【2019A新教材高中数学必修第一册】5.2.1 三角函数的概念 导学案

5.2.1 三角函数的概念
1.借助单位圆理解任意角三角函数的定义；
2.根据定义认识函数值的符号。

理解诱导公式一；
3.能初步运用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题。

1.教学重点：任意角的三角函数（正弦函数、余弦函数、正切函数）的定义；
2.教学难点：任意角的三角函数概念的建构过程，解决与三角函数值有关的一些简单问题。

一、设角，
是一个任意角，R ∈αα它的终边与单位圆交于点),(P y x 。

那么（1） 的正弦函数。

叫做α记作 ，;sin α=y 即
（2） 的余弦函数。

叫做α记作 ，;cos α=x 即
（3） 的正切。

叫做α记作 ;tan α=x y 即 )0(tan ≠=x x
y α是 以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为 （tangent function)。

二、三角函数的定义域。

三角函数 定义域
αsin =y
αcos =y
αtan =y 三、诱导公式
=+)2sin(παk ；=+)2(cos παk ；
=+)2(tan παk 。

Z k ∈
一、探索新知
探究一.角α的始边在x 轴非负半轴，终边与单位圆交于点P 。

当πα=时，点P 的坐标是什么？当
322ππα或= 时，点P 的坐标又是什么？它们唯一确定吗？
探究二 ：一般地，任意给定一个角α，它的终边OP 与单位圆交点P 的坐标能唯一确定吗？
1.任意角的三角函数定义
设角，
是一个任意角，R ∈αα它的终边与单位圆交于点),(P y x 。

那么（1） 的正弦函数。

叫做α记作 ，;sin α=y 即
（2） 的余弦函数。

叫做α记作 ，;cos α=x 即 （3） 的正切。

叫做α记作
;tan α=x
y 即 )0(tan ≠=x x
y α是 以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为 （tangent function)。

正弦函数，余弦函数，正切函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将他们称为三角函数.
通常将它们记为：正弦函数 R x x y ∈=,sin
余弦函数 R x x y ∈=,cos
正切函数 )(2,tan Z k k x x y ∈+≠=ππ
探究三：在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量。

以比值为函数值的函数，设)2
,0(π
∈x ，把按锐角三角函数定义求得的锐角x 的正弦记为1z ，并把按本节三角函数定义求得的 x 的正弦记为1y 。

1z 与1y 相等吗？对于余弦、正切也有相同的结论吗？
例1. 求
35π的正弦、余弦和正切值.
变式：把角
35π改为67π呢？
例2.设α是一个任意角，它的终边上任意一点P （不与原点O 重合）的坐标为（x,y ），点P 与原点的距离为r 。

求证：.tan ,cos ,sin x y r x r y ===
ααα
探究四.1. 三角函数 定义域
αsin =y R
αcos =y
R αtan =y ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠)(2Z k k ππαα
例3.求证：角θ为第三象限角的充要条件是⎩
⎨⎧><0tan 0sin θθ.
思考：如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？
终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）
=+)2sin(παk ；=+)2(cos παk ；
=+)2(tan παk 。

Z k ∈
作用：利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为
求)360~0(2~0︒
︒或π角的三角函数值 .
例4 确定下列三角函数值的符号： .3tan )4();672tan()3();4
sin()2(;250cos 1ππ
︒︒--）（
例5 求下列三角函数值： ).611tan()3(;49cos 2);001.0(011480sin 1ππ-'︒
）（精确到）（
1．sin(－315°)的值是()
A．－
2
2B．－
1
2 C.
2
2 D.
1
2
2.已知角α终边过点P(1，－1)，则tan α的值为()
A．1B．－1
C.
2
2D．－
2
2
3．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称，若sin
α＝1
5，则sin β＝________.
4．求值：(1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°.
(2)cos 25π
3＋tan⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
－
15π
4.
这节课你的收获是什么？
探究一、当6π
α=时，点P 的坐标为），（2123。

当2
πα=时，点P 的坐标为），（10。

当3
2πα=时，点P 的坐标为）（23,21-。

探究二、点P 的横、纵坐标都能唯一确定。

探究三、都相等
例1.解析见教材 变式：,2
167sin -=π2367cos -=π 3367tan =π 例2.解析见教材
探究四1.根据三角函数的定义，确定三角函数的定义域。

三角函数 定义域
αsin =y R
αcos =y
R αtan =y ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠)(2Z k k ππαα 2.确定三角函数值在各象限的符号。

例3.例4 例5,解析见教材
达标检测
1.【答案】C
【解析】sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin 45°＝22
2.【答案】B
【解析】由三角函数定义知tan α＝－11＝－1.
3.【答案】－15
则角β的终边与单位圆相交于点Q (x ，－y )，
由题意知y ＝sin α＝15，所以sin β＝－y ＝－15.
4.【解析】 (1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°＝0＋0＋0＝0.
(2)cos 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－15π4
＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π4
＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.。