平面解析几何 经典题(含答案)
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平面解析几何
一、直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率
(1)倾斜角α的范围0
0180α≤<
(2)经过两点的直线的斜率公式是
(3)每条直线都有倾斜角,但并不是每条直线都有斜率 2.两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
对于两条不重合的直线12,l l ,其斜率分别为12,k k ,则有1212//l l k k ⇔=。特别地,当直线
12,l l 的斜率都不存在时,12l l 与的关系为平行。
(2)两条直线垂直
如果两条直线12,l l 斜率存在,设为12,k k ,则12121l l k k ⊥⇔=-
注:两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1,这句话不正确;由两直线的斜率之积为-1,可以得出两直线垂直,反过来,两直线垂直,斜率之积不一定为-1。如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,12l l 与互相垂直。 二、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称 方程的形式 已知条件
局限性
点斜式
为直线上一定点,k 为斜率
不包括垂直于x 轴的直线 斜截式 k 为斜率,b 是直线在y 轴上的截距 不包括垂直于x 轴的直线 两点式
是直线上两定点
不包括垂直于x 轴和y 轴的直线
截距式
a 是直线在x 轴上的非零截距,
b 是直线在y 轴上的非零截距
不包括垂直于x 轴和y 轴或过原点的直线
一般式
A ,
B ,
C 为系数 无限制,可表示任何位置的直线
三、直线的交点坐标与距离公式 三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点 设两条直线的方程是
,两条直线的
交点坐标就是方程组的解,若方程组有唯一解,则这两条直线相交,此解
就是交点的坐标;若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平行;反之,亦成立。 2.几种距离
(1)两点间的距离平面上的两点
间的距离公式
(2)点到直线的距离
点到直线的距离;
(3)两条平行线间的距离
两条平行线
间的距离
注:(1)求点到直线的距离时,直线方程要化为一般式;
(2)求两条平行线间的距离时,必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后,才能套用公式计算 (二)直线的斜率及应用
利用斜率证明三点共线的方法:
已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或,则有A 、B 、C 三点共线。 注:斜率变化分成两段,0
90是分界线,遇到斜率要谨记,存在与否需讨论。 直线的参数方程
〖例1〗已知直线的斜率k=-cos
α (α∈R ).求直线的倾斜角β的取值范围。
思路解析:cos α的范围→斜率k 的范围→tan β的范围→倾斜角β的取值范围。
〖例2〗设,,a b c 是互不相等的三个实数,如果333
(,)(,)(,)A a a B b b C c c 、、在同一直线上,求证:
0a b c ++=
思路解析:若三点共线,则由任两点所确定的直线斜率相等或都不存在。
〖例3〗已知点M (2,2),N (5,-2),点P 在x 轴上,分别求满足下列条件的P 点坐标。
(1)∠MOP=∠OPN (O 是坐标原点); (2)∠MPN 是直角。
思路解析:∠MOP=∠OPN ⇒OM//PN ,∠MPN 是直角⇒MP ⊥NP ,故而可利用两直线平行和垂直的条件求得。
注:(1)充分掌握两直线平行的条件及垂直的条件是解决本题的关键,对于斜率都存在且不重合的两条直线1l 和2l ,
。若有一条直线的斜率不存在,
那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意
〖例4〗求过点P (2,-1),在x 轴和y 轴上的截距分别为a 、b,且满足a=3b 的直线方程。 思路解析:对截距是否为0分类讨论→设出直线方程→代入已知条件求解→得直线方程。 (二)用一般式方程判定直线的位置关系 两条直线位置关系的判定 已知直线1111:0
l A x B y C ++=,
2222:0
l A x B y C ++=,则
(1) (2)
121212//0.
l l A A B B ⇔+=
(3)1l 与2l 重合⇔01221=-B A B A 且01221=-C A C A (或01221=-C B C B )或记为(
1
11C C B B A A == (4)
〖例5〗已知直线
1:260
l ax y ++=和直线
22:(1)10
l x a y a +-+-=,(1)试判断1l 与2l
是否平
行;(2)1l ⊥2l
时,求a 的值。
思路解析:可直接根据方程的一般式求解,也可根据斜率求解,所求直线的斜率可能不存在,故应按
2
l 的斜率是否存在为分类标准进行分类讨论。
〖例6〗已知点P (2,-1)。
(1)求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程;
(2)求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程,最大距离是多少?
(3)是否存在过P 点且与原点距离为6的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由。 思路解析:设出直线方程→由点到直线距离求参数→判断何时取得最大值并求之。 (三)轴对称 ①点关于直线的对称 若两点
关于直线l :Ax+By+C=0对称,则线段
的中点在
对称轴l 上,而且连接的直线垂直于对称轴l 上,由方程组
可得到点
1
P 关于l 对称的点
2
P 的坐标
()22,x y (其中120,A x x ≠≠)
②直线关于直线的对称
此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决,有两种情况:一是已知直线与对称轴相交;二是已知直线与对称轴平行。
〖例7〗求直线1:23l y x =+关于直线:1l y x =+对称的直线2l 的方程。 思路解析:转化为点关于直线的对称问题,利用方程组求解。 练习题
1.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是( )
(A )x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 (D )x+2y-1=0 2.圆2
2
:2440C x y x y +--+=的圆心到直线3440x y ++=的距离d
= 。
3.已知圆C 过点(1,0),且圆心在x 轴上,直线:1l y x =-过圆C 所截得的弦长为2,则过圆
心有与直线l 垂直的直线的方程为
4.倾斜角为45?,在y 轴上的截距为1-的直线方程是( )
A .
01=+-y x B .01=--y x C .01=-+y x D .01=++y x
5.过点
()
2,1M 的直线l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于P 、Q 两点,且
2MQ MP
=,则直线l 的
方程为( )
A.x+2y-4=0
B.x-2y=0
C.x-y-1=0
D.x+y-3=0