解析几何大题带答案

解析几何大题带答案

三、解答题

26.（江苏18）如图，在平面直角坐标系xOy 中，

M 、N 分别是椭圆

12

42

2=+y x 的顶点，过坐标原点

的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k （1）当直线PA 平分线段MN ，求k 的值； （2）当k=2时，求点P 到直线AB 的距离d ； （3）对任意k>0，求证：PA ⊥PB

本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，满分16分.

解：（1）由题设知，),

2,0(),0,2(,2,2--=

=N M b a 故所以线

段MN 中点的坐标为)2

2

,1(-

-，由于直线PA 平分

线段MN ，故直线PA 过线段MN 的中点，又直

线PA 过坐标 原点，所以

.2

2122

=--

=

k

解法二：

设)

0,(),,(,,0,0),,(),,(1112121

2

2

1

1

x C y x A x x x x

y x B y x P --≠>>则.

设直线PB ，AB 的斜率分别为2

1

,k k 因为C 在直线AB 上，所以

.

2

2)()(0111112k

x y x x y k ==---=

从而

1

)()

(212112*********+----⋅--⋅

=+=+x x y y x x y y k k k k

.044)2(1222

1

222122222221222122=--=-+=+--=x x x x y x x x y y

因此.,11

PB PA k k ⊥-=所以

28.

（北京理19） 已知椭圆

2

2:1

4

x G y +=.过点（m,0）作圆

221

x y +=的

切线I 交椭圆G 于A ，B 两点.

（I ）求椭圆G 的焦点坐标和离心率； （II ）将AB 表示为m 的函数，并求AB 的最大值.

（19）（共14分） 解：（Ⅰ）由已知得,1,2==b a

所以.

322--=b a c

所以椭圆G 的焦点坐标为)

0,3(),0,3(-

离心率为

.2

3==

a c e

（Ⅱ）由题意知，1||≥m .

当1=m 时，切线l 的方程1=x ，点A 、B 的坐标分别为

),2

3

,1(),23,

1(-

此时3||=AB

当m=－1时，同理可得3||=AB 当1||>m 时，设切线l 的方程为),(m x k y -= 由0448)41(.14

),(222222

2

=-+-+⎪⎩⎪⎨⎧=+-=m k mx k x k y x m x k y 得

设A 、B 两点的坐标分别为),)(,(2

2

1

1

y x y x ，则

2

22212

221414

4,418k m k x x k m

k x x +-=+=+

又由l 与圆.

1,11

||,1222222+==+=+k k m k km y x 即得

相切

所以

2

12212)()(||y y x x AB -+-= ]41)

44(4)41(64)[1(2

222242

k m k k m k k +--++=2

.3

||342

+=

m m

由于当3±=m 时，,

3||=AB

所以

),1[]1,(,3

|

|34||2

+∞--∞∈+=

Y m m m AB .

因为,

2|

|3

||343

|

|34||2≤+

=

+=

m m m m AB

且当3±=m 时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2.

32.（湖南理21） 如图7，椭圆

22

122:1(0)

x y C a b a b

+=>>的离心率为3

x 轴被曲线

22:C y x b

=-截得

的线段长等于C1的长半轴长。

（Ⅰ）求C1，C2的方程；

（Ⅱ）设C2与y 轴的焦点为M ，过坐标原点O

的直线l 与C2相交于点A,B,直线MA,MB 分别与C1相交与D,E ．

（i ）证明：MD ⊥ME;

（ii ）记△MAB,△MDE 的面积分别是1

2

,S S ．问：是

否存在直线l,使得

121732

S S =?请说明理由。

解 ：（Ⅰ）由题意知

.1,2,2,2,2

3

======

b a a b b a a

c e 解得又从而