概率论与数理统计测试题及答案1范文

概率论与数理统计测试题
一、填空题(每小题3分，共15分)
1．将3个小球随机地放到3个盒子中去，每个盒子都有1个小球的概率为__________. 2．设A ，B 是两事件，()1/4,(|)1/3P A P B A ==，则()P AB =__________.
3．掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和是5，则其中有一颗是1点的概率是__________.
4．设随机变量X 的分布函数为0,1()ln ,11,x F x x x e x e <⎧⎪
=≤<⎨⎪≥⎩
，则X 的概率密度为__________.
5．设总体X~U[0，1]，123,,X X X 是其一个样本，则123{max(,,)1/2}P X X X <=__________. 二、单项选择题（每小题3分，共15分）
1．设两事件A 与B 互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则( )正确. （A ）A B 与互不相容; （B ）()()()P AB P A P B =; （C ）()()()P AB P A P B =; （D ）()().P A B P A -=
2．一种零件的加工由两道工序完成，第一道工序、第二道工序的废品率分别为p ，q ，设两道工序的工作是独立的，则该零件的合格品率是 ( )
（A ）1p q --；(B) 1pq -； (C) 1p q pq --+；(D) (1)(1)p q -+-. 3．设~(),X t n 则2
X 服从 ( )分布 (A)
2()n χ； （B ）(1,)F n ； （C ）(,1)F n ； （D ）(1,1)F n -.
4．设随机变量X 与Y 的协方差(,)0,Cov X Y =则下列结论正确的是 ( ) (A) X 与Y 独立； （B ）()()()D X Y D X D Y +=+; （C ）()()()D X Y D X D Y -=-； (D) ()()()D XY D X D Y =
5.设12,,
,n X X X 为来自正态总体2
(,)N μσ的一个样本，2
21
1,(())1n
i i X S X X n ==--∑分别为样本均值和样本方差，则下面结论中不正确的是 ( ) (A)2
~(,
);X N n
σμ(B)22();E S σ=(C)22();1
n
E S n σ=
- (D)222(1)/~(1).n S n σχ--
三、解答题（6个小题，共60分） 1．（10分）设一仓库中有10箱同样规格产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别为5箱、3箱、2箱，三厂产品的废品率依次为0.1、0.2、0.3，从这10箱产品中任取一箱，再从该箱中任取一件产品.(1)求取到的产品为废品的概率；(2)若已知取到的产品为废品，求该废品是由甲厂生产的概率. 2．（10分）对一批次品率为0.1的产品进行重复抽样检查，现抽取3件产品，以X 表示抽取的3件产品中次品的件数，试求（1）X 的分布律；（2）至少有一件是次品的概率. 3．（12分）设连续型随机变量X 的概率密度为sin ,0()0
,a x x f x π
<<⎧=⎨⎩，
其它求：（1）系数a ; (2) 分布函数();(3){/4/2}F x P X ππ<<. 4．（8分）设二维随机变量(,)X Y 的分布律为
求X 与Y 的协方差Cov （X ，Y ）及P{X +Y ≥1}. 5．（10分）设随机变量(X,Y)的概率密度为
6,01
(,)0,y y x f x y <<<⎧=⎨
⎩
其它 （1）试求关于X 及Y 的边缘概率密度；（2）判断X 与Y 是否相互独立，并说明理由.
6．（10分）设总体X 的概率密度为(1),01
(;)0
,x x f x θθθ⎧+<<=⎨⎩其它，其中(1)θθ>-是未知
参数，12,,
,n X X X 是X 的样本，求参数θ 的矩估计量与最大似然估计量.
四、证明题（2个小题，共10分）
1． （5分）设随机变量X ～N （0，1），证明随机变量(0)Y X σμσ=+>～2
(,)N μσ.
2．（5分）设4321,,,X X X X 是来自总体N(μ,2
σ)的样本，证明2212342
()()2X X X X Y σ
-+-= 服从2
χ分布，并写出自由度.
一、填空题(每小题3分，共15分) 1．2/9；2．1/12；3．1/2；4． 1/,1()0,x x e
f x <<⎧=⎨
⎩其它
；5．1/8.
二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．（D ）2． (C)；3．（B ）；4．（B ）；5. (C). 三、解答题（6个小题，共60分）
1．（10分）解： 123,,A A A 分别表示取得产品是甲、乙、丙厂生产的，B 表示取出的产品为废品，
P(A 1)=0.5，P(A 2)=0.3，P(A 3)=0.2，P(B|A 1)=0.1，P(B|A 2)=0.2，P(B|A 3)=0.3 (3)
分
(1) P(B)=P(A 1)P(B|A 1)+P(A 2)P(B|A 2)+P(A 3)P(B|A 3) (5)
分
=0.5⨯0.1+0.3⨯0.2+0.2⨯0.3=0.17 (7)
分
(2)111()(|)0.50.15
(|)0.29()0.1717
P A P B A P A B P B ⨯=
=== (1)
0分
2．（10分）解：
(1) X ～b(3，0.1)， 33{}0.10.9(0,1,2,3)k k k P X k C k -=== (3)
分
………
7分
(2)P{X ≥1}=1
－
P{X=0}=0.271 ………10分 3．（12分）解：
（1）0
1
sin 1;2
a xdx a π
=⇒=
⎰
………3分
（2）()()x
F x f t dt -∞
=⎰
(6)
分
00,01
sin ,02
x x tdt x x ππ≤⎧⎪⎪
=<≤⎨⎪
>⎪⎩⎰1
,0
,01cos ,02x x x x ππ≤⎧⎪-⎪=<≤⎨
⎪>⎪⎩1, ………10分
241(3){/4/2}sin 2
4P X xdx π
πππ<<==⎰ (12)
分
4．（8分）解： E （X ）＝0.5，E （Y ）＝0.3，E （XY ）＝0.1 ………4分
Cov （X ，Y ）＝E （XY ）－E （X ）E （Y ）＝－0.05 (6)
分
P{X +Y ≥1}=0.2＋0.4＋0.1=0.7 ………8分
5．（10分）解： （1）()(,)X f x f x y dy ∞
-∞
=
⎰
06,010
,x
ydy x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩⎰其它23,01
0,x x ⎧<<=⎨
⎩其它 ………4分 ()(,)Y f y f x y dx ∞
-∞
=⎰
16,010
,y ydx y ⎧<<⎪
=⎨⎪⎩⎰其它6(1),01
0,y y y -<<⎧=⎨
⎩其它 ………8分 （2）X 与Y 不相互独立，因为(,)()()X Y f x y f x f y ≠ ………10分 6．（10分）解 （1）矩估计量
1
10
1
()(1)2
E X x x dx θθμθθ+==⋅+=
+⎰ ………3分 1
1121μθμ-⇒=
-12ˆ1
X X θ
-⇒=- ………5分 (2) 最大似然估计量 对于给定样本值12,,
,,n x x x 似然函数为
1
1
()(;)(1)n
n
i i i i L f x x θθθθ====+∏∏12
(1)(),01n n i x x x x θθ=+<< ………7分
1()ln(1)ln n
i i lnL n x θθθ==++∑，1
()ln 01n
i i d n
lnL x d θθθ==+=+∑ ………8分
1
1
ln ˆln n
i
i n
i
i n x x
θ
==+⇒=-∑∑，最大似然估计量为1
1
ln ˆln n
i
i n
i
i n X X
θ
==+=-∑∑ ………10分
四、证明题（2个小题，共10分） 1．证明 ：X
的概率密度为22
(),x X f x -
=
………1分
函数,0,(,)y x y y σμσ'=+=>∈-∞∞，1
(),(),y x h y h y μ
σσ
-'=
==
………3分
22
()22()[()]|()|~(,).y u Y X f y f h y h y Y N σμσ--
'==
⇒ ………5分
2
．证明：2
12~(0,2)~(0,1),X X N N σ-⇒
~(0,1),N ………2分 两者独立 ………4分
因此 222
12342
()()~(2)2X X X X Y χσ
-+-= ………5分。