多元函数泰勒公式
多元函数高阶导数
多元函数高阶导数作为微积分中的重要概念，导数可以理解为某一函数在某一点处的切线斜率。
在单变量函数中，我们常常利用极限的方法求导。
但在多元函数中，情况就会变得更为复杂。
本文将介绍多元函数的高阶导数，为读者打开一扇理解多元函数导数若干复杂问题的新门径。
1. 多元函数定义多元函数是指将多个变量作为自变量的函数，可以表示为$ f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} $。
在一元函数中，自变量只有一个，如$f(x) = x^2$。
而在多元函数中，自变量可以是两个或多个，如$f(x,y) = x^2 + y^2$。
2. 偏导数多元函数中，存在若干个自变量，求导时需要指定对某一个自变量求导。
这就是偏导数的概念。
偏导数是指在其他自变量不变的情况下，对某一自变量求导得到的导数。
以二元函数为例，假设有$f(x,y) = x^2 + y^2$，求其在点$(1,1)$处对$x$的偏导数。
我们可以先将函数$ f(x,y) $带入偏导数的定义式：$$\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(x + \Delta x,y) - f(x,y)}{\Delta x}$$由于我们要在$(1,1)$处求偏导数，因此将$x$代入$1$，得到：$$\frac{\partial f}{\partial x}|_{(1,1)} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(1 + \Delta x,1) - f(1,1)}{\Delta x}$$化简后得到：$$\frac{\partial f}{\partial x}|_{(1,1)} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(1+\Delta x)^2 + 1^2 - (1^2 + 1^2)}{\Delta x} = 2$$同样的，我们可以求出在$(1,1)$处对$y$的偏导数：$$\frac{\partial f}{\partial y}|_{(1,1)} = \lim_{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f(1,1 + \Delta y) - f(1,1)}{\Delta y} = 2$$3. 高阶偏导数如果某一函数的偏导数存在，我们就可以考虑对它进行求导。
泰勒公式在考研数学的常见应用
泰勒公式在考研数学的常见应用泰勒公式在解题中的妙用——从几道数学考研题说起泰勒公式是数学分析中的重要工具之一，它反映了函数在某一点处的局部行为。
在很多数学问题中，泰勒公式的应用可以帮助我们更好地理解问题的本质，从而找到更简洁高效的解题方法。
本文将从几道数学考研题入手，详细阐述泰勒公式在解题中的应用，同时介绍一些应用技巧和注意事项，并进一步拓展泰勒公式在更高维度和更复杂问题中的应用。
求limx→0(1+x+x2/2−−−−−−−√)−1x−−−−−−−−−−−−−−−√ex−1ex−1这道考研题中，我们可以将函数f(x)=(1+x+x2/2)−−−−−−−−−−−−−−−√ex −1在x=0处展开成泰勒级数，然后利用级数求和的方法得到答案。
具体步骤如下：f(x)=ex−1+xex−1+x22ex−1=(x+1)+x22+O(x3)因此，limx→0f(x)=limx→0(x+1)+limx→0x22+O(x3)=12+1+0=32这道考研题可以利用泰勒公式将sinxx展开成幂级数，然后求导n 次得到答案。
具体步骤如下：y=sinxx=∑k=0∞(−1)k×x2k+O(x3)y(n)=∑k=n∞(−1)k×2k×x2k−n+O(x3)因此，y(n)(0)=∑k=n∞(−1)k×2k×1=(−1)n×2n×1=2n×(−1)n证明：(1+x)ln(1+x)−xx=O(x3)这道考研题可以利用泰勒公式将等式中的函数展开成幂级数，然后进行恒等变形得到答案。
具体步骤如下：f(x)=(1+x)ln(1+x)−xx=(1+x)(ln1+ln(1+x))−xx=x+x2+O(x3)−ln(1+x)+O(x3)=O(x3)因此，f(x)(0)=0+0+…=0，即(1+x)ln(1+x)−xx=O(x3)成立。
泰勒公式在很多数学问题中都有着广泛的应用，例如在微积分、线性代数、概率论等领域。
泰勒公式
泰勒公式泰勒(Tayloy)公式是微积分中的一个重要公式，也是进行数学理论研究与计算的重要的工具，但大多数的高等数学教材中，对泰勒公式应用的介绍都较少，导致学生难以掌握泰勒公式及其应用技巧。
由于低次多项式不能精确地表示函数并进行近似计算，在遇到一些精度要求较高，需要进行误差估计的情况时，就需要用高次多项式来近似表示函数并给出相应的误差公式。
泰勒公式是数学分析中一个重要的偏方程，因此在数学中有很高的地位。
泰勒公式教学方法泰勒公式是高等数学微分学教学中的重点和难点，其教学方法一直吸引着广大数学教师研究。
但是泰勒中值定理和泰勒公式比较抽象深奥，真的会让大部分同学感到困惑不解。
虽然他们已经充分预习，认真听讲，但还是会感到一头雾水，满腹疑问。
困难、无知、不理解是学生学习泰勒公式后的主要感受。
作为一个传道授业解惑的老师，我一直希望改变这种现象，希望泰勒公式给学生留下最深的印象是好的、有用的、实用的。
所以这门课的教学需要老师投入更多的精力去设计自己的教学方法和教学思路。
例：设函数f（x）在x=x0处存在二阶导数，试证：等式右端是一个二次多项式加一个高阶无穷小项。
我们回顾一下它的证明。
通过上节课的知识，我们只需要用一次洛必达法则和导数的定义就证明了这个结论。
但是，我们并不是第一次用多项式来表示一般的函数了，在第二章学习微分的时候，我们知道，如果函数f（x）在x=x0处可微，则f（x）=f（x0）+f忆（x0）（x-x0）+o（x-x0）。
这说明如果函数f（x）在x0处有一阶导数，则f（x）等于一个一次的多项式加x-x0的高阶无穷小；如果函数f（x）在x0处有二阶导数，则f（x）等于一个二次的多项式加（x-x0）2的高阶无穷小；如果函数f（x）在x0处有三阶导数呢，大家猜想，我们会得到什么结论？到了这里，学生会自然而然地想到：如果函数f（x）在x0处有三阶导数，那么f（x）就等于一个三次的多项式加（x-x0）3的高阶无穷小。
常用八个泰勒公式
常用八个泰勒公式常用八个泰勒公式泰勒公式是数学、物理和工程科学等领域应用最广的数学工具之一。
它最初于1715年由十八世纪法国数学家威廉·泰勒提出。
直至今日，许多数学家仍然在研究他的作品，该公式仍然被广泛地应用在各行各业中，尤其是物理和数学方面。
泰勒公式包括八种不同类型的数学表达式，分别式表示为：第一种：连分式。
这种表达式用于表示一个复杂的数学功能，通常以指数形式表示函数中的x变量，并以此根据连分式将函数复杂度降低.第二种：多项式表达式。
这种表达式用于表示有限项的功能，其中项之间由系数链接。
多项式表达式的有点在于，它们可以用基本的欧几里得几何方法来解决。
第三种：微分。
对于任何函数，微分式表达式用于描述函数在某个特定点位置的变化率。
第四种：积分。
积分式表达式用来描述两个函数之间的差异，它们将变量描述成一个变化的过程来建立整个概念的全局结果。
第五种：高斯积分。
这种积分可以用来计算某一特定函数的完整估计，它假定特定的函数，并在此基础上求解积分的总和。
第六种：椭圆积分格式。
这是求解具有复杂形状的函数的一种有效方法。
椭圆积分将函数描述为椭圆旋转的路径来计算函数的值。
第七种：广义椭圆积分格式。
这种积分方式不仅可以用来解释椭圆型曲线，还可以用来解释抛物线和其他更复杂的物理模型。
第八种：多元椭圆积分格式。
多元椭圆积分可以在更复杂的情况下应用，它可以用来解释多层曲线，多变量系统以及其他更复杂的数学模型。
泰勒公式是一个强有力的数学工具，可以用来解决许多数学问题。
它提供了一种更简单，更快捷的方式来解决复杂的数学函数，并且可以被应用到多种不同的情况中去。
从概念上讲，这八种不同的泰勒公式都可以为解决难以解决的数学问题提供解决。
多元函数的Taylor公式与极值问题课件
推导基于一元函数的Taylor公式
01
首先回顾一元函数在某点的Taylor公式，然后将其推
广到多元函数。
展开多元函数
02 将多元函数在某点进行泰勒展开，利用偏导数和函数
值计算出各项系数。
确定余项形式
03
根据泰勒展开的余项形式，确定多元函数泰勒公式的
余项。
证明方法
利用多元函数的偏导数
通过利用多元函数的偏导数，推导出 泰勒公式的各项系数。
求解技巧
01
利用Taylor公式展开
在极值点附近，可以利用Taylor公式 将函数展开，从而更精确地确定极值 点。
02
结合几何意义
函数的极值点往往对应着函数图像的 拐点或凹凸性改变的点，结合几何意 义有助于直观地理解极值点的性质。
03
转化为一元函数
在多元函数中，有时可以将问题转化 为求解一元函数的极值问题，从而简 化计算。
具体步骤
1. 确定点
选择一个合适的点（通常是函数内部的点），作为Taylor公式的中心 点。
2. 计算导数
计算函数在中心点处的所有导数值。
3. 应用Taylor公式
将中心点和待求的x值代入Taylor公式，得到近似的函数表达式。
4. 寻找极值
通过观察近似的函数表达式，确定极值点。
实例解析
例题：求函数f(x, y) = x^2 + y^2在点(0, 0) 处的极值。
实际应用中的考虑因素
实际问题的背景
在应用极值理论时，需要考虑实际问题的背景和限制条件，如物 理定律、约束条件等。
数据的不确定性
在实际问题中，数据往往存在不确定性，需要考虑这些不确定性 对极值分析的影响。
模型的适用性
多元函数Taylor公式及其应用
2021年第08期256高教论坛多元函数Taylor公式及其应用刘心蕾西南石油大学，四川资阳000000一、课题背景：于一七一二年，泰勒公式由布瑞科泰勒所提出，他是英国的一位伟大的数学家.泰勒公式后来经过了拉格朗日以及柯西等数学家的进一步补充后，为数学理论未来的发展提供了非常有效的工具.近几年来关于公式的研究非常繁多，对泰勒公式在一些近似计算、向量值函数、等式与不等式、判断函数的敛散性和极限中都有特别深刻的研究.下面就我对其在几篇文章中的应用的理解为，在其中有一篇名为泰勒公式及其余项的证明中，主要研究的内容是先理解泰勒公式的一般型，在理解泰勒公式基本概念后，对泰勒公式的一般型进行一些推导，就可以分别得到佩诺型、拉格朗日型以及积分型三种不同形式的余项。
其次也研究了泰勒公式“中点函数”的可微性以及其余项“中间点”的渐进性.在高阶方向导数与多元泰勒定理的简单基本形式的文章中，泰勒公式对方向导数进行了推广.并且在对多元函数的研究中得到了高阶方向导数的概念及其相关方面的计算.最后，利用高阶方向导数从而推导出了多元函数泰勒公式的简单形式.泰勒是英国的一位伟大的数学家,他在函数值逼近上面做出了伟大的成就，而且他在函数值逼近上的研究结果显示:若这个函数具有一直到n + 1阶的导数，并且在某一个点的邻域中取得的值能用此函数在这一点的函数值和这个函数的各阶导数值所组成的n次多项式来近似表达出来，则由此产生的就称为泰勒公式.二、多元函数泰勒公式及其应用的发展状况:对于研究者来说，泰勒公式的证明与应用方面的研究一直都具有非常强大的吸引力.很多研究者在此领域中获得的成就很高，并且在一些优秀的文献中，有的作者在不等式和等式的证明和计算中都最大限度地利用了泰勒公式及其性质，而且使用的研究方法新颖又简便易懂，非常值得我们引以为我们学习的风向标.在泰勒提出公式后，一九九九年六月，就关于多元函数的高阶微分和泰勒共识这一篇文章的探讨中，它主要是研究了把一阶微分的微分定义为二阶微分的明确性，并且对多元函数泰勒公式也进行了一些推导，但在此文中仅仅是以二元函数来进行的展开。
高等数学 多元函数的微分中值定理和泰勒公式
一元函数 f ( x) 的泰勒公式:
f ( x0 ) 2 f ( x0 h) f ( x0 ) f ( x0 )h h 2!
f ( n ) ( x0 ) n h n!
推广 多元函数泰勒公式
(0 1)
记号 (设下面涉及的偏导数连续): • (h k ) f ( x0 , y0 ) 表示 h f x ( x0 , y0 ) k f y ( x0 , y0 ) x y 2 • (h k ) f ( x0 , y0 ) 表示 x y
1 (h 2! x 1 (h n! x 2 k y) n k y)
f ( x0 , y0 ) f ( x0 , y0 ) Rn
①
1 ( h k ) n 1 f ( x h, y k ) ② 其中 Rn ( n 0 0 1)! x y
m
( m) (0) (h x k y ) m f ( x0 , y0 )
由 (t ) 的麦克劳林公式, 得
将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.
说明: 因 f 的各 n+1 阶偏导数连续, (1) 余项估计式. 在某闭
邻域其绝对值必有上界 M , M Rn ( h k ) n 1 (n 1) ! 则有
例1. 求函数 f ( x, y ) ln(1 x y ) 在点 (0,0) 的三阶泰
勒公式. 解:
1 f x ( x, y ) f y ( x, y ) 1 x y f x x ( x, y ) f x y ( x, y ) f y y ( x, y )
3 f x y 4 f x y
多元函数泰勒公式
的一阶偏导数为仍存在偏导数则称它们为函数的二阶偏导数连续都在点例如对三元函数u说明
4 泰勒公式与极值
高阶导数 中值定理和泰勒公式
问题
一、高阶偏导数
函数z f ( x, y)的一阶偏导数为 fx ( x, y) , f y ( x, y) 仍存在偏导数，则称它们为函数 z f ( x, y) 的二阶
其中记号
h
x
k
y
f
(
x0
,
y0
)
表示 hf x ( x0 , y0 ) kf y ( x0 , y0 ),
2
h k x y
f ( x0 , y0 )
表示 h2 f x x ( x0 , y0 ) 2hkfxy ( x0 , y0 ) k 2 f yy ( x0 , y0 ),
f xy ( x0 1x, y0 2y)xy, 0 1,2 1
F(x, y) f ( x0 x, y0 y) f ( x0, y0 y) f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) ( x0 ) (x0 x)
( y0 x) ( y0 ) ( y0 3y)y
内为一常数.
在泰勒公式(1) 中, 如果取 x0 0, y0 0 , 则(1)式成为n阶麦克劳林公式.
f ( x, y) f (0,0) x y f (0,0) x y
1 x
y
2
f (0,0)
1 x
y
n
f (0,0)
2! x y
n! x y
n1
1 x y f (x,y),
(n 1)! x y
(0 1) (5)
例 6 求函数 f ( x, y) ln(1 x y) 的三阶麦
《高等数学》(北大第二版 )6-7多元函数的微分中值定理与泰勒公式
例 ， = 2, f 在(x0 , y0 )的泰勒多项式是 如 n
f (x0 , y0 ) + f x (x0 , y0 )∆x + f y (x0 , y0 )∆y
1 2 + [ f xx (x0 , y0 )∆x2+ 2 fxy (x0 , y0 )∆x∆y + f yy (x0 , y0 )∆y ]. 2! π 2 例1 求函数 f (x, y) = sin( x y) 在点(1,1)的二阶泰勒多 2
ϕ(1) −ϕ(0) = ϕ′(θ ),
f (x0 + ∆x, y0 + ∆y)− f (x0 , y0 )
∂f ∂f = (x0 +θ∆x, y0 +θ∆y)∆x + (x0 +θ∆x, y0 +θ∆y)∆y. ∂y ∂x
证毕.
推论 若函数z=f(x,y)在区域D 内具有连续的偏导数且
∂f ∂f 满足 ≡ 0, ≡ 0, 证明：f(x,y)在D内为一常数. ∂y ∂x 证 在区域D内任意取定一点P0 (x0 , y0 ). ∀P(x, y) ∈D，
1. 二元函数的微分中值定理
定理1 定理1
(二元函数的拉格朗日中值公式) 二元函数的拉格朗日中值公式
又假定D中有两个点P0 ( x0 , y0 )与P ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) , 1 并且P0到P的直线P0 P ⊂ D, 则存在θ , 0 < θ < 1, 使得 1
f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) = f ( x0 , y0 ) ∂f ∂f + ( x0 + θ∆x, y0 + θ∆y )∆x + ( x0 + θ∆x, y0 + θ∆y )∆y. ∂x ∂y 或写成
多元函数泰勒公式教学案例
多元函数泰勒公式教学案例1. 引言1.1 引言介绍多元函数泰勒公式是微积分中的重要内容，它能够帮助我们近似表示复杂的多元函数。
通过泰勒公式的学习，我们可以更深入地理解多元函数的性质和变化规律。
本教学案例旨在帮助学生掌握泰勒公式的基本原理和应用方法，提高他们在多元函数求导和近似计算方面的能力。
在本教学案例中，我们将首先介绍泰勒公式的概述，包括其在多元函数中的作用和意义。
接着我们将详细讲解泰勒公式的原理，帮助学生理解该公式的推导过程及其在多元函数中的应用场景。
随后，我们将通过具体的实例来展示泰勒公式在实际问题中的应用，让学生更好地掌握其具体操作方法。
通过本教学案例的学习，希望学生能够加深对多元函数泰勒公式的理解，提高其在实际问题中的应用能力，为将来深入学习微积分和相关领域打下坚实的基础。
1.2 教学目的教学目的是通过本教学案例，让学生深入了解多元函数泰勒公式的概念、原理和应用，并掌握其具体的计算方法和技巧。
通过本案例的教学，希望能够培养学生的数学思维和计算能力，提高他们对多元函数泰勒公式的理解和运用能力。
教学目的还包括引导学生建立正确的数学学习方法和思维方式，激发他们对数学的兴趣和热情，培养他们解决实际问题的能力和创新思维。
通过本教学案例，希望能够激发学生对数学研究和应用的兴趣，为他们未来的学习和工作打下良好的基础。
1.3 教学对象教学对象指的是本次课程中的学习者，可以是大学生、研究生，也可以是对多元函数泰勒公式感兴趣的其他人群。
他们可能具有不同的数学基础知识和学习背景，有的可能已经学过相关知识，有的可能是初次接触。
在教学过程中，需要根据学习者的不同特点和需求来设计教学内容和教学方法，使得每位学习者都能够理解和掌握多元函数泰勒公式的原理和应用。
为了更好地满足不同学习者的学习需求，本教学案例将采用多种教学方法，如讲授、示范、实例分析等，以激发学习者的兴趣，提高他们的学习积极性。
教学案例将设置不同的教学步骤，让学习者逐步学习和掌握多元函数泰勒公式的相关知识，从而提升他们的学习效果和能力。
多元函数的Taylor公式与极值
矩阵为: H f ( x0 )
f11 f21
f12
f
22
f1n
f
2n
设u f (P)在点
f
n1
f
n
2
f
nn
x0
P0 ( x01 , x02 , , x0n ) 的所有二阶偏导数
f11
f12
f1n
f 在点P0的 Hessian
H
f
(P0 )
f21
f
22
f
2n
矩阵为:
f
n1
f
x
, y)2
3 f
2! ,
x py3 p (1 x y)3
( p 0,1,2,3),
4 f 3! , ( p 0,1,2,3,4), x py4 p (1 x y)4
20
x x
y y
f
(0,0)
xfx (0,0)
yf y (0,0)
x
y,
x
y
2
f
(0,0)
x y
由假设， (t) 在 [0,1] 上满足一元函数泰勒公式的条件
于是有 (1) (0) (0) (0)
1!
2!
(n) (0) (n1) ( )
(0
1) .
n!
(n 1)!
(0) f ( x0 , y0 ) , (1) f ( x0 h , y0 k)
利用多元复合函数求导法则可得:
11
（4）在泰勒公式中,如果取 x0 0, y0 0,则 成为n阶麦克劳林（Maclaurin）公式.
f (x, y)
f
(0,0)
x
x
y
GS6.7 多元函数的微分中值定理与泰勒公式
再将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.证毕
定理2在多元函数的计算上有重要价值.其中拉格朗日余项
1 Rn = d n +1 f ( x 0 + θ ∆ x , y 0 + θ ∆ y ) ( n + 1)!
1 ∂ ∂ = ∆x + ∆y ( n + 1)! ∂x ∂y
n +1
∂f ∂f + ( x0 + θ∆x, y0 + θ∆y )∆x + ( x0 + θ∆x, y0 + θ∆y )∆y. ∂x ∂y
或写成
f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) = f ( x0 , y0 ) + df ( x0 + θ∆x, y0 + θ∆y ).
记
f ( Pt ) = f ( x0 + t ∆x, y0 + t ∆y ), 则上式又可写成为
f ( x0 + θ∆x, y0 + θ∆y ),
可用偏导数来估计. 假定其 n + 1 阶偏导数有界,即有常数 M , 使
∂ n +1 f ≤ M, l n +1−l ∂x ∂y
则
l = 0,1,⋯ , n + 1;
M Rn ≤ ( ∆x + ∆y ( n + 1) !
)
n +1
,
令 ρ = ∆x 2 + ∆y 2 ,
1 ∂ ∂ = ∆x + ∆y ( n + 1)! ∂x ∂y
n +1
f ( x0 + θ∆x, y0 + θ∆y ), (0 < θ < 1)
Taylor公式
数 恒为零, 由中值公式可知在该区域上 f (x, y) ≡ 常 .
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例1. 求函数 f (x, y) = ln(1+ x + y) 在 (0,0) 的三阶泰 点 勒公式. 解:
1 f x (x, y) = f y (x, y) = 1+ x + y f xx (x, y) = f x y (x, y) = f y y (x, y) =
多元函数的泰勒公式
一元函数 f (x) 的泰勒公式:
f ′′(x0 ) 2 f (x0 + h) = f (x0 ) + f ′(x0 )h + h +L 2!
f (n) (x0 ) n + h n!
推广 多元函数泰勒公式
(0 <θ <1)
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记号 (设下面涉及的偏导数连续): ∂ ∂ • (h + k ) f (x0 , y0 ) 表 h f x (x0, y0 ) + k f y (x0, y0 ) 示 ∂x ∂y ∂ ∂ 2 • (h + k ) f (x0 , y0 ) 表示 ∂x ∂y 2 2 h f xx (x0, y0 ) + 2hk f x y (x0, y0 ) + k f y y (x0, y0 )
∂ ∂ f (x0 + h, y0 + k) = f (x0, y0 ) + (h ∂x + k ∂ y) f (x0, y0 )
∂ ∂ 1 + 2!(h ∂x + k ∂ y)2 f (x0, y0 ) +L ∂ ∂ 1 + n!(h ∂x + k ∂ y)n f (x0, y0 ) + Rn
泰勒公式的理解及泰勒公式
泰勒公式的理解及泰勒公式泰勒公式是微积分中的重要工具，用于将一个函数在一些点附近的局部信息，通过一个多项式的形式来近似表示。
它可以将一个光滑函数表示为无限个无穷可微的项的和。
泰勒公式的理解包括其基本思想、推导过程以及应用范围。
设函数f(x)在点x=a附近的一些区间上具有n阶导数，则泰勒公式表示为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+fⁿ⁽ᵃ⁾(x-a)^ⁿ/ⁿ!其中，f'(a)表示函数在点a处的一阶导数，f''(a)表示函数在点a处的二阶导数，以此类推。
具体推导过程如下：1.定义函数f(x)在点x=a的n阶导数fⁿ⁽ᵃ⁾。
2.将函数f(x)在点x=a附近进行泰勒级数展开，即：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+fⁿ⁽ᵃ⁾(x-a)^ⁿ/ⁿ!+Rⁿ⁺¹(x)其中，Rⁿ⁺¹(x)为余项，表示泰勒多项式与原函数之间的误差。
3.根据柯西-罗尔定理，存在一个介于a和x之间的数c，使得余项可以表示为：Rⁿ⁺¹(x)=fⁿ⁺¹(c)(x-a)ⁿ⁺¹/(n+1)!4.根据上述推导，泰勒公式可以表示为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+fⁿ⁽ᵃ⁾(x-a)^ⁿ/ⁿ!+fⁿ⁺¹(c)(x-a)ⁿ⁺¹/(n+1)!1.函数的近似计算：通过泰勒公式，可以将一个复杂的函数近似为一个多项式，并且可以控制多项式的阶数，从而简化函数的计算和分析过程。
2.极值点的求解：通过对函数进行泰勒展开，并根据导数的性质，可以找到函数的极值点和拐点，进而分析函数的增减性和凸凹性。
3.函数的图像分析：通过泰勒公式的计算，可以得到多项式的形式表示的函数图像，从而更好地理解和分析函数的性质和特点。
多元函数知识点总结同济
多元函数知识点总结同济一、多元函数的定义在解释多元函数之前，先来回顾一下一元函数的定义。
在一元函数中，我们通常用一个变量来表示自变量，用另一个变量来表示因变量，即y=f(x)。
而在多元函数中，我们需要考虑多个自变量和一个因变量之间的关系，这时我们就需要用到多元函数。
多元函数可以表示为：z=f(x1,x2,…,xn)，其中x1,x2,…,xn为自变量，z为因变量。
二、多元函数的性质1. 定义域和值域：在一元函数中，我们只需要考虑一个自变量的取值范围和对应的因变量取值范围。
而在多元函数中，则需要考虑多个自变量的取值范围以及对应的因变量取值范围，这就对定义域和值域提出了更高的要求。
2. 奇偶性：多元函数的奇偶性要根据每个自变量的奇偶性来判断，需要更加复杂的计算方法。
3. 函数的周期性：多元函数的周期性通常需要根据各个自变量的周期性来共同确定。
4. 函数的对称性：对于多元函数，除了考虑自变量和因变量之间的对称性外，还需要考虑自变量之间的对称性，对称性的判断更加复杂。
5. 导数和积分：多元函数的导数和积分需要根据各个自变量分别进行求导和积分，并考虑它们之间的关系。
以上是多元函数的一些基本性质，对于多元函数的研究来说，这些性质是基础且重要的。
在具体的应用中，我们需要根据实际问题的特点来综合考虑这些性质。
三、多元函数的极限1. 多元函数的极限定义：多元函数的极限定义与一元函数的极限定义类似，不同之处在于需要考虑多个自变量同时趋于某个值时，因变量的变化情况。
多元函数f(x1,x2,…,xn)在点(x01,x02,…,x0n)处的极限为A，即lim┬(x→(x0₁,x0₂,...,x0n))f(x1,x2,…,xn)=A，当且仅当对于任意ε>0，存在δ>0，使得0＜√((x1-x0₁)²+(x2-x0₂)²+…+(xn-x0n)²)＜δ时，都有|f(x1,x2,…,xn)-A|＜ε成立。
高中数学：多元函数泰勒公式
2
上连续,在 D 的
所有内点可微, 则对 D 内任意两点 P ( a , b ),
证 引入函数 显然
( t ) f ( a h t , b kt ),
( 0 t 1).
( t ) C [0, 1], 在 (0, 1)
内可微 ,由中值定理
f ( a h , b k ) f ( h , k ) (1) (0 ) ( ).
F (x , y ) f ( x0 x , y0 y ) f ( x0 , y0 y ) f ( x 0 x , y 0 ) f ( x 0 , y 0 ) ( x 0 )
( x0 x )
( y 0 x ) ( y 0 ) ( y 0 3 y ) y
(n)
1 2!
( 0 )
(n1)
(0)
1 ( n 1 )!
( ), ( 0 1 ).
将 ( 0 ) f ( x 0 , y 0 ) , (1 ) f ( x 0 h , y 0 k ) 及 上面求得的 ( t ) 直到 n 阶导数在 t 0 的值,以及
n 2
(1 )
其中
Rn k h ( n 1 )! x y 1
n1
f ( x 0 h , y 0 k ), (2)
( 0 1 ).
证毕
公 式 (1 ) 称 为 二 元 函 数 f ( x , y ) 在 点 ( x 0 , y 0 ) 的
( x x0 )
2 0
f
(n)
( x0 )
n!
n1
( x x0 )
多元函数泰勒公式教学案例
多元函数泰勒公式教学案例一、课程背景本课程为高等数学选修课程，学生需要具备一定的多元微积分基础知识，本课程主要讲解多元函数泰勒公式的概念、性质、推导和应用。
二、教学目标1.掌握多元函数泰勒公式的概念、性质和应用。
2.理解多元函数泰勒公式的推导过程。
3.能够通过多元函数泰勒公式计算多元函数的一阶和高阶导数。
三、教学内容四、教学方法1.讲授法2.实例演练法3.思维导图法五、教学过程1.引入老师可以通过问学生一些问题来引入本课程的学习，如：你们会用泰勒公式求解一元函数的近似值吗？那么多元函数能否应用泰勒公式呢？让学生对本课程的内容有个初步的了解和认识。
在此环节，老师可以讲解多元函数泰勒公式的概念及性质，如：对于函数$f(x,y)$在某一点$(x_0,y_0)$，若其关于$x,y$的一阶到$n$阶导数均存在，则称$f(x,y)$在该点可以展开成关于$(x-x_0)$和$(y-y_0)$的$n$阶泰勒公式。
泰勒公式的形式如下：$$f(x,y)=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partialx}(x_0,y_0)(x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)(y-y_0)+\frac{1}{2!}[\frac{\partial^2 f}{\partialx^2}(x_0,y_0)(x-x_0)^2+2\frac{\partial^2 f}{\partial x\partialy}(x_0,y_0)(x-x_0)(y-y_0)+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x_0,y_0)(y-y_0)^2]+ \dots +\frac{1}{n!}R_n(x,y)$$其中$R_n(x,y)$为$f(x,y)$在$(x_0,y_0)$处的$n$阶带Peano余项的剩余项。
泰勒公式的余项$R_n(x,y)$有以下推论：① 当$n=1$时，余项为$R_1(x,y)=o(\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2})$；余项$R_n(x,y)$表示$f(x,y)$与其$n$次泰勒多项式的误差，在$x\approx x_0$，$y\approx y_0$的邻域内，误差趋向于0。
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高阶导数 中值定理和泰勒公式
问题
一、高阶偏导数
函数z f ( x, y)的一阶偏导数为 fx ( x, y) , f y ( x, y) 仍存在偏导数，则称它们为函数 z f ( x, y) 的二阶
偏导数
x
z x
2z x 2
f xx ( x, y),
y
z y
2z y 2
(n 1)! x y
(0 1) (5)
例 6 求函数 f ( x, y) ln(1 x y) 的三阶麦
克劳林公式.
解
fx(x, y)
fy(x, y) 1
1 x
, y
1
fxx ( x, y)
fxy ( x, y)
f yy ( x, y) (1
x
, y)2
3 f
2! ,
误差是当x x0 时比( x x0 )n 高阶的无穷小．
二、中值定理和泰勒公式
定理 8 设z f ( x, y)在凸域 D R2 上连续,在 D 的
所有内点可微, 则对 D 内任意两点 P(a,b),
Q(a h,b k) int D, s.t f (a h, b h) f ( x0 , y0 ) fx (a h, b k)h f y (a h,b k)k, (0 1) 证 引入函数 (t) f (a ht,b kt), (0 t 1).
二、求函数 f ( x, y) e x ln(1 y)的三阶泰勒公式． 三、求函数 f ( x, y) e x y 的 n 阶泰勒公式．
练习题答案
一、f ( x, y) 5 2( x 1)2 ( x 1)( y 2) ( y 2)2．
二、e x ln(1 y)
y
1 (2xy 2!
f xy ( x0 1x, y0 2y)xy, 0 1,2 1
F(x, y) f ( x0 x, y0 y) f ( x0, y0 y) f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) ( x0 ) (x0 x)
( y0 x) ( y0 ) ( y0 3y)y
f yy ( x, y)
纯偏导
y
z x
2z xy
f
xy
(
x,
y),
x
z y
2z yx
f yx ( x, y)
混合偏导
定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶 偏导数.
定理7. 若 f xy (x,y)和 f y x (x,y) 都在点(x0 , y0 )连续,则
f x y (x0 , y0 ) f y x (x0 , y0 )
为此邻域内任一点,则有
f ( x0 h, y0 h)
f
(
x0
,
y0
)
h
x
k
y
f
(
x0
,
y0
)
2
n
1 h k 2! x y
f ( x0 ,
y0 )
1 h n! x
k y
f ( x0 , y0 )
(n
1 1)!
h
x
k
y
n1
f
(
x0
h,
y0
k ),
(0 1)
h x
k
y
2
f
( x0 ,
y0 )
1 h n! x
k
n
y
f
( x0 ,
y0 )
Rn ,
(1)
其中
n1
Rn
(n
1 1)!
h x
k
y
f ( x0 h, y0 k),
(0 1).
(2)
证毕
公式(1) 称为二元函数 f ( x, y) 在点( x0 , y0 ) 的 n阶泰勒公式,而Rn 的表达式(2) 称为拉格朗日型
y2 )
1 (3x2 y 3!
3 xy 2
2 y3 )
R3 .
其中
R3
ex 24
三、e x y 1 ( x y) 1 ( x2 2 xy y2 )
2!
1 (xn n!
C
1 n
x
n1
y
yn )
Rn
其中 Rn
e (n
(x y)
( 1)!
x
n1
C n11
x
n
y
yn1 ),
0 1.
内为一常数.
在泰勒公式(1) 中, 如果取 x0 0, y0 0 , 则(1)式成为n阶麦克劳林公式.
f ( x, y) f (0,0) x y f (0,0) x y
1 x
y
2
f (0,0)
1 x
y
n
f (0,0)
2! x y
n! x y
n1
1 x y f (x,y),
二、问题的提出
一元函数的泰勒公式：
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 2
)
(
x
x0
)2
f (n)( x0 ) ( x n!
x0 )n
f
(n1) x0 ( x
(n 1)!
x0
)( x
x0
)n1
(0 1).
意义：可用n次多项式来近似表达函数 f ( x) ，且
n!
(n 1)!
将 (0) f ( x0 , y0 ) , (1) f ( x0 h, y0 k) 及 上面求得的(t)直到n阶导数在t 0的值,以及 (n1) (t )在t 的值代入上式.即得
f ( x0
h, y0
k)
f
(
x0
,
y0
)
h
x
k
y
f
(
x0
,
y0
)
1 2!
f y ( x0 x, y0 3y) f y ( x0 , y0 3y) y
f yx ( x0 4x, y0 3y)yx, 0 3 ,4 1
f xy ( x0 1x, y0 2y) f yx ( x0 4x, y0 3y)
由 fx y ( x, y), f y x ( x, y) 的连续性，当 x 0, y 0
其中记号
h
x
k
y
f
(
x0
,
y0
)
表示 hf x ( x0 , y0 ) kf y ( x0 , y0 ),
2
h k x y
f ( x0 , y0 )
表示 h2 f x x ( x0 , y0 ) 2hkfxy ( x0 , y0 ) k 2 f yy ( x0 , y0 ),
证 令 F(x, y) f ( x0 x, y0 y) f ( x0 x, y0 )
f ( x0 ,
( x0
y0
y) f ( x0 , y0 )(x0 )
x) ( x0 ) ( x0
( x0 x)
0
1x)x
1
1
fx (x0 1x, y0 y) fx (x0 1x, y0 )x
时有
fx y ( x0 , y0 ) f y x ( x0 , y0 )
例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数
在点 (x , y , z) 连续时, 有
说明: 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 而初等 函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导 数可以选择方便的求导顺序.
余项.
由二元函数的泰勒公式知, Rn 的绝对值在 点( x0 , y0 )的某一邻域内都不超过某一正常数 M .
于是,有下面的误差估计式:
Rn
nM 1!h
k n1
n
M
1!
n1
cos
sin
n1
n
2
n1
1!
M
, n1
其中 h2 k 2 .
(3)
由(3)式可知,误差 Rn 是当 0 时比 n 高阶
( x y)2,
x x
y
3
y
f
(0,0)
x3
f xxx (0,0)
3x2
yf xxy (0,0)
3 xy2 f xyy (0,0) y3 f yyy (0,0) 2( x y)3 ,
又 f (0,0) 0,故
ln(1
x
y)
x
y
1(x 2
y)2
1(x 3
y)3
R3 ,
其中
R3
(t ) C h k xy p (n1)
n1
p
p n1 p
n1 p0
n1 p n1 p ( x0 ht , y0 kt )
h x
k
y
n1
f
( x0
ht,
y0
kt ).
利用一元函数的麦克劳林公式，得
(1) (0) (0) 1 (0) 2!
1 (n) (0) 1 (n1) ( ), (0 1).
由 (t )的定义及多元复合函数的求导法则,可得
(t ) hf x ( x0 ht, y0 kt ) kf y ( x0 ht, y0 kt )
h
x
k
y
f
(
x0
ht
,
y0
kt ),
(t ) h2 f xx ( x0 ht, y0 kt ) 2hkf xy ( x0 ht, y0 kt ) k 2 f yy ( x0 ht, y0 kt )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 4!
x x
y
4