=-6，F=-7。

所以圆的方程为x^2+y^2-6x-6y-7=0。

二、填空题1. 已知三角形ABC的三个顶点坐标分别为A(1,2)，B(4,5)，C(7,3)，求三角形ABC的面积。

解析：首先计算三条边的长度，|AB|=√[(4-1)^2+(5-2)^2]=√10，|BC|=√[(7-4)^2+(3-5)^2]=5，|AC|=√[(7-1)^2+(3-2)^2]=2√5。

然后利用海伦公式计算面积，p=(|AB|+|BC|+|AC|)/2=(√10+5+2√5)/2，面积S=√[p(p-|AB|)(p-|BC|)(p-|AC|)]=√[(9+2√10)(4+√10)(4+2√5)(4+√5)]。

2. 已知椭圆的长轴为2a，短轴为2b，且a>b，若椭圆的周长为P，求P的近似值。

解析：椭圆的周长没有精确公式，但可以用Ramanujan的近似公式计算：P≈π[3(a+b)-√{(3a-b)(a+3b)}]。

这个公式在大多数情况下都能给出较为精确的结果。

三、解答题1. 已知锥体的高为h，底面为正方形，边长为a，求锥体的侧面积。

解析：锥体的侧面积可以通过底面周长与斜高之积的一半来计算。

解析几何大题精选四套(答案)

解析几何大题精选四套(答案)

解析几何大题精选四套（答案）解析几何大题训练（一）1. （2011年高考江西卷) (本小题满分12分）已知过抛物线()022>=p px y 的焦点，斜率为22的直线交抛物线于()12,,A x y ()22,B x y （12x x <）两点，且9=AB ．（1）求该抛物线的方程；（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OB OA OC λ+=，求λ的值．2. （2011年高考福建卷)（本小题满分12分）如图，直线l ：y=x+b 与抛物线C ：x 2=4y 相切于点A 。

（1） 求实数b 的值；（11） 求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程.3. (2011年高考天津卷)（本小题满分13分） 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点(,)P a b 满足212||||PF F F =. （Ⅰ）求椭圆的离心率e ;(Ⅱ)设直线2PF 与椭圆相交于A,B 两点.若直线2PF 与圆22(1)(16x y ++-=相交于M,N 两点,且|MN|=58|AB|,求椭圆的方程.4.（2010辽宁）（本小题满分12分）设1F ，2F 分别为椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 相交于A ,B两点，直线l 的倾斜角为60，1F 到直线l 的距离为（Ⅰ）求椭圆C 的焦距；（Ⅱ）如果222AF F B =,求椭圆C 的方程.解析几何大题训练（二）1.（2010辽宁）（本小题满分12分）设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o ,2AF FB =.(I)求椭圆C 的离心率； (II)如果|AB|=154，求椭圆C 的方程.2.（2010北京）（本小题共14分）已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(，y=t 椭圆C 交与不同的两点M ，N ，以线段为直径作圆P,圆心为P 。

数学 解析几何 经典例题 附带答案

数学 解析几何 经典例题 附带答案

数学解析几何经典例题~一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．双曲线x 22－y 21＝1的焦点坐标是( ) A ．(1,0)，(－1,0) B ．(0,1)，(0，－1)C ．(3，0)，(－3，0)D ．(0，3)，(0，－3)解析： c 2＝a 2＋b 2＝2＋1，∴c ＝ 3.∴焦点为(3，0)，(－3，0)，选C.答案： C2．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线 x －ay ＝0互相垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析： 当a ＝1时，直线x ＋y ＝0与直线x －y ＝0垂直成立；当直线x ＋y ＝0与直线x －ay ＝0垂直时，a ＝1.所以“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0与直线x －ay ＝0互相垂直”的充要条件．答案： C3．(2010·福建卷)以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2＋2x ＝0B ．x 2＋y 2＋x ＝0C ．x 2＋y 2－x ＝0D ．x 2＋y 2－2x ＝0解析： 抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，故以(1,0)为圆心，且过坐标原点的圆的半径为r ＝12＋02＝1，所以圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0，故选D.答案： D4．方程mx 2＋y 2＝1所表示的所有可能的曲线是( )A ．椭圆、双曲线、圆B ．椭圆、双曲线、抛物线C ．两条直线、椭圆、圆、双曲线D ．两条直线、椭圆、圆、双曲线、抛物线解析： 当m ＝1时，方程为x 2＋y 2＝1，表示圆；当m <0时，方程为y 2－(－m )x 2＝1，表示双曲线；当m >0且m ≠1时，方程表示椭圆；当m ＝0时，方程表示两条直线．答案： C5．直线2x －y －2＝0绕它与y 轴的交点逆时针旋转π2所得的直线方程是( ) A ．－x ＋2y －4＝0 B ．x ＋2y －4＝0C ．－x ＋2y ＋4＝0D ．x ＋2y ＋4＝0解析： 由题意知所求直线与直线2x －y －2＝0垂直．又2x －y －2＝0与y 轴交点为(0，－2)．故所求直线方程为y ＋2＝－12(x －0)， 即x ＋2y ＋4＝0.答案： D6．直线x －2y －3＝0与圆C ：(x －2)2＋(y ＋3)2＝9交于E 、F 两点，则△ECF 的面积为( )A.32B.34C ．2 5 D.355解析： 圆心(2，－3)到EF 的距离d ＝|2＋6－3|5＝ 5. 又|EF |＝29－5＝4，∴S △ECF ＝12×4×5＝2 5. 答案： C 7．若点P (2,0)到双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C ．2 2D ．2 3解析： 由于双曲线渐近线方程为bx ±ay ＝0，故点P 到直线的距离d ＝2b a 2＋b2＝2⇒a ＝b ，即双曲线为等轴双曲线，故其离心率e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝ 2.答案： A8．过点M (1,2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝9分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线l 的方程是( )A ．x ＝1B ．y ＝1C ．x －y ＋1＝0D ．x －2y ＋3＝0解析： 由条件知M 点在圆内，故当劣弧最短时，l 应与圆心与M 点的连线垂直，设圆心为O ，则O (2,0)，∴k OM ＝2－01－2＝－2. ∴直线l 的斜率k ＝12， ∴l 的方程为y －2＝12(x －1)， 即x －2y ＋3＝0.答案： D9．已知a >b >0，e 1，e 2分别为圆锥曲线x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2－y 2b2＝1的离心率，则lg e 1＋lg e 2的值( )A ．大于0且小于1B ．大于1C ．小于0D ．等于0解析： 由题意，得e 1＝a 2－b 2a ，e 2＝a 2＋b 2a (a >b >0)， ∴e 1e 2＝a 4－b 4a 2＝1－b 4a4<1， ∴lg e 1＋lg e 2＝lg(e 1e 2)＝lga 4－b 4a 2<0. 答案： C10．已知A (－3,8)和B (2,2)，在x 轴上有一点M ，使得|AM |＋|BM |为最短，那么点M 的坐标为( )A ．(－1,0)B ．(1,0)C.⎝⎛⎭⎫225，0D.⎝⎛⎭⎫0，225 解析： 点B (2,2)关于x 轴的对称点为B ′(2，－2)，连接AB ′，易求得直线AB ′的方程为2x ＋y －2＝0，它与x 轴交点M (1,0)即为所求．答案： B11．已知椭圆x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为( )A.95B ．3 C.977 D.94解析： 设椭圆短轴的一个端点为M .由于a ＝4，b ＝3，∴c ＝7<b .∴∠F 1MF 2<90°，∴只能∠PF 1F 2＝90°或∠PF 2F 1＝90°.令x ＝±7得y 2＝9⎝⎛⎭⎫1－716＝9216， ∴|y |＝94. 即P 到x 轴的距离为94. 答案： D12．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线的准线的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若AF →＝FB →，BA →·BC →＝48，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．y 2＝16xD ．y 2＝42x解析： 由AF →＝FB →及|AF →|＝|AC →|知在Rt △ACB 中，∠CBF ＝30°，|DF |＝p 2＋p 2＝p ， ∴AC ＝2p ，BC ＝23p ，BA →·BC →＝4p ·23p ·cos 30°＝48，∴p ＝2. 抛物线方程为y 2＝4x .答案： B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．若抛物线y 2＝2px 的焦点与双曲线x 2－y 23＝1的右焦点重合，则p 的值为________． 解析： 双曲线x 2－y 23＝1的右焦点为(2,0)， 由题意，p 2＝2，∴p ＝4.答案： 414．两圆(x ＋1)2＋(y －1)2＝r 2和(x －2)2＋(y ＋2)2＝R 2相交于P 、Q 两点，若点P 坐标为(1,2)，则点Q 的坐标为______．解析： ∵两圆的圆心分别为(－1,1)，(2，－2)，∴两圆连心线的方程为y ＝－x .∵两圆的连心线垂直平分公共弦，∴P (1,2)，Q 关于直线y ＝－x 对称，∴Q (－2，－1)．答案： (－2，－1)15．设M 是椭圆x 24＋y 23＝1上的动点，A 1和A 2分别是椭圆的左、右顶点，则MA 1→·MA 2→的最小值等于________．解析： 设M (x 0，y 0)，则MA 1→＝(－2－x 0，－y 0)，MA 2→＝(2－x 0，－y 0)⇒MA 1→·MA 2→＝x 20＋y 20－4＝x 20＋⎝⎛⎭⎫3－34x 20－4＝14x 20－1， 显然当x 0＝0时，MA 1→·MA 2→取最小值为－1.答案： －116．已知双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点为F 1、F 2，P 是双曲线右支上一点，且PF 1的中点在y 轴上，则△PF 1F 2的面积为________．解析： 如图，设PF 1的中点为M ，则MO ∥PF 2，故∠PF 2F 1＝90°.∵a ＝4，b ＝3，c ＝5，∴|F 1F 2|＝10，|PF 1|＝8＋|PF 2|.由|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2得(8＋|PF 2|)2＝|PF 2|2＋100，∴|PF 2|＝94，S △PF 1F 2＝12·|F 1F 2|·|PF 2|＝454. 答案： 454三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)双曲线的两条渐近线方程为x ＋y ＝0和x －y ＝0，直线2x －y －3＝0与双曲线交于A ，B 两点，若|AB |＝5，求此双曲线的方程．解析： ∵双曲线渐近线为x ±y ＝0，∴双曲线为等轴双曲线．设双曲线方程为x 2－y 2＝m (m ≠0)，直线与双曲线的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x 2－y 2＝m ， 得3x 2－12x ＋m ＋9＝0，则x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝m ＋93. 又|AB |2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(x 1－x 2)2＋[(2x 1－3)－(2x 2－3)]2＝(x 1－x 2)2＋4(x 1－x 2)2＝5(x 1－x 2)2＝5[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]， ∴(5)2＝5⎣⎢⎡⎦⎥⎤42－4·⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋93， 解得m ＝94. 故双曲线的方程为x 2－y 2＝94. 18．(12分)已知圆C 的方程为(x －m )2＋(y ＋m －4)2＝2.(1)求圆心C 的轨迹方程；(2)当|OC |最小时，求圆C 的一般方程(O 为坐标原点)．解析： (1)设C (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ，y ＝4－m .消去m ，得y ＝4－x ，∴圆心C 的轨迹方程为x ＋y －4＝0.(2)当|OC |最小时，OC 与直线x ＋y －4＝0垂直，∴直线OC 的方程为x －y ＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0，x －y ＝0，得x ＝y ＝2. 即|OC |最小时，圆心的坐标为(2,2)，∴m ＝2.圆C 的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2.其一般方程为x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0.19．(12分)(盐城市三星级高中20XX 届第一次联考)已知圆C 1的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝203，椭圆C 2的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且C 2的离心率为22，如果C 1、C 2相交于A 、B 两点，且线段AB 恰好为C 1的直径，求直线AB 的方程和椭圆C 2的方程．解析： 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)．A 、B 在椭圆上，∴b 2x 21＋a 2y 21＝a 2b 2，b 2x 22＋a 2y 22＝a 2b 2. ∴b 2(x 2＋x 1)(x 2－x 1)＋a 2(y 2＋y 1)(y 2－y 1)＝0.又线段AB 的中点是圆的圆心(2,1)，∴x 2＋x 1＝4，y 2＋y 1＝2，∴k AB ＝－b 2(x 2＋x 1)a 2(y 2＋y 1)＝－2b 2a 2， 椭圆的离心率为22，∴b 2a 2＝1－e 2＝12， k AB ＝－2b 2a2＝－1， 直线AB 的方程为y －1＝－1(x －2)，即x ＋y －3＝0.由(x －2)2＋(y －1)2＝203和x ＋y －3＝0得 A ⎝⎛⎭⎫2＋103，1－103. 代入椭圆方程得：a 2＝16，b 2＝8，∴椭圆方程为：x 216＋y 28＝1. 20．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为e . (1)若半焦距c ＝22，且23、e 、43成等比数列，求椭圆C 的方程； (2)在(1)的条件下，直线l ：y ＝ex ＋a 与x 轴、y 轴分别交于M 、N 两点，P 是直线l 与椭圆C 的一个交点，且M P →＝λMN →，求λ的值；(3)若不考虑(1)，在(2)中，求证：λ＝1－e 2.【解析方法代码108001121】解析： (1)∵e 2＝23×43，∴e ＝223， ∴a ＝3，b ＝1，∴椭圆C 的方程为x 29＋y 2＝1. (2)设P (x ，y )，则⎩⎨⎧ y ＝223x ＋3x 29＋y 2＝1，解得P ⎝⎛⎭⎫－22，13. ∵M ⎝⎛⎭⎫－924，0，N (0,3)，M P →＝λMN →， ∴λ＝19. (3)证明：∵M 、N 的坐标分别为M ⎝⎛⎭⎫－a e ，0，N (0，a )， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝ex ＋ax 2a 2＋y 2b 2＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－cy ＝b 2a (其中c ＝a 2－b 2)，∴P ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a . 由M P →＝λMN →得⎝⎛⎭⎫－c ＋a e ，b 2a ＝λ⎝⎛⎭⎫a e ，a ， ∴⎩⎨⎧ a e －c ＝λ·a eb 2a ＝λa ，∴ λ＝1－e 2. 21．(12分)设椭圆C ：x 2a 2＋y 22＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，A 是椭圆C 上的一点，且AF 2→·F 1F 2→＝0，坐标原点O 到直线AF 1的距离为13|OF 1|. (1)求椭圆C 的方程；(2)设Q 是椭圆C 上的一点，过Q 的直线l 交x 轴于点P (－1，0)，交y 轴于点M ，若M Q →＝2QP →，求直线l 的方程．解析： (1)由题设知F 1(－a 2－2，0)，F 2(a 2－2，0)，由于AF 2→·F 1F 2→＝0，则有AF 2→⊥F 1F 2→，所以点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2－2，±2a ， 故AF 1所在直线方程为y ＝±⎝ ⎛⎭⎪⎫x a a 2－2＋1a ， 所以坐标原点O 到直线AF 1的距离为a 2－2a 2－1(a >2)， 又|OF 1|＝a 2－2，所以a 2－2a 2－1＝13a 2－2，解得a ＝2(a >2)，所求椭圆的方程为x 24＋y 22＝1. (2)由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，则有M (0，k )，设Q (x 1，y 1)，由于M Q →＝2QP →，∴(x 1，y 1－k )＝2(－1－x 1，－y 1)，解得x 1＝－23，y 1＝k 3. 又Q 在椭圆C 上，得⎝⎛⎭⎫－2324＋⎝⎛⎭⎫k 322＝1， 解得k ＝±4，故直线l 的方程为y ＝4(x ＋1)或y ＝－4(x ＋1)，即4x －y ＋4＝0或4x ＋y ＋4＝0.22．(14分)已知椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1的一个焦点为F (0,22)，与两坐标轴正半轴分别交于A ，B 两点(如图)，向量A B →与向量m ＝(－1，2)共线．(1)求椭圆的方程；(2)若斜率为k 的直线过点C (0,2)，且与椭圆交于P ，Q 两点，求△POC 与△QOC 面积之比的取值范围．【解析方法代码108001122】解析： (1)y 216＋x 28＝1. (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，且x 1<0，x 2>0.PQ 方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程并消去y ，得(2＋k 2)x 2＋4kx －12＝0，x 1＋x 2＝－4k 2＋k 2，① x 1x 2＝－122＋k 2.② 设S △QOC S △POC ＝|x 2||x 1|＝－x 2x 1＝λ，结合①②得 (1－λ)x 1＝－4k 2＋k 2，λx 21＝122＋k 2. 消去x 1得λ(1－λ)2＝34⎝⎛⎭⎫1＋2k 2>34，解不等式λ(1－λ)2>34，得13<λ<3. ∴△POC 与△QOC 面积之比的取值范围为⎝⎛⎭⎫13，3.。

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解析几何一、选择题1．已知两点A (－3，3)，B (3，－1)，则直线AB 的斜率是( ) B ．－3D ．－33解析：斜率k ＝－1－33－－3＝－33，故选D.答案：D2．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1D ．－2或1"解析：①当a ＝0时，y ＝2不合题意． ②a ≠0，x ＝0时，y ＝2＋a . y ＝0时，x ＝a ＋2a ，则a ＋2a ＝a ＋2，得a ＝1或a ＝－2.故选D. 答案：D3．两直线3x ＋y －3＝0与6x ＋my ＋1＝0平行，则它们之间的距离为( ) A ．4 B ．21313D ．71020解析：把3x ＋y －3＝0转化为6x ＋2y －6＝0，《由两直线平行知m ＝2， 则d ＝|1－－6|62＋22＝71020.故选D. 答案：D4．(2014皖南八校联考)直线2x －y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( ) A ．x ＋2y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x ＋y －5＝0D ．x ＋2y －5＝0解析：由题意可知，直线2x －y ＋1＝0与直线x ＝1的交点为(1,3)，直线2x －y ＋1＝0的倾斜角与所求直线的倾斜角互补，因此它们的斜率互为相反数，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2，故所求直线的斜率为－2，所以所求直线的方程是y －3＝－2(x －1)，即2x ＋y －5＝0.故选C.答案：C5．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )%B ．⎝⎛⎭⎫π6，π2D ．⎣⎡⎦⎤π3，π2 解析：由题意，可作直线2x ＋3y －6＝0的图象，如图所示，则直线与x 轴、y 轴交点分别为A (3,0)，B (0,2)，又直线l 过定点(0，－3)，由题知直线l 与线段AB 相交(交点不含端点)，从图中可以看出，直线l 的倾斜角的取值范围为⎝⎛⎭⎫π6，π2.故选B.答案：B6．(2014泰安一模)过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( ) A ．x －2y ＋4＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y ＋3＝0D ．x －2y ＋5＝0解析：直线2x ＋y －5＝0的斜率为k ＝－2， ∴所求直线的斜率为k ′＝12，$∴方程为y －3＝12(x －2)，即x －2y ＋4＝0. 答案：A 二、填空题7．过点(2,1)且在x 轴上截距与在y 轴上截距之和为6的直线方程为____________． 解析：由题意知截距均不为零． 设直线方程为x a ＋yb ＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，2a ＋1b＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝2. 故所求直线方程为x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0. 答案：x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝08．(2014湘潭质检)若过点A (－2，m )，B (m,4)的直线与直线2x ＋y ＋2＝0平行，则m 的值为________．:解析：∵过点A ，B 的直线平行于直线2x ＋y ＋2＝0，∴k AB ＝4－mm ＋2＝－2，解得m ＝－8.答案：－89．若过点P (1－a,1＋a )与Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________．解析：由直线PQ 的倾斜角为钝角，可知其斜率k <0， 即2a －1＋a 3－1－a <0，化简得a －1a ＋2<0，∴－2<a <1.答案：(－2,1)10．已知k ∈R ，则直线kx ＋(1－k )y ＋3＝0经过的定点坐标是________． 解析：令k ＝0，得y ＋3＝0，令k ＝1，得x ＋3＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋3＝0，x ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－3，$所以定点坐标为(－3，－3)． 答案：(－3，－3) 三、解答题11．已知两直线l 1：x ＋y sin α－1＝0和l 2：2x sin α＋y ＋1＝0，试求α的值，使(1)l 1∥l 2；(2)l 1⊥l 2.解：(1)法一 当sin α＝0时，直线l 1的斜率不存在， l 2的斜率为0，显然l 1不平行于l 2. 当sin α≠0时，k 1＝－1sin α，k 2＝－2sin α. 要使l 1∥l 2，需－1sin α＝－2sin α， 即sin α＝±22，∴α＝k π±π4，k ∈Z .故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.…法二 由l 1∥l 2，得⎩⎪⎨⎪⎧2sin 2α－1＝0，1＋sin α≠0，∴sin α＝±22，∴α＝k π±π4，k ∈Z .故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.(2)∵l 1⊥l 2，∴2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0. ∴α＝k π，k ∈Z . 故当α＝k π，k ∈Z 时， l 1⊥l 2.12．设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0. (1)证明l 1与l 2相交；(2)证明l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．>证明：(1)假设l 1与l 2不相交，则l 1∥l 2即k 1＝k 2，代入k 1k 2＋2＝0，得k 21＋2＝0，这与k 1为实数的事实相矛盾，从而k 1≠k 2，即l 1与l 2相交．(2)法一 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋1，y ＝k 2x －1解得交点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－k 1，k 2＋k 1k 2－k 1，而2x 2＋y 2＝2⎝⎛⎭⎫2k 2－k 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋k 1k 2－k 12＝8＋k 22＋k 21＋2k 1k 2k 22＋k 21－2k 1k 2＝k 21＋k 22＋4k 21＋k 22＋4＝1.即P (x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1上． 即l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．法二 交点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k 1x ，y ＋1＝k 2x ，故知x ≠0.从而⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝y －1x ，k 2＝y ＋1x .（代入k 1k 2＋2＝0，得y －1x ·y ＋1x ＋2＝0， 整理后，得2x 2＋y 2＝1.所以交点P 在椭圆2x 2＋y 2＝1上．第八篇 第2节一、选择题1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D ．x 2＋(y －3)2＝1解析：由题意，设圆心(0，t )， 则12＋t －22＝1，得t ＝2，&所以圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1，故选A. 答案：A2．(2014郑州模拟)动点P 到点A (8,0)的距离是到点B (2,0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＝32B ．x 2＋y 2＝16C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．x 2＋(y －1)2＝16解析：设P (x ，y )， 则由题意可得2x －22＋y 2＝x －82＋y 2，化简整理得x 2＋y 2＝16，故选B. 答案：B3．(2012年高考陕西卷)已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则( )【A ．l 与C 相交B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能解析：x 2＋y 2－4x ＝0是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，而点P (3,0)到圆心的距离为d ＝3－22＋0－02＝1<2，点P (3,0)恒在圆内，过点P (3,0)不管怎么样画直线，都与圆相交．故选A. 答案：A4．(2012年高考辽宁卷)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0D ．x －y ＋3＝0解析：由题知圆心在直线上，因为圆心是(1,2)， 所以将圆心坐标代入各选项验证知选项C 符合，故选C.]答案：C5．(2013年高考广东卷)垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第一象限的直线方程是()A．x＋y－2＝0B．x＋y＋1＝0C．x＋y－1＝0D．x＋y＋2＝0解析：与直线y＝x＋1垂直的直线方程可设为x＋y＋b＝0，由x＋y＋b＝0与圆x2＋y2＝1相切，可得|b|12＋12＝1，故b＝± 2.因为直线与圆相切于第一象限，故结合图形分析知b＝－2，则直线方程为x＋y－2＝0.故选A.答案：A6．(2012年高考福建卷)直线x＋3y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，则弦AB 的长度等于()A．25B．23D．1解析：因为圆心到直线x＋3y－2＝0的距离d＝|0＋3×0－2|12＋32＝1，半径r＝2，/所以弦长|AB|＝222－12＝2 3.故选B.答案：B二、填空题7．(2013年高考浙江卷)直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于________．解析：圆的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25，故圆心为(3,4)，半径r＝5.又直线方程为2x－y＋3＝0，∴圆心到直线的距离为d＝|2×3－4＋3|4＋1＝5，∴弦长为2×25－5＝220＝4 5./答案：458．已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上各点到l的距离的最小值为________．解析：因为圆C的圆心(1,1)到直线l的距离为d＝|1－1＋4|12＋－12＝22，又圆半径r＝ 2.所以圆C上各点到直线l的距离的最小值为d－r＝ 2.答案：29．已知圆C的圆心在直线3x－y＝0上，半径为1且与直线4x－3y＝0相切，则圆C的标准方程是________．解析：∵圆C的圆心在直线3x－y＝0上，∴设圆心C(m,3m)．`又圆C的半径为1，且与4x－3y＝0相切，∴|4m－9m|5＝1，∴m＝±1，∴圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝1或(x＋1)2＋(y＋3)2＝1.答案：(x－1)2＋(y－3)2＝1或(x＋1)2＋(y＋3)2＝110．圆(x－2)2＋(y－3)2＝1关于直线l：x＋y－3＝0对称的圆的方程为________．解析：已知圆的圆心为(2,3)，半径为1.则对称圆的圆心与(2,3)关于直线l对称，由数形结合得，对称圆的圆心为(0,1)，半径为1，故方程为x2＋(y－1)2＝1.答案：x2＋(y－1)2＝1三、解答题—11．已知圆C：x2＋(y－2)2＝5，直线l：mx－y＋1＝0.(1)求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点；(2)若圆C与直线相交于点A和点B，求弦AB的中点M的轨迹方程．(1)证明：法一直线方程与圆的方程联立，消去y得(m2＋1)x2－2mx－4＝0，∵Δ＝4m2＋16(m2＋1)＝20m2＋16>0，∴对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点．法二直线l：mx－y＋1恒过定点(0,1)，且点(0,1)在圆C：x2＋(y－2)2＝5内部，∴对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点．(2)解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y)，由方程(m2＋1)x2－2mx－4＝0，@得x1＋x2＝2mm2＋1，∴x ＝mm 2＋1.当x ＝0时m ＝0，点M (0,1)，当x ≠0时，由mx －y ＋1＝0，得m ＝y －1x ， 代入x ＝m m 2＋1，得x ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫y －1x 2＋1＝y －1x ，化简得x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝14.经验证(0,1)也符合，∴弦AB 的中点M 的轨迹方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝14.12．已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；、(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切， 则有|4＋2a |a 2＋1＝2.解得a ＝－34.(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧|CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝22，|DA |＝12|AB |＝2，解得a ＝－7，或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.第八篇 第3节一、选择题 、1．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点．若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( ) A ．4 B ．5 C ．8D ．10解析：由方程知a ＝5，根据椭圆定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.故选D.答案：D2．(2014唐山二模)P 为椭圆x 24＋y 23＝1上一点，F 1，F 2为该椭圆的两个焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则PF 1→·PF 2→等于( )A ．3B ．3C ．23D ．2解析：由椭圆方程知a ＝2，b ＝3，c ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝4，|PF 1|2＋|PF 2|2－4＝2|PF 1||PF 2|cos 60° ·∴|PF 1||PF 2|＝4.∴PF 1→·PF 2→＝|PF 1→||PF 2→|cos 60°＝4×12＝2. 答案：D3．(2012年高考江西卷)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )B ．55D ．5－2解析：本题考查椭圆的性质与等比数列的综合运用． 由椭圆的性质可知|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ， |F 1B |＝a ＋c ，又|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，，故(a －c )(a ＋c )＝(2c )2， 可得e ＝c a ＝55.故应选B. 答案：B4．(2013年高考辽宁卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为( )B ．57D ．67解析：|AF |2＝|AB |2＋|BF |2－2|AB ||BF |cos ∠ABF ＝100＋64－2×10×8×45＝36， 则|AF |＝6，∠AFB ＝90°， 半焦距c ＝|FO |＝12|AB | ＝5，！设椭圆右焦点F 2， 连结AF 2，由对称性知|AF 2|＝|FB |＝8， 2a ＝|AF 2|＋|AF |＝6＋8＝14， 即a ＝7， 则e ＝c a ＝57. 故选B. 答案：B5．已知椭圆E ：x 2m ＋y 24＝1，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 截得的弦长与l ：y ＝kx＋1被椭圆E 截得的弦长不可能相等的是( )A ．kx ＋y ＋k ＝0B ．kx －y －1＝0 》C ．kx ＋y －k ＝0D ．kx ＋y －2＝0解析：取k ＝1时，l ：y ＝x ＋1.选项A 中直线：y ＝－x －1与l 关于x 轴对称，截得弦长相等． 选项B 中直线：y ＝x －1与l 关于原点对称，所截弦长相等． 选项C 中直线：y ＝－x ＋1与l 关于y 轴对称，截得弦长相等． 排除选项A 、B 、C ，故选D. 答案：D6．(2014山东省实验中学第二次诊断)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若椭圆上存在点P ，使a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1，则该椭圆的离心率的取值范围为( )A ．(0，2－1)B ．⎝⎛⎭⎪⎫22，1D ．(2－1,1)|解析：由题意知点P 不在x 轴上，在△PF 1F 2中，由正弦定理得 |PF 2|sin ∠PF 1F 2＝|PF 1|sin ∠PF 2F 1，所以由a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1可得a |PF 2|＝c|PF 1|，即|PF 1||PF 2|＝ca ＝e ，所以|PF 1|＝e |PF 2|.由椭圆定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， 所以e |PF 2|＋|PF 2|＝2a ， 解得|PF 2|＝2ae ＋1.$由于a －c <|PF 2|<a ＋c ， 所以有a －c <2ae ＋1<a ＋c ，即1－e <2e ＋1<1＋e ，也就是⎩⎪⎨⎪⎧1－e 1＋e <2，2<1＋e2，解得2－1<e . 又0<e <1，∴2－1<e <1.故选D. 答案：D 二、填空题7．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点距离为________． \解析：∵|OM |＝3，∴|PF 2|＝6，又|PF 1|＋|PF 2|＝10， ∴|PF 1|＝4. 答案：48．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF 1垂直于x 轴，则椭圆的离心率为________．解析：不妨设|F 1F 2|＝1， ∵直线MF 2的倾斜角为120°， ∴∠MF 2F 1＝60°.∴|MF 2|＝2，|MF 1|＝3，2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝2＋3， 2c ＝|F 1F 2|＝1.(∴e ＝ca ＝2－ 3. 答案：2－39．(2014西安模拟)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________________．解析：由题意可设椭圆方程为y 225－m ＋x 29－m ＝1(m <9)，代入点(3，－5)， 得525－m ＋39－m＝1， 解得m ＝5或m ＝21(舍去)， ∴椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1. 答案：y 220＋x 24＝110．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________. —解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，∴(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2， 即4a 2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2， ∴|PF 1||PF 2|＝2b 2，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝b 2＝9， ∴b ＝3. 答案：3 三、解答题11．(2012年高考广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0，1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；\(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．解：(1)由椭圆C 1的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝1，b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝1.故椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意分析，直线l 斜率存在且不为0， 设其方程为y ＝kx ＋b ，由直线l 与抛物线C 2相切得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝4x ，消y 得k 2x 2＋(2bk －4)x ＋b 2＝0， Δ1＝(2bk －4)2－4k 2b 2＝0，化简得kb ＝1. ①由直线l 与椭圆C 1相切得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 22＋y 2＝1，)消y 得(2k 2＋1)x 2＋4bkx ＋2b 2－2＝0， Δ2＝(4bk )2－4(2k 2＋1)(2b 2－2)＝0， 化简得2k 2＝b 2－1.②①②联立得⎩⎪⎨⎪⎧kb ＝1，2k 2＝b 2－1，解得b 4－b 2－2＝0， ∴b 2＝2或b 2＝－1(舍去)，∴b ＝2时，k ＝22，b ＝－2时，k ＝－22. 即直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2.12．(2014海淀三模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60°的菱形的四个顶点．(1)求椭圆C 的方程；@(2)若直线y ＝kx 交椭圆C 于A ，B 两点，在直线l ：x ＋y －3＝0上存在点P ，使得△PAB 为等边三角形，求k 的值．解：(1)因为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60°的菱形的四个顶点．所以a ＝3，b ＝1， 椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1. (2)设A (x 1，y 1)，则B (－x 1，－y 1)，当直线AB 的斜率为0时，AB 的垂直平分线就是y 轴， y 轴与直线l ：x ＋y －3＝0的交点为P (0,3)， 又因为|AB |＝23，|PO |＝3， 所以∠PAO ＝60°， 所以△PAB 是等边三角形，?所以直线AB 的方程为y ＝0，当直线AB 的斜率存在且不为0时， 则直线AB 的方程为y ＝kx ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 2＝1，y ＝kx ，化简得(3k 2＋1)x 2＝3， 所以|x 1|＝33k 2＋1， 则|AO |＝1＋k 233k 2＋1＝3k 2＋33k 2＋1. 设AB 的垂直平分线为y ＝－1k x ，它与直线l ：x ＋y －3＝0的交点记为P (x 0，y 0)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋3，y ＝－1k x ， $解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3kk －1，y 0＝－3k －1.则|PO |＝9k 2＋9k －12，因为△PAB 为等边三角形， 所以应有|PO |＝3|AO |， 代入得9k 2＋9k －12＝33k 2＋33k 2＋1， 解得k ＝0(舍去)，k ＝－1. 综上，k ＝0或k ＝－1.第八篇 第4节一、选择题1．设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左右两个焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|等于( ) …A ．1B ．17C ．1或17D ．以上答案均不对解析：由双曲线定义||PF 1|－|PF 2||＝8， 又|PF 1|＝9，∴|PF 2|＝1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c －a ＝6－4＝2>1， ∴|PF 2|＝17. 故选B. 答案：B2．(2013年高考湖北卷)已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2sin 2θ－y 2cos 2θ＝1与C 2：y 2cos 2θ－x 2sin 2θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等 >C ．离心率相等D ．焦距相等解析：双曲线C 1的半焦距c 1＝sin 2θ＋cos 2θ＝1，双曲线C 2的半焦距c 2＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，故选D.答案：D3．(2012年高考湖南卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )－y 25＝1B ．x 25－y 220＝1－y 220＝1D ．x 220－y 280＝1解析：由焦距为10，知2c ＝10，c ＝5. 将P (2,1)代入y ＝ba x 得a ＝2b .a 2＋b 2＝c 2,5b 2＝25，b 2＝5，a 2＝4b 2＝20， 所以方程为x 220－y 25＝1.故选A.]答案：A4．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2等于( )B ．35D ．45解析：∵c 2＝2＋2＝4， ∴c ＝2,2c ＝|F 1F 2|＝4，由题可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， |PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 2|＝22，|PF 1|＝42， 由余弦定理可知cos ∠F 1PF 2＝422＋222－422×42×22＝34.故选C.）答案：C5．设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( )－y 232＝1 B ．x 2132－y 252＝1 －y 242＝1D ．x 2132－y 2122＝1解析：在椭圆C 1中，因为e ＝513，2a ＝26， 即a ＝13，所以椭圆的焦距2c ＝10， 则椭圆两焦点为(－5,0)，(5,0)， 根据题意，可知曲线C 2为双曲线， 根据双曲线的定义可知，双曲线C 2中的2a 2＝8，#焦距与椭圆的焦距相同， 即2c 2＝10， 可知b 2＝3，所以双曲线的标准方程为x 242－y 232＝1.故选A. 答案：A6．(2014福州八中模拟)若双曲线x 29－y 216＝1渐近线上的一个动点P 总在平面区域(x －m )2＋y 2≥16内，则实数m 的取值范围是( )A ．[－3,3]B ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C ．[－5,5]D ．(－∞，－5]∪[5，＋∞)解析：因为双曲线x 29－y 216＝1渐近线4x ±3y ＝0上的一个动点P 总在平面区域(x －m )2＋y 2≥16内，即直线与圆相离或相切，所以d ＝|4m |5≥4，解得m ≥5或m ≤－5，故实数m 的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．选D.答案：D、二、填空题7．(2013年高考辽宁卷)已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．解析：由题知，双曲线中a ＝3，b ＝4，c ＝5， 则|PQ |＝16，又因为|PF |－|PA |＝6， |QF |－|QA |＝6，所以|PF |＋|QF |－|PQ |＝12， |PF |＋|QF |＝28， 则△PQF 的周长为44.-答案：448．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，且它的一个顶点到较近焦点的距离为1，则双曲线C 的方程为________．解析：双曲线中，顶点与较近焦点距离为c －a ＝1， 又e ＝ca ＝2，两式联立得a ＝1，c ＝2， ∴b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3，∴方程为x 2－y 23＝1.答案：x 2－y 23＝19．(2014合肥市第三次质检)已知点P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2的一个交点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，则该双曲线的离心率为________．解析：依题意得，线段F 1F 2是圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2的一条直径， 故∠F 1PF 2＝90°，∠PF 1F 2＝30°， 设|PF 2|＝m ，—则有|F 1F 2|＝2m ，|PF 1|＝3m ， 该双曲线的离心率等于|F 1F 2|||PF 1|－|PF 2||＝2m3m －m ＝3＋1.答案：3＋110．(2013年高考湖南卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点．若在C 上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．解析：设点P 在双曲线右支上， 由题意，在Rt △F 1PF 2中， |F 1F 2|＝2c ，∠PF 1F 2＝30°， 得|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3c ， 根据双曲线的定义：~|PF 1|－|PF 2|＝2a ，(3－1)c ＝2a ， e ＝c a ＝23－1＝3＋1. 答案：3＋1 三、解答题11．已知双曲线x 2－y 22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A 、B 两点，且点P 是线段AB 的中点解：法一 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上， 且线段AB 的中点为(x 0，y 0)，若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意． 设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)， 即y ＝kx ＋1－k .【由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1－k ，x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2－2k (1－k )x －(1－k )2－2 ＝0(2－k 2≠0)．①∴x 0＝x 1＋x 22＝k 1－k2－k 2.由题意，得k 1－k2－k 2＝1，解得k ＝2.当k ＝2时，方程①成为2x 2－4x ＋3＝0. Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．∴不能作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P (1,1)是线段AB 的中点． 法二 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，~若直线l 的斜率不存在， 即x 1＝x 2不符合题意， 所以由题得x 21－y 212＝1，x 22－y 222＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－y 1＋y 2y 1－y 22＝0，即2－y 1－y 2x 1－x 2＝0，即直线l 斜率k ＝2，得直线l 方程y －1＝2(x －1)， 即y ＝2x －1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x 2－y 22＝1得2x 2－4x ＋3＝0，！Δ＝16－24＝－8<0，即直线y ＝2x －1与双曲线无交点，即所求直线不合题意， 所以过点P (1,1)的直线l 不存在．12．(2014南京质检)中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值． 解：(1)由已知c ＝13，设椭圆长、短半轴长分别为a 、b ， 双曲线实半轴、虚半轴长分别为m 、n ， 则⎩⎪⎨⎪⎧a －m ＝4，7·13a＝3·13m ， *解得a ＝7，m ＝3.∴b ＝6，n ＝2. ∴椭圆方程为x 249＋y 236＝1， 双曲线方程为x 29－y 24＝1.(2)不妨设F 1、F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点， 则|PF 1|＋|PF 2|＝14， |PF 1|－|PF 2|＝6， ∴|PF 1|＝10，|PF 2|＝4. 又|F 1F 2|＝213，∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2| ＝102＋42－21322×10×4＝45.】第八篇 第5节一、选择题1．(2014银川模拟)抛物线y ＝2x 2的焦点坐标为( )B ．(1,0) D ．⎝⎛⎭⎫0，14 解析：抛物线y ＝2x 2，即其标准方程为x 2＝12y ，它的焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，18.故选C.答案：C2．抛物线的焦点为椭圆x 24＋y 29＝1的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为( )A ．x 2＝－45yB ．y 2＝－45x/ C ．x 2＝－413yD ．y 2＝－413x 解析：由椭圆方程知，a 2＝9，b 2＝4，焦点在y 轴上，下焦点坐标为(0，－c )，其中c ＝a 2－b 2＝5，∴抛物线焦点坐标为(0，－5)，∴抛物线方程为x 2＝－45y .故选A.答案：A3．已知抛物线y 2＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( )A ．相离B ．相交C ．相切D ．不确定解析：如图所示，设抛物线焦点弦为AB ，中点为M ，准线为l ，A 1、B 1分别为A 、B 在直线l 上的射影，则|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，于是M 到l 的距离d ＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |，故圆与抛物线准线相切．故选C.答案：C?4．(2014洛阳高三统一考试)已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AF |＝3|BF |，则线段AB 的中点到该抛物线准线的距离为( )B ．83D ．10解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其中x 1>0，x 2>0，过A ，B 两点的直线方程为x ＝my ＋1，将x ＝my ＋1与y 2＝4x 联立得y 2－4my －4＝0，y 1y 2＝－4，则由⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝3x 2＋1，x 1x 2＝y 214·y 224＝y 1y 2216＝1， 解得x 1＝3，x 2＝13，` 故线段AB 的中点到该抛物线的准线x ＝－1的距离等于x 1＋x 22＋1＝83.故选B. 答案：B5．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )B ．1D ．74 解析：∵|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋12＝3，∴x A ＋x B ＝52.∴线段AB 的中点到y 轴的距离为x A ＋x B 2＝54.故选C.答案：C<6．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：∵x 2＝8y ，∴焦点F 的坐标为(0,2)，准线方程为y ＝－2.由抛物线的定义知|MF |＝y 0＋2.以F 为圆心、|FM |为半径的圆的标准方程为x 2＋(y －2)2＝(y 0＋2)2.由于以F 为圆心、|FM |为半径的圆与准线相交，又圆心F 到准线的距离为4，故4<y 0＋2，∴y 0>2.故选C.答案：C@二、填空题7．动直线l 的倾斜角为60°，且与抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点，若A ，B 两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为________．解析：设直线l 的方程为y ＝3x ＋b ， 联立⎩⎨⎧ y ＝3x ＋b ，x 2＝2py消去y ，得x 2＝2p (3x ＋b )，即x 2－23px －2pb ＝0， ∴x 1＋x 2＝23p ＝3，∴p ＝32，则抛物线的方程为x 2＝3y . 答案：x 2＝3y ~8．以抛物线x 2＝16y 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为________． 解析：抛物线的焦点为F (0,4)，准线为y ＝－4，则圆心为(0,4)，半径r ＝8.所以，圆的方程为x 2＋(y －4)2＝64.答案：x 2＋(y －4)2＝649．(2012年高考北京卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．解析：∵抛物线y 2＝4x ，∴焦点F 的坐标为(1,0)．又∵直线l 倾斜角为60°，∴直线斜率为3，∴直线方程为y ＝3(x －1)．)联立方程⎩⎨⎧ y ＝3x －1，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝13，y 1＝－233，或⎩⎨⎧x 2＝3，y 2＝23， 由已知得A 的坐标为(3,23)，∴S △OAF ＝12|OF |·|y A |＝12×1×23＝ 3.答案：310．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A ⎝⎛⎭⎫72，4，则|PA |＋|PM |的最小值是________．解析：设点M 在抛物线的准线上的射影为M ′.由已知可得抛物线的准线方程为x ＝－12，焦点F 坐标为⎝⎛⎭⎫12，0. 求|PA |＋|PM |的最小值，可先求|PA |＋|PM ′|的最小值．由抛物线的定义可知，|PM ′|＝|PF |，所以|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PM ′|，当点A 、P 、F 在一条直线上时， |PA |＋|PF |有最小值|AF |＝5，所以|PA |＋|PM ′|≥5，又因为|PM ′|＝|PM |＋12，所以|PA |＋|PM |≥5－12＝92.答案：92三、解答题11．若抛物线y ＝2x 2上的两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)关于直线l ：y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－12，求实数m 的值．解：法一 如图所示，连接AB ，∵A 、B 两点关于直线l 对称，∴AB ⊥l ，且AB 中点M (x 0，y 0)在直线l 上．可设l AB ：y ＝－x ＋n ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋n ，y ＝2x 2，得2x 2＋x －n ＝0， ∴x 1＋x 2＝－12，x 1x 2＝－n 2.由x 1x 2＝－12，得n ＝1.又x 0＝x 1＋x 22＝－14，y 0＝－x 0＋n ＝14＋1＝54，即点M 为⎝⎛⎭⎫－14，54，由点M 在直线l 上，得54＝－14＋m ，∴m ＝32.法二 ∵A 、B 两点在抛物线y ＝2x 2上．∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝2x 21，y 2＝2x 22， ∴y 1－y 2＝2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)．设AB 中点M (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝2x 0，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4x 0. 又AB ⊥l ，∴k AB ＝－1，从而x 0＝－14.又点M 在l 上，∴y 0＝x 0＋m ＝m －14，即M ⎝⎛⎭⎫－14，m －14， ∴AB 的方程是y －⎝⎛⎭⎫m －14＝－⎝⎛⎭⎫x ＋14， 即y ＝－x ＋m －12，代入y ＝2x 2，得2x 2＋x －⎝⎛⎭⎫m －12＝0，∴x 1x 2＝－m －122＝－12，∴m ＝32. 12．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．解：(1)直线AB 的方程是y ＝22⎝⎛⎭⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立， 从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p 4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4知4x 2－5px ＋p 2＝0可化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4， y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)．设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42) ＝(4λ＋1,42λ－22)， 即C (4λ＋1,42λ－22)，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)， 即(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2.。

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