第3讲 电阻电路的分析-等效变换,支路、回路法
(完整版)电路(第五版)._邱关源原著_电路教案,第3章
第3章 电阻电路的一般分析● 本章重点1、独立independent KCL 、KVL 方程equations 个数；2、支路法列方程construct equations 解电路；3、网孔法列方程解电路analyse circuit ；4、回路法列方程解电路；5、节点法列方程解电路.● 本章难点1、含有理想电源Ideal Power 的回路法Loop method ；2、含有受控源Controlled source 的回路法；3、含有理想电源的节点法node method ；4、含有受控源的节点法。
● 教学方法本章主要讲述电阻电路的一般分析方法，即方程法。
本章采用讲授为主，自学为辅的教学方法,共需6课时.对独立KCL 、KVL 方程个数确定，可以自学；有关图论Graph 的内容，在15章统一讲解；对支路法、网孔法、回路法、节点法在不同情况下如何建立方程等重点和难点内容，课堂上要讲解透彻，课下布置一定的作业,使学生加深对内容的理解并牢固掌握。
为使学生能区分各方法的优点和应用对象，可采用一个电路用不同的方法来分析。
● 授课内容 3.1 支路法一、支路电流法以支路电流为未知量,根据KCL 、KVL 列关于支路电流的方程，进行求解的过程.图3—1仅含电阻和电压源的电路第1步 选定各支路电流参考方向,如图3—1所示. 第2步 对（n －1)个独立节点列KCL 方程如果选图3—1所示电路中的节点4为参考节点,则节点1、2、3为独立节点,其对应的KCL 方程必将独立,即:1 0431=+-I I I 2 0521=+--I I I 3 0632=-+I I I 第3步．对)1(--n b 个独立回路列关于支路电流的KVL 方程U s33 3Ⅰ：014445511=--++s s U I R U I R I R Ⅱ:05566222=--+-I R I R U I R s Ⅲ：033366444=+-+-I R U I R U I R s s 第4步．求解3。
第03章电阻电路的一般分析
例3 列支路电流法方程。
a
解：
I1 7
+ 70V
–
I2
1+
5U
_
7 I3 11 +
U 2-
节点a: –I1–I2+I3=0 回路1: 7I1–11I2 - 70 +5U =0 回路2: 11I2+7I3 - 5U =0 增补方程：
b
U=7I3
（1-18）
§3.4 网孔电流法
网孔电流——假想每个网孔中有一个网孔电流。方向可 任意假设。
（1-22）
理想电流源(恒流源)支路的处理
①若恒流源支路仅有一个网孔电流穿过，则该网孔电 流= ± 该恒流源电流(同方向取+，否则取-)。 ②非上述情况时:设恒流源两端电压，当作恒压源列方 程。然后增补恒流源电流与网孔电流的关系方程。
例2 列网孔电流方程。
R1
R2 im2 I3s
+ im1 I5s
第三章
电阻电路的一般分析
重点: 1.支路电流法; 2. 网孔电流法; 3.回路电流法; 4.节点电压法。
对于简单电路，通过电阻串、并联关系或 Y—△等效变换关系即可求解。如：
i总 R
R
R i=?
+
-u
2R
2R
2R 2R
i总
i总
u 2R
+
- u 2R
111 u i i总 2 2 2 16R
例4 列网孔电流方程。
解:网孔电流方向如图所示。 (R1 + R3)i1-R3i3=-U2
+
U1 _
R1
iS
R3 i1
+
第3讲_支路法、回路法
2. 自阻： R11、R22 、 R33，分别为回路1 、 2 、 3中的所有电阻之和 互阻： R12=R21（ l1与l2的互阻，绝对值为l1与l2的公共电阻） R13=R31（ l1与l3的互阻，绝对值为l1与l3的公共电阻） R23=R32（ l2与l3的互阻，绝对值为l2与l3的公共电阻） 3. 自阻和互阻的符号 自阻： 总为正（回路的绕行方向与回路电流参考方向一致） 互阻： 两相邻回路电流通过公共电阻时， 若参考方向相同，则互阻为 “+” 若参考方向相反，则互阻为 “－”
1Ω Ω
U _
Il3
2A Il3 2 Ω 2Ω
l1: 4 I l1 − I l 2 = 12 l2: − I l1 + 3.25I l 2 +U = 0 l3: 2 I l 3 − U = 0
补充方程： I l 2 − I l 3 = 2
习题：
27班：p34 1-24 p53 2-5-1 p77 2-10-1 28班：p34 1-25 p53 2-5-2 p77 2-10-2
支路电流法
KCL 列出独立节点的节点电流方程 KVL 列出独立回路的回路电压方程
§2-3 回路电流法（回路分析法）
I1 10 Ω n1 I l1 n4 I l3 3Ω n2 I6 I2 20Ω n3 I4 25Ω 11V
1. 回路电流是一组完备、独立的变量 ⑴ 独立性：例如 n4： (Il1－Ill) +(Il2－Il2) +(Il3－Il3) ≡0 KCL自动满足，可省略 ⑵ 完备性：若已求出Il1、Il2 、Il3 所 有的支路电流可用回路电流表示
(3)选独立回路，独立回路为 l =b–(n–1)个，然后根据KVL 和Ω定律，建立以支路电流为未知量的回路方程 l：独立回路数 b：支路数 n：节点数
电路分析基础第3章
R11im1+ R12 im2 = us11
R21im1 + R22im2 = uS22
R11=R1+R2 R22=R2+R3 R12=R21=R2 自阻
YANGTZE NORMAL UNIVERSITY 自阻总是正
R1 i1
a
R3
网孔1所有电阻之和
网孔2所有电阻之和
互阻 网孔1、2的公共电阻
i2 R2 + im1 + uS 1 uS2 – – b
us + 2
YANGTZE NORMAL UNIVERSITY
R1
L1
L2
R2
us -
+
L
1
i2
4 3
i4
R2
5
2
i5
C
1 3
4
5
R1
i2 i4 i5
有向图
返回
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§3-2 KCL和KVL的独立方程数
1、KCL的独立方程数
2
1 1 4 3 5 2 3
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电路分析基础
1
YANGTZE NORMAL UNIVERSITY
第三章 电阻电路的一般分析
重点：
支路电流法
网孔电流法 回路电流法 节点电压法
YANGTZE NORMAL UNIVERSITY
目的：找出求解线性电路的一般分析方法 。 对象：含独立源、受控源的电阻网络的直流稳态解。 (可推广应用于其他类型电路的稳态分析中） 应用：主要用于复杂的线性电路的求解。 基础： 电路的连接关系—KCL，KVL定律 元件特性(约束)(对电阻电路，即欧姆定律) 相互独 立
第3章 电阻电路的一般分析
解2. I1 7 + 70V –
a
增补方程：I2=6A 11 由于I2已知，故只列写两个方程。 a：–I1+I3=6 7
I2
1 6A b
I3
避开电流源支路取回路： 1: 7I1＋7I3=70
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例6.
I1 7
+ 70V –
列写支路电流方程（电路中含有受控源）。 a
I2 1 + 5U _ b 11 2 I3 + 7 U _ 解
返 回
支路、结点、路径、回路和网孔的概念。 (1)连通图 图G的任意两结点间至少有一条路径 时，称图G为连通图。非连通图至少 存在两个分离部分。
(2) 子图
若图G1中所有支路和结点都是图G中 的支路和结点，则称G1是G的子图。
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(3)树 (Tree)
T是连通图G的一个子图, 并满足条件：
依据:
KCL、KVL以及元件的VCR。
方法: 根据列方程时所选变量不同，可分为支路电流法、
网孔电流法、回路电流法和结点电压法。
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对于线性电阻电路，电路方程是一组线性代数方程。
例1
3
I1 R1 uS1 + –
a I2 I3
R2 + – b 2 独立？ R3 求I1、I2和I3?
1 uS2
独立回路＝2，选为网孔。
+ –
R3
i1 il 1 i3 il 2 i2 il 2 il 1
uS2
b
回路1：R1 il1-R2(il2- il1) +uS2-uS1=0 回路2：R2(il2- il1)+ R3 il2 -uS2=0 自电阻 (R1+ R2) il1 -R2 il2 = uS1-uS2
本科专业认证《数字电路与逻辑设计A》课程教学大纲
《数字电路与逻辑设计A》课程教学大纲（Digital Circuits and Digital DesignA）编写单位：计算机与通信工程学院计算机科学与技术系编写时间：2021年7月《数字电路与逻辑设计A》课程教学大纲一、基本信息课程名称：数字电路与逻辑设计A英文名称：Digital Circuits and Digital Design A课程类别：专业教育课程课程性质：必修课课程编码：0809000146学分：4总学时：64 其中，讲授64学时，实验0学时，上机0学时，实训0学时适用专业：计算机科学与技术先修课程与知识储备：高等数学、大学物理后继课程：计算机组成原理、嵌入式系统二、课程简介《数字电路与逻辑设计A》是计算机科学与技术专业学生的一门必修专业基础课程，是该专业学生学习有关“电”的重要工程基础类课程。
本课程首先学习电路的基本规律、定理以及电路的分析方法。
然后学习模拟电子电路的基本原理及分析设计方法，包括半导体器件、放大电路、集成运算放大器等相关知识。
最后学习数字逻辑电路的基本原理、基本分析方法和基本设计方法，掌握数字集成电路的使用，了解可编程逻辑器件原理和数字电路EDA设计概念，为后续专业课程的学习打下基础。
三、教学目标1、课程思政教学目标：集成电路产业的重要性、国内外差距现状、国内优势领域、创新意识培养、家国情怀和责任意识、严肃认真的科学作风。
2、课程教学总目标：通过本课程的教学，使学生掌握电路的基本理论知识和基本分析方法，以及模拟电路和数字电路的相关理论、分析和设计方法，培养学生的科学思维能力和理论联系实际解决问题的能力。
3、课程目标与学生能力和素质培养的关系：课程思政目标有利于培养学生的爱国意识、专业素养和良好的工作作风；课程教学目标有利于培养学生对计算机科学与技术中涉及到的模拟电路和数字电路问题进行分析和设计的能力。
4、毕业要求—课程目标关系（OBE结果导向）表1 毕业要求-课程目标关系表注：表中“H（高）、M（中）、L（弱）”表示课程与各项毕业要求的关联度。
电阻电路的等效变换
a
c
f
R1
R4
R3
R2
R5
b
Y形连接：各个电阻都有一端接在一个公共结点上，另一端则分别接到三个端子上。
形连接：各个电阻分别接在3个端子的每两个之间。
请学生分析电桥电路中电阻的连接特点：Y形连接和形连接。
1
i
1
1
i
s
R
u
_
பைடு நூலகம்
+ i
+
Ri
s
_
u
R
_
Gu
u
i
s
-
=
R
在具体解题当中应该注意三点： 1）电源等效变换时的参考方向,电流源的流向与电压源内部电流方向一致。 2）受控电压源和受控电流源之间的等效变换同独立电源，注意：受控源的控制支路在等效变换中应该保留
已知：电路如图所示，求：图中的开路电压 。
R
0
i
+
+
u
s
R
1
i
a
R
1
u
oc
-
_
3.应用
4.例题：
含受控源一端口网络
+
-
us
i
i
u
R
S
in
=
含受控源一端口网络
+
-
u
is
u
i
S
=
R
in
根据定义：
说明：因为求解的是端口的输入电阻，要注意在端口上的电压和电流的关系的参考方向标法，此处为关联参考方向的表达式。若非关联求解公式要加负号。
3．例题
例1. 求图示一端口的的输入电阻.
例析物理竞赛中纯电阻电路的简化和等效变换
例析物理竞赛中纯电阻电路的简化和等效变换计算一个电路的电阻，通常从欧姆定律出发，分析电路的串并联关系。
实际电路中，电阻的联接千变万化，我们需要运用各种方法，通过等效变换将复杂电路转换成简单直观的串并联电路。
本节主要介绍几种常用的计算复杂电路等效电阻的方法。
1、等势节点的断接法在一个复杂电路中，如果能找到一些完全对称的点（以两端连线为对称轴），那么可以将接在等电势节点间的导线或电阻或不含电源的支路断开（即去掉），也可以用导线或电阻或不含电源的支路将等电势节点连接起来，且不影响电路的等效性。
这种方法的关键在于找到等势点，然后分析元件间的串并联关系。
常用于由等值电阻组成的结构对称的电路。
【例题1】在图8-4甲所示的电路中，R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R ，试求A、B两端的等效电阻R AB。
模型分析：这是一个基本的等势缩点的事例，用到的是物理常识是：导线是等势体，用导线相连的点可以缩为一点。
将图8-4甲图中的A、D缩为一点A后，成为图8-4乙图。
3R 。
答案：R AB =8【例题2】在图8-5甲所示的电路中，R1 = 1Ω，R2 = 4Ω，R3 = 3Ω，R4 = 12Ω，R5 = 10Ω，试求A、B两端的等效电阻R AB。
模型分析：这就是所谓的桥式电路，这里先介绍简单的情形：将A、B两端接入电源，并假设R5不存在，C、D两点的电势相等。
因此，将C、D缩为一点C后，电路等效为图8-5乙对于图8-5的乙图，求R AB 是非常容易的。
事实上，只要满足21R R =43R R 的关系，该桥式电路平衡。
答案：R AB =415Ω 。
【例题3】在如图所示的有限网络中，每一小段导体的电阻均为R ，试求A 、B 两点之间的等效电阻R AB 。
【例题4】用导线连接成如图所示的框架，ABCD 是正四面体，每段导线的电阻都是1Ω。
求AB 间的总电阻。
2、电流分布法 设有电流I 从A 点流入、B 点流出，应用电流分流的思想和网络中两点间不同路径等电压的思想，（即基耳霍夫定理），建立以网络中各支路的电流为未知量的方程组，解出各支路电流与总电流I 的关系，然后经任一路径计算A 、B 两点间的电压AB U ，再由IU R ABAB =即可求出等效电阻。
第3讲 电阻电路的分析-等效变换,支路、回路法
iS iS i
G u
i1 1
u 外 电 路
1 is G
G u u
G
u G
Gu is i
1`
1`
0
(c) 有伴电流源
(d) 伏安特性
有伴电流源的端子1—1′处的电压与电流的关系为
i is G u
§2-1 有伴电源的等效变换
4.有伴电源的转换
（1）当R≠0或R’≠∞时，有伴电压源和有伴电流源对于电 路的其余部分来说，是可以互相转换的。
自阻： 总为正（回路的绕行方向与回路电流参考方向一致） 互阻： 两相邻回路电流通过公共电阻时， 若参考方向相同，则互阻为 “+” 若参考方向相反，则互阻为 “－”
§2-3 回路电流法(回路分析法)
4.解方程组：消元法……
5.回路电阻矩阵
60 20 30 20 65 25 30 25 58 I l1 0 I 0 l2 I l 3 11
（2）转换关系为：R＝1/G；uS＝R*iS
i
1 iS i i 1 iS G 1 u G u u u 外 G 电 G 路 1` 1`
1 外 R i R u 电 u 路 uuS S 1` 1`
G 1/ R is us / R
u us R i
R 1/ G us is / G
i is G u
例:求i
2A
2A
6A 6V
i
3A
i
6A
∴(1+2+7) i = 9－4 i = 5/10= 0.5A
电阻 等效电路
一、概念
1. 电阻的星形连接
三个电阻元件、、的一端连在一起，另一端分别连接到电路三个节点的连接方式叫做星形连接，也叫Y连接（T连接）,如图2.5所示。
图2.5 电阻的星形连接
2. 电阻的三角形连接
三个电阻元件、、首尾相连，接成一个三角形的连接方式叫做三角形连接，也叫△连接（π连接），如图2.6所示。
图2.6 电阻的三角形连接
二、两种连接方式的等效变换
1. 等效变换条件：对应端口的电流、电压均相同
2. 等效变换结果：
①Y →△：
②△→ Y ：
三、电阻星形与三角形等效变换步骤：
1. 确定星形或三角形的三个顶点；
2. 去掉在三个顶点内的电阻，换为另一种连接的三个电阻；注意：在三个顶点外的电阻不能动！
3. 计算替换换后的三个电阻阻值；
4. 再按电阻串并联进行等效化简、计算。
例2.5 在图2.7（a）中，求各电阻的电流。
解：将图（a）中顶点acd△连接等效变换为acdY联接，如图2.7（b），则。
第3章 电阻电路的一般分析方法
(2) 列KCL方程： iR出= iS入
结点 1 i1+i6=iS3 代入支路特性（用结点电压表示）：
结点 2
un 2 un 2 un3 un 2 un3 un1 un 2 is 2 (2) R2 R3 R4 R6
i2 + i3 + i4 – i6= -iS2
电路物理量的关系 （电流、电压）
本课程主要研究电路分析，其基本方法： 确定变量 根据约束关系列方程 求解
特点：不改变电路结构，由根据约束关系建立方程求解。
回路电流法（网孔法）和结点电压法。
根据列方程时所选变量的不同可分为支路电流法、
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3.1 支路电流法
一、支路电流法：以各支路电流为未知量列写电路， 方程分析电路的方法，称为支路电流法。 步骤：
方法2：选取独立回路时，使理想电流源支路仅仅属 于一个回路, 该回路电流即IS 。
R3 _ Ui + US1_ R1 I1=IS -R2I1+(R2+R4+R5)I2+R5I3=-US2 R1I1+R5I2+(R1+R3+R5)I3=US1
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+
I3
R4 I2 R5
IS R2 I1 _ US2 +
u2＝R2（iL1－iL2）
章目录 上一页 下一页
回路电流法的一般步骤： (1) 选定独立回路，并在图中标出。 (2) 对独立回路，以回路电流为未知量，列写其 KVL方程。
注意自电阻总是正，互电阻可正可负； 沿着回路绕行方向，电源压升为正，压降 为负； (3)当电路中有受控源或无伴电流源时需另行处理； (4) 求各支路电流(用回路电流表示)；
第三章--电阻电路的一般分析
i1 R1 ① R3 i3
i2
us+1
-
imu1sR2+2
im2
+ us3
-
-
(1)标出网孔电流的参考方向；
②
(2)以各自的网孔电流方向为绕行方向，
列KVL方程； 注意：im1和im2都流过R2！
孔1： R1 im1+R2 im1-R2im2 = us1 -us2 孔2：-R2 im1+R2 im2 +R3 im2 = us2-us3
3
③
4
5
④6
4个方程相加结果为0，不是相互独立的。
把任意3个方程相加起来，必得另一个方程。
相差一个符号，原因是各电流在结点① ② ③若
是流入(出)，则在结点④就是流出(入) 。
2019年9月13日星期
9
五
上述4个方程中，任意3个是独立的。
对具有n个结点的电路，独立的KCL方程为任意 的(n-1)个 。 与独立方程对应的结点叫做独立结点。
现在介绍有关 “图论”的初步知识， 目的是研究电路的连 接性质，并讨论电路 方程的独立性问题。
因为KCL和KVL与元件的性质无关， 所以讨论电路方程的独立性问题时，可以用一
个简单的线段来表示电路元件。
2019年9月13日星期
3
五
用线段代替元件，称支路。 线段的端点称结点 。
这样得到的几何结构图称为 图形，或“图(Graph)”。
二、 KVL的独立方程数 与KVL的独立方程对应的回路称独立回路。
因此，要列出KVL的独立方程组，首先要找出与之 对应的独立回路组。
有时，寻找独立回路组不是一件容易的事。利用 “树”的概念会有助于寻找一个图的独立回路组。
电路复习——总复习——公式总结——邱关源《电路》第五版
第1章 电路模型和电路定律
输入:激励↔电源（电能或电信号发生器） （激励源：电压源、电流源） 输出:响应（电源作用下产生的电压、电流） 负载:用电设备 端子数:元件对外端子的数目
3
i1 + _
二端子
i2 + _
四端子
+ u2 _
u、i参考方向一致→关联 p＞0，吸收功率 p＜0，释放功率 u、i参考方向相反→非关联 p＞0，吸收功率 p＜0，释放功率
R1R2 + R2R3 + R3R1 △形电阻= Y形电阻两两乘积之和 R23 = Y形不相邻电阻 R1
i3 Δ R31 =
R1R2 + R2R3 + R3R1 R2
R1 = R2 = R3 =
R 12 R 12 R 12
R 12 R 31 + R 23 + R 31
△相邻电阻的乘积 R 23 R 12 Y形电阻= △形电阻之和 + R 23 + R 31
Ri Ro
∞
0
∞
理想运算放大器规则：
+ ① i1 = i2 = 0 ② u- = u+ 虚断 虚短 -
i1 u-
+
∞
+ + uo -
u+ ui
i2 -
原因： Ri→ ∞
电压跟随器
21
第6章
电容:
储能元件
q:电荷，单位库伦c， u:电压，单位伏特V， C：电容，单位法拉F Ψ：磁通链， Φ：磁通， N：匝数 L ：电感或自感系数
流出结点为+ 流入结点为-
• KVL ：（回路） ∑ u = 0 （回路电压代数和为0）
第三章电阻电路的一般分析
第三章电阻电路的一般分析本章内容：1．电路的图及KCL和KVL独立方程数 2．支路分析法3．网孔分析法4．回路电流法5．结点分析法本章重点：主要学习电阻电路的方程建立及一般分析方法（支路分析法、网孔分析法、节点分析法、回路分析法。
其中，支路分析法是最基本的方法）。
本章难点：独立回路数的确定, 回路分析法及节点分析法.§3-1 电路的图本节介绍有关图论的初步知识，学习应用图的方法选择电路方程的独立变量一、电路的图（G）数学上的图：是边（支路）和顶点（结点）的集合，每一条边都连到相应的顶点上，边是抽象的线段，当移去边时，顶点保留，当移去顶点时，应将顶点所连的支路移走。
1．电路的图（连通图G）：是将支路画成的抽象线段形成的节点和支路的集合，结点相对于数学图的顶点，支路相当于数学图中的边。
支路是实体。
KVL和KCL 与元件的性质无关，故可用图讨论其方程。
2．无向图：画出的没有方向的图为无向图3．有向图：画出的有方向的图为有向图4．连通图：任意两个结点之间至少有一条支路或路径时的图为连通图。
二、电路的图的画法（有几种，其中简便的画法）1．一般将电阻和电压源串联的组合，电阻和电流源并联的组合看成一条支路, 将流过同一个电流的每一个分支看成一条支路。
如（b）2．指定电流和电压的参考方向，一般选关联参考方向。
如图（c）(a) (b) (c)§3-2 KCL和KVL的独立方程数一、KCL的独立方程数（n个结点电路，KCL的独立方程是n-1个）将电路的有向图，结点和支路加以编号，如下图，对结点①②③④列写KCL 方程有由于每条支路与两个结点相联，其电流从一个节点流出，从另一个结点流入，一正，一负（从表达式可见），将上面4个方程相加，等式两边为0，说明4个方程不是独立的；将上面3个方程相加，等式两边不为0，说明3个方程是独立的。
可见，n个结点电路，n-1个结点的KCL方程是独立的一、KVL的独立方程数（b条支路，n个结点，KVL为b-(n-1)个）KVL的独立方程数等于独立回路数独立回路数等于基本回路数，回路与支路的方向无关，以无向图讨论。
第三章 电阻电路的一般分析
例
I1
＋ US1
①
＋
－
(
U S1 U S 2 1 1 1 U n1 IS3 R1 R2 R3 R1 R2 U S1 U S 2 IS3 R1 R2 U n1 1 1 1 R1 R2 R3
)
－
R1
R2
R3
IS3
对n=2的电路有
U n1
GU I G
I1 I l 1 I 2 I l1 I l 2 I3 Il2
据KVL得
R1 I1 R2 I 2 U S1 U S 2 R I R I U 3 3 S2 2 2
(不可解)
回路电流法比支路电流法求解的方程数少（n1）即只有(b-n+1)个。
由于有受控源，100=R12 ≠R21 = –1350 ！
例2．求uA 、iB
a iB 4Ω
6A
b + 20V
-
6Ω
iC
+ u A-
c
3Ω
2 uA
d
－ 2Ω 6iB ＋
a
b
c
o
解：回路取lbodb(2uA) 、 labdoa(iB) 、 lbcdb (iC)， lacdoa(6A) labdoa 7iB +3×6＝6iB -20 lbcdb 8iC+2×6 = 20
其系数规律为：
R11 ─自电阻,回路l1的所有电阻之和(恒正)(R22…Rmm 同)；
R12 、R21 ─互电阻,回路1、2的公有电阻“代数和”，Il1 、 Il2在互电阻上同方向时取正；反之取负。无受控源时相 等.
US11 ─ 回 路 l1 沿 Il1 方 向 上 电 压 源 电 位 升 的 代 数 和 (US22…USmm 同)。
22745-第3章电阻电路的分析方法
• 在这3个方程中，无论哪一个都不能从其 他两个相加减而导出，因而它们是独立的。
• 如果任意再取一个回路，如由支路（1， 4，5，3）构成的回路，列出的回路电压方 程为
R1 I1 R4 I 4 R5 I 5 R3 I 3 U S1 U S3
• 一般说来，对于具有b条支路，n个节点的 电路，应用基尔霍夫电压定律只能列出 l = b(n1) = bn + 1个独立的回路电压方程。
u1 un1 , u2 un1 , u3 un1 un 2 , u4 un1 un 2 , u5 un 2
图3-3-1 节点电压法
• 同时，节点电压自动满足了KVL，因为 沿任意一回路的各支路电压，若都以节点 电压来表示，则其代数和恒等于零。 • 例如，对于R2、R3、R5所构成的回路， 有
（3）根据KVL和VCR对(b−n + 1)个独 立回路列写KVL方程。 （4）求解上述方程，得到b个支路电流。 （5）求解电路的其他变量，如求解电 压、功率等。
3.2 网孔电流法和回路电流法
• 支路电流法需要求解b个联立方程，如果 电路结构比较复杂，支路较多，上述方法 在求解时将相当繁杂。
• 能否使方程数目减少下来而简化手工求 解的工作量呢？网孔电流法和回路电流法 就是基于这种想法而提出的一类改进方法。
（3）选取(bn + 1)个独立回路，指 定回路绕行方向，应用基尔霍夫电压 定律列出回路方程。对平面电路可取 各网孔为独立回路。 （4）联立求解上述b个独立方程，便 可求得全部支路电流。
• 例3-1-1 对图3-1-2所示的电路，若R1 = 6， R2 = 12，R3 = 24，uS1 = 96V，uS2 = 60V， 求各支路电流及各电压源的功率。
电阻电路的支路电流法和回路电流法分析相关知识讲解
6个未知数，6个独立方程，可求出各支路电流
独立回路：独立KVL方程所对应的回路。
KVL
问题：如何保证所选回路是独立的？ 平面电路：可以画在平面上，不出现支路交叉的电路。
1
2
3
(1) 对平面电路，b–(n–1)个网孔即是一组独立回路。 (2) 每增选一个回路使这个回路至少具有一条新支路。
非平面电路：在平面上无论将电路怎样画，总有支 路相互交叉。
a I2 R2
I1
b
I3
US1=5V， R1=500， R2=1000，R3=1000 ，
R3 =50。
求各支路电流。
I1 500
+ 5V
–
a
I2
1000 1
2
+
50I1
U –
b
解 I3 (1) n–1=1 1个KCL方程：
1000 节点a：–I1+I2+I3=0 (2) b–( n–1)=2 2个KVL方程：
电阻电路的支路电流法和回路电流 法分析相关知识讲解
第一讲（总第九讲）
支路电流法 回路电流法
列方 程依 据
元件特性(约束) (对电阻元件，即欧姆定律)
电路结构—KCL、KVL
电路分析：求 解各支路的电压 、 电流 和功率。
I
U=RI
P=UI
支路电流法 (branch current method )
这4个方程是不独立的
一般情况： 对有n个节点的电路，只有n-1个独立的KCL方程。任
意划去其中一个方程，剩余的就是独立方程。
独立节点：与独立KCL方程对应的节点。 被划去的节点通常被设为电路的参考节点。
由KVL所能列写的独立方程数为： l = b - (n-1)
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20 I l2
I3 30 I5
11V
(10+20+30) Il1
－20 Il2
－30 Il3 = 0 －25 Il3 = 0
－20 Il1 + (20+25+20) Il2
－30 Il1
－25 Il2 + (30+25+3) Il3 = 11
§2-3 回路电流法(回路分析法)
(10+20+30) Il1 －20 Il2 －30 Il3 = 0 R12 R13 R11 －20 Il1 + (20+25+20) Il2 －25 Il3 = 0 R21 R23 R22 －30 Il1 －25 Il2 + (30+25+3) Il3 = 11 R31 R32 R33
12.互易定理
13.最大功率传输定理
§2-1 有伴电源的等效变换
1.等效变换的概念
----若两个二端网络N1和N2，当它们与同一个外部电路相 接，在相接端点处的电压、电流关系完全相同时，则称N1 和N2为相互等效的二端网络．
（1）电路的等效变换
----指端子具有相同的u—i关系的电路，它们对外电路来 说是等效的。
§2-3 回路电流法(回路分析法)
1.回路电流是一组完备、独立的变量
I1 10 n1 I l1 n4 I l3 3 n2 I6 I2 20
⑴ 独立性： 例如 n4：
n 3 (Il1－Ill) +(Il2－Il2) +(Il3－Il3)≡0 I4 25 11V
20 I l2
I3 30 I5
§2-1 有伴电源的等效变换
2.有伴电压源（实际电压源模型）
i 1
1 外 R i 电 R u u 路 uu S S 1` 1`
u us Ri 0
1 us i R
(a) 有伴电压源
(b) 伏安特性
有伴电压源的端子1—1′处的电压与电流的关系为
u us R i
§2-1 有伴电源的等效变换
（2）单口网络的等效
----如果一个单口网络N和另一个单口网络N’的电压、电流 关系完全相同，亦即它们在u－i平面上的伏安特性曲线完 全重叠，则这两个单口网络便是等效的。
§2-1 有伴电源的等效变换
1.等效变换的概念
（3）单口网络的特点： • 一个单口网络的端口特性是确定的，不会随所接的外电 路不同而发生变化； • 内部结构完全不同的网络可以有相同的端口特性，因此， 对任一外电路M来说，它们的影响是完全相同的。 • 戴维宁等效/诺顿等效电路是单口网络的最简单的等效电 路。因此，等效往往采用这两种等效电路。 （4）几种常用的等效变换 电阻的串并联、混联； 含源支路的等效变换； 等效电阻的求取； 含受控源网络的等效变换； 独立点源的串并联、分裂与转移； Y-等效变换。
12V
I1
I2 I5
2.25 I4 I3
3
1
2
2A
例：列出上题电路的网孔方程
解：方法二
可用有伴电压源和有 伴电流源的等效变换把 原电路中的
I1 12V
I2 I5
2.25 I3 I4 2 2A
3
1
2A
变换成一个 电压源模型
4V
I1 12V
I2 I3
电路就变成了2个网孔， 即可建立网孔回路方程。
自阻： 总为正（回路的绕行方向与回路电流参考方向一致） 互阻： 两相邻回路电流通过公共电阻时， 若参考方向相同，则互阻为 “+” 若参考方向相反，则互阻为 “－”
§2-3 回路电流法(回路分析法)
4.解方程组：消元法……
5.回路电阻矩阵
60 20 30 20 65 25 30 25 58 I l1 0 I 0 l2 I l 3 11
（2）转换关系为：R＝1/G；uS＝R*iS
i
1 iS i i 1 iS G 1 u G u u u 外 G 电 G 路 1` 1`
1 外 R i R u 电 u 路 uuS S 1` 1`
G 1/ R is us / R
u us R i
R 1/ G us is / G
§2-3 回路电流法(回路分析法)
因而有
4 I l1
I l 2 12
I l1 5.25I l 2 4 I l1 3.35 A
I l 2 1.4 A
由此求得
∴ 多支路电流
I1 I l1 3.35 A
I 2 I l 2 1.4 A I3 Il3 2 A
R 2.自阻： 11、R22 、R33，分别为回路1、2、3中的所有电阻之和 R 互阻： 12=R21（l1与l2的互阻，绝对值为l1与l2的公共电阻） R13=R31（l1与l3的互阻，绝对值为l1与l3的公共电阻） R23=R32（l2与l3的互阻，绝对值为l2与l3的公共电阻）
3.自阻和互阻的符号
§2-2 支路电流法(支路分析法)
1. 支路电流法的求解步骤：
(3)选独立回路，独立回路为 l =b–(n–1)个，然后根据 KVL和Ω定律，建立以支路电流为未知量的回路方程 l：独立回路数 b：支路数 n：节点数
R6 n1 U S1 I1 l1 R1 R3 R4 I4 I6
l3
n3 R 5 US3 I3 n4 I5 n2 US2
i is G u
例:求i
2A
2A
6A 6V
i
3A
i
6A
∴(1+2+7) i = 9－4 i = 5/10= 0.5A
2A
4V
i
9A
i
9V
释:
1. 2. 3. 4. 5. 两个条件必须同时满足 保持变换前后参考方向一致 等效是对外部而言，对内不等效 与理想电压源并联的元件（支路）对外电路讨论时断开处理 与理想电流源串联的元件（支路）对外电路讨论时可以短接
I 补充方程： l 2 I l 3 2
习题：
作业：p34 1-24 p53 2-5-1 p77 2-10-1
练习：p34 1-25 p53 2-5-2 p77 2-10-2
第二章 电阻电路的分析
基本理论与内容
1.有伴电源的等效变换 （实际电源的模型） 2.支路电流法（支路分析法） 3.回路电流法（回路分析法） 4.节点电压法（节点分析法） 5.电源的转移 6.叠加定理 7.替代定理 8.戴维南定理 9.诺顿定理
10.星形(Y)和三角形(△)
网络的等效变换 11.特勒根定理
§2-2 支路电流法(支路分析法)
1.支路电流法的求解步骤：
R6 n1 U S1 I1 R1 R3 R4 I4 n 3 R 5 US3 I3 n4 I6 n2 US2 I2 R2
⑴选定各支路电流的参考方向 并标示在图中
I5
⑵应用KCL建立(n–1)个独立 节点方程 n1：–I1+I4+I6 = 0 n2：–I2 – I5 – I6 = 0 n3：I3 – I4 + I5 = 0 n4：I1 + I2 – I3 = 0 具有n个节点的复杂电路中 独立节点数=（n-1）
KCL自动满足，可省略 ⑵ 完备性： 若已求出Il1、Il2 、Il3 ，则所有的 支路电流可用回路电流表示
§2-3 回路电流法(回路分析法)
I1 10 n1 I l1 n4 I l3 3 n2 I6 I2 20 n3 I4 25
l1：10 Il1 + 20 Il1 + 30 Il1 －20 Il2 －30 Il3 = 0 l2：20 Il2 + 25 Il2 + 20 Il2 －20 Il1 －25 Il3 = 0 l3：30 Il3 + 25 Il3 + 3 Il3 －30 Il1 －25 Il2 = 11 合并同类项
----以支路电流为未知量，根据KCL、KVL列关于支路电流 的方程，然后进行求解的过程。
KCL:列出独立节点的节点电流方程（n-1）个 支路电流法 KVL:列出独立回路的回路电压方程b-（n-1）个
支路法缺点： Байду номын сангаас程数多!
是否有其它方法可使方程数减少？
§2-3 回路电流法(回路分析法)
目的：减少电路方程的数目 回路法——以（独立）回路电流作为自变量，按照KVL和 元件方程列出独立回路电压方程的方法。 回路电流——假想在每一回路中各有一“环形” 电流在流 动，并且任一支路电流可用流过这一支路的 “环行”电流的代数和来表示，这些环行电流 就称为回路电流。 具体步骤： 1、选择一组独立回路——网孔是一组独立回路 2、为独立回路选定回路电流和方向（作为建立回路方程 时，计算电压降代数和以及电位升代数和的参考方向）。 3、应用KVL和元件方程列出独立回路电压方程。
l1：R1I1 + R3I3 + R4I4 = US1 –US3 l2：–R2I2 –R3I3 +R5I5 = –US2+US3 l3：–R4I4 –R5I5 +R6I6 = 0
l2
I2 沿回路参考方向列方程，电阻电压降 R2 的代数和等于电源电势升的代数和
§2-2 支路电流法(支路分析法)
2.支路电流法小结
2.25 I4 4V 2
3
1
例：列出上题电路的网孔方程 解：方法三 要求在原电路上列出网孔方程
（绕线方向如红线所示）
12V 12V I1 I I2 I 2.25 2.25 I3 I I4 I