【数学】数学--金陵中学、海安高级中学、南外三校2012届高三下学期联合考试_数学_
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t=1 n
3t+1 1 ＜ ． mtmt＋1 22
20． （本小题满分 16 分） 设 f(x)是定义在[a，b]上的函数，用分点 T：a＝x0＜x1＜…＜xi－1＜xi ＜…＜xn＝b，将区 间[a，b]任意划分成 n 个小区间，若存在常数 M，使|f(xi)－f(xi－1)|≤M 恒成立，则称 f(x)
5． 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔 填写在答题卡上，并用 2B 铅笔正确填涂考试号。 6． 作答试题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其 它位置作答一律无效。如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描 写清楚。
E
F
B G B'
O K
H
△GB′H，△ICH，△IC′J，△KDJ，△KD′L 均是全等三角形． D C J I （1）设 A′E＝x，将 x 表示为的函数； C' （2）试确定，使正方形 A′B′C′D′与正方形 ABCD 重叠部分面积最小，并求最小面积．
18． （本小题满分16分） x2 y2 3 已知椭圆 C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的离心率 e＝ 2 ，椭圆 C 的上、下顶点分别为 A1，A2， 2 5 左、右顶点分别为 B1，B2,左、右焦点分别为 F1，F2．原点到直线 A2B2 的距离为 5 ． （1）求椭圆 C 的方程； 1 （2）过原点且斜率为2的直线 l，与椭圆交于 E，F 点，试判断∠EF2F 是锐角、直角还是 钝角，并写出理由； （3）P 是椭圆上异于 A1，A2 的任一点,直线 PA1，PA2，分别交 x 轴于点 N，M,若直线 OT 与过点 M，N 的圆 G 相切，切点为 T.证明：线段 OT 的长为定值,并求出该定值. y A1 T P G F1 F2 M N B1 B2 x O
i=1 nห้องสมุดไป่ตู้
为[a，b]上的有界变差函数． （1）判断函数 f(x)＝x＋cosx 在[－，]上是否为有界变差函数，并说明理由； （2）定义在[a，b]上的单调函数 f(x)是否一定为有界变差函数？若是，请给出证明；若 不是，请说明理由； （3）若定义在[a，b]上的函数 f(x)满足：存在常数 k，使得对于任意的 x1，x2[a，b]， | f(x1)－f(x2)|≤k|x1－x2|．证明：f(x)为[a，b]上的有界变差函数．
江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学 2012 届高三联合考试
数学Ⅰ参考答案及评分建议
说明： 1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容 比照评分标准制订相应的评分细则． 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后 续部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数． 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分． 1 1．{x|0≤x＜1} 2．1 3． 32 4．6 3n－1 5．18 6．{x|－1＜x＜0} 7．3 3 8． 2 3－ 5 π 9．12x＋y－8＝0 10．6 11． 5 12． 2 13 26 63 13． 4 14．[ 9 ，16) 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．本题主要考查两角和与差的正、余弦公式、二倍角的正、余弦公式，正、余弦定理等基 础知识，考查运算求解能力．满分 14 分． x x x π 1 x 3 x 1 x 1 解： （1）f(x)＝ 3sin4cos4＋cos24＝ 2 sin2＋2cos2＋2＝sin(2＋6)＋2．………………… 3 分 x π 1 由 f(x)＝1，可得 sin(2＋6)＝2， x π π 解法一：令＝2＋6，则 x＝2－3． 2π 1 cos( 3 －x)＝cos(－2)＝－cos2＝2sin2－1＝－2． ………………… 6 分 x π π x π 5π 解法二：2＋6＝2k＋6，或2＋6＝2k＋ 6 ，kZ． 4π 所以 x＝4k，或 x＝4k＋ 3 ，kZ． 2π 2π 1 当 x＝4k，kZ 时，cos( －x)＝cos ＝－ ； 3 3 2
3
0 1 2 3
9 055 8 1
▲ ．
2 2
（第 5 题）
9．已知函数 f(x)＝kx －3(k＋1)x －k ＋1，若 f(x)的单调减区间是(0，4)，则在曲线 y＝f(x) 的切线中，斜率最小的切线方程是 ▲ ． π 10．若 tan＝3tan，且 0≤＜＜2，则－的最大值为 ▲ ．
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数学Ⅱ（附加题）
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 4． 本试卷共 2 页，均为非选择题（第 21~23 题） 。本卷满分为 40 分，考试时间为 30 分钟。考试结束后，请将答题卡交回。
江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学 2012 届高三联合考试
数学Ⅰ
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1． 本试卷共 3 页，包含填空题（共 14 题） 、解答题（共 6 题） ，满分为 160 分，考试 时间为 120 分钟。考试结束后，请将答题卡交回。 2． 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填 写在答题卡上，并用 2B 铅笔正确填涂考试号。 3． 作答时必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位 置作答一律无效。如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。
A2
19． （本小题满分 16 分） 设数列{an}是一个公差不为零的等差数列，且 a5＝6． （1）当 a3＝3 时，请在数列{an}中找一项 am(m＞5)，使 a3，a5，am 成等比数列； （2）当 a3＞1 时，如果存在自然数 m1，m2，…，mt，…，满足 5＜m1＜m2＜…＜mt＜…， 且 a3，a5，am1，am2，…，amt，…构成一个等比数列，求 a3 的一切可能值； （3）在（2）中的 a3 取最小正整数值时，求证：
B E A D
C
（第 12 题）
14．已知使函数 f(x)＝x3－ax2－1(0≤a≤M0)存在整数零点的实数 a 恰有 3 个，则 M0 的取值 范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．请在答 题卡 指定区域内 作答，解答时应写出文字 ． ．． ．．．．． 说明、证明过程或演算步骤． 15． （本小题满分 14 分） x x x 已知函数 f(x)＝ 3sin4cos4＋cos24． 2π （1）若 f(x)＝1，求 cos( 3 －x)的值； 1 （2）在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且满足 acosC＋2c＝b，求 f(B) 的取值范围． 16． （本小题满分 14 分） 如图，已知 BC 是半径为 1 的半圆 O 的直径，A 是半圆周 ⌒ 上不同于 B，C 的点，F 为 AC 的中点．梯形 ACDE 中，DE∥AC， 且 AC＝2DE，平面 ACDE⊥平面 ABC．求证： （1）平面 ABE⊥平面 ACDE； （2）平面 OFD∥平面 BAE． 17． （本小题满分 14 分）
A F C O B E D
π 如图，将边长为 3 的正方形 ABCD 绕中心 O 顺时针旋转 (0 ＜ ＜ 2 ) 得到正方形
A'
A′B′C′D′．根据平面几何知识，有以下两个结论： ①∠A′FE＝； π ②对任意 (0＜＜2)，△EAL，△EA′F，△GBF，
D'
A L
x2 y2 11．过双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的右顶点 A 作斜率为－1 的直线，该直线与双曲线的两 → 1→ 条渐近线的交点分别为 B，C，若AB＝2BC，则双曲线的离心率是 ▲ ． 12．△ABC 的面积为 1，点 D 在 AC 上，DE∥AB，连结 BD， 设△DCE、△ABD、△BDE 中面积最大者的值为 y，则 y 的 最小值为 ▲ ． 13．在△ABC 中，若 a＝2，b－c＝1，△ABC 的面积为 3，则 → → AB · AC ＝ ▲ ．
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案填写在答 题卡 相应位置 ． ．． ．．．． 上． 1．已知集合 A＝{x|x≥0}，B＝{x|x＜1}，则 A∩B＝ ▲ x＋i 是纯虚数，则 x 的值是 ▲ ． 2．已知 x 是实数， 1－i 3．根据如图所示的流程图，当输入的正整数 n 的值为 5 时， 输出的 an 的值是 ▲ ． ． 开始 输入 n Y an← n2 n ≤ 4 N an← 2n
4．若以连续掷两次骰子分别得到的点数 m、n 作为点 P 的横、 纵坐标，则点 P 在直线 x＋y＝5 下方的概率是 ▲ ． 输出 an 结束
（第 3 题）
2
5．如图所示的茎叶图记录了某运动员在某赛季一些场次的得分， 则该运动员的平均得分为 ▲ ．
6．不等式 lg(－x)＜x＋1 的解集为 ▲ ． 7．底面边长为 2m，高为 1m 的正三棱锥的全面积为 ▲ m ． 1 8．在等比数列{an}中，a1＝1，前 n 项和为 Sn．若数列{Sn＋2}也是等 比数列，则 Sn 等于
21． 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共 20 分．请在答 题 ． ． 卡指定区域内 作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ．．．．．． A．选修 4—1：几何证明选讲 如图，AB 为半圆 O 的直径，点 C 在半圆 O 上方，连结 AC D 交半圆 O 于点 D，过点 C 作线段 AB 的垂线 CE，垂足为 E． 求证：B，C，D，E 四点共圆． A · O E B C
1 1 1 1 已知：a，b，c 都是正数，a＋2b＋3c＝9．求证：4a＋18b＋108c≥9． 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共 20 分．请在答 题卡指定区域内 作答．解答 ． ．．．．．．． 应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 2 22．甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为3， 本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，此时比赛结束．设各局比赛相互之间没有 影响．令 X 为本场比赛的局数，求 X 的概率分布和数学期望． 23．设 P1，P2，…，Pj 为集合 P＝{1，2，…，i}的子集，其中 i，j 为正整数．记 aij 为满 足 P1∩P2∩…∩Pj＝的有序子集组(P1，P2，…，Pj)的个数． （1）求 a22 的值； （2）求 aij 的表达式．
B．选修 4—2：矩阵与变换 （第 21－A 题） 0 －1 1 2 已知矩阵 M＝ ． ，N＝ 3 4 1 3 （1）求矩阵 MN； （2）若点 P 在矩阵 MN 对应的变换作用下得到 Q(0，1)，求点 P 的坐标． C．选修 4—4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，设 O 为极点，点 P 为直线cos＝1 与圆＝2sin的切点，求 OP 的长． D．选修 4—5：不等式选讲
3t+1 1 ＜ ． mtmt＋1 22
20． （本小题满分 16 分） 设 f(x)是定义在[a，b]上的函数，用分点 T：a＝x0＜x1＜…＜xi－1＜xi ＜…＜xn＝b，将区 间[a，b]任意划分成 n 个小区间，若存在常数 M，使|f(xi)－f(xi－1)|≤M 恒成立，则称 f(x)
5． 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔 填写在答题卡上，并用 2B 铅笔正确填涂考试号。 6． 作答试题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其 它位置作答一律无效。如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描 写清楚。
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B G B'
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△GB′H，△ICH，△IC′J，△KDJ，△KD′L 均是全等三角形． D C J I （1）设 A′E＝x，将 x 表示为的函数； C' （2）试确定，使正方形 A′B′C′D′与正方形 ABCD 重叠部分面积最小，并求最小面积．
18． （本小题满分16分） x2 y2 3 已知椭圆 C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的离心率 e＝ 2 ，椭圆 C 的上、下顶点分别为 A1，A2， 2 5 左、右顶点分别为 B1，B2,左、右焦点分别为 F1，F2．原点到直线 A2B2 的距离为 5 ． （1）求椭圆 C 的方程； 1 （2）过原点且斜率为2的直线 l，与椭圆交于 E，F 点，试判断∠EF2F 是锐角、直角还是 钝角，并写出理由； （3）P 是椭圆上异于 A1，A2 的任一点,直线 PA1，PA2，分别交 x 轴于点 N，M,若直线 OT 与过点 M，N 的圆 G 相切，切点为 T.证明：线段 OT 的长为定值,并求出该定值. y A1 T P G F1 F2 M N B1 B2 x O
i=1 nห้องสมุดไป่ตู้
为[a，b]上的有界变差函数． （1）判断函数 f(x)＝x＋cosx 在[－，]上是否为有界变差函数，并说明理由； （2）定义在[a，b]上的单调函数 f(x)是否一定为有界变差函数？若是，请给出证明；若 不是，请说明理由； （3）若定义在[a，b]上的函数 f(x)满足：存在常数 k，使得对于任意的 x1，x2[a，b]， | f(x1)－f(x2)|≤k|x1－x2|．证明：f(x)为[a，b]上的有界变差函数．
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数学Ⅰ参考答案及评分建议
说明： 1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容 比照评分标准制订相应的评分细则． 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后 续部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数． 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分． 1 1．{x|0≤x＜1} 2．1 3． 32 4．6 3n－1 5．18 6．{x|－1＜x＜0} 7．3 3 8． 2 3－ 5 π 9．12x＋y－8＝0 10．6 11． 5 12． 2 13 26 63 13． 4 14．[ 9 ，16) 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．本题主要考查两角和与差的正、余弦公式、二倍角的正、余弦公式，正、余弦定理等基 础知识，考查运算求解能力．满分 14 分． x x x π 1 x 3 x 1 x 1 解： （1）f(x)＝ 3sin4cos4＋cos24＝ 2 sin2＋2cos2＋2＝sin(2＋6)＋2．………………… 3 分 x π 1 由 f(x)＝1，可得 sin(2＋6)＝2， x π π 解法一：令＝2＋6，则 x＝2－3． 2π 1 cos( 3 －x)＝cos(－2)＝－cos2＝2sin2－1＝－2． ………………… 6 分 x π π x π 5π 解法二：2＋6＝2k＋6，或2＋6＝2k＋ 6 ，kZ． 4π 所以 x＝4k，或 x＝4k＋ 3 ，kZ． 2π 2π 1 当 x＝4k，kZ 时，cos( －x)＝cos ＝－ ； 3 3 2
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（第 5 题）
9．已知函数 f(x)＝kx －3(k＋1)x －k ＋1，若 f(x)的单调减区间是(0，4)，则在曲线 y＝f(x) 的切线中，斜率最小的切线方程是 ▲ ． π 10．若 tan＝3tan，且 0≤＜＜2，则－的最大值为 ▲ ．
江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学 2012 届高三联合考试
数学Ⅱ（附加题）
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 4． 本试卷共 2 页，均为非选择题（第 21~23 题） 。本卷满分为 40 分，考试时间为 30 分钟。考试结束后，请将答题卡交回。
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数学Ⅰ
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1． 本试卷共 3 页，包含填空题（共 14 题） 、解答题（共 6 题） ，满分为 160 分，考试 时间为 120 分钟。考试结束后，请将答题卡交回。 2． 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填 写在答题卡上，并用 2B 铅笔正确填涂考试号。 3． 作答时必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位 置作答一律无效。如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。
A2
19． （本小题满分 16 分） 设数列{an}是一个公差不为零的等差数列，且 a5＝6． （1）当 a3＝3 时，请在数列{an}中找一项 am(m＞5)，使 a3，a5，am 成等比数列； （2）当 a3＞1 时，如果存在自然数 m1，m2，…，mt，…，满足 5＜m1＜m2＜…＜mt＜…， 且 a3，a5，am1，am2，…，amt，…构成一个等比数列，求 a3 的一切可能值； （3）在（2）中的 a3 取最小正整数值时，求证：
B E A D
C
（第 12 题）
14．已知使函数 f(x)＝x3－ax2－1(0≤a≤M0)存在整数零点的实数 a 恰有 3 个，则 M0 的取值 范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．请在答 题卡 指定区域内 作答，解答时应写出文字 ． ．． ．．．．． 说明、证明过程或演算步骤． 15． （本小题满分 14 分） x x x 已知函数 f(x)＝ 3sin4cos4＋cos24． 2π （1）若 f(x)＝1，求 cos( 3 －x)的值； 1 （2）在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且满足 acosC＋2c＝b，求 f(B) 的取值范围． 16． （本小题满分 14 分） 如图，已知 BC 是半径为 1 的半圆 O 的直径，A 是半圆周 ⌒ 上不同于 B，C 的点，F 为 AC 的中点．梯形 ACDE 中，DE∥AC， 且 AC＝2DE，平面 ACDE⊥平面 ABC．求证： （1）平面 ABE⊥平面 ACDE； （2）平面 OFD∥平面 BAE． 17． （本小题满分 14 分）
A F C O B E D
π 如图，将边长为 3 的正方形 ABCD 绕中心 O 顺时针旋转 (0 ＜ ＜ 2 ) 得到正方形
A'
A′B′C′D′．根据平面几何知识，有以下两个结论： ①∠A′FE＝； π ②对任意 (0＜＜2)，△EAL，△EA′F，△GBF，
D'
A L
x2 y2 11．过双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的右顶点 A 作斜率为－1 的直线，该直线与双曲线的两 → 1→ 条渐近线的交点分别为 B，C，若AB＝2BC，则双曲线的离心率是 ▲ ． 12．△ABC 的面积为 1，点 D 在 AC 上，DE∥AB，连结 BD， 设△DCE、△ABD、△BDE 中面积最大者的值为 y，则 y 的 最小值为 ▲ ． 13．在△ABC 中，若 a＝2，b－c＝1，△ABC 的面积为 3，则 → → AB · AC ＝ ▲ ．
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案填写在答 题卡 相应位置 ． ．． ．．．． 上． 1．已知集合 A＝{x|x≥0}，B＝{x|x＜1}，则 A∩B＝ ▲ x＋i 是纯虚数，则 x 的值是 ▲ ． 2．已知 x 是实数， 1－i 3．根据如图所示的流程图，当输入的正整数 n 的值为 5 时， 输出的 an 的值是 ▲ ． ． 开始 输入 n Y an← n2 n ≤ 4 N an← 2n
4．若以连续掷两次骰子分别得到的点数 m、n 作为点 P 的横、 纵坐标，则点 P 在直线 x＋y＝5 下方的概率是 ▲ ． 输出 an 结束
（第 3 题）
2
5．如图所示的茎叶图记录了某运动员在某赛季一些场次的得分， 则该运动员的平均得分为 ▲ ．
6．不等式 lg(－x)＜x＋1 的解集为 ▲ ． 7．底面边长为 2m，高为 1m 的正三棱锥的全面积为 ▲ m ． 1 8．在等比数列{an}中，a1＝1，前 n 项和为 Sn．若数列{Sn＋2}也是等 比数列，则 Sn 等于
21． 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共 20 分．请在答 题 ． ． 卡指定区域内 作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ．．．．．． A．选修 4—1：几何证明选讲 如图，AB 为半圆 O 的直径，点 C 在半圆 O 上方，连结 AC D 交半圆 O 于点 D，过点 C 作线段 AB 的垂线 CE，垂足为 E． 求证：B，C，D，E 四点共圆． A · O E B C
1 1 1 1 已知：a，b，c 都是正数，a＋2b＋3c＝9．求证：4a＋18b＋108c≥9． 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共 20 分．请在答 题卡指定区域内 作答．解答 ． ．．．．．．． 应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 2 22．甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为3， 本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，此时比赛结束．设各局比赛相互之间没有 影响．令 X 为本场比赛的局数，求 X 的概率分布和数学期望． 23．设 P1，P2，…，Pj 为集合 P＝{1，2，…，i}的子集，其中 i，j 为正整数．记 aij 为满 足 P1∩P2∩…∩Pj＝的有序子集组(P1，P2，…，Pj)的个数． （1）求 a22 的值； （2）求 aij 的表达式．
B．选修 4—2：矩阵与变换 （第 21－A 题） 0 －1 1 2 已知矩阵 M＝ ． ，N＝ 3 4 1 3 （1）求矩阵 MN； （2）若点 P 在矩阵 MN 对应的变换作用下得到 Q(0，1)，求点 P 的坐标． C．选修 4—4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，设 O 为极点，点 P 为直线cos＝1 与圆＝2sin的切点，求 OP 的长． D．选修 4—5：不等式选讲