平面解析几何测试题带答案

1．(本小题满分12分)已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB＝22时，求直线l的方程．2．设椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A、B两点，点C是AB的中点，若|AB|＝22，OC的斜率为22，求椭圆的方程．3．(本小题满分12分)(2010·南通模拟)已知动圆过定点F(0,2)，且与定直线l：y＝－2相切．(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)若AB是轨迹C的动弦，且AB过F(0,2)，分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明：AQ⊥BQ.4．已知圆(x－2)2＋(y－1)2＝203，椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a>b>0)的离心率为22，若圆与椭圆相交于A、B，且线段AB是圆的直径，求椭圆的方程．5．已知m 是非零实数，抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点F 在直线2:02m l x my --=上. （I ）若m=2，求抛物线C 的方程（II ）设直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，F AA 1∆，F BB 1∆的重心分别为G,H.求证：对任意非零实数m,抛物线C 的准线与x 轴的焦点在以线段GH 为直径的圆外。

6． (本小题满分14分)(2010·东北四市模拟)已知O 为坐标原点，点A 、B 分别在x 轴，y 轴上运动，且|AB |＝8，动点P 满足AP u u u r ＝35PB u u u r，设点P 的轨迹为曲线C ，定点为M (4,0)，直线PM 交曲线C 于另外一点Q .(1)求曲线C 的方程； (2)求△OPQ 面积的最大值．7．(文)有一个装有进出水管的容器，每单位时间进出的水量各自都是一定的，设从某时刻开始10分钟内只进水、不出水，在随后的30分钟内既进水又出水，得到时间x(分)与水量y(升)之间的关系如图所示，若40分钟后只放水不进水，求y 与x 的函数关系．8(理)已知矩形ABCD 的两条对角线交于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，AB 边所在直线的方程为3x －4y －4＝0.点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，13在AD 所在直线上．(1)求AD 所在直线的方程及矩形ABCD 的外接圆C1的方程；(2)已知点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，点F 是圆C1上的动点，线段EF 的垂直平分线交F M 于点P ，求动点P 的轨迹方程．9．已知直线l1过点A(－1,0)，且斜率为k ，直线l2过点B(1,0)，且斜率为－2k ，其中k ≠0，又直线l1与l2交于点M.(1)求动点M 的轨迹方程；(2)若过点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1的直线l 交动点M 的轨迹于C 、D 两点，且N 为线段CD 的中点，求直线l 的方程．10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，平行于x 轴且过点A(33，2)的入射光线l1被直线l ：y ＝33x 反射，反射光线l2交y 轴于B 点，圆C 过点A 且与l1、l2都相切，求l2所在直线的方程和圆C 的方程．11设)1,0,2(),1,1,3(),0,0,1(C B A 为o ——xyz 内的点。

（1）求矢量BC 与CA 的夹角，（2）求射影BC AB？12、求以直角坐标系中矢量{}{}{}2,2,1,3,4,2,1,0,3--=-=-=c b a 为三邻边作成的平行六面体的体积。

13、求球面z z y x 2222=++与旋转抛物面)(2322y x z +=的交线在xoy 坐标面上的射影。

14、求两平行平面1π：035623=--+z y x 和2π：056623=--+z y x 间的距离；并将平面035623=--+z y x 化为法式方程。

15、一直线通过点且与),0,1,1(z 轴相交，其夹角为4π，求此直线的方程。

16、求准线为⎪⎩⎪⎨⎧==+-3294222z z y x 且母线平行于z 轴的柱面方程。

17、求过单叶双曲面11649222=-+z y x 上点)8,2,6(的直母线方程。

18、（本题10分）设矢量b a B b a A +=+=λ,2，其中2,1==b a 且b a ⊥，试求（1）λ为何值时B A ⊥；（2）λ为何值时，以A 和B 为邻边构成的平行四边形面积为6。

19、（本题12分）设一平面垂直于平面0=z ，并通过从点)1,1,1(-到直线⎩⎨⎧==+-001x z y 的垂线，求此平面的方程。

20（本题6分）试证明两直线1l ：01+=-=z y x ，2l ：0111+=-=-z y x 为异面直线。

1解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2.解得a ＝－34.(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质， 得⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝|4＋2a |a 2＋1，CD 2＋DA 2＝AC 2＝22，DA ＝12AB ＝ 2.解得a ＝－7，或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.2解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么A 、B 的坐标是方程组⎩⎨⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y －1＝0的解．由ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 22＝1，两式相减，得a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， 因为y 1－y 2x 1－x 2＝－1，所以y 1＋y 2x 1＋x 2＝ab， 即2y C 2x C ＝a b ，y C x C ＝a b ＝22，所以b ＝2a .① 再由方程组消去y 得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0， 由|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2(x 1－x 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝22， 得(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4，即(2b a ＋b )2－4·b －1a ＋b＝4.② 由①②解得a ＝13，b ＝23，故所求的椭圆的方程为x 23＋2y23＝1.3解：(1)依题意，圆心的轨迹是以F (0,2)为焦点，L ：y ＝－2为准线的抛物线． 因为抛物线焦点到准线距离等于4， 所以圆心的轨迹是x 2＝8y .(2)证明：因为直线AB 与x 轴不垂直， 设AB ：y ＝kx ＋2.A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y ＝18x 2，可得x 2－8kx －16＝0，x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－16. 抛物线方程为y ＝18x 2，求导得y ′＝14x .所以过抛物线上A 、B 两点的切线斜率分别是k 1＝14x 1，k 2＝14x 2，k 1k 2＝14x 1·14x 2＝116x 1·x 2＝－1.所以AQ ⊥BQ .4解：∵e ＝ca ＝a 2－b 2a 2＝22，∴a 2＝2b 2. 因此，所求椭圆的方程为x 2＋2y 2＝2b 2，又∵AB 为直径，(2,1)为圆心，即(2,1)是线段AB 的中点， 设A (2－m,1－n )，B (2＋m,1＋n )，则⎩⎪⎨⎪⎧(2－m )2＋2(1－n )2＝2b 2，(2＋m )2＋2(1＋n )2＝2b 2，|AB |＝2 203⇒⎩⎪⎨⎪⎧8＋2m 2＋4＋4n 2＝4b 2，8m ＋8n ＝0，2m 2＋n 2＝2203⇒⎩⎪⎨⎪⎧2b 2＝6＋m 2＋2n 2，m 2＝n 2＝103，得2b 2＝16.故所求椭圆的方程为x 2＋2y 2＝16.6解：(1)设A (a,0)，B (0，b )，P (x ，y )，则AP u u u r ＝(x －a ，y )，PB u u u r＝(－x ，b －y )，∵AP u u u r ＝35PB u u u r ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝－35x ，y ＝35(b －y ).∴a ＝85x ，b ＝83y .又|AB |＝a 2＋b 2＝8，∴x 225＋y 29＝1.∴曲线C 的方程为x 225＋y 29＝1.(2)由(1)可知，M (4,0)为椭圆x 225＋y 29＝1的右焦点， 设直线PM 方程为x ＝my ＋4，由⎩⎪⎨⎪⎧x 225＋y 29＝1，x ＝my ＋4，消去x 得(9m 2＋25)y 2＋72my －81＝0， ∴|y P －y Q |＝(72m )2＋4×(9m 2＋25)×819m 2＋25 ＝90m 2＋19m 2＋25. ∴S △OPQ ＝12|OM ||y P －y Q |＝2×90m 2＋19m 2＋25＝20m 2＋1m 2＋259＝20m 2＋1m 2＋1＋169＝20m 2＋1＋169m 2＋1≤2083＝152， 当m 2＋1＝169m 2＋1， 即m ＝±73时，△OPQ 的面积取得最大值为152，此时直线方程为3x ±7y －12＝0. 7[解析] 当0≤x ≤10时，直线过点O(0,0)，A(10,20)，∴kOA ＝2010＝2，∴此时直线方程为y ＝2x ；当10<x ≤40时，直线过点A(10,20)，B(40,30)， 此进kAB ＝30－2040－10＝13，∴此时的直线方程为y －20＝13(x －10)，即y ＝13x ＋503；当x>40时，由题意知，直线的斜率就是相应放水的速度，设进水的速度为v1，放水的速度为v2，在OA 段时是进水过程，∴v1＝2.在AB 段是既进水又放水的过程，由物理知识可知，此时的速度为v1＋v2＝13，∴2＋v2＝13.∴v2＝－53.∴当x>40时，k ＝－53.又过点B(40,30)，∴此时的直线方程为y ＝－53x ＋2903.令y ＝0得，x ＝58，此时到C(58,0)放水完毕．综上所述：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，0≤x ≤1013x ＋503，10<x ≤40－53x ＋2903，40<x ≤58.8[解析] (1)∵AB 所在直线的方程为3x －4y －4＝0，且AD 与AB 垂直，∴直线AD 的斜率为－43.又点N 在直线AD 上，∴直线AD 的方程为y －13＝－43(x ＋1)， 即4x ＋3y ＋3＝0.由⎩⎨⎧3x －4y －4＝04x ＋3y ＋3＝0，解得点A 的坐标为(0，－1)． 又两条对角线交于点M ，∴M 为矩形ABCD 的外接圆的圆心．而|MA|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－122＋－1－02＝52， ∴外接圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y2＝54. (2)由题意得，|PE|＋|PM|＝|PF|＋|PM|＝|FM|＝52，又|FM|>|EM|， ∴P 的轨迹是以E 、M 为焦点，长半轴长为54的椭圆，设方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)， ∵c ＝12，a ＝54，∴b2＝a2－c2＝516－14＝116. 故动点P 的轨迹方程是x2516＋y2116＝1. 9[解析] (1)设M(x ，y)，∵点M 为l1与l2的交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧ y x ＋1＝ky x －1＝－2k (k ≠0)，消去k 得，y2x2－1＝－2， ∴点M 的轨迹方程为2x2＋y2＝2(x ≠±1)．(2)由(1)知M 的轨迹方程为2x2＋y2＝2(x ≠±1)，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则2x12＋y12＝2①2x22＋y22＝2②①－②得2(x1－x2)(x1＋x2)＋(y1－y2)(y1＋y2)＝0， 即y1－y2x1－x2＝－2×x1＋x2y1＋y2， ∵N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1为CD 的中点， 有x1＋x2＝1，y1＋y2＝2，∴直线l 的斜率k ＝－2×12＝－1， ∴直线l 的方程为y －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12， 整理得2x ＋2y －3＝0. 10[解析] 直线l1：y ＝2，设l1交l 于点D ，则D(23，2)．∵l 的倾斜角为30°.∴l2的倾斜角为60°.∴k2＝ 3.∴反射光线l2所在的直线方程为y －2＝3(x －23)，即3x －y －4＝0.已知圆C 与l1切于点A ，设C(a ，b)．∵⊙C 与l1、l2都相切，∴圆心C 在过点D 且与l 垂直的直线上，∴b ＝－3a ＋8①圆心C 在过点A 且与l1垂直的直线上，∴a ＝33②由①②得⎩⎨⎧ a ＝33b ＝－1，圆C 的半径r ＝3， 故所求圆C 的方程为(x －33)2＋(y ＋1)2＝9.11、解:{}0,1,1--=BC ,{}1,0,1--=CA , (2)（1）21),(cos =∠，3),(π=∠；…………………………………2 （2）26-=prj AB 。