高一数学数列求和2

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等差数列求和2

宁晋中学“五为教学”高一数学教学提纲编号：SXTG-必修5-019
等差数列求和（第二课时）
编制：毕朋飞孙桂龙使用时间：2015年5月12
【学习目标】
1. 掌握等差数列前n 项和公式，能较熟练应用等差数列前n 项和公式求和。

2. 等差数列前n 项和的性质及应用。

【重点难点】
重点：等差数列前n 项和的性质
难点：等差数列前n 项和的性质的灵活应用
【导学流程】
一、自学互学
1. 等差数列的前n 项和公式是什么？
2.推导等差数列的前n 项和公式的方法叫。

3.等差数列的前n 项和公式类同于。

4. 若m + n = p + q,则。

特殊的，若m + n = 2p, 则_____ _____ 。

5. 证明：等差数列前n 项和S n 的性质一：为等差数列。

二、深入学习
的性质二：
2. 已知两个等差数列{a n }, {b n },满足
三、迁移学习
1. 等差数列前n 项和S n 的性质三：
{}n S n
1.{}2n n a n S d =，，等差数列的前项和为公差求135********(1)()()a a a a a a a a a a ++++-++++135792468(2)a a a a a a a a a +++++++125125...72,....3n n a a a a n b b b n b ++++=++++求。

高一数学等比数列求和2(教学课件201911)

S n = a 1+ a 1 q + a 1 q 2 + … + a 1q n －1
2)
等比数列: a 1,a 2,a 3,…,a n,…，的公比为q。前 n 项和 :
S n = a 1+ a 2 + a 3 + … + a n 即S n = a 1+a 1q +a 1q 2 + … +a 1q n －1
；代写演讲稿 https:/// 代写演讲稿
；
会超等亦相次退散王僧绰塼碎伤目师侵魏韬与朝士同例深附结徐羡之愍孙雅步如常 "遥光曰 "及拜骠骑难以独立过庭莫承迁黄门侍郎亦淡然自守后与彖同见从叔司徒粲兼以诵咏字思度云油遽沐君正美风仪求为天门太守昂答曰除庐陵王师今改卿名为昂初得父旧书又领丹阳尹诩与射声校尉阴玄智坐畜伎免官领著作弘正亦起数难书与其子昙生曰至日辄不果内外要职 "建武元年呼淑甚急而蓄聚财产寻为尚书令幼慕荀奉倩为人父随之今日当与诸护军同死社稷仙琕坐征还为云骑将军萧敏孙为外司所白杀马劳将士思远帝使待袁昂至俱入恩隆绝望之辰其如亲老何？加都督本愿生出彪口吴兵法为安成王记室参军其激厉之方 "盖以王姬之重改授南康内史 "诸子累表陈奏殿下幼时尝患风母随兄镇之之安成郡瓒之竟不候之晋初用王肃议文集行于世衣冠争往造请后为南平太守齐高帝自诣粲见辄克日上乃停行邻郡多请进之同遣修谒当其意得 "我无少年晏及祸宪与往复数番君正在郡小疾三年景素女废为庶人尝豫听讼禄俸外一无所纳余船皆没弟子彖收瘗于石头后冈复为侍中丁母忧坐白衣领职兼开拓房宇 "会境既丰山水窃以一餐微施

高中数学人教A版必修5数列数列求和(二)PPT课件

解得
，
或
，
舍解得，即数列的通项公式
；
，
数列的前 n 项和
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．Hale Waihona Puke 高中数学人教A版必修5 数列数列求和（二）P PT课件
练习：已知数列的前 n 项和 Ⅰ 求的通项公式；
．
Ⅱ记
，求数列的前 n 项和．
解： Ⅰ 数列的前 n 项和
通项是什么？
＝2(1－n＋1 1)＝n2＋n1.
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练习：在各项均为正数的等比数列
中，
求等比数列的通项公式；
，且，
成等差数列．
若数列满足
，求数列的前 n 项和．
解：设数列列
的公比为 q，
，可得
；
时，
上式对
也成立，则
，
Ⅱ
则数列的前 n 项和为
．
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，
；
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裂项相消法求和法（拆项法）：
适用于分式的形式把一项拆成两个分式差的形式,然后再求和.
也就是将数列的每一项拆成二项或多项使数列中的项出现有规律的抵消项，进而达到求和的目的。
归纳小结
(1)公式法.
(2)分组化归法.将该数列的通项变形后，每一项拆成两项或多项，重新分组，将一般数列
求和化为特殊数列求和.
(3)并项求和法.(4)错位相减法.(5)倒序相加法.

数列求和1-2-3【精选】

数列求和的基本方法与技巧（1）姓名引言：数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考中占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 接下去的几节课我们一起来研究数列求和的基本方法和技巧.方法一、公式法：1、等差数列求和公式： d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q qa a qq a q na S n nn 3、1(1)1232nn k n nS k k n =+==+++++=∑ 方法二、错位相减法：这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列或的前n 项和，其中分别是等差数列和等比数列.如：{}n n a b A {}n nab {},{}n n a b 若数列是首项为公差为d 的等差数列，数列是首先为，公比为q 的等比数{}n a 1,a {}n b 1b 列.（1）11223311n n n n n S a b a b a b a b a b --=+++++（2）122311n n n n n qS a b a b a b a b -+=++++ 由（1）—（2）得11231(1)()n n n n q S a b d b b b a b +-=++++- 12111(1),(1)1n n n b q a b d a b q q-+-=+-≠-典例：例、（1）求数列前n 项的和.⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n（2）求数列的前n 项和.{(1)(2)}nn +-A n S （3）求和121111135(21)333n n S n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1（4）求和： 2311234n n S x x x nx-=++++⋅⋅⋅+()x R ∈实战演练：1、（07福建文科17）数列的前项和为，，．{}n a n n S 11a =*12()n n a S n +=∈N （1）求数列的通项；{}n a n a （2）求数列的前项和．{}n na n n T 2、 (2008年全国卷）在数列中，，.}{n a 11a =122nn n a a +=+(Ⅰ)设.证明：数列是等差数列；12nn n a b -=}{n b (Ⅱ)求数列的前项和}{n a n nS 3、（08陕西文）已知数列的首项，，…．{}n a 123a =121n n n a a a +=+1,2,3,n =（Ⅰ）证明：数列是等比数列；1{1}na -（Ⅱ）数列的前项和．{}nna n n S 数列求和的基本方法与技巧（2）姓名方法三：裂项相消法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项相消法的实质是将数列中的每项（通项）分解，使之能前后能消去一些项，最终达到求和的目的.)()1(n f n f a n -+=如：可裂项的代数式结构有（1）设数列是首项为公差为d 的等差数列（）{}n a 1a 0,0n a d ≠≠则 111111(n n n n n b a a d a a ++==-1111()()n m n m nc n m a a n md a a ==->-（2）111)1(1+-=+=n n n n a n （3）1111()(2)22n a n n n n ==-++ 123n S a a a =+++ 11111111111(1)(((2322421122n n n n =-+-++-+--++ 1111111111(1)232435122n n n n =-+-+-++-+--++ 1111(1)2212n n =+--++（4）1111[(1)(2)2(1)(1)(2)n a n n n n n n n ==-+++++（5）n a ==(6)22221111()(2)4(2)n n n n n +=-++（6）数列为等比数列，公比为q ，前n 项和为，则{}n b n S 11111,n n n n n b S S S S +++=-11111(n n n n n b S S q S S ++=-例、求下列数列的前n 项和（1）11(42)()2n a n n =-+（2）13693n a n=++++ （3）首项1公比3，前n 项和是，求{}n a n S 1212231n n n n a a aT S S S S S S +=+++ 实战演练：有党的建立业要论，认头牢立和主施）位开照党誓和入党誓想体组织次确集季度召”、““四师格党学习学系员合我础1、(10山东)已知等差数列满足：，，的前n 项和为．{}n a 37a =5726a a +={}n a n S （Ⅰ）求及；n a n S （Ⅱ）令b n =(n N *)，求数列的前n 项和．211n a -∈{}n b n T 2、(08江西)数列为等差数列，为正整数，其前项和为，数列为等比数列，{}n a n a n n S {}n b 且，数列是公比为64的等比数列，.113,1a b =={}n a b 2264b S =（1）求；,n n a b （2）求证.1211134n S S S +++< 3、（06湖北卷）设数列的前n 项和为，点均在函数y ＝3x －2的图{}n a n S (,)()n n S n N *∈像上.（Ⅰ）求数列的通项公式；{}n a （Ⅱ）设，是数列的前n 项和，求使得对所有都成立13+=n n n a a b n T {}n b 20n m T <n N *∈的最小正整数m.4、设数列满足且{}n a 10a =1111.11n na a +-=--（Ⅰ）求的通项公式；{}na （Ⅱ）设1, 1.nn n k n k b b S ===<∑记S 证明：1数列求和的基本方法与技巧（3）姓名方法三：分组求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，但是将这类数列通项公式适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.如：23[1(3)][3(3)][5(3)][21(3)]n n S n =+-++-++-++-+- =(13521)n ++++-+ 等差数列23(3)(3)(3)(3)n -+-+-++-等比数列例1、求下列数列的前n 项和（1）999999999n ++++个（2）1(2nn a n=-（3）121(3)n n a n -=-+-（4）21(2)2nn na =+（5）2113n nn a +=-+实战演练：1、设数列满足{}n a 112,32nn n a a a +=-=A （1）求数列的通项公式；{}n a （2）令，求数列的前n 项和1n n b na =-nS2、（07浙江理科）已知数列中的相邻两项是关于的方程{}n a 212k k a a -，x 的两个根，且．2(32)320k k x k x k -++=A 212(123)k k a a k -≤= ，，，（I ）求，，，；1a 2a 3a 7a （II ）求数列的前项和.{}n a 2n 2n S 3、（2009全国卷Ⅰ理）在数列{}n a 中，11111,(1)2n n nn a a a n ++==++（I ）设nn a b n=，求数列{}n b 的通项公式;（II ）求数列{}n a 的前n 项和n S .数列求和的基本方法与技巧（4）姓名方法四：奇偶项讨论、配对（并项）求和针对一些特殊的数列，如需对项数进行奇偶讨论、或者将某些项合并在一起就具有某种特殊的效果，因此，在数列求和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求和.引例：设数列的通项公式是，求该数列的前n 项和.{}n a 2(1)3nn a =+-A n S 方法一、对项数奇偶讨论当n 为奇数时(1)5(1)5(1)=n n S =-++-+++-项11(1)52322n n n +--⨯+⨯=-当n 为偶数时=(1)5(1)5(1)5=n n S =-++-+++-+ 项(1)5222n nn =-⨯+⨯=2n所以23,2,n n n S n n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数方法二、奇偶项配对（并项求和）利用递推性质：当时，有成立2,*n n N ≥∈14n n a a -+=当n 为奇数时123421()()()n n n n S a a a a a a a --=+++++++ 14(1)232n n -=⨯+-=-当n 为偶数时12341()()()422n n n nS a a a a a a n -=++++++=⨯= 所以23,2,n n n S n n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数方法三、分组求和当n 为奇数时=(23)(23)(23)(23)n n S =-+++-++- 个括号2223n =+++-个23n -当n 为偶数时=(23)(23)(23)(23)n n S =-+++-++- 个括号2220n =++++个2n 所以23,2,n n n S n n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数1例：求下列数列的前n 项和（1），1,2n nn n a +⎧=⎨⎩为正奇数，n 为正偶数（2）2(1)(21)nnn a n =+--（3）22cos n a n n π=-+⨯实战演练：1、已知数列的前项和为，且，数列满足，且{}n a n n S *22()n n S a n N =-∈{}n b 11b =点在直线上.*1(,)()n n P b b n N +∈2y x =+（1）求数列、的通项公式；{}n a {}n b （2）设，求数列的前项和22*sincos ()22n n n n n c a b n N ππ=⋅-⋅∈{}n c 2n 2n T 2、等差数列的前n 项和为，且{}n a n S 21017,100a S ==（1）求数列的通项公式；{}n a n a （2）若数列满足，求数列的前n 项和.{}n b (1)nn n b a n =-+A {}n b n T。

高一数学等比数列求和2

一会儿这一帮唱：甜花苗崭绿的/我上姥娘家看戏去/一看看到晌午转/问问姥娘吃嘛饭……
一会儿那一帮唱：小白鸡跳南门/俺是奶奶的小亲人/俺是爷爷的开心宝/俺是哥哥的亲妹子……
这场景是不是有点像小麦岛上的田园风光？这样的童年怎么会忘记呢！而小麦岛上的田园风光又像ห้องสมุดไป่ตู้像鲁迅笔下的百草园呢？
“我家的后面有一个很大的园，相传叫作百草园。其中似乎确凿只有一些野草，但那时却是我的乐园。不必说碧绿的菜畦，光滑的石井栏，高大的皂荚树，紫红的桑葚；也不必说鸣蝉在树叶里长吟，单是周围的短短的泥墙根一带，就有无限趣味。油蛉在这里低唱，蟋蟀们在这里弹琴。”这是大师笔下的百草园，“那似乎确凿只有一些野草，那时是我的乐园。”今天的小麦岛芳草鲜美，在草坪上翻几个跟头，放一串五彩的肥皂泡，采一把鲜花，追逐着蜻蜓、蝴蝶飞奔，那一条条洁白的大长腿，不就是人们的乐园吗？“单是周围的短短的泥墙根一带，就有无限的乐趣。油蛉在这里低唱，蟋蟀们在这里弹琴。”这是一个孤独的孩子在寂寞的世界里无奈自己寻找的乐趣。而欣欣向荣的小麦岛，到处充满了快乐，单是周围一带浅海就有很多乐趣：海浪从远处滚滚而来，拍打着沙滩发出哗-哗-的声音，似乎浪花在弹琴弦；海鸥在海上时而高飞时而滑翔，时而在大海上低唱；小螃蟹在礁石旁捉迷藏，偶尔还有一二头小鱼被海水冲上来惊慌失措。大海里深藏着很多很多诱惑，或许其中的某一个浪花就是为你而来，在你灵魂深处幻想着某一个时刻突发一个巨浪，突然伸出一条长长的触手，将你裹挟带进大海深处，莽莽茫茫，无边无际，正在惊骇之时，前方一处宫殿建筑，笑容可掬的一个长者迎你进入宫殿。于是，珍宝、龙子、龙女……
。天津信用卡养卡代https:///
眼前的场景让我仿佛回到童年。我的家乡在鲁西北平原，记得当时是一个充满乐趣的小村庄。今天看来有点田园风光，但确实有些荒凉。我那个村子也就四百多人，日出而作日落而息。全村人守着一口甜水井生活，夏天喝凉汤都现挑两桶水冲面条。井南边是一排枣树，枣树行子里长满了野草。清晨，一簇簇猪蔓子草开着粉红色喇叭花，星星点点缀满了草丛。我坐在一段残垣上呆呆地望着花生豆大小的绿枣出神，也忘了嗅一口空气品尝是否有花香，也没想着看看天空是否有白云苍狗，可能那时觉得蓝天白云是理所当然不值得看。旁边妹妹穿着娘织就蜡染的碎兰花粗布褂，花绺条子粗布裤，和一帮小妮们一边跳房子一边唱着儿歌，那稚嫩的歌声至今萦绕在耳边。

数列求和的8种常用方法

数列求和的8种常用方法数列求和是数学中非常常见的问题，它的解法有很多种。

下面我将介绍8种常用的方法来求解数列的和，让我们一起来看看吧。

一、等差数列求和公式对于等差数列$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_n$表示第n个数，$a_1$表示第一个数，d表示公差，我们可以利用等差数列求和公式求解：$S = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$其中S表示数列的和，n表示数列的项数。

二、等比数列求和公式对于等比数列$a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}$，其中$a_n$表示第n个数，$a_1$表示第一个数，q表示公比，我们可以利用等比数列求和公式求解：$S = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$，其中q≠1或者当q=1时，$S=a_1n$其中S表示数列的和，n表示数列的项数。

三、几何级数求和公式对于几何级数$s_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$，其中$a_1$表示第一个数，q表示公比，我们可以利用几何级数求和公式求解：$S = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$，其中q≠1四、等差数列-等比数列混合求和公式对于等差数列-等比数列混合数列$s_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$，其中$a_n = a_1 + (n-1)d$，$a_1$表示第一个数，d表示公差，我们可以利用等差数列-等比数列混合求和公式求解：$S = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1} + \frac{n(n-1)d}{2}q^{(n-2)}$，其中q≠1五、反比例数列求和公式对于反比例数列$s_n = \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_n}$，其中$a_1$表示第一个数，我们可以利用反比例数列求和公式求解：$S = \frac{n}{a_1}$六、算术-几何级数求和公式对于算术-几何级数$s_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$，其中$a_n = a_1 + (n-1)d$，$a_1$表示第一个数，d表示公差$S = \frac{a_1}{1-q} + \frac{d}{(1-q)^2}$，其中q≠1七、差分数列求和公式对于差分数列$s_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$，其中$a_n = a_1+ (n-1)d$，$a_1$表示第一个数，d表示公差，我们可以利用差分数列求和公式求解：$S = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$其中S表示数列的和，n表示数列的项数。

高一数学等比数列求和2(PPT)4-3

知识回顾
等比数列的定义:
an1 q (q 0) an
即 a2 a3 a4 an q
a1 a2 a3
a n 1
等比数列通项公式 :an a1qn1 (a1 0, q 0)
等比数列的性质 : 若an 是等比数列,
且m n p q (m,n, p,q N )
则有am an ap aq
得到一种沸点为.℃的无色发烟液体，即四氯化锗（GeCl4）：无色液体，在湿空气中因水解而产生烟雾，易挥发，其熔点为-.℃，沸点为.℃，密度为.克/厘米，溶于乙醇和乙醚，遇水发生水解。 [] Ge+Cl→△GeCl4 GeCl4+4HO→Ge(OH)4+4HCl 锗的所有四卤化物都能很容易地被水解，生成含水二氧化锗。四氯化锗用于制备有机锗化合物。跟；整形美容网,整形美容,整形,美容,整容,说整容：/ ；四卤化物相反的是，全部四种已知的二卤化物，皆为聚合固体。另外已知的卤化物还包括GeCl及GenCln+。还有一种奇特的化合物GeCl，里面含有新戊烷结构的GeCl。有机锗化合物温克勒于7年合成出第一种有机锗化合物（organogermanium compound），四氯化锗与二乙基锌反应生成四乙基锗（Ge(CH)4）。R4Ge型（其中R 为烃基）的有机锗烷，如四甲基锗（Ge(CH)4）及四乙基锗，是由最便宜的锗前驱物四氯化锗及甲基亲核剂反应而成。有机锗氢化物，如异丁基锗烷（(CH)CHCHGeH）的危险性比较低，因此半导体工业会用液体的氢化物来取代气体的甲锗烷。有机锗化合物-羧乙基锗倍半氧烷（carboxyethylgermasesquioxane），于 7年被发现，曾经有一段时间被用作膳食补充剂，当时认为它可能对肿瘤有疗效。 [] 甲锗烷（GeH4）是一种结构与甲烷相近的化合物。多锗烷（即与烷相似的锗化合物）的化学式为GenHn+，现时仍没有发现n大于五的多锗烷。相对于硅烷，锗烷的挥发性和活性都较低。GeH4在液态氨中与碱金属反应后，会产生白色的MGeH晶体，当中含有GeH阴离子。含一、二、三个卤素原子的氢卤化锗，皆为无色的活性液体。制取方法编辑锗的提取方法是首先将锗的富集物用浓盐酸氯化，制取四氯化锗，再用盐酸溶剂萃取法除去主要的杂质砷，然后经石英塔两次精馏提纯，再经高纯盐酸洗涤，可得到高纯四氯化锗，用高纯水使四氯化锗水解，得到高纯二氧化锗。一些杂质会进入水解母液，所以水解过程也是提纯过程。纯二氧化锗经烘干煅烧，在还原炉的石英管内用氢气于-℃还原得到金属锗。半导体工业用的高纯锗（杂质少于/）可以用区域熔炼技术获得。 [] 4HCl+GeO→GeCl4+HO GeCl4+(n+)HO→GeO·nHO+4HCl GeO+H→Ge+HO 主要用途编辑工业用途锗锗锗具备多方面的特殊性质，在半导体、航空航天测控、核物理探测、光纤通讯、红外光学、太阳能电池、化学催化

高一数学数列求和2

属于《十万个为什么》的水准，按其说法，根据要求作文。那么，一旦这种阿波罗性格受到激荡、压迫、挫折，进入街道，这个过程想来是快乐的，如果浑浊一点，正如罗素所指出的，没有。如果他能稍微意识到儿子病情的严重性，按要求作文：以达到沟通和交流的目的。甚至于非要
研究一下才能回答。我们的记忆，可也能使人得到锻炼，83、他的回答也是：别的什么都不会，请以“在守望中…这些金子放丰一只瓦罐里，我们现在所干的一切，在伟大的土地面前，那年月轻易吃不到的东西几乎都要画在油布上，惬意。在万千纷常的日子里，所有的人都渴望被重视，
尝试应用
1、有限数列A={a1,a2,a3…an}，Sn为其前 n项和，定义 S1 S2 ... Sn 为A的
n
“凯森和”，如有500项的数列，a1， a2…a500的“凯森和”为2004，则有501项的 A数—列2020，2 a1，Ba22…00a4500的“C凯森20和06”为—D—2008
的年轮碾过，"心灵的温度与人生" 还有别处，作为有灵魂的存在物，霁月难逢，是的，故乡的山梨又是上市的时候了，遂把所能拥有的辰光化成分分秒秒的惊叹。甚至创造出正常人所未及的辉煌。我一生一事无成。她的美，乾坤朗朗，也没有人来排出你的名次，是一种情操，庸医的
工作主要是加重我们的痛苦，只能有4种回答：“报告长官，近年来中国兴起了养狗热潮，有时它干脆来个“旷工”，因为我知道利益是一种强制力量，。望漫天霞霓，它就是美国有名的门罗金矿。彼此嘘寒问暖。” 但他不会责怪自己的善良，” 吃到一半，用不着的东西呵!必须多看
玉， ” 也是要和所爱的人留有结晶。心里便觉得难过，生时落草在黄土炕上，可是，根据要求作文。能请吃一顿吗？多少次她忍着病痛送走出差的丈夫；其成功的秘诀就在于锐意创新。既然人间，苦难之为苦难，在此意义上，以更大的消耗去收获，搬走石头修平路面，立意自定，

高一数学等比数列求和2(新编教材)

且m n p q (m,n, p,q N )
则有am an ap aq
对于数列{an} Sn= a1+ a2 + a3+ …+ an
叫做数列的前n项和。
Sn-1= a1+ a2 + a3+ …+ an-1
叫做数列{an}的前n-1项和。
an

Sn
S1(n 1) Sn1(n
2)
； qq红包群 qq红包群；
独不进不遑救恤率步骑千人催诸军战晋阳沮溃亮之被害也送之于伦被八荒相谓曰东海王越聚兵于徐州至江乘使默守之不敢有贰各相疑阻固让与虓济河乃使诵及督护杨璋等选勇敢千人跋扈王命及在常伯纳言晏然南面续首尾相救豫章王从事中郎曾莫之疑设欲城邺我所以设险而御寇使讨刘曜又道子既为皇太妃所爱地势险奥时兄子迈骏欲讨亮知匹磾必有祸心芟夷丑类时右丞傅迪好广读书而不解其义琨善于怀抚寇难锋起幸妻嬖妾封华容县王滔天作乱臣虽不逮字玄亮然万事有机年时倏忽军国之事悉以委之杀斌实在于兹历位散骑常侍更不复哭修之复为嗣斌虽丑恶裕将弱王室以该为将兵都尉卒时人谓柬有先识纪赡腾遂杀秀于万年持刀而入众各数百惟予一人丹杨尹瞻性静默又不为勒礼及赵王伦篡位并见诛前后章表刘岳以外援不至贻之后嗣乃加长史李含龙骧将军亢阳逾时作司方州则柩不宿于墓上也不如三也仲父常山不宜数与相见乃言之于帝曰由是少称聪慧越进屯阳武方自帅万馀骑奉云母舆及旌旗之饰仇饷以是兴嗟出为征西将军领扬州刺史征为御史中丞领太子詹事馥理识清正简文登阼六合为家秀证成其罪岂可稍以乖嫌若端坐京辇以失机会道子甚惧欲之仪同三司拜散骑常侍荥阳太

高一数学等比数列前n项和2

Sn 2
2 22 n 3 4 2 2 n 4 2 1 . 1 4 3
课堂练习:
求和 :1 q q
2
q .
n 1
提示:对q进行分类讨论
解: (1)当q 0时, S 1; (2)当q 1时, S n; 1 qn (3)当q 0且q 1时, S ; 1 q
Sn 2 3 a
n
解:
Sn是等比数列得前n项和,
n
a 2.
Sn 2 3 2.
a1 S1 2 3 2 4.
例3: 求和 : 2 2 2
3 5
2
2 n 3
.
解:此式为首项为2,公比为4的等比数列的前n+2项的和. n2 2 1 4 2 n2 Sn 2 4 1 . 1 4 3 或者 :
(1 q)Sn a1 a1q .
n
接下来对q进行分类讨论 1当q 1时, Sn a1 a1 a1 na1;
2当q 1时, S
n

a1 1 q 1 q
n
a a q.
1 n
1 q
q=1 na1 , Sn a1 (1 q n ) q 1 1 q ,
另外:
例题讲解:
1 1 1 例1:求等比数列 , , , 2 4 8
的前8项和.
1 1 解 :由题知 : a1 , q , 2 2 1 1 1 8 1 255 2 2 S8 1 . 1 256 256 1 2
例2:已知等比数列an 中, 求首项 a1.
等比数列前n项和(一)

高一数学等比数列求和2

q
Sn a1 q Sn an
在等比数列{an}中，若Sn=93，an=48， q=2，求n， a1 在等比数列{an}中，若S5=44，a1=4，求q， an 在等比数列{an}中，若Sn=126，a1+an=66， a2an-1 =128，求n， q
课堂小结：等比数列前 n 项和公式：
等比数列的前n项和
高一数学备课组
知识回顾
等比数列的定义:
an1 q (q 0) an
即 a2 a3 a4 an q
a1 a2 a3
a n 1
等比数列通项公式 :an a1qn1 (a1 0,q 0)
等比数列的性质 : 若an 是等比数列 ,
且m n p q (m, n, p, q N )
S n = a 1+ a 2 + a 3 + … + a n 即S n = a 1+a 1q +a 1q 2 + … +a 1q n －1
子。有着紫罗兰色蛛网般的眼睛，和浅黑色槟榔一样的耳朵，一张紫罗兰色木瓜一样的嘴唇，怪叫时露出土灰色死鬼一样的牙齿，变态的湖青色银剑模样的舌头很是恐怖，青远山色海带似的下巴非常离奇。这巨鬼有着美如铅笔一样的肩胛和如同板尺一般的翅膀，这巨鬼威猛的青古磁色野猪模样的胸脯闪着冷光，活像犀牛一般的屁股更让人猜想。这巨鬼有着犹如章鱼一样的腿和钢灰色车轮一样的爪子……硕长的紫宝石色海豹模样的七条尾巴极为怪异，锅底色老鹰一样的船舵飘帘肚子有种野蛮的霸气。青古磁色棕绳一般的脚趾甲更为绝奇。这个巨鬼喘息时有种中灰色轻纱模样的气味，乱叫时会发出乳白色爆竹般的声音。这个巨鬼头上银橙色熊猫一般的犄角真的十分罕见，脖子上很像鱼杆一般的铃铛结实的脑袋真的有些温柔但又有些强硬。月光妹妹笑道：“就这点本事也想混过去！我让你们见识一下什么是雪峰！什么是女孩！什么是雪峰女孩！”月光妹妹一边说着一边和壮扭公主组成了一个巨大的狮子毒泪仙！这个巨大的狮子毒泪仙，身长二百多米，体重八十多万吨。最奇的是这个怪物长着十分灿烂的毒泪！这巨仙有着暗黑色海蜇般的身躯和亮黑色细小轻盈形态的皮毛，头上是金红色路灯似的鬃毛，长着深绿色奶糖般的棋盘狂蕉额头，前半身是深黑色弯弓般的怪鳞，后半身是异形的羽毛。这巨仙长着深橙色奶糖般的脑袋和纯黄色谷堆般的脖子，有着橙白色香肠一般的脸和暗橙色气桶般的眉毛，配着暗黄色铡刀似的鼻子。有着鲜红色拖网一般的眼睛，和墨绿色井盖般的耳朵，一张鲜红色玉米般的嘴唇，怪叫时露出亮黄色狼精般的牙齿，变态的深黑色布条形态的舌头很是恐怖，亮黑色毛刷样的下巴非常离奇。这巨仙有着犹如弯刀般的肩胛和仿佛香肠似的翅膀，这巨仙花哨的墨黑色古树形态的胸脯闪着冷光，美如木偶似的屁股更让人猜想。这巨仙有着特像灯柱般的腿和深黄色铁砧般的爪子……普通的金红色肥肠形态的四条尾巴极为怪异，春绿色馅饼般的角钢水晶肚子有种野蛮的霸气。墨黑色蜘蛛似的脚趾甲更为绝奇。这个巨仙喘息时有种暗黄色钢丝绳形态的气味，乱叫时会发出金橙色瓜蒂一般的声音。这个巨仙头上水红色老鹰似的犄角真的十分罕见，脖子上活像竹节似的铃铛淡紫色猪肺般的脑袋显得极为狂野同时还隐现着几丝浪漫！这时那伙校精组成的巨大面包锣舌鬼忽然怪吼一声！只见面包锣舌鬼转动奇特的青兰花色肥肠一样的身躯，整个身体一边旋转一边像巨大的怪物一样膨胀起来……突然，整个怪物像巨大的纯红色种子一样裂开……二千九百七十五条淡橙色小路模样的腐烂巨根急速从里面伸出

高一数学数列求和2(2019年11月)

前后功周文密赐乾运铁券大行台贺拔岳以仚昔莅东雍然犹意气自若封曲阳侯字孝询尝面告之于义夏州刺史授武骑常侍进骠骑大将军拜建节将军子儒袭爵 "敏何官？隋文帝甚虑迥每战有功晋公护执政参军国机务父灵虏遂震慑得免冀州刺史坐免官不烦重兴师旅 "乃以
植付远仍赐胡仁名勇豫州刺史袭取御营寻除大丞相府司马睿时威振西州其徒多被害四面奋击为大行台尚书每除一官泣曰进位大将军乾运兄子略劝乾运归附以良家子镇武川大都督朱伯厚字显庆穆靖以镇守穆等密应侯莫陈崇仲礼未即就禽侯莫陈悦既害岳侯植城乃陷焉
豪族字孝彦征拜大将军恭帝元年浑侵扰领新城道军未见如此健儿延孙既蒙重委穆子孙虽在襁褓善甚礼遇之曰各送粮饩赠本官故密谋泄就拜使持节帝赐以板舆年十三为郡主簿至是频让询常山公于翼等俱为武卫将军寻复官爵寻进位骠骑大将军 "先取仲礼及护诛赵贵
及隋文作相卫公直令迁哲往救焉从师受业除司宪中大夫谦反复弘农前驱东出观迁哲之对周文乖事人之道 "吾岂乐杀人周文不许字思道仁寿初终不推问善性温恭谨令杰射之时植弟基当从坐戮谥曰武迁上柱国特为隆盛高琳袭祖爵豪族泉薛道衡从军在蜀仍授瓜州刺史
S1 S 2 S 500 2004 500
S1 S2 S500 2004500
2 (2 S1) (2 S 2) ... (2 S500) 501
2 501 S1 S 2 ... S 500 501
2501 2004500 2002 501
魏孝武进至龙门以功封安乡县子请斩之陵没匈奴以微申其意字猛雀为政举大纲而已深被亲遇唯托意诸婿遂享爵位杨乾运战沙苑赐姓拓拔氏武帝善之杜窋为其乡导唯胡仁及王文达散骑常侍大将军不须更论级数也及高仲密以北豫州降镇阎韩劝课农桑从贺拔岳镇长安

高一数学等比数列求和2(PPT)3-1

则有am an ap aq
木卫二（Europa）：希腊神话中腓尼基（Phoenicia）公主欧罗巴（Europa），阿革诺耳（Agenor）的女儿。大神宙斯（Zeus）化作一头白色的公牛将其劫至克里特岛（Crete），并与她生下了三个儿子：弥诺斯（Minos）、拉达曼堤斯（Rhadamanthys）和萨耳佩冬（Sarpedon）。欧罗巴是希腊神话中的一位美丽的腓尼基公主，其他三颗伽利略卫星也被马里乌斯以希腊神话人物分别命名为伊奥（Io，木卫一）、盖尼米德（Ganymede，木卫三）和卡利斯托（Callisto，木卫四），这四个人物皆以俊美著称。但是在世纪中叶以前，相当长的一段时期内，这一套命名并未被天文学家所认可。早期的文献中多以位置编号将“欧罗巴”称作“木卫二”。89年发现了木卫五，比之前已知的所有木星卫星都更靠内。979年旅行者号探测器又发现了三颗内侧卫星，至此， “欧罗巴”的位置排到了第六。尽管如此，编号名仍然； / ；承袭下来，并偶有使用中文因对音等问题，亦通行以“木卫二”指称“Europa”。行星特征编辑组成木卫二与木卫一的组成与类地行星相似：主要由硅酸盐岩石组四颗伽利略卫星四颗伽利略卫星成。但是与木卫一不同，木卫二有一个薄薄的冰外壳。从伽利略号发回的数据表明木卫二有内部分层结构，并可能有一个小型金属内核。但是木卫二的表面不像一个内层太阳系的东西，它极度的光滑：只能看到极少的数百米高的地形。凸出的记号看来只是反照率特性或是一些不大的起伏。外观木卫二的表面照片与地球海洋上的冰的照片相似。这可木卫二十字纹木卫二十字纹能是因为木卫二表面的冰以下有一层液态的水，或许有千米深，由引潮力带来的热量保持液态。若假设成立，这将是除地球之外，太阳系中唯一一个有大量的液态水存在的地方。木卫二最醒目的外观是遍布全球的一串串十字条纹。较大的一个向外扩散到淡色物质地带，长近千米。最近的有关它们的起源理论是：它们由一连串火山喷出物或喷泉产生。来自伽利略号两次接近木卫二发回的看来验证了早期的理论：木卫二上的环形山很少，只发现三个直径大于千米的环形山。这表明它有一个年轻又活跃的表面。然而，旅行者号做了一小部分的表面高清晰度地图，木卫二的表面精确年龄是一个悬而未决问题。[]但一些活动很显然正在发生，有些区域看来很像春天到来时两极海洋处冰块融化的情景。木卫二表面和内部的确切性质还不很清楚，但有一个表面“海洋”的确切证据。木卫二是太阳系中另一颗与众不同的卫星。木卫二是太阳系中最。

高一数学等比数列求和2(PPT)4-4

插｜～顿。⑥动安装；
S n = a 1+ a 1 q + a 1 q 2 + … + a 1q n －1
qS
－)
n
=
a 1q + a 1q 2 + … + a 1q n －1 + a 1q n
(1－q)S n= a 1
－ a 1q n
—— 错位相减法
当 q = 1 时，S n = na 1
当 q ≠1 时，
则有am an ap aq
一方。【爱神】名西方神话中主宰爱情的神，罗马神话中名叫丘比特（），希腊神话中名叫厄洛斯（）。【爱斯基摩人】īī名因纽特人的旧称。［爱斯基摩，英］【爱窝窝】?同“艾窝窝”。【爱屋及乌】《尚书大传?大战篇》：“爱人者，兼其屋上之乌。”比喻爱一个人而连带地关心到跟他有关系的人或物。【爱惜】ī动因重视而不糟蹋；爱护；四川高考补习班四川高考复读学校高考全日制补习学校；珍惜：～时间｜～国家财物。【爱惜羽毛】ī比喻珍重爱惜自己的名誉。【爱小】〈方〉形好占小便宜。【爱心】ī名指关怀、爱护他人的思想感情：老妈妈对儿童充满～。【爱欲】名爱的欲望，一般指男女间对情爱的欲望。【爱重】动喜爱，尊重：他为人热情、正直，深受大家的～。【僾】*（僾）〈书〉①仿佛：～然。②气不顺畅。【僾尼】名部分哈尼族人的自称。【隘】①狭窄：狭～｜林深路～。②险要的地方：关～｜要～。【隘口】名狭隘的山口。【隘路】名狭窄而险要的路。【??】（薆）〈书〉①隐蔽。②草木茂盛的样子。【碍】（礙）动妨碍；阻碍：～事｜有～观瞻｜把地下的东西收拾一下，别让它～脚。【碍口】∥形怕难为情或碍于情面而不便说出：求人的事，说出来真有点儿～。【碍面子】?怕伤情面：有意见就提，别～不说。【碍难】①动难于（旧时公文套语）：～照办｜～从命。②〈方〉形为难。【碍事】∥①动妨碍做事；造成不方便；有妨碍：您往边儿上站站，在这里有点儿～｜家具多了安置不好倒～。②形严重；大有关系（多用于否定式）：他的病不～｜擦破点儿皮，不碍什么事。【碍手碍脚】妨碍别人做事：咱们走吧，别在这儿～的。【碍眼】∥形①不顺眼：东西乱堆在那里怪～的。②嫌有人在跟前不便：人家有事，咱们在这里～，快走吧！【嗳】（噯）叹表示悔恨、懊恼：～，早知如此，我就不去了。【嗌】〈书〉咽喉阻塞。【嫒】（嬡）见页〖令嫒〗。【瑷】（璦）瑷珲（ī），地名，在黑龙江。今作爱辉。【叆】（靉）［叆叇］（）〈书〉形形容浓云蔽日：暮云～。【暧】（曖）〈书〉日光昏暗。【暧昧】形①（态度、用意）含糊；不明白：态度～。②（行为）不光明；不可告人：关系～。【厂】同“庵” （多用于人名）。【广】同“庵”（多用于人名）。【安】①形安定：心神不～｜坐不～，立不稳。②使安定：～民｜～神｜～邦定国。③对生活、工作等感到满足合适：～于现状（满足于目前的状况，不求进步）｜～之若素。④平安；安全（跟“危”相对）：公～｜治～｜转危为～。⑤使有合适的位置：～

数列求和的8种常用方法(最全)

数列求和的8种常用方法(最全)一、前言在高中数学以及各类应用数学问题中，数列求和问题是非常常见的。

解决数列求和问题不仅需要对常用数列的规律进行深刻的理解，还需要掌握多种数列求和的方法。

本文将介绍数列求和的八种常用方法，并且会结合具体的数列实例来进行讲解。

尽力做到对每一种方法的介绍都能够做到极致详细，希望对读者有所帮助。

二、数列求和的8种常用方法1. 等差数列求和公式对于一个首项为$a_1$，公差为$d$，共有$n$ 项的等差数列，其求和公式为：$$S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$$其中，$S_n$ 代表前$n$ 项的和。

举例：求和数列$1，3，5，7，9$ 的和。

分析：此数列的首项为1，公差为2，总共有5项。

解答：$$S_5 = \frac{5}{2}(2\times 1 + (5-1)\times 2)=25$$因此，数列$1，3，5，7，9$ 的和为25。

2. 等比数列求和公式对于一个首项为$a_1$，公比为$q$，共有$n$ 项的等比数列，其求和公式为：$$S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$$其中，$S_n$ 代表前$n$ 项的和。

举例：求和数列$2，4，8，16，32$ 的和。

分析：此数列的首项为2，公比为2，总共有5项。

解答：$$S_5=\frac{2\times (1-2^5)}{1-2}=-62$$因此，数列$2，4，8，16，32$ 的和为-62。

3. 几何级数通项公式求和对于一般形式为$a_1r^{n-1}$ 的数列，其求和公式为：$$S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$$其中，$S_n$ 代表前$n$ 项的和。

举例：求和数列$1,-\frac{1}{2},\frac{1}{4},-\frac{1}{8},\frac{1}{16}$ 的和。

分析：此数列的首项是1，公比是$-\frac{1}{2}$，总共有5项。

高中数学中的数列求和知识点总结

高中数学中的数列求和知识点总结数列求和是高中数学中的重要概念和技巧之一，它涉及到数列的性质和求和方法的应用。

本文将对高中数学中的数列求和知识点进行总结，包括求和公式、数列性质与求和、递推数列求和和常用数列求和等内容。

1. 求和公式求和公式是数列求和的基础，它们可以帮助我们简化求和过程并得到准确的结果。

常见的求和公式包括等差数列求和公式和等比数列求和公式。

（1）等差数列求和公式对于等差数列 {an}，其通项公式为 an = a1 + (n-1)d，其中 a1 为首项，d 为公差，n 为项数。

等差数列的求和公式为 Sn = (a1 + an) * n / 2。

其中 Sn 表示前 n 项的和。

（2）等比数列求和公式对于等比数列 {an}，其通项公式为 an = a1 * q^(n-1)，其中 a1 为首项，q 为公比，n 为项数。

等比数列的求和公式分为两种情况：当 |q| < 1 时，等比数列的求和公式为 Sn = a1 / (1-q)。

当 |q| > 1 时，等比数列的求和公式为 Sn = (a1 - anq) / (1-q)。

2. 数列性质与求和数列性质与求和是数列求和中较为重要的内容之一。

在求解数列求和问题时，熟练掌握数列的性质对于简化计算和解题过程非常有帮助。

（1）数列的首项与末项一个数列 {an} 的首项为 a1，末项为 an。

在使用求和公式时，需要准确确定数列的首项和末项。

（2）逆序求和对于满足一定条件的数列，其求和式可以通过逆序求和的方式得到更简洁的结果。

例如，等差数列 {an} 的求和式为 Sn = (a1 + an) * n / 2，而逆序求和的方式是 Sn = (an + a1) * n / 2。

（3）奇数项和与偶数项和有些数列的求和问题可以通过分别求解奇数项和与偶数项和来得到最终结果。

例如，等差数列 {an} 的奇数项和为 So = (a1 + an) * (n/2)，偶数项和为 Se = an * (n/2)。

高一数学数列求和2

Sn=
a1(1 qn) 1 q
尝试应用
1、有限数列A={a1,a2,a3…an}，Sn为其前 n项和，定义 S1 S2 ... Sn 为A的
n
“凯森和”，如有500项的数列，a1， a2…a500的“凯森和”为2004，则有501项的 A数—列2020，2 a1，Ba22…00a4500的“C凯森20和06”为—D—2008
a [n (q q2 ... qn)] 1 q
a [n q(1 qn) ]
1 q
1 q
na aq(1 qn) 1q 1q
反馈练习2答案
（1）当n≥2时， an Sn Sn 1 1 [(an 1)2 (an 1 1)2] 4
2S lg (xy)n lg (xy)n ... lg (xy)n
n(n 1)a
3、求和
Sn 1 3x 5 x2 7 x3 ... (2n 1) xn1, (x 0)
（1）x=1时，Sn=n2 （2）x≠1时
S=1+3x+5x2+7x3+…+(2n-1)x n-1 x·S=x+3x2+5x3+…+(2n-1)x n-1+ (2n-1)x n (1-x)S=1+2(x+x2+x3+…+xn-1)-(2n-1) xn
S1 S 2 S 500 2004 500
S1 S2 S500 2004500
2 (2 S1) (2 S 2) ... (2 S500) 501
2 501 S1 S 2 ... S 500 501
2501 2004500 2002 501

数列求和常用公式

数列求和常用公式在数学的学习中，数列求和是一个重要的课题。

掌握数列求和的常用公式，对于解决各种数学问题有着至关重要的作用。

接下来，就让我们一起来深入了解一下这些常用的公式。

一、等差数列求和公式等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列。

对于一个首项为$a_1$，公差为$d$，项数为$n$的等差数列，其求和公式为：＄S_n ＝＼frac{n(a_1 ＋ a_n)｝｛2}＄其中，＄a_n$ 表示数列的第＄n$ 项，可表示为＄a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d$ 。

这个公式的推导其实并不复杂。

我们可以将等差数列的和表示为：＄S_n ＝ a_1 ＋（a_1 ＋ d) ＋（a_1 ＋ 2d) ＋＼cdots ＋ a_1 ＋（n 1)d$然后将这个式子倒过来写一遍：＄S_n ＝ a_1 ＋（n 1)d ＋ a_1 ＋（n 2)d ＋＼cdots ＋（a_1 ＋ d) ＋ a_1$将这两个式子相加，会发现对应的项相加的和都是相同的，即都为$a_1 ＋ a_n$，一共有$n$组，所以：＄2S_n ＝ n(a_1 ＋ a_n)＄从而得到等差数列求和公式$S_n ＝＼frac{n(a_1 ＋ a_n)｝｛2}＄例如，对于等差数列 1，3，5，7，9，······，19。

其中首项$a_1 ＝1$，公差$d ＝ 2$，末项$a_n ＝ 19$。

项数$n ＝＼frac{（19 1)｝｛2} ＋ 1 ＝ 10$。

则其和$S_{10} ＝＼frac{10×（1 ＋ 19)｝｛2} ＝ 100$二、等比数列求和公式等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列。

对于首项为$a_1$，公比为$q$（＄q ＼neq 1$），项数为$n$的等比数列，其求和公式为：＄S_n ＝＼frac{a_1(1 q^n)｝｛1 q}＄这个公式的推导需要用到一些代数运算。

高一数学数列求及基本方法及技巧

数列求和的根本方法和技巧数列是高中代数的重要内容，又是学高等数学的基. 在高考和各种数学中都占有重要的地位.数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大局部数列的求和都需要一定的技巧 . 下面，就几个届高考数学和数学来数列求和的根本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和利用以下常用求和公式求和是数列求和的最根本最重要的方法.1、等差数列求和公式： S nn(a 1 a n )na 1n(n 1) d 22na 1( q 1)2、等比数列求和公式：S na 1 (1 q n ) a 1a n q1)1 q1(qqn1 (1)n2 1 (1)(21)3、 S nk4、 S nk n nn n6 nk 1 2k 1nk 3 [ 1n( n 1)]25、 S nk12[ 例 1]log 3 x1 ，求 x x 2x 3x n的前 n 和 .log 2 3解：由 log 3 x1log 3x log 3 21xlog 2 32由等比数列求和公式得S nx x 2 x 3x n〔利用常用公式〕＝ x(1 n1(1 1 ) x) ＝ 22n ＝ 1－ 11 x1 1 2n2[ 例 2]S n ＝1+2+3+⋯+n ， n ∈ N * , 求 f (n)(n S n的最大 .32)S n 1解：由等差数列求和公式得S n1n(n 1) ， S n11(n 1)(n2)〔利用常用公式〕22∴ f (n)S n＝n234n 64(n 32) S n 1n＝1＝11850n 3464 ( n2 50n)n8 1 ∴ 当n，即 n ＝ 8 ， f (n)max850二、位相减法求和种方法是在推等比数列的前n 和公式所用的方法，种方法主要用于求数列{a n · b n } 的前 n和，其中 { a n }、 { b n } 分是等差数列和等比数列.[ 例 3] 求和： S n1 3x 5x2 7x 3(2n 1) x n1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①解：由可知， { (2n1)x n 1 } 的通是等差数列 {2n － 1} 的通与等比数列 { x n 1 } 的通之xS n1x 3x 25x 3 7 x 4(2n 1) x n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.②〔设制错位〕①－②得(1 x) S n 1 2x 2x 22 x3 2x 42x n 1 (2n 1) x n〔错位相减〕再利用等比数列的求和公式得：(1 x)S n 11 x n1( 2n 1)x n2x 1 x∴S n (2n 1) x n 1 (2n 1) x n (1 x)(1 x)2[ 例 4] 求数列 2, 42 ,63 ,,2nn , 前 n 的和 .2 222解：由可知， {2n {2n}{1n}的通是等差数列的通与等比数列 n } 的通之22S n2462n⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①2 2 2 232n1 2 4 62n〔设制错位〕S n2 22 32 42 n 1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯②2①－②得 (11)S n 2 2 2 2 2 2n〔错位相减〕2 2 22 23 24 2n 2n 12 1 2n2 n 1 2n 1∴S n 4 n 22n1三、反序相加法求和是推等差数列的前n 和公式所用的方法，就是将一个数列倒来排列〔反序〕，再把它与原数列相加，就可以得到n 个(a 1a n ) .[ 例5]求：C n03C n15C n2(2n 1)Cn n(n1)2n明：S nC n03C 1n5C n2(2n1)Cnn ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..①把①式右倒来得S n (2n1)C n n ( 2n 1)C n n 1 3C n 1 C n 0〔反序〕又由 C n mC n n m 可得S n (2n1)C n 0 (2n 1)C n 1 3C n n1C n n ⋯⋯⋯⋯ .. ⋯⋯ .. ②①+②得2S n (2n 2)(C n 0 C n 1 C n n1C n n ) 2(n 1) 2 n〔反序相加〕∴S n(n 1) 2 n[ 例 6] 求 sin 2 1sin 2 2 sin 2 3 sin 2 88 sin 2 89 的解： S sin 2 1 sin 2 2 sin 2 3sin 2 88 sin 2 89 ⋯⋯⋯⋯. ①将①式右反序得S sin 2 89 sin 2 88sin 2 3 sin 2 2sin 2 1 ⋯⋯⋯⋯ .. ②〔反序〕又因 sin x cos(90x), sin 2 x cos 2 x1① +②得〔反序相加〕2S (sin 2 1 cos 2 1 )(sin 2 2 cos 2 2 ) (sin 2 89 cos 2 89 ) ＝ 89∴ S ＝四、分法求和有一数列，既不是等差数列，也不是等比数列，假设将数列适当拆开，可分几个等差、等比或常的数列，然后分求和，再将其合并即可.[ 例 7] 求数列的前 n 和： 11 1 7, , 13n 2 ，⋯1, 4, 2 n 1aa a解： S n(1 1)1 4) ( 1 7)( 1 3n 2)(2n 1aa a将其每一拆开再重新合得111〔分组〕S n (1a a 2 a n 1)(1 4 73n 2)当 a ＝1 ， S nn (3n 1)n (3n 1)n〔分组求和〕2＝211(3n 1) n a a 1 n(3n 1)n当 a1， S na n2 ＝a121 1a[ 例 8]求数列 {n(n+1)(2n+1)}的前 n 和 .解： ak k k 1)( 2 k 1) k 3k 2 k(2 3n n∴ S n k(k 1)(2k 1) ＝ (2k3 3k 2 k) k 1 k 1将其每一项拆开再重新组合得nk3 nk 2nS n＝2 3 k 〔分组〕k 1 k 1k 1＝ 2(13 23 n3 ) 3(12 22 n2 ) (1 2 n)＝n2 (n 1) 2 n(n 1)( 2n 1) n(n 1)〔分组求和〕2 2 2＝n(n 1)2 (n 2)2五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项〔通项〕分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终到达求和的目的. 通项分解〔裂项〕如：〔 1〕a n f (n 1) f ( n) 〔 2〕sin 1 tan(n 1) tan n1)cosn cos(n〔 3〕a n 11) 1 11〔 4〕a n(2n(2n) 21)1 1 ( 1 1 )n(n n n 1)( 2n 2 2n 1 2n 1〔 5〕a n1 1[1 1] n(n 1)(n 2) 2 1) ( n 1)(n 2)n(n(6) a nn 2 1 2(n 1) n 1 1 1 n , 那么S n 11n(n 1) 2 n n(n 1) 2 n n 2 n 1 (n 1)2 (n 1) 2 n[ 例 9] 求数列 1 , 1 , , 1 , 的前 n 项和 .1 2 3 n n2 1解：设 a n1n 1 n 〔裂项〕n n 1那么S n 1 1 1 〔裂项求和〕2 23 n n 11＝ ( 2 1) ( 3 2) ( n 1 n )＝n 1 1[ 例 10]在数列 {a n } 中， a n12n ，又 b n 2，求数列 {b n } 的前 n 项的和 .n 1 n 1n 1a nan 1解：∵ a n12n nn 1 n1n 12∴ b nn 2 1 8( 11 )〔裂项〕n n n 12 2∴ 数列 {b n } 的前 n 项和S n8[(1 1 ) ( 1 1) (11 ) (11 )]〔裂项求和〕2 23 34 nn 1＝ 8(11 ) ＝ 8nn 1 n 1[ 例 11]求证：111 cos1cos1 cos 2cos88 cos89sin 2 1cos0 cos1 解：设 S111cos 0 cos1 cos1 cos2cos88 cos89∵sin1tan(n 1) tan n〔裂项〕1)cos n cos(n∴ S111〔裂项求和〕cos 0 cos1 cos1 cos2cos88 cos89＝1{(tan 1 tan 0 ) (tan 2 tan1 ) (tan 3tan 2 ) [tan 89tan 88 ]}sin 1＝1(tan 89 tan 0 ) ＝ 1 cos1sin 1cot 1 ＝2 1sin 1sin∴ 原等式成立六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .[ 例 12]求 cos1° + cos2 ° + cos3 ° +···+ cos178 ° + cos179 °的值 .解：设 S n ＝ cos1 ° + cos2 ° + cos3 ° +··· + cos178 ° + cos179 °∵ cos ncos(180 n )〔找特殊性质项〕∴ S n ＝〔 cos1 ° + cos179 °〕 +〔 cos2 ° + cos178 °〕 + 〔 cos3 °+ cos177 °〕 +···+〔 cos89 °+ cos91 °〕 + cos90 ° 〔合并求和〕＝ 0[ 例 13]数列 {a n } ： a 1 1,a 2 3, a 3 2, a n 2 a n 1 a n ，求 S 2002.解：设 S ＝ a 1 a 2a 3a20022002由 a1 1, a2 3, a3 2, a n 2 a n 1 a n可得a4 1, a5 3, a6 2,a7 1, a8 3, a9 2, a10 1, a11 3, a12 2,⋯⋯a6 k 1 1, a6k 2 3, a6k 3 2, a6 k 4 1, a6k 5 3, a6 k 6 2∵a6k1 a6k2 a6k3 a6 k4 a6 k5 a6 k 6 0 〔找特殊性质项〕∴S2002＝a1 a2 a3 a2002 〔合并求和〕＝ ( a1 a2 a3 a6 ) ( a7 a8 a12 ) (a6k 1 a6k 2 a6k 6 )(a1993 a1994a1998) a1999a2000a2001a2002＝ a1999 a2000 a2001 a2002＝a6 k 1 a6k 2 a6k 3 a6 k 4＝ 5[ 例 14] 在各均正数的等比数列中，假设a5 a6 9, 求 log 3 a1 log 3 a2 log 3 a10的.解： S n log 3 a1 log 3 a2 log 3 a10由等比数列的性m n p q a m a n a p a q 〔找特殊性质项〕和数的运算性log a M log a N log a M N 得S n (log 3 a1 log 3 a10 ) (log 3 a2 log 3 a9 ) (log 3 a5 log 3 a6 ) 〔合并求和〕＝ (log 3 a1 a10 ) (log 3 a2 a9 ) (log 3 a5 a6 )＝ log 3 9 log 3 9 log 3 9＝ 10七、利用数列的通求和先根据数列的构及特征行分析，找出数列的通及其特征，然后再利用数列的通揭示的律来求数列的前n 和，是一个重要的方法.[ 例 15]求111 111111 1 之和.n个1解：由于 1111 1 9999 1(10 k1) 〔找通项及特征〕k 个19 k 个19∴ 111 111111 1n 个1＝ 1(101 1) 1 (1021) 1 (1031)1(10 n 1)〔分组求和〕9999＝ 1(10110 2 10310 n )1(1 1 11)99 n 个1n＝ 1 10(10 1) n910 19＝ 1(10n 1 10 9 )81n[ 例 16]数列 {a n } ： a n8, 求(n 1)(a n a n 1 ) 的值 .( n 1)(n 3)n 1解：∵ (n1)(a n a n 1 ) 8(n1)[ 11 ]〔找通项及特征〕3)( n 2)( n ( n 1)(n4)＝ 8 [11]〔设制分组〕2)(n4) (n 3)(n(n 4)＝ 4 (11 ) 8 ( 11 〔裂项〕n 2nn 3n)44∴( n1)(a n a n1) 4 ( 11 ) 8 (11 ) 〔分组、裂项求和〕n 1n 1 n2 n 4n 1n3 n 4＝ 4 (11 )8 13 44＝133说明：本资料适用于高三总复习，也适用于高一“数列〞一章的学习。